От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения
В настоящей работе результаты из первых двух частей представленного исследования оформлены в математически законченную цепь доказательств. С этой целью доказана теорема, основополагающая для всего исследования в целом. Использование этой теоремы позволяет завершить проце...
Gespeichert in:
| Datum: | 2003 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2003
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/721 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения / Йоцов В.С. // Математические машины и системы. – 2003. – № 2 . – С. 19-28. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-721 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-7212008-06-24T12:00:11Z От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения Йоцов, В.С. Обчислювальні системи В настоящей работе результаты из первых двух частей представленного исследования оформлены в математически законченную цепь доказательств. С этой целью доказана теорема, основополагающая для всего исследования в целом. Использование этой теоремы позволяет завершить процесс доказательства гипотезы о простых числах-близнецах и осуществить переход от ее доказательства к доказательству известной гипотезы Харди-Литлвуда. Табл.: 1. Ил.: 2. Библиогр.: 3 назв. У даній роботі результати із перших двох частин поданого дослідження оформлені в математично закінчений ланцюг доведень. З цією метою доведено теорему, що є основоположною для усього дослідження в цілому. Використання даної теореми дозволяє завершити процес доведення гіполтези про прості числа-блюзнюки і здійснити перехід від її доведення до доведення відомої гіпотези Харді-Літлвуда. Табл..: 1. Іл..: 2. Бібліогр.: 3 назв. The mathematical proofs are given in the paper, which complete the results and inference scheemes from the first two parts of the presented material. A theorem is proven, which is fundamental for the investigation. The usage of the theorem allows to complete the process of prooving the hypothesis about turn numbers and make a bridge to the proof of the well known Hardy-Littlewood hypothesis. Tabl. : 1. Figs.: 2. Refs.: 3 titles. 2003 Article От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения / Йоцов В.С. // Математические машины и системы. – 2003. – № 2 . – С. 19-28. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/721 631.3 ru Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Обчислювальні системи Обчислювальні системи |
| spellingShingle |
Обчислювальні системи Обчислювальні системи Йоцов, В.С. От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения |
| description |
В настоящей работе результаты из первых двух частей представленного исследования оформлены в математически законченную цепь доказательств. С этой целью доказана теорема, основополагающая для всего исследования в целом. Использование этой теоремы позволяет завершить процесс доказательства гипотезы о простых числах-близнецах и осуществить переход от ее доказательства к доказательству известной гипотезы Харди-Литлвуда. Табл.: 1. Ил.: 2. Библиогр.: 3 назв. |
| format |
Article |
| author |
Йоцов, В.С. |
| author_facet |
Йоцов, В.С. |
| author_sort |
Йоцов, В.С. |
| title |
От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения |
| title_short |
От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения |
| title_full |
От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения |
| title_fullStr |
От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения |
| title_full_unstemmed |
От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения |
| title_sort |
от информатики к теории чисел. ііі. основная теорема, результаты, сравнения |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2003 |
| topic_facet |
Обчислювальні системи |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/721 |
| citation_txt |
От информатики к теории чисел. ІІІ. Основная теорема, результаты, сравнения / Йоцов В.С. // Математические машины и системы. – 2003. – № 2 . – С. 19-28. |
| work_keys_str_mv |
AT jocovvs otinformatikikteoriičiselíííosnovnaâteoremarezulʹtatysravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-02T04:22:45Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:22:45Z |
| _version_ |
1836507638858252288 |
| fulltext |
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
19
УДК 631.3
В.С. ЙОЦОВ
ОТ ИНФОРМАТИКИ К ТЕОРИИ ЧИСЕЛ. ІІІ
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА, РЕЗУЛЬТАТЫ, СРАВНЕНИЯ
1. Введение
Все познается в сравнении. Формулы, приведенные в первых двух частях представленного исследования,
получены с применением логических выводов в теории чисел и элементарных сопоставлений между средами iS .
Так как изложение материала предназначено преимущественно для специалистов по информатике, то с целью
сокращения теоретических выкладок в основной цепи доказательств основные математические выкладки
перенесены в заключительную третью часть. С другой стороны, обособление основной теоремы в настоящей
работе позволяет осуществить более детальный анализ ее применений. Математические сравнения с
известными работами из области также обособлены в представленной работе: заключительной по гипотезе о
простых числах-близнецах. В то же время приведенное ниже доказательство теоремы 3.1 и повторение шагов 3 и
4 из теоремы 1.1 позволяют осуществить переход (!) к доказательству и некоторой дополнительной
переформулировке известной гипотезы Харди-Литлвуда. Теорема 3.1 весьма полезна при доказательстве других
известных гипотез из теории чисел. Это основная теорема представленного исследования.
2. Основная теорема
В доказательстве теоремы 1.1 (например, начало шага 4) использовано допущение об асимптотическом
равенстве ( )xyz ,π (и соответственно ( )xyz ,#π ) при фиксированном шаге прогрессии z и допустимых значениях
y (см. первую часть работы). Следующая теорема 3.1 позволяет говорить не только об асимптотическом
равенстве количества содержащихся в этом множестве прогрессий простых чисел (при ∞→x ), но и позволяет
их замену на любом числовом интервале x с некоторой легко вычисляемой ошибкой.
Пусть M – упорядоченное по возрастанию множество простых чисел p, произвольно выбранных из P . В
отличие от Pp ∈ , упоминаемых ранее, элементы M не представляют подпоследовательность P , а элементы с
разными порядковыми номерами могут совпадать и поэтому они обозначаются mi: ∈1m M, ∈2m M,... ∈km M,
∈+1km M, ... ∈zm M;
1+= kk mm . При использовании метода решета Эратосфена все числа, кратные
элементам массива M, отсеиваются из +Z , причем при повторениях (одинаковых значениях) простых чисел из M
полученное ниже значение g умножается на все повторенные числа. В результате остается множество из
( )11 −= = ii
n mПg прогрессий с шагом ii
n mПh 1== [1]. Каждый из элементов v любой из g прогрессий –
число, взаимно простое с h : ( ) 1, =hv .
Используя известные определения из второй части работы, ( )vC ,∑ является частным случаем g , а vC –
частный случай h .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
20
Определение 3.1
Средой S M называется объединение всех полученных вышеописанным отсеиванием g прогрессий с шагом h,
причем все числа v из этих прогрессий – взаимно простые с im или h , ( ) 1, =imv , ( ) 1, =hv .
Определение 3.2
Средой ¬ S M называется объединение из
,g прогрессий с шагом h , где ghg −=,
, причем каждое из чисел v’
из ¬ S M не является взаимно простым хотя бы с одним из ( ) 1,, , >ii mvm .
Все ,v – числа, отсеянные с применением метода решета с последовательностью отсеивания M.
Соответственно, v - числа, оставшиеся после этого отсеивания.
Любая из рассмотренных ранее iS – частный случай S M, где M содержит последовательность простых
чисел от 1p до qp и 21 =p . Например, в случае M { }11,7,3= существуют 100 прогрессий с шагом 231 и
несовпадающими первыми элементами <231, все элементы которых ( ) 1231, =v . На рис. 3.1 представлен
фрагмент прогрессии f из S ( )gf ≤ с элементами fiv , 151 ≤≤ I , hv fi <, , hvv fifi +=+ ,,1 .
v1,f 1 7 11 13 17 19 23 29
v2,f
+h 0 (7) 1
v3,f 30 7⋅7 2
v4,f 60 7⋅11 ⋅ 3
v5,f 90 7⋅13 7⋅17 ⋅ 4
v6,f 120 11⋅11 7⋅19 11⋅13 5
v7,f 150 7⋅23 13⋅13 6
v8,f 180 11⋅17 7⋅29 11⋅19 7
v9,f 210 7⋅31 13⋅17 8
v10,f 240 13⋅19 11⋅23 7⋅37 9
v11,f 270 7⋅41 17⋅17 13⋅23 10
v12,f 300 7⋅43 11⋅29 17⋅19 7⋅47 11
v13,f 330 11⋅31 73 12
v14,f 360 192 7⋅53 13⋅29 13
v15,f 390 17⋅23 13⋅3111⋅37 7⋅59 14
... 420 7⋅61 19⋅23 15
...
Рис. 3.1 Рис. 3.2
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
21
Лемма 3.1
Если *v является произведением любых элементов S M, то Sv ∈*
M.
Доказательство.
Согласно определениям 3.1 и 3.2, Μ¬∪Μ
+ = SSZ . Пусть рассматривается S¬ M. Согласно определению 3.2,
все числа
,v , Sv ¬∈,
M таковы, что ( ) 1,v: , >∈∃ ii mMm . С другой стороны, все простые числа pj, которые
получаются при разложении
∗v на простые сомножители, таковы, что ( ) 1,: =∈∀ iji mpMm . В силу
единственности разложения v* на простые числа [3] следует: ( ) 1,: =∈∀ ∗
ii mvMm . По определению 3.2,
,MSv ¬∉∗
+∗ ∈ Zv , откуда следует искомое доказательство MSv ∈∗
.
Лемма 3.2
Все числа MSv ∈ – элементы одной из прогрессий из MS , { } 1,1 =
∞+ kf khv , которые делятся на ( )pvp M ,
образуют прогрессию { } 1, =
∞+ kfL kphv , где Pp ∈ , ( ) 1, =hp , L – номер строки из MS для первого элемента
{ } 1, =
∞+ kfL kphv , такого, что pL ≤ .
Доказательство.
Шаг 1.
Пусть существует такое fLv , , что { } 1,1, =
∞+∈ kffL khvv и pv fL M, . Другими словами, остаток от деления
fLv , на p равен нулю; что формализуется следующим образом: } O
P
V fL =
,0 . Производится переход к
следующему элементу прогрессии: hvv fLfL +=+ ,1, , причем }
≠+ O
P
V fL ,10 в силу того, что
} }
−=
−+=+
p
h
p
h
p
h
p
h
p
v
p
v fLfL ,,1 00 >0, где
p
h
– целая часть– остаток при делении
p
h
. По
определению, ( ) 1, =ph , откуда следует
p
h
<
p
h
.
Следующие 2−p итераций приводят к подобным результатам:
0
22
}{
,2 >
−=+
p
h
p
h
p
V
O
fL
,
} ( ) ( )
−−−=−+
p
h
p
p
h
p
p
v fpL 110 ,1
>0,
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
22
т.к. все положительные целые числа p< – взаимно простые с p . Наконец,
}
=
−=+ 00 ,
p
ph
p
ph
p
v fpL
.
При подстановке fpLv ,+ на место fLv , по индукции доказывается, что все члены искомой прогрессии
{ } 1, =
∞+ kfL kphv делятся на p .
Шаг 2.
Если искомое phv fL >, , то 0, >− fpLv и, следовательно, fLv , не удовлетворяет условию
минимальности первого члена прогрессии pM . В итоге 0, ≤− phv fL , по определению искомой прогрессии
{ } 1, =
∞+ kfL kphv или, что то же самое, pl ≤ .
Лемма 3.3
Пусть рассматриваются MS и p – простое число из строки j , h – шаг прогрессий из MS (их ровно g ),
( ) 1, =hp . Тогда все числа pM из MS образуют такой цикл p , что на отрезке между строками j и 1−+ pj из
MS каждый из столбцов (прогрессий с шагом h ) содержит одно и только одно число pM , и порядок обхода
столбцов повторяется через каждые p строк.
Доказательство.
Шаг 1.
Пусть рассматриваются первые элементы всех g прогрессий из MS , т.е. fv ,1 , gf ≤≤1 , hv f <,1 . Тогда
phph f <,1 , т.е. результаты умножения первых g элементов расположены в MS между строками j и
1−+ pj .
Шаг 2.
Допустим, что прогрессия { } 1,1 =
∞+ kf khv такая, что в ней на интервале между строками j , 1−+ pj есть хотя
бы два числа pM . Однако в силу леммы 3.2 между этими двумя числами phM . Следовательно, допущение из
шага 2 опровергается, т.к.
−+
p
p
1
1 M p .
Шаг 3.
Так как в gSM − столбцов и соответственно g таких чисeл fLv , , что pv fL M, , то в силу принципа Дирихле
(общеизвестного принципа ящиков) и при учете результатов из шага 2 доказано, что в каждом из столбцов на
заданном интервале содержится одно и только одно число, кратное p . Условие о повторяемости периода
обхода следует из леммы 3.2.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
23
В соответствии с леммами 3.1, 3.2 и 3.3 можно дать расширенную трактовку определения 1.5 в
определении 3.3.
Пусть рассматривается MS , состоящая, согласно определению 3.1, из g столбцов с шагом h .
Определение 3.3
Пусть MSp ∈ , MSv ∈ . Циклом p (согласно лемме 3.1) называется множество { }...2,11,1 ,: vvvvpSM =∩ (где
11,1 =v ). Согласно лемме 3.2, цикл p имеет повторяющийся рисунок с периодом p строк. Согласно лемме 3.3,
каждый из периодов обхода столбцов состоит из g чисел, распределенных по одному на каждый столбец из MS .
Теорема 3.1
Независимо от выбора любых двух прогрессий с первыми членами Mf Sv ∈1,1 и Mf Sv ∈2,1 , ( ) ( )xx fhfh 2,1, ππ ≈ ,
причем знак ≈ означает ошибку не более ( ) pk−x.π , где pk – количество несовпадающих простых чисел –
элементов M.
Доказательство.
Шаг 1.
Пусть рассматривается цикл любого простого числа MSp ∈ . По определению 3.3, цикл p обходит в некотором
порядке все столбцы из MS , и через p строк порядок обхода повторяется. В цикле p содержится только одно
простое число ( )11,1 ppvp == , все остальные элементы – составные числа.
Шаг 2.
Пусть рассматриваются все циклы простых чисел (шаг 1) на любом интервале [ ]x,1 . Очевидно, многие из
составных чисел входят в несколько циклов одновременно. Например, при { }( )55,3,2 SSM M == число 1001
делится на 7, 11, 13 (рассматриваются простые числа – делители) и входит в три описанных цикла p . Для
устранения двузначности толкования из нескольких простых делителей числа выбирается наименьший,
например, при 5SSM = число 1001 входит только в цикл 7.
При вышеупомянутом ограничительном условии подсчет составных чисел из любого цикла p начинается
со значения 2p . Общее количество простых чисел на интервале [ ]x,1 составляет ( )xπ , а для случая MS
из него необходимо вычесть отсеянные простые числа (их ровно pk ).
Пусть производится подсчет составных чисел в двух рассматриваемых столбцах { } 11,1: =
∞+ kfM khvS и
{ } 12,1 =
∞+ kf khv . При вышеупомянутых условиях подсчета все искомые составные числа x≤ получаются
последовательным пересчетом элементов прогрессий, получающихся при пересечении циклов p со столбцами
{ } 1
1
1,1 =+ k
q
f khv и { } 1
2
2,1 =+ k
q
f khv , где соответствующие q вводятся для соблюдения условия x≤ . Пересчет
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
24
начинается с чисел, кратных наименьшему простому числу из MS и заканчивается пересчетом чисел, кратных
наибольшему простому числу x≤ (если такие существуют в данном столбце при условии x≤ ).
Шаг 3.
Из вышеупомянутого описания пересчета составных чисел x≤ в двух прогрессиях следует тривиальный факт,
что в худшем случае на интервале [ ]x,1 в одну из прогрессий входят на ( ) pkx −π больше составных чисел (и
соответственно простых чисел), чем в другую.
Полученная искомая оценка из условия теоремы – очень грубая и завышенная оценка, т.к. она получена
при грубом допущении, что на столбце }{
11,1 =
∞+
kf khv каждая из прогрессий, кратных p , (пересечение цикла
p со столбцом) содержит (при условиях пересчета из шага 2) на одно составное число больше по сравнению со
столбцом }{ 12,1 =
∞+ kf khv . Очевидно, что никакая из этих прогрессий не может содержать на 2, 3... составных
чисел больше, чем прогрессия чисел, кратных тому же p из любого другого столбца, т.к. это нарушает условия
леммы 3.3.
Следствие 3.1
( )xfh 1,π ~ ( )xfh 2,π .
Ниже переносятся все объяснения из первой работы в связи со следующими очевидными фактами:
( ) ( )( )
g
kx
x p
fh
−
≈
π
π 1, , ( ) ( )( )
g
kx
x p
fh
−
≈
π
π 2, (Второй вариант: использование фрагментов из
доказательства теоремы 3.1). При допущении из теоремы 3.1, что первая из прогрессий содержит максимум
составных чисел, а вторая – минимум, следует, что ( ) ( ) (πππ += xx fhfg 1.2, √x
_
) pkx − . Тогда limx→∞(π(√x
_
.)-
kp)/(π(x)-kp)/g)=0. Так как с ростом x конечные составляющие pk и g становятся пренебрежимо малы, то формулу
можно представить в упрощенном виде:
( )
( ) 0lim =∞→ x
x
x π
π
.
Следствие 3.1 представляет связь теоремы 3.1 с известной теоремой Дирихле, т.к. в ней представлены
все возможные прогрессии с взаимно простыми первым членом и шагом пр огрессии.
3. Сравнения с гипотезой Харди – Литлвуда
Согласно гипотезе Харди-Литлвуда, в развитии Х.Ризеля любая допустимая комбинация [1]
( )
1...,2,1,
−+++
zdpx dpdppP из множества z простых чисел удовлетворяет формуле (3.1) и повторяется
бесконечное число раз, а вычислeния kz приводятся в [1]. На рис. 3.2 представлен первый период цикла 7 в
5S для иллюстрации недопустимого расположения простых чисел. Например, недопустимо говорить о гипотезе в
связи с ( )29,23,19,17,13,11,6, +++++++ ppppppppPx , т.к. такое расположение встречается всего
1 раз в строке 1 в силу свойств цикла 7.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
25
P p p d p d K
x
xx z z z( , ,..., )
(ln )
+ + =−1 1 . (3.1)
В частности, для случая гипотезы о простых числах-близнецах:
P p p
x
xx ( , ) .
(ln )
+ =2 1320323632 2
. (3.2)
Приведенные до сих пор доказательства (теоремы 1.1, 1.2, 2.3, 3.1 для обоснования шагов 2, 3 и 4 из
теоремы 1.1) и предельные соотношения из работы [2] (для обоснования результатов, приводящих к теореме 2.3)
позволили вывести доказательство, близкое с (3.2):
P p p
x
xx ( , ) .
( ( ))+ =2 1320323632
2π
. (3.3)
При использовании известного соотношения ( ) xx
ln
x
~π несложно произвести переход от (2.3) к (2.2),
т.к. они асимптотически равны. Однако асимптотическое равенство не означает, что обе формулы с одинаковым
успехом могут использоваться на любом конечном интервале.
Слабое место приведенных результатов в связи с гипотезой Харди-Литлвуда: вычисление zk . Они
вычислялись для каждого конкретного случая поотдельности, взаимосвязь между их значениями не объяснялась,
и часть из них оставалась неизвестной. Приведенные до сих пор выводы и доказательства позволили решить этот
вопрос. Возвращаясь к рис. 3.2, нетрудно увидеть, что 2=d появляется между 3 парами столбцов в 5S и далее
в соответствии с табл. 3.1.
Таблиця 3.1
d количество
пар столбцов
первые пары чисел в S5
2 3 11-13, 17-19, 29-31
4 3 7-11, 13-17, 19-23
6 6 1-7, 7-13, 11-17, 13-19, 17-23, 23-29
8 3 11-19, 23-31, 29-37
10 4 1-11, 7-17, 13-23, 19-29
12 6 1-13, 7-19, 11-23, 17-29, 19-31, 29-41
14 3 17-31, 23-37, 29-43
16 3 1-17, 7-23, 13-29
18 6 1-19, 11-29, 13-31, 19-37, 23-41, 29-47
20 4 11-31, 17-37, 23-43, 29-49
22 3 1-23, 7-29, 19-41
24 6 7-31, 13-37, 17-41, 19-43, 23-47, 29-53
26 3 11-37, 17-43, 23-49
28 3 1-29, 13-41, 19-47
30 8 1-31, 7-37, 11-41, 13-43, 17-47, 19-49, 23-53, 29-59
32 3 11-43, 17-49, 29-61
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
26
34 ... ...
При сравниении 2=d и 32=d становится ясно, что количество пар столбцов повторяется с периодом
30 (к правым числам из пар в правом столбце добавляется 30). Следует отметить, что при 30Md число пар
столбцов не меньше восьми. Из таблицы видны другие интересные зависимости, однако объем данной работы не
позволяет рассмотреть все математические подробности.
В соответствии с изложенным в табл. 3.1 можно получить значение для любой пары простых чисел,
например:
P p p
x
xx ( , ) .
( ( ))+ =36
6
3
1320323632
2π
, (3.4)
т.е. (3.4) содержит в 2 раза больше простых чисел по сравнению с (3.3), причем с ростом x это соотношение
стремится в точности к двум. Вывод формулы (3.4) проиллюстрировал полноту решений в связи с проблемой о
количестве пар простых чисел на любом числовом интервале.
Из доказательства теоремы 1.1 со всей очевидностью следует, что процесс вывода формул для
допустимых n-торок простых чисел можно продолжить до бесконечности. Например, для случая троек простых
чисел достаточно использовать формулу из шага 4 теоремы 1.1 (1.14), определение 2.5 для формирования
{ }
dvK ,
3
и в соответствии с [2] получить обоснование и формулу для минимального случая троек (минимального в
силу особенностей, отмеченных при доказательстве лемм 2.1 и 2.2. Вопросы изучения всех случаев для троек
простых чисел решаются с применением индукции и построением таблиц, подобных табл. 2.1).
Ход вывода формул для получения наихудшего (с минимумом n-торок, в частности, троек простых чисел)
повторяет доказательства и вывод формул от (2.3) до (2.11). При выводе формул нет необходимости даже в
обобщении от iS к MS , т.к. порядок отсеивания не имеет значения:
C p vv i
p
v
i
, ( ); .3
5
3 3= − ∈ >
=
∏ v P; (3.5)
В частности, 23,5 =C ; 83,7 =C ; 643,11 =C ; 6403,13 =C …
Для iS верны следующие соотношения. В 5S :
C
x
X
x
x
x
x
k
x
x
C y
y
5 3
3
2
3
2
3
2 3 3
25
2
2 4
2 3 5
3
3 5 5
4 4 4
2 5 5
1,
,
{3}
( ( ))
( )
(
( )
)
( )
{ }
( ( ))
{
(5 )
(5 )
}
( ( ))
.
( , )
π
π
π πΣ
=
⋅
⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
−
(3.6)
.Проверка показывает, что один из минимальных случаев формируется при ( )4,2, ++ pppPx .
Первые тройки чисел: 11-13-17 и 17-19-23; 23,5 =C .
Пусть рассматривается 7S :
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
27
C
x
X
x
x
k
x
x
C y
y
7 3
3
2
3
2
5 3
27
8
2 4 6
2 3 5 7
7 3 7 7
7 1,
,
{3}
( ( ))
( )
(
( )
)
( )
{
( )
( )
}
( ( ))
.
( , )
π
π
πΣ
=
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
−
(3.7)
Пусть рассматривается 11S :
C
x
X
x
x
k
x
x
C y
y
11 3
3
2
3
2
7 3
211
64
2 4 6 8
2 3 5 7 11
11 3 11 11
11 1,
,
{3}
( ( ))
( )
(
( )
)
( )
{
( )
( )
}
( ( ))
.
( , )
π
π
πΣ
=
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
= − ⋅ ⋅
−
(3.8)
В итоге по индукции доказывается аналог леммы 2.2:
k
p p
pu
pi
{3} ( )
( )
.= ⋅ − ⋅
−=
∞
∏215
64
3
17
2
3 (3.9)
Нет необходимости вычисления (3.9). Результаты совпадают с гипотетическим выводом 3K в [1], (3.1).
Повторяя (3.5)-(3.9) до бесконечности (см. леммы 2.1 и 2.2), доказываются все случаи zK из (3.1) и [1]. В связи с
применением (3.5) в обобщенном варианте (3.10) следует отметить:
C p z p v zv z i
p v
v
i
i
, ( ); .= − ∈ ∈ > >
>
∏ p P;v P;i (3.10)
В общем случае формула для z простых чисел состоит из такого же произведения дробей
с z элементами в числителе и ( )zz 1− в знаменателе и представляется в общем виде (3.11).
P p p d p d K
x
xx z z
z
z( , ,... )
( ( ))
.+ + =− −1 1 1
π
(3.11)
В связи с ростом z до бесконечности появляется проблема чисто практического характера. Например,
для вывода zK невозможно использовать ziSi <: . В связи с этим производятся исследования для
обоснования вывода zK из работы [1].
В работе [2] представлена мотивировка вывода предельных формул типа (2.12) или (3.9). На каждом
шаге вывода (например, см. (2.11)) производится переход от 1−iS к iS и формируются { }
ik 2 (или в общем случае
{ }
i
zk ) со следующими свойствами. Как показано в [2], { }
i
zk является легко вычислимым и усредненным (по
частоте появления и процентному соотношению простых чисел) значением в iS . Компоненты { }
i
zk легко
проиллюстрировать на примере { }
5
2k (см. рис. 3.2). Пусть на фрагменте из 15 строк (рис. 3.2) подсчитывается
количество пар простых чисел между столбцами {11} и {13}: это 11-13, 41-43, 71-73, 101-103, 191-193, 281-283,
311-313, 431-433 (8). Затем пусть правила сопоставления между столбцами изменяются следующим образом:
сопоставляемые числа из столбца {11} - те же, а к числам из {13} добавляется +30 (геометрически все элементы
{13} “приспущены” на 1 шаг вниз при сопоставлениях). Тогда пар простых чисел должно получиться больше, т.к.
все числа M7 попадают в одну строку сопоставлений: 13-41, 43-71, 73-101, 103-131, 163-191, 223-251, 283-311, 373-
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2003, № 2
28
401, 433-461 (9). Чем больше совпадений кратных чисел при подобном изменении условий сопоставлений, тем
больше количество наблюдаемых на (достаточно большом) интервале пар простых чисел. Если в примере
рассмотреть интервал из 100 строк, то во втором случае количество пар простых чисел будет приблизительно на
6
1
больше.
С ростом i до бесконечности в соответствующей среде содержится все меньший процент составных
чисел (см. раздел 12 из второй работы), т.к. количество отсеянных составных чисел возрастает и соответственно
k{z}
i уменьшается и с ростом i стремится к искомому предельному значению.
4. Дальнейшие исследования
В предыдущем разделе показано, что существуют по меньшей мере две возможности формирования zK для
любого допустимого расположения z простых чисел: подход Ризеля [1] или повторение выводов из предыдущей
работы, приводящее к решению предельных формул, например, (2.8)-(2.12); (3.9)… При втором способе
появляется возможность исследования, что произойдет, если построение предельных формул производится до
бесконечности.
В силу доказательств лемм 2.1 и 2.2, zK – минимальное значение (случай 0=zK не входит в
рассмотрение, т.к. это – недопустимое расположение [1]). Вопрос о максимальном значении при расположении
z простых чисел не имеет количественного решения, т.к. максимального числа не существует. В силу свойств из
раздела 12 из второй работы не существует такого числа N , чтобы zKN ⋅ было максимальным значением
расположения z простых чисел при ∞→z . Исследование подобных вопросов связано с построением и
дальнейшем исследованием таблиц, подобных табл. 3.1, причем в качестве среды удобно использовать 5S .
5. Заключение
В работе доказана теорема 3.1. – основная теорема исследования. Ее применение позволяет получить новые
доказательства известной теоремы Дирихле, расширить их для случая взаимозаменяемости соответствующих
...#π для прогрессий с одинаковым шагом с известной ошибкой 0→o при ∞→x , а также завершить
даказательство теоремы 2.3 (гипотеза о простых числах-близнецах). Приведены доказательства и сравнения в
связи с гипотезой Харди-Литлвуда, что любое допустимое ( ) ∞→+++ −121 ...,,, zx dpdpdppP .
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Riesel H. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. – Birkhauser, Boston, 1985. – 464 p.
2. Йоцов В. Об одном подходе к поиску и оценке доказательств // Искусственный интеллект (НАН Украины). – 1999. – № 2. –
С. 97 – 103.
3. Ireland K., Rosen M. A Classical Introduction to Modern Number Theory. – Springer-Verlag, New York, 1982. – 416 p.
|