Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом
Встановлено нові властивості розв'язків диференціально-функціонального рівняння x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + cx'(t − r) + px(qt) + hx'(qt) + f1(x(t), x(t − r), x'(t − r), x(qt), x'(qt)) в околі особливої точки t = +∞....
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7248 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 144-160. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7248 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-72482010-03-29T12:01:20Z Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. Встановлено нові властивості розв'язків диференціально-функціонального рівняння x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + cx'(t − r) + px(qt) + hx'(qt) + f1(x(t), x(t − r), x'(t − r), x(qt), x'(qt)) в околі особливої точки t = +∞. We find new properties of solutions of the differential-functional equation x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + cx'(t − r) + px(qt) + hx'(qt) + f1(x(t), x(t − r), x'(t − r), x(qt), x'(qt)) in a neighbourhood of the singular point t = +∞. 2007 Article Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 144-160. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7248 517.929 ru Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Встановлено нові властивості розв'язків диференціально-функціонального рівняння x'(t) = ax(t) + bx(t − r) + cx'(t − r) + px(qt) + hx'(qt) + f1(x(t), x(t − r), x'(t − r), x(qt), x'(qt)) в околі особливої точки t = +∞. |
| format |
Article |
| author |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. |
| spellingShingle |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. Бельский, Д.В. |
| author_sort |
Пелюх, Г.П. |
| title |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_short |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_full |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_fullStr |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_full_unstemmed |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| title_sort |
об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7248 |
| citation_txt |
Об асимптотических свойствах решений дифференциально-функциональных уравнений с линейно преобразованным аргументом / Г.П. Пелюх, Д.В. Бельский // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 144-160. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp obasimptotičeskihsvojstvahrešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijslinejnopreobrazovannymargumentom AT belʹskijdv obasimptotičeskihsvojstvahrešenijdifferencialʹnofunkcionalʹnyhuravnenijslinejnopreobrazovannymargumentom |
| first_indexed |
2025-07-02T10:07:00Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:07:00Z |
| _version_ |
1836529295563948032 |
| fulltext |
УДК 517 . 929
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЛИНЕЙНО ПРЕОБРАЗОВАННЫМ АРГУМЕНТОМ
Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский
Ин-т математики НАН Украины
Украина, 01601, Киев 4, ул. Терещенковская, 3
We find new properties of solutions of the differential-functional equation x′(t) = ax(t) + bx(t − r) +
+cx′(t − r) + px(qt) + hx′(qt) + f1(x(t), x(t − r), x′(t − r), x(qt), x′(qt)) in a neighbourhood of the
singular point t = +∞.
Встановлено новi властивостi розв’язкiв диференцiально-функцiонального рiвняння x′(t) =
= ax(t) + bx(t − r) + cx′(t − r) + px(qt) + hx′(qt)+ f1(x(t), x(t − r), x′(t − r), x(qt), x′(qt)) в око-
лi особливої точки t = +∞.
В данной работе рассматривается уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(t− r) + cx′(t− r) + px(qt) + hx′(qt)+
+ f1(x(t), x(t− r), x′(t− r), x(qt), x′(qt)), (1)
где {a, b, c, p, h} ⊂ R, r > 0, 0 < q < 1, f1 : R5 → R. В настоящее время имеется ряд
интересных результатов, касающихся свойств решений уравнения (1). Так, в [1] исследо-
ваны асимптотические свойства решений уравнения (1) при b = c = h = 0 и f1 ≡ 0, в [2]
установлены новые свойства решений этого уравнения при a = b = c = h = 0 и f1 ≡ 0, в
[3] получены условия существования аналитических почти периодических решений урав-
нения (1) при b = c = h = 0 и f1 ≡ 0, в [4] построено представление общего решения
уравнения (1) при b = c = 0, f1 ≡ 0 и |h| > 1, в [5] получен ряд новых результатов о
существовании ограниченных и финитных решений уравнений с линейно преобразован-
ным аргументом, в [6] исследовано поведение решений уравнения (1) при b = c = 0 и
f1 ≡ 0 в окрестности точки t = 0, в [7] определены мажоранты для решений уравнения
(1) при b = c = 0 и f1 ≡ 0, в [8, 9] рассмотрены достаточные условия асимптотической
устойчивости систем дифференциальных уравнений (1) при c = h = 0 и f1 ≡ 0, а также
приведен метод их стабилизации. Несмотря на это и на широкие приложения таких урав-
нений в различных областях науки и техники (см. [10] и приведенную в ней библиогра-
фию), многие вопросы теории дифференциально-функциональных уравнений вида (1)
изучены мало. Это прежде всего касается исследования асимптотических свойств реше-
ний уравнения (1) в окрестности особой точки t = +∞. Поэтому основной целью данной
работы является установление новых свойств решений этого уравнения при достаточно
общих предположениях относительно коэффициентов a, b, c, p, h и функции f1.
c© Г. П. Пелюх, Д. В. Бельский, 2007
144 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 145
Предположим, что a + b 6= 0. Определим функцию
W (t) = (a + b)−1 +
t∫
0
X(s)ds, t ≥ −r,
где X(t) — фундаментальное решение дифференциально-разностного уравнения
ẋ(t) = ax(t) + bx(t− r) + cẋ(t− r).
Поскольку [11] (гл. 1)
X(t) = 1 + cX(t− r) + a
t∫
0
X(s)ds + b
t∫
0
X(s− r)ds, t ≥ 0,
имеем равенство
W (t) =
1
a + b
X(t)− cX(t− r) + b
t∫
t−r
X(s)ds
. (2)
Далее, принимая во внимание оценки
|X(t)| ≤ k1e
αt, var
[t−r,t]
X ≤ k2e
αt, t ≥ 0, (3)
где sup{Re λ | λ(1 − ce−λr) − a − be−λr = 0} df=α0 < α, k1 и k2 — некоторые постоянные,
из (2) получаем неравенство
|W (t)| ≤ k3e
αt, t ≥ 0, (4)
в котором k3 — некоторая положительная постоянная.
Функция W (t) принадлежит C[−r, +∞)
⋂⋂+∞
i=−1 C1(ir, (i + 1)r). Легко показать, что
в точках t = ir, i = −1, 0, 1, 2, . . ., существует правосторонняя производная, а при i =
= 0, 1, 2, . . . — левосторонняя производная этой функции.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть:
1) α0 < 0 и
∣∣∣ p
a + b
∣∣∣ < 1;
2) параметры α, ν ∈ R и j = 0, 1, 2, . . . удовлетворяют неравенствам
α0 < α < 0,
1
ln q−1 ln
∣∣∣ p
a + b
∣∣∣ < ν < 0,
(∣∣∣h
q
∣∣∣+ |p| k1
|α|
+
∣∣∣h
q
∣∣∣k2 e−αr
e−αr − 1
)
qν+j < 1
и |c|+ |h|qν+j < 1;
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
146 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
3) функция f1 является непрерывно дифференцируемой j + 1 раз в окрестности на-
чала координат и равна нулю в начале координат вместе со всеми частными производ-
ными 1-го порядка;
4) для числа t0 > 0 выполняется неравенство qt0 < t0 − r.
Тогда существуют константы 0 < δ < σ < +∞ такие, что для j + 1 раз не-
прерывно дифференцируемых решений x(t) уравнения (1), удовлетворяющих условию
|x(m)(θ)| ≤ δ, θ ∈ [qt0, t0], m = 0, j + 1, имеет место оценка
max{|x(t)|, |x′(t)|, . . . , |x(j+1)(t)|} < σtν ∀t ∈ [qt0,+∞).
Доказательство. Из условия α0 < 0 следует неравенство a + b 6= 0, значит, функция
W (t) корректно определена. Согласно асимптотическому расположению корней харак-
теристического квазиполинома из условия α0 < 0 также следует неравенство |c| < 1.
Таким образом, неравенство |c| + |h|qν+j < 1 может выполняться при соответствующем
выборе параметров ν и j.
Последовательно дифференцируя левую и правую части уравнения (1) j раз, получа-
ем j + 1 уравнение
x(m+1)(t) = ax(m)(t) + bx(m)(t− r) + cx(m+1)(t− r) + pqmx(m)(qt)+
+ hqmx(m+1)(qt) + fm+1
(
x(t), x′(t), . . . , x(m)(t), x(t− r), x′(t− r), . . .
. . . , x(m+1)(t− r), x(qt), x′(qt), . . . , x(m+1)(qt)
)
, m = 0, j.
Из третьего условия теоремы следует, что все функции fm, m = 1, j + 1, непрерыв-
но дифференцируемы по всем своим аргументам и равны нулю вместе со всеми своими
частными производными 1-го порядка в начале координат.
Выполняя замену переменных x(t) = tνy(t), получаем уравнения
y(m+1)(t) = ay(m)(t) + by(m)(t− r) + cy(m+1)(t− r) + pqν+my(m)(qt)+
+ hqν+my(m+1)(qt) + Fm+1
(
t, ν, y(t), y′(t), . . . , y(m)(t), y(t− r),
y′(t− r), . . . , y(m+1)(t− r), y(qt), y′(qt), . . . , y(m+1)(qt)
)
, m = 0, j, (5)
где Fi — некоторые непрерывно дифференцируемые по всем своим аргументам функ-
ции.
Принимая во внимание условия теоремы и вид функций Fi, можно показать, что для
всех t ∈ [t0,+∞) и {zi, ui, i = 1, 3m + 5} ⊂ R : max{|zi|, |ui|, i = 1, 3m + 5} ≤ δ выполня-
ется неравенство
|Fm+1(t, ν, z1, . . . , z3m+5)− Fm+1(t, ν, u1, . . . , u3m+5)| ≤
3m+5∑
i=1
lm+1,i(t0, δ, ν)|zi − ui|, (6)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 147
где lm+1,i(t0, δ, ν) → 0 при t0 → +∞, δ → 0, i = 1, 3m + 5, m = 0, j.
Запишем уравнение (5) в интегральной форме
y(m)(t) = X(t− t0)
(
y(m)(t0)− cy(m)(t0 − r)
)
+
+ b
t0∫
t0−r
X(t− θ − r)y(m)(θ)dθ − c
t0∫
t0−r
y(m)(θ)dX(t− θ − r)+
+ pqν+m
t∫
t0
X(t− s)y(m)(qs)ds + hqν+m
t∫
t0
X(t− s)y(m+1)(qs)ds+
+
t∫
t0
X(t− s)Fm+1
(
s, ν, y(s), y′(s), . . . , y(m)(s), y(s− r),
y′(s− r), . . . , y(m+1)(s− r), y(qs), y′(qs), . . . , y(m+1)(qs)
)
ds.
Поскольку в силу свойств функции W (t) в результате интегрирования по частям имеем
t∫
t0
X(t− s)y(m)(qs)ds = W (t− t0)y(m)(qt0)− (a + b)−1y(m)(qt) + q
t∫
t0
W (t− s)y(m+1)(qs)ds,
интегральную формулу для y(m)(t) можно записать в виде
y(m)(t) = −pqν+m
a + b
y(m)(qt) + X(t− t0)(y(m)(t0)− cy(m)(t0 − r))+
+ pqν+mW (t− t0)y(m)(qt0) + b
t0∫
t0−r
X(t− θ − r)y(m)(θ)dθ−
− c
t0∫
t0−r
y(m)(θ)dX(t− θ − r)+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
148 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
+ pqν+m+1
t∫
t0
W (t− s)y(m+1)(qs)ds + hqν+m
t∫
t0
X(t− s)y(m+1)(qs)ds+
+
t∫
t0
X(t− s)Fm+1(s, ν, y(s), y′(s), . . . , y(m)(s), y(s− r),
y′(s− r), . . . , y(m+1)(s− r), y(qs), y′(qs), . . . , y(m+1)(qs))ds, m = 0, j − 1. (7)
Аналогично, для функции y(j)(t) имеем уравнение
y(j)(t) = X(t− t0)(y(j)(t0)− cy(j)(t0 − r)− hqν+j−1y(j)(qt0))+
+ b
t0∫
t0−r
X(t− θ − r)y(j)(θ)dθ − c
t0∫
t0−r
y(j)(θ)dX(t− θ − r)+
+ hqν+j−1y(j)(qt) + pqν+j
t∫
t0
X(t− s)y(j)(qs)ds−
− hqν+j−1
t∫
t0
y(j)(qs)dX(t− s)+
+
t∫
t0
X(t− s)Fj+1(s, ν, y(s), y′(s), . . . , y(j)(s), y(s− r), y′(s− r), . . .
. . . , y(j+1)(s− r), y(qs), y′(qs), . . . , y(j+1)(qs))ds. (8)
Положим
max
{∣∣∣ pqν
a + b
∣∣∣;(∣∣∣h
q
∣∣∣+ |p|k1
α
+
∣∣∣h
q
∣∣∣k2
e−αr
e−αr − 1
)
qν+j ; |c|+ |h|qν+j
}
= 1− ε < 1 (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 149
и выберем числа nm, m = 0, j + 1, так, чтобы выполнялись неравенства
nj
df=1 < nj−1 < nj−2 < . . . < n0 < nj+1 < +∞,
(
|pqν+m+1| k3
|α|
+ |hqν+m| k1
|α|
)
nm+1
nm
<
ε
4
при m = 0, j − 1, (10)
(
|a|+ |b|+ |pqν+j |
) 1
nj+1
<
ε
3
.
Определим величины t0 > 0 и σ > 0 так, чтобы имели место неравенства
k1
|α|
(
m+1∑
i=1
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−1 +
2m+3∑
i=m+2
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−m−2+
+
3m+5∑
i=2m+4
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−2m−4
)
<
ε
4
при m = 0, j − 1,
lj+1,2j+3(t0, nj+1σ, ν) + lj+1,3j+5(t0, nj+1σ, ν) +
j+1∑
i=1
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−1+
+
2j+2∑
i=j+2
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−j−2 +
3j+4∑
i=2j+4
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−2j−4 <
ε
3
,
(11)
k1
|α|
(
j+1∑
i=1
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−1 +
2j+3∑
i=j+2
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−j−2+
+
3j+5∑
i=2j+4
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−2j−4
)
<
ε
3
.
Пусть |y(m)(θ)| ≤ δ для любого θ ∈ [qt0, t0], m = 0, j + 1 и qt0 < t0 − r. Величину δ
выберем меньше σ так, чтобы выполнялись неравенства
(
k1(1 + |c|) + |pqν |k3 + |b|k1r + |c|k2
) δ
σ
<
ε
4
,
(12)(
k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|) + |b|k1r + |c|k2
) δ
σ
<
ε
3
.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
150 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Следовательно, для некоторого T > t0
|y(m)(t)| < nmσ ∀t ∈ [qt0, T ),m = 0, j + 1. (13)
Если T = +∞, то нужное нам утверждение доказано.
Предположим, что это не так, и пусть T — конечный и первый момент времени, когда
хотя бы одно из неравенств (13) превращается в равенство.
Из условия α < 0 и (3), (4), (6), (7), (9) – (13) следует, что для любого t ∈ [t0, T ) функ-
ции y(m)(t), m = 0, j − 1, удовлетворяют неравенствам
|y(m)(t)| <
∣∣∣pqν+m
a + b
∣∣∣nmσ + k1(1 + |c|)δ + |pqν+m|k3δ + |b|k1rδ + |c|k2δ+
+ |pqν+m+1| k3
|α|
nm+1σ + |hqν+m| k1
|α|
nm+1σ +
k1
|α|
(m+1∑
i=1
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−1σ+
+
2m+3∑
i=m+2
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−m−2σ +
3m+5∑
i=2m+4
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−2m−4σ
)
≤
≤
[∣∣∣ pqν
a + b
∣∣∣+ (k1(1 + |c|) + |pqν |k3 + |b|k1r + |c|k2)
δ
σ
+
+
(
|pqν+m+1| k3
|α|
+ |hqν+m| k1
|α|
)nm+1
nm
+
k1
|α|
(m+1∑
i=1
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−1+
+
2m+3∑
i=m+2
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−m−2 +
3m+5∑
i=2m+4
lm+1,i(t0, n0σ, ν)ni−2m−4
)]
nmσ ≤
≤
(
1− ε +
ε
4
+
ε
4
+
ε
4
)
nmσ =
(
1− ε
4
)
nmσ < nmσ.
Последнее неравенство означает, что
|y(m)(T )| ≤
(
1− ε
4
)
nmσ < nmσ, m = 0, j − 1.
Рассмотрим старшую производную y(j+1)(t) при t ∈ [t0, T ). Из (5), (6), (9) – (11) и (13)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 151
получим
|y(j+1)(t)| < |a|σ + |b|σ + |c|nj+1σ + |pqν+j |σ + |hqν+j |nj+1σ+
+
j+1∑
i=1
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−1σ +
2j+3∑
i=j+2
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−j−2σ+
+
3j+5∑
i=2j+4
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−2j−4σ ≤
≤
[
|c|+ |hqν+j |+ (|a|+ |b|+ |pqν+j |) 1
nj+1
+ lj+1,2j+3(t0, nj+1σ, ν)+
+ lj+1,3j+5(t0, nj+1σ, ν) +
1
nj+1
(j+1∑
i=1
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−1+
+
2j+2∑
i=j+2
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−j−2 +
3j+4∑
i=2j+4
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−2j−4
)]
nj+1σ ≤
≤
(
1− ε +
ε
3
+
ε
3
)
nj+1σ =
(
1− ε
3
)
nj+1σ < nj+1σ.
Следовательно, |y(j+1)(T )| ≤
(
1− ε
3
)
nj+1σ < nj+1σ.
Рассмотрим функцию y(j)(t) при t ∈ [t0, T ). Из условия α < 0 и (3), (6), (8) – (13) будем
иметь
|y(j)(t)| < k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|)δ + |b|k1rδ + |c|k2δ + |hqν+j−1|σ+
+ |pqν+j | k1
|α|
σ + |hqν+j−1σ var
0,t−t0
X +
k1
|α|
(j+1∑
i=1
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−1+
+
2j+3∑
i=j+2
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−j−2σ +
3j+5∑
i=2j+4
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−2j−4σ
)
≤
≤
[
(k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|) + |b|k1r + |c|k2)|
δ
σ
+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
152 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
+
(∣∣∣h
q
∣∣∣+ |p| k1
|α|
+
∣∣∣h
q
∣∣∣k2
e−αr
e−αr − 1
)
qν+j+
+
k1
|α|
(j+1∑
i=1
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−1 +
2j+3∑
i=j+2
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−j−2+
+
3j+5∑
i=2j+4
lj+1,i(t0, nj+1σ, ν)ni−2j−4
)]
σ <
(ε
3
+ 1− ε +
ε
3
)
σ =
(
1− ε
3
)
σ < σ.
Следовательно, |y(j)(T )| ≤
(
1− ε
3
)
σ < σ.
Итак, мы показали, что |y(m)(T )| < nmσ, m = 0, j + 1. Но это противоречит предпо-
ложению относительно T . Поэтому T = +∞ и
|y(m)(t)| < nmσ ∀t ∈ [qt0,+∞), m = 0, j + 1.
В приведенных рассуждениях t0 является переменной величиной, а согласно условию
теоремы эта величина должна быть фиксированной. Однако с помощью рассуждений,
аналогичных изложенным выше, можно показать, что для любого t1, удовлетворяющего
условию qt1 < t1 − r, и произвольного η > 0 существует константа 0 < γ < η такая, что
из условия
|x(m)(θ)| ≤ γ ∀θ ∈ [qt1, t1], m = 0, j + 1,
следует оценка
|x(m)(t)| ≤ η ∀t ∈ [qt1,+∞], m = 0, j + 1.
Теорема доказана.
Рассмотрим линейное уравнение
x′(t) = ax(t) + bx(t− r) + cx′(t− r) + px(qt) + hx′(qt). (14)
Справедлива теорема, которая уточняет теорему 1 для линейного случая.
Теорема 2. Пусть:
1) α0 < 0;
2) параметры α, ν ∈ R и j = 0, 1, 2, . . . удовлетворяют неравенствам α0 < α < 0,
1
ln q−1 ln
∣∣∣ p
a + b
∣∣∣ < ν,
(∣∣∣h
q
∣∣∣+ |p| k1
|α|
+
∣∣∣h
q
∣∣∣k2
e−αr
e−αr − 1
)
qν+j < 1, |c|+ |h|qν+j < 1;
3) для числа t0 > 0 выполняется неравенство qt0 < t0 − r.
Тогда существует константа K ≥ 0 такая, что для j + 1 раз непрерывно диффе-
ренцируемых решений x(t) уравнения (14) имеет место оценка
max{|x(t)|, |x′(t)|, . . . , |x(j+1)(t)|} <
< K max
{
sup
s∈[qt0,t0]
|x(s)|, sup
s∈[qt0,t0]
|x′(s)|, . . . , sup
s∈[qt0,t0]
|x(j+1)(s)|
}
tν ∀t ∈ [qt0,+∞).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 153
Доказательство. Последовательно дифференцируя левую и правую части уравнения
(14) j раз, получаем j + 1 дифференциальное уравнение для функций x(m)(t), m = 0, j.
Выполняя замену переменных x(t) = tνy(t), для y(m)(t), m = 0, j, имеем уравнения
y(m+1)(t) = ay(m)(t) + by(m)(t− r) + cy(m+1)(t− r)+
+ pqν+my(m)(qt) + hqν+my(m+1)(qt)+
+ Fm+1(t, ν, y(t), y′(t), . . . , y(m)(t), y(t− r), y′(t− r), . . . , y(m+1)(t− r),
y(qt), y′(qt), . . . , y(m)(qt)), m = 0, j. (15)
Можно показать, что для любого t ∈ [t0,+∞) выполняется неравенство
|Fm+1(t, ν, z1, . . . , z3m+4)− Fm+1(t, ν, u1, . . . , u3m+4)| ≤
3m+4∑
i=1
lm+1,i(t0, ν)|zi − ui|, (16)
где lm+1,i(t0, ν) → 0 при t0 → +∞, i = 1, 3m + 4, m = 0, j.
Запишем уравнения для y(m)(t), m = 0, j − 1, в интегральной форме
y(m)(t) = −pqν+m
a + b
y(m)(qt) + X(t− t0)(y(m)(t0)− cy(m)(t0 − r))+
+ pqν+mW (t− t0)y(m)(qt0) + b
t0∫
t0−r
X(t− θ − r)y(m)(θ)dθ−
− c
t0∫
t0−r
y(m)(θ)dX(t− θ − r)+
+ pqν+m+1
t∫
t0
W (t− s)y(m+1)(qs)ds + hqν+m
t∫
t0
X(t− s)y(m+1)(qs)ds+
+
t∫
t0
X(t− s)Fm+1(s, ν, y(s), y′(s), . . . , y(m)(s), y(s− r), y′(s− r), . . .
. . . , y(m+1)(s− r), y(qs), y′(qs), . . . , y(m)(qs))ds. (17)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
154 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Для функции y(j)(t) имеем уравнение
y(j)(t) = X(t− t0)(y(j)(t0)− cy(j)(t0 − r)− hqν+j−1y(j)(qt0))+
+ b
t0∫
t0−r
X(t− θ − r)y(j)(θ)dθ − c
t0∫
t0−r
y(j)(θ)dX(t− θ − r)+
+ hqν+j−1y(j)(qt) + pqν+j
t∫
t0
X(t− s)y(j)(qs)ds−
− hqν+j−1
t∫
t0
y(j)(qs)dX(t− s)+
+
t∫
t0
X(t− s)Fj+1(s, ν, y(s), y′(s), . . . , y(j)(s), y(s− r), y′(s− r), . . .
. . . , y(j+1)(s− r), y(qs), y′(qs), . . . , y(j)(qs))ds. (18)
Из условия α < 0 и (3), (4), (16), (17) следует, что функции y(m)(t),m = 0, j − 1, удов-
летворяют неравенствам
|y(m)(t)| ≤
∣∣∣pqν+m
a + b
∣∣∣ sup
s∈[qt0,qt]
|y(m)(s)|+
+ (k1(1 + |c|+ |hqν+m|k3 + |b|k1r + |c|k2) sup
s∈[qt0,qt]
|y(m)(s)|+
+
(
|pqν+m+1| k3
|α|
+ |hqν+m| k1
|α|
)
sup
s∈[qt0,qt]
|y(m+1)(s)|+
+
k1
|α|
(
m+1∑
i=1
lm+1,i(t0, ν) sup
s∈[qt0,t]
|y(i−1)(s)|+
+
2m+3∑
i=m+2
lm+1,i(t0, ν) sup
s∈[qt0,t−r]
|y(i−m−2)(s)|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 155
+
3m+4∑
i=2m+4
lm+1,i(t0, ν) sup
s∈[qt0,qt]
|y(i−2m−4)(s)|
)
≤
≤
∣∣∣pqν+m
a + b
∣∣∣ sup
s∈[qt0,qt]
|y(m)(s)|+
+ (k1(1 + |c|) + |pqν+m|k3 + |b|k1r + |c|k2) sup
s∈[qt0,t0]
|y(m)(s)|+
+
(
|pqν+m+1| k3
|α|
+ |hqν+m| k1
|α|
)
sup
s∈[qt0,qt]
|y(m+1)(s)|+
+
k1
|α|
(
m+1∑
i=1
(lm+1,i(t0, ν) + lm+1,m+i+1(t0, ν)+
+ lm+1,2m+i+3(t0, ν)) sup
s∈[qt0,t]
|y(i−1)(s)|+ lm+1,2m+3(t0, ν) sup
s∈[qt0,t]
|y(m+1)(s)|
)
.
Введем обозначения
lm+1,i(t0, ν) + lm+1,m+i+1(t0, ν) + lm+1,2m+i+3(t0, ν) df=Lm+1,i(t0, ν),
i = 1,m + 1,
lm+1,2m+3(t0, ν) df=Lm+1,m+2(t0, ν), m = 0, j,
sup
s∈[qt0,t]
|y(i)(s)| df= zi+1(t), i = 0, j + 1.
Тогда последнее неравенство в новых обозначениях примет вид
|y(m)(t)| ≤
∣∣∣pqν+m
a + b
∣∣∣zm+1(qt) + (k1(1 + |c|) + |pqν+m|k3 + |b|k1r+
+ |c|k2)zm+1(t0) +
(
|pqν+m+1| k3
|α|
+ |hqν+m| k1
|α|
)
zm+2(qt)+
+
k1
|α|
m+2∑
i=1
Lm+1,i(t0, ν)zi(t).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
156 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
Легко проверить, что
zm+1(t) ≤
∣∣∣pqν+m
a + b
∣∣∣zm+1(t− r) + (k1(1 + |c|)+
+ |pqν+m|k3 + |b|k1r + |c|k2)zm+1(t0)+
+
(
|pqν+m+1| k3
|α|
+ |hqν+m| k1
|α|
)
zm+2(t− r)+
+
k1
|α|
m+2∑
i=1
Lm+1,i(t0, ν)zi(t), t ≥ t0, m = 0, j − 1. (19)
Рассмотрим функцию y(j)(t) при t ≥ t0. Из условия α < 0 и (3), (16), (18) получаем
|y(m)(t)| ≤ (k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|) + |b|k1r + |c|k2)zj+1(t0)+
+
(
|hqν+j−1|+ |pqν+j | k1
|α|
+ |hqν+j−1|k2
e−αr
e−αr − 1
)
zj+1(qt)+
+
k1
|α|
j+2∑
i=1
Lj+1,i(t0, ν)zi(t).
Отсюда следует
zj+1(t) ≤ (k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|) + |b|k1r + |c|k2)zj+1(t0)+
+
(∣∣∣ h
q
∣∣∣ + |p| k1
|α|
+
∣∣∣h
q
∣∣∣k2
e−αr
e−αr − 1
)
qν+jzj+1(t− r)+
+
k1
|α|
j+2∑
i=1
Lj+1,i(t0, ν)zi(t). (20)
Рассмотрим старшую производную y(j+1)(t) при t ≥ t0. Из (15), (16) и (20) следуют
неравенства
|y(j+1)(t)| ≤ |a|zj+1(t) + |b|zj+1(t− r) + |c|zj+2(t− r) + |pqν+j |zj+1(qt)+
+ |hqν+j |zj+2(qt) +
j+2∑
i=1
Lj+1,i(t0, ν)zi(t) ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 157
≤ (|a|+ |b|+ |pqν+j |)zj+1(t)+
+ (|c|+ |hqν+j |)zj+2(t− r) +
j+2∑
i=1
Lj+1,i(t0, ν)zi(t) ≤
≤ (|a|+ |b|+ |pqν+j |)
(∣∣∣h
q
∣∣∣+ |p| k1
|α|
+
∣∣∣∣∣hq ∣∣∣k2
e−αr
e−αr − 1
)
qν+jzj+1(t− r)+
+ (|c|+ |hqν+j |)zj+2(t− r)+
+
(
(|a|+ |b|+ |pqν+j |) k1
|α|
+ 1
)
j+2∑
i=1
Lj+1,i(t0, ν)zi(t)+
+ (|a|+ |b|+ |pqν+j |)(k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|)+
+ |b|k1r + |c|k2)zj+1(t0) + zj+2(t0).
Таким образом,
zj+2(t) ≤ (|a|+ |b|+ |pqν+j |)
(∣∣∣h
q
∣∣∣+ |p| k1
|α|
+
∣∣∣h
q
∣∣∣k2
e−αr
e−αr − 1
)
qν+jzj+1(t− r)+
+ (|c|+ |hqν+j |)zj+2(t− r)+
+
(
(|a|+ |b|+ |pqν+j |) k1
|α|
+ 1
) j+2∑
i=1
Lj+1,i(t0, ν)zi(t)+
+ (|a|+ |b|+ |pqν+j |)(k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|)+
+ |b|k1r + |c|k2)zj+1(t0) + zj+2(t0). (21)
Введем обозначения ~z(t) df=(z1(t), . . . , zj+2(t))T , D = {dn,m}, L = {Лn,m} и U = {un,m}
– матрицы размера (j+2)×(j+2), элементы которых определяются следующим образом:
dm,m
df=
∣∣∣pqν+µ−1
a + b
∣∣∣, m = 1, j,(∣∣∣hq ∣∣∣+ |p| k1
|α| +
∣∣∣hq ∣∣∣k2
e−αr
e−αr − 1
)
qν+j , m = j + 1,
|c|+ |h|qν+j , m = j + 2,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
158 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
dm,m+1
df= |pqν+m| k3
|α|
+ |hqν+m−1| k1
|α|
, m = 1, j,
dj+2,j+1
df=(|a|+ |b|+ |pqν+j |)
(∣∣∣h
q
∣∣∣+ |p| k1
|α|
+
∣∣∣h
q
∣∣∣k2
e−αr
e−αr − 1
)
qν+j ,
остальные элементы матрицы D равны нулю;
um,m
df=
k1(1 + |c|) + |pqν+µ−1|k3 + |b|k1r + |c|k2, m = 1, j,
k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|) + |b|k1r + |c|k2, m = j + 1,
1, m = j + 2,
Лn,m
df=
k1
|α|
Ln,m(t0, ν), n = 1, j + 1, m = 1, n + 1,
Лj+2,m
df=
(
(|a|+ |b|+ |pqν+j |) k1
|α|
+ 1
)
Lj+1,m(t0, ν), m = 1, j + 2,
остальные элементы матрицы L равны нулю;
uj+2,j+1
df=(|a|+ |b|+ |pqν+j |)(k1(1 + |c|+ |hqν+j−1|) + |b|k1r + |c|k2),
остальные элементы матрицы U равны нулю.
Тогда неравенства (19) – (21) можно записать в виде
~z(t) ≤ D~z(t− r) + L~z(t) + U~z(t0)
или
(E − L)~z(t) ≤ D~z(t− r) + U~z(t0),
где E — единичная матрица. Матрица L является сколь угодно малой по норме при до-
статочно большом t0 и, следовательно, (E−L)−1 = E +L+L2 +L3 + . . .. Умножив левую
и правую части последнего неравенства на неотрицательную матрицу (E−L)−1, получим
~z(t) ≤ D1~z(t− r) + (E − L)−1U~z(t0), (22)
где D1
df=(E − L)−1D. При достаточно малой матрице L собственные значения матрицы
D1 сколь угодно близки к собственным значениям матрицы D. Матрица D блочная, и ее
собственные числа являются элементами главной диагонали. Последние (согласно вто-
рому условию теоремы) по модулю меньше единицы. Следовательно, при достаточно
большом t0 (малой L) имеем ‖Dn
1 ‖ ≤ Kdn, n ≥ 1, для некоторых констант K, 0 ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ СВОЙСТВАХ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ . . . 159
≤ d < 1, и нормы ‖G‖ df= max
1≤i≤j+2
j+2∑
γ=1
|gi,γ |. Норму вектора ~g = (g1, . . . , gj+2)T определим
так: ‖~g‖ df= max
1≤i≤j+2
|gi|. Отметим также, что матрица D1 неотрицательная. С учетом этих
замечаний продолжим неравенство (22). Пусть
t− t0 = nr + τ, n = 0, 1, 2, . . . , 0 ≤ τ < r.
Тогда
~z(t) ≤ Dn+1
1 ~z(t− (n + 1)r) + Dn
1 (E − L)−1U~z(t0) + . . .
. . . + D1(E − L)−1U~z(t0) + (E − L)−1U~z(t0).
Отсюда получим
‖~z(t)‖ ≤ ‖Dn+1
1 ‖‖~z(t− (n + 1)r)‖+ ‖Dn
1 ‖‖(E − L)−1‖‖U‖‖~z(t0)‖+ . . .
. . . + ‖D1‖‖(E − L)−1‖‖U‖‖~z(t0)‖+ ‖(E − L)−1‖‖U‖‖~z(t− 0)‖ ≤
≤
(
Kd
1− d
+ 1
)
‖(E − L)−1‖‖U‖‖~z(t0)‖.
В приведенных рассуждениях t0 является переменной величиной, а согласно условию
теоремы эта величина должна быть фиксированной. Однако с помощью рассуждений,
аналогичных изложенным выше, можно показать, что для любого t1, qt1 < t1 − r, и
вектор-функции
~Z(t) df=
(
sup
s∈[qt1,t]
|x(s)|, sup
s∈[qt1,t]
|x′(s)| . . . , sup
s∈[qt1,t]
|x(j+1)(s)|
)T
имеет место неравенство
~Z(t) ≤ D|ν=0
~Z(t− r) + U |ν=0
~Z(t1), t ≥ t1.
Теорема доказана.
1. Kato T., McLeod J. B. The functional-differential equation y′(x) = = ay(λx) + by(x) // Bull. Amer. Math.
Soc. — 1971. — 77. — P. 891 – 937.
2. De Bruijn N. G. The difference-differential equation F ′(x) = eαx+βF (x− 1). I, II // Ned. Akad. Wetensch.
Proc. Ser. A 56. Indag. Math. — 1953. — 15. — P. 449 – 464.
3. Frederickson P. O. Series solutions for certain functional-differential equations // Lect. Notes Math. — 1971.
— 243. — P. 249 – 254.
4. Пелюх Г. П., Шарковский А. Н. Введение в теорию функциональных уравнений. — Киев: Наук. думка,
1974. — 192 с.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
160 Г. П. ПЕЛЮХ, Д. В. БЕЛЬСКИЙ
5. Дерфель Г. А. Вероятностный метод исследования одного класса дифференциально-функциональных
уравнений // Укр. мат. журн. — 1989. — 41, № 10. — C. 1483 – 1491.
6. Полищук В. М., Шарковский А. Н. Представление решений линейных дифференциально-разностных
уравнений нейтрального типа // Дифференц. уравнения. — 1973. — 9, № 9. — C. 1627 – 1645.
7. Бельский Д. В. Об асимптотических свойствах решений линейных дифференциально-функциональных
уравнений с постоянными коэффициентами и линейно преобразованным аргументом // Нелiнiйнi ко-
ливання. — 2004. — 7, № 1. — C. 24 – 28.
8. Гребенщиков Б. Г., Рожков В. И. Асимптотическое поведение решения одной стационарной системы
с запаздыванием // Дифференц. уравнения. — 1993. — 29, № 5. — C. 751 – 758.
9. Гребенщиков Б. Г., Ложников А. Б. Стабилизация системы, содержащей постоянное и линейное запаз-
дывания // Там же. — 2004. — 40, № 12. — C. 1587 – 1595.
10. Gumovski I., Mira C. Recurrences and discrete dynamic systems // Lect. Notes Math. — 1980. — 809. —
267 p.
11. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1984. – 421 с.
Получено 10.10.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 1
|