Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу
Исследуется структура множества непрерывно дифференцируемых при t принадлежит R+ = [0;+∞) решений одной предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нелинейного типа с нелинейными отклонениями аргумента, зависящих от неизвестной функции....
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7250 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 277-289. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7250 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-72502010-03-29T12:01:28Z Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. Исследуется структура множества непрерывно дифференцируемых при t принадлежит R+ = [0;+∞) решений одной предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нелинейного типа с нелинейными отклонениями аргумента, зависящих от неизвестной функции. We study the structure of the set of solutions, which are continuously differentiable for t belongs R+ = [0;+∞), of a boundary-value problem for systems of nonlinear differential-functional equations of neutral type with nonlinear argument deviations depending on the unknown function. 2007 Article Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 277-289. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7250 517.929 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Исследуется структура множества непрерывно дифференцируемых при t принадлежит R+ = [0;+∞) решений одной предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных уравнений нелинейного типа с нелинейными отклонениями аргумента, зависящих от неизвестной функции. |
| format |
Article |
| author |
Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. |
| spellingShingle |
Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| author_facet |
Пелюх, Г.П. Вельгач, А.В. |
| author_sort |
Пелюх, Г.П. |
| title |
Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_short |
Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_full |
Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_fullStr |
Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_full_unstemmed |
Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| title_sort |
про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7250 |
| citation_txt |
Про структуру множини неперервно диференційовних розв'язків однієї граничної задачі для системи диференціально-функціональних рівнянь нейтрального типу / Г.П. Пелюх, А.В. Вельгач // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 277-289. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT pelûhgp prostrukturumnožinineperervnodiferencíjovnihrozvâzkívodníêígraničnoízadačídlâsistemidiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹnejtralʹnogotipu AT velʹgačav prostrukturumnožinineperervnodiferencíjovnihrozvâzkívodníêígraničnoízadačídlâsistemidiferencíalʹnofunkcíonalʹnihrívnânʹnejtralʹnogotipu |
| first_indexed |
2025-07-02T10:07:05Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:07:05Z |
| _version_ |
1836529301469528064 |
| fulltext |
УДК 517 . 929
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ
РОЗВ’ЯЗКIВ ОДНIЄЇ ГРАНИЧНОЇ ЗАДАЧI ДЛЯ СИСТЕМИ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНО-ФУНКЦIОНАЛЬНИХ РIВНЯНЬ
НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПУ
Г. П. Пелюх, А. В. Вельгач
Iн-т математики НАН України
Україна, 01601, Київ 4, вул. Терещенкiвська, 3
We study the structure of the set of solutions, which are continuously differentiable for t ∈ R+ =
= [0;+∞), of a boundary-value problem for systems of nonlinear differential-functional equations of
neutral type with nonlinear argument deviations depending on the unknown function.
Исследуется структура множества непрерывно дифференцируемых при t ∈ R+ = [0;+∞)
решений одной предельной задачи для систем нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений нейтрального типа с нелинейными отклонениями аргумента, зависящих от неиз-
вестной функции.
Системи нелiнiйних диференцiально-функцiональних рiвнянь вигляду
x′(t + 1) = x′(t) + F (t, x(t), x(f(t, x(t))), x′(g(t, x(t)))), (1)
де t ∈ R+ = [0;+∞), F : R+ ×Rn×Rn×Rn → Rn, f : R+ ×Rn → R+, g : R+ ×Rn → R+,
були об’єктом дослiдження багатьох математикiв (див. [1 – 3] i наведену в них бiблiогра-
фiю). При цьому, як правило, вивчалися задачi, якi характернi для звичайних диференцi-
альних рiвнянь: iснування i єдинiсть розв’язкiв задачi Кошi, основної початкової задачi,
рiзного роду крайових задач. Але при дослiдженнi таких рiвнянь дуже часто виникає не-
обхiднiсть в дослiдженнi задач, якi враховують їх специфiку. Одна iз таких задач полягає
в описi структури множини неперервно диференцiйовних при t ∈ R+ розв’язкiв систем
рiвнянь вигляду (1), якi задовольняють умову
lim
t→+∞
[x(t + 1)− x(t)] = 0. (2)
У випадку, коли f(t, x) = f(t), g(t, x) = g(t), граничну задачу (1), (2) було вперше дослi-
джено в [4, 5], а при f(t, x) = f(t, x), g(t, x) = g(t) — в [6]. Продовжуючи цi дослiдження,
в данiй роботi вивчаємо структуру множини неперервно диференцiйовних i обмежених
при t ∈ [0;+∞) (разом iз першою похiдною) розв’язкiв граничної задачi (1), (2) у ви-
падку, коли обидвi функцiї f(t, x), g(t, x) залежать вiд невiдомої вектор-функцiї x(t) . При
цьому припускаємо, що вектор-функцiя F (t, x, y, z) i функцiї f(t, x), g(t, x) задовольняють
такi умови:
1) вектор-функцiя F (t, x, y, z) неперервна при t ∈ R+, x, y, z ∈ Rn, F (t, 0, 0, 0) ≡ 0, i
задовольняє спiввiдношення
|F (t, x′, y′, z′)− F (s, x′′, y′′, z′′)| ≤ η1(t, s)|t− s|+ η2(t, s)(|x′ − x′′|+ |y′ − y′′|+ |z′ − z′′|),
c© Г. П. Пелюх, А. В. Вельгач, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2 277
278 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
де η1(t, s), η2(t, s) — деякi неперервнi i невiд’ємнi при t, s ∈ R+ функцiї, x′, x′′, y′, y′′, z′, z′′ ∈
∈ Rn;
2) функцiї f(t, x), g(t, x) є невiд’ємними, неперервними при t ∈ R+, x ∈ Rn i такими,
що виконуються нерiвностi
|f(t, x′)− f(s, x′′)| ≤ l′(|t− s|+ |x′ − x′′|),
|g(t, x′)− g(s, x′′)| ≤ l′′(|t− s|+ |x′ − x′′|),
де l′, l′′ — деякi додатнi сталi, t, s ∈ R+, x′, x′′ ∈ Rn;
3) ряди
H1(t, s) =
∞∑
i=1
η1(t + i, s + i), H2(t, s) =
∞∑
i=1
η2(t + i, s + i),
H3(t) =
∞∑
i=1
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)dτ
рiвномiрно збiгаються при всiх t, s ∈ R+ i 3H1(t, s) ≤ θ1 < 1, 3H2(t, s) ≤ θ2 < 1, 3H3(t) ≤
≤ θ3 < 1.
Має мiсце наступна теорема.
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1 – 3, то для довiльного неперервно диференцi-
йовного i обмеженого при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язку x(t) задачi (1),
(2), похiдна якого задовольняє умову Лiпшиця
|x′(t)− x′(s)| ≤ l|t− s|, (3)
де l — додатна стала, t, s ∈ R+, iснує неперервно диференцiйовна при t ∈ R+, 1-перiо-
дична функцiя ω(t), перша похiдна якої задовольняє умову Лiпшиця, така, що при t → ∞
виконується спiввiдношення
x(t) = ω(t) + o(1). (4)
Доведення. Нехай γ(t) — довiльний неперервно диференцiйовний i обмежений при t ∈
∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язок задачi (1), (2), перша похiдна якого задоволь-
няє умову Лiпшиця (3) . Тодi на пiдставi умов 1 – 3 маємо тотожнiсть
γ(t) = ω(t) +
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ,
де
ω(t) = γ(t)−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 279
Звiдси безпосередньо випливає, що спiввiдношення (4) виконується. Крiм цього, вектор-
функцiя ω(t) є, очевидно, неперервно диференцiйовною при всiх t ∈ R+. Покажемо, що
вона є перiодичною. Дiйсно, оскiльки згiдно з (2) маємо
γ(t + 1) = γ(t)−
∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ(f(τ, γ(τ))), γ′(g(τ, γ(τ))))dτ,
то
ω(t + 1) = γ(t + 1)−
−
∞∑
i=0
∞∫
t+1
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ =
= γ(t)−
∞∫
t
F (τ, γ(τ), γ(f(τ, γ(τ))), γ′(g(τ, γ(τ))))dτ−
−
∞∑
i=1
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ =
= γ(t)−
−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ =
= ω(t),
тобто функцiя
ω(t) = γ(t)−
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, γ(τ + i), γ(f(τ + i, γ(τ + i))), γ′(g(τ + i, γ(τ + i))))dτ
є 1-перiодичною.
Таким чином, залишається показати, що якщо похiдна неперервно диференцiйовного
i обмеженого розв’язку γ(t) задачi (1), (2) задовольняє умову Лiпшиця (3), то i похiдна
функцiї ω(t) також задовольняє умову Лiпшиця. Дiйсно, оскiльки
ω′(t) = γ′(t)−
∞∑
i=0
F (t + i, γ(t + i), γ(f(t + i, γ(t + i))), γ′(g(t + i, γ(t + i))))
i
|γ′(t)− γ′(s)| ≤ l|t− s|,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
280 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
то одержуємо
|ω′(t)− ω′(s)| ≤ |γ′(t)− γ′(s)|+
+
∞∑
i=0
∣∣F (t + i, γ(t + i), γ(f(t + i, γ(t + i))), γ′(g(t + i, γ(t + i))))−
− F (s + i, γ(s + i), γ(f(s + i, γ(s + i))), γ′(g(s + i, γ(s + i))))
∣∣ ≤
≤ l|t− s|+
∞∑
i=0
(
η1(t + i, s + i)|t− s|+ η2(t + i, s + i)×
×
(
|γ(t + i)− γ(s + i)|+ |γ(f(t + i, γ(t + i)))− γ(f(s + i, γ(s + i)))|+
+ |γ′(g(t + i, γ(t + i)))− γ′(g(s + i, γ(s + i)))|
))
≤
≤ l|t− s|+
∞∑
i=0
(
η1(t + i, s + i)|t− s|+ η2(t + i, s + i)×
×
(
M |t− s|+ M |f(t + i, γ(t + i))− f(s + i, γ(s + i))|+
+ l|g(t + i, γ(t + i)))− (g(s + i, γ(s + i))|
))
≤
≤ l|t− s|+
∞∑
i=0
(
η1(t + i, s + i)|t− s|+ η2(t + i, s + i)×
×
(
M |t− s|+ Ml′(|t− s|+ M |t− s|) + ll′′(|t− s|+ M |t− s|)
))
≤
≤
(
l + H1(t, s) + H2(t, s)
(
M + Ml′(1 + M) + ll′′(1 + M)
))
|t− s| ≤
≤ l̃|t− s|,
де l̃ = l + θ1 + θ2
(
M + Ml′(1 + M) + ll′′(1 + M)
)
, M = sup
t∈R+
|γ′(t)|.
Таким чином, ω′(t) задовольняє умову Лiпшиця.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Нехай виконуються умови 1 – 3. Тодi при достатньо малих l′, l′′ зада-
ча (1), (2) має єдиний неперервно диференцiйовний i обмежений при t ∈ R+ (разом з
першою похiдною) розв’язок, перша похiдна якого задовольняє умову Лiпшиця, такий,
що при t → +∞ виконується умова (4), де ω(t) — деяка неперервно диференцiйовна,
1-перiодична функцiя, перша похiдна якої задовольняє умову Лiпшиця
|ω′(t)− ω′(s)| ≤ p|t− s|, (5)
де p = const.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 281
Доведення. Нехай x(t) — довiльний неперервно диференцiйовний i обмежений при
t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язок задачi (1), (2), (4), перша похiдна якого
задовольняє умову Лiпшиця. Тодi неважко показати, що вiн задовольняє систему рiвнянь
x(t) = ω(t) +
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, x(τ + i), x(f(τ + i, x(τ + i))), x′(g(τ + i, x(τ + i))))dτ. (6)
Справедливим є i обернене твердження: якщо x(t) — неперервно диференцiйовний i обме-
жений при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язок системи рiвнянь (6), перша
похiдна якого задовольняє умову Лiпшиця, то вiн є розв’язком системи рiвнянь (1) i за-
довольняє умови (2), (4). Отже, для доведення теореми достатньо показати, що система
рiвнянь (6) має єдиний неперервно диференцiйовний i обмежений при t ∈ R+ (разом з
першою похiдною) розв’язок, похiдна якого задовольняє умову Лiпшиця.
За допомогою спiввiдношень
x0(t) = ω(t), x′0(t) = ω′(t),
xm+1(t) = ω(t) +
∞∑
i=0
∞∫
t
F (τ + i, xm(τ + i), xm(f(τ + i, xm(τ + i))), x′m(g(τ + i, xm(τ + i))))dτ,
(7)
x′m+1(t) = ω′(t)−
∞∑
i=0
F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i, xm(t + i))), x′m(g(t + i, xm(t + i)))),
m = 0, 1, 2, . . . ,
визначимо послiдовностi вектор-функцiй xm(t), m = 0, 1, 2, . . ., i їх похiдних i покажемо,
що вони рiвномiрно збiгаються до деякого неперервно диференцiйовного i обмеженого
при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язку системи рiвнянь (6).
Використовуючи умови 1 – 3, за iндукцiєю покажемо, що вектор-функцiї xm(t) непе-
рервно диференцiйовнi при t ∈ R+ i для всiх m ≥ 0 виконуються нерiвностi
|xm(t)| ≤ M
1− θ
, |x′m(t)| ≤ M
1− θ
, (8)
де M = max
{
sup
t∈R+
|ω(t)|, sup
t∈R+
|ω′(t)|
}
, θ = max{θ1, θ2, θ3}.
Справедливiсть оцiнок (8) при m = 0 є очевидною. Припустимо, що оцiнки (8) спра-
ведливi для деякого m, i покажемо, що вони зберiгаються при переходi вiд m до m + 1.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
282 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
Дiйсно, на пiдставi умов теореми, (7) i (8) одержуємо
|xm+1(t)| ≤ |ω(t)|+
+
∞∑
i=0
∣∣∣ ∞∫
t
F (τ + i, xm(τ + i), xm(f(τ + i, xm(τ + i))), x′m(g(τ + i, xm(τ + i))))dτ
∣∣∣ ≤
≤ |ω(t)|+
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)(|xm(τ + i)|+ |xm(f(τ + i, xm(τ + i)))|+
+ |x′m(g(τ + i, xm(τ + i)))|)dτ ≤
≤ M + 3
M
1− θ
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)dτ ≤ M + 3H3(t)
M
1− θ
≤
≤ M + θ
M
1− θ
≤ M
1− θ
,
|x′m+1(t)| ≤ |ω′(t)|+
+
∞∑
i=0
|F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i, xm(t + i))), x′m(g(t + i, xm(t + i))))| ≤
≤ M +
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|xm(t + i)|+ |xm(f(t + i, xm(t + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm(t + i)))|
)
≤
≤ M + 3
M
1− θ
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)dτ ≤ M + 3H2(t, t)
M
1− θ
≤
≤ M + θ
M
1− θ
≤ M
1− θ
.
Отже, нерiвностi (8) виконуються для довiльного m ≥ 0.
З огляду на (5) i умови теореми покажемо тепер, що для всiх m ≥ 0, t, s ∈ R+ викону-
ється умова
|x′m(t)− x′m(s)| ≤ l|t− s|, (9)
де
l =
p + θ
3 + θ
3
(
M
1−θ + M
1−θ l′
(
1 + M
1−θ
))
1− θl′′
3
(
1 + M
1−θ
) .
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 283
На пiдставi (7), (8) i умов теореми при m = 1 маємо
|x′1(t)− x′1(s)| ≤ |ω′(t)− ω′(s)|+
+
∞∑
i=0
∣∣∣F (t + i, x0(t + i), x0(f(t + i, x0(t + i))), x′0(g(t + i, x0(t + i))))−
− F (s + i, x0(s + i), x0(f(s + i, x0(s + i))), x′0(g(s + i, x0(s + i))))
∣∣∣ ≤
≤ |ω′(t)− ω′(s)|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
|ω(t + i)− ω(s + i)|+ |ω(f(t + i, ω(t + i)))− ω(f(s + i, ω(s + i)))|+
+ |ω′(g(t + i, ω(t + i)))− ω′(g(s + i, ω(s + i)))|
)
≤
≤ p|t− s|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
M |t− s|+ M |f(t + i, ω(t + i))− f(s + i, ω(s + i))|+
+ p|g(t + i, ω(t + i))− g(s + i, ω(s + i))|
)
≤
≤ p|t− s|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
M |t− s|+ Ml′(|t− s|+ M |t− s|) + pl′′(|t− s|+ M |t− s|)
)
≤
≤ |t− s|
(
p + H1(t, s) + H2(t, s)(M + Ml′(1 + M) + pl′′(1 + M))
)
≤
≤ l|t− s|,
тобто оцiнка (9) виконується при m = 1. Припустимо, що умову (9) доведено для деякого
m, i покажемо, що вона зберiгається при переходi вiд m до m + 1. Дiйсно, з огляду на
спiввiдношення (7), (8) i умови 1 – 3 отримуємо
|x′m+1(t)− x′m+1(s)| ≤ |ω′(t)− ω′(s)|+
+
∞∑
i=0
∣∣∣F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i, xm(t + i))), x′m(g(t + i, xm(t + i))))−
− F (s + i, xm(s + i), xm(f(s + i, xm(s + i))), x′m(g(s + i, xm(s + i))))
∣∣∣ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
284 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
≤ |ω′(t)− ω′(s)|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
|xm(t + i)− xm(s + i)|+ |xm(f(t + i, xm(t + i)))− xm(f(s + i, xm(s + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm(t + i)))− x′m(g(s + i, xm(s + i)))|
)
≤
≤ p|t− s|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)×
×
(
M
1− θ
|t− s|+ M
1− θ
|f(t + i, xm(t + i))− f(s + i, xm(s + i))|+
+ l|g(t + i, xm(t + i))− g(s + i, xm(s + i))|
)
≤
≤ p|t− s|+
∞∑
i=0
η1(t + i, s + i)|t− s|+
∞∑
i=0
η2(t + i, s + i)
(
M
1− θ
|t− s|+
+
M
1− θ
l′(|t− s|+ M
1− θ
|t− s|) + ll′′(|t− s|+ M
1− θ
|t− s|)
)
≤
≤ |t− s|
(
p + H1(t, s) + H2(t, s)
(
M
1− θ
+
(
M
1− θ
l′ + ll′′
)(
1 +
M
1− θ
)))
≤
≤ |t− s|
(
p +
θ1
3
+
θ2
3
(
M
1− θ
+
(
M
1− θ
l′ + ll′′
)(
1 +
M
1− θ
)))
≤ l|t− s|.
Таким чином, умова Лiпшиця (9) має мiсце при t, s ∈ R+ i всiх m ≥ 1.
Тепер покажемо, що при всiх m ≥ 1, t ∈ R+ мають мiсце оцiнки
|xm(t)− xm−1(t)| ≤ Mθ̃m, |x′m(t)− x′m−1(t)| ≤ Mθ̃m, (10)
де θ̃ = θ
(
1 +
Ml′
3(1− θ)
+
ll′′
3
)
.
Дiйсно, при m = 1 маємо
|x1(t)− x0(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣∣∣
∞∫
t
F (τ + i, x0(τ + i), x0(f(τ + i, x0(τ + i))), x′0(g(τ + i, x0(τ + i))))dτ
∣∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)(|ω(τ + i)|+ |ω(f(τ + i, ω(τ + i)))|+ |ω′(g(τ + i, ω(τ + i)))|)dτ ≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 285
≤ 3M
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)dτ ≤ 3MH3(t) ≤ Mθ,
|x′1(t)− x′0(t)| ≤
∞∑
i=0
|F (t + i, x0(t + i), x0(f(t + i, x0(t + i))), x′0(g(t + i, x0(t + i))))| ≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)(|ω(t + i)|+ |ω(f(t + i, ω(t + i)))|+ |ω′(g(t + i, ω(t + i)))|) ≤
≤ 3M
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i) ≤ 3MH2(t, t) ≤ Mθ.
Припустимо, що оцiнки (10) доведено для деякого m ≥ 1, i покажемо, що вони викону-
ються при m + 1. Дiйсно, на пiдставi (7) – (9) i умов 1 – 3 отримуємо
|xm+1(t)− xm(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
∣∣∣F (τ + i, xm(τ + i), xm(f(τ + i, xm(τ + i))), x′m(g(τ + i, xm(τ + i))))−
− F (τ + i, xm−1(τ + i), xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i))), x′m−1(g(τ + i, xm−1(τ + i)))
∣∣∣dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|xm(τ + i)− xm−1(τ + i)|+
+ |xm(f(τ + i, xm(τ + i)))− xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |x′m(g(τ + i, xm(τ + i)))− x′m−1(g(τ + i, xm−1(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|xm(τ + i)− xm−1(τ + i)|+
+ |xm(f(τ + i, xm(τ + i)))− xm(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |xm(f(τ + i, xm−1(τ + i)))− xm−1(f(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |x′m(g(τ + i, xm(τ + i)))− x′m(g(τ + i, xm−1(τ + i)))|+
+ |x′m(g(τ + i, xm−1(τ + i)))− x′m−1(g(τ + i, xm−1(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
Mθ̃m +
M
1− θ
|f(τ + i, xm(τ + i))− f(τ + i, xm−1(τ + i))|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
286 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
+ Mθ̃m + l|g(τ + i, xm(τ + i))− g(τ + i, xm−1(τ + i))|+ Mθ̃m
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
3Mθ̃m +
M
1− θ
l′Mθ̃m + ll′′Mθ̃m
)
dτ ≤
≤ 3H3(t)Mθ̃m
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤
≤ θ3Mθ̃m
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ Mθ̃m+1,
|x′m+1(t)− x′m(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∣∣∣F (t + i, xm(t + i), xm(f(t + i, xm(t + i))), x′m(g(t + i, xm(t + i))))−
− F (t + i, xm−1(t + i), xm−1(f(t + i, xm−1(t + i))), x′m−1(g(t + i, xm−1(t + i)))
∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|xm(t + i)− xm−1(t + i)|+
+ |xm(f(t + i, xm(t + i)))− xm−1(f(t + i, xm−1(t + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm(t + i)))− x′m−1(g(t + i, xm−1(t + i)))|
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|xm(t + i)− xm−1(t + i)|+
+ |xm(f(t + i, xm(t + i)))− xm(f(t + i, xm−1(t + i)))|+
+ |xm(f(t + i, xm−1(t + i)))− xm−1(f(t + i, xm−1(t + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm(t + i)))− x′m(g(t + i, xm−1(t + i)))|+
+ |x′m(g(t + i, xm−1(t + i)))− x′m−1(g(t + i, xm−1(t + i)))|
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
Mθ̃m +
M
1− θ
|f(t + i, xm(t + i))− f(t + i, xm−1(t + i))|+
+ Mθ̃m + l|g(t + i, xm(t + i))− g(t + i, xm−1(t + i))|+ Mθ̃m
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
3Mθ̃m +
M
1− θ
l′Mθ̃m + ll′′Mθ̃m
)
≤
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
ПРО СТРУКТУРУ МНОЖИНИ НЕПЕРЕРВНО ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ РОЗВ’ЯЗКIВ . . . 287
≤ 3H2(t, t)Mθ̃m
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ θ2Mθ̃m
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ Mθ̃m+1.
Таким чином, оцiнки (10) виконуються при t ∈ R+ i всiх m ≥ 1. Оскiльки при достатньо
малих l′, l′′ виконується нерiвнiсть
θ̃ = θ
(
1 +
Ml′
3(1− θ)
+
ll′′
3
)
< 1,
то iз (10) безпосередньо випливає, що послiдовностi вектор-функцiй {xm(t)}, m = 0, 1, 2 . . . ,
i їх похiдних рiвномiрно збiгаються при t ∈ R+. Бiльш того, вектор-функцiя x(t) =
= lim
m→∞
xm(t) є неперервно диференцiйовним розв’язком системи рiвнянь (6), мають мi-
сце нерiвностi
|x(t)| <
M
1− θ
, |x′(t)| <
M
1− θ
,
i x′(t) задовольняє умову Лiпшиця
|x′(t)− x′(s)| ≤ l|t− s|
(в цьому легко переконатися, якщо в (8) – (10) перейти до границi при m → ∞).
Покажемо тепер, що система рiвнянь (6) не має iнших неперервно диференцiйовних
i обмежених при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язкiв, перша похiдна яких за-
довольняє умову Лiпшиця. Дiйсно, нехай система (6) має ще один неперервно диференцi-
йовний i обмежений при t ∈ R+ (разом з першою похiдною) розв’язок y(t), перша похiдна
якого задовольняє умову Лiпшиця
|y′(t)− y′(s)| ≤ l|t− s|, t, s ∈ R+.
Тодi на пiдставi умов теореми i (6) отримуємо
|x(t)− y(t)| ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
∣∣∣F (τ + i, x(τ + i), x(f(τ + i, x(τ + i))), x′(g(τ + i, x(τ + i))))−
− F (τ + i, y(τ + i), y(f(τ + i, y(τ + i))), y′(g(τ + i, y(τ + i)))
∣∣∣dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|x(τ + i)− y(τ + i)|+ |x(f(τ + i, x(τ + i)))−
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
288 Г. П. ПЕЛЮХ, А. В. ВЕЛЬГАЧ
− y(f(τ + i, y(τ + i)))|+ |x′(g(τ + i, x(τ + i)))− y′(g(τ + i, y(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|x(τ + i)− y(τ + i)|+ |x(f(τ + i, x(τ + i)))−
− x(f(τ + i, y(τ + i)))|+ |x(f(τ + i, y(τ + i)))− y(f(τ + i, y(τ + i)))|+
+ |x′(g(τ + i, x(τ + i)))− x′(g(τ + i, y(τ + i)))|+
+ |x′(g(τ + i, y(τ + i)))− y′(g(τ + i, y(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
|x(τ + i)− y(τ + i)|+ M
1− θ
l′|x(τ + i)− y(τ + i)|+
+ |x(f(τ + i, y(τ + i)))− y(f(τ + i, y(τ + i)))|+ ll′′|x(τ + i)− y(τ + i)|+
+ |x′(g(τ + i, y(τ + i)))− y′(g(τ + i, y(τ + i)))|
)
dτ ≤
≤ ||x(t)− y(t)||
∞∑
i=0
∞∫
t
η2(τ + i, τ + i)
(
3 +
M
1− θ
l′ + ll′′
)
dτ ≤
≤ ||x(t)− y(t)||θ3
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ θ̃||x(t)− y(t)||,
|x′(t)− y′(t)| ≤
∞∑
i=0
∣∣∣F (t + i, x(t + i), x(f(t + i, x(t + i))), x′(g(t + i, x(t + i))))−
− F (t + i, y(t + i), y(f(t + i, y(t + i))), y′(g(t + i, y(t + i)))
∣∣∣ ≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|x(t + i)− y(t + i)|+ |x(f(t + i, x(t + i)))−
− y(f(t + i, y(t + i)))|+ |x′(g(t + i, x(t + i)))− y′(g(t + i, y(t + i)))|
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|x(t + i)− y(t + i)|+ |x(f(t + i, x(t + i)))−
− x(f(t + i, y(t + i)))|+ |x(f(t + i, y(t + i)))− y(f(t + i, y(t + i)))|+
+ |x′(g(t + i, x(t + i)))− x′(g(t + i, y(t + i)))|+
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
+ |x′(g(t + i, y(t + i)))− y′(g(t + i, y(t + i)))|
)
≤
≤
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
|x(t + i)− y(t + i)|+ M
1− θ
l′|x(t + i)− y(t + i)|+
+ |x(f(t + i, y(t + i)))− y(f(t + i, y(t + i)))|+ ll′′|x(t + i)− y(t + i)|+
+ |x′(g(t + i, y(t + i)))− y′(g(t + i, y(t + i)))|
)
≤
≤ ||x(t)− y(t)||
∞∑
i=0
η2(t + i, t + i)
(
3 +
M
1− θ
l′ + ll′′
)
≤
≤ ||x(t)− y(t)||θ2
(
1 +
M
3(1− θ)
l′ +
ll′′
3
)
≤ θ̃||x(t)− y(t)||,
де
||x(t)− y(t)|| = max{ sup
t∈R+
|x(t)− y(t)|, sup
t∈R+
|x′(t)− y′(t)|}.
Звiдси випливає
||x(t)− y(t)|| ≤ θ̃||x(t)− y(t)||,
що може мати мiсце лише у випадку, коли x(t) ≡ y(t). Отримана суперечнiсть завершує
доведення теореми 2.
1. Беллман Р., Кук К. Л. Дифференциально-разностные уравнения. — М.: Мир, 1967. — 548 с.
2. Хейл Дж. Теория дифференциально-функциональных уравнений. — М.: Мир, 1984. — 421 с.
3. Самойленко А. М., Пелюх Г. П. Ограниченные на всей вещественной оси решения систем нелинейных
дифференциально-функциональных уравнений и их свойства // Укр. мат. журн. — 1994. — 46, № 6. —
С. 737 – 747.
4. Пелюх Г. П. Асимптотичнi властивостi розв’язкiв систем нелiнiйних диференцiально-функцiональних
рiвнянь з нелiнiйним вiдхиленням аргументу // Диференцiальнi рiвняння i нелiнiйнi коливання (Укр.
мат. конгрес-2001). — Київ, 2002. — С. 94 – 100.
5. Пелюх Г. П. Об асимптотических свойствах решений нелинейных дифференциально-функциональных
уравнений // Дифференц. уравнения. — 2003. — 39, № 1. — С. 45 – 49.
6. Пелюх Г. П. О структуре множества решений одного класса систем нелинейных дифференциально-
функциональных уравнений нейтрального типа // Нелiнiйнi коливання. — 2002. — 5, № 1. — С. 58 – 65.
Одержано 19.05.2006
|