Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами

Запропоновано й обгрунтовано новий підхід до побудови наближених математичних моделей широкого класу систем з розподіленими та зосередженими параметрами. Даний підхід базується на методі ітеративної ідентифікації, який особливо ефективний за наявності невизначеності та похибок у наявних даних....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Губарев, В.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2008
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72001
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами /В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 99-115. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-72001
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-720012014-12-16T03:02:13Z Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами Губарев, В.Ф. Системный анализ Запропоновано й обгрунтовано новий підхід до побудови наближених математичних моделей широкого класу систем з розподіленими та зосередженими параметрами. Даний підхід базується на методі ітеративної ідентифікації, який особливо ефективний за наявності невизначеності та похибок у наявних даних. 2008 Article Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами /В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 99-115. — Бібліогр.: 26 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72001 62-52:519.6:519.711 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Губарев, В.Ф. Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами Кибернетика и системный анализ
description	Запропоновано й обгрунтовано новий підхід до побудови наближених математичних моделей широкого класу систем з розподіленими та зосередженими параметрами. Даний підхід базується на методі ітеративної ідентифікації, який особливо ефективний за наявності невизначеності та похибок у наявних даних.
format	Article
author	Губарев, В.Ф.
author_facet	Губарев, В.Ф.
author_sort	Губарев, В.Ф.
title	Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами
title_short	Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами
title_full	Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами
title_fullStr	Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами
title_full_unstemmed	Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами
title_sort	рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72001
citation_txt	Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами /В.Ф. Губарев // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 2. — С. 99-115. — Бібліогр.: 26 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT gubarevvf racionalʹnaâapproksimaciâsistemsraspredelennymiparametrami
first_indexed	2025-07-05T20:52:42Z
last_indexed	2025-07-05T20:52:42Z
_version_	1836841710601109504
fulltext	ÓÄÊ 62—52:519.6:519.711 Â.Ô. ÃÓÁÀÐÅÂ ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÑÈÑÒÅÌ Ñ ÐÀÑÏÐÅÄÅËÅÍÍÛÌÈ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ìîäåëèðîâàíèå, èòåðàòèâíàÿ èäåíòèôèêàöèÿ, àïïðîêñèìà- öèÿ, íåîïðåäåëåííîñòü, ôóíêöèÿ Ãðèíà. ÂÂÅÄÅÍÈÅ Ïðè ìîäåëèðîâàíèè è ïðîãíîçèðîâàíèè ïðîöåññîâ, ïðîòåêàþùèõ â ñëîæíûõ ñèñòåìàõ, à òàêæå ïðè óïðàâëåíèè èìè íåîáõîäèìî èìåòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü. Îíà äîëæíà áûòü àäåêâàòíîé òåì öåëÿì è çàäà÷àì, êîòîðûå áóäóò ðåøàòüñÿ ñ åå ïîìîùüþ. Â òî æå âðåìÿ ìîäåëü íå äîëæíà áûòü î÷åíü ñëîæíîé è òðóäíîé äëÿ èõ ðåøåíèÿ. Íàïðèìåð, ÷åì áîëüøå ðàç- ìåðíîñòü ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèÿõ, îïèñûâàþùèõ óïðàâëÿåìûå ïðîöåññû, òåì ñëîæíåå çàêîí óïðàâëåíèÿ, êîòîðûé ñèíòåçèðóåòñÿ íà èõ îñíîâå. Âìåñòå ñ òåì ïðèáëèæåííàÿ ìîäåëü íåáîëüøîé ðàçìåðíîñòè âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ äàåò áî- ëåå ïðîñòîå óïðàâëåíèå, âïîëíå ïðèåìëåìîå äëÿ ïðàêòèêè. Êðîìå òîãî, ïðè îïèñàíèè ñëîæíûõ ðåàëüíûõ îáúåêòîâ âñåãäà îñòàþòñÿ íåîïðåäåëåííîñòè, íå ó÷èòûâàåìûå ìîäåëüþ, à ïðè êîëè÷åñòâåííûõ îöåíêàõ èëè èçìåðåíèÿõ âîç- ìîæíû ïîãðåøíîñòè. Äàæå ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè, íàïðèìåð çàäà÷ ìàòåìà- òè÷åñêîé ôèçèêè, âñå ðàâíî èñïîëüçóþòñÿ êîíå÷íîìåðíûå àïïðîêñèìàöèè. Ïî- ýòîìó óïðîùåííûå ìîäåëè, íî àäåêâàòíûå òåì çàäà÷àì, êîòîðûå ñ èõ ïî- ìîùüþ ðåøàþòñÿ, áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíû â ïðèëîæåíèÿõ, ïîñêîëüêó çíà÷èòåëüíî ðàñøèðÿþò ïðèìåíåíèå ìàòåìàòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â ðàçëè÷íûõ îá- ëàñòÿõ, îñîáåííî äëÿ ïðîöåññîâ, êîòîðûå ïðîòåêàþò â ñèñòåìàõ ñ ðàñïðåäåëåí- íûìè ïàðàìåòðàìè [1, 2]. Âîïðîñàì ïîñòðîåíèÿ äëÿ áåñêîíå÷íîìåðíûõ ñèñòåì àïïðîêñèìèðóþùèõ ìîäåëåé, óäîáíûõ è ïðèåìëåìûõ äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷ ìîäåëèðîâàíèÿ, óïðàâëåíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ, ïîñâÿùåíà äàííàÿ ñòàòüÿ. Ðàçâèò óíèôèöèðîâàííûé ïîäõîä ê ðàöèîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííûõ ñèñòåì íà îñíîâå ìåòîäîâ èäåíòèôèêàöèè. 1. ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÀ ÇÀÄÀ×È Ïåðâîå, ÷òî òðåáóåòñÿ ïðè ìàòåìàòè÷åñêîì ìîäåëèðîâàíèè ñëîæíîé ðåàëüíîé ñèñòåìû, — ýòî âûáðàòü äëÿ íåå ñòðóêòóðó ìîäåëè. Áåç àïðèîðíîé èíôîðìà- öèè è îáùèõ ïðåäñòàâëåíèé îá îáúåêòå çäåñü íå îáîéòèñü. Åñëè îí ðàñïðåäå- ëåí â ïðîñòðàíñòâå, à åãî ïàðàìåòðû èëè õàðàêòåðèñòèêè èçìåíÿþòñÿ âî âðå- ìåíè, òî èìååì äåëî ñ ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîé ñèñòåìîé, êîòîðàÿ ìîæåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ñêàëÿðíîé, à â îáùåì — âåêòîðíîé ôóíêöèåé w, çàâèñÿùèé îò ïðîñòðàíñòâåííîé ïåðåìåííîé z, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ â îòêðûòîé îáëàñòè F , âêëþ÷àÿ ãðàíèöó �F , è îò âðåìåííîé ïåðå- ìåííîé t, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ íà ÷èñëîâîé ïîëóîñè t t� 0 . Êàê ïðàâèëî, ïðîöåññû â òàêîé ñèñòåìå îïðåäåëÿþòñÿ åùå ãðàíè÷íûìè (êðàåâûìè) è ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 99 © Â.Ô. Ãóáàðåâ, 2008 íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè. Â äàëüíåéøåì áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî ëèíåéíûå ñèñòåìû, ÷òî òàêæå ÿâëÿåòñÿ èñõîäíîé àïðèîðíîé èíôîðìàöèåé. Òîãäà äëÿ î÷åíü øèðîêîãî êëàññà ñèñòåì â ñàìûõ ðàçíîîáðàçíûõ ïðèêëàäíûõ îáëàñòÿõ ìîæíî èñïîëüçîâàòü åäè- íóþ ñòàíäàðòíóþ ôîðìó îïèñàíèÿ, äîñòàòî÷íî óíèôèöèðîâàííóþ è õîðîøî âïè- ñûâàåìóþ â ñóùåñòâóþùèå ìåòîäû ìîäåëèðîâàíèÿ è èäåíòèôèêàöèè. Èäåþ òà- êîé ñòàíäàðòèçàöèè ïðåäëîæèë À.Ã. Áóòêîâñêèé â [3], à â [4] îí ñîáðàë è ñòðóê- òóðèðîâàë øèðîêèé êëàññ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè è ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè ñ ïðèâèäåíèåì èõ ê ñòàíäàðòíîé ôîðìå. Îñíîâíîé õàðàêòåðèñòèêîé ñèñòåìû â ñòàíäàðòíîé ôîðìå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèÿ Ãðèíà, èëè èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ôóíêöèÿ. Ôóíêöèþ Ãðèíà èíîãäà åùå íàçû- âàþò ôóíêöèåé âëèÿíèÿ, èëè ôóíêöèåé èñòî÷íèêà. Êðîìå ñêàëÿðíîé èëè âåêòîð- íîé ïåðåìåííîé � �w w z t� , , õàðàêòåðèçóþùåé ïðîñòðàíñòâåííî-âðåìåííîå ñî- ñòîÿíèå ñèñòåìû, ââîäèòñÿ ñòàíäàðòèçèðóþùàÿ ôóíêöèÿ � �f z t, , êîòîðàÿ òðàêòó- åòñÿ êàê îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ, è ñ ïîìîùüþ êîòîðîé ëþáîå âíåøíåå îáúåìíîå, ãðàíè÷íîå èëè íà÷àëüíîå âîçäåéñòâèå íà ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â åäèíîîáðàç- íîì âèäå (ïîäðîáíîñòè ñì. â [4]). Çíàÿ ôóíêöèþ Ãðèíà H z t( , , , )� � è ñòàíäàðòè- çèðóþùóþ ôóíêöèþ âîçäåéñòâèÿ � �f z t, , ñîñòîÿíèå ñèñòåìû îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå w z t H z t f d d t t F ( , ) ( , , , ) ( , )� � � 0 � � � � � �, (1) ãäå F — çàìûêàíèå F . Ñòðóêòóðà (1) âêëþ÷àåò ñòàòè÷åñêèå èëè êâàçèñòàòè- ÷åñêèå ìîäåëè, â ïîñëåäíåì âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîñòî ïàðàìåòðîì. Â òàêèõ ñëó- ÷àÿõ (1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå w z H z f d F ( ) ( , ) ( )� � � � �. (2) Ñèñòåìû ñ ñîñðåäîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè âõîäÿò â (1) êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé � �w t H t f d t t � � 0 ( , ) ( )� � �. (3) Óðàâíåíèå (3) åñòü èçâåñòíàÿ ôîðìóëà Êîøè [5] w t t t w t u d t t ( ) ( , ) ( , ) ( )� � � 0 0 0 � � �, (4) ãäå ( , )t � — ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíå- íèé, êîòîðàÿ è åñòü ôóíêöèÿ Ãðèíà. Ïðè ýòîì îáîáùåííàÿ ñòàíäàðòèçèðóþùàÿ ôóíêöèÿ � �f � ïðåäñòàâëÿåòñÿ âûðàæåíèåì � � � � � �f u w t� � � �� 0 0 , ãäå � �� t0 — îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ Äèðàêà. Â âåêòîðíîì ñëó÷àå w z t w z t w z t w z tK( , ) (( ( , ), ( , ), . . . , ( , ))� col 1 2 è f z t( , ) � � col(( ( , ), ( , ), ... , ( , ))f z t f z t f z tL1 2 . Â ðåçóëüòàòå èìååì w z t H z t f t d d k Kk t t F L k( , ) ( , , , ) ( , ) , ,� �� 0 1 1 l l l� � � � � . (5) Â ðàñïðîñòðàíåííîì ñëó÷àå, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî ñäâèãà ïî âðåìåíè, ôóíêöèÿ Ãðèíà ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê H z t H z t( , , , ) ( , , )� � � �� . Íà ïðàêòèêå ÷àùå èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò íå ñàìè ïîëÿ, îïðåäåëÿåìûå � �w z t, , à íå- 100 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 êîòîðûå èõ òî÷å÷íûå èëè èíòåãðàëüíûå õàðàêòåðèñòèêè, êîòîðûå ìîãóò èçìåðÿòüñÿ èëè îöåíèâàòüñÿ. Ïðåäñòàâèì èõ êàê âûõîäíûå ïåðåìåííûå y t y t y t y tM( ) (( ( ), ( ), ... , ( ))� col 1 2 . Ïðè òî÷å÷íûõ èçìåðåíèÿõ y t w z tm m( ) ( , )� , à ïðè èíòåãðàëüíûõ èìååì � � � � � �y t z w z t dzm F m� � � , , ãäå � �� m z — âåñîâàÿ ôóíê- öèÿ, îïðåäåëåííàÿ íà F Fm � è � �� z m 0 ïðè z F Fm� / 0 . Fm ìîæåò áûòü ïîäî- áëàñòüþ F èëè ñîâïàäàòü ñ íåé ïîâåðõíîñòüþ èëè êîíòóðîì âíóòðè F . Ïîñêîëüêó � �f z t, — îáîáùåííàÿ ôóíêöèÿ, òî òî÷å÷íîå, ãðàíè÷íîå èëè èíîå âûðîæäåííîå âîçäåéñòâèå óæå îïðåäåëÿåòñÿ åå ñòðóêòóðîé. Òåì íå ìåíåå, êàê ïðàâèëî, âðåìåííàÿ çàâèñèìîñòü � �f z t, îïðåäåëÿåòñÿ âíåøíåé ñèñòåìîé ñ ñîñðå- äîòî÷åííûìè ïàðàìåòðàìè, ò.å. � � � � � �f z t u t f z r R r r, � � � 1 , ãäå � �u tr îïðåäåëÿåò ïå- ðåìåííûå âíåøíåé óïðàâëÿþùåé ñèñòåìû, à � �f zr çàäàåò åå ðàñïðåäåëåííîå âîç- äåéñòâèå íà îáúåêò. Íàïðèìåð, äëÿ ýëåêòðîìàãíèòíûõ ïðîöåññîâ òîêè â îáìîò- êàõ ÿâëÿþòñÿ âíåøíèìè âõîäíûìè âîçäåéñòâèÿìè, à ïðîñòðàíñòâåííûå õàðàêòåðèñòèêè, îïðåäåëÿåìûå ðàñïîëîæåíèåì âèòêîâ îáìîòêè, îáåñïå÷èâàþò ðàñïðåäåëåííîñòü âîçäåéñòâèÿ. Â ðåçóëüòàòå äëÿ ñèñòåì ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì âõîäíûõ âîçäåéñòâèé è êîíå÷- íûì ÷èñëîì âûõîäíûõ ïåðåìåííûõ (íà ïðàêòèêå òàêèå ñèñòåìû íàèáîëåå ðàñ- ïðîñòðàíåíû) áóäåì èìåòü � �� y t H t u dm r t t mr r� � 0 , ,� � � m M�1, , r R�1, , (6) ãäå � � � � � � � �H t z dz H z t f dmr F m F r, , , ,� � � � � �� . Çäåñü � �� m z ñ÷èòàåì îá- îáùåííîé ôóíêöèåé, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü â ñòàíäàðòèçèðîâàííîì âèäå ïðåä- ñòàâèòü ëþáûå èçìåðåíèÿ, âêëþ÷àÿ òî÷å÷íûå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî H tmr ( , )� ïîðîæäàþòñÿ îäíîé è òîé æå ôóíêöèåé Ãðèíà. Ñëåäîâàòåëüíî, âðåìåííû �å õà- ðàêòåðèñòèêè ýëåìåíòîâ H tmr ( , )� áóäóò ëèáî ñîâïàäàòü, ëèáî äîïîëíÿòü äðóã äðóãà. Ïðè ýòîì âåñîâûå ôóíêöèè � m z( ) è � �f r � áóäóò îïðåäåëÿòü ñâîéñòâà íà- áëþäàåìîñòè èëè óïðàâëÿåìîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ îáîáùåííûõ ñòåïåíåé ñâîáî- äû îáúåêòà. 2. ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÀß ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß Â äàëüíåéøåì ðàññìàòðèâàþòñÿ òîëüêî ëèíåéíûå ñòàöèîíàðíûå ñèñòåìû, êîã- äà èìååò ìåñòî ñäâèãîâàÿ èíâàðèàíòíîñòü, ò.å. ìîäåëü (6) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå êîíâîëþöèè ñ ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöåé G s( ), êîòîðàÿ âûðàæàåòñÿ èððà- öèîíàëüíîé (â áåñêîíå÷íîìåðíîì ñëó÷àå) ëèáî ðàöèîíàëüíîé (äëÿ êîíå÷íî- ìåðíîé ñèñòåìû) ôóíêöèÿìè. Òàêèå ñèñòåìû äëÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîãî êëàññà ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ìîæíî çàäàâàòü ÷åòâåðêîé ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ (ìàò- ðèö) A B C D, , , , îñóùåñòâëÿþùèõ îòîáðàæåíèÿ ìåæäó ðàçëè÷íûìè áåñêîíå÷- íîìåðíûìè (êîíå÷íîìåðíûìè) ëèíåéíûìè âåêòîðíûìè ïðîñòðàíñòâàìè òàê, ÷òî G s D C sI A B( ) ( )� � 1 . Â ïåðâóþ î÷åðåäü ê íèì îòíîñÿòñÿ ñèñòåìû ñ îïåðàòîðàìè ÿäåðíîãî òèïà, êîòîðûå ïîðîæäàþò îãðàíè÷åííûé îïåðàòîð Ãàí- êåëÿ [6], ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà � �j j( )� 0 êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ j j � � � � � 1 � . Ñîãëàñíî [7] îïåðàòîð Ãàíêåëÿ Ã ÿâëÿåòñÿ ÿäåðíûì, åñëè è òîëüêî ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 101 åñëè åãî ïåðåäàòî÷íàÿ ìàòðèöà G s( ), ñîîòâåòñòâóþùàÿ C sI A B( ) 1 , ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â ôîðìå G s g s G s G smr i mi r i i mr( ) ( )( ) , ( ) [ ( )]( )� � � � � 1 1Re � � (7) ïðè óñëîâèè, ÷òî êîìïëåêñíûå ÷èñëà ðàñïîëîæåíû â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè (óñòîé÷èâûå ñèñòåìû), ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà ðàçëè÷íûå è i mi r Ng C � � � � 1 \| \| \| \| \| \| ,( ) � ãäå C � const, à \| \| \| \|� N i i� � � � 1 � — ÿäåðíàÿ íîðìà Ã. Â ïðèíöèïå ýòîò ðåçóëüòàò ñ èñïîëüçîâàíèåì öåïî÷êè ïàð Øìèäòà [8] ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ è íà ñëó÷àé êðàò- íûõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë. Îäíàêî îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî îäíîêðàòíûì ñëó÷àåì. Ðÿäû (7) â îáëàñòè Res�0 ðàâíîìåðíî ñõîäÿòñÿ ïî ÿäåðíîé íîðìå àññîöèàòèâ- íûõ îïåðàòîðîâ Ãàíêåëÿ. Èìïóëüñíàÿ ïåðåõîäíàÿ ìàòðèöà � �H t èíâàðèàíòíîé ïî âðåìåíè ñèñòåìû â ñëó÷àå ÿäåðíîãî îïåðàòîðà Ã ñîñòîèò èç ýëåìåíòîâ H tm r( ) ( ), êîòîðûå ìîãóò ïðåäñòàâëÿòüñÿ ðàçëîæåíèÿìè H t g emr i mi r i ti( ) ( )( )� � � � 1 Re � � . (8) Ïðè ýòîì ôóíêöèè � �H tmr ïî÷òè âñþäó íåïðåðûâíû íà ïîëóîñè t t� 0 è óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ � �\| ( )\| \| ( ) , \| , , \| \| \|\| \|\| \|\| \|\| H t H t C C M l R M� � � � � � � � sup l l 1 1� � � �\| \| /N t (9) äëÿ âñåõ t t� 0 è Ì � const. Ñîãëàñíî [6] ðàçëîæåíèå (7) ïåðåäàòî÷íîé ìàòðèöû ñõîäèòñÿ â H H� , 2 è H N , à ñõîäèìîñòü ïî íîðìàì L H1, � , ãàíêåëåâîé è L2 èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé ìàòðèöû H t( ) â âèäå ðàçëîæåíèÿ (8) îáåñïå÷èâàåòñÿ êëàññè÷åñêîé òåîðåìîé çà- ìûêàíèÿ, ïðèâåäåííîé, íàïðèìåð, â [9]. Ïîýòîìó â êà÷åñòâå ïðèáëèæåííîé óñå- ÷åííîé ìîäåëè ñèñòåìû ìîæíî âûáðàòü ïåðåäàòî÷íóþ ìàòðèöó ñ ýëåìåíòàìè G s g smr n i n mi r i i( ) ( )( )( )� � � 1 1Re � � (10) èëè ñîîòâåòñòâóþùóþ èìïóëüñíóþ ïåðåõîäíóþ ìàòðèöó, ñîñòîÿùóþ èç H t g emr n i n mi r i t i( ) ( )( )� � � 1 Re � � . (11) Ïðè ýòîì îáåñïå÷èâàåòñÿ ñõîäèìîñòü \| \| ( )\| \| , \| \| ( ) ( )\| \|G s H t H tmr N mr n mr N� �0 0 ïðè n ��, ãäå N — îäíà èç óêàçàííûõ âûøå íîðì. Ôàêòè÷åñêè (10) îïèñûâàåò ñòàöèî- íàðíóþ êîíå÷íîìåðíóþ äèíàìè÷åñêóþ ñèñòåìó, ýëåìåíòû ïåðåäàòî÷íîé ìàò- ðèöû êîòîðîé ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå äðîáè. Êàæäîå ñëàãàåìîå â (10) è àíàëîãè÷íîå â (11) ñâÿçàíî ñ îáîáùåííîé ñòåïåíüþ ñâîáî- äû èëè ìîäîé ñèñòåìû. Âûðàæåíèÿ (10) è (11) ýêâèâàëåíòíû ïðåäñòàâëåíèþ 102 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 H t C e B G s C s I A Bn n A t n n n n n n( ) , ( ) ( )� � 1 , (12) ãäå ìàòðèöû A Bn n, è Cn îïðåäåëÿþò êîíå÷íîìåðíóþ ñèñòåìó â ïðîñòðàíñòâå ñîcòîÿíèé, ò.å. dx dt A x B u y C xn n n� � �, . (13) Ðàçìåðíîñòè âåêòîðîâ y è u â (13) ðàâíû M è R ñîîòâåòñòâåííî. Â [6] ïðåä- ëîæåíî èñïîëüçîâàòü òðîéêó îïåðàòîðîâ ( , ( ), )C T t B , ãäå T t( ) åñòü C0-ïîëóãðóï- ïà â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå ñ èíôèíèòåçèìàëüíûì ãåíåðàòîðîì À äëÿ ïðåä- ñòàâëåíèÿ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå îïåðàòîðà Ãàíêåëÿ Ã, ñîîòâåòñòâóþùåãî ïåðåõîäíîé ìàòðèöå H t( ) ÿäåðíîãî òèïà. Òîãäà èíôèíèòåçèìàëüíûé ãåíåðàòîð À è îïåðàòîðû Ñ Â, â óïîðÿäî÷åííîé ôîðìå ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà Ã è íîðìàëèçîâàííûå ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îïåðàòîðîâ � �* è �� * (� * — ñîïðÿæåííûé îïåðàòîð) òàê, ÷òî îíè áóäóò äàâàòü íîðìàëüíóþ âûõîäíóþ ðåàëè- çàöèþ ëèíåéíûõ îïåðàòîðîâ ( , , )C A B , ñîîòâåòñòâóþùèõ áåñêîíå÷íîìåðíîé ëè- íåéíîé ñèñòåìå. Íîðìàëüíàÿ âûõîäíàÿ ðåàëèçàöèÿ [6] ïðåäñòàâëÿåò âèäîèçìå- íåííóþ áàëàíñíóþ ðåàëèçàöèþ, ðàññìàòðèâàåìóþ â òåîðèè ðåàëèçàöèé [10] è èñ- ïîëüçóåìóþ ïðè àïïðîêñèìàöèè êîíå÷íîìåðíûõ ñèñòåì. Óñå÷åííàÿ ñèñòåìà ( , , )C A Bn n n ïðè òàêîé ðåàëèçàöèè ñîâïàäàåò ñ (11), íî íàõîæäåíèå óðàâíåíèé ñâÿçè ýëåìåíòîâ ìàòðèö A Cn n, è Bn ñ ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè � i è êîýôôèöèåíòàìè gmi r( ) ÿâëÿåòñÿ íåòðèâèàëüíîé çàäà÷åé. Â íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîì ñëó÷àå, êîãäà H t( ) — ìàòðèöà ñ äåéñòâèòåëü- íûìè ýëåìåíòàìè, (11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ðàçëîæåíèÿ H t g e g emr n i n mi r i t mi r i t i i( ) ( ( ) ( )( ) ( )� � � � 1 Re Re� �� (14) ñ ó÷åòîì, ÷òî G s G s( ) ( )� . Àíàëîãè÷íî çàïèñûâàåòñÿ âûðàæåíèå äëÿ G smr n ( ). Ñâÿçü ìåæäó ìîäåëÿìè (13) è (11) èëè (14) ñ ó÷åòîì (12) ñòàíîâèòñÿ äîñòà- òî÷íî ïðîñòîé, åñëè âìåñòî áàëàíñíîé èëè íîðìàëüíîé âûõîäíîé ðåàëèçàöèè âçÿòü æîðäàíîâó ôîðìó ðåàëèçàöèè [11]. Â òàêîì ñëó÷àå ìàòðèöà An êîíå÷íî- ìåðíîé àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè ïðèíèìàåò âèä � �A S S Sn P� diag 1 2, , ,� , ãäå äèàãîíàëüíûé áëîê S p p p p p � � � � � � � , à � p p pj� � . Ìàòðèöû Cn è Bn òîæå ïðåäñòàâèì â áëî÷íîì âèäå C C C Cn P� [ , , , ]1 2 � è B B B Bn T T T P T� [ , , , ] 1 2 � , ãäå C c c c c c c B b p T p c p c Mp c p s p s Mp s p p c � �� 1 2 1 2 1 , b b b b b p c pR c p s p s pR s 2 1 2 �� . Ïðèâåäåì òîãäà (14) ê âèäó H t g t g t emr n p P mp r p mp r p tp( ) ( )( ) ( )� � � � 1 1 2cos sin , (15) ãäå g c b c b g c b c bmp r mp c pr c mp s pr s mp r mp s pr c mp c pr ( ) ( ),1 2� � � s . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 103 Êðîìå òîãî, óäîáíî âûáðàòü ëèáî íàáëþäàåìóþ íîðìàëüíóþ æîðäàíîâó ðå- àëèçàöèþ, ïðåäñòàâèâ äëÿ êàæäîé ìàòðèöû C p T îäèí èç ñòîëáöîâ â âèäå c c i Mip c ip s� � �0 1 1, , , , ëèáî óïðàâëÿåìóþ íîðìàëüíóþ æîðäàíîâó ðåàëèçàöèþ, ïîëîæèâ b b i Rpi c pi s� � �0 1 1, , , , â êàæäîì áëîêå B p . Â ïåðâîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ ñâÿçè êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ (15) ñ ýëåìåíòàìè ìàòðèö C p è B p èìåþò âèä b g b g r R p Ppr c ip r pr s ip r� � � �( ) ( ) , ( , , , ),2 1 1 1 (16) c R g g g c R g mp c r R mp r mp r rp r mp s r R � � � � � �1 2 1 21 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) , mp r mp r ip r g g ( ) ( ) ( ) 1 2 2 � ( , , , , ),m M p P m i� � 1 1 à âî âòîðîì — c g c g m M p P p imp c mi r mp s mi r� � � � ( ) ( ) , ( , , , , ),1 2 1 1 b M g g g g g pr c m M mp r mi r mp r mi r mi r � � �� 1 1 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g b M g g g g mi r pr s m M mp r mi r mp r mi r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 2 1 2 2 1 1 1 � � � g gmi r mi r( ) ( )1 2 2 2 � . (17) Åñëè ñèñòåìà èìååò îäèí âõîä è ìíîãî âûõîäîâ, òî öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü íàáëþäàåìóþ æîðäàíîâó ôîðìó ðåàëèçàöèè, à ïðè îäíîì âûõîäå è ìíîãèõ âõîäàõ — óïðàâëÿåìóþ íîðìàëüíóþ æîðäàíîâó ðåàëèçàöèþ. Â ýòèõ ñëó÷àÿõ èìååòñÿ îäíîçíà÷- íàÿ ñâÿçü ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ðàçëîæåíèÿ è ýëåìåíòàìè ìàòðèö ìîäåëè â ïðî- ñòðàíñòâå ñîñòîÿíèé. Â îáùåì ñëó÷àå â ñèñòåìàõ ñî ìíîãèìè âõîäàìè è âûõîäàìè èìååì ïåðåîïðåäåëåííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñâÿçè è ïîýòîìó ðåøåíèÿ (16) è (17) áûëè âû÷èñëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ÌÍÊ, êîòîðûé äëÿ îïðåäåëåííîé ãðóïïû êîýô- ôèöèåíòîâ ïðèâåë ê ïðîöåäóðå óñðåäíåíèÿ. Êðîìå òîãî, ÷èñòî äåéñòâèòåëüíûå ñî- áñòâåííûå çíà÷åíèÿ â ðàçëîæåíèè (15) ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì, êîòîðûé ïîëó÷àåò- ñÿ ïðè p mp s pr sc b� � �0 0, , ò.å. g tmr r p ( ) ,2 0 1 cos . Ïîýòîìó ðàçìåðíîñòü ìîäåëè èëè ÷èñëî åå ñòåïåíåé ñâîáîäû ðàâíî n P P� �2 1 2 , ãäå P1 — ÷èñëî ñëàãàåìûõ â (15), ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïëåêñíûì, à P2 — äåéñòâèòåëüíûì ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì. Òàêèì îáðàçîì, (15) — àïïðîêñèìèðóþùàÿ ñòðóêòóðà ýëåìåíòîâ èìïó- ëüñíîé ïåðåõîäíîé ìàòðèöû, ïðåäñòàâëåííîé êàê ðàçëîæåíèå H tmr n ( ) ïî íåçàâè- ñèìûì áàçèñíûì ôóíêöèÿì, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè ðåøåíèÿìè ýêâèâàëåíòíîé ëèíåéíîé ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. Ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà âûðàæåíèÿ (15) [ ( )]( )LH t smr n äàåò äðîáíî-ðàöèîííóþ ïåðåäàòî÷íóþ ôóíêöèþ, ïðåäñòàâëåííóþ â âèäå ðàçëîæåíèÿ íà ýëåìåíòàðíûå äðîáè è èìåþùóþ n ïîëþñîâ s j p Pp p� � � , ,1 , â ëåâîé ïîëóïëîñêîñòè. 3. ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈß ÐÀÇËÎÆÅÍÈÅÌ ÏÎ ÎÐÒÎÍÎÐÌÈÐÎÂÀÍÍÎÌÓ ÁÀÇÈÑÓ Ïóñòü S n — ìíîæåñòâî âñåõ ðàöèîíàëüíûõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ñ ìàêñè- ìàëüíûì ÷èñëîì ïîëþñîâ n, ò.å. ñèñòåì, ìàêñèìàëüíàÿ ñòåïåíü êîòîðûõ íå ïðåâûøàåò n. È ïóñòü S S n n� ! �0 — ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå âñåõ êîíå÷íîìåð- íûõ óñòîé÷èâûõ ñèñòåì. Òîãäà ñîãëàñíî òåîðåìå çàìûêàíèÿ êîíå÷íîìåðíûå ñèñòåìû îáðàçóþò â S ïëîòíîå ìíîæåñòâî â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîñòðàíñòâàõ. Ïîýòîìó çàäà÷ó íàõîæäåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè ñèñ- 104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 òåìû ìîæíî ðåøèòü, ïðåäñòàâëÿÿ èìïóëüñíûå ïåðåõîäíûå ôóíêöèè èëè ñîîò- âåòñòâóþùèå èì ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî îðòîíîðìèðî- âàííûì áàçèñíûì ôóíêöèÿì { }� k t( ) èëè { }L t sk� ( ) ( ). Êàæäàÿ èç íèõ, êàê ïðàâèëî, ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðîé êîíå÷íîìåðíîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìå èëè ðåàëüíîé ðàöèîíàëüíîé ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè èç ìíîæåñòâà S , ò.å. { }L s S kk� ( ) , , ...� �1 2 Òîãäà äëÿ ýëåìåíòîâ èìïóëüñíîé ïåðåõîäíîé ìàòðèöû è ñîîòâåòñòâóþùèõ ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ñõîäÿùååñÿ ðàçëîæåíèå H t h f G s g L smr k mk r k mr k mk r k( ) ( ), ( ) [ ]( )( ) ( )� � � � � � � � 1 1 � � . (18) Îðòîíîðìèðîâàíîñòü áàçèñíûõ ôóíêöèé îçíà÷àåò, ÷òî 1 2 1 0� � � � � � � � � " # $ [ ]( )[ ]( ) ( ), ( ). Lf j Lf j d k k k l l l Àïïðîêñèìèðóþùàÿ ìîäåëü â òàêîì ñëó÷àå ïðèìåò âèä H t h t G s g Lmr n k n mk r k mr k n mk r k( ) ( ), ( ) [ [ ]]( ) ( )� � � � � � 1 1 � � . (19) Â êà÷åñòâå áàçèñíûõ îðòîíîðìèðîâàííûõ ôóíêöèé äëÿ óñòîé÷èâûõ ñèñòåì ÿäåðíîãî òèïà îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ îðòîãîíàëüíûå ìíîãî÷ëåíû (ýêñïîíåíöèà- ëû). Íàèáîëåå óïîòðåáèòåëüíûìè ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûå ôóíêöèè Ëàãåððà [13–15] äëÿ õîðîøî çàòóõàþùèõ ñèñòåì è äâóõïàðàìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè Êàóòöà [15], êîòîðûå ëó÷øå ïîäõîäÿò äëÿ ñèñòåì ñ ðàññåÿííûìè ïîëþñàìè. Áîëåå óíè- âåðñàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûå îðòîãîíàëüíûå áàçèñíûå ôóíêöèè, ïðåäëîæåííûå Õåóáåðãåðîì [16]. Èñõîäÿ èç (6), êîýôôèöèåíòû h mk r( ) ìîæíî íàéòè èç óðàâíåíèé y t F h i N m M r Rm r i k n rik mk r( ) ( )( ) , , , , , ,� � � � � � 1 1 1 1 , (20) ãäå F t u drik t t k i r i � � 0 � � � �( ) ( ) , à â ñëó÷àå, êîãäà â êà÷åñòâå âõîäíîãî âîçäå- éñòâèÿ áåðåòñÿ èäåàëüíûé èìïóëüñ â âèäå äåëüòà-ôóíêöèè u tr � � �( )0 , èìå- åì F t trik k i� � ( )0 . Öåëåñîîáðàçíî N âûáèðàòü òàê, ÷òîáû (20) äàâàëî ïåðå- îïðåäåëåííóþ ñèñòåìó è íàõîäèòü îöåíêó � ( )h mk r ñ èñïîëüçîâàíèåì ÌÍÊ. Êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ g mk r( ) ïåðåäàòî÷íûõ ôóíêöèé ìîæíî âû÷èñëèòü, èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàííûå ïî Ôóðüå âõîäû U j e u t dtr j t r( ) ( )� �� 0 è âûõîäû Y j e y t dtm r j t m r( ) ( )( ) ( )� �� 0 . Òîãäà îöåíêó ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèè � ( )G jmr � íà îñè íàõîäèì èç îòíîøåíèÿ � ( ) ( ) ( ) ( ) G j Y j Ur j mr m r � � � � . (21) Ôóíêöèÿ �Gmr áóäåò õîðîøî îïðåäåëåííîé ïðè ëþáûõ �, åñëè U jm ( )� 0. Çà- ìåòèì, ÷òî Y jm r( ) ( )� è Ur j( )� ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå, ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ íà áåñêî- íå÷íîñòè è íå ìîãóò ñîãëàñíî [12] èìåòü îãðàíè÷åííûé äèàïàçîí îïðåäåëåíèÿ. Âûá- ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 105 ðàâ u t U tr r( ) ( )� 0 � , áóäåì èìåòü � ( ) ( ) \( )G j Y j Umr m r r� �� 0 . Ïîñëå âû÷èñëåíèÿ � ( )G jmr � è [ ]( ), ;Lf j k nk � �1 , íàõîæäåíèå êîýôôèöèåí- òîâ ðàçëîæåíèÿ g mk r( ) â (19) ñâîäèòñÿ ê êëàññè÷åñêîé çàäà÷å àïïðîêñèìàöèè ôóíê- öèè � ( )G jmr � êîíå÷íûì ðÿäîì, êîòîðàÿ òàêæå ðåøàåòñÿ ÌÍÊ. Äëÿ òî÷íûõ èñ- õîäíûõ äàííûõ è âûñîêîòî÷íûõ âû÷èñëåíèé êàê â ïåðâîé, òàê è âî âòîðîé çàäà- ÷àõ ìîæíî ïîëó÷èòü àïïðîêñèìèðóþùóþ ìîäåëü ñ ëþáîé ïîãðåøíîñòüþ, îöåíèâàåìîé ïî îäíîé èç óêàçíûõ íîðì. Êîãäà æå èñõîäíûå äàííûå èçâåñòíû íåòî÷íî (â óñëîâèÿõ íåïîëíîòû èíôîðìàöèè îá îáúåêòå è ïðè èçìåðåíèÿõ è âû- ÷èñëåíèÿõ), âîçíèêàþò ïðîáëåìû, ïðèíöèïèàëüíî âëèÿþùèå íà ïîäõîä ê ðåøå- íèþ çàäà÷è ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè. Ïðåæäå âñåãî, íåëüçÿ ãàðàí- òèðîâàòü ñõîäèìîñòü àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè ê òî÷íîé ïðè n ��, è çàäà÷à åå íàõîæäåíèÿ ñòàíîâèòñÿ íåêîððåêòíî ïîñòàâëåííîé. Ìîæåò áûòü íàéäåíà òîëüêî ïðèáëèæåííàÿ ìîäåëü, ïîãðåøíîñòü êîòîðîé â ëó÷øåì ñëó÷àå ñîãëàñóåòñÿ ñ ìåðîé íåîïðåäåëåííîñòè. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóåò îïòèìàëüíàÿ ñëîæíîñòü àïïðîêñèìàöèè, ïðè êîòîðîé íåâÿçêà \| \| \| \|G Gmr mr n N áóäåò íàèìåíüøåé. Çäåñü N , êàê îáû÷íî, åñòü îäíà èç íîðì: L H L1 2, ,� èëè ãàíêåëåâà. Åñëè ïåðåäàòî÷íûå ôóíêöèè ñèñòå- ìû ïðåäñòàâèòü â âèäå G s G smr mr( ) ( )� % , òî âîçìóùåíèå %Gmr ìîæíî ðàññìàò- ðèâàòü êàê êîìïëåêñíîå âëèÿíèå âñåõ îøèáîê. Êîãäà G smr ( ) è %G smr ( ) ïðåäñòàâëÿþò óñòîé÷èâûå ñèñòåìû, àïððîêñèìàöèîííûå ÷èñëà e G G Gn N n N( ) \| \| \| \|� ñèñòåìû G s( ) ñîãëàñíî [17, 9] óäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùèì íåðàâåíñòâàì: e G G e G e Gn p N mr mr n N mr p N mr� � � �( ) ( ) ( ),% % e G G e G e Gnp j N mr mr k p j N mr p N mr� � �� ( ) ( ) ( ). ( ) % % 1 (22) Òîãäà åñëè e Gn N mr( ) äîñòàòî÷íî áûñòðî óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì n, íà÷èíàÿ ñ n �1, à e Gn mr( )% íå î÷åíü áûñòðî óâåëè÷èâàåòñÿ äëÿ òåõ æå n, òî îáû÷íî ñóùåñòâóåò òàêàÿ îïòèìàëüíàÿ ðàçìåðíîñòü n* ðàöèîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèè, ÷òî e G G e G n N mr mr N mr* ( ) ( )� &% % 0 . Àïïðîêñèìàöèîííóþ ðàçìåðíîñòü n* ìîæíî ñ÷è- òàòü íàèëó÷øåé ïðèáëèæåííîé ìîäåëüþ ðåàëüíîé ñèñòåìû Gmr , ïîñêîëüêó îíà îïè- ñûâàåò ãëàâíûì îáðàçîì äèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè ñàìîé ñèñòåìû, à íå åå âîçìó- ùåíèé. Äðóãèìè ñëîâàìè, íà îöåíêó î÷åíü ãðóáîé ìîäåëè (n ìàëî) âîçìóùåíèÿ íå îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîãî âëèÿíèÿ, à ñ ðîñòîì n, õîòÿ òî÷íîñòü àïïðîêñèìàöèè óëó÷- øàåòñÿ, íî ðàñòåò âëèÿíèå âîçìóùåíèé íà îöåíêó ïàðàìåòðîâ ìîäåëè è ïðè íåêîòî- ðîì n* ïîãðåøíîñòè óðàâíîâåøèâàþòñÿ. Ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ÷òî n* è e G G n N mr mr* ( )� % ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò âûáî- ðà áàçèñíûõ ôóíêöèé. Â ðàáîòå [16] ïîêàçàíî, ÷òî åñëè äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà, ãåíåðè- ðóþùàÿ áàçèñ, è ñèñòåìà, êîòîðàÿ ìîäåëèðóåòñÿ, èìåþò ïî äèíàìèêå áëèçêèå õàðàêòå- ðèñòèêè, òî ðÿäû (18) áûñòðî ñõîäÿòñÿ è õîðîøóþ àïïðîêñèìàöèþ ìîæíî ïîëó÷èòü äàæå ïðè ìàëûõ n. Îäíàêî ïðè áîëüøèõ ðàçëè÷èÿõ â äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ñèñòåìû è âðåìåííû �õ õàðàêòåðèñòèêàõ áàçèñíûõ ôóíêöèé ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ÷ëåíîâ ðÿäà n, ÷òîáû ðåçóëüòèðóþùàÿ ìîäåëü îòðàæàëà âñþ ñóùåñòâåííóþ äèíàìèêó ñèñòåìû. Ïóñòü � n — ëèíåéíîå ìíîãîîáðàçèå, îáðàçîâàííîå áàçèñíûìè ýëåìåíòàìè { }L k nk� , ,�1 , ò.å. � �n k n kL� �0 � . (23) Òîãäà îïðåäåëèì âåëè÷èíû 106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 E G G r G n N r S n N Nn n ( ) \| \| \| \| \| \| \| \| � � inf è e G G G n N n N Nn n ( ) \| \| \| \| \| \| \| \| � � inf � � � , â êîòîðûõ N îçíà÷àåò îäíó èç ðàññìîòðåííûõ âûøå íîðì. Ïîíÿòíî, ÷òî e G E Gn N n N( ) ( )� . Îïðåäåëèì -ðàçìåðíîñòè n EN ( , ) è n eN ( , ) ïî îòíîøåíèþ ê íîðìå \| \| \| \|� N äëÿ G êàê � �n E n E GN N n n N( , ) min : ( ) , � � �0 � �n e n e GN N n n N( , ) min : ( ) . � � �0 Ïðè ýòîì íå èñêëþ÷àåòñÿ, ÷òî nN (., ) � �. Äëÿ äîñòàòî÷íî ìàëûõ ìîæåò îêà- çàòüñÿ, ÷òî n n eN N* ( , )� , ò.å. ïîñòðîèòü ïðèáëèæåííóþ ìîäåëü ñ -ïîãðåøíîñ- òüþ â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî áàçèñíûì ôóíêöèÿì { }L kk� , ,�1 2� íåëüçÿ. Òîãäà ñóùåñòâóåò * , äëÿ êîòîðîãî n n eN N* ( , )' . Ýòî îïðåäåëÿåò ìîäåëü íàèìåíü- øåé ïîãðåøíîñòè, êîòîðóþ ìîæíî ïîñòðîèòü â ðàìêàõ âûáðàííîãî ìåòîäà àï- ïðîêñèìàöèè. Èç ýòîãî çàêëþ÷àåì, ÷òî îïòèìàëüíàÿ ðàöèîíàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ (10)–(12) â îáùåì ñëó÷àå äîëæíà äàâàòü ëó÷øèé ðåçóëüòàò, ÷åì îïòèìàëüíàÿ àï- ïðîêñèìàöèÿ êîíå÷íûì ðÿäîì ñ ðàçëîæåíèåì ïî îðòîíîðìèðîâàííîìó áàçèñó. Îäíàêî íàõîæäåíèå îïòèìàëüíîãî ðåøåíèÿ ðàöèîíàëüíîé àïïðîêñèìàöèè ÿâëÿåò- ñÿ áîëåå ñëîæíîé çàäà÷åé. Â äàííîé ðàáîòå ïðåäëàãàåòñÿ îðèãèíàëüíûé ïîäõîä ê íàõîæäåíèþ îïòèìàëüíîé ðàöèîíàëüíîé ïðèáëèæåííîé ìîäåëè íà îñíîâå (15). 4. ÌÅÒÎÄ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÉ ÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÎÉ ÀÏÏÐÎÊÑÈÌÀÖÈÈ ×ÅÐÅÇ ÈÒÅÐÀÒÈÂÍÓÞ ÈÄÅÍÒÈÔÈÊÀÖÈÞ Â âûðàæåíèè (15) èìïóëüñíûå ïåðåõîäíûå ôóíêöèè ïðåäñòàâëåíû â âèäå ðàç- ëîæåíèÿ ïî ñèñòåìå íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, ÿâëÿþùèõñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè ðåøåíèÿìè ñèñòåìû (13). Ïðè ýòîì íåèçâåñòíû íå òîëüêî êîýôôèöèåíòû ðàç- ëîæåíèÿ gmp r( )1 è gmp r( )2 , íî è ïàðàìåòðû p è p ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðè- öû An . Åñëè áû ýòè ïàðàìåòðû áûëè èçâåñòíû, òî çàäà÷à îïòèìàëüíîé ðàöèî- íàëüíîé àïïðîêñèìàöèè áûëà áû àíàëîãè÷íà ñëó÷àþ îðòîíîðìèðîâàííîãî áà- çèñà. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåòñÿ ñíà÷àëà îöåíèâàòü � p è � p , à çàòåì íàõîäèòü îïòèìàëüíûå ïðèáëèæåíèÿ � ( )gmp r1 è � ( )gmp r2 . Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ïîäõîäàìè è ìåòîäàìè, êîòîðûå ïðèìåíÿþòñÿ ïðè èäåíòèôèêàöèè ñèñòåì. Âñå îíè ñâî- äÿòñÿ ê òîìó, ÷òî íà âõîäû èññëåäóåìîãî îáúåêòà ïîäàþòñÿ âîçáóæäàþùèå âîçäåéñòâèÿ è èçìåðÿåòñÿ âûõîäíàÿ ðåàêöèÿ íà íèõ. Ïî ýòèì ïîëó÷åííûì â ýêñïåðèìåíòàõ äàííûì çàòåì âîññòàíàâëèâàþòñÿ óêàçàííûå íåèçâåñòíûå ïàðà- ìåòðû. Åñëè çàäàíà êðàåâàÿ çàäà÷à, ðàññìàòðèâàåìàÿ â ìàòôèçèêå, è åñòü íåîá- õîäèìîñòü ïîñòðîèòü äëÿ íåå óïðîùåííóþ àïïðîêñèìèðóþùóþ ìîäåëü ñ êî- íå÷íûì ÷èñëîì âõîäîâ è âûõîäîâ, òî íåîáõîäèìûå äëÿ ýòîãî äàííûå ñëåäóåò ïîëó÷èòü èç ñîîòâåòñòâóþùèõ âû÷èñëèòåëüíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. Äàëüíåéøåå ðåøåíèå çàäà÷ èäåíòèôèêàöèè íè÷åì íå îòëè÷àåòñÿ êàê äëÿ ðåàëüíîãî, òàê è âèðòóàëüíîãî îáúåêòîâ. Â êà÷åñòâå âõîäíûõ âîçäåéñòâèé ìîãóò áûòü ðàçëè÷íûå ñèãíàëû, íî âàæíî, ÷òîáû îíè áûëè èíôîðìàòèâíû è äàâàëè îòêëèê âñåõ ñóùåñòâåííûõ ìîä ñèñòåìû. ×òîáû óñòàíîâèòü óñëîâèÿ èíôîðìàòèâíîñòè, ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âîçäåéñòâèå u t u t u tr j J rj s j rj c j( ) ( )( ) ( )� � � � 1 sin cos� � , (24) ïîäàâàåìîå íà êàæäûé îòäåëüíûé âõîä. Òîãäà îòêëèê íà m-ì âûõîäå áóäåò ðàâåí ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 107 y t d t d t em r p P mp r p mp r p tp( ) ( ) ( ) ( ) ( )� � � � 1 1 2sin cos � � � j J mj r j mj r jd t d t 1 3 4( ) ( ) ( ) sin cos� � , (25) ãäå ( )d g u ump r mp r j J rj s rj c( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )1 1 1 1 2 3 4 2 � � � � � % % % % ( ) � � � g u u mp r j J rj s rj c ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 3 4 1 2% % % % , ( )d g u ump r mp r j J rj s rj c( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2 1 2 1 3 4 1 2� � � � � % % % % ( )� � � � � g u u mp r j J rj s rj c ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2 2 1 1 2 3 4% % % % , d u g g mj r rj s p P mp r mp r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 1 2 1 1 2 3 4 2 2 � � � � � % % % % � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �u g g rj c p P mp r mp r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3 4 1 2 1 2 2 2 % % % % � (26) d u g g mj r rj s p P mp r mp r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 1 2 1 3 4 1 2 2 2 � � � � % % % % � � � � � � � � � � � � � � � � � � �u g g rj c p P mp r mp r ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 3 4 1 2 2 2 % % % % � %1 2 2 � � � p p p j( ) , % 2 2 2 � � � � p p p j( ) , % 3 2 2 � � � � p j p p j( ) , % 4 2 2 � � � � � � p j p p j( ) . Ñ ïîìîùüþ (24) ìîæíî ôîðìèðîâàòü ñàìûå ðàçíîîáðàçíûå âõîäíûå âîçäå- éñòâèÿ. Â âûðàæåíèèè (25) âûõîäíûå ñèãíàëû ïðåäñòàâëåíû ðàçëîæåíèåì ïî ñèñòåìå íåçàâèñèìûõ ôóíêöèé, ñîñòîÿùèõ èç ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé (ïåðâûå ñëà- ãàåìûå), õàðàêòåðèçóþùèõ ïåðåõîäíûé ïðîöåññ, è ôóíêöèé, îïðåäåëÿþùèõ óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ, âûçâàííûå (24). Òîãäà ðàöèîíàëüíóþ àïïðîêñèìà- öèþ ìîæíî îñóùåñòâèòü ñëåäóþùèì àëãîðèòìîì. Ñíà÷àëà íàéòè îïòèìàëüíóþ àïïðîêñèìàöèþ ýêñïåðèìåíòàëüíîé ôóíêöèè y tm r( ) ( ) êîíå÷íûì ðÿäîì (25), ïîëó- ÷èòü îöåíêó ïàðàìåòðîâ � p è � p è êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ � ( ) dmp r1 , � ( ) dmp r2 , � ( ) dmp r3 , 108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 � ( ) dmp r4 ( , , , ).p P j J� �1 1 Çàòåì èç (26) íàéòè îöåíêó � ( ) gmp r1 , � ( ) gmp r2 è, íàêîíåö, èç (16) èëè (17) îïðåäåëèòü ìîäåëü (13) â æîðäàíîâîé ðåàëèçàöèè. Ïðè îïòèìàëüíîé àïïðîêñèìàöèè, îäíàêî, öåëåñîîáðàçíî âûäåëÿòü èç (25) îòäåëüíî âûíóæäåííîå äâèæåíèå è ïåðåõîäíûé ïðîöåññ. ×òîáû âûäåëèòü, íà- ïðèìåð, óñòàíîâèâøèéñÿ ðåæèì äëÿ óñòîé÷èâûõ ñèñòåì, äîñòàòî÷íî â êà÷åñòâå èñõîäíûõ äàííûõ áðàòü ôóíêöèþ y tm r( ) ( ) ïðè t T�� , ãäå T îïðåäåëÿåò õàðàêòåð- íîå âðåìÿ ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Íàéòè îïòèìàëüíóþ àïïðîêñèìàöèþ ýòîé ôóíêöèè ïðè t T�� óñå÷åííûì ðÿäîì j J mj r j mj r jd t d t � � � 1 3 4( ) ( ) ( ) sin cos� � , à çàòåì èñïîëüçîâàòü ìåòîä ÷àñòîòíîé èäåíòèôèêàöèè, îïèñàííûé â [18, 19] äëÿ îïðåäå- ëåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè. Ìîæíî ïðèìåíèòü äðóãîé ïîäõîä: îïðåäå- ëèòü dmj r( )3 è dmj r( )4 îïòèìàëüíîé àïïðîêñèìàöèåé êîíå÷íûì ðÿäîì èëè ïîñëåäîâà- òåëüíûì èíòåãðèðîâàíèåì íà ñêîëüçÿùèõ èíòåðâàëàõ t t j , .� � � � � � � 2� � Âûäåëèòü òà- êèì îáðàçîì ñèãíàë òîëüêî îäíîé ãàðìîíèêè (ïîäðîáíîñòè ñìîòðè â [20]) è íàéòè ñîãëàñíî [18] ñîîòâåòñòâóþùóþ åé ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó. Âûäåëÿÿ ïî î÷åðåäè ñèãíàëû âñåõ ÷àñòîò � j , j J�1, , îïðåäåëèòü âñå êîýôôèöèåíòû dmj r( )3 è dmj r( )4 . Çíàÿ èõ, íàéòè èç (26) çíà÷åíèÿ p P mp r mp r g g � � � � � � � � � � � �1 1 2 3 4 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )% % % % è p P mp r mp r g g � � � � � � � � � � �1 3 4 1 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( )% % % % . Òàêàÿ çàäà÷à ðàçðåøèìà, ïîñêîëüêó äåòåðìèíàíò ñîîòâåòñòâóþùåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé âòîðîãî ïîðÿäêà ðàâåí ( ) ( )( ) ( )u urj s rj c2 2� . Â ðåçóëüòàòå ïîëó- ÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ gmp r( )1 , gmp r( )2 , p è p . Ðåøåíèå ýòèõ óðàâíåíèé ñîãëàñíî óñëîâèÿì ðåàëèçóåìîñòè ìåòîäà ÷àñòîòíîé èäåíòèôèêàöèè [21] ñóùåñòâóåò ïðè J P� . Îäíàêî èäåíòèôèêàöèÿ ïî âûíóæäåííîìó äâèæåíèþ íå ðåøàåò ïðîáëåìû âûáîðà ïîäõîäÿùåé ðàçìåðíîñòè àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäå- ëè. Ïîýòîìó ïðè èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè áîëåå ïåðñïåêòèâíûì ïðåäñòàâëÿ- åòñÿ âûäåëåíèå èç (25) ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Äëÿ ýòîãî ïðîèçâåäåì ìíîãîêðàò- íîå èíòåãðèðîâàíèå y tmp r( ) ( ) íà ñêîëüçÿùèõ èíòåðâàëàõ t t j , .� � � � � � � 2� � Â ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì íîâûé ñèãíàë ~ ( )( )y tmp r , ðàâíûé ~ ( )( )y t d d ym r t t J j J � � � � � � � 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 � � � � � � � � � � � � � m r j jd( ) ( )� � � � �� p P mp r p mp r p t d t d t e p 1 1 2 ~ ~( ) ( ) sin cos . (27) ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 109 Âûðàæåíèå êîýôôèöèåíòîâ ~ ( ) dmp r1 è ~ ( ) dmp r2 ÷åðåç dmp r( )1 , dmp r( )2 ïðèâîäèòü çäåñü íå áóäåì â ñèëó èõ ãðîìîçäêîñòè. Òîãäà, ïîëó÷èâ â ýêñïåðèìåíòàõ y tm r( ) ( ) è âû÷èñëèâ ~ ( )( )y tm r èç (27), ìîæíî íàéòè P, p , p , ~ ( ) dmp r1 , ~ ( ) dmp r2 . Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê ïðîöåäóðå îïðåäåëåíèÿ gmp r( )1 è gmp r( )2 èç (26). Îíè âû÷èñëÿþòñÿ èç (26) êîððåêòíî, åñëè äåòåðìèíàíò ( ) j J rj s rj cu u � � � � + , , - . / / � 1 1 2 3 4 2 ( ) ( )( ) ( )% % % % ( )� � * + , , - . / / � � j J rj s rj cu u 1 3 4 1 2 2 ( ) ( )( ) ( )% % % % íå ðàâåí íóëþ. Èìåííî îí îïðåäåëÿåò óñëîâèå èíôîðìàòèâíîñòè âõîäíîãî âîçäå- éñòâèÿ (24) äëÿ êàæäîé èç ìîä ñèñòåìû ïðè èäåíòèôèêàöèè ïî ïåðåõîäíîìó äâèæåíèþ. Êîãäà àïðèîðè p , p íåèçâåñòíû, òî îöåíèòü àìïëèòóäó dmp r( )1 è dmp r( )2 , ñ êîòîðîé âîçáóæäàþòñÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ìîäû, äëÿ îáùåãî ñëó÷àÿ çà- òðóäíèòåëüíî. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî îäèí è òîò æå âõîä äëÿ îäíîé ìîäû áóäåò äàâàòü ìàêñèìàëüíîå âîçáóæäåíèå, à äëÿ êàêîé-òî äðóãîé åå ñèãíàë ìîæåò îêà- çàòüñÿ íà óðîâíå âîçìóùåíèé. Ïîýòîìó ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü âõîäíûå âîç- äåéñòâèÿ, èíôîðìàòèâíîñòü êîòîðûõ ëåãêî àíàëèçèðóåòñÿ è êîòîðûå ñïîñîáíû âîçáóäèòü ìîäû â øèðîêîì äèàïàçîíå ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé. Òàêèì âõîäíûì âîçäåéñòâèåì ìîæåò áûòü ïðÿìîóãîëüíûé èìïóëüñ, ïðèëîæåííûé íà èíòåðâàëå [ , ]t t0 1 èíòåíñèâíîñòüþ ur0 íà r-ì âõîäå. Äëÿ èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñâîáîäíîå äâèæåíèå ïðè t t� 1, êîòîðîå èìååò âèä y t u e e t m r r p P t t t t p p p ( ) ( ) ( ) ( ) ( � � � �0 1 0 1 0 1 2 11 2 cos � * + , ,, - . / // 0 t p p 0 2 2 1 2 ) / � �0 � �g t t g t t emp r p mp r p p( ) ( ) ( [ ( ) ] [ ( )]1 2 1 1sin cos � � t t 1) , (28) ãäå � � � � � arcsin arcsin sinp p p t t pe t t e p 2 2 1 0 2 1 0 1 ( ) ( ) p pt t t t pe t t ( ) ( ) ( )1 0 1 02 1 0 cos , èëè ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðè t t� 0 è t1 � �, ïðèíèìàþùèé âûðàæåíèå y t u g em r r p P p p mp r t t p p( ) ( ) ( ) ( ) ( [ ](� � � �0 1 0 1 2 2 1 sin t t � " # $ 0 ) ] )� �sin � 1 2 3 g e t tmp r t t p p( ) ( ) ( [ ( ) ]2 0 0 � �cos cos , (29) ãäå � � � � � arcsin arccos p p p p p p 2 2 2 2 . 110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 Èç (28) è (29) âèäíî, ÷òî âîçáóæäåíèå ìîä ñïàäàåò îáðàòíî-ïðîïîðöèîíàëüíî p è p è íàèáîëåå èíôîðìàòèâíî ïðè ìàêñèìàëüíî äîïóñòèìîì ur0 . Äëÿ ìàëûõ p øèðèíó èìïóëüñà t t1 0 öåëåñîîáðàçíî óâåëè÷èâàòü. Êîðîòêèå èìïóëüñû ñíèæàþò èíôîðìàòèâíîñòü ìîä ñ ìàëûìè p . Êàæäîé ñèñòåìå íà ïëîñêîñòè ( p , p ) ìîæíî âûäåëèòü îáëàñòü (ñåêòîð), êîòîðàÿ âûäåëÿåò èíôîðìàòèâíûå ìîäû íà ôîíå ïîãðåøíîñòè èñõîäíûõ äàííûõ. Íàèáîëåå øèðîêîïîëîñíûì ÿâëÿ- åòñÿ èìïóëüñíîå âõîäíîå âîçäåéñòâèå â âèäå u t u t tr r( ) ( )� 0 0� , êîòîðîå äàåò îò- êëèê y t u g t t g tm r p P r mp r p mp r p ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (� � � � 1 00 1 2cos sin ( ) t e p t t 0 0) ( ) . (30) Ðàññìîòðèì òåïåðü îäíó èç âîçìîæíûõ èòåðàòèâíûõ ñõåì âîññòàíîâëåíèÿ ïàðàìåòðîâ àïïðîêñèìèðóþùåé ìîäåëè. Ïðåäëàãàåòñÿ ïî àíàëèòè÷åñêèì âûðà- æåíèÿì âûõîäîâ (28), (29) èëè (30) è ñîîòâåòñòâóþùèì èì ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì íàõîäèòü íå âñþ ìîäåëü ñðàçó, à âîññòàíàâëèâàòü åå ïî ÷àñòÿì, îïðåäå- ëÿÿ íà êàæäîé èòåðàöèè ïàðàìåòðû îäíîé èëè íåñêîëüêèõ ìîä, äàþùèõ íàèáîëü- øèé âêëàä â y tm r( ) ( ) íà èíôîðìàòèâíîì èíòåðâàëå [ , ]t T1 èëè [ , ]t T0 . Íà÷èíàòü íàäî ñ òåõ ìîä, êîòîðûå äàþò èíôîðìàòèâíûé ñèãíàë (îòíîøåíèå ñèãíàë/øóì áîëüøå åäèíèöû) â êîíöå èíòåðâàëà, ò.å. âáëèçè T . Î÷åâèäíî, ÷òî âáëèçè T âêëàä â y tm r( ) ( ) ïðåèìóùåñòâåííî áóäóò äàâàòü ìîäû ñ ñàìûìè ìàëûìè ïî âåëè÷èíå çíà÷åíèÿìè p , à ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê t1 èëè t0 áóäåò ðàñòè ÷èñëî ñóùåñòâåí- íûõ ìîä çà ñ÷åò áîëüøèõ ïî âåëè÷èíå p . Òàêèì îáðàçîì, â ïðàâîì êîíöå èíòåð- âàëà áóäåì èìåòü íåáîëüøîå ÷èñëî èíôîðìàòèâíûõ ìîä, à ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ê ëåâîìó êîíöó èõ ÷èñëî áóäåò ïîñëåäîâàòåëüíî ðàñòè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî è áó- äåò èñïîëüçîâàòüñÿ ïðè èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè. Â ðåçóëüòàòå ìîäåëü ìîæ- íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîâîêóïíîñòè ñóáìîäåëåé, êàæäàÿ èç êîòîðûõ áóäåò âîñ- ñòàíàâëèâàòüñÿ ïî îòäåëüíîñòè. Ñíà÷àëà ïî äàííûì ïåðâîãî ñóáèíòåðâàëà âáëè- çè T , èñïîëüçóÿ (28), (29) èëè (30), íàõîäèì âñå íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû, ñîîòâåòñòâóþùèå ïåðâîé ñóáìîäåëè. Çàòåì ïî òåì æå ôîðìóëàì âû÷èñëÿåì àíà- ëèòè÷åñêèé ñèãíàë y t m r 1 ( ) ( ), ñîîòâåòñòâóþùèé ïåðâîé ñóáìîäåëè, è âû÷èòàåì åãî èç y tm r( ) ( ), ïîëó÷åííîãî èç ýêñïåðèìåíòà. Íîâûé ñèãíàë y t y tm r m r( ) ( )( ) ( ) 1 áóäåò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ âòîðîé ñóáìîäåëè. Ó ýòîãî ñèãíàëà áóäåò ñâîé èíòåðâàë èíôîðìàòèâíîñòè [ , ]t T1 1 èëè [ , ]t T0 1 . Äàëåå ïîñòóïàåì àíà- ëîãè÷íî. Âáëèçè T1 âûáèðàåì ñóáèíòåðâàë äëÿ âòîðîé ñóáìîäåëè, ïî äàííûì êî- òîðîãî îöåíèâàþòñÿ åå íåèçâåñòíûå ïàðàìåòðû. Âû÷èòàÿ âû÷èñëåííûé ïî ñîîòâå- òñòâóþùèì ôîðìóëàì ñèãíàë y t m r 2 ( ) ( ) èç y t y tm r m r( ) ( )( ) ( ) 1 , ôîðìèðóåì íîâûå T2 è ñóáèíòåðâàë. Ïîñëå ÷åãî âû÷èñëÿþòñÿ ïàðàìåòðû î÷åðåäíîé, òðåòüåé ñóáìîäåëè. Òàêèå èòåðàöèè ïîâòîðÿþòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà ñèãíàë y t y t y tm r m r m r q ( ) ( ) ( )( ) ( ) ... ( ) 1 íå ñòàíåò íà óðîâíå øóìîâ. Òîãäà ñîâîêóïíîñòü âñåõ íàéäåííûõ ñóáìîäåëåé áóäåò äàâàòü æîðäàíîâó ðåàëèçàöèþ êîíå÷íîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè, ñîãëàñîâàííóþ ñ ïîãðåøíîñòüþ èñõîäíûõ äàííûõ. Âû÷èñëèòåëüíûå ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî íà î÷åðåäíîé èòåðàöèè âíîâü ìîæåò âîçíèêíóòü ñèãíàë óæå èäåíòèôèöèðîâàííîé ìîäû. Òîãäà ñëåäóåò âåðíóòüñÿ íàçàä íà èòåðàöèþ, ãäå âû÷èñëÿëèñü ïàðàìåòðû ýòîé ìîäû, ñêîððåêòèðîâàòü åå ïàðàìåòðû è ïðîäîëæèòü èòåðàöèè. Ïðè ïðÿìîóãîëüíîì èìïóëüñå, ñîîòâåòñòâóþùåì (28), åñëè èìååòñÿ âîçìîæíîñòü ìíîãîêðàòíîãî ïîâòîðåíèÿ ýêñïåðè- ìåíòîâ, öåëåñîîáðàçíî âàðüèðîâàòü t1 òàê, ÷òîáû óìåíüøàòü ñîãëàñíî (28) âêëàä óæå èäåíòèôèöèðîâàííûõ ìîä, äåëàÿ èõ ñèãíàë áîëåå ñëàáûì èëè äàæå íóëåâûì. ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 111 Îñòàíîâèìñÿ íà âîçìîæíûõ àëãîðèòìàõ îöåíèâàíèÿ ïàðàìåòðîâ îòäåëüíûõ ñóáìîäåëåé. Ïðåäëàãàåòñÿ ðàçäåëèòü èõ íà äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ýòàïà. Íà ïåð- âîì îïðåäåëÿòü âñå ïîäõîäÿùèå äëÿ ñóáìîäåëè p è p , à íà âòîðîì ñòàíäàð- òíûì ÌÍÊ íàõîäèòü ñîîòâåòñòâóþùèå êîýôôèöèåíòû ðàçëîæåíèÿ. Ïîñêîëüêó âòîðîé ýòàï ïðåäñòàâëÿåò õîðîøî èçâåñòíóþ çàäà÷ó, òî ïîäðîáíåå îïèøåì òîëü- êî ïåðâûé ýòàï. Â ðàáîòàõ [22–24] ðàññìîòðåíû ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê îöåíèâà- íèþ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ñîîòâåòñòâóþùèõ ñóáìîäåëè, îäèí èç êîòîðûõ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Èç ~ ( ) ( ) ( ) ... ( )( ) ( ) ( ) ( )y t y t y t y t m r m r m r m r q q � 1 , ãäå q � 0, ~ ( ) ( )( ) ( )y t y t m r m r 0 � , ôîðìèðóåì íîâûå ñèãíàëû âèäà y t y t dy t dtm r m r m r q q q 1 1( ) ( ) ( ) ( , ) ~ ( ) ~ ( ) � � � � , y t y t dy t dtm r m r m r q q q 2 2 1 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( , , ) ~ ( ) ~ ( ) � � � � � 2 2 2 d y t dt m r q ~ ( )( ) , (31) èëè y t y t y d m r m r t m r q q q3 0 ( ) ( ) ( )( , ) ~ ( ) ~ ( )� � � �� , y t y t y d m r m r t m r q q q4 2 0 2 2( ) ( ) ( )( , , ) ~ ( ) ~ ( ) ( � � � � � �� ) ( )~ ( ) 0 t m rt y d q � � � �, (32) â êîòîðûõ �, , — âàðüèðóåìûå ïàðàìåòðû. Äèôôåðåíöèàëüíûå íàñòðàèâàå- ìûå ôèëüòðû öåëåñîîáðàçíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ãëàäêèõ y tm r( ) ( ) (ïîãðåøíîñòü íèçêî÷àñòîòíàÿ), à èíòåãðàëüíûå — â ñëó÷àå çàøóìëåíèÿ ñèãíàëà y tm r( ) ( ) âûñîêî÷àñòîòíîé ïîìåõîé. Èç íîâûõ ñèãíàëîâ ñîñòàâëÿåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ~ ( , ), ,( )y t i N m r i qj � �" # $ 1 2 3 1 äëÿ j �1 3, è (èëè) ~ ( , , ), ,( )y t i N m r i qj �" # $ 1 2 3 1 äëÿ j � 2 4, . Òî÷êè { }t i Ni , ,�1 âûáèðàþò- ñÿ â ïðåäåëàõ ñóáèíòåðâàëà èäåíòèôèöèðóåìîé ñóáìîäåëè. Ôîðìèðóåì ãàíêåëåâû ìàòðèöû Y y t y t y t y m r m r m r m r m r qj qj qj qj qj ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) � ��1 2 � ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) t y t y t y t y m r m r m r m r qj qj qj qj 2 3 1�� ( ) ( ) , ( )t y t m r qj � � �� 1 1 � �� 1 1 4N j, , . (33) Âûïîëíèâ ñèíãóëÿðíîå ðàçëîæåíèå ìàòðèö Y m r qj ( ) , ïðèâîäèì èõ ê âèäó Y U V m r m r m r m r qj qj qj qj T( ) ( ) ( ) ( )� � . (34) Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ìàòðèö m r qj ( )� ïðè âàðüèðîâàíèè �, , . Â ðåçóëüòàòå ïðîèñõîäèò ïåðåñòðîéêà ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ñóáìîäåëè òàêèì îáðàçîì, ÷òî â ñëó÷àå äåéñòâèòåëüíîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà ïðè � � �p p( 0) 112 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 îäíî èç íèõ óõîäèò â íîëü, à ïðè � p è � p â íîëü îáðàùà- þòñÿ äâà ñèíãóëÿðíûõ ÷èñëà. Ýòî âèäíî èç ðèñ. 1 è 2, ãäå ïðèâåäå- íû ðåçóëüòàòû âû÷èñëèòåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà äëÿ ñèñòåìû ñ äå- éñòâèòåëüíûìè ñîáñòâåííûìè ÷èñëàìè � p p� � 01 0 2, ; , ; 0 4 0 8, ; , ïðè èñïîëüçîâàíèè äèô- ôåðåíöèàëüíîãî (ðèñ. 1) è èíòåã- ðàëüíîãî (ðèñ. 2) ïðåîáðàçîâà- íèé, ãäå êðèâûå 1, 2, 3, 4 ïîêàçû- âàþò ïîâåäåíèå ÷åòûðåõ ñèíãóëÿðíûõ ÷èñåë ìàòðèöû . ( ) m r qj � Ýôôåêòèâíîñòü àëãîðèòìà ñóùåñòâåííî ïîâûøàåòñÿ, åñëè àïðèîðè äëÿ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ñóáìîäåëè óäàåòñÿ ïîëó÷èòü õîòÿ áû ãðóáóþ îöåíêó èëè èí- òåðâàë ïðèíàäëåæíîñòè. Èíîã- äà ýòî ìîæíî ñäåëàòü ïî âèäó ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà íà ñóáèíòåðâàëå. Çàìå÷àíèå 1. Ïðè âàðüè- ðîâàíèè ïàðàìåòðîâ �, , ïå- ðåñòðàèâàþòñÿ íå òîëüêî ñèíãóëÿðíûå ÷èñëà èäåíòèôèöèðóåìîé ñóáìîäåëè, íî è ÷èñëà, ñîîòâåòñòâóþùèå ìîäàì ñî ñëàáûì îòêëèêîì èëè âîçìóùåíèÿì. Âî ìíî- ãèõ ñëó÷àÿõ, àíàëèçèðóÿ èìåííî èõ ïåðåñòðîéêó, ìîæíî òî÷íåå îöåíèòü ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Çàìå÷àíèå 2. Ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ñóáìîäåëåé, ïîëó÷àåìûå äëÿ ðàçíûõ m è r , ìîãóò ñîâïàäàòü, à ìîãóò è îòëè÷àòüñÿ. Â ñèëó ïëîõîé óïðàâëÿåìîñòè (ïî- ëíîé íåóïðàâëÿåìîñòè) èëè ïëîõîé íàáëþäàåìîñòè (ïîëíîé íåíàáëþäàåìîñòè) îïðåäåëåííûõ ìîä íà íåêîòîðûõ èç y tm r( ) ( ) îíè áóäóò äàâàòü íåèíôîðìàòèâíûé ñèãíàë. Ïîëíàÿ ìîäåëü ñîñòàâëÿåòñÿ èç âñåõ èäåíòèôèöèðîâàííûõ ìîä ïî âñåì M R0 âûõîäíûì ñèãíàëàì. ÇÀÊËÞ×ÅÍÈÅ Ìîæíî âûäåëèòü ñëåäóþùèå ïðåèìóùåñòâà ïðåäëàãàåìîãî èòåðàòèâíîãî ìåòî- äà ïîñòðîåíèÿ àïïðîêñèìèðóþùèõ ìîäåëåé ñëîæíûõ ñèñòåì. Ñåëåêòèâíûé ïîäáîð äàííûõ ïîä îòäåëüíûå ñóáìîäåëè â íåêîòîðîì ñìûñëå ïîäîáåí ïðîöå- äóðå îðòîãîíàëèçàöèè, êîòîðàÿ ðåàëèçóåòñÿ ñòàíäàðòíûì îáðàçîì ïðè èäåíòè- ôèêàöèè íà îñíîâå îðòîãîíàëüíûõ áàçèñíûõ ôóíêöèé [16]. Ïîýòîìó õîòÿ ìî- äåëü ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ðàçëîæåíèÿ ïî íåçàâèñèìûì, íî íå îáÿçàòåëüíî îðòîãîíàëüíûì ôóíêöèÿì, òåì íå ìåíåå è â ýòîì ñëó÷àå áëàãîäàðÿ ñåëåêòèâ- íîìó âûáîðó äàííûõ óäàåòñÿ ïðîâîäèòü èäåíòèôèêàöèþ ñèñòåìû ïî îòäåëü- íûì ÷àñòÿì. Êðîìå òîãî, êîãäà èäåíòèôèêàöèÿ ïðîâîäèòñÿ ïî âûäåëÿåìîìó ïåðåõîäíîìó ïðîöåññó (4SID ìåòîäû è äð.), ðåçóëüòàò ïðè íàëè÷èè ïîãðåø- íîñòè â èñõîäíûõ äàííûõ çàâèñåë îò äëèòåëüíîñòè èíòåðâàëà íàáëþäåíèÿ è ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 113 Ðèñ. 1 � � i Ðèñ. 2 � � i øàãà äèñêðåòèçàöèè [25]. Âîçìîæíî, ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ðàçíûå ìîäû èìå- þò ñâîé èíôîðìàòèâíûé èíòåðâàë, è êîãäà â àëãîðèòìàõ èäåíòèôèêàöèè èñ- ïîëüçóþòñÿ äàííûå çà åãî ïðåäåëàìè, êîòîðûå ñîäåðæàò â îñíîâíîì ïîãðåø- íîñòü, ïðåîáëàäàþùóþ íàä ïîëåçíûì ñèãíàëîì ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäû, òî ìàòðèöû, ñîñòàâëåííûå èç ýòèõ äàííûõ, ñòàíîâÿòñÿ ïëîõî îáóñëîâëåííûìè. Ïðîöåäóðà èõ îáðàùåíèÿ, êîòîðàÿ õàðàêòåðíà äëÿ áîëüøèíñòâà àëãîðèòìîâ èäåíòèôèêàöèè, áóäåò äàâàòü â òàêèõ ñëó÷àÿõ áîëüøóþ îøèáêó. Ïîýòîìó ïðè- õîäèòñÿ îãðàíè÷èâàòüñÿ ìàëûì ÷èñëîì ÷ëåíîâ ðàçëîæåíèÿ, ñîõðàíÿÿ òîëüêî ìîäû, äëÿ êîòîðûõ âûáðàííûå äàííûå èíôîðìàòèâíû ïî÷òè íà âñåì èíòåðâà- ëå. Ýòèì è îïðåäåëÿåòñÿ îïòèìàëüíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ, êîòîðàÿ åñòåñòâåííî çàâèñèò îò âûáðàííûõ äàííûõ. Ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ àïïðîêñèìèðóþùèõ ìîäåëåé ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè, îïèñàííûé â äàííîé ðàáîòå, äàåò àíàëîãè÷íûå ðàöèîíàëüíûå ìîäåëè, êîòîðûå ðàíåå áûëè ïîëó÷åíû â [26] äëÿ ýâîëþöèîíèðóþùèõ ñèñòåì íà îñíîâå ìåòîäà Ãàëåðêèíà. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. C å ð ã è å í ê î È . Â . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå ãðàíè÷íûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2007. — ¹ 4. — Ñ. 49–73. 2. C å ð ã è å í ê î È . Â . , Ä å é í å ê à Â . Ñ . Ðåøåíèå êîìáèíèðîâàííûõ îáðàòíûõ çàäà÷ äëÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ ìíîãîêîìïîíåíòíûõ ðàñïðåäåëåííûõ ñèñòåì // Òàì æå. — ¹ 5. — Ñ. 48–71. 3. Á ó ò ê î â ñ ê è é À . Ã . Ñòðóêòóðíûé ìåòîä äëÿ ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1975. — ¹ 5. 4. Á ó ò ê î â ñ ê è é À . Ã . Õàðàêòåðèñòèêè ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. — Ì.: Ôèçìàòãèç, Íàóêà, 1979. — 224 ñ. 5. À í ä ð å å â Þ . Í . Óïðàâëåíèå êîíå÷íîìåðíûìè ëèíåéíûìè îáúåêòàìè. — Ì.: Ôèçìàòãèç, Íàóêà, 1979. — 424 ñ. 6. G l o v e r K . , C u r t a i n R . F . , P a r t i n g t o n J . R . Realisation and approximation of linear in- finite — dimensional systems with error bounds // SIAM J. Contr. and Optimiz. — 1988. — 26, N .4. — P. 863–898. 7. C o i f m a n R . R . a n d R o c h b e r g R . Representation theorems for holomorhic and harmonic functions in Lp // Asterisque. — 1980. — 77. — P. 11–66. 8. À ä à ì ÿ í Â . Ì . , À ð î â Ä . Ç . , Ê ð å é í Ì . Ã . Àíàëèòè÷åñêèå ñâîéñòâà ïàðû Øìèäòà äëÿ Ãàíêåëåâà îïåðàòîðà è îáîáùåííàÿ ïðîáëåìà Øóðà–Òàêà÷è // Ìàò. æóðí. — 1971. — 15. — C. 31–73. 9. M a k i l a P . M . On identification of stable systems and optimal approximation // Automatica. — 1991. — 27, N. 4. — P. 663–676. @REFERENCE = 10. K a i l a t h T . Linear systems. — N.J.: Prentice–Hall, 1980. — 425 p. 11. Ä å ì è ä î â è ÷ Á . Ï . Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. — Ì.: Ôèçìàòãèç, Íàóêà, 1967. — 470 ñ. 12. C h a u d r a s e k h a r a n K . Classical Fourier Transforms. — Berlin: Springer, 1989. — 574 p. 13. C l e m e n t P . Application of generalized. Laguerre functions // Matematics and Computers in Sim- ulation. — 1985. — 27. — P. 541–550. 14. M a k i l a P . M . Approximation of stable systems by Laguerre filters // Automatica. — 1990. — 26, N 2. — P. 333–345. 15. B o W a h l b e r g Laguerre and Kautz models // Prepr. 10th IFAC Symp. on System Identification — SYSID’94. — Copenhagen (Denmark). — 1994. — 3. — P. 1–12. 16. H e u b e r g e r P . S . C . , V a n d e n H o f M . J , a n d B o s g r a O . H . A generalized orthonormal basis for linear dynamic systems // IEEE Trans. Automat. Contr. — 1995. — P. 451–465. 114 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 17. Ã î õ á å ð ã È . Ö . , Ê ð å é í Ì . Ã . Ââåäåíèå â òåîðèþ ëèíåéíûõ íåñàìîñîïðÿæåííûõ îïåðàòîðîâ â ãèëüáåðòîâîì ïðîñòðàíñòâå. — Ì.: Ôàçìàòãèç, Íàóêà, 1965. — 448 ñ. 18. À ë å ê ñ à í ä ð î â À . Ã . Êîíå÷íî-÷àñòîòíàÿ èäåíòèôèêàöèÿ: ìíîãîìåðíûé îáúåêò // Ìåæäóíàð. êîíô. ïî ïðîáëåìàì óïðàâëåíèÿ. Èçáð. òð. ÈÏÓ èì. Â.À. Òðàïåçíèêîâà ÐÀÍ. — Ì., 1999. — 1. — Ñ. 15–28. 19. Î ð ë î â Þ . Ô . Èäåíòèôèêàöèÿ ïî ÷àñòîòíûì ïàðàìåòðàì // Äèô. óðàâíåíèÿ. — 2006. — 42, ¹ 3. — Ñ. 425–428. 20. Ã ó á à ð å â Â . Ô . Ñåëåêòèâíàÿ èäåíòèôèêàöèÿ ñóáìîäåëåé äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì // Òð. Ìåæäóíàð. êîíô. Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è ïðèëîæåíèÿ (òåõíèêà, ïðîèçâîäñòâî, ýêîíîìèêà). Èí-ò ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Áåëàðóñè. — 2005. — 2. — Ñ. 41–50. 21. À ë å ê ñ à í ä ð î â À . Ã . Ìåòîä ÷àñòîòíûõ ïàðàìåòðîâ // Àâòîìàòèêà è òåëåìåõàíèêà. — 1989. — 50, ¹ 12. — Ñ. 3–15. 22. Ã ó á à ð å â Â . Ô . , Ò è ã ó í î â Ï . À . Îá îñîáåííîñòÿõ èäåíòèôèêàöèé ìíîãîìåðíûõ íåïðåðûâíûõ ñèñòåì ïî äàííûì ñ îãðàíè÷åííîé íåîïðåäåëåííîñòüþ // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2006. — ¹ 1, 2. — Ñ. 231–246. 23. Ã ó á à ð å â Â . Ô . Ìåòîä èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì ïî íåòî÷íûì äàííûì. ×àñòü 1. Òåîðåòè÷åñêèå îñíîâû // Òàì æå. — 2006. — ¹ 5. — Ñ. 16–31. 24. Ã ó á à ð å â Â . Ô . , Ò è ã ó í î â Ï . À . Ìåòîä èòåðàòèâíîé èäåíòèôèêàöèè ìíîãîìåðíûõ ñèñòåì ïî íåòî÷íûì äàííûì. ×àñòü 2. Àëãîðèòìû // Òàì æå. — 2007. — ¹ 2. — Ñ. 5–15. 25. N i n n e s s B . M . , G o o d w i n G . C . Estimation of model quality // Automatica. — 1995. — 31. — P. 1771–1779. 26. Ã ó á à ð å â Â . Ô . Ïðîáëåìíî îðèåíòèðîâàííûå èäåíòèôèêàöèÿ è óïðàâëåíèå â ñèñòåìàõ ñ ðàñïðåäåëåííûìè ïàðàìåòðàìè // Ïðîáëåìû óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. — 2000. — ¹ 3. — Ñ. 26–37. Ïîñòóïèëà 21.08.2007 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 2 115

Рациональная аппроксимация систем с распределенными параметрами

Репозитарії

Схожі ресурси