Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений
Розглянуто векторну (багатокритеріальну) траєкторну задачу з мінімаксними частковими критеріями, що полягає в пошуку множини Парето. В термінах бінарних відношень, заданих на множині траєкторій, сформульовано необходні та достатні умови п'яти типів стійкості задачі за векторним критерієм. Як на...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Кибернетика и системный анализ |
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72066 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений / В.А. Емеличев, К.Г. Кузьмин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 103-111. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-72066 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-720662014-12-17T03:01:52Z Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений Емеличев, В.А. Кузьмин, К.Г. Системный анализ Розглянуто векторну (багатокритеріальну) траєкторну задачу з мінімаксними частковими критеріями, що полягає в пошуку множини Парето. В термінах бінарних відношень, заданих на множині траєкторій, сформульовано необходні та достатні умови п'яти типів стійкості задачі за векторним критерієм. Як наслідки одержано низку достатніх умов стійкості в термінах множин Парето, Смейла та Слейтера. 2008 Article Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений / В.А. Емеличев, К.Г. Кузьмин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 103-111. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72066 519.8 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Системный анализ Системный анализ |
| spellingShingle |
Системный анализ Системный анализ Емеличев, В.А. Кузьмин, К.Г. Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений Кибернетика и системный анализ |
| description |
Розглянуто векторну (багатокритеріальну) траєкторну задачу з мінімаксними частковими критеріями, що полягає в пошуку множини Парето. В термінах бінарних відношень, заданих на множині траєкторій, сформульовано необходні та достатні умови п'яти типів стійкості задачі за векторним критерієм. Як наслідки одержано низку достатніх умов стійкості в термінах множин Парето, Смейла та Слейтера. |
| format |
Article |
| author |
Емеличев, В.А. Кузьмин, К.Г. |
| author_facet |
Емеличев, В.А. Кузьмин, К.Г. |
| author_sort |
Емеличев, В.А. |
| title |
Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений |
| title_short |
Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений |
| title_full |
Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений |
| title_fullStr |
Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений |
| title_full_unstemmed |
Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений |
| title_sort |
критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений |
| publisher |
Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Системный анализ |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72066 |
| citation_txt |
Критерии устойчивости векторных комбинаторных задач "на узкие места" в терминах бинарных отношений / В.А. Емеличев, К.Г. Кузьмин // Кибернетика и системный анализ. — 2008. — № 3. — С. 103-111. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Кибернетика и системный анализ |
| work_keys_str_mv |
AT emeličevva kriteriiustojčivostivektornyhkombinatornyhzadačnauzkiemestavterminahbinarnyhotnošenij AT kuzʹminkg kriteriiustojčivostivektornyhkombinatornyhzadačnauzkiemestavterminahbinarnyhotnošenij |
| first_indexed |
2025-07-05T20:55:13Z |
| last_indexed |
2025-07-05T20:55:13Z |
| _version_ |
1836841869251706880 |
| fulltext |
ÓÄÊ 519.8
Â.À. ÅÌÅËÈ×ÅÂ, Ê.Ã. ÊÓÇÜÌÈÍ
ÊÐÈÒÅÐÈÈ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÂÅÊÒÎÐÍÛÕ
ÊÎÌÁÈÍÀÒÎÐÍÛÕ ÇÀÄÀ× «ÍÀ ÓÇÊÈÅ ÌÅÑÒÀ»
 ÒÅÐÌÈÍÀÕ ÁÈÍÀÐÍÛÕ ÎÒÍÎØÅÍÈÉ
Êëþ÷åâûå ñëîâà: âåêòîðíàÿ êîìáèíàòîðíàÿ çàäà÷à, êðèòåðèé «óçêîãî ìåñòà»,
ìíîæåñòâî Ïàðåòî, óñòîé÷èâîñòü çàäà÷è ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ, âîçìóùàþ-
ùàÿ ìàòðèöà.
Ïðè èññëåäîâàíèè ðàçëè÷íûõ òèïîâ óñòîé÷èâîñòè âåêòîðíûõ äèñêðåòíûõ çàäà÷
îïòèìèçàöèè âîçíèêàåò ïðîáëåìà ïîëó÷åíèÿ óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ ìíîæåñòâî
ðåøåíèé çàäà÷è îáëàäàåò íåêîòîðûì íàïåðåä çàäàííûì ñâîéñòâîì èíâàðèàíòíîñ-
òè ïî îòíîøåíèþ ê âíåøíèì âîçäåéñòâèÿì íà èñõîäíûå äàííûå çàäà÷è.  ðàáî-
òàõ [1–3] (ñì. òàêæå [4, 5]) ïîëó÷åíû íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ïÿòè
èçâåñòíûõ òèïîâ óñòîé÷èâîñòè (T T1 5� -óñòîé÷èâîñòè) âåêòîðíûõ öåëî÷èñëåííûõ
çàäà÷ ëèíåéíîãî è êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ïðèâî-
äÿòñÿ àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû äëÿ âåêòîðíûõ êîìáèíàòîðíûõ çàäà÷ ñ íåëèíåé-
íûìè ÷àñòíûìè êðèòåðèÿìè «óçêîãî ìåñòà» (MINMAX).
Îñîáåííîñòü èçëîæåííûõ çäåñü íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé óñòîé÷è-
âîñòè çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíè ôîðìóëèðóþòñÿ â òåðìèíàõ íåñêîëüêèõ âèäîâ áè-
íàðíûõ îòíîøåíèé, çàäàííûõ íà ñèñòåìå ïîäìíîæåñòâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà. Îò-
ìåòèì, ÷òî ÿçûê áèíàðíûõ îòíîøåíèé øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ìîäåëÿõ ìíîãîêðèòå-
ðèàëüíîãî âûáîðà (ñì., íàïðèìåð, [6–10]).
ÎÑÍÎÂÍÛÅ ÏÎÍßÒÈß, ÎÁÎÇÍÀ×ÅÍÈß È ÑÂÎÉÑÒÂÀ
Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäåëü âåêòîðíîé (n-êðèòåðèàëüíîé) êîìáèíàòîðíîé çà-
äà÷è. Ïóñòü çàäàíû ìíîæåñòâî E e e em�{ }1 2, , ,� , m � 2, è ñèñòåìà ïîäìíîæåñòâ
T E� �2 \ { }, | |T � 2. Ñëåäóÿ [11–15], ýëåìåíòû ìíîæåñòâà T áóäåì íàçûâàòü òðà-
åêòîðèÿìè. Ïóñòü ÷àñòíûìè êðèòåðèÿìè âåêòîð-ôóíêöèè f t A f t A( , ) ( ( , ),� 1 1
f t A f t An n2 2( , ), , ( , ))� ÿâëÿþòñÿ ìèíèìàêñíûå êðèòåðèè
f t A a i Ni i
j N t
ij
t T
n( , ) max min,
( )
� � �
� �
,
ãäå N nn �{ }1 2, , ,� , N t j N e tm j( ) :� � �{ }, Ai — i-ÿ ñòðîêà ìàòðèöû A �
� � [ ]aij
n mR .
Ïîä âåêòîðíîé (n-êðèòåðèàëüíîé) òðàåêòîðíîé çàäà÷åé Z An ( ), n �1, áóäåì ïî-
íèìàòü çàäà÷ó ïîèñêà ìíîæåñòâà Ïàðåòî (ìíîæåñòâà ýôôåêòèâíûõ òðàåêòîðèé)
P A t T t T t t tn
A
( ) : \ { } ( )}� �
� � �{ � ,
ãäå �
A
— êàê îáû÷íî, îòðèöàíèå áèíàðíîãî îòíîøåíèÿ �
A
:
t t f t A f t A f t A f t A
A
� � � � �
�( , ) ( , ) & ( , ) ( , ).
Îòìåòèì, ÷òî â ñõåìó ñêàëÿðíûõ (îäíîêðèòåðèàëüíûõ) òðàåêòîðíûõ çàäà÷ (ñ ëè-
íåéíûìè, ìèíèìàêñíûìè è äðóãèìè êðèòåðèÿìè) âêëàäûâàþòñÿ ìíîãèå ýêñòðå-
ìàëüíûå êîìáèíàòîðíûå çàäà÷è, â ÷àñòíîñòè, çàäà÷è íà ãðàôàõ (î êîììèâîÿæåðå,
ïàðîñî÷åòàíèÿõ, îñòîâàõ è äð.), çàäà÷è áóëåâà ïðîãðàììèðîâàíèÿ è íåêîòîðûå çà-
äà÷è òåîðèè ðàñïèñàíèé [11–15].
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 103
© Â.À. Åìåëè÷åâ, Ê.Ã. Êóçüìèí, 2008
 ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèÿìè [1–3, 5] çàäà÷ó Z An ( ) íàçîâåì:
� T1-óñòîé÷èâîé, åñëè � �
� �
�� �0 B P A P A Bn n
�( ) ( ( ) ( ) )� ;
� T2 -óñòîé÷èâîé, åñëè � � � �
� � �� �0 0 0t P A B t P A Bn n( ) ( ) ( ( ))� ;
� T3 -óñòîé÷èâîé, åñëè � �
� � �� �0 B P A B P An n
�( ) ( ( ) ( ));
� T4 -óñòîé÷èâîé, åñëè � �
� � �� �0 B P A P A Bn n
�( ) ( ( ) ( ));
� T5 -óñòîé÷èâîé, åñëè � �
� � �� �0 B P A P A Bn n
�( ) ( ( ) ( )).
Çäåñü �( ) : | | | |� �� � � { }B Bn mR — ìíîæåñòâî âîçìóùàþùèõ ìàòðèö, | | | |B �
� � max | |: ( , ){ }b i j N Nij n m .
 òåðìèíîëîãèè [1–3, 5] âñå ïåðå÷èñëåííûå òèïû óñòîé÷èâîñòè ÿâëÿþòñÿ
óñòîé÷èâîñòüþ ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ.
Äëÿ ëþáûõ òðàåêòîðèé t è t� ââåäåì ðÿä áèíàðíûõ îòíîøåíèé:
t t f t A f t A
A
� � � � �( , ) ( , ) ,
t t f t A f t A
A
� � � � �( , ) ( , ) ,
t t i N f t A f t A
A
n i i i i
� � �
� � �( ( , ) ( , )),
t t i N f t A f t A N t A N t A
A
n i i i i i i i i
|� � �
� � � � � �( ( , ) ( , ) ( , ) ( , )),
t t i N f t A f t t A
A
n i i i i
� � �
� � �( ( , ) ( \ , )),
t t i N N t A N t A
A
n i i i i
~ ( ( , ) ( , ))� �
� � � ,
t t i N f t t A f t t A
A
n i i i i
� � �
� � � �( ( , ) ( ( , ), ))� � ,
ãäå N t A a j N t
i i ij( , ) max : ( )� �Arg { }, �( , ) ( ) \ ( )t t t t t t� � � �� � , f Ai i( , )� � �� .
Çàìå÷àíèå 1. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè t t� � ñîîòíîøåíèÿ t t
A
� � , t t
A
� �, t t
A
|� �, t t
A
� �,
t t
A
~ � è t t
A
� � âûïîëíÿþòñÿ äëÿ ëþáîé ìàòðèöû A n m� R .
Ââèäó íåïðåðûâíîñòè ôóíêöèé f t Ai i( , ) â ïðîñòðàíñòâå Rm âûòåêàþò ñëåäóþ-
ùèå ñâîéñòâà áèíàðíûõ îòíîøåíèé.
Ñâîéñòâî 1. Åñëè t t
A
� �, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî � � 0, ÷òî äëÿ ëþáîé âîçìó-
ùàþùåé ìàòðèöû B ��( )� ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå t t
A B
�
�
�.
Ñâîéñòâî 2. Åñëè t t
A
� �, òî íàéäåòñÿ òàêîå ÷èñëî � � 0, ÷òî äëÿ âñÿêîé âîçìóùà-
þùåé ìàòðèöû B ��( )� âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå t t
A B
� �
�
.
Ñâîéñòâî 3. Åñëè t t
A
� �, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî � � 0, ÷òî äëÿ êàæäîé âîçìó-
ùàþùåé ìàòðèöû B ��( )� èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå t t
A B
�� �
�
.
Ñâîéñòâî 4. Åñëè t t
A
� �, òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî � � 0, ÷òî äëÿ ëþáîé âîçìó-
ùàþùåé ìàòðèöû B ��( )� èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå t t
A B
�
�
�.
Ñâîéñòâî 5. Ïóñòü t T� , � �T T t\ { }. Åñëè äëÿ êàæäîé òðàåêòîðèè � � �t T âåðíî
ñîîòíîøåíèå
t t
A
� �, (1)
104 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
òî ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
� �
�
� � � �
�
� �0 00 B t T t t
A B
�( ) ( )� . (2)
Äåéñòâèòåëüíî, ïðè âûïîëíåíèè (1) íàéäåòñÿ èíäåêñ s N n� ñ óñëîâèåì
f t A f t As s s s( , ) ( , )� � . Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà, ó÷èòûâàÿ íåïðåðûâíîñòü ôóíêöèè
f t As s( , ) â ïðîñòðàíñòâå Rm , âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêîãî ÷èñëà �( )t� � 0, ÷òî
äëÿ ëþáîé âîçìóùàþùåé ìàòðèöû B t� ��( ( ))� âåðíî îòíîøåíèå t t
A B
�
�
�, à ïîòîìó
t t
A B
�
�
�. Îòñþäà, ïîëàãàÿ � �0 � � � � �min { ( ): }t t T , âûâîäèì (2).
Ñâîéñòâî 6. Åñëè t t
A
� �, òî t t
A
� �.
Ñâîéñòâî 7. Åñëè t t
A
� � è �t t
A
� , òî t t
A
~ �.
Ñâîéñòâî 8. Åñëè t t t t t t
A A A
~ � � � �� � �.
Ñâîéñòâî 9. Åñëè t t
A
� �, òî �t t
A
� , t t t t
A A
|� � � �� .
ËÅÌÌÛ
Äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå P A T P An n( ) \ ( )� .
Ëåììà 1. Ïóñòü òðàåêòîðèè t è �t òàêîâû, ÷òî t t
A
� � è � �t t
A
| . Òîãäà äëÿ ëþáîãî
÷èñëà � � 0 íàéäåòñÿ âîçìóùàþùàÿ ìàòðèöà B 0 ��( )� ñ óñëîâèåì t P A Bn� �( )0 .
Äîêàçàòåëüñòâî. Èç � �t t
A
| âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå òàêèõ èíäåêñîâ p N m� è
s N n� , ÷òî p N t A N t As s s s� �( , ) \ ( , ). Íàëè÷èå ýòèõ èíäåêñîâ ïîçâîëÿåò êîíñòðóè-
ðîâàòü èñêîìóþ âîçìóùàþùóþ ìàòðèöó B bij
0 0� �[ ] ( )� � ñ ýëåìåíòàìè
ãäå 0 � �� �. Äåéñòâèòåëüíî, ó÷èòûâàÿ ñîîòíîøå-
íèå t t
A
� �, ïîëó÷àåì
f t A B a f t A f t A f t A fs s s sp s s s s s s( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � � � �0 � � s s st A B( , )� � 0 ,
f t A B f t A f t A f t A Bi i i i i i i i i s( , ) ( , ) ( , ) ( , )� � � � � � �0 0 ïðè i s
.
Ïîýòîìó èìååì t t
A B
�
�
�
0
, ò.å. t P A Bn� �( )0 . Çäåñü, êàê è ïðåæäå, Bi
0 — i-ÿ ñòðî-
êà ìàòðèöû B 0 .
Ëåììà 1 äîêàçàíà.
Ëåììà 2. Ïóñòü òðàåêòîðèÿ t 0 òàêîâà, ÷òî
�t P An ( ) (t t t t
A A
0 0
� � �| ). Òîãäà
� �
�
�
�� � �B t P A t tn
A B
0 0
0
�( ) ( ) ( )� . (3)
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîëàãàÿ � � 0, ïîñòðîèì âîçìóùàþùóþ ìàòðèöó B bij
0 0� �[ ]
��( )� ïî ïðàâèëó
ãäå 0 � �� �. Ðàññìîòðèì äâà âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ.
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 105
��
�
�
� ��
�
.ñëó÷àÿõîñòàëüíûõâ0
,,åñëè,
0
pjsi
bij
�
��
�
�
� ��
�
ñëó÷àÿõ,îñòàëüíûõâ0
),(\,åñëè, 0
0 tNNjNi
b mn
ij
�
Ñëó÷àé 1. t t
A
0
� . Òîãäà èç óñëîâèÿ ëåììû ñëåäóåò, ÷òî t t
A
0 |� . Ïîýòîìó íàéäóò-
ñÿ òàêèå èíäåêñû p N m� è s N n� , ÷òî
f t A f t As s s s( , ) ( , )0 � è p N t A N t As s s s� ( , ) \ ( , )0 .
Îòñþäà, ââèäó ñòðîåíèÿ âîçìóùàþùåé ìàòðèöû B 0 , íàõîäèì
f t A B f t A f t A a a f t As s s s s s s sp sp s s( , ) ( , ) ( , ) ( ,0 0 0� � � � � � �� � Bs
0 ),
ò.å. t t
A B
0
0
�
�
.
Ñëó÷àé 2. t t
A
0
� . Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîé èíäåêñ s N n� , ÷òî f t A f t As s s s( , ) ( , )0 � .
Èç ýòîãî íåðàâåíñòâà ñ ó÷åòîì ñòðîåíèÿ âîçìóùàþùåé ìàòðèöû B 0 âûâîäèì
f t A B f t A f t A f t A Bs s s s s s s s s s( , ) ( , ) ( , ) ( , )0 0 0 0� � � � � ,
ïîýòîìó è â ýòîì ñëó÷àå âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå t t
A B
0
0
�
�
.
Ñîáèðàÿ âñå äîêàçàííîå, óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû (3).
Ëåììà 2 äîêàçàíà.
ÊÐÈÒÅÐÈÈ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
Òåîðåìà 1. Âåêòîðíàÿ òðàåêòîðíàÿ çàäà÷à Z An ( ), n �1, T1-óñòîé÷èâà ïðè ëþ-
áîé ìàòðèöå A n m� R .
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðè P A Tn ( ) � óòâåðæäåíèå òåîðåìû 1 î÷åâèäíî.
Ïóñòü P A Tn ( )
, t P An� ( ). Òîãäà äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè � �t P An ( ) èìååì
t t
A
� �. Ïîýòîìó ñîãëàñíî ñâîéñòâó 5 âåðíà ôîðìóëà
� �
�
� � �
�
� �0 B t P A t tn
A B
�( ) ( ) ( )� . (4)
Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
Ñëó÷àé 1. t P A Bn� �( ). Òîãäà áëàãîäàðÿ âíåøíåé óñòîé÷èâîñòè ìíîæåñòâà
Ïàðåòî P A Bn ( )� (ñì., íàïðèìåð, [8], ñ. 34) ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
� � �
�
t P A B t tn
A B
0 0( ) ( )� .
Îòñþäà è èç (4) ïîëó÷àåì, ÷òî t P An0 � ( ). Òàêèì îáðàçîì, t P An0 � ( )�
� P A Bn ( ) .�
�
Ñëó÷àé 2. t P A Bn� �( ). Òîãäà ñ î÷åâèäíîñòüþ èìååì t P An� ( )�
� P A Bn ( )�
�.
Ñîáèðàÿ âñå äîêàçàííîå, çàêëþ÷àåì, ÷òî
� �
� �
�� �0 B P A P A Bn n
�( ) ( ( ) ( ) )� ,
è ïîýòîìó çàäà÷à Z An ( ) T1-óñòîé÷èâà, ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó 1.
Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ ìíîæåñòâ ñòðîãî ýôôåêòèâíûõ è ñëàáî ýôôåêòèâíûõ
òðàåêòîðèé (ìíîæåñòâ Ñìåéëà è Ñëåéòåðà) ñîîòâåòñòâåííî:
Sm A t T t T t t tn
A
( ) { : \ { } ( )}� �
� � �� ,
Sl A t T t T t t tn
A
( ) { : \ { } ( )}� �
� � � � .
106 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
Î÷åâèäíî, ÷òî Sm A P A Sl An n n( ) ( ) ( )� � ïðè âñÿêîé ìàòðèöå A n m� R .
Òåîðåìà 2. Äëÿ âåêòîðíîé òðàåêòîðíîé çàäà÷è Z An ( ), n �1, ñëåäóþùèå óòâåð-
æäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
(i) çàäà÷à Z An ( ) T2 -óñòîé÷èâà;
(ii) Sm A t P A t t t tn n
A A
( ) ( ) ( )��� � �
� �0 0 0| ;
(iii) Sm A t P A t t t tn n
A A
( ) ( ) ( )��� � �
�0 0 0
� .
Äîêàçàòåëüñòâî. (i)� (ii). Ïóñòü çàäà÷à Z An ( ) T2 -óñòîé÷èâà. Äîïóñòèì, ÷òî
âîïðåêè óòâåðæäåíèþ (ii) äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè t P An� ( ) íàéäåòñÿ òðàåêòîðèÿ
t t
A
� c óñëîâèåì t t
A
�| . Òîãäà èç ëåììû 1 ñëåäóåò, ÷òî äëÿ âñÿêîãî ÷èñëà � � 0 ñó-
ùåñòâóåò âîçìóùàþùàÿ ìàòðèöà B ��( )� , ïðè êîòîðîé t P A Bn� �( ) . Îòñþäà ñëå-
äóåò, ÷òî çàäà÷à Z An ( ) íå ÿâëÿåòñÿ T2 -óñòîé÷èâîé, à ýòî ïðîòèâîðå÷èò (i).
(ii)� (iii). Ýòà èìïëèêàöèÿ ñëåäóåò èç ñâîéñòâà 9, ïîñêîëüêó îòíîøåíèå t t
A
� 0
âëå÷åò t t
A
�
0 .
(iii)� (i). Ïðè âûïîëíåíèè óòâåðæäåíèÿ (iii) âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
Ñëó÷àé 1. Sm An ( )
�. Ïóñòü t Sm An0 � ( ). Òîãäà äëÿ ëþáîé òðàåêòîðèè
t T t� \ { }0 èìååì t t
A
0
� . Ïîýòîìó ñîãëàñíî ñâîéñòâó 5 ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
� �
�
�
�
� �0 0 0 00 B t T t t t
A B
�( ) \ { } ( )� . (5)
Îòñþäà t P A Bn0 � �( ), ò.å. çàäà÷à Z An ( ) T2 -óñòîé÷èâà.
Ñëó÷àé 2. Sm An ( ) ��. Ïóñòü t P An0 � ( ), t T t� \ { }0 . Òîãäà âîçìîæíû äâå
àëüòåðíàòèâû.
1. t t
A
� 0 . Òîãäà t t
A
�
0 . Ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó 1 ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî �( )t � 0,
÷òî äëÿ ëþáîé âîçìóùàþùåé ìàòðèöû B t��( ( ))� âûïîëíÿåòñÿ ñîîòíîøåíèå
t t
A B
�
�
0. Îòñþäà, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 6, ïîëó÷àåì t t
A B
�
�
0 , ïîýòîìó ïî ñâîéñòâó 9
t t
A B
0
�
�
.
2. t t
A
�� 0 . Òîãäà t t
A
0
� . Ïîýòîìó, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì 5, óáåæäàåìñÿ â
ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû
� �
�
�
� � �( ( ( )) ( )t B t t t
A B
0 0
� � .
Ñîáèðàÿ âñå äîêàçàííîå äëÿ ñëó÷àÿ 2 è ïîëàãàÿ � �0 0� �min { ( ): \ { }}t t T t ,
óáåæäàåìñÿ â ñïðàâåäëèâîñòè ôîðìóëû (5), êîòîðàÿ ñâèäåòåëüñòâóåò î T2 -óñòîé÷è-
âîñòè çàäà÷è Z An ( ).
Òåîðåìà 2 äîêàçàíà.
Òåîðåìà 3. Äëÿ âåêòîðíîé òðàåêòîðíîé çàäà÷è Z An ( ), n �1, ñëåäóþùèå óòâåð-
æäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
(i) çàäà÷à Z An ( ) T3 -óñòîé÷èâà;
(ii)
� � � �t Sl A t P An n( ) ( ) ( & )t t t t
A A
� � ��| ;
(iii)
� � � �t Sl A t P An n( ) ( ) ( & )t t t t
A A
� � �� .
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 107
Äîêàçàòåëüñòâî. (i)� (ii). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî çàäà÷à Z An ( ) T3 -óñòîé÷èâà, îä-
íàêî âîïðåêè óòâåðæäåíèþ (ii) íàéäåòñÿ òàêàÿ òðàåêòîðèÿ t Sl An0 � ( ), ÷òî
�t P An ( ) ( )t t t t
A A
0 0
� � �| . (6)
Ïîýòîìó íà îñíîâàíèè ëåììû 2 èìååò ìåñòî (3). Êðîìå òîãî, òàê êàê (ââèäó çà-
ìå÷àíèÿ 1) t t
A
0 0
� è t t
A
0 0|� ïðè ëþáîé ìàòðèöå A n m� R , òî èç (6) âûòåêàþò
âêëþ÷åíèÿ t Sl A P A P An n n0 � �( ) \ ( ) ( ). Òàêèì îáðàçîì, ñïðàâåäëèâà ôîðìóëà
� �
� � �
�
�
t P A B t P A t tn n
A B
0 0 00
0
( ) ( ) ( ) ( )� �� � . (7)
Åñëè t P A Bn0 0� �( ), òî P A B P An n( ) ( )� ��
0 . Åñëè t P A Bn0 0� �( ), òî â
ñèëó âíåøíåé óñòîé÷èâîñòè ìíîæåñòâà Ïàðåòî P A Bn ( )� 0 íàéäåòñÿ òðàåêòîðèÿ
t P A Bn* ( )� � 0 ñ óñëîâèåì t t
A B
0
0
�
�
. Ïîýòîìó òðàåêòîðèÿ t P An � ( ) ââèäó (7).
Òàêèì îáðàçîì, P A B P An n( ) ( )� ��
0 .
Ðåçþìèðóÿ, çàêëþ÷àåì, ÷òî çàäà÷à Z An ( ) íå ÿâëÿåòñÿ T3 -óñòîé÷èâîé, à ýòî
ïðîòèâîðå÷èò (i).
(ii)� (iii). Ýòà èìïëèêàöèÿ âûòåêàåò íåïîñðåäñòâåííî èç ñâîéñòâà 9.
(iii)� (i). Åñëè P An ( ) ��, òî óòâåðæäåíèå (i) î÷åâèäíî. Ïîýòîìó äàëåå áóäåì
ïðåäïîëàãàòü, ÷òî P An ( )
�. Ïóñòü t P An� ( ). Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ.
Ñëó÷àé 1. t Sl An� ( ). Òîãäà ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ (iii) íàéäåòñÿ òðàåêòîðèÿ
� �t P An ( ) ñ óñëîâèÿìè t t
A
� � è t t
A
� �. Îòñþäà íà îñíîâàíèè ñâîéñòâà 3 èìååì
� � �
� � �� �
�
� �0 B t t
A B
�( ) ( ),
è, ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâà 1 è 6, ïîëó÷àåì
� �� �
� �� �
�
� �0 B t t
A B
�( ) ( )� .
Ðåçþìèðóÿ, çàêëþ÷àåì, ÷òî
� �
� �
�
� �0 B t t
A B
�( ) ( )� , (8)
ãäå � � �� � ��min ,{ }.
Ñëó÷àé 2. t T Sl An� \ ( ). Òîãäà ñóùåñòâóåò òàêàÿ òðàåêòîðèÿ � �t T t\ { }, ÷òî
t t
A
� �. Ïîýòîìó èç ñâîéñòâà 4 ñëåäóåò (8).
Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ êàæäîé òðàåêòîðèè t P An� ( ) íàéäóòñÿ òà-
êèå � �t T t\ { } è � �� �( )t 0, ÷òî t t
A B
�
�
� äëÿ âñåõ B ��( )� . Îòêóäà, ïîëàãàÿ � �
� �min { ( ): ( )}� t t P An , âûâîäèì
� �
�
� � � � �0 B t P A t P A Bn n
�( ) ( ) ( ( )).
Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à Z An ( ) T3 -óñòîé÷èâà.
Òåîðåìà 3 äîêàçàíà.
108 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
Òåîðåìà 4. Äëÿ âåêòîðíîé òðàåêòîðíîé çàäà÷è Z An ( ), n �1 , ñëåäóþùèå óòâåð-
æäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
(i) çàäà÷à Z An ( ) T4 -óñòîé÷èâà;
(ii)
� � � �� ��t t P A t t t tn
A A
, ( ) ( )| ;
(iii)
� � � �� �t t P A t t t tn
A A
, ( ) ( )� ;
(iv)
� � � �� �t t P A t t t tn
A A
, ( ) ( ~ );
(v)
� � � �� � �t t P A t t t tn
A A
, ( ) ( ).
Äîêàçàòåëüñòâî. (i)� (ii). Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ïóñòü âîïðåêè óòâåðæäå-
íèþ (ii) íàéäóòñÿ òàêèå òðàåêòîðèè t t P An, ( )� � ñ óñëîâèåì t t
A
� �, ÷òî t t
A
|� �. Òîãäà
ïî ëåììå 1 äëÿ ëþáîãî ÷èñëà � � 0 ñóùåñòâóåò òàêàÿ âîçìóùàþùàÿ ìàòðèöà
B ��( )� , ÷òî t P A Bn� �( ), è ïîòîìó çàäà÷à Z An ( ) íå ÿâëÿåòñÿ T4 -óñòîé÷èâîé.
(ii)� (iii). Ýòà èìïëèêàöèÿ ñ ëåãêîñòüþ âûòåêàåò èç ñâîéñòâà 9.
(iii)� (iv). Â ñèëó (iii) ëþáûå òðàåêòîðèè t t P An, ( )� � , äëÿ êîòîðûõ âåðíî ñî-
îòíîøåíèå t t
A
� �, ñâÿçàíû íå òîëüêî îòíîøåíèåì t t
A
� �, íî è îòíîøåíèåì �t t
A
� . Ïî-
ýòîìó èç (iii) è ñâîéñòâà 7 ñëåäóåò (iv).
(iv)� (v). Ýòà èìïëèêàöèÿ î÷åâèäíà áëàãîäàðÿ ñâîéñòâó 8.
(v)� (i). Ïóñòü t P An� ( ) è � �t T. Ðàññìîòðèì äâà âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ.
Ñëó÷àé 1. t t
A
� �. Òîãäà èç (v) ïîëó÷àåì t t
A
� �. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî 2,
èìååì
� � �
� � � �
�
� �( ) ( ( )) ( )t B t t t
A B
0 � .
Îòñþäà è èç ñâîéñòâà 8 ñëåäóåò, ÷òî t t
A B
� �
�
.  ðåçóëüòàòå çàêëþ÷àåì, ÷òî
� �
� ��
� �
�
� �1 10 t t B t t
A A B
�( ) ( )� , (9)
ãäå � �
1
� � � �min ( ):{ }t t t
A
.
Ñëó÷àé 2. t t
A
�� �. Òîãäà t t
A
� �. Ïîýòîìó èç ñâîéñòâà 5 ïîëó÷àåì
� �
� ��
� �
�
� �2 20 t t B t t
A A B
�( ) ( )� .
Èç ýòîé ôîðìóëû è èç (9) ñëåäóåò, ÷òî âñÿêàÿ òðàåêòîðèÿ t P An� ( ) îñòàåòñÿ ýô-
ôåêòèâíîé â çàäà÷å Z A Bn ( )� ïðè ëþáîé âîçìóùàþùåé ìàòðèöå B ��( )� , åñëè
� � �� min { , }1 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, çàäà÷à Z An ( ) T4 -óñòîé÷èâà.
Òåîðåìà 4 äîêàçàíà.
Èñïîëüçóÿ òåîðåìû 3 è 4, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå
óñëîâèÿ T5 -óñòîé÷èâîñòè çàäà÷è Z An ( ).
Òåîðåìà 5. Äëÿ âåêòîðíîé òðàåêòîðíîé çàäà÷è Z A nn ( ), �1, ñëåäóþùèå
óòâåðæäåíèÿ ýêâèâàëåíòíû:
(i) çàäà÷à Z An ( ) T5 -óñòîé÷èâà;
(ii) äëÿ âñÿêîé òðàåêòîðèè t Sl An� ( ) âûïîëíÿåòñÿ äâà óòâåðæäåíèÿ:
1) � � � � ��t P A t t t tn
A A
( ) ( & )� | ;
2)
�� � � �� � ���t P A t t t tn
A A
( ) ( )| ;
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 109
(iii) äëÿ âñÿêîé òðàåêòîðèè t Sl An� ( ) âûïîëíÿþòñÿ äâà óòâåðæäåíèÿ:
1) � � �t P An ( ) ( & )t t t t
A A
� � �� ;
2)
�� � � �� � ��t P A t t t tn
A A
( ) ( )� .
ÑËÅÄÑÒÂÈß
Èç òåîðåì 2–5 ñ î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàþò cëåäóþùèå äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ñîîò-
âåòñòâóþùèõ âèäîâ óñòîé÷èâîñòè, êîòîðûå, êàê èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [2–5]),
äëÿ öåëî÷èñëåííûõ çàäà÷ ñ ëèíåéíûìè è êâàäðàòè÷íûìè ÷àñòíûìè êðèòåðèÿìè
ÿâëÿþòñÿ íå òîëüêî äîñòàòî÷íûìè, íî è íåîáõîäèìûìè.
Ñëåäñòâèå 1. Åñëè Sm An ( )
�, òî âåêòîðíàÿ çàäà÷à Z An ( ), n �1, T2 -óñòîé÷èâà.
Ñëåäñòâèå 2. Åñëè P A Sl An n( ) ( )� , òî âåêòîðíàÿ çàäà÷à Z An ( ) , n �1, T3 -óñ-
òîé÷èâà.
Ñëåäñòâèå 3 [13]. Åñëè Sm A P An n( ) ( )� , òî âåêòîðíàÿ çàäà÷à Z An ( ), n �1,
T4 -óñòîé÷èâà.
Ñëåäñòâèå 4. Åñëè Sm A Sl An n( ) ( )� , òî âåêòîðíàÿ çàäà÷à Z An ( ), n �1, T5 -óñ-
òîé÷èâà.
Ïðèâåäåì òàêæå íåñêîëüêî ïðîñòûõ äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé ðàçëè÷íûõ òèïîâ óñ-
òîé÷èâîñòè çàäà÷è Z An ( ).
Ñëåäñòâèå 5. Åñëè | ( )|P An �1, òî âåêòîðíàÿ çàäà÷à Z An ( ), n �1, T2 - è T4 -óñ-
òîé÷èâà.
Ñëåäñòâèå 6. Åñëè P A Tn ( ) � , òî âåêòîðíàÿ çàäà÷à Z An ( ), n �1, T3 -óñòîé÷èâà.
Ñëåäñòâèå 7. Åñëè êàæäàÿ ñòðîêà ìàòðèöû A ñîñòîèò èç ïîïàðíî ðàçëè÷íûõ ýëå-
ìåíòîâ, òî âåêòîðíàÿ çàäà÷à Z An ( ), n �1, T T2 5� -óñòîé÷èâà.
 ñêàëÿðíîì ñëó÷àå (n �1) òåîðåìû 2–5 ïðåâðàùàþòñÿ â ñëåäóþùèå óòâåðæäåíèÿ.
Ñëåäñòâèå 8. Äëÿ ñêàëÿðíîé çàäà÷è Z A1 ( ) óòâåðæäåíèÿ (i)–(iii) ýêâèâàëåíòíû:
(i) çàäà÷à Z A1 ( ) T2 -óñòîé÷èâà;
(ii) � �
� �t P A t P A t t
A
0 1 1 0( ) ( ) ( )| ;
(iii)
�
�t P A t P A t t
A
0 1 1 0( ) ( ) ( )� .
 ñàìîì äåëå, ëþáûå äâå òðàåêòîðèè t t P A, ( )� � 1 ñâÿçàíû îòíîøåíèåì t t
A
� �, à
óñëîâèå Sm A1 ( )
� ýêâèâàëåíòíî ðàâåíñòâó | ( ) |P A1 1� . Ïîýòîìó óòâåðæäåíèÿ (ii)
è (iii) òåîðåìû 2 ñ î÷åâèäíîñòüþ ïðåâðàùàþòñÿ ñîîòâåòñòâåííî â óòâåðæäåíèÿ (ii) è
(iii) ñëåäñòâèÿ 8 è òåì ñàìûì äîêàçûâàþò ïîñëåäíåå.
Òàê êàê P A Sl A1 1( ) ( )� , òî, âûáèðàÿ â óñëîâèÿõ (ii) è (iii) òåîðåìû 3 òðàåêòî-
ðèþ �t , ðàâíóþ t, è ó÷èòûâàÿ çàìå÷àíèå 1, ëåãêî ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Ñëåäñòâèå 9. Ñêàëÿðíàÿ çàäà÷à Z A1 ( )T3 -óñòîé÷èâà ïðè ëþáîì âåêòîðå A m�R .
Èç òåîðåìû 4 è ñëåäñòâèÿ 9 ñ î÷åâèäíîñòüþ âûòåêàåò î÷åðåäíîå ñëåäñòâèå.
Ñëåäñòâèå 10. Äëÿ ñêàëÿðíîé çàäà÷è Z A1 ( ) óòâåðæäåíèÿ (i)–(vi) ýêâèâàëåíòíû:
(i) çàäà÷à Z A1 ( ) T4 -óñòîé÷èâà;
(ii) çàäà÷à Z A1 ( ) T5 -óñòîé÷èâà;
(iii)
� � ��t t P A t t
A
, ( ) ( )1 | ;
110 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3
(iv)
� � �t t P A t t
A
, ( ) ( )1
� ;
(v)
� � �t t P A t t
A
, ( ) ( ~ )1 ;
(vi)
� � � �t t P A t t
A
, ( ) ( )1 .
 ðåçóëüòàòå ïðîâåäåííûõ èññëåäîâàíèé óñòàíîâëåíû íåîáõîäèìûå è äîñòà-
òî÷íûå óñëîâèÿ ïÿòè èçâåñòíûõ òèïîâ óñòîé÷èâîñòè (T T1 5� ) ïî âåêòîðíîìó êðèòå-
ðèþ ìíîãîêðèòåðèàëüíîé ìèíèìàêñíîé òðàåêòîðíîé çàäà÷è. Âñå îíè ñôîðìóëèðî-
âàíû â òåðìèíàõ íåñêîëüêèõ âèäîâ áèíàðíûõ îòíîøåíèé, çàäàííûõ íà ìíîæåñòâå
òðàåêòîðèé (äîïóñòèìûõ ðåøåíèé çàäà÷è).  ÷àñòíîñòè, îêàçàëîñü, ÷òî èçâåñòíûå
íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå ïðèçíàêè ðàçëè÷íûõ òèïîâ óñòîé÷èâîñòè ìíîãîêðèòå-
ðèàëüíûõ öåëî÷èñëåííûõ çàäà÷ ëèíåéíîãî è êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ (ñî-
âïàäåíèå ìíîæåñòâ Ïàðåòî è Ñëåéòåðà, ìíîæåñòâ Ïàðåòî è Ñìåéëà, íåïóñòîòà ìíî-
æåñòâà Ñìåéëà) ÿâëÿþòñÿ ëèøü äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñîîòâåòñòâóþùèõ òèïîâ
óñòîé÷èâîñòè âåêòîðíûõ çàäà÷ ìèíèìàêñà. Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî çàäà÷è
íà «óçêèå ìåñòà» ÷àùå óñòîé÷èâû, ÷åì ëèíåéíûå è êâàäðàòè÷íûå.
ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ
1. Ë å á å ä å â à Ò . Ò . , Ñ å ð ã è å í ê î Ò . È . Ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç ðàçëè÷íûõ òèïîâ óñòîé÷èâîñòè ïî
îãðàíè÷åíèÿì âåêòîðíîé çàäà÷è öåëî÷èñëåííîé îïòèìèçàöèè // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç.
— 2004. — ¹ 1. — Ñ. 63–70.
2. Ë å á å ä å â à Ò . Ò . , Ñ å ì å í î â à Í .  . , Ñ å ð ã è å í ê î Ò . È . Óñòîé÷èâîñòü âåêòîðíûõ çàäà÷ öå-
ëî÷èñëåííîé îïòèìèçàöèè: âçàèìîñâÿçü ñ óñòîé÷èâîñòüþ ìíîæåñòâ îïòèìàëüíûõ è íåîïòèìàëüíûõ
ðåøåíèé // Òàì æå. — 2005. — ¹ 4. — Ñ. 90–100.
3. Ë å á å ä å â à Ò . Ò . , Ñ å ð ã è å í ê î Ò . È . Óñòîé÷èâîñòü ïî âåêòîðíîìó êðèòåðèþ è îãðàíè÷åíèÿì
âåêòîðíîé öåëî÷èñëåííîé çàäà÷è êâàäðàòè÷íîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ // Òàì æå. — 2006. — ¹ 5. —
Ñ. 63–72.
4. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ê î ç å ð à ö ê à ÿ Ë . Í . , Ë å á å ä å â à Ò . Ò . Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè è
ïàðàìåòðè÷åñêèé àíàëèç äèñêðåòíûõ îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1995. — 170 c.
5. Ñ å ð ã è å í ê î È .  . , Ø è ë î  . Ï . Çàäà÷è äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè. Ïðîáëåìû, ìåòîäû ðåøå-
íèÿ, èññëåäîâàíèÿ. — Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 2003. — 261 ñ.
6. À é ç å ð ì à í Ì . À . , À ë å ê ñ å ð î â Ô . Ò . Âûáîð âàðèàíòîâ: îñíîâû òåîðèè. — Ì.: Íàóêà, 1990.
— 240 ñ.
7. Á å ð å ç î â ñ ê è é Á . À . , Á î ð ç å í ê î Â . È . , Ê å ì ï í å ð Ë . Í . Áèíàðíûå îòíîøåíèÿ â ìíîãîêðè-
òåðèàëüíîé îïòèìèçàöèè. — Ì.: Íàóêà, 1981. — 149 ñ.
8. Ï î ä è í î â ñ ê è é Â . Â . , Í î ã è í Â . Ä . Ïàðåòî-îïòèìàëüíûå ðåøåíèÿ ìíîãîêðèòåðèàëüíûõ çà-
äà÷. — Ì.: Íàóêà, 1982. — 256 c.
9. Ø î ë î ì î â Ë . À . Èññëåäîâàíèå îòíîøåíèé â êðèòåðèàëüíûõ ïðîñòðàíñòâàõ è ñèíòåç îïåðàòîðîâ
ãðóïïîâîãî âûáîðà // Ìàòåìàòè÷åñêèå âîïðîñû êèáåðíåòèêè. — 1994. — Âûï. 5. — Ñ. 109–143.
10. Å ì å ë è ÷ å â Â . À . , Ï à ø ê å â è ÷ À . Â . Î ïàðàìåòðèçàöèè ïðèíöèïà îïòèìàëüíîñòè â êðèòåðè-
àëüíîì ïðîñòðàíñòâå // Äèñêðåò. àíàëèç è èññëåä. îïåðàöèé. Ñåð. 2. — 2002. — 9, ¹ 1. — Ñ. 21–32.
11. Ë å î í ò ü å â  . Ê . , à î ð ä å å â Ý . Í . Êà÷åñòâåííûå èññëåäîâàíèÿ òðàåêòîðíûõ çàäà÷ // Êèáåðíå-
òèêà. — 1986. — ¹ 5. — Ñ. 82–90.
12. à î ð ä å å â Ý . Í . , Ë å î í ò ü å â  . Ê . Îáùèé ïîäõîä ê èññëåäîâàíèþ óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé â çà-
äà÷àõ äèñêðåòíîé îïòèìèçàöèè // Æóðí. âû÷èñë. ìàòåìàòèêè è ìàò. ôèçèêè. — 1996. — 36, ¹ 1. —
Ñ. 66–72.
13. Å ì å ë è ÷ å â  . À . , Ê ð à â ö î â Ì . Ê . , Ï î ä ê î ï à å â Ä . Ï . Î êâàçèóñòîé÷èâîñòè òðàåêòîðíûõ
çàäà÷ âåêòîðíîé îïòèìèçàöèè // Ìàò. çàìåòêè. — 1998. — 63, âûï. 1. — C. 21–27.
14. à î ð ä å å â Ý . Í . Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè â îïòèìèçàöèîííûõ çàäà÷àõ íà ìàòðîèäàõ â ìåò-
ðèêå l1 // Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç. — 2001. — ¹ 2. — Ñ. 132–144.
15. Á ó õ ò î ÿ ð î â Ñ . Å . , Å ì å ë è ÷ å â  . À . , Ñ ò å ï à í è ø è í à Þ .  . Âîïðîñû óñòîé÷èâîñòè âåê-
òîðíûõ äèñêðåòíûõ çàäà÷ ñ ïàðàìåòðè÷åñêèì ïðèíöèïîì îïòèìàëüíîñòè // Òàì æå. — 2003. — ¹ 4.
— Ñ. 155–166.
Ïîñòóïèëà 20.07.2007
ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2008, ¹ 3 111
|