Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання
Предложен подход к исследованию четных систем функционально-дифференциальных уравнений с ограничениями и управлением, согласно которому совместность рассматриваемой задачи сводится к установлению существования решений системы интегральных уравнений. Обосновано применение к задаче итерационного и про...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7246 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 113-125. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7246 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-72462010-03-29T12:01:19Z Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання Лучка, А.Ю. Предложен подход к исследованию четных систем функционально-дифференциальных уравнений с ограничениями и управлением, согласно которому совместность рассматриваемой задачи сводится к установлению существования решений системы интегральных уравнений. Обосновано применение к задаче итерационного и проекционно-итеративного методов. We propose an approach to study even systems of functional-differential equations with restrictions and a control, where solvability of the problem is reduced to finding whether a system of integral equations has a solution. We substantiate the iteration and projective-iteration methods. 2007 Article Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 113-125. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7246 517.927 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Предложен подход к исследованию четных систем функционально-дифференциальных уравнений с ограничениями и управлением, согласно которому совместность рассматриваемой задачи сводится к установлению существования решений системы интегральных уравнений. Обосновано применение к задаче итерационного и проекционно-итеративного методов. |
| format |
Article |
| author |
Лучка, А.Ю. |
| spellingShingle |
Лучка, А.Ю. Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання |
| author_facet |
Лучка, А.Ю. |
| author_sort |
Лучка, А.Ю. |
| title |
Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання |
| title_short |
Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання |
| title_full |
Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання |
| title_fullStr |
Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання |
| title_full_unstemmed |
Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання |
| title_sort |
парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7246 |
| citation_txt |
Парні системи функціонально-диференціальних рівнянь з обмеженнями і методи їх розв'язання / А.Ю. Лучка // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 113-125. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT lučkaaû parnísistemifunkcíonalʹnodiferencíalʹnihrívnânʹzobmežennâmiímetodiíhrozvâzannâ |
| first_indexed |
2025-07-02T10:06:54Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:06:54Z |
| _version_ |
1836529290010689536 |
| fulltext |
УДК 517 . 927
ПАРНI СИСТЕМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ
РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ I МЕТОДИ ЇХ РОЗВ’ЯЗАННЯ*
А. Ю. Лучка
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We propose an approach to study even systems of functional-differential equations with restrictions and a
control, where solvability of the problem is reduced to finding whether a system of integral equations has
a solution. We substantiate the iteration and projective-iteration methods.
Предложен подход к исследованию четных систем функционально-дифференциальных уравне-
ний с ограничениями и управлением, согласно которому совместность рассматриваемой задачи
сводится к установлению существования решений системы интегральных уравнений. Обосно-
вано применение к задаче итерационного и проекционно-итеративного методов.
1. Об’єкт дослiдження. Парнi системи рiвнянь виникають при математичному моделю-
ваннi процесiв, що вiдбуваються в неоднорiдних середовищах. Будемо дослiджувати мо-
дель, згiдно з якою еволюцiйний процес, що вiдбувається при t ∈ [a, c] в одному середо-
вищi i описується системою функцiонально-диференцiальних рiвнянь з керуванням(
d
dt
+ P (t)
)
x(t) = u(t) + f(t, x(t), x(ν(t))), (1)
в момент часу t = c переходить у друге середовище, еволюцiя в якому при t ∈ [c, b]
описується системою функцiонально-диференцiальних рiвнянь вигляду(
d
dt
+ Q(t)
)
x(t) = u(t) + g(t, x(t), x(τ(t))). (2)
При цьому припускаємо, що елементи заданих матриць P (t) та Q(t) розмiрностi m × m
сумовнi з квадратом на вiдрiзках [a, c] та [c, b] вiдповiдно, а заданi вектор-функцiї f : [a, c]×
×Rm × Rm → Rm та g : [c, b] × Rm × Rm → Rm такi, що породжуванi ними оператори
Немицького вiдображають вiдповiдно простори L2 ([a, c], Rm) та L2 ([c, b], Rm) в себе.
Будемо розглядати випадок, коли керування визначається формулою
u(t) = C(t)λ, (3)
а строго монотонно зростаючi неперервнi функцiї ν(t) та τ(t), визначенi на [a, c] та [c, b]
вiдповiдно, такi, що ν(a) = a, ν(c) ≥ τ(c), τ(c) ≥ a, τ(b) ≤ b, зокрема ν(t) = t, τ(t) = t−∆,
∆ = const > 0, причому ∆ ≤ c− a.
* Пiдтримано грантом Президiї НАН України (тема № 21).
c© А. Ю. Лучка, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1 113
114 А. Ю. ЛУЧКА
Ставиться задача: знайти вектор-функцiю x(t) iз класу W 1
2 ([a, b], Rm) та вектор λ ∈ Rl
такi, щоб майже скрiзь справджувались рiвностi (1), (2) та обмеження
x(a) = γ,
b∫
a
S(t)x(t)dt = α, (4)
де (m× l)-матриця C(t) та (l×m)-матриця S(t) iз сумовними з квадратом на [a, b] елемен-
тами i γ ∈ Rm, α ∈ Rl заданi, причому стовпцi матрицi C(t) лiнiйно незалежнi. Якщо така
пара iснує, задачу (1) – (4) вважаємо сумiсною.
2. Пiдхiд до дослiдження сумiсностi задачi. Питання сумiсностi задачi (1) – (4) можна
звести до питання iснування розв’язкiв системи iнтегральних рiвнянь. При цьому важливу
роль вiдiграє допомiжна задача(
d
dt
+ A(t)
)
x(t) = C(t)λ + y(t), (5)
x(a) = γ,
b∫
a
S(t)x(t)dt = α, (6)
в якiй вектор-функцiя y ∈ L2 ([a, b], Rm) задана i
A(t) =
P (t), t ∈ J1,
Q(t), t ∈ J2,
(7)
де J1 = [a, c], J2 = [c, b].
Припустимо, що однорiдна задача
(
d
dt
+ A(t)
)
x(t) = C(t)λ, x(a) = 0,
b∫
a
S(t)x(t)dt = 0, (8)
має лише тривiальний розв’язок. Тодi, використавши методику, розроблену в [1 – 4], мож-
на встановити iснування вектор-функцiї h(t), вектора σ i матриць G(t, s) та Γ(s) розмiр-
ностi m × m та l × m вiдповiдно таких, що єдиний розв’язок неоднорiдної задачi (5), (6)
зображується формулами
x(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)y(s)ds, λ = σ +
b∫
a
Γ(s)y(s)ds (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПАРНI СИСТЕМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 115
i справджуються спiввiдношення
b∫
a
G(t, s)C(s)ds = O, I +
b∫
a
Γ(s)C(s)ds = O, (10)
де I – одинична матриця в Rl.
Введемо до розгляду функцiю та вектор-функцiю, якi визначаються формулами
ω(t) =
ν(t), t ∈ J1,
τ(t), t ∈ J2,
(11)
F (t, x(t), x(ω(t))) =
f(t, x(t), x(ν(t))), t ∈ J1,
g(t, x(t), x(τ(t))), t ∈ J2.
(12)
За допомогою формул (3), (7), (11), (12) системи рiвнянь (1) та (2) можна записати у ви-
глядi (
d
dt
+ A(t)
)
x(t) = C(t)λ + F (t, x(t), x(ω(t))). (13)
На основi формул (5), (9) i (13) неважко отримати систему iнтегральних рiвнянь
y(t) = F
t, h(t) +
b∫
a
G(t, s)y(s)ds, h(ω(t)) +
b∫
a
G(ω(t), s)y(s)ds
. (14)
Iз викладеного випливає, що задача (1) – (4) рiвносильна системi iнтегральних рiвнянь
(14) в такому сенсi: якщо y∗ ∈ L2 ([a, b], Rm) — розв’язок системи (14), то задача (1) – (4)
сумiсна i її розв’язок визначається формулами
x∗(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)y∗(s)ds, λ∗ = σ +
b∫
a
Γ(s)y∗(s)ds, (15)
i, навпаки, якщо (x∗(t), λ∗) – розв’язок задачi (1) – (4), то iснує розв’язок системи iнте-
гральних рiвнянь (14)
y∗(t) =
(
d
dt
+ A(t)
)
x∗(t)− C(t)λ∗. (16)
Якщо система рiвнянь (14) має єдиний розв’язок, то iснує єдиний розв’язок задачi (1) – (4).
Таким чином, правильним є наступне твердження.
Теорема 1. Якщо однорiдна задача (8) має лише тривiальний розв’язок, то задача
(1) – (4) сумiсна тодi i лише тодi, коли iснує розв’язок системи iнтегральних рiвнянь
(14). Їх розв’язки пов’язанi спiввiдношеннями (15) та (16).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
116 А. Ю. ЛУЧКА
Зауваження 1. Якщо однорiдна задача (8) з матрицею (7) має нетривiальний розв’я-
зок, то матрицю A(t) можна задати таким чином, щоб неоднорiдна задача (5), (6) мала
єдиний розв’язок i його можна було б побудувати в явному виглядi порiвняно легко. Тодi
задачу (1) – (4) також можна звести до системи iнтегральних рiвнянь вигляду (14), однак
у правiй частинi з’явиться ще додатковий член
B(t)h(t) +
b∫
a
B(t)G(t, s)y(s)ds, B(t) =
{
A(t)− P (t), t ∈ J1,
A(t)−Q(t), t ∈ J2.
3. Лiнiйна задача. Самостiйне значення має лiнiйна задача(
d
dt
+ M(t)
)
x(t) = C(t)λ + f(t) + D(t)x(ω(t)), (17)
x(a) = γ,
b∫
a
S(t)x(t)dt = α, (18)
в якiй функцiя ω(t) має вигляд (11), а (m ×m)-матрицi M(t) та D(t) iз сумовними з квад-
ратом на [a, b] елементами i f ∈ L2 ([a, b], Rm) є заданими.
Зведемо задачу (17), (18) до системи лiнiйних iнтегральних рiвнянь. Для цього виби-
раємо неперервну на [a, b] (m×m)-матрицю A(t) таким чином, щоб однорiдна задача (8)
мала лише тривiальний розв’язок. Запишемо систему (17) у виглядi(
d
dt
+ A(t)
)
x(t) = C(t)λ + f(t) + B(t)x(t) + D(t)x(ω(t)),
де B(t) = A(t)−M(t), i покладемо
y(t) = f(t) + B(t)x(t) + D(t)x(ω(t)). (19)
Тодi задача (17), (18) набере вигляду (5), (6), а її єдиний розв’язок можна знайти за фор-
мулами (9). Пiдставивши першу з них у спiввiдношення (19), отримаємо
y(t) = p(t) +
b∫
a
K(t, s)y(s)ds, (20)
де
p(t) = f(t) + B(t)h(t) + D(t)h(ω(t)), (21)
K(t, s) = B(t)G(t, s) + D(t)G(ω(t), s). (22)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПАРНI СИСТЕМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 117
Справедливим є очевидне твердження.
Теорема 2. Якщо спектральний радiус оператора, що фiгурує в правiй частинi систе-
ми (20), ρ(K) < 1, то iснує єдиний розв’язок задачi (17), (18) i його можна побудувати
методом послiдовних наближень.
Для отримання конструктивних достатнiх умов збiжностi доцiльно систему (20) в усьо-
му просторi звести до системи iнтегральних рiвнянь у його пiдпросторi. Щоб отримати
останню систему, введемо оператор ортогонального проектування
(Πz)(t) :=
b∫
a
Π(t, s)z(s)ds, (23)
ядро якого визначається формулою
Π(t, s) = C(t)
b∫
a
C∗(ξ)C(ξ)dξ
−1
C∗(s),
де C∗(t) – матриця, спряжена до матрицi C(t).
За допомогою оператора (23) та першої властивостi (10) формулi (9) можна надати
вигляду
x(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)v(s)ds, (24)
де
v(t) = y(t)−
b∫
a
Π(t, s)y(s)ds. (25)
Використавши формули (24), (25) та (21), (22), дослiдження розв’язуваностi системи
(20) зведемо до питання iснування розв’язкiв системи
v(t) = q(t) +
b∫
a
L(t, s)y(s)ds (26)
в певному пiдпросторi простору L2 ([a, b], Rm), де
q(t) = p(t)−
b∫
a
Π(t, s)p(s)ds, (27)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
118 А. Ю. ЛУЧКА
L(t, s) = K(t, s)−
b∫
a
Π(t, ξ)K(ξ, s)dξ. (28)
Зауваження 2. Дослiдження розв’язуваностi системи нелiнiйних рiвнянь (14) таким
же способом також можна звести до питання iснування розв’язкiв системи iнтегральних
рiвнянь, аналогiчної системi (26), у певному пiдпросторi.
4. Проекцiйно-iтеративний метод. До задачi (1) – (4) можна застосувати наближе-
нi методи, зокрема методи проекцiйно-iтеративного типу. Суть проекцiйно-iтеративного
методу полягає в тому, що для побудови наближених розв’язкiв використовуються iдеї як
проекцiйних, так i iтерацiйних методiв.
Нехай наближення (xk−1(t), λk−1) уже побудовано, отже, вiдома також вектор-функцiя
yk−1(t). Тодi знаходимо вектор-функцiї
zk(t) = xk−1(t) + δk(t), (29)
yk(t) = F (t, zk(t), zk(ω(t))), (30)
використовуючи при цьому формулу (12), i наступне наближення визначаємо iз задачi(
d
dt
+ A(t)
)
xk(t) = C(t)λk + yk(t), xk(a) = γ, (31)
b∫
a
S(t)xk(t)dt = α. (32)
Поправку шукаємо у виглядi
δk(t) = W (t)µk, (33)
де (m× n)-матриця W (t) визначається iз допомiжної задачi(
d
dt
+ A(t)
)
W (t) = C(t)E + Φ(t), (34)
W (a) = O,
b∫
a
S(t)W (t)dt = O, (35)
а невiдомий вектор µk ∈ Rn — з умови
b∫
a
Ψ(t) (yk(t)− yk−1(t)− Φ(t)µk) dt = 0. (36)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПАРНI СИСТЕМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 119
У формулах (34 – (36) стала (l × n)-матриця E є шуканою i (m × n)-матриця Φ(t) та (n ×
×m)-матриця Ψ(t) iз сумовними з квадратом на [a, b] елементами заданi, причому стовпцi
матрицi Φ(t) та рядки матрицi Ψ(t) лiнiйно незалежнi i справджується важлива умова
b∫
a
Ψ(t)C(t)dt = O. (37)
Початкове наближення (x0(t), λ0) визначаємо iз задачi (31), (32) при k = 0 i заданiй
вектор-функцiї y0(t).
На основi спiввiдношень (29), (30), (33) i (36) для визначення невiдомого вектора µk ∈
∈ Rn отримаємо систему нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь. Знайшовши її розв’язок, точ-
ний чи наближений, i розв’язавши задачу (31), (32), отримаємо шукане наближення.
За припущення, що однорiдна задача (8) має лише тривiальний розв’язок, метод (29) –
(37) зводиться до проекцiйно-iтеративного методу стосовно системи iнтегральних рiв-
нянь (14), умови збiжностi якого висвiтлено в низцi праць, зокрема в [5] (§ 4, 16). Справдi,
за цього припущення задачi (31), (32) i (34), (35) мають єдинi розв’язки
xk(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)yk(s)ds, λk = σ +
b∫
a
Γ(s)yk(s)ds, (38)
W (t) =
b∫
a
G(t, s)Φ(s)ds, E =
b∫
a
Γ(s)Φ(s)ds. (39)
Використовуючи формули (38), (39) та (33), спiввiдношення (29) записуємо у виглядi
zk(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)(yk−1(s) + Φ(s)µk)ds. (40)
Пiдставляючи тепер (40) у (30) i враховуючи умову (36), приходимо до висновку, що послi-
довнiсть {yk(t), k ≥ 1} справдi побудована за проекцiйно-iтеративним методом стосовно
системи iнтегральних рiвнянь (14).
Зауваження 3. Окремим випадком запропонованого методу, коли δk(t) = 0 при всiх k,
є iтерацiйний метод, згiдно з яким послiдовнi наближення до шуканого розв’язку задачi
(1) – (4) будуються за формулами
yk(t) = F (t, xk−1(t), xk−1(ω(t))), (41)
(
d
dt
+ A(t)
)
xk(t) = C(t)λk + yk(t), (42)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
120 А. Ю. ЛУЧКА
xk(a) = γ,
b∫
a
S(t)xk(t)dt = α. (43)
Iтерацiйний метод (41) – (43) за допомогою формул (38) очевидним чином зводиться до
методу послiдовних наближень для системи iнтегральних рiвнянь (14), умови збiжностi та
оцiнки похибки якого вiдомi.
Зауваження 4. У випадку лiнiйної задачi (17), (18) для визначення вектора µk, як це
встановлено в [6], отримаємо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Λµk(t) =
b∫
a
Ψ(t)εk(t)dt, (44)
де
Λ =
b∫
a
Ψ(t)(Φ(t)−B(t)W (t)−D(t)W (ω(t)))dt, (45)
εk(t) = f(t) + B(t)xk−1(t) + D(t)xk−1((ω(t))− yk−1(t). (46)
5. Приклад. Розглянемо просту парну задачу з обмеженням
d
dt
x(t) = λ + 1− 2t3 + 3
√
t + x(t2), t ∈ J1, (47)
d
dt
x(t) = λ− 2− 3
√
t− 1 + x(t) + x(t− 1), t ∈ J2, (48)
x(0) = 1,
2∫
0
x(t)dt = 4, J1 = [0, 1], J2 = [1, 2], (49)
i зведемо її до iнтегрального рiвняння. Для цього запишемо її у виглядi
d
dt
x(t) = λ + y(t), x(0) = 1,
2∫
0
x(t)dt = 4, (50)
y(t) =
1− 2t3 + 3
√
t + x(t2), t ∈ J1,
−2− 3
√
t− 1 + x(t) + x(t− 1), t ∈ J2.
(51)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПАРНI СИСТЕМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 121
Розв’язавши задачу (50), отримаємо
x(t) = 1 + t +
t∫
0
y(s)ds + t
2∫
0
(s
2
− 1
)
y(s)ds, λ = 1 +
2∫
0
(s
2
− 1
)
y(s)ds,
або, ввiвши позначення
Γ(s) =
s
2
− 1, G(t, s) = θ(t− s) + tΓ(s), (52)
x(t) = 1 + t +
2∫
0
G(t, s)y(s)ds, λ = 1 +
2∫
0
Γ(s)y(s)ds, (53)
де θ(t− s) — функцiя Хевiсайда.
Якщо пiдставити перший вираз (53) у формулу (51), то отримаємо iнтегральне рiвня-
ння
y(t) =
2 + t2 − 2t3 + 3
√
t +
2∫
0
G(t2, s)y(s)ds, t ∈ J1,
32t− 1− 3
√
t− 1 +
2∫
0
(G(t, s) + G(t− 1, s))y(s)ds, t ∈ J2,
(54)
тобто рiвняння (20), у якому
p(t) =
2 + t2 − 2t3 + 3
√
t, t ∈ J1,
2t− 1− 3
√
t− 1, t ∈ J2,
K(t, s) =
G(t2, s), t ∈ J1,
G(t, s) + G(t− 1, s), t ∈ J2.
(55)
Неважко перевiрити безпосереднiми обчисленнями, що функцiя
y∗(t) =
2 + 3
√
t, t ∈ J1,
2− 3
√
t− 1, t ∈ J2,
(56)
є розв’язком iнтегрального рiвняння (54). Отже, використавши формули (53) та (56),
отримаємо розв’язок задачi (47) – (49)
λ∗ = 1 +
2∫
0
Γ(s)y∗(s)ds = −2, (57)
x∗(t) = 1 + t +
2∫
0
G(t, s)y∗(s)ds =
1 + 2t
√
t, t ∈ J1,
3− (2t− 2)
√
t− 1, t ∈ J2.
(58)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
122 А. Ю. ЛУЧКА
Зауважимо, що iнтегральне рiвняння (54) в усьому просторi за допомогою формул
(27), (28) та (23), (52), (55) можна звести до iнтегрального рiвняння вигляду (26) у пiдпрос-
торi.
Застосуємо до задачi (47) – (49) iтерацiйний метод (41) – (43), згiдно з яким наближен-
ня до шуканого розв’язку, з урахуванням спiввiдношень (50), (51) будуються за формула-
ми
yk(t) =
1− 2t3 + 3
√
t + xk−1(t2), t ∈ J1,
−2− 3
√
τ + xk−1(t) + xk−1(τ), t ∈ J2,
(59)
d
dt
xk(t) = λk + yk(t), xk(0) = 1,
2∫
0
xk(t)dt = 4. (60)
Тут i в подальшому τ = t− 1.
Нехай
y0(t) =
1− 2t3 + 3
√
t, t ∈ J1,
−2− 3
√
τ , t ∈ J2,
(61)
тодi початкове наближення знаходимо iз задачi
d
dt
x0(t) = λ0 + y0(t), x0(0) = 1,
2∫
0
x0(t)dt = 4. (62)
Розв’язавши задачу (62) iз урахуванням (61), отримаємо початкове наближення
λ0 =
1
20
, x0(t) =
1
20
20 + 21t− 10t4 + 40t
√
t, t ∈ J1,
71− 39τ − 40τ
√
τ , t ∈ J2.
(63)
Продовживши обчислення за формулами (59), (60), можна знайти послiдовнiсть набли-
жених розв’язкiв. На її побудовi не зупиняємось, оскiльки нас цiкавить поведiнка похибки
∆k(t) = xk(t)− x∗(t), βk = λk − λ∗, (64)
яку, беручи до уваги формули (60), (50), (59), (51) та (64), визначаємо iз задачi
d
dt
∆k(t) = βk + wk(t), ∆k(0) = 0,
2∫
0
∆k(t)dt = 0, (65)
wk(t) =
∆k−1(t2), t ∈ J1,
∆k−1(t) + ∆k−1(τ), t ∈ J2.
(66)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПАРНI СИСТЕМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 123
Початкова похибка нам вiдома, оскiльки вiдомi точний розв’язок (57), (58) i початкове
наближення (63), тобто
β0 =
41
20
, ∆0(t) =
1
20
21t− 10t4, t ∈ J1,
11− 39τ, t ∈ J2.
(67)
Її можна також знайти iз задачi (65) при k = 0, задаючи
w0(t) =
{
−1− 2t3, t ∈ J1,
−4, t ∈ J2.
(68)
Отже, ми визначили за методом (65), (66) ще три наступнi послiдовнi похибки в явному
виглядi, а їх затухання видно iз таблицi.
t ∆0(t) ∆1(t) ∆2(t) ∆3(t) x1(t) x2(t)
0,25 0,2606 -0,0551 0,0030 -0,0009 -0,0045 -0,0002
0,5 0,4938 -0,0775 -0,0013 -0,0015 -0,0152 -0,0006
0,75 0,6293 -0,0383 -0,0148 -0,0022 -0,0145 -0,0026
1 0,5500 0,0521 -0,0168 -0,0068 0,0227 -0,0036
1,25 0,0625 0,1008 0,0005 -0,0092 0,0296 0,0045
1,5 -0,4250 0,0903 0,0123 -0,0050 -0,0008 0,0064
1,75 -0,9125 0,0060 0,0144 0,0089 -0,0168 -0,0011
2 -1,4000 -0,1903 0,0001 0,0410 0,0094 -0,0046
β, λ 2,0500 -0,2424 0,0169 -0,0042 -0,0134 -0,0009
Проiлюструємо застосування проекцiйно-iтеративного методу до задачi
d
dt
x(t) = λ +
x(t2), t ∈ J1,
x(t) + x(τ), t ∈ J2,
(69)
x(0) = 0,
2∫
0
x(t)dt = 0. (70)
За початкове наближення вiзьмемо λ0 = β0, x0(t) = ∆0(t). Тодi наближенi розв’язки,
побудованi за проекцiйно-iтеративним методом (29) – (37) стосовно задачi (69), (70), озна-
чатимуть похибку наближених розв’язкiв задачi (47) – (49), знайдених за цим же проекцiй-
но-iтеративним методом.
Нехай n = 1 i Φ(t) = 6t, Ψ(t) = t − 1, тодi, оскiльки C(t) = 1, A(t) = 0, умова (37)
виконується, а задача (34), (35) зведеться до задачi
d
dt
W (t) = E + 6t, W (0) = 0,
2∫
0
W (t)dt = 0,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
124 А. Ю. ЛУЧКА
розв’язком якої є функцiя W (t) = 3t2 − 4t. Пiсля цього визначаємо функцiю
η(t) =
W (t2), t ∈ J1,
W (t) + W (τ), t ∈ J2,
=
3t4 − 4t2, t ∈ J1,
6τ2 − 2τ − 1, t ∈ J2,
(71)
а за формулою (45) обчислюємо
∆ =
2∫
0
Ψ(t)(Φ(t)− η(t))dt =
103
30
.
Побудуємо перше наближення. Для цього спочатку за проекцiйним методом знаходи-
мо функцiю
z1(t) = x0(t) + µ1(3t2 − 4t). (72)
Згiдно з цим методом для визначення параметра µ1 потрiбно сформувати систему (44)
i знайти її розв’язок. Праву частину системи обчислюємо за допомогою формули (46),
тобто будуємо функцiю
v1(t) =
x0(t2), t ∈ J1,
x0(t) + x0(τ), t ∈ J2,
=
1
20
21t2 − 10t8, t ∈ J1,
11− 10τ4 − 18τ, t ∈ J2,
(73)
i нев’язку
ε1(t) = v1(t)− y0(t) =
1
20
20 + 21t2 + 40t3 − 10t8, t ∈ J1,
91− 10τ4 − 18τ, t ∈ J2,
де y0(t) = w0(t). Виконавши обчислення, отримаємо
103
30
µ1 =
871
720
, µ1 =
871
2472
.
Пiсля цього перше наближення знаходимо за iтерацiйним методом, тобто виконуємо iте-
рацiю
y1(t) =
z1(t2), t ∈ J1,
z1(t) + z1(τ), t ∈ J2,
= v1(t) + µ1η(t) (74)
i шукане наближення визначаємо iз задачi
d
dt
x1(t) = λ1 + y1(t), x1(0) = 0,
2∫
0
x1(t)dt = 0. (75)
Розв’язавши задачу (75) iз урахуванням формул (71) – (74), отримаємо
λ1 = −0, 01334,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ПАРНI СИСТЕМИ ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ З ОБМЕЖЕННЯМИ . . . 125
x1(t) =
−0, 01334− 0, 11979t3 + 0, 21141t5 − 0, 05556t9, t ∈ J1,
0, 02272 + 0, 18432τ − 0, 80235τ2 + 0, 70469τ3 − 0, 1τ5, t ∈ J2.
Таким же способом можна побудувати друге наближення. Вiдхилення побудованих
наближень вiд нуля видно з двох останнiх стовпцiв таблицi.
1. Лучка А. Ю. Методи розв’язання рiвнянь з обмеженнями i проекцiйно-iтеративний метод Ю.Д. Соко-
лова // Укр. мат. журн. — 1996. — 48, № 11. — С. 1501 – 1509.
2. Лучка А. Ю. Проекцiйно-iтеративний метод для диференцiальних рiвнянь з обмеженнями // Нелiнiйнi
коливання. — 2002. — 5, № 4. — С. 465 – 488.
3. Лучка А. Ю., Кучерук Т. А. Iтерацiйний метод побудови розв’язкiв лiнiйних рiвнянь з обмеженнями //
Укр. мат. журн. — 2002. — 54, № 4. — С. 472 – 482.
4. Лучка А. Ю., Ферук В. А. Проекцiйно-iтеративний метод для систем диференцiальних рiвнянь iз зага-
юванням та обмеженнями // Нелiнiйнi коливання. — 2003. — 6, № 2. — С. 206 – 232.
5. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. — Киев: Наук. думка, 1993. — 288 с.
6. Лучка А. Ю. Методи розв’язування систем функцiонально-диференцiальних рiвнянь з обмеженнями
// Крайовi задачi для диференцiальних рiвнянь: Зб. наук. пр. — Чернiвцi: Прут, 2006. — Вип. 13. —
С. 134 – 152.
Одержано 09.10.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
|