Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора
Доказан асимптотический характер решения задачи Коши для сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных в случае, когда предельный пучок матриц регулярен и имеет кратные "конечный" и "бесконечный" элементарные делители. У...
Gespeichert in:
| Datum: | 2007 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут математики НАН України
2007
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7258 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора / О.І. Кочерга // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 247-257. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7258 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-72582010-03-29T12:01:29Z Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора Кочерга, О.І. Доказан асимптотический характер решения задачи Коши для сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных в случае, когда предельный пучок матриц регулярен и имеет кратные "конечный" и "бесконечный" элементарные делители. Установлены условия, при выполнении которых построенные формальные решения являются асимптотическими разложениями соответствующих точных решений. The asymptotic character of a Cauchy problem for a singularly perturbed linear system of differential equations with a degenerate matrix at the derivatives in the case where the limit matrix bundle is regular and has multiple „finite” and „infinite” elementary divisors is proved. Conditions under which the constructed formal solutions are asymptotic expansions of the corresponding exact solutions have been found. 2007 Article Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора / О.І. Кочерга // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 247-257. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. 1562-3076 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7258 517.928 uk Інститут математики НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Доказан асимптотический характер решения задачи Коши для сингулярно возмущенной линейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных в случае, когда предельный пучок матриц регулярен и имеет кратные "конечный" и "бесконечный" элементарные делители. Установлены условия, при выполнении которых построенные формальные решения являются асимптотическими разложениями соответствующих точных решений. |
| format |
Article |
| author |
Кочерга, О.І. |
| spellingShingle |
Кочерга, О.І. Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора |
| author_facet |
Кочерга, О.І. |
| author_sort |
Кочерга, О.І. |
| title |
Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора |
| title_short |
Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора |
| title_full |
Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора |
| title_fullStr |
Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора |
| title_sort |
асимптотичні властивості розв'язків задачі коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора |
| publisher |
Інститут математики НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7258 |
| citation_txt |
Асимптотичні властивості розв'язків задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь у випадку кратного спектра головного оператора / О.І. Кочерга // Нелінійні коливання. — 2007. — Т. 10, № 2. — С. 247-257. — Бібліогр.: 7 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT kočergaoí asimptotičnívlastivostírozvâzkívzadačíkošídlâvirodženoísingulârnozburenoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹuvipadkukratnogospektragolovnogooperatora |
| first_indexed |
2025-07-02T10:07:26Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:07:26Z |
| _version_ |
1836529323078582272 |
| fulltext |
УДК 517 . 928
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI
ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ У ВИПАДКУ
КРАТНОГО СПЕКТРА ГОЛОВНОГО ОПЕРАТОРА
О. I. Кочерга
Нiжин. ун-т
Україна, 16602, Нiжин Чернiгiвської обл., вул. Кропив’янського, 2
The asymptotic character of a Cauchy problem for a singularly perturbed linear system of differential
equations with a degenerate matrix at the derivatives in the case where the limit matrix bundle is regular and
has multiple „finite” and „infinite” elementary divisors is proved. Conditions under which the constructed
formal solutions are asymptotic expansions of the corresponding exact solutions have been found.
Доказан асимптотический характер решения задачи Коши для сингулярно возмущенной ли-
нейной системы дифференциальных уравнений с вырожденной матрицей при производных в
случае, когда предельный пучок матриц регулярен и имеет кратные „конечный” и „бесконеч-
ный” элементарные делители. Установлены условия, при выполнении которых построенные
формальные решения являются асимптотическими разложениями соответствующих точных
решений.
Розглянемо задачу Кошi для лiнiйної системи диференцiальних рiвнянь вигляду
εhB(t)
dx
dt
= A(t, ε) x+ f(t, ε), (1)
x(0, ε) = x0, (2)
де t ∈ [0, T ] , A(t, ε), B(t) — квадратнi матрицi n-го порядку, x(t, ε), f(t, ε) — n-вимiрнi
вектори, ε > 0 — малий дiйсний параметр, h ∈ N , detB(t) ≡ 0 на [0, T ].
В роботах [1 – 4] побудовано формальний розв’язок задачi Кошi (1), (2) у випадку, коли
гранична в’язка матриць L(t, λ) = A0(t) − λB(t) є регулярною i має кратнi „скiнченний”
та „нескiнченний” елементарнi дiльники. Показано, що розв’язок будується у виглядi
x(t, ε) =
p∑
i=1
ui(t, ε) exp
ε−h
t∫
0
(λ0 + λi(t, ε))dt
+
+
q−1∑
j=1
vj(t, ε) exp
ε−h
t∫
0
dt
ξj(t, ε)
+ w(t, ε), (3)
де ui(t, ε), i = 1, p, , vj(t, ε) , j = 1, q − 1, w(t, ε) — n-вимiрнi вектор-функцiї, λi(t, ε), i =
= 1, p, ξj(t, ε), j = 1, q − 1, — скалярнi функцiї, якi зображуються формальними розви-
c© О. I. Кочерга, 2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2 247
248 О. I. КОЧЕРГА
неннями
ui(t, ε) = µ−(p−1)
∞∑
k=0
µku
(i)
k (t), λi(t, ε) =
∞∑
k=1
µkλ
(i)
k (t), i = 1, p, (4)
vj(t, ε) = ν−(q−2)
∞∑
k=0
νkv
(j)
k (t), ξj(t, ε) =
∞∑
k=1
νkξ
(j)
k (t), j = 1, q − 1, (5)
w(t, ε) =
∞∑
k=0
εkwk(t). (6)
Тут µ = p
√
ε, ν = q−1
√
ε.
Доведемо, що формальний розв’язок (3) при виконаннi певних умов є асимптотичним
розвиненням точного розв’язку задачi Кошi (1), (2) у розумiннi [5].
Для цього „обiрвемо” розв’язок (3) наm-му кроцi i знайдемоm-те наближення точно-
го розв’язку:
xm(t, ε) =
p∑
i=1
u(i)
m (t, ε) exp
ε−h
t∫
0
λ(i)
m (t, ε)dt
+
+
q−1∑
j=1
v(j)
m (t, ε) exp
ε−h
t∫
0
dt
ξ
(j)
m (t, ε)
+ wm(t, ε), (7)
де
u(i)
m (t, ε) = µ−(p−1)
m∑
k=0
µku
(i)
k (t), λ(i)
m (t, ε) =
m∑
k=0
µkλ
(i)
k (t), i = 1, p,
v(j)
m (t, ν) = ν−(q−2)
m∑
k=0
νkv
(j)
k (t), ξ(j)m (t, ε) =
m∑
k=1
νkξ
(j)
k (t), j = 1, q − 1, (8)
wm(t, ε) =
m∑
k=0
εkwk(t).
Справджується така теорема.
Теорема. Нехай виконуються умови:
1) матриця A(t, ε) i вектор f(t, ε) допускають рiвномiрнi асимптотичнi розвинення
на даному вiдрiзку [0, T ] :
A(t, ε) ∼
∑
k≥0
εkAk(t), f(t, ε) ∼
∑
k≥0
εkfk(t); (9)
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ . . . 249
2) матрицi Ak(t), k = 0, 1, . . . , B(t) та вектор-функцiї fk(t), k = 0, 1, . . . , є нескiнчен-
но диференцiйовними на [0, T ];
3) матрична в’язка L(t, λ) = A0(t) − λB(t) регулярна на [0, T ] i має один „скiнчен-
ний” елементарний дiльник (λ− λ0)
p кратностi p та один „нескiнченний” елементар-
ний дiльник кратностi q = n− p;
4) L01 = − (Γ1ϕ,ψ) = − (A1ϕ,ψ) 6= 0 ∀ t ∈ [0, T ],
M11 =
(
A1ϕ̃, ψ̃
)
6= 0 ∀t ∈ [0, T ], (10)
де ϕ(t), ϕ̃(t) — елементи нуль-просторiв матриць A0(t) − λ0(t)B(t) та B(t) вiдповiдно,
ψ(t), ψ̃(t) — елементи нуль-просторiв вiдповiдних спряжених матриць (A0(t)− λ0(t)B(t))∗
та B∗(t);
5) власне значення λ0(t) в’язки L(t, ε) є вiдмiнним вiд нуля i вектор x0 задовольняє
спiввiдношення (Am(0)x0 + fm(0), ψ̃) = 0, m = 0, 1, . . . ;
6) Reλ(i)
m (t, ε) ≤ 0, i = 1, p, ∀t ∈ [0, T ], ε ∈ [0, ε0],
Re ξ(j)m (t, ε) ≤ 0, j = 1, q − 1, ∀t ∈ [0, T ], ε ∈ [0, ε0]. (11)
Тодi iснує такий точний розв’язок x(t, ε) задачi (1), (2), що має мiсце оцiнка
‖x(t, ε)− xm(t, ε) ‖ ≤ cεα−2−h, (12)
де α = min
[
m+ 2
p
− 1,
m+ 1
q − 1
− 1
]
, c — деяка стала, що не залежить вiд ε.
Доведення. Пiдставивши m-те наближення (7) у лiву частину рiвняння (1), отримаємо
εhB(t)
dxm(t, ε)
dt
−A(t, ε)xm(t, ε)− f(t, ε) =
p∑
i=1
[
εhB(t)
(
u(i)
m (t, ε)
)′
+
+ λ(i)
m (t, ε)B(t)u(i)
m (t, ε)−A(t, ε)u(i)
m (t, ε)
]
exp
ε−h
t∫
0
λ(i)
m (t, ε)dt
+
+
q−1∑
j=1
[
εhB(t)
(
v(j)
m (t, ε)
)′
+
B(t)v(j)
m (t, ε)
ξ
(j)
m (t, ε)
−A(t, ε)v(j)
m (t, ε)
]
exp
ε−h
t∫
0
dt
ξ
(j)
m (t, ε)
+
+ εhB(t)(wm(t, ε))′ −A(t, ε)wm(t, ε)− f(t, ε). (13)
Iз способу отримання коефiцiєнтiв [1, 3] випливає, що вираз у перших квадратних дуж-
ках є величиною порядку O
(
µm−p+2
)
, а в других — величиною порядку O
(
νm−q+2
)
.
Оскiльки згiдно з (10) ξ(j)m (t, ε) 6= 0 при t ∈ [0, T ] i досить малих ε, а коефiцiєнти
ξ
(j)
k (t), k = 1,m, розвинення (8) є нескiнченно диференцiйовними на даному вiдрiзку, то
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
250 О. I. КОЧЕРГА∣∣∣(ξ(j)m (t, ε))−1
∣∣∣ ≤ ε−1c , де c — деяка стала, що не залежить вiд параметра ε. На пiдставi
цього рiвняння (13) запишемо у виглядi
εhB(t)
dxm(t, ε)
dt
−A(t, ε)xm(t, ε)− f(t, ε) =
=
p∑
i=1
µm−p+2ai(t, ε) exp
ε−h
t∫
0
λ(i)
m (t, ε)dt
+
+
q−1∑
j=1
νm−q+2bj(t, ε) exp
ε−h
t∫
0
dt
ξ
(j)
m (t, ε)
+ εm+1d(t, ε), (14)
де ai(t, ε), bj(t, ε), d(t, ε) — деякi вектор-функцiї, рiвномiрно обмеженi на [0, T ].
Оскiльки Re (1/z) = (Re z)/|z|2, то згiдно з умовою (11) Re (1/ξ(j)m (t, ε)) ≤ 0, j =
= 1, q − 1. Тодi∣∣∣∣∣∣exp
ε−h
t∫
0
λ(i)
m (t, ε)dt
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1,
∣∣∣∣∣∣exp
ε−h
t∫
0
dt
ξ
(j)
m (t, ε)
∣∣∣∣∣∣ ≤ 1.
Тому (14) набирає вигляду
εhB(t)
dxm(t, ε)
dt
−A(t, ε)xm(t, ε)− f(t, ε) =
= ε
m+2
p
−1
p∑
i=1
ai(t, ε) + ε
m+1
q−1
−1
q−1∑
j=1
bj(t, ε) + εm+1d(t, ε) = εαa(t, ε), (15)
де α = min
[m+ 2
p
− 1,
m+ 1
q − 1
− 1
]
, a(t, ε) — деяка вектор-функцiя, рiвномiрно обмежена
на [0, T ].
При пiдстановцi m-го наближеного розв’язку (7) у початкову умову (2) матимемо
p∑
i=1
u(i)
m (0, ε) +
q−1∑
j=1
v(j)
m (0, ε) + wm(0, ε) = x0.
Оцiнимо рiзницю
xm(0, ε)− x0 = ε
m+2
p
−1
p∑
i=1
ci(ε) + ε
m+1
q−1
−1
q−1∑
j=1
kj(ε) + εm+1r(ε) = εαb(ε), (16)
де b(ε) — деякий вираз, обмежений при ε ∈ (0, ε0].
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ . . . 251
Отже, m-те наближення (7) задовольняє (1) та початкову умову (2) з точнiстю O(εα).
Нехай x(t, ε) — точний розв’язок задачi (1), (2). Позначимо ym(t, ε) = xm(t, ε)−x(t, ε).
Тодi, враховуючи (15) i (16), отримуємо
εhB(t)
dym(t, ε)
dt
−A(t, ε)ym(t, ε) = εαa(t, ε),
(17)
ym(0, ε) = εαb(ε).
Введемо до розгляду матрицiQ(t, ε) та P (t, ε) розмiрностi n×n.МатрицюQ(t, ε) скла-
демо з вектор-стовпцiв ũ(i)
m (t, ε), i = 1, p, ṽ(j)
m (t, ε), j = 1, q − 1, та ϕ̃(t) — власного вектора
матрицi B(t), який вiдповiдає її нульовому власному значенню:
Q(t, ε) =
[
ũ(1)
m (t, ε), . . . , ũ(p)
m (t, ε); ṽ(l)
m (t, ε), . . . , ṽ(q−1)
m (t, ε), ϕ̃(t)
]
= [Um(t, ε), ϕ̃(t)] .
Матрицю P (t, ε) складемо з вектор-стовпцiв, якi утворюють жордановi ланцюжки мат-
рицi A∗0 вiдносно B∗ та B∗ вiдносно A∗ вiдповiдно:
P (t, ε) =
[
ψ1(t), . . . , ψp(t), ψ̃q(t), ψ̃q−1(t), . . . , ψ̃2(t), ψ̃1(t)
]∗
=
[
Vm(t, ε), ψ̃(t)
]∗
,
де
ψk(t) = (H∗B∗)k−1 ψ(t), k = 1, p, ψ̃i(t) = (G∗A∗0)
i−1 ψ̃(t), i = 1, q,
H(t), G(t) — напiвоберненi матрицi до матриць A0(t) − λ0(t)B(t) та B(t) вiдповiдно. Че-
рез ũ(i)
m (t, ε) та ṽ(j)
m (t, ε) тут позначено n-вимiрнi вектори, якi визначаються при побудовi
лiнiйно незалежних асимптотичних розв’язкiв однорiдної системи, яка вiдповiдає системi
(1), згiдно з теоремами 3.3, 3.7 iз [6]. Вiдповiднi формули, якi ми будемо використовувати,
наведено в § 3.2, 3.3 роботи [6].
Оскiльки кожен з вектор-стовпцiв матриць P (t, ε) та Q(t, ε) є лiнiйною комбiнацiєю
базисних векторiв, неважко переконатись, що цi матрицi є неособливими при досить ма-
лих значеннях параметра ε, вiдмiнних вiд нуля.
Виконаємо в системi (17) замiну ym(t, ε) = Q(t, ε)zm(t, ε) i помножимо її злiва на мат-
рицю P (t, ε). Тодi рiвняння запишеться у виглядi
εhPB
dQ
dt
zm + εhPBQ
dzm
dt
− PAQzm = εαPa(t, ε),
(18)
Q(0, ε)zm(0, ε) = εαb(ε).
Оскiльки матриця Q−1(t, ε) має полюс по ε порядку max
(p− 1
p
,
q − 1
q − 1
)
= 1, введемо
замiну Q−1(0, ε)b(ε) =
1
ε
b̃(ε). Крiм того, позначимо Pa(t, ε) = ã(t, ε). В результатi одер-
жимо
εhPBQ
dzm
dt
= (PL(t, ε)Q)zm + εαã(t, ε),
(19)
zm(0, ε) = εα−1b̃(ε).
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
252 О. I. КОЧЕРГА
Дослiдимо коефiцiєнти першого рiвняння цiєї системи:
PBQ =
(
Vm, ψ̃
)∗
B (Um, ϕ̃) =
(
V ∗
m
ψ̃∗
)
(BUm, Bϕ̃) =
(
V ∗
mBUm V ∗
mBϕ̃
ψ̃∗BUm ψ̃∗Bϕ̃
)
.
Враховуючи, що Bϕ̃ = 0, B∗ψ̃ = 0, отримуємо
PBQ =
(
V ∗
mBUm 0
0 0
)
.
Розглянемо матрицю V ∗
mBUm. Вона має розмiрнiсть (n− 1)× (n− 1). Згiдно зi струк-
турою матриць V ∗
m(t, ε), Um(t, ε) матимемо
Vm∗BUm =
=
(
Bũ
(1)
m , ψ1
)
. . .
(
Bũ
(p)
m , ψ1
)
. . . (I) . . .(
Bũ
(1)
m , ψp
)
. . .
(
Bũ
(p)
m , ψp
)
∣∣∣∣∣∣∣∣
(
Bṽ
(1)
m , ψ1
)
. . .
(
Bṽ
(q−1)
m , ψ1
)
. . . (II) . . .(
Bṽ
(1)
m , ψp
)
. . .
(
Bṽ
(q−1)
m , ψp
)
(
Bũ
(1)
m , ψ̃q
)
. . .
(
Bũ
(p)
m , ψ̃q
)
. . . (III) . . .(
Bũ
(1)
m , ψ̃2
)
. . .
(
Bũ
(p)
m , ψ̃2
)
∣∣∣∣∣∣∣∣
(
Bṽ
(1)
m , ψ̃q
)
. . .
(
Bṽ
(q−1)
m , ψ̃q
)
. . . (IV ) . . .(
Bṽ
(1)
m , ψ̃2
)
. . .
(
Bṽ
(q−1)
m , ψ̃2
)
.
Враховуючи формули з § 3.2, 3.3 [6], елементи I блоку цiєї матрицi запишемо у виглядi
µp−1
(
λ
(1)
1
)p−1
+O(µp) µp−1
(
λ
(2)
1
)p−1
+O(µp) . . . µp−1
(
λ
(p)
1
)p−1
+O(µp)
µp−2
(
λ
(1)
1
)p−2
+O(µp−1) µp−2
(
λ
(2)
1
)p−2
+O(µp) . . . µp−2
(
λ
(p)
1
)p−2
+O(µp−1)
. . . . . . . . . . . .
1 +O(µ) 1 +O(µ) . . . 1 +O(µ)
.
Елементи четвертого блоку матимуть вигляд
νq−1
(
ξ
(1)
1
)q−1
+O(νq) νq−1
(
ξ
(2)
1
)q−1
+O(νq) . . . νq−1
(
ξ
(q−1)
1
)q−1
+O(νq)
νq−2
(
ξ
(1)
1
)q−2
+O(νq−1) νq−2
(
ξ
(2)
1
)q−2
+O(νq−1) . . . νq−2
(
ξ
(q−1)
1
)q−2
+O(νq−1)
. . . . . . . . . . . .
νξ
(1)
1 +O(ν2) νξ
(2)
1 +O(ν2) . . . νξ
(q−1)
1 +O(ν2)
.
Елементи другого i третього блокiв матимуть порядок O(νq) та O(µp) вiдповiдно.
За умовою rankB(t) = n − 1 матрицi P (t, ε), Q(t, ε) є неособливими при всiх t ∈ [0, T ]
i досить малих ε 6= 0. Отже, при ε > 0 rankPBQ = n− 1, тому detV ∗
mBUm 6= 0 при ε > 0.
Але з проведеного аналiзу елементiв цiєї матрицi випливає, що обернена до неї матриця
має полюс порядку σ = max
(p− 1
p
,
q − 1
q − 1
)
= 1 у точцi ε = 0, що буде враховано далi.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ . . . 253
Оскiльки матрицю PLQ можна подати в такому ж блочному виглядi, що й матрицю
PBQ :
PLQ =
(
Vm, ψ̃
)∗
L (Um, ϕ̃) =
(
V ∗
m
ψ̃∗
)
(LUm, Lϕ̃) =
(
V ∗
mLUm V ∗
mLϕ̃
ψ̃∗LUm ψ̃∗Lϕ̃
)
,
то перше рiвняння системи (19) набере вигляду
εh
[
V ∗
mBUm 0
0 0
]
dzm
dt
=
[
V ∗
mLUm V ∗
mLϕ̃
ψ̃∗LUm ψ̃∗Lϕ̃
]
zm + εαã(t, ε), (20)
де
ψ̃∗Lϕ̃ =
(
Lϕ̃, ψ̃
)
=
((
A(t, ε)ϕ̃, ψ̃
)
− εh
(
B(t)ϕ̃′, ψ̃
))
=
(
A(t, ε)ϕ̃, ψ̃
)
= ε(A1ϕ̃, ψ̃) +O(ε2).
Внаслiдок того, що (A1ϕ̃, ψ̃) 6= 0,
(
Lϕ̃, ψ̃
)
6= 0 при досить малих ε > 0, а в точцi ε = 0
функцiя
(
Lϕ̃, ψ̃
)−1
матиме полюс порядку 1.
Помноживши рiвнiсть (20) злiва на матрицю diag
{
(V ∗
mBUm)−1 ;
(
ψ̃∗Lϕ̃
)−1}
, одержи-
мо
εh
[
En−1 0
0 0
]
dzm
dt
=
(V ∗
mBUm)−1 V ∗
mLUm (V ∗
mBUm)−1 V ∗
mLϕ̃(
Lϕ̃, ψ̃
)−1
ψ̃∗LUm 1
zm + εα−1s(t, ε),
де s(t, ε) — деяка n-вимiрна вектор-функцiя, рiвномiрно обмежена на [0, T ] при досить
малих ε.
Подамо вектори zm(t, ε) i s(t, ε) у виглядi
zm(t, ε) = col [z1(t, ε), z2(t, ε)] , s(t, ε) = col [s1(t, ε), s2(t, ε)] , (21)
де z1(t, ε) , s1(t, ε) — (n− 1)-вимiрнi вектори, координатами яких є першi n− 1 координат
векторiв zm(t, ε) та s(t, ε) вiдповiдно, а z2(t, ε) , s2(t, ε) — n-тi координати цих векторiв.
Тодi систему (20) можна записати у виглядi двох окремих рiвнянь
εh
dz1
dt
=
[
(V ∗
mBUm)−1 V ∗
mLUm
]
z1 + (V ∗
mBUm)−1 V ∗
mLϕ̃z2 + εα−1s1,
(22)
0 =
(
Lϕ̃, ψ̃
)−1
ψ̃∗LUmz1 + z2 + εα−1s2.
Вiдповiдно до алгоритму, за яким визначаються коефiцiєнти розвинень ũ
(i)
m (t, ε) та
ṽ
(j)
m (t, ε), описаному в § 3.2 [6], матимемо
Lũ(i)
m (t) = λ(i)
m (t)Bũ(i)
m (t) +O(µm+1), i = 1, p,
Lṽ(j)
m (t) =
1
ξ
(j)
m (t)
Bṽ(j)
m (t) +O(νm), j = 1, q − 1,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
254 О. I. КОЧЕРГА
звiдки LUm = BUmΛm + εδC1(t, ε), де
Λm(t, ε) = diag
{
λ(1)
m (t, ε), . . . , λ(p)
m (t, ε),
1
ξ
(1)
m (t)
,
1
ξ
(2)
m (t)
, . . . ,
1
ξ
(q−1)
m (t)
}
,
δ = min
(m+ 1
p
,
m
q − 1
)
, C1(t, ε) — матриця розмiрностi n× (n− 1), рiвномiрно обмежена
на [0, T ]. Отже,
(V ∗
mBUm)−1 V ∗
m LUm = (V ∗
mBUm)−1
[
V ∗
mBUmΛm(t, ε) + εδV ∗
mC1(t, ε)
]
=
= Λm(t, ε) + εδ (V ∗
mBUm)−1 V ∗
mC1(t, ε) = Λm(t, ε) + εδ−1C2(t, ε),
де C2(t, ε) — рiвномiрно обмежена на [0, T ] (n× (n− 1))-матриця. Аналогiчно
ψ̃∗LUm = ψ̃∗
[
BUmΛm + εδC1(t, ε)
]
= ψ̃∗BUmΛm + εδψ̃∗C1(t, ε) = εδψ̃∗C1(t, ε),
оскiльки вектор-рядок ψ̃∗BUm є нульовим.
Тодi система (22) запишеться у виглядi
εh
dz1
dt
=
[
Λm(t, ε) + εδ−1C2(t, ε)
]
z1 + (V ∗
mBUm)−1 V ∗
mLϕz2 + εα−1s1(t, ε),
(23)
0 = εδ
(
Lϕ, ψ̃
)−1
ψ̃∗C1(t, ε)z1 + z2 + εα−1s2(t, ε).
З останнього алгебраїчного рiвняння визначимо z2(t, ε):
z2(t, ε) = − εα−1s2(t, ε)− εδ−1C(t, ε)z1,
де C(t, ε) — вектор-рядок, елементи якого рiвномiрно обмеженi на [0, T ].
Пiдставивши вираз для z2(t, ε) у перше рiвняння системи (23) i взявши до уваги, що
матриця (V ∗
mBUm)−1 має полюс порядку 1 в точцi ε = 0, одержимо диференцiальне рiв-
няння вiдносно змiнної z1(t, ε):
εh
dz1
dt
=
[
Λm(t, ε) + εδ−1C2(t, ε)− εδ−2C3(t, ε)
]
z1 + εα−1s1(t, ε)− εα−2s̃2(t, ε),
де C3(t, ε) — квадратна матриця (n− 1)-го порядку, рiвномiрно обмежена на [0, T ], s̃2(t, ε)
— (n− 1)-вимiрний вектор-стовпець з рiвномiрно обмеженими елементами на цьому вiд-
рiзку. В результатi цих перетворень система (19) набирає вигляду
εh
dz1
dt
=
[
Λm(t, ε) + εδ−2C4(t, ε)
]
z1 + εα−2d(t, ε),
z2(t,ε) =− εα−1s2(t, ε)− εδ−1C(t, ε)z1,
(24)
z1(0, ε) = εα−1b̃1(ε),
z2(0, ε) = εα−1b̃2(ε),
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ . . . 255
де C4(t, ε) = εC2(t, ε)− C3(t, ε), d(t, ε) — рiвномiрно обмежений (n− 1)-вимiрний вектор.
Розглянемо перше з рiвнянь системи (23). Введемо замiну z1 = Wu, де
W = exp
ε−h
t∫
0
Λm(t, ε)dt
— матриця, що є розв’язком рiвняння
εh
dW
dt
= Λm(t, ε)W. (25)
В результатi одержимо
du
dt
= εδ−2−hW−1C4Wu(t, ε) + εα−2−hW−1d(t, ε).
Перейшовши до iнтегрального рiвняння i врахувавши замiну z1 = Wu та початкову
умову, матимемо
z1(t, ε) = εδ−2−hW
t∫
0
W−1C4z1(t, ε)dt+ εα−2−hW
t∫
0
W−1d(t, ε)dt+ εα−1b̃1(ε). (26)
Використовуючи метод послiдовних наближень, як i в [6], можна показати, що це рiвнян-
ня має єдиний розв’язок. Перейшовши в ньому до оцiнок за нормою, дiстанемо
‖z1(t, ε)‖ ≤ εδ−2−h
t∫
0
∥∥W (t, ε)W−1(τ, ε)C4(τ, ε)
∥∥ ‖z1‖ dτ+
+ εα−2−h
t∫
0
∥∥W (t, ε)W−1(τ, ε)d(τ, ε)
∥∥ dτ + εα−1
∥∥∥b̃1(ε)∥∥∥ . (27)
Оскiльки
W (t, ε)W−1(τ, ε) = exp
ε−h
t∫
0
Λmdt
exp
ε−h
0∫
τ
Λmdτ
= exp
ε−h
t∫
τ
Λm(s, ε)ds
,
то при виконаннi умови (11)
∥∥W (t, ε)W−1(τ, ε)
∥∥ ≤ 1 при 0 ≤ τ ≤ t. Крiм того, матриця
C4(t, ε), вектор d(t, ε) i вектор b̃1(ε) рiвномiрно обмеженi на вiдрiзку [0, T ]. Тому
∥∥W (t, ε)W−1(τ, ε)C4(τ, ε)
∥∥ ≤ c1,
∥∥W (t, ε)W−1(τ, ε)d(τ, ε)
∥∥ ≤ c2,
∥∥∥b̃1(ε)∥∥∥ ≤ c3,
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
256 О. I. КОЧЕРГА
де ci, i = 1, 3, — деякi сталi числа, що не залежать вiд ε. В результатi з нерiвностi (27)
одержимо
‖z1(t, ε)‖ ≤ c1ε
δ−2−h
t∫
0
‖z1(τ, ε)‖ dτ + c2Tε
α−2−h + εα−1c3. (28)
Оскiльки c2Tεα−2−h + εα−1c3 = εα−2−h
(
c2T + εh+1
)
< c4ε
α−2−h, де c4 = c2T + εh+1, то
нерiвнiсть (28) запишеться у виглядi
‖z1(t, ε)‖ ≤ c1ε
δ−2−h
t∫
0
‖z1(τ, ε)‖ dτ + εα−2−hc4,
звiдки, згiдно з лемою Гронуолла – Беллмана [7]
‖z1(t, ε)‖ ≤ c4ε
α−2−h exp
(
c1Tε
δ−2−h
)
= c5ε
α−2−h, (29)
де c5 = c4 exp
(
c1Tε
δ−2−h
)
.
З другого рiвняння системи (24) дiстанемо вiдповiдну оцiнку для z2(t, ε). Взявши до
уваги (25), отримаємо
‖z2(t, ε)‖ ≤ εα−1 ‖s2(t, ε)‖+ εδ−1 ‖C(t, ε)‖ ‖z1(t, ε)‖ ≤ c6ε
α−1 + c5c7ε
α+δ−3−h =
= εα−2−h
(
c6ε
h+1 + c5c7ε
δ−1
)
= c8ε
α−2−h, (30)
де сталi c6, c7 обмежують за нормою функцiю s2(t, ε) та вектор-рядок c(t, ε), а c8 = c6ε
h+1+
+c5c7εδ−1.
Врахувавши (29), (30) i повернувшись до замiни (21), одержимо оцiнку ‖zm(t, ε)‖ ≤
≤ c9ε
α−2−h. Оскiльки множення на матрицю Q(t, ε) не змiнює оцiнки, то для ym(t, ε), а
отже, i для рiзницi x(t, ε)− xm(t, ε) матимемо таку оцiнку:
‖x(t, ε)− xm(t, ε)‖ ≤ cεα−2−h,
де c = c9c10, а стала c10 обмежує за нормою матрицю Q(t, ε).
Теорему доведено.
1. Кочерга О. I., Яковець В. П. Асимптотичне розв’язання задачi Кошi для виродженої сингулярно збу-
реної лiнiйної системи у випадку кратного спектра головного оператора // Нелiнiйнi коливання. —
1999. — 2, № 1. — C. 19 – 29.
2. Кочерга О. I. Розв’язання задачi Кошi для виродженої сингулярно збуреної лiнiйної системи // Там же.
— № 3. — C. 314 – 324.
3. Кочерга О. I. Асимптотичне розв’язання задачi Кошi для виродженої сингулярно збуреної лiнiйної
системи // Укр. мат. журн. — 1999. — 51, № 8. — С. 1126 – 1128.
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
АСИМПТОТИЧНI ВЛАСТИВОСТI РОЗВ’ЯЗКIВ ЗАДАЧI КОШI ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ . . . 257
4. Kocherga O. I., Yakovets V. P. The Cauchy problem for the degenerate singularly perturbed linear system in
case of the multiple spectrum of the limit bundle of matrixes // Nonlinear Oscillations. — 2001. — 4, № 2. —
P. 226 – 233.
5. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику. — Киев: Изд-во АН УССР, 1937. —
364 с.
6. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з вироджен-
нями. — Київ: Вища шк., 2000. — 294 с.
7. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. — М.: Наука, 1967. — 472 с.
Одержано 19.01.2007
ISSN 1562-3076. Нелiнiйнi коливання, 2007, т . 10, N◦ 2
|