Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями
Одержано конструктивні умови існування та побудовано узагальнений оператор Гріна для побудови розв'язків нетерової лінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь з перемиканнями та імпульсним впливом у критичному та некритичному випадках....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7242 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 51-65. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7242 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-72422010-03-29T12:01:16Z Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Одержано конструктивні умови існування та побудовано узагальнений оператор Гріна для побудови розв'язків нетерової лінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь з перемиканнями та імпульсним впливом у критичному та некритичному випадках. We obtain constructive existence conditions and build a generalized Green’s operator for constructing solutions of a Noetherian linear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations with switchings and impulsive effects in the critical and noncritical cases. 2007 Article Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 51-65. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7242 517.9 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Одержано конструктивні умови існування та побудовано узагальнений оператор Гріна для побудови розв'язків нетерової лінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь з перемиканнями та імпульсним впливом у критичному та некритичному випадках. |
| format |
Article |
| author |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. |
| spellingShingle |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями |
| author_facet |
Бойчук, А.А. Чуйко, С.М. |
| author_sort |
Бойчук, А.А. |
| title |
Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями |
| title_short |
Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями |
| title_full |
Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями |
| title_fullStr |
Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями |
| title_full_unstemmed |
Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями |
| title_sort |
обобщенный оператор грина импульсной краевой задачи с переключениями |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7242 |
| citation_txt |
Обобщенный оператор Грина импульсной краевой задачи с переключениями / А.А. Бойчук, С.М. Чуйко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 51-65. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT bojčukaa obobŝennyjoperatorgrinaimpulʹsnojkraevojzadačispereklûčeniâmi AT čujkosm obobŝennyjoperatorgrinaimpulʹsnojkraevojzadačispereklûčeniâmi |
| first_indexed |
2025-07-02T10:06:44Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:06:44Z |
| _version_ |
1836529279167365120 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ИМПУЛЬСНОЙ
КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ
А. А. Бойчук
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
e-mail: boichuk@imath.kiev.ua
С. М. Чуйко
Славян. пед. ун-т
Украина, 84116, Славянск Донецкой обл., ул. Г. Батюка, 19
e-mail: chujko-slav@inbox.ru
We obtain constructive existence conditions and build a generalized Green’s operator for constructing
solutions of a Noetherian linear boundary-value problem for a system of ordinary differential equations
with switchings and impulsive effects in the critical and noncritical cases.
Одержано конструктивнi умови iснування та побудовано узагальнений оператор Грiна для по-
будови розв’язкiв нетерової лiнiйної крайової задачi для системи звичайних диференцiальних
рiвнянь з перемиканнями та iмпульсним впливом у критичному та некритичному випадках.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о нахождении решения
z(t) = col
(
z(1)(t), . . . , z(n)(t)
)
, z(j)(·) ∈ C1
{
[a; b ] \ {τi}I
}
,
z(j)(·) ∈ C[a; b], j = 1, 2, . . . , n,
линейного однородного дифференциального уравнения с переключениями
dz
dt
= Ai(t)z, t ∈ [τi; τi+1], (1)
где Ai(t) — (n× n)-матрицы, непрерывные на отрезках [a; τ1], [τ1; τ2], . . . , [τp; b].
Пусть W0(t) — нормальная (W0(a) = In) фундаментальная матрица системы (1) на
отрезке [a; τ1], а W1(t)− фундаментальная матрица этой системы на отрезке [τ1; τ2], ко-
торая удовлетворяет условию W0(τ1) = W1(τ1). Существование нормальной (W0(τ1) =
= W1(τ1)) фундаментальной матрицы системы (1) на отрезке [τ1; τ2] следует из невырож-
денности фундаментальных матриц системы (1) на отрезках [a; τ1] и [τ1; τ2]. Таким обра-
зом, нормальная (X0(a) = In) фундаментальная матрица X0(t) системы (1) представима
c© А. А. Бойчук, С. М. Чуйко, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1 51
52 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
в виде
X0(t) =
W0(t), t ∈ [a; τ1], W0(a) = In,
W1(t), t ∈ [τ1; τ2], W0(τ1) = W1(τ1),
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wp(t), t ∈ [τp; b], Wp(τp) = Wp−1(τ1).
(2)
Матрица X0(t) непрерывна на отрезке [a; b] и удовлетворяет системе (1).
Лемма 1. Общее решение системы (1) обыкновенных дифференциальных уравнений
с переключениями представимо в виде
z(t, c) = X0(t)c, c ∈ Rn,
где X0(t) — нормальная (X0(a) = In) фундаментальная матрица (2) этой системы.
Пример 1. Нормальная (X0(0) = 1) фундаментальная матрица системы с переключе-
ниями
dz
dt
= A1(t)z, t ∈
[
0;
π
2
]
,
dz
dt
= A2(t)z, t ∈
[
π
2
;
3π
2
]
,
dz
dt
= A3(t)z, t ∈
[π
2
; 2π
]
,
(3)
где
A1(t) = A3(t) =
(
J2 O
O 1
)
, A2(t) =
(
O2×2 O
O 1
)
,
J2 =
(
0 1
−1 0
)
, O2×2 =
(
0 0
0 0
)
,
имеет вид
X0(t) =
(
X2(t) O
O et
)
, t ∈
[
0;
π
2
]
,(
J2 O
O et
)
, t ∈
[
π
2
;
3π
2
]
,(
−X2(t) O
O et
)
, t ∈
[π
2
; 2π
]
.
Здесь
X2(t) =
(
cos t sin t
− sin t cos t
)
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ 53
2. Линейные однородные краевые задачи с импульсным воздействием общего вида.
Исследуем задачу о нахождении условий существования и построении решений
z = z(t) = col
(
z(1)(t), . . . , z(n)(t)
)
, z(j)(·) ∈ C1
{
[a; b ] \ {τi}I
}
, j = 1, 2, . . . , n,
системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переключениями
dz
dt
= Ai(t)z, t 6= τi, (4)
удовлетворяющих однородному краевому условию
Lz(·) = 0, i = 1, 2, . . . , p, (5)
где Lz(·)− линейный ограниченный векторный функционал вида
Lz(·) =
p∑
i=0
`i z(·),
причем
`i z(·) : C1[τi; τi+1[× . . .× C1[τi; τi+1[→ Rm, i = 0, 1, 2, . . . , p− 1, τ0 = a,
`p z(·) : C1[τp; b]× . . .× C1[τp; b] → Rm
— линейные ограниченные функционалы. Задача (4), (5) является обобщением краевой
задачи [1] на случай систем с переключениями. Если импульсное воздействие (5) опреде-
ляется посредством функционалов
`0z(·) =
N1z(τ1 − 0)
On×1
. . . . . . . . . . . .
On×1
On×1
, `1z(·) =
M1z(τ1 + 0)
N2z(τ2 − 0)
. . . . . . . . . . . .
On×1
On×1
, . . . ,
действующих соответственно из пространств
C1[a; τ1[× . . .× C1[a; τ1[, C1[τ1; τ2[× . . .× C1[τ1; τ2[, . . .
в пространство Rpk, а также функционалов
`p−1z(·) =
On×1
On×1
. . . . . . . . . . . . . . .
Mp−1z(τp−1 + 0)
Npz(τp − 0)
, `pz(·) =
On×1
On×1
. . . . . . . . . . . . . . .
On×1
Mpz(τp + 0)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
54 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
действующих соответственно из пространств
C1[τp−1; τp[× . . .× C1[τp−1; τp[, C1[τp; b]× . . .× C1[τp; b]
в пространство Rpk, получаем задачу, рассмотренную в [2]. Здесь Mi, Ni− (k × n)-мат-
рицы. В частности, при R(Ni) = R(Mi), N(Ni) = ∅ имеем задачу, исследованную в [3], в
случае k = n — исследованную в [4, 5], а при условии невырожденности матриц Mi, Ni —
исследованную в [6]. Здесь R(Ni), N(Ni) — соответственно образы и нуль-пространства
матриц Ni. Далее, при условии, что все матрицы Ni = −(In + Si) невырождены, а мат-
рицы Mi = In, получаем задачу, исследованную в [7 – 9]. В частности, если Si = 0, имеем
задачу, исследованную в [10]. Если для некоторых i матрицы In + Si вырождены, имеет
место вырожденное импульсное воздействие [11].
Таким образом, для задач, исследованных С. Швабиком, А. М. Самойленко, Н. А. Пе-
рестюком и А. А. Бойчуком, а также для задач с вырожденным импульсным воздей-
ствием функционал, определяющий разрыв интегральной кривой в точках τ1, τ2, . . . τp,
использует информацию об этой кривой только в этих точках: функционалы `0z(·) и
`1z(·) определяют первый (i = 1) разрыв интегральной кривой в точке τ1 , функцио-
налы `1z(·) и `2z(·) — второй (i = 2) разрыв интегральной кривой в точке τ2 и так далее,
функционалы `p−1z(·) и `pz(·) — последний (i = p) разрыв интегральной кривой в точке
τp.
Если импульсное воздействие (5) определяется посредством функционалов
`0z(·) =
`
(0)
1 z(·)
`
(0)
2 z(·)
. . . . . . . . .
`
(0)
p−1z(·)
`
(0)
p z(·)
, `1z(·) =
`
(1)
1 z(·)
`
(1)
2 z(·)
. . . . . . . . .
`
(1)
p−1z(·)
`
(1)
p z(·)
, `2z(·) =
On×1
`
(2)
2 z(·)
. . . . . . . . .
`
(2)
p−1z(·)
`
(2)
p z(·)
, . . . ,
действующих соответственно из пространств
C1[a; τ1[× . . .× C1[a; τ1[, C1[τ1; τ2[× . . .× C1[τ1; τ2[, C1[τ2; τ3[× . . .× C1[τ2; τ3[, . . .
в пространство R(p+1)k, а также функционалов
`p−1z(·) =
On×1
On×1
. . . . . . . . .
`
(p−1)
p−1 z(·)
`
(p−1)
p z(·)
, `pz(·) =
On×1
On×1
. . . . . . . . .
On×1
`
(p)
p z(·)
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ 55
действующих соответственно из пространств
C1[τp−1; τp[× . . .× C1[τp−1; τp[, C1[τp; b]× . . .× C1[τp; b]
в пространство R(p+1)k, получаем задачу с краевыми условиями типа „interface conditions”,
исследованную в [2, 12, 13]; здесь
`
(0)
i z(·) : C[a; τ1 [→ Rk, . . . , `
(i)
i z(·) : C [τi; τi+1 [→ Rk, i = 1, . . . , p− 1, . . . ,
`(0)
p z(·) : C[a; τ1 [→ Rk, . . . , `(p)
p z(·) : C [τp; b] → Rk
— линейные ограниченные функционалы.
Таким образом, для задач с краевыми условиями типа „interface conditions” разрыв
интегральной кривой при продолжении с промежутка [a; τ1 [ на промежуток [τ1; τ2[ опре-
деляется посредством функционалов `
(0)
1 z(·) и `
(1)
1 z(·), определенных, в отличие от задач,
исследованных А. М. Самойленко, Н. А. Перестюком и С. Швабиком, а также от за-
дач с вырожденным импульсным воздействием, на всей длине этих промежутков, а не
только на концах τ1 − 0 и τ1 этих промежутков. Разрыв интегральной кривой при про-
должении с промежутка [a; τ1 [∪[τ1; τ2[ на промежуток [τ2; τ3[ определяется посредством
функционалов `
(0)
2 z(·), `
(1)
2 z(·) и `
(2)
2 z(·), определенных на промежутке [a; τ3 [, за исключе-
нием точек τ1 и τ2. И далее, разрыв интегральной кривой при продолжении с промежутка
[a; τ1 [∪[τ1; τ2[∪ . . . ∪ [τp−1; τp[ на промежуток [τp; b] определяется посредством функцио-
налов `
(0)
p z(·), `
(1)
p z(·), . . . , `(p)
p z(·), определенных на промежутке [a; b], за исключением
точек τ1, τ2, . . . , τp. Частным случаем задач вида (4), (5) является и серия из p не связан-
ных между собою краевых задач
dz
dt
= Ai(t)z, `iz(·) = αi,
определенных на промежутках [τi; τi+1[, i = 1, 2, . . . , p, где
αi ∈ Rmi , col
(
α1, α2, . . . , αp
)
∈ Rm, m1 + m2 + . . . + mp = m.
И наконец, краевая задача (4), (5) является обобщением традиционной задачи о нахожде-
нии гладких решений системы (4), удовлетворяющих линейному краевому условию [7]. С
другой стороны, краевое условие (5) эквивалентно условию [14], при этом краевая задача
(4), (5) является частным случаем краевых задач для функционально-дифференциальных
уравнений [14]. В отличие от задач с невырожденным импульсным воздействием, а также
от задач с краевыми условиями типа „interface conditions” [12, 13] ранг любой фундамен-
тальной матрицы X(t) задачи (4), (5) может быть меньше n на любом из промежутков
[a; τ1[, [τ1; τ2[, . . . , [τp; b] ⊂ [a; b], в том числе и на полуинтервале [a; τ1[. Примером послед-
ней ситуации является любая фундаментальная матрица X(t) традиционной задачи [7] о
нахождении гладких периодических решений системы (4) при условии наличия у систе-
мы (4) как периодических, так и непериодических решений. Поскольку ранг любой из
фундаментальных матриц X(t) задачи (4), (5) может быть меньше n на полуинтервале
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
56 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
[a; τ1[, подлежит обобщению само определение нормальной фундаментальной матрицы
X(t) задачи (4), (5).
Пример 2. Решения краевой задачи
dz
dt
= 0, t ∈ [0; 3], t 6= τ1, τ2,
1∫
0
z(t)dt = 0,
3∫
2
z(t)dt = 0 τ1 = 1,
z(1 + 0)− z(2− 0) = 0, τ2 = 2,
(6)
представимы в виде z(t, c) = X(t)c, c ∈ R1, где
X(t) =
0, t ∈ [0; 1[,
1, t ∈ [1; 2[,
0, t ∈ [2; 3].
Таким образом, размерность общего решения задачи (6) не нулевая лишь при t ∈
∈ [1; 2[, при этом естественно из всех фундаментальных систем решений задачи (6) выде-
лить решение, норма которого при t ∈ [1, 2[ равна единице. Полученная в примере 2 стру-
ктура фундаментальной системы решений задачи (6) невозможна ни для задач с выро-
жденным импульсным воздействием [11], ни для задач с краевыми условиями типа „inter-
face conditions” [12].
Пусть X0(t) — нормальная (X0(a) = In) фундаментальная матрица системы (4); фун-
даментальную матрицу нетривиальных решений задачи (4), (5) ищем в виде
X(t) =
X0(t)Y0, t ∈ [a; τ1[,
X0(t)Y1, t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)Yp, t ∈ [τp; b],
(7)
где Y0, . . . , Yp — неизвестные постоянные (n × n)-матрицы. Подставляя матрицу (7) в
краевое условие (5), получаем равенство
LX(·) =
p∑
i=0
`i X0(·)Yi = O,
равносильное уравнению
QY = O, (8)
где
Q =
[
`0X0(·) `1X0(·) . . . `pX0(·)
]
, Y =
Y0
Y1
. . .
Yp
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ 57
— соответственно (m× n(p + 1))- и (n(p + 1)× n)-постоянные матрицы, O — нулевая
(m × n)-матрица. Обозначим через PQ : Rn(p+1) → N(Q) (n(p + 1)× n(p + 1))-мерную
матрицу-ортопроектор [7].
Лемма 2. При условии PQ = O задача (4), (5) на всем отрезке [a; b] имеет только
нулевое решение.
Пример 3. Условия леммы выполнены для переопределенной краевой задачи
dz
dt
= z, t ∈ [0; 2], t 6= 1, z(0) = 0, z(1 + 0) = 0. (9)
Согласно принятым обозначениям X0(t) = et,
`0z(·) =
[
z(0)
0
]
, `1z(·) =
[
0
z(1 + 0)
]
, Q =
[
1 0
0 e
]
.
Поскольку матрица Q имеет полный ранг, то PQ = O2, при этом задача (9) на всем отрез-
ке [0; 2] имеет только нулевое решение.
Пусть, далее, PQ 6= O, при этом общее решение уравнения (8) имеет вид Y = PQC,
где C — произвольная ((p + 1)n× n)-матрица [7]. Положим
PQ =
P
(0)
Q
P
(1)
Q
. . . . . . .
P
(p)
Q
, C = Ĩ · C(0), Ĩ =
In
In
. . . . . . .
In
,
где P
(0)
Q , P
(1)
Q , . . . , P
(p)
Q — (n× n(p + 1))-мерные блоки ортопроектора PQ, C0 — произволь-
ная постоянная (n×n)-матрица, Ĩ — постоянная (n(p + 1)× n)-матрица. В новых обозна-
чениях общее решение уравнения (8)
Y =
P
(0)
Q ĨC(0)
P
(1)
Q ĨC(0)
. . . . . . . . . . . . . . .
P
(p)
Q ĨC(0)
определяет искомые матрицы
Y0 = P
(0)
Q ĨC(0), Y1 = P
(1)
Q ĨC(0), . . . , Yp = P
(p)
Q ĨC(0).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
58 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
Таким образом, приходим к матрице
X(t) =
X0(t)P
(0)
Q ĨC(0), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)P
(1)
Q ĨC(0), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)P
(p)
Q ĨC(0), t ∈ [τp; b].
Положим
C(0) =
1
p0
In, max rank P
(i)
Q Ĩ = rank P
(i0)
Q Ĩ , ||X0(τi0+0)P
(i0)
Q Ĩ|| = p0.
матрицу
X(t) =
1
p0
X0(t)P
(0)
Q Ĩ , t ∈ [a; τ1[,
1
p0
X0(t)P
(1)
Q Ĩ , t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
p0
X0(t)P
(p)
Q Ĩ , t ∈ [τp; b],
(10)
назовем фундаментальной матрицей задачи (4), (5), нормированной в точке τi0 + 0 :
||X(τi0 + 0)|| = 1. В случае, когда rank P
(i)
Q Ĩ достигает своего максимума сразу в несколь-
ких точках τi0 , τi1 , . . . , нормируем матрицу X(t) в точке τi0 , представляющей наименьшее
из этих чисел. Норму функции f(·) ∈ C1
{
[a, b ]\{τi}I
}
аналогично [14] полагаем равной
||f(t)|| = |f(a)|+ var b
af(t).
Лемма 3. При условии PQ 6= O задача (4), (5) имеет семейство решений
z(t, c) = X(t)c, c ∈ Rn,
представимое нормированной (||X(τi0 +0)|| = 1) фундаментальной матрицей (10) зада-
чи (4), (5).
Нормированная фундаментальная матрица X(t) задачи (4), (5) является обобщени-
ем нормальной (X(a) = In) фундаментальной матрицы X(t) задачи о нахождении не-
прерывных решений системы (1), удовлетворяющих линейному краевому условию [7],
задачи с вырожденным или невырожденным импульсным воздействием, а также задачи
с краевыми условиями типа „interface conditions” , в том числе с переключениями. Для
этих задач τi0 = a, условие же нормировки ||X(τi0 +0)|| = 1 заменяет условие X(a) = In.
С другой стороны, нормальная фундаментальная матрица X(t) задачи (4), (5) является
обобщением соответствующей матрицы [1] на случай краевой задачи с переключения-
ми.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ 59
Пример 4. Условия леммы 3 выполнены для антипериодической задачи
dz
dt
= Ai(t)z, t ∈ [0; 2π],
z(+0) + z(2π − 0) = 0, τ1 =
π
2
,
z
(π
2
+ 0
)
+ z
(
3π
2
− 0
)
= 0, τ2 =
3π
2
.
(11)
матрицы Ai(t) и X0(t) приведены в примере 1. Согласно принятым обозначениям
`0z(·) =
[
z(0+)
O
]
, `1z(·) =
O
z
(π
2
+ 0
)
+ z
(
3π
2
− 0
)
, `2z(·) =
[
z(2π − 0)
]
,
следовательно,
`0X0(·) =
I2 O
O 1
O2×2 O
O O
, `1X0(·) =
O2×2 O
O O
2J2 O
O e
3π
2 + e
3π
2
, `2X0(·) =
−I2 O
O e2π
O2×2 O
.
Условия леммы 3 выполнены, так как для матрицы
Q = [`0X0(·) `1X0(·) `2X0(·)] =
I2 O O2×2 O −I2 O
O 1 O O O e2π
O2×2 O 2J2 O O2×2 O
O O O e
3π
2 + e
3π
2 O O
ортопроектор
PQ =
P
(0)
Q
P
(1)
Q
P
(2)
Q
6= O9×9.
Здесь
P
(0)
Q =
1
2
0 0 0 0 0
1
2
0 0
0
1
2
0 0 0 0 0
1
2
0
0 0 qe4π 0 0 0 0 0 −q
,
P
(1)
Q =
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
60 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
P
(2)
Q =
1
2
0 0 0 0 0
1
2
0 0
0
1
2
0 0 0 0 0
1
2
0
0 0 −qe2π 0 0 0 0 0 q
.
Поскольку
max rank P
(i)
Q Ĩ = rank P
(0)
Q Ĩ = rank P
(2)
Q Ĩ = 3,
то τi0 = 0 и p0 = 1, при этом нормированная фундаментальная матрица задачи (11) имеет
вид
X(t) =
X0(t)P
(0)
Q Ĩ , t ∈
[
0,
π
2
[
,
X0(t)P
(1)
Q Ĩ , t ∈
[
π
2
,
3π
2
[
,
X0(t)P
(2)
Q Ĩ , t ∈
[
3π
2 , 2π
]
,
q =
1
1 + e4π
.
Таким образом,
X(t) =
X2(t) O
O et e
2π(e2π − 1)
1 + e4π
, t ∈
[
0;
π
2
[
,
(
O2 O
O O
)
, t ∈
[
π
2
;
3π
2
[
, −X2(t) O
O et 1− e2π
1 + e4π
, t ∈
[π
2
; 2π
]
.
Полученная фундаментальная матрица X(t) задачи (11) нормирована в точке τi0 + 0 =
= +0, причем ||X(1+0)|| = X(1+0) = 1. Ранг нормированной фундаментальной матрицы
задачи (11) ненулевой на промежутках
[
0;
π
2
[
и
[π
2
; 2π
]
, что невозможно для нормальной
(X(a) = In) фундаментальной матрицы X(t) задачи о нахождении гладких решений сис-
темы (1), удовлетворяющих линейному краевому условию, и задачи с невырожденным
импульсным воздействием [7].
3. Импульсная краевая задача с переключениями в критическом случае. Исследуем
задачу о нахождении условий существования и построении решений
z = z(t) = col
(
z(1)(t), . . . , z(n)(t)
)
, z(j)(·) ∈ C1 {[a; b] \ {τi}I} , j = 1, 2, . . . , n,
неоднородной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переключения-
ми
dz
dt
= Ai(t)z + fi(t), t 6= τi, i = 1, 2, . . . , p, (12)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ 61
с неоднородным импульсным воздействием
Lz(·) = α, (13)
где функции fi(t) непрерывны на отрезках [a, τ1], [τ1, τ2], [τp, b], α ∈ Rm. Предположим
выполненными условия леммы 3. Решение задачи (12), (13) ищем в виде
z(t) =
X0(t)γ0 + K [fi(s)] (t), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)γ1 + K [fi(s)] (t), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)γp + K [fi(s)] (t), t ∈ [τp; b],
(14)
где
K [fi(s)] (t) = X0(t)
t∫
a
X−1
0 (s)fi(s)ds
— оператор Грина задачи Коши для системы (12), γ0, γ1, . . . , γp — неизвестные постоян-
ные из Rn, для нахождения которых используем условие (13):
Qγ = α− LK [fi(s)] (·). (15)
Здесь
γ = col (γ0, . . . , γp) ∈ Rn(p+1), Q = [`0X0(·)`1X0(·) . . . `pX0(·)]
— (m× n(p + 1))-матрица. Система (15) разрешима тогда и только тогда, когда
PQ∗ {α− LK [fi(s)] (·) } = O, (16)
где PQ∗ — (m × m)-матрица-ортопроектор: Rm → N(Q∗), O ∈ Rm. При выполнении
условия (16) общее решение задачи (12), (13) имеет вид
z(t, c) = X(t) c + G [fi(s);α] (t),
где
col (γ̄0, γ̄1, . . . , γ̄p) = Q+ {α− LK [fi(s)] (·)} ,
G [fi(s);α] (t) =
X0(t)γ̄0 + K [fi(s)] (t), t ∈ [a; τ1[,
X0(t)γ̄1 + K [fi(s)] (t), t ∈ [τ1; τ2[,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
X0(t)γ̄p + K [fi(s)] (t), t ∈ [τp; b],
(17)
— обобщенный оператор Грина задачи (12), (13). При условии PQ∗ 6= O задача (12), (13)
разрешима для тех и только тех неоднородностей fi(t) ∈ C1 {[a, b] \ {τi}I} и α ∈ Rm, ко-
торые удовлетворяют условию (16). Следуя традиционной классификации краевых задач
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
62 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
[7], случай PQ∗ 6= O назовем критическим; в этом случае условия существования и вид об-
щего решения задачи (12), (13) определяет следующая теорема.
Теорема. В критическом (PQ∗ 6= O) случае задача (12), (13) разрешима тогда и толь-
ко тогда, когда выполнено условие (16), и для любого c ∈ Rn имеет решение
z(t, c) = X(t)c + G [fi(s);α] (t), (18)
где G [fi(s);α] (t) — обобщенный оператор Грина (17) задачи (12), (13).
Доказанная теорема обобщает аналогичные утверждения для различных гибридных
задач. Действительно, для систем с толчками в заданные моменты времени, исследован-
ных А. Д. Мышкисом и А. М. Самойленко, неоднородная задача Коши z(a) = α для
системы (12) в критическом случае разрешима не для всех α ∈ Rn (условие 3 в статье [15,
с. 203]). Для задачи [11] с вырожденным импульсным воздействием (np× n(p + 1))-мат-
рица
Q̃ =
(In + S1)X0(τ1) X0(τ1) . . . . . . On×n On×n
On×n (In + S2)X0(τ2) . . . . . . On×n On×n
. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
On×n On×n . . . . . . X0(τp−1) On×n
On×n On×n . . . . . . (In + Sp)X0(τp−1) X0(τp)
не является матрицей полного ранга, поскольку вырождается хотя бы одна из матриц
(In + S1), (In + S2), . . . , (In + Sp); при этом rank Q̃ = n1 < np, следовательно, rank PQ̃∗ =
= np−n1 > 0 и задача с вырожденным импульсным воздействием [11] представляет кри-
тический случай (PQ̃∗ 6= O) и разрешима не для всех неоднородностей, а лишь для тех и
только тех, для которых выполнено условие (16). Доказанная теорема обобщает также
соответствующие утверждения для задач с краевыми условиями типа „interface conditi-
ons” [12] и более общими импульсными условиями [1] на случай задач с переключениями.
Пример 5. Условия теоремы выполнены для задачи
dz
dt
= Ai(t)z + fi(t), t ∈ [0; 3], t 6= 1, t 6= 2, Lz(·) = α, (19)
где
Lz(·) = col (z(1 + 0)− z(2− 0); z(0)− z(3)) ,
Ai(t) =
2t− 2, t ∈ [0; 1[,
0, t ∈ [1; 2[,
2t− 2, t ∈ [2; 3],
fi(t) =
0, t ∈ [0; 1[,
2t− 3, t ∈ [1; 2[,
0, t ∈ [2; 3],
α =
(
−1
1
)
.
Нормальная фундаментальная матрица однородной части дифференциальной сис-
темы (19)
X0(t) =
et2−2t, t ∈ [0; 1[,
e−1, t ∈ [1; 2[,
et2−2t−1, t ∈ [2; 3],
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ 63
определяет матрицы
Q =
(
0 0 0
1 0 e2
)
, Q+ =
0
1
1 + e4
0 0
0 − e2
1 + e4
и проекторы
PQ∗ =
(
1 0
0 0
)
, PQ =
e4
1 + e4
0
e2
1 + e4
0 1 0
e2
1 + e4
0 1
1+e4
.
Строки проектора PQ определяют фундаментальную матрицу задачи (19); нормируя ее,
получаем
X(t) =
et2−2t, t ∈ [0; 1[,
1 + e4
e3(1 + e2)
, t ∈ [1; 2[,
et2−2t−3, t ∈ [2; 3].
Поскольку PQ∗ 6= 0, имеет место критический случай;
K [fi(s)] (t) =
0, t ∈ [0; 1[,
t− 1, t ∈ [1; 2[,
0, t ∈ [2; 3],
LK [fi(s)] (·) =
(
−1
0
)
,
поэтому согласно теореме условие (16) разрешимости задачи (20) выполнено, при этом
общее решение задачи (20) имеет вид (18), где
G [fi(s);α] (t) =
1
1 + e4
et2−2t, t ∈ [0; 1[,
t− 1, t ∈ [1; 2[,
− 1
1 + e4
et2−2t+1, t ∈ [2; 3].
4. Некритическая импульсная краевая задача с переключениями. В простейшем слу-
чае, когда PQ∗ = O, задача (12), (13) разрешима при любых неоднородностях fi(t) и α.
Следуя традиционной классификации краевых задач [7], случай PQ∗ = O назовем некри-
тическим. В этом случае вид общего решения задачи (12), (13) определяет следующее
утверждение, обобщающее соответствующие результаты [3, 7, 8, 11], а также [14] в слу-
чае обыкновенных дифференциальных уравнений.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
64 А. А. БОЙЧУК, С. М. ЧУЙКО
Следствие. В некритическом (PQ∗ = O) случае задача (12), (13) разрешима при лю-
бых неоднородностях fi(t) ∈ C1 {[a, b] \ {τi}I} и α ∈ Rm и для любого c ∈ Rn имеет
решение z(t, c) = X(t) c+G [fi(s);α] (t), где G [fi(s);α] (t)− обобщенный оператор Грина
(4) задачи (12), (13).
Доказанное следствие обобщает аналогичные утверждения для задач с невырожден-
ным импульсным воздействием [11] и для задач с краевыми условиями типа „interface
conditions” [12]. Действительно, для задачи с невырожденным импульсным воздействи-
ем матрица Q̃ является матрицей полного ранга, поскольку не вырождается ни одна из
матриц (In + S1), (In + S2), . . . , (In + Sp); при этом rank Q̃ = n1 = np. Следовательно,
rank PQ̃∗ = 0 и задача с невырожденным импульсным воздействием [11] представляет
некритический случай (PQ̃∗ 6= O) и, как видно из следствия, разрешима для любых не-
однородностей fi(t) и α.
Пример 6. Условия следствия выполнены для задачи
dz
dt
= Ai(t)z, t ∈ [0; 2π], t 6= π
2
, t 6= 3π
2
, Lz(·) = α, (20)
где функционал Lz(·), матрицы Ai(t) и X0(t) определены в примере 1,
α = col ( 2, 0, 0, 0, 0, 0 ) , fi(t) ≡ O.
Нормальная фундаментальная матрица этой задачи найдена в примере 4; соответству-
ющая ей (6× 9)-матрица Q является матрицей полного ранга, следовательно, rank PQ∗ =
= 0. Это означает, что задача (20) представляет некритический случай. Частное решение
этой задачи
G [O;α] (t) =
X0(t)γ̄0, t ∈
[
0;
π
2
[
,
X0(t)γ̄1, t ∈
[
π
2
;
3π
2
[
,
X0(t)γ̄2, t ∈
[
3π
2
; 2π
]
,
определяет вектор
col (γ̄0, γ̄1, γ̄2) = Q+α = col ( 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0 ) .
Таким образом, для любого c ∈ R3 решение этой задачи имеет вид
z(t, c) = X(t)c + G [O;α] (t),
где
G [O;α] (t) =
cos t
− sin t
0
, t ∈
[
0;
π
2
[
, 0
0
0
, t ∈
[
π
2
;
3π
2
[
, cos t
− sin t
0
, t ∈
[
3π
2
; 2π
]
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБОБЩЕННЫЙ ОПЕРАТОР ГРИНА ИМПУЛЬСНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯМИ 65
1. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Докл. РАН. — 2001. —
379, № 2. — С. 170 – 172.
2. Conti R. On ordinary differential equation with interface conditions // J. Different. Equat. — 1968. — 4, № 1.
— P. 4 – 11.
3. Sčhwabik S. Differential equations with interface conditions// Čas. pestov. mat. — 1980. — № 105. — P. 391 –
410.
4. Pignani T. J., Whyburn W. M. Differential systems with interface and general boundary conditions // F. Elisha
Mitchell Sci. Soc. — 1956. — № 72. — P. 1 – 14.
5. Stallard F. W. Differential systems with interface conditions // Oak Ridge Nat. Laboratory, Rept № 1876.
6. Pham D., Weiss D. Sur un probléme aux limites pour un systéme ordinaire d’équations differentielles //
C. r. Acad. sci. Paris. — 1966. — № 262. — P. 123 – 126.
7. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems.
— Utrecht; Boston: VSP, 2004. — XIV + 317 p.
8. Бойчук А. А., Перестюк Н. А., Самойленко А. М. Периодические решения импульсных дифференци-
альных систем в критических случаях // Дифференц. уравнения. — 1991. — 5, № 9. — С. 1516 – 1521.
9. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 287 с.
10. Wexler D. On boundary value problems for an ordinary linear differential systems // Ann. mat. pura ed appl.
— 1968. — 80. — P. 123 – 136.
11. Бойчук А. А., Чуйко Е. В., Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина краевой задачи с вырожденным
импульсным воздействием // Укр. мат. журн. – 1996.– 48, № 5. — С. 588 – 594.
12. Чуйко С. М. Оператор Грина краевой задачи с импульсным воздействием // Дифференц. уравнения.
— 2001. — 37. № 8. — С. 1132 – 1135.
13. Чуйко С. М., Чуйко Е. В. Обобщенный оператор Грина задачи Коши с импульсным воздействием //
Докл. НАН Украины. — 1999. — № 6. — С. 43 – 47.
14. Анохин А. В. О линейных импульсных системах для функционально-дифференциальных уравнений //
Докл. АН СССР. — 1986. — 286, № 5. — С. 1037 – 1040.
15. Мышкис А. Д., Самойленко А. М. Системы с толчками в заданные моменты времени // Мат. сб. —
1967. – 74 (116), № 2. — С. 202 – 208.
Получено 30.08.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
|