Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных
С использованием метода функций Ляпунова и метода дополнительных функций исследуются вопросы неустойчивости в динамических системах. В рамках координатного подхода рассмотрена задача выделения неустойчивых координат и введено понятие ограниченной неустойчивости, играющее важную роль при анализе ча...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72592 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 3-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-72592 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-725922014-12-27T03:01:19Z Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных Ковалев, А.М. С использованием метода функций Ляпунова и метода дополнительных функций исследуются вопросы неустойчивости в динамических системах. В рамках координатного подхода рассмотрена задача выделения неустойчивых координат и введено понятие ограниченной неустойчивости, играющее важную роль при анализе частичной устойчивости. Обсуждается вопрос о применимости теорем Ляпунова об устойчивости полинейному приближению в задачах частичной устойчивости. З використанням методу функцiй Ляпунова i методу додаткових функцiй дослiджуються питання нестiйкостi в динамiчних системах. У рамках координатного пiдходу розглянуто задачу видiлення нестiйких координат i введено поняття обмежено нестiйкостi, що вiдiграє важливу роль при аналiзi частково стiйкостi. Обговорюються питання про застосовнiсть теорем Ляпунова про стiйкiсть за лiнiйним наближенням у задачах частково стiйкостi. The questions of instability in dynamical systems are investigated using the Lyapunov functions method and method of additional functions. The problem of isolation of unstable coordinates has been considered within the bounds of the coordinate approach, and the conception of a bounded instability playing an important role in the analysis of partial stability has been introduced. The question of applicability of Lyapunov theorems about stability by linear approximation in problems of partial stability has been discussed. 2012 Article Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 3-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72592 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
С использованием метода функций Ляпунова и метода дополнительных функций исследуются вопросы неустойчивости в динамических системах. В рамках координатного подхода рассмотрена задача выделения неустойчивых координат и введено понятие ограниченной неустойчивости, играющее важную роль при анализе частичной устойчивости. Обсуждается вопрос о применимости теорем Ляпунова об устойчивости полинейному приближению в задачах частичной устойчивости. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.М. |
| spellingShingle |
Ковалев, А.М. Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных Механика твердого тела |
| author_facet |
Ковалев, А.М. |
| author_sort |
Ковалев, А.М. |
| title |
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных |
| title_short |
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных |
| title_full |
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных |
| title_fullStr |
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных |
| title_full_unstemmed |
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных |
| title_sort |
динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72592 |
| citation_txt |
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных / А.М. Ковалев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 3-13. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevam dinamikaavtonomnyhsistemprinaličiineustojčivyhperemennyh |
| first_indexed |
2025-07-05T21:21:33Z |
| last_indexed |
2025-07-05T21:21:33Z |
| _version_ |
1836843525890637824 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.36
c©2012. А.М. Ковалев
ДИНАМИКА АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ
ПРИ НАЛИЧИИ НЕУСТОЙЧИВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
С использованием метода функций Ляпунова и метода дополнительных функций исследу-
ются вопросы неустойчивости в динамических системах. В рамках координатного подхода
рассмотрена задача выделения неустойчивых координат и введено понятие ограниченной
неустойчивости, играющее важную роль при анализе частичной устойчивости. Обсужда-
ется вопрос о применимости теорем Ляпунова об устойчивости по линейному приближению
в задачах частичной устойчивости.
Ключевые слова: неограниченная неустойчивость, ограниченная неустойчивость, ко-
ординатный подход.
Введение. Широкое применение математических моделей для описания
различных процессов живой и неживой природы привело к изменению мето-
дов их исследования. Основной чертой современных разработок является пе-
реход от полного изучения модели к анализу некоторых ее параметров. Этот
подход коснулся и такой важной области как исследование вопросов устойчи-
вости [1], что выразилось в создании теории частичной устойчивости [2]. В по-
следнее время это направление получило дальнейшее развитие, результатом
которого явилось введение координатного подхода в теорию устойчивости.
При этом выяснилось, что для решения новых задач в случае устойчивых
систем достаточно методов частичной устойчивости [2] совместно с методом
дополнительных функций [3]. Сложнее оказалась ситуация для неустойчивых
систем. Появились новые задачи, требующие новых постановок и методов в
таком объеме, что они составили самостоятельное направление, получившее
название теории неустойчивости [4]. Начальные шаги построения этой теории
рассмотрены в данной статье.
1. Постановка задачи. Рассматриваются задачи устойчивости нулевого
решения системы
ẋ = f(x), f(0) = 0, x ∈ D ⊂ Rn, t ∈ [t0,∞), (1)
где D – некоторая окрестность нуля; функция f(x) предполагается непре-
рывно дифференцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает
дифференцирование по времени t зависимой переменной x, а также функции
V (x) в силу системы (1): V̇ (x) = 〈∇V (x), f(x)〉. Здесь ∇ – оператор диф-
ференцирования, в применении к скалярной функции он дает градиент, а к
вектор-функции – матрицу Якоби; символ 〈 , 〉 означает скалярное произве-
дение.
Работа выполнена при финансовой поддержке НАНУ и РФФИ (рег. № 0112U003346).
3
А.М. Ковалев
Прежде, чем ввести необходимые определения, стоит отметить отличие
определений устойчивости и асимптотической устойчивости от неустойчи-
вости, которое состоит в том, что для определения двух первых свойств
рассматриваются все решения, начинающиеся в окрестности нулевого реше-
ния, а для определения неустойчивости – лишь некоторое множество реше-
ний из этой окрестности. Также широко распространен подход, при кото-
ром неустойчивыми называют решения, которые не являются устойчивыми
(и асимптотически устойчивыми, хотя об этом явно не упоминается). В ча-
стности, такое определение дал и А.М.Ляпунов в своей монографии [1] и
многие авторы современных монографий. Указанная особенность отражает
существо явления и была замечена А.М.Ляпуновым. На первых страницах
своей монографии [1], комментируя определение устойчивости (включающее
и неустойчивость), А.М.Ляпунов приходит к заключению, что “для движе-
ний неустойчивых можно будет рассуждать об условной устойчивости”.
Развитие теории устойчивости показывает, что при решении задач, свя-
занных с неустойчивостью, в основном применяются следующие два опреде-
ления.
Определение 1. Движение x = 0 называется неустойчивым, если суще-
ствует ε > 0 такое, что для любого сколь угодно малого δ > 0 найдутся точка
x∗ с ‖x∗‖ < δ и момент времени t∗ > t0, для которых ‖x(t∗; t0, x∗)‖ ≥ ε. Здесь
и далее принято x(t0; t0, x∗) = x∗.
Определение 2 [2]. Движение x = 0 называется y-неустойчивым, если
существует ε > 0 такое, что для любого сколь угодно малого δ > 0 найдутся
точка x∗ с ‖x∗‖ < δ и момент времени t∗ > t0, для которых ‖y(t∗; t0, x∗)‖ ≥ ε.
Здесь y является подвектором вектора xT = (yT , zT ).
Определение 1 применяется при изучении неустойчивости решений. Опре-
деление 2 относится к задаче y-неустойчивости, которая является одной из
задач частичной устойчивости. В ней, как и в задаче устойчивости (по всем
переменным), наряду с определением 2, y-неустойчивым движением называ-
ется такое движение, для которого не выполняются условия определения
частично устойчивого движения [2]. Такое определение было предложено и
А.М.Ляпуновым, при этом движения рассматривались в малой окрестности
нуля, как и в случае с обычной устойчивостью. В.В.Румянцев [2] расширил
область рассмотрения движений в задаче частичной устойчивости:
DR =
{
x : ‖y‖ < H, ‖z‖ < ∞
}
, (2)
где H – достаточно малое положительное число. Введение области (2) ме-
няет подход к частичной устойчивости, особенно в неустойчивом случае, по
сравнению с обычной, классической устойчивостью.
Применив определения частичной устойчивости к одной координате, при-
дем к понятиям устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых
координат. Это позволяет сформулировать следующую задачу.
Задача 1. Выделить устойчивые, асимптотически устойчивые и неустой-
чивые переменные для системы (1).
Для теории и практики представляет интерес решение задачи 1 в двух
4
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных
вариантах. В первом варианте необходимо разделить заданные переменные
xi на указанные три группы. Во втором варианте требуется выделить три
группы переменных yi = gi(x) таким образом, что количество устойчивых
y1 и неустойчивых y3 координат не может быть уменьшено, а количество
асимптотически устойчивых y2 координат не может быть увеличено при лю-
бых допустимых заменах zi = θi(x). Здесь gi(0) = 0, θi(0) = 0, отображения
(g1(x), g2(x), g3(x)), (θ1(x), θ2(x), θ3(x)) в нуле обратимы.
Задача 1 составляет основу координатного подхода в теории устойчиво-
сти, результаты которого важны для качественной теории дифференциаль-
ных уравнений, теории устойчивости, а также для теории управления при
разработке специальных алгоритмов управления и стабилизации процессов
самой различной природы.
2. Решение задачи методом функций Ляпунова. Используем опре-
деления 1, 2 для анализа задач неустойчивости методом функций Ляпу-
нова. Большинство исследователей при рассмотрении неустойчивых движе-
ний применяли определение 1, т.е. решали задачу в начальной постановке.
Трудности задачи подчеркивает тот факт, что в дополнение к результатам
А.М.Ляпунова были получены всего две теоремы: это теоремы Н.Г.Четаева
и Н.Н.Красовского. При этом вопрос о решении задачи неустойчивости мето-
дом функций Ляпунова в полном объеме остался незавершенным. Полностью
закрыть вопрос об использовании функций со знакопостоянной производной
в задачах неустойчивости (как и в задачах устойчивости) позволил метод
дополнительных функций, при разработке которого была использована сле-
дующая теорема П.В.Харламова.
Теорема 1. Порождаемое инвариантным соотношением ϕ(x) = 0 инва-
риантное множество G системы (1) определяется уравнениями
ϕ(i)(x) = 0 (i = 0, 1, ... l − 1),
где l – число независимых функций в последовательности
ϕ(x), ϕ̇(x), ϕ̈(x), ... , (3)
при этом ∇ϕ(x) 6= 0 для x ∈ G.
Приведем два типа дополнительных функций, применяемых для пре-
образования функции Ляпунова. В простейшем случае, когда множество
M обращения в нуль производной V̇ (x) описывается одной функцией ϕ(x):
M = {x : ϕ(x) = 0,∇ϕ(x) 6= 0} и задача существования инвариантного мно-
жества решается первыми двумя членами последовательности (3), в качестве
дополнительной функции принимается функция
Va = 〈∇ϕ(x), f(x)〉2m〈〈∇ϕ(x), f(x)〉, ϕ(x)〉. (4)
Функция типа
Vai = 〈∇ϕi(x), f(x)〉
2m〈〈∇ϕi(x), f(x)〉, ϕi(x)〉
s
∏
j=1,
j 6=i
ϕ2
j (x)
5
А.М. Ковалев
принимается в качестве дополнительной функции для множества Mi в слу-
чае, когда множество M состоит из нескольких множеств M =
s
⋃
i=1
Mi, для
каждого из которых задача существования инвариантного множества реша-
ется первыми двумя членами последовательности (3).
С целью рассмотрения всего круга задач устойчивости (включая и не-
устойчивость) ставится вопрос о максимальном расширении области зна-
коопределенности производной для известной функции со знакопостоянной
производной, не обращая при этом внимания на значения самой функции.
Используя метод дополнительных функций, получаем следующий результат.
Теорема 2 [3]. Пусть для системы (1) известна функция V (x) со знако-
постоянной производной V̇ (x). Тогда добавлением конечного числа дополни-
тельных функций строится функция Vf (x), производная которой V̇f (x) явля-
ется знакопостоянной функцией, при этом множество ее обращения в нуль
является инвариантным множеством.
Воспользуемся методом дополнительных функций и теоремой 2 для по-
лучения обобщающей теоремы о неустойчивости. Имеет место следующая
теорема.
Теорема 3 [3]. Пусть для системы (1) существует функция V (x) про-
изводная которой V̇ (x) является функцией знакопостоянной и представи-
ма в форме знакоопределенной функции V̇ (y) меньшего числа переменных
y1, ... , yk (k < n), причем множество M = {x : V̇ (x) = 0} является инва-
риантным. При этом в любой сколь угодно малой окрестности B нуля суще-
ствуют точки x ∈ B \M , в которых функция V (x) принимает значения того
же знака, что и V̇ (x). Тогда нулевое решение неустойчиво.
Доказательство теоремы проводится по схеме, созданной А.М.Ляпуновым
при доказательстве первой теоремы о неустойчивости. Необходимо отметить,
что теорема 3 дает необходимые и достаточные условия неустойчивости при
использовании функций Ляпунова. При этом первая теорема Ляпунова о не-
устойчивости и теорема Красовского о неустойчивости получаются из нее как
частные случаи.
Подводя итог, заключаем, что вопрос о неустойчивости решений в смысле
определения 1 и с использованием функций Ляпунова решен теоремой 3 пол-
ностью, и эта теорема становится в один ряд со второй теоремой Ляпунова о
неустойчивости и теоремой Четаева, также представляющими необходимые
и достаточные условия неустойчивости. Теперь представляется возможным
перейти к рассмотрению задач y-неустойчивости (в смысле определения 2).
3. Выделение неустойчивых переменных. Для выделения неустой-
чивых переменных естественно применить теоремы о частичной неустойчи-
вости. Такие теоремы имеются. Однако необходимо отметить, что многие
из имеющихся теорем содержат либо трудно выполнимые условия, либо не-
точности, приводящие к противоречиям. В качестве примера приведем тео-
рему 7.2 монографии [2], использование которой затруднено из-за требования
ограниченности функции V (x) в области DR. Невыполнение этого требова-
6
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных
ния приводит к неверному результату. Поэтому для выделения неустойчивых
координат воспользуемся подходом, основанным на определении неустойчи-
вости, восходящим к А.М.Ляпунову и определяющим неустойчивыми коор-
динаты, которые не являются устойчивыми, либо асимптотически устойчи-
выми. Кроме того, применим качественный анализ с использованием обще-
го решения дифференциальных уравнений. Для прояснения ситуации рас-
смотрим два примера.
Пример 1. Выделим неустойчивые переменные в системе
ẋ1 = ax2, ẋ2 = −bx1, ẋ3 = −bx21 (a > 0, b > 0). (5)
В качестве функции Ляпунова примем
V1 = x1x2 − x3. (6)
Производная функции (6) V̇1 = ax22 является функцией положительно по-
стоянной и обращется в нуль на множестве M = {x : x2 = 0}. По формуле
(4) получаем дополнительную функцию Va = −(bx1)
2m+1x2. Добавляя ее к
функции (6), имеем
V1f = V1 + αVa = x1x2 − x3 − α(bx1)
2m+1x2. (7)
Производная функции (7)
V̇1f = α(bx1)
2m+2 + ax22(1− α(2m+ 1)b2m+1x2m1 )
при достаточно малом α > 0 и m ≥ 0 будет функцией положительно постоян-
ной (положительно определенной относительно x1, x2) и множество обраще-
ния ее в нуль M1 = {x : x1 = 0, x2 = 0} является инвариантным. Функция (7)
удовлетворяет теореме 3 и нулевое решение системы (5) неустойчиво. С це-
лью дальнейшего исследования рассмотрим функцию V2 = bx21 + ax22. Имеем
V̇2 = 0 и по теореме Румянцева [2] получаем, что нулевое решение системы (5)
устойчиво относительно переменных x1, x2. Отсюда следует, что переменные
x1, x2 являются устойчивыми. В силу доказанной неустойчивости нулевого
решения заключаем, что переменная x3 не является устойчивой либо асим-
птотически устойчивой, т.е. переменная x3 – неустойчива. Таким образом,
переменные системы (5) полностью разделены.
Полученный результат есть решение задачи 1 для системы (5), причем как
в первом, так и во втором вариантах, т.е. имеем случай, когда решение зада-
чи 1 для первого и второго вариантов совпадают. При исследовании исполь-
зован подход, когда неустойчивыми определяются координаты, которые не
могут быть устойчивыми либо асимптотически устойчивыми. Этот пример
также демонстрирует трудности выделения неустойчивых переменных. Так,
функции (6), (7) удовлетворяют теореме 7.2 [2], кроме условия их ограничен-
ности в области DR, и поэтому вытекающие из нее заключения относительно
x2-неустойчивости и (x1, x2)-неустойчивости являются неверными.
Перейдем к рассмотрению следующего примера, который выявляет
сложности при решении задачи 1 в двух вариантах.
Пример 2. Исследуем устойчивость нулевого решения системы
7
А.М. Ковалев
ẋ1 = 2x1, ẋ2 = 5x1 − 3x2, ẋ3 = 6x1 − 4x3. (8)
Функция Ляпунова V = x21 имеет производную V̇ = 4x21 и удовлетворяет
теореме 3. На основании этого нулевое решение системы (8) неустойчиво и,
более того, переменная x1 – неустойчива. Сделать заключение относитель-
но переменных x2, x3 с использованием функций Ляпунова довольно сложно
ввиду трудности их построения. Однако, воспользовавшись формулой общего
решения
x1 = c1e
2t, x2 = c1e
2t + c2e
−3t, x3 = c1e
2t + c3e
−4t,
получаем, что все переменные x1, x2, x3 являются неустойчивыми. Этот
факт кажется удивительным, имея ввиду собственные числа системы (8):
λ1 = 2, λ2 = −3, λ3 = −4. Разрешение этой ситуации состоит в том, что это
заключение получено при решении задачи 1 в первом варианте, а собственные
числа сыграют свою роль при рассмотрении второго варианта решения.
Сделаем в системе (8) замену переменных
y1 = x1, y2 = x2 − x1, y3 = x3 − x1. (9)
В переменных (9) система (8) принимает вид
ẏ1 = 2y1, ẏ2 = −3y2, ẏ3 = −4y3.
Нетрудно видеть, что переменная y1 является неустойчивой, переменные
y2, y3 являются асимптотически устойчивыми, при этом количество неустой-
чивых переменных не может быть уменьшено, а количество асимптотически
устойчивых переменных не может быть увеличено. Это есть решение задачи 1
для системы (8) во втором варианте.
Отметим, что теорем с использованием функций Ляпунова для выде-
ления неустойчивых переменных нет, и для решения этой задачи в приме-
ре 2 пришлось находить общее решение и специальную замену координат,
что не всегда возможно, особенно в нелинейных системах. Представляется
перспективным прием, примененный в примере 1, связанный с выделени-
ем устойчивых и асимптотически устойчивых переменных, что может быть
выполнено с применением функций Ляпунова и дополнительных функций.
Разработка этого направления близка к завершению.
4. Частичная устойчивость при наличии неустойчивых перемен-
ных. Наличие неустойчивых переменных оказывает сильное влияние на по-
ведение динамической системы. Покажем на примере конкретных систем,
какие новые эффекты с этим связаны и к каким новым требованиям и огра-
ничениям это приводит при исследовании вопросов устойчивости таких си-
стем.
Пример 3. Рассмотрим устойчивость системы
ẋ = −x(1 + a1y + a2y
2 + ...+ aky
k), ẏ = y. (10)
Переменная y является неустойчивой и y →
t→∞
∞. Система (10) рассматри-
вается в неограниченной области DR = {(x, y) : |x| < δ, −∞ < y < ∞},
8
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных
где δ – достаточно малое положительное число. Для переменной x полу-
чаем, что при k = 2m + 1, ak 6= 0 переменная x неустойчива. Это следу-
ет из того, что, выбирая y0 = y(t0) из условия y0ak < 0, получаем, что
при любом достаточно малом y0 для достаточно большого t∗ выполняе-
тся условие 1 + a1y(t) + a2y
2(t) + ... + aky
k(t) < 0 для всех t ≥ t∗. Это
приводит к тому, что, начиная с этого момента, x возрастает и x →
t→∞
∞.
Применяя аналогичные рассуждения, получаем следующий результат: при
k = 2m, ak < 0 переменная x неустойчива, а при k = 2m, ak > 0,
1 + a1y + a2y
2 + ... + aky
k > 0 (−∞ < y < ∞) переменная x асимптоти-
чески устойчива. Таким образом, при конечном значении k в зависимости
от значений ak переменная x в системе (10) будет либо неустойчивой, либо
асимптотически устойчивой.
Интересный результат получается, если вместо конечной суммы рас-
смотреть ряд
∞
∑
k=0
(−1)ky2k, здесь a2k+1 = 0, a2k = (−1)k:
ẋ = −x
∞
∑
k=0
(−1)ky2k, ẏ = y. (11)
Данный ряд при |y| < 1 сходится:
∞
∑
k=0
(−1)ky2k = (1+ y2)−1, и, подставив дан-
ное выражение в систему (11), получаем известный пример В.В.Румянцева,
А.С.Озиранера [2]:
ẋ = −
x
1 + y2
, ẏ = y. (12)
Не связывая получение системы (12) из системы (10) путем использования
ряда и ограничения |y| < 1, рассмотрим вопросы устойчивости системы (12)
в неограниченной области DR = {(x, y) : |x| < δ, −∞ < y < ∞}. В моногра-
фии [2] непосредственным интегрированием для нахождения x(t) показано,
что переменная x является устойчивой. В какой-то мере это согласуется со
вторым случаем (k = 2m) в системе (10), когда с последовательным увеличе-
нием k переменная x становится асимптотически устойчивой, затем неустой-
чивой, снова асимптотически устойчивой и т.д. В пределе (система (11)) она
становится ни той, ни другой, а устойчивой. Своего рода критический случай
в частичной устойчивости.
Фазовые портреты системы (10) с x-асимптотически устойчивой перемен-
ной (a1 = a2 = 1, k = 2), x-неустойчивой переменной (a1 = 0, a2 = −1, k = 2)
и системы (12) с x-устойчивой переменной показаны на рис. 1 a, b, 2 a.
Рассмотренная система представляет пример неограниченной неустойчи-
вости
(
y(t) →
t→∞
∞
)
. Ситуация несколько меняется, когда неустойчивость яв-
ляется ограниченной (|y(t)| < a, ∀t ≥ t0). Видоизменим несколько систему
(10) и выясним, к чему это приведет.
Пример 4. Рассмотрим устойчивость системы
ẋ = −x(1 + a1y + a2y
2 + ...+ aky
k), ẏ = y(1− y2). (13)
9
А.М. Ковалев
a) a1 = a2 = 1, k = 2 b) a1 = 0, a2 = −1, k = 2
Рис. 1. Фазовый портрет системы (10).
a) b)
Рис. 2. Фазовые портреты систем (12),(14).
Переменная y является неустойчивой, и для y0 из окрестности |y| < 1 имеем
|y(t; t0, y0)| →
t→∞
1 (здесь y(t; t0, y0) = y0) т.е. имеем случай ограниченной не-
устойчивости. Поэтому система (13) рассматривается в ограниченной области
DR = {(x, y) : |x| < δ, |y| < 1}, где δ – достаточно малое положительное число.
В отличие от примера 3, получить полное решение в зависимости от коэф-
фициентов ak довольно сложно. Для упрощенного варианта решения введем
функцию αk = 1 + a1y + a2y
2 + ... + aky
k. Результат можно сформулиро-
вать следующим образом. Переменная x является асимптотически устойчи-
вой, если ∃ t∗ такое, что при t > t∗ имеем α(t) > 0, и является неустойчивой,
если α(t) < 0. Для заданных значений ai такая проверка выполняется доста-
точно просто, например, с применением компьютера. Отметим, что, если в
системе (10) все зависит от значения старшего коэффициента ak, то в систе-
10
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных
ме (13) при любых заданных коэффициентах a1, a2, ..., as−1, as+1, ..., ak не-
трудно подобрать коэффициенты a
(1)
s , a
(2)
s таким образом, чтобы перемен-
ная x была асимптотически устойчивой при a
(1)
s и неустойчивой при a
(2)
s .
Возможны случаи, когда переменная x является устойчивой. В частности,
это происходит, когда у системы в дополнение к нулевой точке имеется одно-
мерное множество особых точек, что имеет место, например, для системы
ẋ = −x(1 − y2), ẏ = y(1 − y2), фазовый портрет которой представлен на
рис. 3 a.
Как и в примере 3, вместо конечной суммы используем в уравнениях (13)
уже употреблявшийся в примере 3 ряд. Тогда вместо системы (12) получим
следующую систему
ẋ = −
x
1 + y2
, ẏ = y(1− y2). (14)
Поскольку в данном случае |y| < 1, то отсюда сразу следует, что x является
асимптотически устойчивой переменной, а y – по-прежнему неустойчивой.
В отличие от примера 3, использование ряда ничего нового в систему не
принесло.
Фазовые портреты системы (13) с x-устойчивой переменной (a1 = 0, a2 =
= −1, k = 2), x-неустойчивой переменной (a1 = 3, a2 = 1, k = 2) и системы
(14) с x-асимптотически устойчивой переменной показаны на рис. 3 a, b; 2 b.
a) a1 = 0, a2 = −1, k = 2 b) a1 = 3, a2 = 1, k = 2
Рис. 3. Фазовый портрет системы (13).
Первые выводы, которые можно сделать на основе примеров 3, 4, связа-
ны с установлением зависимости свойств устойчивости и асимптотической
устойчивости от наличия особых точек. В случае ограниченной неустойчи-
вости наличие дополнительной (отличной от нулевой точки) особой точки,
асимптотически устойчивой по (x, y), приводит к x-асимптотической устой-
чивости, наличие одномерного множества (не проходящего через нуль) осо-
бых точек, устойчивых по x и асимптотически устойчивых по y, приводит к
11
А.М. Ковалев
x-устойчивости нулевого решения. Отсутствие дополнительных особых точек
влечет неограниченную y-неустойчивость, влияние которой на устойчивость
системы достаточно простое.
Продолжая анализ примеров 3,4, отметим, что в линейном приближении
все системы (10), (12)–(14) описываются одной системой
ẋ = −x, ẏ = y,
которая не имеет корней характеристического уравнения с нулевой веще-
ственной частью. Если бы в рассматриваемой ситуации были применимы те-
оремы А.М.Ляпунова об устойчивости по первому приближению, то для всех
систем (10), (12)–(14) имела бы место x-асимптотическая устойчивость и y-
неустойчивость. Приведенные результаты показывают, что наличие нелиней-
ных членов может изменить свойство устойчивости в любую сторону. Отсюда
делаем заключение, что установленные А.М.Ляпуновым теоремы об устойчи-
вости по линейному приближению не применимы в задачах частичной устой-
чивости.
Следующее важное наблюдение состоит в том, что при анализе устойчиво-
сти требуется рассмотрение всех неустойчивых траекторий (вместо одной при
установлении свойства неустойчивости решений) и на всем промежутке вре-
мени t0 ≤ t < ∞ (вместо ограниченного промежутка t0 ≤ t ≤ t∗ до момента t∗
покидания траекторией заданной окрестности). Такое рассмотрение на при-
мере систем (10), (13) приводит к введению нового свойства – ограниченной
неустойчивости, когда неустойчивые траектории остаются в ограниченной
области во все время движения. Именно ограниченная неустойчивость при-
водит к смене x-устойчивости в системе (12) (рис. 2 a) на x-асимптотическую
устойчивость в системе (14) (рис. 2 b) и, наоборот, к смене x-асимптотической
устойчивости в системе (10) (рис. 1 a) на x-неустойчивость в системе (13)
(рис. 3 b).
Заключение. Приведем основные выводы, следующие из выполненного
исследования.
1. При исследовании задач устойчивости и асимптотической устойчивости
по части переменных для систем с неустойчивыми переменными необходи-
мо изучить не одну траекторию, а все семейство неустойчивых траекторий,
при этом в области либо ограниченной, либо неограниченной (что отлича-
ется от процедуры исследования и формулировки свойства неустойчивости).
Понятие неустойчивости разделено на два: неограниченная неустойчивость
и ограниченная неустойчивость, влияние которых на свойство устойчивости
различно.
2. Выполненное в п.п. 3, 4 исследование вопросов выделения неустойчи-
вых переменных и их влияния на устойчивость показало, что разработанных
методов для решения этих задач недостаточно. Выяснилось, что эффектив-
ными являются два направления: 1. непосредственное выделение неустойчи-
вых координат; 2. выделение устойчивых и асимптотически устойчивых пере-
менных, а неустойчивые переменные определяются как не входящие в первые
две группы. В реальном анализе эти приемы применяются совместно.
12
Динамика автономных систем при наличии неустойчивых переменных
3. При изучении свойств устойчивости и асимптотической устойчивости
для систем с неустойчивыми переменными установлено, что теоремы Ляпу-
нова об устойчивости (движения) по линейному приближению не работают в
задачах частичной устойчивости.
4. Установленные выше новые свойства поведения нелинейных систем
с неустойчивыми переменными являются результатом решения задачи 1 о
разделении переменных и формируют координатный подход в теории устой-
чивости. Необходимо отметить важность координатного подхода, а также
факт, что координатный подход вполне обоснованно разделил теорию устой-
чивости на две теории: теорию устойчивости и теорию неустойчивости. Фор-
мирование теории неустойчивости, формулировка ее задач и методов – это
вопросы ближайшего будущего.
1. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – М.; Л.: Гостехиздат, 1950.
– 472 c.; Ляпунов А.М. Собр. соч. – М.;Л.: Изд-во АН СССР, 1956. – Т. 2. – 476 с.
2. Румянцев В.В., Озиранер А.С. Устойчивость и стабилизация движения по отношению
к части переменных. – М.: Наука, 1987. – 256 с.
3. Ковалев А.М. Решение задач устойчивости для нелинейных систем с известной фун-
кцией со знакопостоянной производной // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39.
– С. 3–28.
4. Ковалев А.М. Теория неустойчивости: от Ляпунова к Четаеву и до наших дней //
Аналитическая механика, устойчивость и управление: Тр. Х Междунар. Четаевской
конф. (Казань, 12–16 июня 2012 г.) – Казань: Изд-во Казан. гос. техн. ун-та, 2012. –
Т. 5. Пленарные докл. – С. 26–39.
A.M. Kovalev
Dynamics of autonomous systems in the presence of unstable variables
The questions of instability in dynamical systems are investigated using the Lyapunov functions
method and method of additional functions. The problem of isolation of unstable coordinates has
been considered within the bounds of the coordinate approach, and the conception of a bounded
instability playing an important role in the analysis of partial stability has been introduced.
The question of applicability of Lyapunov theorems about stability by linear approximation in
problems of partial stability has been discussed.
Keywords: unbounded instability, bounded instability, coordinate approach.
О.М.Ковальов
Динамiка автономних систем при наявностi нестiйких змiнних
З використанням методу функцiй Ляпунова i методу додаткових функцiй дослiджуються
питання нестiйкостi в динамiчних системах. У рамках координатного пiдходу розглянуто
задачу видiлення нестiйких координат i введено поняття обмеженої нестiйкостi, що вiдiграє
важливу роль при аналiзi часткової стiйкостi. Обговорюється питання про застосовнiсть
теорем Ляпунова про стiйкiсть за лiнiйним наближенням у задачах часткової стiйкостi.
Ключовi слова: необмежена нестiйкiсть, обмежена нестiйкiсть, координатний пiдхiд.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
kovalev@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 17.08.12
13
|