Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой

Предложен подход в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку, основанный на теореме Пуансо. Показано, что движение тела можно представить качением без скольжения подвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости тела, по неподвижному годографу этого вектора, лежащему...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Горр, Г.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72594
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой / Г.В. Горр // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 26-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-72594
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-725942014-12-27T03:01:20Z Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой Горр, Г.В. Предложен подход в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку, основанный на теореме Пуансо. Показано, что движение тела можно представить качением без скольжения подвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости тела, по неподвижному годографу этого вектора, лежащему в некоторой плоскости в пространстве. Запропоновано пiдхiд у тлумаченнi руху тiла, що має нерухому точку, заснований на теоремi Пуансо. Показано, що рух тiла можна представити коченням без ковзання рухомого годографа вектора, колiнеарного вектору кутової швидкостi тiла, по нерухомому годографi цього вектора, що лежить у деякiй площинi у просторi. The approach in the interpretation of the motion of a body with a fixed point which is based on a Poinsot theorem is proposed. It is shown that the body motion can be presented by woobling without sliding of the mobile hodograph of vector which is collinear to the vector of the angular velocity of a body, on the immobile hodograph of this vector which lies in some plane in the space. 2012 Article Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой / Г.В. Горр // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 26-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72594 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Предложен подход в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку, основанный на теореме Пуансо. Показано, что движение тела можно представить качением без скольжения подвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости тела, по неподвижному годографу этого вектора, лежащему в некоторой плоскости в пространстве.
format	Article
author	Горр, Г.В.
spellingShingle	Горр, Г.В. Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой Механика твердого тела
author_facet	Горр, Г.В.
author_sort	Горр, Г.В.
title	Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой
title_short	Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой
title_full	Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой
title_fullStr	Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой
title_full_unstemmed	Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой
title_sort	об одном подходе в применении теоремы пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72594
citation_txt	Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой / Г.В. Горр // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 26-36. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT gorrgv obodnompodhodevprimeneniiteoremypuansokinematičeskogoistolkovaniâdviženiâtelasnepodvižnojtočkoj
first_indexed	2025-07-05T21:21:39Z
last_indexed	2025-07-05T21:21:39Z
_version_	1836843531897929728
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42 УДК 531.38 c©2012. Г.В. Горр ОБ ОДНОМ ПОДХОДЕ В ПРИМЕНЕНИИ ТЕОРЕМЫ ПУАНСО КИНЕМАТИЧЕСКОГО ИСТОЛКОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ Предложен подход в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку, осно- ванный на теореме Пуансо. Показано, что движение тела можно представить качением без скольжения подвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости тела, по неподвижному годографу этого вектора, лежащему в некоторой плоскости в про- странстве. Ключевые слова: теорема Пуансо, кинематические уравнения П.В.Харламова, кинема- тическое истолкование. Введение. В динамике твердого тела, имеющего неподвижную точку, важным этапом исследования свойств движения тела является кинематиче- ское истолкование движения. Прямым истолкованием движения тела, име- ющего неподвижную точку, служит метод годографов, который основан на теореме Пуансо о представлении движения тела качением без скольжения подвижного годографа вектора угловой скорости по неподвижному [1]. Ки- нематические уравнения П.В.Харламова [2] позволили получить наглядное представление о свойствах движения тела во многих случаях интегрируе- мости уравнений динамики (см. обзоры [3–6]). Тем не менее, интерпретация Л.Пуансо движения тела в случае Эйлера [1] остается самым наглядным при- мером истолкования движения, поскольку движение тела Л.Пуансо предста- вил качением без скольжения эллипсоида инерции по неподвижной в про- странстве плоскости. Он приводится практически во всех учебниках по тео- ретической механике для демонстрации эффективности геометрических ме- тодов исследования. Важность таких методов отмечал Н.Е.Жуковский [7]: “Можно говорить, что математическая истина только тогда должна счи- таться вполне обработанной, когда она может быть объяснена всякому из публики, желающему ее усвоить. Я думаю, что если возможно приближе- ние к этому идеалу, то только со стороны геометрического толкования или моделирования”. Интерпретация Л.Пуансо является не единственным примером, когда не- подвижный годограф является плоской кривой. Так, например, интерпре- тация случая Д. Гриоли [8], выполненная в работе [5], показала, что конец вектора угловой скорости в неподвижном пространстве находится в плоско- сти. В геометрическом исследовании широко известного решения В. Гесса [9] применялись два подхода кинематического истолкования движения тела. Первый подход [10] основан на теореме Пуансо и уравнениях П.В.Харламова, второй подход [11] показывает, что при нулевой постоянной интеграла момен- 26 Об одном подходе в применении теоремы Пуансо тов движение гироскопа Гесса можно представить качением без скольжения эллипсоида инерции по плоскости. В данной статье для кинематического истолкования движения тела выби- рается вектор b(t), направленный по вектору угловой скорости ω: b(t) = = b(t)ω. На основании замечания, указанного П.В.Харламовым [3, с. 21], при движении тела неизменно связанная с телом кривая (подвижный годограф вектора b) катится без скольжения по неподвижной кривой (неподвижному годографу вектора b). С помощью этого замечания в данной статье предла- гается выбрать функцию b(t) > 0 так, чтобы неподвижный годограф вектора b(t) находился в некоторой, неподвижной в пространстве, плоскости. Это зна- чит, что движение тела может быть представлено качением без скольжения некоторой кривой по плоской кривой. Следовательно, мы приходим к опре- деленному аналогу интерпретации движения тела, предложенной Л.Пуансо для случая Эйлера. При этом представлении движения тела качение необходимо осуществлять с угловой скоростью ω(t) и с сохранением направления вращения. Рассмотрены четыре случая интерпретации: в решении В.А.Стеклова [12]; в решении А.И.Докшевича [13]; в двух случаях прецессионно-изоконических движений тела [14]. 1. Постановка задачи. Метод истолкования движения. Движение тяжелого твердого тела, имеющего неподвижную точку, описывается урав- нениями [3, 4] Aω̇ = Aω × ω + Γ(e × ν), ν̇ = ν × ω, (1) где введены обозначения: ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости тела; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, указывающий направление силы тяже- сти; A – тензор инерции в неподвижной точке; Γ – произведение веса тела и расстояния от неподвижной точки O до центра тяжести тела C; e = (e1, e2, e3) – единичный вектор, направленный из точки O в точку C. Точка над пере- менными обозначает относительную производную по времени t. Уравнения (1) имеют интегралы Aω · ω − 2Γ(e · ν) = 2E, ν · ν = 1, Aω · ν = k, (2) где E и k – произвольные постоянные. С телом свяжем систему координат Oxyz с единичными векторами i1, i2, i3, а в неподвижном пространстве введем систему координат Oξηζ с единичными векторами э1, э2, э3 = ν. Пусть в результате интегрирования уравнений (1) с интегралами (2) най- дено решение ω(t) = ω1(t)i1 + ω2(t)i2 + ω3(t)i3, ν(t) = ν1(t)i1 + ν2(t)i2 + ν3(t)i3, (3) где t ∈ [0,∞). Тогда первая вектор-функция из (3) описывает подвижный го- дограф вектора угловой скорости тела. Уравнения неподвижного годографа запишем в форме кинематических уравнений П.В.Харламова [2]: ω(t) = ωξ(t)э1 + ωη(t)э2 + ωζ(t)э3, (4) 27 Г.В. Горр где ωξ(t) = ωρ(t) cosα(t), ωη(t) = ωρ(t) sinα(t), (5) ωζ(t) = ω1(t)ν1(t) + ω2(t)ν2(t) + ω3(t)ν3(t), (6) ω2 ρ(t) = ω2 1(t) + ω2 2(t) + ω2 3(t)− ω2 ζ (t), (7) α(t) = t ∫ t0 1 ω2 ρ(t) [ ω̇1(t) ( ν2(t)ω3(t)− ν3(t)ω2(t) ) + +ω̇2(t) ( ν3(t)ω1(t)− ν1(t)ω3(t) ) + ω̇3(t) ( ν1(t)ω2(t)− ν2(t)ω1(t) )] dt. (8) На рис. 1 изображены подвижный и неподвижный годографы вектора угло- вой скорости ω. Из равенства абсолютной и относительной производной этого вектора следует dω(t) = d′ω(t). Это означает, что длины годографов s и s′ равны, т.е. ^ Ω0Ω ∗ =^ Ω′ 0 Ω∗. Здесь Ω0 – начальная точка (при t = t0) на неподвижном годографе, Ω′ 0 – начальная точка (при t = t0) на подви- жном годографе, Ω∗ – точка касания годографов в момент t. Из указанных свойств и следует теорема Л.Пуансо о представлении движения тела каче- нием без скольжения подвижного годографа вектора угловой скорости по неподвижному. Рис. 1. Как уже было отмечено выше, применение уравнений (3)–(8) позволило накопить обширную информацию о свойствах движения тела в различных задачах динамики [3–6], в том числе и в задачах, обобщающих классическую. Покажем, что открывается определенная перспектива в обобщении истол- кования Л.Пуансо [1], основанная на уравнениях П.В.Харламова [2]. Следуя [2], введем в рассмотрение вектор b(t) = b(t)ω(t), (b(t) > 0). (9) 28 Об одном подходе в применении теоремы Пуансо На рис. 1 указаны подвижный и неподвижный годографы вектора b(t). Оче- видно, что, как и в случае годографов угловой скорости, подвижный и не- подвижный годографы вектора b(t) имеют общую касательную и в силу db(t)ω(t) = d′b(t)ω(t) длины дуг, описанных за одинаковый промежуток вре- мени концом вектора b на подвижном и неподвижном годографе, равны. Следовательно, за основу кинематического истолкования можно взять годо- графы вектора b(t) и движение тела, имеющего неподвижную точку, пред- ставить качением без скольжения подвижного годографа вектора b(t) по не- подвижному. При этом вращать тело необходимо с угловой скоростью ω2(t) = ω2 1(t) + ω2 2(t) + ω2 3(t). (10) Это обстоятельство можно учесть на заключительном этапе кинематического истолкования, т.е. при качении годографов. При этом функция b(t) – произвольная дифференцируемая функция. Покажем, что функцию b(t) можно выбрать так, чтобы неподвижный го- дограф вектора b(t) находился в некоторой, неподвижной в пространстве, плоскости. Рассмотрим вектор-функцию (4). Предположим, что ωζ(t) не изменяет своего знака при t ∈ [0;∞). Тогда в качестве вектора b(t) можно взять вектор ω(t)/ωζ(t), и из (4) вытекает, что b(t) = ωξ(t) ωζ(t) э1 + ωη(t) ωζ(t) э2 + э3. (11) Следовательно, функция b(t) = 1 ωζ(t) , и подвижный годограф вектора b(t) определим из первой формулы системы (3): b(t) = 1 ωζ(t) (ω1(t)i1 + ω2(t)i2 + ω3(t)i3). (12) Из (11) получаем, что неподвижный годограф лежит в плоскости ζ = 1. Поскольку касательные векторы к b(t) тоже лежат в этой плоскости, то дви- жение тела можно представить качением без скольжения кривой (12) по пло- ской кривой (11). Таким образом получили некоторый аналог теоремы Л.Пуансо о представлении движения свободного тела. Как показано ниже, выбор вектора b(t) зависит от свойств вектор- функции (4). Например, если одна из функций ωξ(t), ωη(t) не обращается в нуль, то в качестве функции b(t) можно выбрать или 1 ωξ(t) , или 1 ωη(t) . В случае, если для вектор-функции (4) невозможно найти линейную ком- бинацию компонент вектора ω, которая не обращается в нуль (например, если неподвижный годограф содержит начало координат), то можно движение те- ла разбить на некоторые классы, в которых b(t) 6= 0, а затем объединить их в итоговый результат истолкования. 29 Г.В. Горр 2. Решение В.А.Стеклова [12] (см. [5]). Это решение уравнений (1) получено при условиях e3 = e2 = 0 и имеет вид A3 −A2 A1 ω2 2 = A1 −A3 2A2 −A1 ω2 1 + 2A3 −A1 (A1 −A2)(A1 −A3) H, A2 −A3 A1 ω2 3 = A1 −A2 2A3 −A1 ω2 1 + 2A2 −A1 (A1 −A2)(A1 −A3) H, ν1Γ = A1(A1 −A2)(A1 −A3) (2A2 −A1)(2A3 −A1) ω2 1 +H, ν2Γ = (A1 −A2)(A1 −A3) (2A3 −A1) ω1ω2, ν3Γ = (A1 −A2)(A1 −A3) 2A2 −A1 ω1ω3, ω̇1 = A2 −A3 A1 ω1ω3, (13) где H = ±Γ, Ai – главные моменты инерции тела. Для примера рассмотрим случай H = −Γ. Следуя [5], запишем решение Стеклова (13) в виде ω1 = p10cnκt, ω2 = −p20snκt, ω3 = p30dnκt, (14) где p10 = √ (1− 2c)(2b − 1) (1− c)2(b− 1) , p20 = √ 1− 2c (1− c)(b − 1)(b − c) , p30 = √ 2b− 1 (1− c)2(b− 1) , κ = √ b− c (1− c)(b− 1) , k = √ b− 1 b− c , b = A2 A1 , c = A3 A1 . (15) Следовательно, решение Стеклова выражается эллиптическими функциями Якоби (14), в которых модуль эллиптических функций имеет значение из (15). Величины p10, p20, p30 из (15) характеризуют вид подвижного годогра- фа. Формулы (14) записаны для безразмерных значений компонент вектора угловой скорости, безразмерного времени t и безразмерных параметров b, c. Неподвижный годограф вектора угловой скорости выражается по форму- лам (5)–(8) (см. [5]): ωξ(t) = p30dnκt, ωη(t) = p20snκt, ωζ(t) = −p10cnκt. (16) В силу соотношений (16) вектор b(t) выберем так: b(t) = 1 dnκt ω. Тогда по- движный и неподвижный годографы вектора b(t) задаются формулами b(t) = p10cnκt dnκt i1 − p20snκt dnκt i2 + p30i3, (17) 30 Об одном подходе в применении теоремы Пуансо b(t) = p30э1 + p20snκt dnκt э2 − p10cnκt dnκt э3. (18) Из формул (17), (18) следует, что движение тела в случае Стеклова можно представить качением без скольжения плоской кривой (17) по плоской кривой (18). При этом эти кривые симметричны относительно касательной к ним плоскости и являются эллипсами. 3. Решение А.И.Докшевича при условиях Гесса [13]. Запишем уравнения (1), используя в качестве переменных компоненты момента ко- личества движения x = Aω = (x, y, z) и компоненты вектора ν : ν1, ν2, ν3. Гирационный тензор A−1 примем в виде A−1 =   a b1 0 b1 a1 0 0 0 a1   (19) и предположим, что центр масс лежит на первой координатной оси. Для записи уравнений движения используем безразмерные переменные x′, y′, z′; безразмерное время t′ и безразмерные параметры a′, a′ 1 x = x′ √ Γ b1 , y = y′ √ Γ b1 , z = z′ √ Γ b1 , t = 1√ Γb1 t′, a′ = a b1 , a′1 = a1 b1 . Опуская штрихи, из (1), (2), (19) имеем [15] ẋ = −xz, ẏ = (a− a1)xz + yz − ν3, ż = −(a− a1)zy + x2 − y2 + ν2, ν̇1 = a1zν2 − (a1y + x)ν3, ν̇2 = ν3(ax+ y)− a1zν1, ν̇3 = ν1(a1y + x)− ν2(ax+ y), (20) ν21+ν 2 2+ν 2 3 = 1, xν1+yν2+zν3 = k, ax2+a1(y 2+z2)+2xy−2ν1 = 2E. (21) Как показано в [13], уравнения (20), (21) допускают решение y = −c2 1 x+ c2 2 x−1, z2 = m2 0 −m2 1 x2 −m2 2 x−2, ẋ = −xz, ν1 = −1 + s2x2, ν2 = −a1 + s2 1 x2, ν3 = −s2 2 xz, (22) где 3c2 1 = 2a− a1 + √ a2 − aa1 + a2 1 + 3, c2 2 = a1 s2 2 , s22 = 2c21 − a+ a1, s2 = s2 2 4 + a2 1 (3a1c 2 1 − aa1 − 2), s21 = s2 2 4 + a2 1 [ (a21 − 2)c21 + 2a− a1 ] , m2 0 = 2 s2 2 (4 + a2 1 ) [ a1(1 + a21)c 2 1 + aa1 − a21 − 2 ] , m2 1 = 1 4 + a2 1 [ (a− c21) 2 + (1− a1c 2 1) 2 ] , m2 = a21/s 4 2. (23) 31 Г.В. Горр Зависимость переменной x от t найдем из третьего дифференциального уравнения системы (22) x = x∗dn(ρt, k), ρ = x∗\|m1\|, k = 1 x∗ √ x∗2 − x2 ∗ , (24) где x∗ = 1 \|m1\| √ 2 ( m2 0 − √ m4 0 − 4m2 1 m2 2 ) , x∗ = 1 \|m1\| √ 2 ( m2 0 + √ m4 0 − 4m2 1 m2 2 ) . Компоненты ωi угловой скорости в силу (19) и введенных выше безраз- мерных переменных и параметров определяются соотношениями ω1 = ax+ y, ω2 = a1y + x, ω3 = a1z, (25) где x, y, z имеют значения из (22). Тогда подвижный годограф на основании (24), (25) имеет вид [15] ω = 1 x∗dn(ρt, k) [ L1(t)i1 + L2(t)i2 + L3(t)i3 ] , L1(t) = (a− c2 1 )x∗2dn2(ρt, k) + c2 2 , L2(t) = (1− a1c 2 1 )x∗2dn2(ρt, k) + a1c 2 2 , L3(t) = a1x ∗2\|m1\|k2sn(ρt, k)cn(ρt, k), (26) где k – модуль эллиптической функции, входящей в равенство (24). Значения параметров вектор-функции (26) указаны в (23). Запишем неподвижный годограф [15] ω = κ3 [ x∗cn(ρt, k)э1 + x∗sn(ρt, k)э2 ] + M(t) x∗dn(ρt, k) э3, M(t) = κ 2 1 x∗2dn2(ρt, k) − κ 2 2 , (27) где κ1,κ2,κ3 – параметры: κ 2 1 = c21 − a+ a1s 2 s2 2 , κ 2 2 = a1 s2 2 , κ3 = s22 √ m4 0 − 4m2 1 m2 2 . В качестве функции b(t) выберем функцию 1 ωζ . Тогда в силу (27) неподви- жный годограф вектора b(t) такой b(t) = κ2x ∗M−1(t)dn(ρt, k) [ x∗cn(ρt, k)э1 + x∗sn(ρt, k)э2 ] + э3. (28) Запишем на основании выбранной функции b(t) уравнение подвижного годографа вектора b(t). Используя (26), имеем b(t) =M−1(t) [ L1(t)i1 + L2(t)i2 + L3(t)i3 ] . (29) 32 Об одном подходе в применении теоремы Пуансо Покажем, что подвижный годограф вектора b(t) из (29) является плоской кривой. Коэффициенты при i1, i2 в формуле (29) обозначим через b1, b2, а (x∗)2dn2(ρt, k) – через u. Составим линейную комбинацию α1b1 + α2b2 = α0, где αi (i = 0, 2) – параметры α1[(a− c21)u+ c22] + α2[(1− a1c 2 1)u+ a1c 2 2] = α0(κ 2 1u+ a1c 2 2). Требуя, чтобы данное равенство было тождеством по u, в силу (26) полу- чим α0 = −α1 − a1α2, α1 = −α2 a1 [ a1 + (1− aa1)(4 + a2 1 ) 3a1c21 − aa1 − 2 ] . Таким образом, подвижный годограф (29) является плоской замкнутой кри- вой, расположенной в плоскости α1b1 + α2b2 = α0. 4. Прецессионно-изоконические движения. Рассмотрим первый класс прецессионно-изоконических движений общего вида [14]. Предполо- жим, что для углов Эйлера θ, ϕ, ψ выполняются условия θ = θ0, ψ̇ = ϕ̇. Тогда подвижный и неподвижный годографы вектора угловой скорости таковы ω = ϕ̇ [ sin θ0 sinϕ i1 + sin θ0 cosϕ i2 + (1 + cos θ0) i3 ] , (30) ω = ϕ̇ [ sin θ0 sinϕ э1 − sin θ0 cosϕ э2 + (1 + cos θ0) э3 ] . (31) Считаем ϕ̇(t) > 0. Введем вектор b = 1 ϕ̇ ω, тогда в силу (30), (31) b(t) = sin θ0 sinϕ i1 + sin θ0 cosϕ i2 + (1 + cos θ0) i3, b(t) = sin θ0 sinϕ э1 − sin θ0 cosϕ э2 + (1 + cos θ0) э3. (32) Неподвижный годограф вектора b(t) из (32) является окружностью и рас- положен в плоскости (1 + cos θ0), подвижный годограф вектора b(t) из (32) также является окружностью с тем же радиусом и расположен в плоскости (1+cos θ0). То есть движение тела можно получить качением одной окружно- сти по другой, симметричной данной относительно касательной плоскости. При этом необходимо учитывать значение величины ϕ̇, определяющей вели- чину угловой скорости и направление обкатывания годографов. В представ- лении движения данным способом наблюдается определенный аналог движе- ния регулярной прецессии [14]. Изучим прецессионно-изоконические движения тела второго класса [14] θ = θ0, ψ̇ = ϕ̇N−1(ϕ), N(ϕ) = b0 + c0 sinϕ, (33) где b0, c0 – параметры: b2 0 = 1+ c2 0 . Подвижный годограф с учетом (33) запи- шем так ω = ϕ̇N−1(ϕ) [ a′0 sinϕ i1 + a′0 cosϕ i2 + (a0 +N(ϕ)) i3 ] , (34) 33 Г.В. Горр а неподвижный – в виде ω = ϕ̇ { a′0 sinψ э1 − a′0 cosψ э2 + [ 1 + a0N(ϕ) ] N−1(ϕ) э3 } . (35) Пусть a0b0 + 1 + a0c0 sinϕ 6= 0. В качестве функции b(t) примем функцию b(t) = N(ϕ) [ ϕ̇(1 + a0N(ϕ)) ] −1 . (36) Тогда из (34)–(36) имеем b(t) = [1 + a0N(ϕ)]−1 [ a′0 sinϕ i1 + a′0 cosϕ i2 + (a0 +N(ϕ)) i3 ] , (37) b(t) = N(ϕ)[1 + a0N(ϕ)]−1 [ a′0 sinψ э1 − a′0 cosψ э2 ] + э3, (38) где a0 = cos θ0, a′ 0 = sin θ0. Очевидно, вектор-функция (38) задает плоскую кривую. Покажем, что кривая, задаваемая вектор-функцией (37), также является плоской. Составим линейную комбинацию α1a ′ 0 sinϕ− α2a ′ 0 cosϕ+ α3(a0 +N(ϕ)) = α0(1 + a0N(ϕ)). Требуя, чтобы данное равенство было тождеством по ϕ, получим α2 = 0, α0 = − α1 a0a′0c 2 0 (a′0 2 c0 + a0b0c0), α3 = −(1 + a0b0) a′ 0 c0 α1. Следовательно, подвижный годограф лежит в плоскости α1b1 + α3b3 = α0. Движение тела можно представить качением без скольжения двух плоских кривых (37), (38). При этом для сохранения направления качения параметры в формуле (36) необходимо выбрать так, чтобы функция b(t) была положи- тельной. Во всех рассмотренных случаях годографы вектора b(t) являются пло- скими кривыми, что в значительной степени усиливает наглядность в пред- ставлении движения. Поскольку построение годографов векторов ω(t) и b(t) основано на при- менении формулы (8), то представляет интерес ее другое представление α(t) = α0 + ε0arctg (ω × ν) · (ν × i3) (ω × ν) · i3 + t ∫ t0 (ω × i3) · (ν × i3) (ν × i3)2 dt, (39) где ε0 = 0, если ν · i3 = const и ε0 = 1, если ν · i3 6= const. Эквивалентность формул (8) и (39) можно доказать с помощью углов Эйлера. В отличие от (8), в формулу (39) не входит производная от угловой скорости. 34 Об одном подходе в применении теоремы Пуансо Заключение. При применении многих методов кинематического истол- кования движения тела (метода апекса, метода годографов и других методов) отсутствует визуальное представление о геометрии тела. Поэтому выбор ме- тода исследования кинематических свойств движения тела может быть доста- точно широким, в частности, основываться на произвольных геометрических объектах, связанных с телом. В данной статье предложен модифицированный подход в истолковании движения тела, имеющего неподвижную точку, который использует теоре- му Пуансо. Показано, что движение тела можно представить качением без скольжения подвижного годографа вектора, коллинеарного вектору угловой скорости тела, по неподвижному годографу этого вектора, лежащему в неко- торой плоскости в пространстве. Этот подход является некоторым аналогом истолкования Л.Пуансо движения свободного твердого тела. В работе [11] при исследовании движения тела в случае Гесса для направляющей непо- движного аксоида использована также плоская кривая. Предлагаемый метод является перспективным для геометрических исследований. Действительно, нетрудно показать, что в качестве подвижного годографа вектора b(t) мо- жно выбрать либо плоскую кривую, либо кривую, лежащую на эллипсоиде инерции, на сфере, либо на другой (характерной для изучаемой задачи) по- верхности. Для указанных классов подвижного годографа на основе уравне- ний П.В.Харламова нетрудно указать и уравнения неподвижных годографов рассматриваемого вектора, что позволит получить кинематическое истолко- вание движения тела. Аналогичный способ можно применить и в выборе не- подвижного годографа вектора b(t) . Автор выражает благодарность академику А.М.Ковалеву за обсуждение результатов работы. 1. Poinsot L. Théorie nouvelle de la rotation des corps // J. Math. Pures et Appl. – 1851. – Bd. 1, № 16. – P. 289-336. 2. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподви- жную точку // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 3. – С. 158–159. 3. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1965. – 221 с. 4. Горр Г.В., Кудряшова Л.В., Степанова Л.А. Классические задачи динамики твердого тела. – К.: Наук. думка, 1978. – 294 с. 5. Харламова Е.И., Мозалевская Г.В. Интегродифференциальное уравнение динамики твердого тела. – К.: Наук. думка, 1986. – 296 с. 6. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – Донецк: ДонНУ, 2010. – 364 с. 7. Жуковский Н.Е. О значении геометрического истолкования в теоретической механике // Собр. соч.: в 7 т. – М.;Л.: Гостехиздат, 1950. – Т. 7. – С. 9-15. 8. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido pesante asimmetrico // Ann. mat. pura et appl. – 1947. – S. 4. – 24, f. 3–4. – P. 271-281. 9. Hess W. Über die Euler’schen Bewegungsgleichungen und über eine neue partikuläre Losung des Problems der Bewegung eines starren schweren Körpers um einen festen Punkt // Math. Ann. – 1890. – B. 37, H. 2. – S. 153-181. 10. Ковалев А.М. О движении тела в случае Гесса // Механика твердого тела. – 1969. – Вып. 1. – С. 12-27. 35 Г.В. Горр 11. Гашененко И.Н. Кинематическое представление по Пуансо движения тела в случае Гесса // Там же. – 2010. – Вып. 40. – С. 12-20. 12. Стеклов В.А. Новое частное решение дифференциальных уравнений движения тя- желого твердого тела, имеющего неподвижную точку // Тр. отд-ния физ. наук О-ва любителей естествознания. – 1899. – 10, № 1. – С. 1-3. 13. Докшевич А.И. Решения в конечном виде уравнений Эйлера–Пуассона. – К.: Наук. думка, 1992. – 168 с. 14. Горр Г.В., Мазнев А.В., Щетинина Е.К. Прецессионные движения в динамике твер- дого тела и в динамике систем связанных твердых тел. – Донецк: ДонНУ, 2009. – 222 с. 15. Горр Г.В. Методы исследования движений твердого тела и их приложение в класси- фикации движений // Механика твердого тела. – 1982. – Вып. 14. – С. 54–74. G.V.Gorr About one approach to the application of Poinsot theorem of kinematic interpretation of the motion of a body with a fixed point The approach in the interpretation of the motion of a body with a fixed point which is based on a Poinsot theorem is proposed. It is shown that the body motion can be presented by woobling without sliding of the mobile hodograph of vector which is collinear to the vector of the angular velocity of a body, on the immobile hodograph of this vector which lies in some plane in the space. Keywords: Poinsot theorem, P.V.Kharlamov kinematics equations, kinematic interpretation. Г.В. Горр Про один пiдхiд у застосуваннi теореми Пуансо кiнематичного тлумачення руху тiла з нерухомою точкою Запропоновано пiдхiд у тлумаченнi руху тiла, що має нерухому точку, заснований на тео- ремi Пуансо. Показано, що рух тiла можна представити коченням без ковзання рухомого годографа вектора, колiнеарного вектору кутової швидкостi тiла, по нерухомому годографi цього вектора, що лежить у деякiй площинi у просторi. Ключовi слова: теорема Пуансо, кiнематичнi рiвняння П.В.Харламова, кiнематичне тлумачення. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк applmech@iamm.ac.donetsk.ua Получено 20.06.12 36

Об одном подходе в применении теоремы Пуансо кинематического истолкования движения тела с неподвижной точкой

Репозитарії

Схожі ресурси