Хаотическая буферность и ее математические модели
Запропоновано загальну ідею, за допомогою якої можна одержувати різні ланцюжки зв'язаних осциляторів із хаотичною буферністю. Як конкретні приклади розглянуто ланцюжки дифузійно зв'язаних узагальнених кубічних рівнянь Шредінгера та нелінійних телеграфних рівнянь. Наведено також приклади си...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7245 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Хаотическая буферность и ее математические модели / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 93-112. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7245 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-72452010-03-29T12:01:19Z Хаотическая буферность и ее математические модели Колесов, А.Ю. Мищенко, Е.Ф. Розов, Н.Х. Запропоновано загальну ідею, за допомогою якої можна одержувати різні ланцюжки зв'язаних осциляторів із хаотичною буферністю. Як конкретні приклади розглянуто ланцюжки дифузійно зв'язаних узагальнених кубічних рівнянь Шредінгера та нелінійних телеграфних рівнянь. Наведено також приклади систем, що мають нескінченновимірний хаотичний атрактор. We propose a general idea for obtaining different chains of connected oscillators that have a chaotic buffering. As examples, we consider chains of diffusionally connected generalized cubic Schr¨odinger equations and nonlinear telegraph equations. We also give an example of a system that has an infinite dimensional chaotic attractor. 2007 Article Хаотическая буферность и ее математические модели / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 93-112. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7245 517.926 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Запропоновано загальну ідею, за допомогою якої можна одержувати різні ланцюжки зв'язаних осциляторів із хаотичною буферністю. Як конкретні приклади розглянуто ланцюжки дифузійно зв'язаних узагальнених кубічних рівнянь Шредінгера та нелінійних телеграфних рівнянь. Наведено також приклади систем, що мають нескінченновимірний хаотичний атрактор. |
| format |
Article |
| author |
Колесов, А.Ю. Мищенко, Е.Ф. Розов, Н.Х. |
| spellingShingle |
Колесов, А.Ю. Мищенко, Е.Ф. Розов, Н.Х. Хаотическая буферность и ее математические модели |
| author_facet |
Колесов, А.Ю. Мищенко, Е.Ф. Розов, Н.Х. |
| author_sort |
Колесов, А.Ю. |
| title |
Хаотическая буферность и ее математические модели |
| title_short |
Хаотическая буферность и ее математические модели |
| title_full |
Хаотическая буферность и ее математические модели |
| title_fullStr |
Хаотическая буферность и ее математические модели |
| title_full_unstemmed |
Хаотическая буферность и ее математические модели |
| title_sort |
хаотическая буферность и ее математические модели |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7245 |
| citation_txt |
Хаотическая буферность и ее математические модели / А.Ю. Колесов, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 93-112. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kolesovaû haotičeskaâbufernostʹieematematičeskiemodeli AT miŝenkoef haotičeskaâbufernostʹieematematičeskiemodeli AT rozovnh haotičeskaâbufernostʹieematematičeskiemodeli |
| first_indexed |
2025-07-02T10:06:52Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:06:52Z |
| _version_ |
1836529287488864256 |
| fulltext |
УДК 517 . 926
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ
И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ*
А. Ю. Колесов
Ярослав. ун-т, Россия
Е. Ф. Мищенко
Мат. ин-т им. В. А. Стеклова РАН
Россия, 119991, Москва, ул. Губкина, 8
e-mail: mishch@mi.ras.ru
Н. Х. Розов
Моск. ун-т
Россия, 119899, Москва, Воробьевы горы
e-mail: rozov@rozov.mccme.ru
We propose a general idea for obtaining different chains of connected oscillators that have a chaotic bufferi-
ng. As examples, we consider chains of diffusionally connected generalized cubic Schrödinger equations
and nonlinear telegraph equations. We also give an example of a system that has an infinite dimensional
chaotic attractor.
Запропоновано загальну iдею, за допомогою якої можна отримувати рiзнi ланцюжки зв’язаних
осциляторiв iз хаотичною буфернiстю. Як конкретнi приклади розглянуто ланцюжки дифу-
зiйно зв’язаних узагальнених кубiчних рiвнянь Шредiнгера та нелiнiйних телеграфних рiвнянь.
Наведено також приклади систем, що мають нескiнченновимiрний хаотичний атрактор.
1. Постановка задачи. Будем говорить о явлении буферности, если в некоторой эво-
люционирующей во времени нелинейной системе при подходящем выборе параметров
можно добиться сосуществования любого наперед заданного конечного числа однотип-
ных аттракторов (состояний равновесия, циклов, торов и т. д.). В случае же, когда име-
ем дело с хаотическими аттракторами, соответствующий феномен назовем хаотической
буферностью. Как известно, цепочки и решетки связанных генераторов с сосредоточен-
ными параметрами являются полезными физически содержательными моделями, позво-
ляющими выяснить ряд закономерностей развития пространственно-временного хаоса
в сплошных средах [1 – 3]. При этом, как правило, в качестве отдельно взятого звена
цепочки (парциальной системы) рассматривается генератор, описывающийся системой
обыкновенных дифференциальных уравнений с единственным устойчивым циклом. На-
пример, в работах [1 – 3] использована одна и та же парциальная система
u̇ = u− d|u|2u, d = 1 + ic0, c0 ∈ R, (1)
∗ Выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант
№ 05-01-01004) и целевой программы „Развитие научного потенциала высшей школы” (проект
РНП.2.1.1.630).
c© А. Ю. Колесов, Е. Ф. Мищенко, Н. Х. Розов, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1 93
94 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
где u—комплекснозначная функция, но рассмотрены различные соответствующие ей це-
почки. А именно, в [1, 2] изучалась цепочка однонаправленно связанных генераторов (1),
т. е. система вида
u̇j + α(uj − uj−1) = uj − d|uj |2uj , j = 1, 2, . . . , α ∈ C, (2)
а в [3]—аналогичная цепочка диффузионно связанных генераторов
u̇j = α(uj+1 − 2uj + uj−1) + uj − d|uj |2uj , j = 1, . . . , N, α ∈ C, (3)
где u0 = uN , uN+1 = u1, Re α > 0. Было установлено, что в обоих случаях при достато-
чно большом количестве звеньев в соответствующей системе может наблюдаться хаоти-
ческое поведение, обусловленное коллективным взаимодействием парциальных осцил-
ляторов.
Предположим теперь, что в цепочках (2), (3) или в какой-либо аналогичной цепочке
каждое звено заменено генератором с распределенными параметрами, в котором реа-
лизуется феномен буферности в простейшем его варианте, когда речь идет о циклах. В
итоге получим систему, имеющую (при определенных дополнительных условиях) доста-
точно большое число сосуществующих хаотических аттракторов. Как будет показано
ниже при рассмотрении конкретных примеров, для того чтобы добиться требуемого эф-
фекта, вовсе не обязательно использовать цепочку из большого числа звеньев, как это
обычно происходит в случае сосредоточенных осцилляторов. Достаточно ограничиться
некоторым минимально допустимым их количеством.
Перейдем к математическому описанию проблемы. В качестве парциальной системы
при построении интересующей нас цепочки осцилляторов используем обобщенное куби-
ческое уравнение Шредингера и дополним его граничными условиями 2π-периодичности.
В итоге получим краевую задачу
ut + iσ0uxx = u− d|u|2u, u(t, x+ 2π) ≡ u(t, x), (4)
где u = u(t, x) — комплекснозначная функция, d = 1 + ic0, а c0, σ0 — положительные
параметры, связанные неравенством
σ0 > 2c0. (5)
Приведенную задачу будем рассматривать как эволюционную систему в фазовом про-
странстве (Reu, Imu) ∈ E × E, где E — гильбертово пространство 2π-периодических
функций класса W 2
2 . Заметим, что выбранная таким способом парциальная система име-
ет требуемое свойство буферности. Действительно, как показывает несложная провер-
ка, краевая задача (4) имеет счетное число автомодельных циклов (бегущих волн)
u = exp[i(σ0n
2 − c0)t+ inx], n = 0,±1,±2, . . . , (6)
которые являются устойчивыми (в метрике E×E) при условии (5) и неустойчивыми при
выполнении строго противоположного неравенства.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 95
Рассмотрим, далее, цепочку диффузионно связанных осцилляторов (4), т. е. систему
вида
ut + iσ0uxx + iµΛu = u− d |u|2 ∗ u, u(t, x+ 2π) ≡ u(t, x), (7)
где u = colon (u1, . . . , uN ), |u|2 = colon (|u1|2, . . . , |uN |2); uj = uj(t, x), j = 1, . . . , N , —
комплекснозначные функции; натуральное N ≥ 5 произвольно фиксировано; µ > 0 —
малый параметр; ∗ — операция покоординатного умножения векторов, а матрица связи
Λ размера N ×N имеет вид
Λ =
−1 1 0 . . . . . . 0
1 −2 1 0 . . . 0
0 1 −2 1 . . . 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
0 . . . 0 1 −2 1
0 . . . . . . 0 1 −1
.
Как будет установлено ниже, при выполнении условия (5) эта система имеет счетное чис-
ло устойчивых N -мерных торов, причем при некоторых дополнительных ограничениях
на параметр c0 каждый из них является носителем хаотического аттрактора.
2. Основной результат. Рассмотрим сначала соответствующую задаче (7) точечную
модель, т. е. систему
u̇+ iµΛu = u− d |u|2 ∗ u, (8)
и убедимся, что при всех достаточно малых µ > 0 она имеет глобально экспоненциально
устойчивый N -мерный инвариантный тор. С этой целью сначала выполним в ней замену
uj = ρj exp(iτj), j = 1, . . ., N , где ρj > 0, 0 ≤ τj ≤ 2π (mod 2π). В результате она
преобразуется к виду
ρ̇j = ρj − ρ3
j + µ[ρj+1 sinαj − ρj−1 sinαj−1], j = 1, . . . , N, (9)
α̇j = −c0(ρ2
j+1 − ρ2
j )− µ
[
ρj+2
ρj+1
cosαj+1 +
(
ρj
ρj+1
− ρj+1
ρj
)
cosαj−
− ρj−1
ρj
cosαj−1
]
, j = 1, . . . , N − 1, (10)
τ̇N = −c0 ρ2
N − µ
[
ρN−1
ρN
cosαN−1 − 1
]
, (11)
где τ0 = τ1, τN+1 = τN , ρ0 = ρ1, ρN+1 = ρN , αj = τj+1 − τj .
Нетрудно заметить, что интересующий нас глобально устойчивый инвариантный тор
заведомо существует у системы (9) – (11) при µ = 0. Действительно, в этом случае он
задается равенствами ρj = 1, j = 1, . . . , N , а поведение траекторий на нем описывают
уравнения α̇j = 0, j = 1, . . . , N − 1, τ̇N = −c0. Далее, из общих результатов монографии
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
96 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
[4] следует, что указанный тор сохраняется у системы (9) – (11) и при всех малых µ > 0,
причем теперь он имеет вид
ρj = 1 + µψj(α1, . . . , αN−1, µ), j = 1, . . . , N, (12)
где достаточно гладкие по совокупности переменных 2π-периодические по αk, k = 1, . . .
. . . , N − 1, функции ψj таковы, что
ψj(α1, . . . , αN−1, 0) =
1
2
(sinαj − sinαj−1), j = 1, . . . , N. (13)
Что же касается движений на данном торе, то они описываются системой
α̇j = µΦj(α1, . . . , αN−1, µ), τ̇N = −c0 + µΨ(α1, . . . , αN−1, µ), j = 1, . . . , N − 1, (14)
получающейся из (10), (11) при учете соотношений (12). Отметим еще вытекающие из
(13) равенства
Φj |µ=0 = −c0(sinαj+1 − 2 sinαj + sinαj−1) + cosαj−1 − cosαj+1, j = 1, . . . , N − 1,
Ψ(α1, . . . , αN−1, 0) = c0 sinαN−1 − cosαN−1 + 1. (15)
Лемма 1. Найдется такое достаточно малое число µ0 > 0, что при всех 0 < µ ≤ µ0
краевая задача (7) имеет пространственно однородный (не зависящий от x) инвариа-
нтный тор
uj = exp(iτj)[1 + µψj(α1, . . . , αN−1, µ)], j = 1, . . . , N, (16)
движения на котором задаются системой (14). Данный тор экспоненциально орби-
тально устойчив (неустойчив) в метрике фазового пространства E2N = E × . . . × E
при σ0 − 2c0 > 0 (< 0).
В части существования лемма уже доказана, поскольку найденный выше инвариант-
ный тор (16) системы (8) является одновременно и пространственно однородным тором
задачи (7). Для исследования же его свойств устойчивости достаточно положить µ = 0.
Действительно, в этом случае рассматриваемый тор представляет собой прямое произве-
дениеN независимых циклов uj = exp(−ic0t), j = 1, . . . ,N , каждый из которых устойчив
в своей парциальной системе
∂uj
∂t
+ iσ0
∂2uj
∂x2
= uj − d|uj |2uj , uj(t, x+ 2π) ≡ uj(t, x)
при выполнении условия (5) и неустойчив при строгом его нарушении.
Проблему нахождения других аттракторов задачи (7), отличных от однородного то-
ра (16), существенно облегчает так называемый принцип самоподобия [5]. Суть этого
принципа заключается в следующем. Выполним в (7) замену u(t, x) = Tn[v(t, x)], где
Tn[v(t, x)] = v(t, 2σ0nt+ x) exp[i(σ0n
2t+ nx)], (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 97
n — произвольное целое число, а затем перейдем к новой пространственной переменной
ϕ = 2σ0nt+x. В результате для функции v = v(t, ϕ) с точностью до обозначений получим
прежнюю краевую задачу
vt + iσ0vϕϕ + iµΛv = v − d |v|2 ∗ v, v(t, ϕ+ 2π) ≡ v(t, ϕ).
Иными словами, оператор (17) переводит решение u(t, x) задачи (7) в решение Tn[u(t, x)]
той же самой краевой задачи.
Из принципа самоподобия вытекают два важных следствия. Во-первых, пусть в фазо-
вом пространстве E2N краевой задачи (7) имеется компактное множество A, инвариант-
ное относительно ее траекторий(
Reu(t, x), Imu(t, x)
)
: Reu = (Reu1, . . . ,ReuN ), Imu = (Imu1, . . . , ImuN ) (18)
(как обычно, это означает, что если (Reu, Imu) ∈ A при t = 0, то аналогичное включе-
ние справедливо при всех t ∈ R). Тогда, применяя к каждой траектории (18) из A опера-
тор
T̃n :
(
Reu(t, x), Imu(t, x)
)
→
(
ReTn[u(t, x)], ImTn[u(t, x)]
)
, (19)
получаем серию множеств
An = T̃n(A), n = 0,±1,±2, . . . , (20)
также инвариантных для траекторий задачи (7). Во-вторых, если в предыдущем случае
A— аттрактор краевой задачи (7), то ее аттракторами будут и все множества (20). Таким
образом, если известен какой-либо один из аттракторовA задачи (7), то „тиражируя” его
с помощью оператора (19), получаем счетное их число.
Возвратившись к интересующей нас проблеме, в качестве множестваA возьмем инва-
риантный тор (16) задачи (7) и применим к нему описанный выше принцип самоподобия.
В результате получим следующее утверждение.
Теорема 1. При выполнении условия (5) существует такое достаточно малое µ0 >
> 0, что при каждом 0 < µ ≤ µ0 краевая задача (7) имеет счетное число экспоненци-
ально орбитально устойчивых инвариантных торов
An : {uj = exp[i(τj + nx)](1 + µψj(α1, . . . , αN−1, µ)), j = 1, . . . , N}, n ∈ Z, (21)
движения на которых описываются системами
α̇j = µΦj(α1, . . . , αN−1, µ), τ̇N = σ0n
2 − c0 + µΨ(α1, . . . , αN−1, µ), j = 1, . . . , N − 1, (22)
где функции ψj , Φj , Ψ те же, что и в (12), (14).
Убедимся, наконец, что при определенном выборе параметра c0 каждый тор (21) яв-
ляется носителем хаотического аттрактора. С этой целью рассмотрим отщепляющуюся
от (22) систему для αj , j = 1, . . . ,N−1, выполним в ней замену времени µt → t и опустим
в правых частях получившейся системы слагаемые порядка малости µ и выше. В резуль-
тате с учетом равенств (15) она преобразуется к виду
α̇j = −c0(sinαj+1 − 2 sinαj + sinαj−1) + cosαj−1 − cosαj+1, j = 1, . . . , N − 1, (23)
где α0 = αN = 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
98 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
Вычисления, выполненные с помощью программы Д. С. Глызина (http://tracer3.narod.
ru), показали, что, например, при c0 = 0, 6, N = 5 система (23) имеет хаотический ат-
трактор с показателями Ляпунова λ1 ≈ 0, 194, λ2 = 0, λ3 ≈ −0, 08, λ4 ≈ −1, 507, а
при c0 = 0, 6, N = 6 — аттрактор с показателями λ1 ≈ 0, 247, λ2 ≈ 0, 055, λ3 = 0,
λ4 ≈ −0, 202, λ5 ≈ −1, 579. Аналогичное справедливо и при других значениях c0. Более
того, как установлено в [6], с ростомN размерность Ляпунова dL хаотического аттракто-
ра системы (23) неограниченно возрастает примерно по линейному закону. Действитель-
но, при c0 = 0, 6 получаются следующие наборы данных:
N = 7 : λ1 = 0, 288, λ2 = 0, 096, λ3 = 0, λ4 = −0, 03, λ5 = −0, 384,
λ6 = −1, 589, dL = 4, 926;
N = 8 : λ1 = 0, 305, λ2 = 0, 138, λ3 = 0, 019, λ4 = 0, λ5 = −0, 163, λ6 = −0, 52,
λ7 = −1, 597, dL = 5, 574;
N = 9 : λ1 = 0, 322, λ2 = 0, 164, λ3 = 0, 051, λ4 = 0, λ5 = −0, 078, λ6 = −0, 266,
λ7 = −0, 597, λ8 = 1, 616, dL = 6, 324;
N = 10 : λ1 = 0, 318, λ2 = 0, 19, λ3 = 0, 075, λ4 = 0, λ5 = −0, 024, λ6 = −0, 167,
λ7 = −0, 356, λ8 = −0, 656, λ9 = −1, 653, dL = 7, 055;
N = 11 : λ1 = 0, 32, λ2 = 0, 192, λ3 = 0, 092, λ4 = 0, 013, λ5 = 0, λ6 = −0, 094,
λ7 = −0, 229, λ8 = −0, 399, λ9 = −0, 695, λ10 = −1, 642, dL = 7, 735.
Таким образом, справедлива приближенная формула dL ' 0, 763N − 0, 568.
3. Случай граничных условий Неймана. В этом пункте придадим полученным выше
результатам некоторую общность. А именно, проиллюстрируем реализуемость феноме-
на хаотической буферности в рамках краевой задачи
ut + iuxx + iεµΛu = ε[u− d |u|2 ∗ u], ux|x=0 = ux|x=π = 0, (24)
где ε = 1/σ0, получающейся из (7) после нормировки времени σ0t → t и замены гранич-
ных условий.
Наиболее просто динамические свойства краевой задачи (24) выявляются при допол-
нительном предположении о малости ε, которое всюду ниже считаем выполненным. Дей-
ствительно, рассмотрим сначала соответствующую цепочке (24) парциальную систему,
т. е. краевую задачу
ut + iuxx = ε[u− d|u|2u], ux|x=0 = ux|x=π = 0 (25)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 99
в фазовом пространстве (Reu, Imu) ∈ E × E, E =
◦
W 2
2(0, π), где
◦
W 2
2 — соболевское
пространство функций, удовлетворяющих нулевым граничным условиям Неймана. Как
установлено в монографии [7], при всех 0 < ε � 1 краевая задача (25) имеет счетное чи-
сло экспоненциально орбитально устойчивых (в метрике E × E) автомодельных циклов
un(t, x, ε) = un(x, ε) exp[iωn(ε)t], n ≥ 1, ωn ∈ R, (26)
где достаточно гладкие по своим переменным функции un, ωn таковы, что равномерно
по n ≥ 1, x ∈ [0, π]
un(x, ε) =
2√
3
cosnx+O(ε), ωn(ε) = n2 − c0ε+O(ε2). (27)
Циклы (26), (27) играют здесь ту же роль, что и бегущие волны (6) в случае краевой
задачи (7). А именно, как будет показано ниже, устойчивые циклы uj = un(t, x, ε), j =
= 1, . . . , N , с одинаковыми номерами n, существующие при µ = 0 в парциальных систе-
мах
∂uj
∂t
+ i
∂2uj
∂x2
= ε[uj − d|uj |2uj ],
∂uj
∂x
∣∣∣
x=0
=
∂uj
∂x
∣∣∣
x=π
= 0,
при µ > 0 объединяются в устойчивые N -мерные торы. При этом, что самое главное,
количество таких торов счетно, и при надлежащем выборе параметра c0 каждый из них
содержит хаотический аттрактор.
Последовательность дальнейших действий аналогична изложенному в п. 2: сначала
устанавливается существование одного инициирующего инвариантного тора, а после это-
го осуществляется его „тиражирование” с помощью некоторого аналога описанного вы-
ше принципа самоподобия.
Остановимся сначала на алгоритмической части проблемы. Точнее говоря, убедимся,
что система (24) имеет формальное интегральное многообразие вида
u = ξ cosx+ εv1(x, µ, ξ, ξ) + ε2v2(x, µ, ξ, ξ) + . . . , (28)
где ξ = colon (ξ1, . . . , ξN ), ξ = colon (ξ1, . . . , ξN ), а комплексные параметры ξj , j = 1, . . . , N ,
на многообразии эволюционируют во времени по закону
ξ̇ = iξ + ε∆1(ξ, ξ, µ) + ε2∆2(ξ, ξ, µ) + . . . . (29)
Предполагаем еще, что вектор-функции vk, ∆k, k ≥ 1, удовлетворяют при любом α ∈ R
дополнительным требованиям
vk(x, µ, exp(iα) ξ, exp(−iα) ξ) = exp(iα) vk(x, µ, ξ, ξ), (30)
∆k(exp(iα) ξ, exp(−iα) ξ, µ) = exp(iα) ∆k(ξ, ξ, µ), (31)
а также условию
π∫
0
vk(x, µ, ξ, ξ) cosxdx = 0. (32)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
100 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
Итак, подставим соотношения (28), (29) в (24) и последовательно приравняем коэф-
фициенты при одинаковых степенях ε. В результате на первом шаге для отыскания v1
приходим к краевой задаче
i
(
∂v1
∂ξ
ξ − ∂v1
∂ξ
ξ
)
+ i
∂2v1
∂x2
= [ξ − iµΛξ − d ξ ∗ ξ ∗ ξ cos2 x] cosx−
−∆1 cosx,
∂v1
∂x
∣∣∣∣
x=0
=
∂v1
∂x
∣∣∣∣
x=π
= 0. (33)
Ее анализ основывается на том факте, что фигурирующие в (28) коэффициенты vk долж-
ны удовлетворять равенствам (30). Действительно, дифференцируя указанные равенства
по α и полагая затем α = 0, убеждаемся, что
∂vk
∂ξ
ξ − ∂vk
∂ξ
ξ = vk, k ≥ 1. (34)
Отсюда, в свою очередь, следует, что краевая задача (33) преобразуется к виду
iLv1 =
[
ξ − iµΛξ − d ξ ∗ ξ ∗ ξ cos2 x
]
cosx−∆1 cosx,
dv1
dx
∣∣∣∣
x=0
=
dv1
dx
∣∣∣∣
x=π
= 0, (35)
где Lv = d2v/dx2 + v, а переменные ξ, ξ рассматриваются как параметры.
Исследование задачи (35) уже не вызывает затруднений и проводится по стандартной
схеме: сначала из условия ее разрешимости определяем функцию
∆1 = ξ − iµΛξ − 3
4
d ξ ∗ ξ ∗ ξ, (36)
а затем находим и само решение v1, для которого с учетом соответствующего равенства
(32) получаем формулу
v1 = − id
32
ξ ∗ ξ ∗ ξ cos 3x. (37)
Заметим, что функции (36), (37) имеют требуемые свойства (30), (31) и, в частнос-
ти, для v1 справедливо соотношение (34) при k = 1. Поэтому выполненный выше пере-
ход от задачи (33) к (35), имевший условный характер, правомерен. Отметим также, что
хотя продолжение алгоритма нахождения коэффициентов рядов (28), (29) не вызывает
затруднений, но для наших целей достаточно уже имеющейся информации.
На следующем этапе используем построенную выше систему первого приближения
ξ̇ = iξ + ε∆1(ξ, ξ, µ)
на многообразии (28) и выполним в ней последовательно замены ξ exp(−it) → ξ,
ξ exp(it) → ξ и εt → t. В результате получим систему
ξ̇ = ξ − iµΛξ − 3
4
d ξ ∗ ξ ∗ ξ, (38)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 101
которая с точностью до нормировок и переобозначений совпадает с (8). Отсюда и из
содержащегося в п. 2 анализа заключаем, что система (38) имеет глобально устойчивый
N -мерный инвариантный тор
ξj =
2√
3
exp(iτj)
(
1 + µψj(α1, . . . , αN−1, µ)
)
, j = 1, . . . , N, (39)
где функции ψj те же, что и в (12).
Подведем некоторый итог. Из выполненных построений следует, что равенством
u = ξ cosx+ εv1(x, µ, ξ, ξ), (40)
в котором учтены соотношения (39), задается приближенный (с точностью до ε2 по не-
вязке) инвариантный тор исходной задачи (24), а система уравнений на этом торе имеет
вид
α̇j = εµΦj(α1, . . . , αN−1, µ), τ̇N = 1− εc0 + εµΨ(α1, . . . , αN−1, µ), j = 1, . . . , N − 1, (41)
где функции Φj , Ψ взяты из (14). Существование соответствующего точного инвариант-
ного тора с главной асимптотикой (39) – (41) вытекает из общих результатов моногра-
фии [8]. А именно, справедливо следующее утверждение, являющееся аналогом лем-
мы 1.
Лемма 2. Найдутся такие достаточно малые ε0, µ0 > 0, что при всех 0 < ε ≤ ε0,
0 < µ ≤ µ0 краевая задача (24) имеет экспоненциально орбитально устойчивый
N -мерный инвариантный тор
uj =
2√
3
exp(iτj)
[
(1 + µψj(α1, . . . , αN−1, µ)) cosx+
+ εHj(α1, . . . , αN−1, ε, µ, x)
]
, j = 1, . . . , N, (42)
α̇j = εµ
[
Φj(α1, . . . , αN−1, µ) + εGj(α1, . . . , αN−1, ε, µ)
]
, j = 1, . . . , N − 1, (43)
τ̇N = 1− εc0 + εµΨ(α1, . . . , αN−1, µ) + ε2Ω(α1, . . . , αN−1, ε, µ), (44)
где все функции достаточно гладко зависят от своих переменных и являются 2π-
периодическими по αk, k = 1, . . . , N − 1.
Сформулированная лемма нуждается в некоторых пояснениях. Отметим, во-первых,
что система (24) не меняется при замене exp(iα)u → u, α ∈ R. Именно поэтому правые
части формул (42) пропорциональны exp(iτj), а все остальные фигурирующие в (42) –
(44) функции зависят не от самих фазовых переменных τj , j = 1, . . . , N , а от их разностей
αk = τk+1 − τk. Во-вторых, при µ = 0 тор (42) – (44) представляет собой прямое произве-
дение N одинаковых устойчивых циклов uj = u1(t, x, ε), j = 1, . . . , N (см. (26), (27) при
n = 1), т. е. записывается в виде
uj = u1(τj , x, ε), τ̇j = ω1(ε), j = 1, . . . , N. (45)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
102 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
Тем самым становится понятной причина его устойчивости при малых µ > 0, а также
проясняется происхождение множителя µ в правых частях системы (43).
Инвариантный тор, доставляемый леммой 2, является искомым инициирующим то-
ром. Процедура же его „тиражирования” в данном случае такова. Пусть u = u(t, x, ε)
— произвольное решение краевой задачи (24). Продолжим его по переменной x сначала
на отрезок [−π, 0] четным образом, а затем на всю ось по периодичности с периодом 2π.
Тогда, как легко видеть, при любом натуральном n функция u(n2t, nx, ε/n2) также будет
решением задачи (24). Применяя, далее, эту процедуру при каждом n ко всем решениям,
лежащим на торе (42) – (44), получаем счетное число N -мерных инвариантных торов. Та-
ким образом, приходим к следующему утверждению.
Теорема 2. При всех достаточно малых независимых ε, µ > 0 краевая задача (24)
имеет счетное число экспоненциально орбитально устойчивых N -мерных инвариант-
ных торов
uj =
2√
3
exp(iτj)
[
(1 + µψj(α1, . . . , αN−1, µ)) cosnx+
+
ε
n2
Hj(α1, . . . , αN−1,
ε
n2
, µ, nx)
]
, j = 1, . . . , N, (46)
α̇j = εµ
[
Φj(α1, . . . , αN−1, µ) +
ε
n2
Gj(α1, . . . , αN−1,
ε
n2
, µ)
]
, j = 1, . . . , N − 1, (47)
τ̇N = n2 − εc0 + εµΨ(α1, . . . , αN−1, µ) +
ε2
n2
Ω
(
α1, . . . , αN−1,
ε
n2
, µ
)
, (48)
где n = 1, 2, . . . , а функции ψj , Hj , Φj , Gj , Ψ, Ω взяты из (42) – (44).
Причина, по которой все торы (46) – (48) устойчивы, та же, что и в случае тора (42),
(43). Действительно, при µ = 0 эти торы принимают аналогичный (45) вид
uj = un(τj , x, ε), τ̇j = ωn(ε), j = 1, . . . , N,
где функции un, ωn, n ≥ 1, взяты из (26). Далее, как показано в [7], циклы (26) краевой
задачи (25) имеют свойство равномерной устойчивости, т. е. существует такая не завися-
щая от ε и n ≥ 1 постоянная γ0 > 0, что все характеристические показатели этих циклов
(за исключением, естественно, простых нулевых) лежат в комплексной полуплоскости
{λ : Reλ ≤ −γ0ε}. И наконец, опираясь на развитую в [7] методику, можно показать,
что свойство равномерной устойчивости, имеющее место для торов (46) – (48) при µ = 0,
сохраняется и при всех достаточно малых µ > 0.
Из проведенного анализа следует, что краевая задача (24) имеет свойство хаотиче-
ской буферности. Для того чтобы убедиться в этом, обратимся к системе (47), выполним
в ней замену εµt → t и опустим асимптотически малые (равномерно по n ≥ 1) сла-
гаемые. В итоге она примет вид (23). Таким образом, остается сослаться на результаты
численного счета, упомянутые в п. 2.
4. Случай однонаправленно связанных осцилляторов. Рассмотренные выше приме-
ры представляют собой цепочки диффузионно связанных генераторов. Однако феномен
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 103
хаотической буферности может наблюдаться и при другом характере связи. В качест-
ве примера приведем систему из трех обобщенных кубических уравнений Шредингера,
однонаправленно связанных в кольцо. Точнее говоря, рассмотрим цепочку
∂ uk
∂ t
+ iσ0
∂ 2uk
∂x2
+ ε[iuk−1 + d |uk|2uk] = 0, (49)
uk|x=0 = uk|x=π = 0, k = 1, 2, 3, (50)
где uk = uk(t, x) — комплекснозначные функции, причем u0(t, x) ≡ u3(t, x). Считаем,
что ε > 0 — малый параметр, d = 1 + ic0, а c0 ∈ R и σ0 > 0 — некоторые посто-
янные порядка единицы. В качестве фазового пространства (пространства начальных
условий Reuk(0, x), Imuk(0, x), k = 1, 2, 3) задачи (49), (50) возьмем E 6 = E × . . . × E,
где E =
◦
W 2
2(0, π), а через
◦
W 2
2 в данном случае обозначено соответствующее соболевское
пространство функций, удовлетворяющих граничным условиям (50).
Для отыскания возможных автоколебательных режимов системы (49), (50) восполь-
зуемся методикой, изложенной в [8, 9]. А именно, подставим в нее асимптотические ряды
по целым степеням ε:
uk = uk,0(t, τ, x) + εuk,1(t, τ, x) + . . . , k = 1, 2, 3, (51)
где τ = εt, uk,j , j ≥ 0, — формальные тригонометрические ряды переменной t, причем
uk,0 =
∞∑
n=1
exp(iσ0n
2t)zn, k(τ) sinnx, k = 1, 2, 3, (52)
а zn, k, n ≥ 1, k = 1, 2, 3, — некоторые пока произвольные (подлежащие определению
в последующем) комплексные амплитуды колебаний. Приравнивая, далее, в (49), (50)
коэффициенты при ε, для uk,1 получаем линейные неоднородные краевые задачи вида
∂ uk,1
∂ t
+ iσ0
∂ 2uk,1
∂x2
= gk(t, τ, x), uk,1|x=0 = uk,1|x=π = 0, (53)
где gk = −∂uk,0/∂τ−[iuk−1,0+d|uk,0|2uk,0], а переменная τ рассматривается как параметр.
Отметим, что задачи (53) разрешимы в классе формальных тригонометрических ря-
дов в том и только в том случае, когда их правые части gk не содержат гармоник вида
exp(iσ0n
2t) sinnx, n ≥ 1. Поэтому приравняем коэффициенты при упомянутых гармо-
никах к нулю. В результате для определения фигурирующих в (51), (52) комплексных
амплитуд zn, k после нормировок
√
3 zn, k/2 → zn, k получаем счетную систему обыкно-
венных дифференциальных уравнений
żn, k = −izn, k−1 − d
|zn, k|2 +
4
3
∞∑
m=1
m6=n
|zm, k|2
zn, k, n ≥ 1, k = 1, 2, 3, (54)
где zn, 0 = zn, 3, n ≥ 1, а точка обозначает дифференцирование по τ .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
104 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
Систему (54) будем рассматривать в дальнейшем как самостоятельный объект иссле-
дования. Точнее говоря, поставим вопрос об аттракторах этой системы в фазовом про-
странстве Z (над полем действительных чисел), состоящем из бесконечномерных векто-
ров
z = (z1, 1, z1, 1, z1, 2, z1, 2, z1, 3, z1, 3, . . . , zn, 1, zn, 1, zn, 2, zn, 2, zn, 3, zn, 3, . . .) (55)
с комплексными координатами, для которых конечна норма
||z|| =
( ∞∑
n=1
3∑
k=1
|zn, k|2
)1/2
(56)
(в этом случае построенная по вектору (55) функция (52) принадлежит пространству
L2(0, π) по переменной x). Заметим, что поскольку система (54) порождает эволюци-
онное уравнение в пространстве Z с ограниченной и гладкой по Фреше правой частью,
локальная однозначная разрешимость для нее задачи Коши с произвольным начальным
условием из Z вытекает из результатов монографии [10].
В первую очередь будем интересоваться существованием у системы (54) так называ-
емых одномодовых аттракторов. В связи с этим зафиксируем произвольно натуральное
n и обозначим через Ωn ее инвариантное множество, задающееся равенством
Ωn =
{
z ∈ Z : zm, k = 0, k = 1, 2, 3 при всех m 6= n;
(zn, 1, zn, 2, zn, 3) = (v1, v2, v3) ∈ Ω
}
, (57)
где Ω — некоторый аттрактор шестимерной системы
v̇k = −ivk−1 − d |vk|2vk, k = 1, 2, 3, (58)
в которой v0 = v3. Заметим, что в силу диссипативности системы (58) совокупность ее
возможных аттракторов Ω заведомо не пуста.
Перейдем к вопросу об устойчивости одномодовых инвариантных множеств (58) по
„дополнительным” направлениям zm, k, m 6= n. Проводя линеаризацию системы (54) на
произвольной траектории {zm, k = 0, zn, k = vk(τ), k = 1, 2, 3} из Ωn, получаем счетное
число одинаковых шестимерных линейных систем
ḣk = −ihk−1 −
4
3
d |vk(τ)|2hk, k = 1, 2, 3, (59)
где hk = zm, k, m 6= n. Таким образом, вся счетная совокупность инвариантных мно-
жеств Ωn, n ≥ 1, устойчива или неустойчива одновременно и в случае устойчивости эти
множества будем называть одномодовыми аттракторами.
Простейшими одномодовыми инвариантными множествами являются так называе-
мые автомодельные циклы
{z ∈ Z : zm, k = 0 при m 6= n, zn, k = v0
k exp(iω0τ), k = 1, 2, 3, }, n ≥ 1, (60)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 105
где
v0
1 = −
(1
2
+ i
√
3
2
)
ξ0, v0
2 = −
(1
2
− i
√
3
2
)
ξ0, v0
3 = ξ0,
ξ0 =
4
√
12
2
, ω0 =
1
2
− c0ξ
2
0 .
Что же касается устойчивости этих циклов, то справедливо следующее утверждение.
Теорема 3. Автомодельные циклы (60) системы (54) экспоненциально орбитально
устойчивы при условии c0 ∈ (c−, c+), где
c− = 12
√
3− 5
√
23 ≈ −3, 19455,
(61)
c+ = 12
√
3 + 5
√
23 ≈ 44, 7638,
и неустойчивы в случае c0 ∈ R \ [c−, c+].
Для доказательства заметим, что циклам (60) соответствует система (59) с постоян-
ной матрицей, собственные значения которой всегда имеют отрицательные действитель-
ные части. Таким образом, проблема сводится к исследованию устойчивости автомодель-
ного цикла
vk = v0
k exp(iω0τ), k = 1, 2, 3, (62)
вспомогательной системы (58). При анализе последней удобно перейти к полярным ко-
ординатам vk = ξk exp(iϕk), ξk > 0, 0 ≤ ϕk ≤ 2π, k = 1, 2, 3, поскольку от получающейся
в итоге шестимерной системы для ξk, ϕk, k = 1, 2, 3, отщепляется пятимерная система для
ξj , j = 1, 2, 3, ψ1 = ϕ3 − ϕ1, ψ2 = ϕ1 − ϕ2, имеющая вид
ξ̇1 = ξ3 sinψ1 − ξ31 , ξ̇2 = ξ1 sinψ2 − ξ32 , ξ̇3 = −ξ2 sin(ψ1 + ψ2)− ξ33 ,
ψ̇1 = c0 (ξ21 − ξ23) +
ξ3
ξ1
cosψ1 −
ξ2
ξ3
cos(ψ1 + ψ2), (63)
ψ̇2 = c0 (ξ22 − ξ21) +
ξ1
ξ2
cosψ2 −
ξ3
ξ1
cosψ1.
Остается добавить, что циклу (62) в системе (63) соответствует положение равновесия
O = (ξ01 , ξ
0
2 , ξ
0
3 , ψ
0
1, ψ
0
2) : ξ01 = ξ02 = ξ03 =
4
√
12
2
, ψ0
1 = ψ0
2 =
2π
3
(64)
с требуемыми в теореме свойствами устойчивости.
Дальнейший анализ системы (54) проведем сначала для случая c0 ≥ 0. Из установлен-
ной выше теоремы следует, что при 0 ≤ c0 < c+ она имеет счетное число устойчивых
автомодельных циклов (60), а при последующем увеличении параметра c0 все эти циклы
теряют устойчивость. На вопрос же о том, что происходит в ней при c0 > c+, позволяет
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
106 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
Рис. 1
ответить численное интегрирование вспомогательной системы (63). Было обнаружено,
что при увеличении параметра c0 в упомянутой системе наблюдаются следующие фазо-
вые перестройки.
1. При 0 ≤ c0 < c+0,1, где c+0,1 = c+ (см. (61)), система (63) имеет единственное экспо-
ненциально устойчивое состояние равновесия (64), которое при прохождении c0 через
критическое значение c+0,1 мягко теряет устойчивость с последующим рождением устой-
чивого предельного цикла C0.
2. При c+0,1 < c0 < c+0,2, где c+0,2 ≈ 48, 57, цикл C0 является единственным аттрактором
рассматриваемой системы.
3. При c0 = c+0,2 происходит бифуркация удвоения периода: цикл C0 становится не-
устойчивым и от него ответвляется устойчивый цикл C1 условно двойного по отноше-
нию к C0 периода. Этот цикл сохраняет устойчивость на интервале c+0,2 < c < c+0,4, где
c+0,4 ≈ 54, 42, а при прохождении c0 через значение c+0,4 теряет ее жестко (т. е. не порожда-
ет других аттракторов при c0 > c+0,4).
4. Первый хаотический аттрактор возникает нелокально при c0 = c+0,3, где c+0,3 ≈
≈ 54, 37, и на интервале c+0,3 < c0 < c+0,4 сосуществует с устойчивым циклом C1.
Приведенные факты иллюстрирует показанный на рис. 1 график старшего показа-
теля Ляпунова λmax = λmax(c0) аттрактора системы (63), построенный на отрезке 50 ≤
≤ c0 ≤ 70 по точкам с шагом h, равным 0, 05 (в случае c+0,3 < c0 < c+0,4 этот показатель
вычислялся, естественно, для хаотического аттрактора). Из рисунка видно, что показа-
тель λmax(c0) с увеличением c0 растет, хотя и немонотонно, и при всех c0 ≥ 54, 7 заведомо
отделен от нуля (последний вывод сделан на основе контрольных расчетов, выполнен-
ных при
c0 ∈ [54, 7; 55, 2], [54, 803; 54, 807], [54, 8037; 54, 8039], [54, 9; 55, 1]
с шагами h по c0, равными соответственно 0, 0025; 0, 0001; 0, 00002 и 0, 001).
Возвращаясь к исходной системе (54), заметим следующее. Любому аттрактору Ω0
системы (63) соответствует аттрактор Ω системы (58) на единицу большей размерности,
а значит, и счетное число одномодовых инвариантных множеств (57) системы (54). На-
помним, далее, что за устойчивость всей совокупности этих множеств отвечает одна и та
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 107
Рис. 2
же линейная система (см. (59))
ḣk = −ihk−1 −
4
3
d ξ2k(τ)hk, k = 1, 2, 3, (65)
где h0 = h3, а (ξ1(τ), ξ2(τ), ξ3(τ)) — произвольная траектория из Ω0.
Как показывает численный анализ, при всех рассмотренных выше значениях парамет-
ра c0 старший показатель Ляпунова λ∗max(c0) системы (65) оказывается отрицательным
(см. рис. 2, где построен его график на промежутке 50 ≤ c0 ≤ 70 по точкам с шагом
h = 0, 05). Таким образом, по крайней мере при 54, 7 ≤ c0 ≤ 70 исходная система (54)
имеет счетное число одномодовых хаотических аттракторов (57), а значит, в ней реали-
зуется требуемый феномен хаотической буферности.
Перейдем теперь к случаю c0 < 0. Здесь у вспомогательной системы (63) удалось
выявить следующие фазовые перестройки.
1. При c−0,1 < c0 < 0, где c−0,1 = c− (см. (61)), как и в предыдущем случае, система (63)
имеет единственное устойчивое состояние равновесия (64).
2. При c−0,2 < c0 < c−0,1, где c−0,2 ≈ −9, 84, аттрактором системы (63) является устойчи-
вый цикл, ответвившийся от состояния равновесия (64) при c0 = c−0,1.
3. При c0 = c−0,2 упомянутый выше цикл претерпевает первую бифуркацию удвоения,
при c0 = c−0,3 ≈ −10, 56 — вторую и т. д. В результате при c0 ≈ −10, 95 по фейгенбаумов-
скому сценарию возникает первый хаотический аттрактор.
4. При последующем уменьшении c0 порядок и хаос многократно сменяют друг друга.
В частности, здесь имеется так называемая зона „дышащего” хаоса −52, 48 ≤ c0 ≤ −11,
в которой существует достаточно большое (возможно, счетное) число „окон” периодич-
ности, т. е. промежутков, в которых хаос сменяется устойчивым циклом. Стабильный же
хаос, когда старший показатель Ляпунова положителен и отделен от нуля, наступает при
всех c0 ≤ −52, 6.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
108 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
Рис. 3
Рис. 4
Наглядное представление о перечисленных выше особенностях динамики дают гра-
фики старшего показателя Ляпунова λmax = λmax(c0) аттрактора системы (63) и стар-
шего показателя Ляпунова λ∗max = λ∗max(c0) системы (65), приведенные на рис. 3 и 4 со-
ответственно (построение данных графиков проводилось на отрезке −70 ≤ c0 ≤ −40
по точкам с шагом 0, 05). Как видно из этих рисунков, при достаточно больших по мо-
дулю отрицательных значениях параметра c0 одномодовые хаотические инвариантные
множества (57) у системы (54) хотя и существуют, но неустойчивы.
5. Существование бесконечномерного хаотического аттрактора. Подытожим полу-
ченные в предыдущем пункте результаты. Нетрудно видеть, что при достаточно боль-
шомR > 0 выполняется неравенство V̇ (z)
∣∣
||z||=R
< 0, где V (z) = ||z||2, ||∗ ||— норма (56),
V̇ (z) — производная в силу системы (54). Это означает, что рассматриваемая система яв-
ляется диссипативной и, следовательно, мы можем определить для нее максимальный
аттрактор Amax по формуле
Amax =
⋂
t>0
ϕt(U), U = {z ∈ Z : ||z|| < R}, (66)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 109
где ϕt — фазовый поток, порожденный системой (54) в пространстве Z. Отметим, что
множество (66) заведомо некомпактно, поскольку содержит счетное число инвариант-
ных одномодовых подмножеств (57). Напомним, далее, что при достаточно больших c0
все эти подмножества в свою очередь оказываются аттракторами, причем хаотическими,
т. е. наблюдается феномен хаотической буферности.
Для того чтобы выяснить структуру множества (66) в случае отрицательных и доста-
точно больших по модулю значениях c0, рассмотрим конечномерные системы
żn, k = −izn, k−1 − (1 + ic0)
[
|zn, k|2 +
4
3
N∑
m=1
m6=n
|zm, k|2
]
zn, k,
(67)
1 ≤ n ≤ N, k = 1, 2, 3,
получающиеся из (54) при zm, k = 0, m ≥ N + 1. Численный анализ, выполненный при
c0 = −93, показывает, что системы (67) имеют хаотические аттракторы ΣN , размерности
Ляпунова LN которых с ростом N увеличиваются примерно по линейному закону:
L2 ≈ 10, 98, L3 ≈ 16, 2, L4 ≈ 21, 37, L5 ≈ 26, 197,
L6 ≈ 30, 58, L7 ≈ 34, 116, L8 ≈ 37, 63,
L9 ≈ 41, 257, L10 ≈ 44, 46, L11 ≈ 48, 179, L12 ≈ 51, 333
и т. д. Далее, для количества lN положительных характеристических показателей аттрак-
тора ΣN , начиная с номера N = 5, справедливо равенство lN = N + 2, а сумма S+
N упо-
мянутых показателей при N → ∞ имеет предел S+ ≈ 1, 6. Для сравнения заметим, что
сумма S−N всех отрицательных показателей аттрактора ΣN по модулю неограниченно
увеличивается, причем lim
N→∞
S−N/N = S−, где S− ≈ −0, 6. Кроме того, в исходной системе
(54) аттракторам ΣN соответствуют неустойчивые конечномодовые инвариантные мно-
жества AN , для которых zm, k = 0, m ≥ N + 1 (точнее говоря, каждое AN неустойчиво
уже в рамках системы (67) с номером N + 1).
Перечисленные факты свидетельствуют в пользу гипотезы о том, что аттрактор (66)
при c0 = −93 является хаотическим и бесконечномерным. Действительно, его старший
показатель Ляпунова λmax = lim
N→∞
λN,max, где λN,max — старшие показатели инвариант-
ных множеств AN , положителен и равен примерно 0, 68 (значения λN,max практически
совпадают, начиная с номера N = 3). Что же касается всех положительных показателей
Ляпунова аттрактора Amax, то их количество счетно, а сумма конечна и равна введенной
выше величине S+.
Для пояснения свойства бесконечномерности заметим, что справедливо очевидное
включение
⋃
N≥2
AN ⊂ Amax. Отсюда, в свою очередь, следует, что Amax не может со-
держать конечномерных подмножеств, также являющихся аттракторами.
6. Заключение. Остановимся еще раз на общей идее конструирования цепочек ос-
цилляторов с хаотической буферностью. Предположим, что в качестве парциальной сис-
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
110 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
темы выбрано некоторое эволюционное уравнение
v̇ = f(v, λ) (68)
в вещественном банаховом пространстве V , правая часть которого зависит от вспомо-
гательного параметра λ произвольной природы, принимающего значения в множестве
Σ. Предположим, далее, что в уравнении (68) реализуется феномен буферности: сосуще-
ствуют различные устойчивые циклы
v = v(m)(τ), τ = ω(m)t, ω(m) > 0,
(69)
v(m)(τ + 2π) ≡ v(m)(τ), m = 1, . . . ,m0,
количество m0 = m0(λ) которых может быть сделано сколь угодно большим за счет
подходящего выбора λ ∈ Σ. И наконец, рассмотрим, к примеру, цепочку диффузионно
связанных осцилляторов (68), т. е. систему вида
v̇j = f(vj , λ) + µA(vj+1 − 2vj + vj−1), j = 1, . . . , N, (70)
где 0 < µ � 1, v0 = v1, vN+1 = vN , A : V → V — ограниченный линейный оператор.
При µ = 0 система (70) имеет, очевидно, устойчивые N -мерные инвариантные торы
vj = v(m)(τj), τ̇j = ω(m), j = 1, . . . , N,
составленные из одинаковых циклов (69). В случае малых µ > 0 эти торы, естествен-
но, сохраняются, а так как они близки к резонансным, то движения на них описываются
некоторыми системами для разностей фаз αj = τj+1 − τj , подобными системе (23). Как
показано выше на конкретных примерах, все эти системы могут одновременно иметь
хаотические аттракторы и, более того, количество m0 = m0(λ) самих инвариантных ре-
зонансных торов (носителей хаоса) за счет выбора λ ∈ Σ может быть сделано сколь
угодно большим или даже счетным. А это как раз и означает, что в системе (70) возмо-
жна хаотическая буферность.
Ситуация в случае цепочек осцилляторов (7) и (24) может показаться излишне идеа-
лизированной, поскольку соответствующие им парциальные системы имеют счетное чис-
ло устойчивых циклов. Однако данное свойство не является необходимым для реализа-
ции феномена хаотической буферности. Для того чтобы убедиться в этом, в качестве
парциальной системы возьмем простейшее нелинейное телеграфное уравнение с гранич-
ными условиями Неймана, т. е. краевую задачу
utt − εut + u− a2uxx + u2ut − bu3 = 0,
(71)
ux|x=0 = ux|x=π = 0,
где 0 < ε � 1; a, b = const > 0.
Из содержащихся в [7] результатов вытекает существование для каждого натураль-
ного m0 такого достаточно малого ε0 > 0, что при всех 0 < ε ≤ ε0 краевая задача
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ХАОТИЧЕСКАЯ БУФЕРНОСТЬ И ЕЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 111
(71) имеет экспоненциально орбитально устойчивые (в метрике фазового пространства
(u, ut) ∈
◦
W 2
2(0, π)×W 1
2 (0, π)) циклы
u =
√
εum(τ, x, ε),
(72)
dτ
dt
= ωm
(
1 + εδm(ε)
)
, m = 1, 2, . . . ,m0.
Здесь ωm =
√
1 + a2m2, а достаточно гладкие по своим переменным функции δm(ε),
um(τ, x, ε), um(τ + 2π, x, ε) ≡ um(τ, x, ε) удовлетворяют равенствам
um(τ, x, 0) =
4√
3
cos τ cosmx,
δm(0) = − 3b
2ωm
.
Таким образом, в краевой задаче (71) наблюдается явление буферности, но количество
сосуществующих устойчивых циклов (72) здесь заведомо конечно (как следует из [7], оно
имеет порядок ε−1 при ε → 0).
Рассмотрим, далее, цепочку связанных осцилляторов (71), т. е. систему вида
L(uj) = εµ(uj+1 − 2uj + uj−1),
(73)
∂uj
∂x
∣∣∣
x=0,x=π
= 0,
где j = 1, . . . , N , через L(u) обозначена левая часть уравнения из (71), u0 = u1, uN+1 =
= uN , а µ > 0 — вспомогательный малый параметр. Используя развитую выше технику,
можно показать, что устойчивые циклы (72) с одинаковыми номерами m, существую-
щие при µ = 0 в соответствующих парциальных системах, при µ > 0 объединяются в
устойчивые N -мерные торы, а поведение решений на этих торах в первом приближении
описывается системами
α̇j = −cm(sinαj+1 − 2 sinαj + sinαj−1) + cosαj−1 − cosαj+1, j = 1, . . . , N − 1, (74)
где α0 = αN = 0, cm = 3b/(2ωm).
Заметим, что поскольку нас интересует феномен хаотической буферности, то номер
m в (74), в принципе, должен принимать любые сколь угодно большие значения. Поэтому
рассмотрим сразу предельный случай m = ∞, в котором получается система
α̇j = cosαj−1 − cosαj+1, j = 1, . . . , N − 1. (75)
Данная система консервативна, так как не меняется при заменах t → −t, αj → −αj ,
и, что самое главное, при каждом N ≥ 5 имеет хаотические движения. Например, при
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
112 А. Ю. КОЛЕСОВ, Е. Ф. МИЩЕНКО, Н. Х. РОЗОВ
N = 5 посредством численного анализа в ней удалось обнаружить хаотические режи-
мы с показателями Ляпунова λ0, 0, 0, −λ0, где λ0 > 0 в зависимости от выбора на-
чальных условий может принимать различные значения: 0, 135; 0, 16; 0, 176; 0, 252; 0, 258;
0, 272 и т. д.
При переходе от системы (75) к исходной системе (74) некоторые из упомянутых
выше хаотических движений „выживают”. В частности, система (74) при N = 5 имеет
хаотические аттракторы при любом cm ≤ 0, 02. Это, в свою очередь, означает, что в
цепочке осцилляторов (73) наблюдается феномен хаотической буферности.
1. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И., Старобинец И. М. Динамическая модель пространственного
развития турбулентности // Письма в ЖЭТФ. — 1984. — 39. № 12. — С. 561 – 564.
2. Анищенко В. С. Сложные колебания в простых системах. — М.: Наука, 1990. — 312 с.
3. Гапонов-Грехов А. В., Рабинович М. И. Автоструктуры. Хаотическая динамика ансамблей // Нелиней-
ные волны. Структуры и бифуркации. — М.: Наука, 1987. — С. 7 – 44.
4. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. — М.:
Наука, 1973. — 512 с.
5. Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Двухчастотные автоволновые процессы в комплексном уравнении Гинз-
бурга – Ландау // Теор. и мат. физика. — 2003. — 143, № 3. — С. 353 – 373.
6. Глызин С. Д. Численное обоснование гипотезы Ландау – Колесова о природе турбулентности // Мат.
модели в биологии и медицине. — 1989. — Вып. 3. — С. 31 – 36.
7. Колесов А. Ю., Мищенко Е. Ф., Розов Н. Х. Асимптотические методы исследования периодических
решений нелинейных гиперболических уравнений. — М.: Наука, 1998. — 191 с.
8. Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Инвариантные торы нелинейных волновых уравнений. — М.: Физматлит,
2004. — 408 с.
9. Мищенко Е. Ф., Садовничий В. А., Колесов А. Ю., Розов Н. Х. Автоволновые процессы в нелинейных
средах с диффузией. — М.: Физматлит, 2005. — 432 с.
10. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом про-
странстве. — М.: Наука, 1970. — 536 с.
Получено 13.09.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
|