Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем

Наведено формулу багатовимірного B-сплайну, деякі корисні дослідження в галузі лінійних трансформацій незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, уявлення про їх щільність за допомогою багатовимірних експоненціальних сплайнів та їх застосування. Наведено ілюстрацію з відповідним прик...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2011
Автор:	Костадинова, С.Р.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України 2011
Назва видання:	Кибернетика и системный анализ
Теми:	Системный анализ
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72209
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем / С.Р. Костадинова // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 146-152. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-72209
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-722092014-12-20T03:01:50Z Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем Костадинова, С.Р. Системный анализ Наведено формулу багатовимірного B-сплайну, деякі корисні дослідження в галузі лінійних трансформацій незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, уявлення про їх щільність за допомогою багатовимірних експоненціальних сплайнів та їх застосування. Наведено ілюстрацію з відповідним прикладом. 2011 Article Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем / С.Р. Костадинова // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 146-152. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72209 519.2 ru Кибернетика и системный анализ Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Системный анализ Системный анализ
spellingShingle	Системный анализ Системный анализ Костадинова, С.Р. Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем Кибернетика и системный анализ
description	Наведено формулу багатовимірного B-сплайну, деякі корисні дослідження в галузі лінійних трансформацій незалежних експоненціально розподілених випадкових величин, уявлення про їх щільність за допомогою багатовимірних експоненціальних сплайнів та їх застосування. Наведено ілюстрацію з відповідним прикладом.
format	Article
author	Костадинова, С.Р.
author_facet	Костадинова, С.Р.
author_sort	Костадинова, С.Р.
title	Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_short	Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_full	Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_fullStr	Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_full_unstemmed	Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
title_sort	сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем
publisher	Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Системный анализ
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72209
citation_txt	Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем / С.Р. Костадинова // Кибернетика и системный анализ. — 2011. — № 1. — С. 146-152. — Бібліогр.: 6 назв. — рос.
series	Кибернетика и системный анализ
work_keys_str_mv	AT kostadinovasr splajnfunkciidlâissledovaniâiprognozirovaniâsistem
first_indexed	2025-07-05T21:03:30Z
last_indexed	2025-07-05T21:03:30Z
_version_	1836842390008102912
fulltext	ÓÄÊ 519.2 Ñ.Ð. ÊÎÑÒÀÄÈÍÎÂÀ ÑÏËÀÉÍ-ÔÓÍÊÖÈÈ ÄËß ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈß È ÏÐÎÃÍÎÇÈÐÎÂÀÍÈß ÑÈÑÒÅÌ Êëþ÷åâûå ñëîâà: ñïëàéí, ýêñïîíåíöèàëüíûé ñïëàéí, ìíîãîìåðíûé ñïëàéí, ïëîò- íîñòü âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà. Òåîðèÿ ìíîãîìåðíûõ ñïëàéíîâ áåðåò ñâîå íà÷àëî ñ 1976 ã., êîãäà Êàðë äå Áîð [5] äàë ñâîå îïðåäåëåíèå Â-ñïëàéíîâ ìíîãèõ ïåðåìåííûõ, à Ìè÷åëè è Äàìåí [4] îïóáëèêîâàëè âïîñëåäñòâèè ïåðâûå ðàáîòû â ýòîì íàïðàâëåíèè. Â íàñòîÿùåå âðå- ìÿ ýòà òåîðèÿ íàõîäèòñÿ â ïðîöåññå èíòåíñèâíîãî ðàçâèòèÿ è ìíîãèå âîïðîñû îæèäàþò ñâîåãî ðåøåíèÿ. Â äàííîé ñòàòüå ðàññìîòðåíà èäåÿ ðàçâèòèÿ è ïðèëîæåíèÿ ìíîãîìåðíûõ ýêñ- ïîíåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ ñ öåëüþ àïïðîêñèìàöèè. Äàíà ÿâíàÿ ôîðìóëà ìíîãîìåð- íîãî Â-ñïëàéíà, èçëîæåíû èññëåäîâàíèÿ àâòîðà â îáëàñòè ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâà- íèé íåçàâèñèìûõ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è äàåòñÿ ôîðìóëà äëÿ èõ ïëîòíîñòåé ñ ïîìîùüþ ìíîãîìåðíûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ è ïðîãíîçèðî- âàíèÿ ñèñòåì ðàçíîãî õàðàêòåðà — êàê òåõíè÷åñêèõ, òàê è ñîöèàëüíûõ. Ïóñòü t t t r0 1, , ..., ïðåäñòàâëÿåò r �1 òî÷êó â k -ìåðíîì åâêëèäîâîì ïðîñòðàí- ñòâå Rk ñ êîîðäèíàòàìè ñîîòâåòñòâåííî t t t ti i i k i '� ( , , ..., )1 2 , i r� 0,..., . Äîïóñòèì, ÷òî r k� è t t t r0 1, , ..., — òî÷êè «îáùåãî ïîëîæåíèÿ». Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî j k�1, ..., è ðàçëè÷íûõ 0 1 1� ��i i rj, ..., äåòåðìèíàíòû îòëè÷íû îò íóëÿ: 1 1 1 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 t t t t t t i j i i j i i j ij j � � � � � � � � � � . (1) Ðàññìîòðèì ëèíåéíîå ïðåîáðàçîâàíèå � � �� 1 1t tr r � , (2) ãäå � i , i r�1, ..., , — ðÿä íåçàâèñèìûõ è îäèíàêîâî ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäå- ëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ñ ïëîòíîñòÿìè âåðîÿòíîñòåé f x e i x � ( ) � � , x � 0 . Îñíîâíàÿ çàäà÷à — äàòü ïðåäñòàâëåíèå ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà � êàê ìíîãîìåðíîé ðàçäåëåííîé ðàçíîñòè îïðåäåëåííûõ ôóíêöèé. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå � — ðàçäåëåííîé ðàçíîñòè (� � �� ( )1 � k ) äîñòàòî÷íî ãëàäêîé ôóíêöèè f x x k( , ..., )1 k ïåðåìåííûõ [1]. Âåëè÷èíà [ , ..., ] : ! ! [ ,..., ] t t f r D fr t t r 0 0 � � � � íàçûâàåòñÿ � -ðàçäåëåííîé ðàçíîñòüþ ôóíêöèè f x x k( , ..., )1 â òî÷êàõ t t Rr k 0, ..., , ãäå � � � �! ! ! !� 1 2 � k , D f x x f k k � � � � � � � �� 1 1 � , 146 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 © Ñ.Ð. Êîñòàäèíîâà, 2011 [ , ..., ]t t r0 — âûïóêëàÿ îáîëî÷êà òî÷åê t t r0, ..., . Êðîìå òîãî, ïðåäïîëàãàåì, ÷òî âûïîëíåíî ðàâåíñòâî � �1 1� � � � �� k r k . Ïðèâåäåì ÿâíóþ ôîðìóëó ìíîãîìåðíîãî Â-ñïëàéíà. Òåîðåìà 1. Ìíîãîìåðíûé Â-ñïëàéí M x x x r( \| , ..., )0 ÿâëÿåòñÿ � -ðàçäåëåííîé ðàçíî- ñòüþ (� � � � � � �( )1 � k ) ïî àðãóìåíòó � � ôóíêöèè � � � � � � 1 1 1 1 11( ) ( )� �� x xk k k k � , ò.å. M x x x x x xr r k k( \| , ..., ) [ , ..., ] ( ( ) (0 0 1 1 1 11� � � � � �� x k k) )� �� 1 èëè M x x x x x xr r( \| , ..., ) [ , ... ] ! ( )! ( )0 0 1 1 � � � � � � � � � � � �� , ãäå âåêòîð � � � � � � �( )1 � k , � �1 1� � � � �� k r k . ßâíàÿ ôîðìóëà ìíîãîìåðíîãî Â-ñïëàéíà, êîãäà óçëû ðàñïîëîæåíû â «îáùåì ïîëîæåíèè», âûâåäåíà Àëè è Ìåäîì [3] â òåðìèíàõ ïëîòíîñòåé âåðîÿòíîñòåé ëè- íåéíûõ êîìáèíàöèé ñïåéñèíãîâ ðàâíîìåðíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðåííûå ïðèìåðû ñ èñïîëüçîâàíèåì ÿâíîé ôîðìóëû ìíîãîìåðíîãî Â-ñïëàéíà èç òåîðåìû 1 äàþò îäèíàêîâûå ðåçóëüòàòû ñ òåìè, êîòîðûå âû÷èñëåíû ñ èñïîëüçîâàíèåì ôîðìóëû Àëè è Ìåäà. Ïðèâåäåì òåîðåìó î ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåí- íûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí è ìíîãîìåðíûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñïëàéíîâ. Äîêàçàòåëü- ñòâî òåîðåìû äàíî â [2]. Òåîðåìà 2. Ïóñòü íóëåâîé âåêòîð t Rk 0 0 0 0� ( , , ..., ) è âåêòîðû t t r1, ..., íàõî- äÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè. Ïóñòü òàêæå � � �� ( )1 � k — ôèêñèðîâàííûé âåêòîð ñ öåëî÷èñëåííûìè ïîëîæèòåëüíûìè êîîðäèíàòàìè, óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ � �1 1� � � � �� k r k . Òîãäà ñëó÷àéíûé âåêòîð � � �� 1 1t tr r � èìååò ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f x� ( ), x Rk , x x x k '� ( , ..., )1 , îòíîñèòåëüíî k -ìåð- íîé ëåáåãîâîé ìåðû � k . Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå � -ðàçäåëåííîé ðàçíîñòè â òî÷êàõ t t t r0 1, ..., ôóíêöèè f z z r e z x dk k i k i i i i( , ..., ) ! ( )1 1 1 1 0 � � � � � � � � � � � � � �� , ãäå ( )y y� � , åñëè y � 0, è ( )y � � 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Ïðèìåð. Íàéòè ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà � � 1 2 � �� : � � � � � � � 1 1 2 3 2 2 3 15 0 5� � � � � � � � , , , , (3) ãäå � i , i �1 2 3, , , — íåçàâèñèìûå îäèíàêîâî ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Ïðåäñòàâèì âåêòîð � � 1 2 � �� â âèäå � � � � �1 2 0 1 2 0 0 1 0 15 1 0� �� , ,5 1 3 � � � � � � , ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 147 ãäå � � � �0 1 2 3, , , — íåçàâèñèìûå ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû. Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèÿ èç òåîðåìû 2, ïîëó÷àåì t 0 0 0 0 � � � � � � �* , t 1 1 0 � � � � � � , t 2 15 1 � � � � � � , , t 3 0 5 1 � � � � � � , . Íà ðèñ. 1, 2 äàíû ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåðïðåòàöèè ïðèìåðà, ãäå l y y1 2 12: � , l y y2 2 1 1 15 : , � , D1 è D2 äàíû íèæå. Âíà÷àëå íàéäåì ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé âåêòîðà ( )� �1 2 ' êëàññè÷åñêèìè ìåòî- äàìè, äîáàâëÿÿ íîâóþ ïîäõîäÿùóþ êîîðäèíàòó � �3 3� è ïîëó÷àÿ ïëîòíîñòü âåðîÿò- íîñòåé âåêòîðà ( )� �1 2 ' íà îñíîâàíèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé âåêòîðà ( )� � �1 2 3 ' . Ââîäÿ ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � � � � � � � � � 1 1 2 3 2 2 3 3 3 15 0 5� � � � � � � � � � � , , , , , ïîëó÷àåì ïðåäñòàâëåíèå y x x x y x x y x 1 1 2 3 2 2 3 3 3 15 0 5� � � � � � � � � � � , , , , , (4) ãäå ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f � � �1 2 3 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ( , , )y y y1 2 3 � � �1 2 3, , èìååò âèä f y y y f x y y y x y y y� � � � � �1 2 3 1 2 31 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3( , , ) ( ( , , ), ( , ,� ), ( , , )) \| \|x y y y J3 1 2 3 , J — ÿêîáèàí, îïðåäåëÿåìûé íèæå. Ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû � � �1 2 3, , íåçàâèñèìû è îäèíàêîâî ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåíû. Ñëåäîâàòåëüíî, èõ ñîâìåñòíàÿ ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ðàâíà ÿêîáèàí J — äåòåðìèíàíò ìàòðèöû 148 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 Ðèñ. 1 y2 y3 y1 l1 l2 Ðèñ. 2 y2 y3 y1 h ( , )0 0 ( , )1 0 ( . , )1 5 1( . , )0 5 1 D2 D1 �� ñëó÷àÿõ,îñòàëüíûõâ0 ,0,0,0åñëè, ),,( 321 )( 321 321 3211 xxxe xxxf xxx �� x y x y x y x y x y x y x y x y x 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3� � � � � � � � � � � � � � � � � �y , à ñèñòåìà x y y y y y y x y y y y y x y 1 1 2 3 1 2 3 2 1 2 3 2 3 3 1 15( , , ) , , ( , , ) , ( , � � � � � y y y2 3 3, ) � � � � � � ïðåäñòàâëÿåò îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå äëÿ (4): x y x y y x y y y 3 3 2 2 3 1 1 2 315 � � � � � � � � � � � , , , . Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé âåêòîðà ( )� � �1 2 3 ' èìååò âèä f y y y e y y y D y y y � � �1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 5 1 2 3( , , ) , ( , , ) ( , ) � � � � åñëè , 0 � � � ãäå D y y y y y y y y y� � � � � � �{ }( , , ) : , , ,1 2 3 3 2 3 1 2 30 0 15 0 . Ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ f � � �1 2 3 ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ( , , )y y y1 2 3 ïî ïåðåìåííîé y3 ïîëó÷àåì f y y e e e y y D e y y y y � �1 2 1 2 2 1 2 0 5 0 5 1 2 1 ( , ) ( ) ( , ) , , , � � � � � äëÿ 2 1 20 5 1 2 2 0 � � � � � � � � e y y D y y, ( , ) ,äëÿ ãäå D y y y y y1 1 2 2 1 215 0 0� � � �{( , ): , , }, D y y y y y y2 1 2 2 1 2 115 0 0 5 0� � � � �{( , ) : , , , }. Äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó äëÿ f z z k( , ..., )1 èç òåîðåìû 2, ãäå r � 3 , k � 2 , �1 1� , t 0 0 0 � � � � � � , t 1 1 0 � � � � � � , t 2 15 1 � � � � � � , , t 3 0 5 1 � � � � � � , . Î÷åâèäíî, ÷òî èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî � �1 1� � � � �� k r k . Äëÿ ôóíêöèè f z z k( , ..., )1 ïîëó÷àåì f z z e z x z x d( , ) ! ( ) ( )1 2 0 1 1 0 2 2 0 3 � � � � � � � � � � � �� . Îáîçíà÷èì I k r ìíîæåñòâî âñåõ ñî÷åòàíèé èç r �1 ýëåìåíòà { }0 1 2, , , ..., r ïî k . Äëÿ êàæäîé êîìáèíàöèè èç k èíäåêñîâ i i i Ik k r� �( , , )0 1� ïðåäñòàâëÿåì f t i{ } ñëå- äóþùèì îáðàçîì: f t t t f di k i i t t k k i ik { }: [ , , ] [ ,..., ] � � � � � 1 1 1 0 1 0 1� � � , ãäå � k�1 — ëåáåãîâà ìåðà â ïðîñòðàíñòâå ðàçìåðíîñòè ( )k �1 , [ , ..., ]t t i ik0 1� — âû- ïóêëàÿ îáîëî÷êà òî÷åê t t i ik0 1, ..., � . Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ, êîãäà � k i i i x x k k � � � �1 0 1 1 0([ , , ] )� . ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 149 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ, 150 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ. Åñëè òî÷êè t t t Rr k 0 1, , ,� íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè, à � � �� ( )1 � k — ìóëüòèèíäåêñ, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ � �1 1� � � � �� k r k , òî � -ðàçäåëåííàÿ ðàçíîñòü ôóíêöèè f èìååò âèä [1] [ , ..., ] )t t f c f tr i i i Ik r 0 � �� ( , ãäå c r k d t e d t t i r k i l l k i l l � � � � � � � � � � ( ) ! !( )! [ ( , , )] ( , , 1 1 0 1 1 1 0 0 1 ) ,..., � � � � � l r i i ik , el l � ( , , , , , , )0 0 0 1 0� � �� , l k�1, ,� ; d t y y t t y t t i i i k k i k i k k ( , , )� � � � � 1 1 1 0 1 0 1 1 1 � � � � � � � . Â ñèëó âûøåèçëîæåííîãî ïîñëå ðÿäà âû÷èñëåíèé ìîæíî ïîëó÷èòü ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé f y y e e e y y D e y y y � �1 2 1 2 2 1 2 0 5 0 5 1 2 1 , , , ( , ) ( ) ( , ) , � � � � � äëÿ y y y e y y D2 1 20 5 1 2 2 0 � � � � � � � � , ( , ) ,äëÿ Ñäåëàåì íåêîòîðûå êîììåíòàðèè ê òåîðåìå 2. Äîêàæåì, ÷òî ïëîòíîñòü âåðîÿò- íîñòåé f x� ( ), x Rk , åñòü ìíîãîìåðíûé ýêñïîíåíöèàëüíûé ñïëàéí, óìíîæåííûé íà êîíñòàíòó. Ôîðìóëà äëÿ ôóíêöèè ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòåé ëèíåéíûõ ïðåîáðàçîâà- íèé íåçàâèñèìûõ ýêñïîíåíöèàëüíûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí ïîëó÷åíà â òåîðåìå 3, äîêàçà- òåëüñòâî åå äàíî â [6]. Â äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî t Rk 0 0 0 0� � * ( , ..., ) . Äàäèì åùå îäíî ïðåäñòàâëåíèå �: � � � �� 0 0 1 1t t tr r � . Åñëè îáîçíà÷èòü d t t x t t t t x x i i i j i i j i j j j j ( , ..., , , ):1 1 11 1 1 1 1 � � � � � � � � � � (5) äëÿ êàæäîãî j k� 1 2, , ..., è d x( ; )� �1 äëÿ j � 0, òî ïîëó÷èì d t t t i i ij j( , ..., , ; )1 1 1 0� � ïðè óñëîâèè, ÷òî òî÷êè íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ äëÿ êàæäîãî j r�1 2, , ..., : a t t x i i j( , ..., , )1 0� , åñëè d t t d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )1 10 1 1 0� , è a t t x a t t x d t t i i i i i ij j j( , ..., , ) ( , ..., , ; ) / ( , ...,1 1 10� � , ; )0 1 â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, à òàêæå A t t x a t x a t t x a t i i i i is( , ..., , ) max ( , ( , ), ( , , ), , (1 1 1 20� � i i t xs1 , ..., , )), j k�1 2, , ..., ; ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1 151 c t t x d t t x d t t i i i i i ij j j( , ..., , ) ( , ..., , ; ) / ( , ...,1 1 10� � , ; )0 1 , åñëè d t t d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )1 10 1 1 0� ; c t t x i i j( , ..., , )1 � � , åñëè d t t d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )1 10 1 1 0� ; c t t x i i j( , ..., , )1 0� , åñëè d t t i i j( , ..., , ; )1 0 1 0� è d t t x d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )1 10 1 0� ; c t t x i i j( , ..., , )1 � � , åñëè d t t i i j( , ..., , ; )1 0 1 0� è d t t x d t t i i i ij j( , ..., , ; ) / ( , ..., , )1 10 1 0� ; C t t x c t x c t t x c t i i i i is( , ..., , ) min ( , ( , ), ( , , ), , (1 1 1 20� � i i t xs1, ..., , )) ; B t t x A t t x C t t i i i i i is s( , ..., , ) max ( , ..., , ), ( , ...,1 1 1� { s x, )} . Òåîðåìà 3. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòåé ñëó÷àéíîãî âåêòîðà � � �� 1 1t tr r � â òî÷êå x Rk èìååò âèä f x i r i i i r i i i j k r i i k k j k � ( ) , , � � � � � � � � � � � � 1 2 2 1 1 0 0 0 1 0 1 � � k j k i j k r i i d t t � � � � � � 1 1 1 1 1 ,..., ( , ..., ; ) � � �( ( , ..., , ; )) ( ( , ..., , ; )) ( d t t d t t x r i i j i i r k jk k1 10 1 0 � � � � � � k jj r k )!0 � ��( ( , ..., , )) ( ( , ...,( ,..., , )A t t x e B t i i l A t t x ik i ik 1 1 1 t x e l i l B t t x l j k i ik , )) ! ( ,..., , )� � � 1 0 , ãäå t Rk 0 0� * ; âåêòîðû t t r1, ..., Rk íàõîäÿòñÿ â îáùåì ïîëîæåíèè; 0 10 � ; ( )�� m e 0 (çäåñü m — íåîòðèöàòåëüíîå öåëîå). Ðåçóëüòàòû èç òåîðåì 1, 2 è 3 ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ àëãîðèòìèçàöèè êîìïüþòåðíûõ âû÷èñëåíèé è ðåøåíèÿ ïðèêëàäíûõ çàäà÷. Âåðîÿòíîñòíîå ðàñïðåäå- ëåíèå ëèíåéíîé êîìáèíàöèè èç íåçàâèñèìûõ ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí íàõîäèò øèðîêîå ïðèëîæåíèå â òåîðèè ðèñêà, â òåîðèè î÷åðå- äåé, â ìíîãîôàêòîðíîì àíàëèçå íàäåæíîñòè è â ïñèõîëîãèè. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòà- òû ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ èññëåäîâàíèÿ è ïðîãíîçèðîâàíèÿ âëèÿíèÿ ñóáúåêòèâíîãî ôàêòîðà íà ýêîíîìè÷åñêèå è ñîöèàëüíûå ñèñòåìû. ÑÏÈÑÎÊ ËÈÒÅÐÀÒÓÐÛ 1. À ê î ï ÿ í À . À . , Á î ÿ í î â Á . Ä . Òåîðèÿ íà ñïëàéí ôóíêöèèòå. — Ñîôèÿ: Íàóêà è èçêóñòâî, 1990. — 182 ñ. 2. Ê î ñ ò à ä è í î â à Ñ . Ð . , È ã í à ò î â Ö â . Ëèíåéíè òðàíñôîðìàöèè íà åêñïîíåíöèàëíî ðàçïðåäåëå- íè ñëó÷àéíè âåëè÷èíè è ìíîãîìåðíè åêñïîíåíöèàëíè ñïëàéíè // Ãîä. Íà ÑÓ, Ñòîïàíñêè ôàêóëòåò. — 2006. — 5. — Ñ. 109–114. 3. A l i M . M . , M e a d E . R . On the distribution of several linear combinations of order statistics from the uniform distribution // The University of Western Ontario, 1968. — P. 22–41. 4. D a h m e n W . , M i c c h e l l i C . A . On the linear independence of mulivariate B -splines. II. Complete configurations. — Preprint 460, Bonn, 1981. 5. D e B o o r C . Splines as linear combinations of B -splines. Approximation Theory. II. — New York: Acad. Press, 1976. — P. 1–47. 6. I g n a t o v Z v . G . , D i a l o M . O . , K o s t a d i n o v a S . R . The density of linear transformations of in- dependent exponential random variables // XXXIV Spring Conf. of UBM, 2005. — P. 164–168. Ïîñòóïèëà ïîñëå äîðàáîòêè 23.05.2008 152 ISSN 0023-1274. Êèáåðíåòèêà è ñèñòåìíûé àíàëèç, 2011, ¹ 1

Сплайн-функции для исследования и прогнозирования систем

Репозитарії

Схожі ресурси