Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією
Приведены достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения с импульсным воздействием и нелинейной функцией, удовлетворяющей условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7249 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією / О.І. Неня, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 258-269. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7249 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-72492010-03-29T12:01:27Z Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією Неня, О.І. Ткаченко, В.І. Приведены достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения с импульсным воздействием и нелинейной функцией, удовлетворяющей условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста. We give sufficient conditions for global stability of the zero solution of a functional-differential equation with impulsive effect and a nonlinear function satisfying the negative feedback condition and having sublinear growt. 2007 Article Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією / О.І. Неня, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 258-269. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7249 517.9 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Приведены достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения функционально-дифференциального уравнения с импульсным воздействием и нелинейной функцией, удовлетворяющей условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста. |
| format |
Article |
| author |
Неня, О.І. Ткаченко, В.І. |
| spellingShingle |
Неня, О.І. Ткаченко, В.І. Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією |
| author_facet |
Неня, О.І. Ткаченко, В.І. |
| author_sort |
Неня, О.І. |
| title |
Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією |
| title_short |
Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією |
| title_full |
Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією |
| title_fullStr |
Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією |
| title_full_unstemmed |
Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією |
| title_sort |
про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7249 |
| citation_txt |
Про глобальну стійкість нелінійного функціонально-диференціального рівняння з імпульсною дією / О.І. Неня, В.І. Ткаченко // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 258-269. — Бібліогр.: 18 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT nenâoí proglobalʹnustíjkístʹnelíníjnogofunkcíonalʹnodiferencíalʹnogorívnânnâzímpulʹsnoûdíêû AT tkačenkoví proglobalʹnustíjkístʹnelíníjnogofunkcíonalʹnodiferencíalʹnogorívnânnâzímpulʹsnoûdíêû |
| first_indexed |
2025-07-02T10:07:02Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:07:02Z |
| _version_ |
1836529298416074752 |
| fulltext |
УДК 517 . 9
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНОГО
ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ
З IМПУЛЬСНОЮ ДIЄЮ
О. I. Неня
Київ. нац. економ. ун-т
Україна, 03680, Київ, просп. Перемоги, 54/1
В. I. Ткаченко
Iн-математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We give sufficient conditions for global stability of the zero solution of a functional-differential equati-
on with impulsive effect and a nonlinear function satisfying the negative feedback condition and having
sublinear growt.
Приведены достаточные условия глобальной устойчивости нулевого решения функционально-
дифференциального уравнения с импульсным воздействием и нелинейной функцией, удовлетво-
ряющей условиям отрицательной обратной связи и подлинейного роста.
1. Вступ та основнi результати. Позначимо через PC([a, b],R) банаховий простiр означе-
них на вiдрiзку [a, b] кусково-неперервних неперервних справа функцiй зi значеннями в R
та зi скiнченною кiлькiстю розривiв. Уведемо стандартну норму в PC формулою
‖ϕ‖0 = sup
θ∈[a,b]
|ϕ(θ)|.
Простiр PC([−h, 0],R) будемо позначати через C.
Для дiйсного t0 i додатного A розглянемо функцiю x(t) ∈ PC([t0 − h, t0 + A],R). Для
t ∈ [t0, t0 +A] означимо xt ∈ C спiввiдношенням
xt(θ) = x(t+ θ), −h ≤ θ ≤ 0.
Розглянемо нелiнiйне функцiонально-диференцiальне рiвняння з iмпульсною дiєю
ẋ(t) = −δx(t) + f(t, xt), (1)
x(tk) = x(tk − 0) + bkx(tk − 0), (2)
де x ∈ R, δ > 0, послiдовнiсть точок iмпульсної дiї {tk}k∈Z задовольняє умови tk − tk−1 ≥
≥ θ > 0, k ∈ Z, bk ∈ (−1, b], b ≥ 0. Функцiонал f(t, xt) задовольняє умову
aM(ϕ) ≤ f(t, ϕ) ≤ −aM(−ϕ), (3)
c© О. I. Неня, В. I. Ткаченко, 2007
258 ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНОГО ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 259
де M(ϕ) = max{0, sups∈[−h,0] ϕ(s)}, a < 0.
Функцiонально-диференцiальнi рiвняння (1) з рiзними типами нелiнiйностей з’являють-
ся в математичнiй бiологiї при моделюваннi еволюцiї бiологiчних видiв та фiзiологiчних
процесiв (див., наприклад, [1 – 3]). Iмпульсна дiя характеризує короткочаснi зовнiшнi впли-
ви на систему [4, 5].
Нуль є єдиною нерухомою точкою рiвняння (1), (2).
Знаходження умов глобальної стiйкостi функцiонально-диференцiального рiвняння
(1) – важлива для застосувань задача [6 – 8]. У роботi [9] наведено умови стiйкостi лiнiй-
ного диференцiального рiвняння з запiзненням та iмпульсами. В роботах [10 –16] дослi-
джується глобальна стiйкiсть функцiонально-диференцiального рiвняння з iмпульсною
дiєю вигляду (1), (2) при δ = 0.
У данiй роботi для знаходження умов глобальної стiйкостi рiвняння (1), (2) ми вико-
ристовуємо iдеї робiт [7, 17].
Означення 1. Функцiю x(t) ∈ PC([−h, α],R), де α > 0, називаємо розв’язком рiвняння
(1), (2), якщо:
i) x(t) неперервна при всiх t 6= tj ;
ii) x(t) неперервно диференцiйовна для всiх t ∈ [−h, α], за винятком скiнченної кiль-
костi точок;
iii) правостороння похiдна функцiї x(t) iснує i задовольняє рiвняння (1) для всiх
t 6= tj ;
iv) при t = tj функцiя x(t) задовольняє спiввiдношення (2).
Вважаємо розв’язок неперервною справа функцiєю.
Наведемо достатню умову iснування розв’язку рiвняння (1), (2) [18].
Теорема 1. Нехай функцiя f(t, xt) задовольняє умови:
H1) для кожної неперервної при t 6= tj функцiї x(t) ∈ PC([−h, α],R) функцiя g(t) =
= f(t, xt) належить простору PC([−h, α],R);
H2) для кожного компакту F ⊂ R iснує число M > 0 таке, що |f(t, ψ)| ≤ M для всiх
ψ ∈ PC([−h, α], F );
H3) функцiя f(t, ψ) локально лiпшицева по ψ.
Тодi для кожної початкової функцiї ϕ ∈ C iснує єдиний розв’язок рiвняння (1), (2)
при t ∈ [−h, β] для деякого β ≤ α.
Легко перевiрити, що теорема 1 виконується для рiвняння (1), (2) зi сталим запiзнен-
ням чи кiлькома сталими запiзненнями f(t, xt) = f1(t, x(t−h1), . . . , x(t−hk)), де h1, . . . , hk
— додатнi сталi.
Вiдповiдне рiвнянню (1), (2) лiнiйне iмпульсне рiвняння
ẋ(t) = −δx(t), (4)
x(tk) = (1 + bk)x(tk − 0) (5)
має фундаментальний розв’язок
U(t, τ) = e−δ(t−τ)
∏
τ<tk≤t
(1 + bk), t ≥ τ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
260 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
При t < τ розв’язок U(t, τ) означаємо як (U(τ, t))−1, тобто
U(t, τ) = e−δ(t−τ)
∏
t<tk≤τ
(1 + bk)−1, t < τ.
Позначимо
P = inf
h̄∈[0,h]
inf
t≥0
U(t, t− h̄), Q = sup
t≥0
t∫
t−h
U(t, s)ds.
Тепер ми можемо сформулювати перше твердження про глобальну стiйкiсть нульо-
вого розв’язку рiвняння (1), (2).
Теорема 2. Нехай рiвняння (1), (2) задовольняє умови
1 + b < eδθ, (6)
−(1 + b)NaQ(1− Pδ/a)−1 < 1, (7)
де N = [h/θ] + 1, [·] — цiла частина числа.
Тодi нульовий розв’язок рiвняння є глобально асимптотично стiйким, а саме, iсну-
ють сталi γ > 0 i K ≥ 1 такi, що для всiх ненульових розв’язкiв виконується нерiв-
нiсть
|x(t)| ≤ Ke−γ(t−s) sup
θ∈[s−h,s]
|x(θ)|, t ≥ s. (8)
Далi для знаходження умов глобальної стiйкостi рiвняння (1), (2) означимо функцiю
порiвняння
y(t, τ,−M) =
−M, t < τ − h,
−M, t ∈ [τ − h, τ ], a
t∫
τ
U(t, s)ds > 1,
−aM
t∫
τ
U(t, s)ds, t ∈ [τ − h, τ ], a
t∫
τ
U(t, s)ds ≤ 1,
a
t∫
τ
U(t, s) inf
ξ∈[s,τ ]
y(ξ, τ,−M)ds, t ∈ [τ, τ + h],
де M > 0. Функцiя y(t, τ,−M) диференцiйовна при t 6= tj , а в точках iмпульсiв вона має
лiвостороннi та правостороннi похiднi. Легко перевiрити, що похiдна y(t, τ,−M) по t при
t = τ є додатною, а при t = τ + h — недодатною. Тому iснує iнтервал (τ, β(τ)) такий, що
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНОГО ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 261
y(t, τ,−M) > 0 для t ∈ (τ, β(τ)), i на iнтервалi [τ, τ + h] iснує точка t̃(τ) з однiєю з двох
властивостей:
a) y′(t̃(τ), τ,−M) = 0,
b) якщо точка t̃(τ) збiгається з точкою iмпульсу, то лiвостороння похiдна розв’язку
y(t, τ,−M) в точцi t̃(τ) є додатною, а правостороння похiдна — недодатною.
Аналогiчно для функцiї y(t, τ,M) з додатним M iснують точки β(τ) i t̃(τ) ∈ (τ, τ + h]
такi, що y(t, τ,M) < 0, t ∈ (τ, β(τ)), i виконується одна з двох умов:
a′) y′(t̃(τ), τ,M) = 0,
b′) якщо точка t̃(τ) збiгається з точкою iмпульсу, то лiвостороння похiдна розв’язку
y(t, τ,−M) в точцi t̃(τ) є вiд’ємною, а правостороння похiдна — невiд’ємною.
Позначимо через r(τ) величину
1
M
y(t̃(τ), τ,−M),
чи найбiльшу з таких величин, якщо точка t̃(τ) з наведеними вище властивостями не одна
на iнтервалi [τ, τ + h].
Легко бачити, що r(τ) не залежить вiд M.
Теорема 3. Нехай рiвняння (1), (2) задовольняє умови (6) i
(1 + b)N sup
τ∈R+
r(τ) < 1, (9)
де N = [h/θ] + 1, [·] — цiла частина числа.
Тодi нульовий розв’язок рiвняння є глобально асимптотично стiйким i для ненульо-
вих розв’язкiв рiвняння справедливi оцiнки (8).
Наслiдок 1. Нехай фундаментальний розв’язок U(t, τ) задовольняє оцiнки
K0e
−c0(t−s) ≤ U(t, s) ≤ K1e
−c1(t−s), t ≥ s, (10)
зi сталими 0 < K0 ≤ 1 ≤ K1, c0 > c1 > 0.
Якщо виконується нерiвнiсть
e−c0(ξ−h) ≤ 1 +
K0c0c1
(1 + b)Na2K1
,
де
ξ − h =
1
c1 − c0
ln
(
K0(c1 − c0)e−c1h
−a
+
(
−a+K0c0
−a
)1−c1/c0
)
,
то нульовий розв’язок рiвняння є глобально асимптотично стiйким.
Наслiдок 2. Нехай фундаментальний розв’язок U(t, τ) задовольняє оцiнки
K0e
−c(t−s) ≤ U(t, s) ≤ K1e
−c(t−s), t ≥ s,
зi сталими 0 < K0 ≤ 1 ≤ K1, c > 0.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
262 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
Якщо виконується нерiвнiсть
e−ch > − a
K0c
ln
(a2 −K0ca)K1(1 + b)N
K0c2 + a2K1(1 + b)N
,
то нульовий розв’язок рiвняння є глобально асимптотично стiйким.
Зауваження 1. Теореми та наслiдки залишаються справедливими при менш обмежу-
вальних умовах iснування розв’язкiв рiвняння (1), (2), коли пiд розв’язком розумiють аб-
солютно неперервну на кожному iнтервалi (tj , tj+1] функцiю, яка задовольняє рiвняння
(1) майже скрiзь i задовольняє умови iмпульсiв (2).
2. Доведення теореми 2. Доведення розiб’ємо на кiлька етапiв.
Лема 1. Якщо для деякого розв’язку x(t) рiвняння (1), (2) для всiх t ≥ t̄, де t̄ — деяке
додатне число, виконується одна з умов
x(t) > 0, x′(t) ≤ 0,
x(t) < 0, x′(t) ≥ 0,
то x(t) → 0 при t → ∞.
Доведення. Доведемо лему при виконаннi першої умови. Оскiльки x(t) > 0, з умови
(3) випливає f(t, xt) ≤ 0. Тому при t > t̄+ h
ẋ(t) ≤ −δx(t), x(tk + 0) = x(tk) + bkx(tk).
Звiдси отримуємо
x(t) < x(t̄)e−δ(t−t̄)
∏
t̄<tk≤t
(1 + bk) ≤ x(t̄)
(
e−δθ(1 + b)
)([(t−t̄)/θ]+1)
.
Права частина останньої нерiвностi прямує до нуля при t → ∞, оскiльки e−δθ(1 + b) < 1
за умовою (6).
Лему доведено.
Лема 2. Якщо для розв’язку x(t) рiвняння (1), (2) виконується умова x(t̃) > 0, x′(t̃) ≥
≥ 0, то M(−xt̃) > 0.
Вiдповiдно, якщо виконується умова x(t̄) < 0, x′(t̄) ≤ 0, то M(xt̃) > 0.
Доведення. Розглянемо перший випадок. Припустимо вiд супротивного, що x(s) ≥ 0
для всiх s ∈ [t̃− h, t̃]. Тодi f(t̃, xt̃) ≤ 0 i x′(t̃) ≤ −δx(t̃) < 0, суперечнiсть.
Другий випадок доводиться аналогiчно.
Лема 3. Нехай виконуються умови теореми 2. Тодi iснує q < 1 таке, що для кожного
розв’язку x(t) : [−h,∞) → R виконується
|x(t)| ≤ q sup
ξ∈[s−h,s+H(s)]
|x(ξ)| (11)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНОГО ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 263
для всiх t ≥ s+H(s), де s+H(s) — друга точка iмпульсу справа вiд вiдкритого вiдрiзка
(s, s+ h).
Доведення. Виберемо q < 1 таке, що
1 + b < qeδθ, −(1 + b)NaQ(1− δP/a)−1 < q.
З (6) i (7) випливає, що таке q iснує. Очевидно, що в цьому випадку нерiвнiсть −(1 +
+b)naQ(1− δP/a)−1 < q виконується для всiх натуральних n < N.
Нехай s+H(s) збiгається з точкою iмпульсу tj .
Спочатку доведемо, що |x(s+H)| ≤ qM, де M = supξ∈[s−h,s+H(s)] |x(ξ)|.
1. Припустимо, що в деякiй точцi τ ∈ [s, tj−1] виконується x(τ) > 0, ẋ(τ) ≥ 0 або
x(τ) < 0, ẋ(τ) ≤ 0. Тодi |x(tj−1)| < qM. Доведемо це для першого випадку x(τ) >
> 0, ẋ(τ) ≥ 0 (другий розглядається аналогiчно).
При такому припущеннi iснує h̄ ≤ h таке, що
x(τ − h̄) ≤ M̄δ
a
, (12)
де M̄ = x(τ). Нехай, вiд супротивного, x(t) > M̄δ/a для всiх t ∈ [τ − h, τ ]. Тодi f(τ, xτ ) <
< a(M̄δ/a) = M̄δ i
ẋ(τ) = −δx(τ) + f(τ, xτ ) < −δM̄ + δM̄ < 0.
Суперечнiсть.
Використовуючи формулу варiацiї сталої, маємо
M̄ = x(τ) = U(τ, τ − h̄)x(τ − h̄) +
τ∫
τ−h̄
U(τ, s)f(s, xs)ds. (13)
З урахуванням (12) з (13) отримуємо оцiнку
M̄ ≤ U(τ, τ − h̄)δ
a
M̄ − aM
τ∫
τ−h̄
U(τ, s)ds.
З (7) випливає, що
M̄ ≤ −aQ
(
1− δP
a
)−1
M ≤ qM.
2. Припустимо, що на iнтервалi [τ, τ̃ ], де τ̃ — перша точка iмпульсу справа вiд точки
τ+h (якщо τ+h збiгається з точкою iмпульсу, то τ̃ = τ+h), виконується x(t) > 0, ẋ(t) < 0.
На цьому iнтервалi є не бiльше нiжN = [h/θ]+1 точок iмпульсiв. Мiж точками iмпульсiв
розв’язок не зростає, а в кожнiй точцi iмпульсу розв’язок збiльшується не бiльше нiж в
1 + b разiв. Тому
x(t) ≤ (1 + b)Nx(τ) ≤ −(1 + b)NaQ
1− δP/a
≤ qM
для всiх t ∈ [τ, τ̃ ].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
264 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
3. Якщо x(ξ) > 0 для всiх ξ ∈ [s, tj−1] або x(ξ) > 0 для всiх ξ ∈ [tj−1−h, tj−1] (у випадку,
коли τ̃ збiгається з точкою iмпульсу tj−1), то f(t, xt) ≤ −aM(−xt) ≤ 0 i x′(t) ≤ −δx(t)
при t ∈ [tj−1, tj ]. Оскiльки x(tj−1) ≤ M i x(tj) = (1 + bj)x(tj − 0), то
x(tj) ≤ (1 + bj)e−δ(tj−tj−1)x(tj−1) ≤ e−δθ(1 + b)M ≤ qM.
Отже, якщо на iнтервалi (tj−1−h, tj−1] iснує точка з властивостями x(τ) > 0, ẋ(τ) ≥ 0
або x(τ) < 0, ẋ(τ) ≤ 0, то за п. 2 доведення леми отримуємо |x(t)| ≤ qM для всiх t ∈ [τ, tj ].
Якщо на iнтервалi (tj−1−h, tj−1] такої точки немає, тобто на цьому iнтервалi розв’язок не
змiнює знак, то |x(tj)| ≤ qM за п. 3 доведення. Тим самим ми показали що |x(s+H(s))| ≤
≤ qM.
4. Припустимо вiд супротивного, що в деякiй точцi σ > s+H виконується нерiвнiсть
|x(σ)| > qM. (14)
Нехай для визначеностi x(σ) > 0. Якщо x′(σ) ≥ 0, то, повторюючи мiркування з п. 1
доведення, отримуємо x(σ) ≤ a2Q(−a+ δP )−1M ≤ qM, що суперечить (14).
Якщо σ збiгається з точкою iмпульсу i лiвостороння похiдна x′(σ) ≥ 0, то
x(σ) ≤ (1 + b)a2Q(−a+ δP )−1M ≤ qM.
Якщо на iнтервалi [σ, σ̃], де σ̃ — перша точка iмпульсу справа вiд точки σ + h, викону-
ється x(t) > 0, ẋ(t) < 0, то, повторюючи мiркування з п. 2, одержуємо
x(t) ≤ (1 + b)Nx(τ) ≤ −(1 + b)NaQM
1− δP/a
≤ qM
для всiх t ∈ [σ, σ̃].
Якщо x(t) > 0, ẋ(t) < 0, для t > σ̃, то для таких t розв’язок рiвняння (1), (3) оцiню-
ється зверху розв’язком рiвняння (4), (5), який прямує до нуля при t → ∞.
Лему доведено.
Лема 4. При виконаннi умов теореми 2 кожний розв’язок x(t) рiвняння (1), (2) задо-
вольняє нерiвнiсть
|x(t)| ≤ K sup
s−h≤ξ≤s
|x(ξ)|e−γ(t−s), t ≥ s, (15)
де
K = (1 + b)N , γ = − ln q
h+H0
, H0 = sup
s>0
H(s).
Зауваження 2. Завжди можна вважати, що величина supH(s) є скiнченною, iнакше
можна додати додатковi точки iмпульсiв з bk = 0.
Доведення леми 4. З нерiвностi (11) випливає оцiнка
|x(t)| ≤ sup
ξ∈[s−h,s+H(s)]
|x(ξ)|q
t−s−H(s)
h+H0 ≤ sup
ξ∈[s−h,s+H(s)]
|x(ξ)|1
q
q
t−s
h+H0 ≤
≤ sup
ξ∈[s−h,s+H(s)]
|x(ξ)|1
q
e−γ(t−s−H), t ≥ s+H(s).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНОГО ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 265
Позначимо M0 = sups−h≤ξ≤s |x(ξ)| i доведемо, що
sup
ξ∈[s−h,s+H(s)]
|x(ξ)| ≤ q(1 + b)NM0. (16)
Розглянемо можливi варiанти поведiнки розв’язку.
Якщо при всiх ξ ∈ [s, s + tj−1], де tj−1 — перша справа пiсля s + h точка iмпульсу,
виконується x(t) > 0, x′(t) < 0, то x(ξ) ≤ M0(1 + b)N для всiх ξ ∈ [s, s+ tj−1].
Тодi, як i в п. 2 доведення леми 1, отримуємо
x(ξ) ≤ qM0(1 + b)N , ξ ∈ [tj−1, tj ].
У випадку iснування точки τ ∈ [tj − h, tj ] з властивостями x(τ) > 0, x′(τ) ≥ 0 чи x(τ) <
< 0, x′(τ) ≤ 0 оцiнку (16) отримуємо, як i в п. 1 доведення леми 1.
3. Доведення теореми 3. Як i при доведеннi теореми 2, спочатку доведемо, що iснує
q < 1 таке, що для кожного розв’язку x(t) : [−h,∞) → R виконується
|x(t)| ≤ q max
ξ∈[s−h,s+G(s)]
|x(ξ)| = qM (17)
для всiх t ≥ s+G(s), де s+G(s) — друга точка iмпульсу справа пiсля точки s+ 2h.
Виберемо q < 1 таке, що
1 + b < qeδθ, (1 + b)N sup
τ≥0
r(τ) < q.
З (6) i (9) випливає, що таке q iснує.
Нехай s+G(s) збiгається з точкою iмпульсу ti.
Спочатку доведемо, що |x(s+G(s))| ≤ qM.Припустимо, що в деякiй точцi s̃ ∈ [s+h, ti]
виконується x(s̃) > 0, ẋ(s̃) ≥ 0.
За лемою 2 iснує τ ∈ [s̃ − h, s̃] таке, що x(τ) = 0. Розв’язок x(t) рiвняння (1), (2) з
x(τ) = 0 задовольняє рiвнiсть
x(t) =
t∫
τ
U(t, s)f(s, xs)ds.
Нехай x(t) > 0 при t > τ i x(t) < 0 при t < τ. При t < τ , враховуючи оцiнку (3),
отримуємо
x(t) ≥ −aM
t∫
τ
U(t, s)ds = y(t, τ,−M),
якщо a
∫ t
τ
U(t, s)ds ≤ 1. За припущенням x(t) ≥ −M, тому при a
∫ t
τ
U(t, s)ds > 1 маємо
x(t) ≥ y(t, τ,−M) = −M.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
266 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
Вiдповiдно при t > τ
x(t) =
t∫
τ
U(t, s)f(s, xs)ds ≤ −a
t∫
τ
U(t, s)M(−xs)ds ≤
≤ a
t∫
τ
U(t, s) inf
ξ∈[s,τ ]
y(ξ, τ,−M)ds = y(t, τ,−M).
Тому
x(s̃) ≤ y(s̃, τ,−M) ≤ r(τ)M.
Припустимо, що на iнтервалi [τ, τ̃ ], де τ̃ — перша точка iмпульсу справа вiд точки τ+h,
виконується x(t) > 0, ẋ(t) < 0. На цьому iнтервалi є не бiльше нiж N = [h/θ] + 1 точок
iмпульсiв. У кожнiй точцi iмпульсу розв’язок збiльшується не бiльше нiж в 1 + b разiв.
Тому
x(t) ≤ (1 + b)Nr(τ)M ≤ qM
для всiх t ∈ [τ, τ̃ ].
Якщо x(ξ) > 0 для всiх ξ ∈ [s+h, ti−1], або x(ξ) > 0 для всiх ξ ∈ [ti−1−h, ti−1] (у цьому
випадку τ̃ збiгається з точкою iмпульсу ti−1), то f(t, xt) ≤ −aM(−xt) < 0 i x′(t) ≤ −δx(t)
при t ∈ [ti−1, ti]. Оскiльки x(ti−1) ≤ M i x(ti) = (1 + bi)x(ti − 0), то
x(ti) ≤ (1 + bi)e−δ(ti−ti−1)x(ti−1) ≤ e−δθ(1 + b)M ≤ qM.
Отже, ми показали, що |x(s+G(s))| ≤ qM.
Як i при доведеннi теореми 2, припустимо вiд супротивного, що в деякiй точцi σ >
> s+G(s) виконується
|x(σ)| > qM. (18)
Якщо x(σ) > 0, x′(σ) ≥ 0 або x(σ) < 0, x′(σ) ≤ 0, то, повторюючи наведенi вище мiрку-
вання, показуємо, що
|x(σ)| ≤ sup
τ≥0
|r(τ)|M ≤ qM.
Якщо на iнтервалi [σ, σ̃], де σ̃ — перша точка iмпульсу справа вiд точки σ + h, вико-
нується x(t) > 0, x′(t) < 0 чи вiдповiдно x(t) < 0, x′(t) > 0, то для всiх точок t ∈ [σ, σ̃]
отримуємо оцiнку
|x(t)| ≤ |x(τ)| ≤ (1 + b)N sup
τ≥0
|r(τ)|M ≤ qM,
що суперечить припущенню (18).
Нарештi, як i в лемi 4, доводимо, що при виконаннi нерiвностi (17) розв’язок задо-
вольняє нерiвнiсть (15) з деякими додатними сталими K i γ.
Теорему доведено.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНОГО ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 267
4. Доведення наслiдку 1. З нерiвностей (10) випливає
1
K1
e−c1(t−s) ≤ U(t, s) ≤ 1
K0
e−c0(t−s), t ≤ s.
З останнiх нерiвностей при t < τ i a
∫ t
τ U(t, s)ds ≤ 1 отримуємо оцiнку
y(t, τ,−M) = −aM
t∫
τ
U(t, s)ds ≥ aM
K0c0
(
e−c0(t−τ) − 1
)
.
Нерiвнiсть a
∫ t
τ
U(t, s)ds ≤ 1 еквiвалентна такiй:
τ − t ≤ τ − t̄(τ) =
1
c0
ln
(
1 +
K0c0
−a
)
.
Вiдповiдно при τ − t ≥ τ − t̄(τ) має мiсце оцiнка y(t, τ,−M) ≤ −M.
З урахуванням останнiх оцiнок запишемо y(t, τ,−M) у явному виглядi при t > τ :
y(t, τ,−M) = a
t∫
τ
U(t, s)y(s− h, τ,−M)ds ≤
≤ −a
t̄+h∫
τ
U(t, s)Mds+ a
t∫
t̄+h
U(t, s)
aM
K0c0
(
ec0(τ−s+h) − 1
)
ds ≤
≤ −aMK1
t̄+h∫
τ
ec1(s−t)ds+
a2MK1
K0c0
t∫
t̄+h
ec1(s−t)
(
ec0(τ−s+h) − 1
)
ds =
=
a2MK1
K0c0(c1 − c))
ec0he−c0(t−τ) − a2MK1
K0c0c1
+
+
a2K1M
K0c1(c1 − c0)
(
(c1 − c0)K0
a
− ec1h
(
a−K0c0
a
)1−c1/c0
)
e−c1(t−τ) = z(t− τ).
(19)
Знайдемо найбiльше значення функцiї z(t− τ). Її похiдна дорiвнює нулю, якщо
e−c0(t−τ−h) + e−c1(t−τ−h)
(
(c1 − c0)K0e
−c1h
a
−
(
a−K0c0
a
)1−c1/c0
)
= 0. (20)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
268 О. I. НЕНЯ, В. I. ТКАЧЕНКО
З (20) отримуємо точку максимуму функцiї z(t− τ) :
ξ = h+
1
c1 − c0
ln
(
K0(c1 − c0)e−c1h
−a
+
(
−a+K0c0
−a
)1−c1/c0
)
.
З формул (19) i (20) визначаємо максимальне значення функцiї z(t) :
z(ξ) =
a2MK1
K0c0c1
(
e−c0(ξ−h) − 1)
)
. (21)
З формул (19) i (21) отримуємо оцiнку
r(τ) =
1
M
y(t̃(τ), τ,−M) ≤ z(ξ)
M
.
Тому нерiвнiсть (1 + b)Nz(ξ)/M < 1 є достатньою для виконання умови (9), яка за теоре-
мою 3 забезпечує глобальну стiйкiсть рiвняння (1), (2).
Наслiдок доведено.
5. Доведення наслiдку 2. Доведення проводимо аналогiчно доведенню наслiдку 1.
При t < τ i a
∫ t
τ
U(t, s)ds ≤ 1 маємо оцiнку
y(t, τ,−M) ≥ aM
K0c
(
e−c(t−τ) − 1
)
.
Нерiвнiсть a
∫ t
τ
U(t, s)ds ≤ 1 еквiвалентна такiй:
τ − t ≤ τ − t̄(τ) =
1
c
ln
(
1 +
K0c
−a
)
.
Вiдповiдно при τ − t ≥ τ − t̄(τ) справедливою є оцiнка y(t, τ,−M) ≤ −M.
Аналогiчно (19) запишемо y(t, τ,−M) у явному виглядi при t > τ :
y(t, τ,−M) ≤ −a
2MK1
K0c2
+
(
a2MK1e
ch
K0c
(
t− τ − h+
1
c
ln
(
1 +
K0c
−a
))
+
+
aMK1
c
+
a2MK1e
ch
K0c2
)
e−c(t−τ) = z(t− τ). (22)
Функцiя z(t− τ) досягає максимуму в точцi
ξ = h− K0e
−ch
a
− 1
c
ln
(
1 +
K0c
−a
)
.
Максимальне значення функцiї z(t− τ) дорiвнює
z(ξ) =
a2MK1
K0c2
(
e−c(ξ−h) − 1
)
. (23)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО ГЛОБАЛЬНУ СТIЙКIСТЬ НЕЛIНIЙНОГО ФУНКЦIОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНОГО РIВНЯННЯ . . . 269
З формул (22) i (23) отримуємо оцiнку
r(τ) =
1
M
y(t̃(τ), τ,−M) ≤ 1
M
z(ξ).
Тому нерiвнiсть (1 + b)Nz(ξ)/M < 1 є достатньою для виконання умови (9), яка за теоре-
мою 3 забезпечує глобальну стiйкiсть рiвняння (1), (2).
Наслiдок доведено.
1. Kuang Y. Delay differential equations with applications in population dynamics. — Boston: Acad. Press,
1993. — 398 p.
2. Ruan S. Delay differential equations in single species dynamics // Delay Different. Equat. with Appl. —
Berlin: Springer, 2006. — P. 1 – 40.
3. Cooke K., Van den Driessche P., Zou X. Interaction of maturation delay and nonlinear lirth in population
and epidemic models // J. Math. Biol. — 1999. — 39. — P. 332 – 352.
4. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. —
Киев: Вища шк., 1987. — 288 с.
5. Lakshmikantham V., Bainov D. D., Simeonov P. S. Theory of impulsive differential equations. — Singapure:
World Sci., 1989. — 273 p.
6. Smith H. L. Monotone dynamical systems. — Providence: Amer. Math. Soc., 1995. — 174 p.
7. Liz E., Tkachenko V., Trofimchuk S. A global stability criterion for scalar functional differential equations //
SIAM J. Math. Anal. — 2003. — 35. — P. 596 – 622.
8. Liz E., Pinto M., Tkachenko V., Trofimchuk S. A global stability criterion for a family of delayed population
models // Quart. Appl. Math. — 2005. — 63. — P. 56 – 70.
9. Berezansky L., Braverman E. Explicit conditions of exponential stability for a linear impulsive delay di-
fferential equation // J. Math. Anal. and Appl. — 1997. — 214, № 2. — P. 439 – 458.
10. Yu J.S. Stability for nonlinear delay differential equations of unstable type under impulsive perturbations //
Appl. Math. Lett. — 2001. — 14, № 7. — P. 849 – 857.
11. Yu J. S. Explicit conditions for stability of nonlinear scalar delay differential equations with impulses // Nonli-
near Anal. Ser. A: Theory Methods. — 2001. — 46, № 1. — P. 53 – 67.
12. Yu J. S., Tang X. H. Global attractivity in a delay population model under impulsive perturbations // Bull.
London Math. Soc. — 2002. — 34, № 3. — P. 319 – 328.
13. Zhang X., Yan J. Stability of nonlinear delay differential equations with impulses // Nonlinear Anal. — 2004.
— 59, № 4. — P. 453 – 464.
14. Tang S., Chen L. Global attractivity in a "food-limited"population model with impulsive effects // J. Math.
Anal. and Appl. — 2004. — 292, № 1. — P. 211 – 221.
15. Zhang Y., Sun J. Stability of impulsive infinite delay differential equations // Appl. Math. Lett. — 2006. — 19,
№ 10. — P. 1100 – 1106.
16. Wei G., Shen J. Asymptotic behavior of solutions of nonlinear impulsive delay differential equations with
positive and negative coefficients // Math. Comput. Modelling. — 2006. — 44, № 11-12. — P. 1089 – 1096.
17. Ivanov A., Liz E., Trofimchuk S. Halanay inequality, Yorke 3/2 stability criterion, and differential equations
with maxima // Tohoku Math. J. — 2002. — 54. — P. 277 – 295.
18. Liu X., Ballinger G. Existence and continuability of solutions for differential equations with delays and state-
dependent impulses // Nonlinear Anal. Ser. A: Theory Methods. — 2002. — 51, № 4. — P. 633 – 647.
Одержано 24.09.2006
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
|