Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья
Представлено полное исследование множества равномерных вращений гиростата в случае интегрируемости Ковалевской– Яхья. Введено понятие классов эквивалентности относительно определяющих параметров, построено разделяющее множество. Для каждого класса вычислен тип особенности как тип неподвижной точки в...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72596 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 46-60. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-72596 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-725962014-12-27T03:01:23Z Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья Харламов, М.П. Представлено полное исследование множества равномерных вращений гиростата в случае интегрируемости Ковалевской– Яхья. Введено понятие классов эквивалентности относительно определяющих параметров, построено разделяющее множество. Для каждого класса вычислен тип особенности как тип неподвижной точки в приведенной системе, получен характер устойчивости, указана структура локального слоения Лиувилля. Подано повне дослiдження множини рiвномiрних обертань гiростата у випадку iнтегровностi Ковалевської –Яхья. Введено поняття класiв еквiвалентностi вiдносно визначальних параметрiв, побудовано роздiляючу множину. Для кожного класу обчислено тип особливостi як тип нерухомої точки у зведенiй системi, отримано детальний характер стiйкостi, указано структуру локального шарування Лiувiлля. The complete investigation of the permanent rotations of a gyrostat in the integrable case of Kowalevski –Yehia is presented. The notion of equivalence classes is given with respect to the defining parameters, the separating set is constructed. For each class the type of a singularity is calculated as the type of a fixed point in the reduced system. The detailed character of stability is obtained, and the structure of local Liouville foliation is shown. 2012 Article Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 46-60. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72596 531.38+517.938.5 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Представлено полное исследование множества равномерных вращений гиростата в случае интегрируемости Ковалевской– Яхья. Введено понятие классов эквивалентности относительно определяющих параметров, построено разделяющее множество. Для каждого класса вычислен тип особенности как тип неподвижной точки в приведенной системе, получен характер устойчивости, указана структура локального слоения Лиувилля. |
| format |
Article |
| author |
Харламов, М.П. |
| spellingShingle |
Харламов, М.П. Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья Механика твердого тела |
| author_facet |
Харламов, М.П. |
| author_sort |
Харламов, М.П. |
| title |
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_short |
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_full |
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_fullStr |
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_full_unstemmed |
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья |
| title_sort |
аналитическая классификация равномерных вращений гиростата ковалевской–яхья |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72596 |
| citation_txt |
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской–Яхья / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 46-60. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT harlamovmp analitičeskaâklassifikaciâravnomernyhvraŝenijgirostatakovalevskojâhʹâ |
| first_indexed |
2025-07-05T21:21:44Z |
| last_indexed |
2025-07-05T21:21:44Z |
| _version_ |
1836843537067409408 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.38+517.938.5
c©2012. М.П. Харламов
АНАЛИТИЧЕСКАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ РАВНОМЕРНЫХ
ВРАЩЕНИЙ ГИРОСТАТА КОВАЛЕВСКОЙ –ЯХЬЯ
Представлено полное исследование множества равномерных вращений гиростата в случае
интегрируемости Ковалевской –Яхья. Введено понятие классов эквивалентности относи-
тельно определяющих параметров, построено разделяющее множество. Для каждого клас-
са вычислен тип особенности как тип неподвижной точки в приведенной системе, получен
характер устойчивости, указана структура локального слоения Лиувилля.
Ключевые слова: гиростат Ковалевской –Яхья, равномерные вращения, устойчивость,
круговая молекула.
Введение. Движение гиростата Ковалевской–Яхья описывается урав-
нениями
2ω̇1 = ω2(ω3 − λ), 2ω̇2 = −ω1(ω3 − λ)− α3, ω̇3 = α2,
α̇1 = α2ω3 − α3ω2, α̇2 = α3ω1 − α1ω3, α̇3 = α1ω2 − α2ω1.
(1)
Здесь ω – угловая скорость, α – вектор силового поля, λ > 0 – гироста-
тический момент. Фазовое пространство P 5 = R
3
ω×S2
α определено в R
6 гео-
метрическим интегралом Γ = α
2, постоянная которого принимается равной
единице. Первые интегралы системы таковы
H = ω2
1 + ω2
2 +
1
2
ω2
3 − α1, L = ω1α1 + ω2α2 +
1
2
(ω3 + λ)α3,
K = (ω2
1 − ω2
2 + α1)
2 + (2ω1ω2 + α2)
2 + 2λ[(ω3 − λ)(ω2
1 + ω2
2) + 2ω1α3].
Интеграл K указан в работе [1]. Система (1) имеет гамильтонову форму
ẋ = {H,x} относительно скобки Ли–Пуассона на пространстве R
6(ω,α).
Функции Γ и L являются аннуляторами скобки, поэтому на любом их совме-
стном уровне P 4
` = {Γ = 1, L = `} возникает гамильтонова система с двумя
степенями свободы (приведенная система).
Аналитическому и топологическому исследованию системы (1) посвящено
много работ. Основные из них указаны, например, в библиографии статьи [2].
Однако до сих пор нет строгой и полной классификации такого важного типа
движений гиростата Ковалевской –Яхья, как равномерные вращения.
Известно, что в поле силы тяжести равномерные вращения (движения
с постоянной угловой скоростью) возможны только вокруг вертикали, по-
этому соответствующие значения пары (ω,α) являются неподвижными то-
чками системы (1) и “положениями равновесия” в приведенных системах. В
силу этого равномерные вращения называют также относительными равно-
весиями. Ниже относительным равновесием называется именно неподвижная
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00043).
46
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской –Яхья
точка системы (1), а под характером устойчивости равномерного вращения
понимается характер устойчивости соответствующей неподвижной точки в
содержащей ее приведенной системе на P 4
` .
Равномерными вращениями гиростатов различных конфигураций зани-
мались многие авторы. Вероятно, наиболее полное изложение истории вопро-
са можно найти в [3]. Некоторая информация об устойчивости относительных
равновесий в случае Ковалевской –Яхья может быть получена из работы [4],
где, в частности, приведены условия существования движений, асимптоти-
ческих к семейству периодических траекторий, включающих и все относи-
тельные равновесия как точки бифуркации. Вопрос существования асимпто-
тических движений для этого же семейства изучался в работе [5], но полу-
ченные в [5] условия сразу же следуют из результатов [4]. Однако в задаче
классификации неподвижных точек интегрируемой системы информация о
наличии или отсутствии асимптотических движений является недостаточной
для строгого описания характера устойчивости. Гораздо более точными ха-
рактеристиками являются тип неподвижной точки и ее круговая молекула.
Тип точки полностью определяет детальное свойство устойчивости (количе-
ство переменных, по которым неподвижная точка устойчива или неустой-
чива, и соответствующие направления в фазовом пространстве), а круговая
молекула описывает топологию системы в окрестности неподвижной точки с
точностью до изоморфизма слоения на интегральные многообразия.
Цель настоящей работы – в терминах подходящих параметров определить
понятие класса эквивалентности относительных равновесий гиростата Кова-
левской –Яхья, указать все разделяющие значения параметров, для каждого
класса указать тип относительного равновесия как особой точки интегрируе-
мой гамильтоновой системы, характер устойчивости, топологию совместного
уровня первых интегралов, содержащего относительное равновесие, и возни-
кающее в его окрестности слоение интегральных многообразий.
1. Множество относительных равновесий. Множество точек (ω,α)
в P 5, отвечающих равномерным вращениям, т.е. множество относительных
равновесий всех приведенных систем, обозначим через R. Локально множе-
ство R параметризовано значением ` интеграла площадей (для приведенных
систем относительные равновесия – это критические точки ранга 0). В то же
время, на каждом P 4
` имеется конечное число точек R, существенно меняю-
щееся с изменением `, поэтому аналитические выражения в зависимости от
` плохо подходят для исследований.
Известно, хотя специально это нигде не отмечено, что все равномерные
вращения в случае Ковалевской –Яхья содержатся в семействе траекторий,
отвечающем решению, найденному П.В.Харламовым в работе [6]. Это реше-
ние обобщает на гиростат с осевой динамической симметрией и произвольным
отношением осевого и экваториального моментов инерции случай интегриру-
емости Бобылева–Стеклова. Если первая ось инерции, как и в уравнениях (1),
выбрана в направлении центра масс, а последний лежит в экваториальной
плоскости, то соответствующее фазовое пространство задано системой инва-
риантных соотношений {ω2 = 0, ω̇2 = 0}. В принятых здесь обозначениях
47
М.П. Харламов
явные формулы решения [6, § 5.4] имеют вид
ω1 = p0, ω2 = 0, ω3 = r,
α1 = p20 +
1
2
r2 − h, α2 = f(r), α3 = −p0(r − λ),
(2)
где h – произвольная постоянная интеграла энергии, p0 – свободный пара-
метр, r – независимая переменная, подчиненная уравнению ṙ = f(r), и
f2(r) = −1
4
r4 − (2p20 − h)r2 + 2λp20r + 1− (p20 − h)2 − p20λ
2.
Относительное равновесие получим, если величина r постоянна и равна кра-
тному корню многочлена f2(r). Тогда
ω1 = ±V, ω2 = 0, ω3 = r,
α1 =
1
2
[r(r − λ)− d], α2 = 0, α3 = ∓(r − λ)V,
(3)
где
d2 = r2(r − λ)2 + 4, V =
√
r
2
[
−r +
1
r − λ
d
]
> 0.
Знаки ω1, α3 согласованы (оба верхние или оба нижние). Изучая кривые пе-
ресечения бифуркационных поверхностей, И.Н. Гашененко [7] указал область
изменения константы r, рассматриваемой как единственный свободный пара-
метр, правило выбора знака d, а также явные выражения первых интегралов.
Эти результаты непосредственно применимы к относительным равновесиям.
Предложение 1 [7]. Для относительных равновесий параметр r пробе-
гает множество
r ∈ (−∞, 0] ∪ [0, λ) ∪ (λ,+∞), (4)
знак d совпадает со знаком r(r − λ) при r 6= 0 и произволен при r = 0, а
значения первых интегралов таковы
` = ∓1
2
[λ(r − λ) + d]V, h = −1
2
r(r − λ) +
2r − λ
2(r − λ)
d,
k =
λ
4(r − λ)2
[r(r − λ)− d][r(r − λ)(4r − 3λ)− λd].
Из (3), (4) сразу же следует, что множество R имеет ровно четыре свя-
зных компоненты, гомеоморфных вещественной прямой при фиксированном
λ > 0. В соответствии с промежутками изменения r введем обозначения для
подмножеств в R, определяемых формулами (3):
R1 : r ∈ [0, λ), d < 0, lim
r→+0
d = −2,
R2 : r ∈ (−∞, 0], d > 0, lim
r→−0
d = 2,
R3 : r ∈ (λ,+∞), d > 0.
(5)
48
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской –Яхья
Первые два множества связны, последнее состоит из двух компонент, отли-
чающихся знаком ω1. В R1 и R2 каждому значению r 6= 0 отвечают ровно
две точки. В R1 значению r = 0 отвечает точка ω = 0, α = {1, 0, 0} нижнего
(абсолютного) положения равновесия тела. Для дальнейшего обозначим ее в
соответствии со стремлением r к нулю справа через c+. В R2 нулевое значение
r приводит к точке ω = 0, α = {−1, 0, 0} верхнего (абсолютного) положения
равновесия. Обозначим ее через c−. На множествах (5) определена очеви-
дная симметрия τ : (ω1, α3) 7→ (−ω1,−α3), которая меняет знак постоянной
площадей `, связные множества R1, R2 переводит в себя, а в множестве R3
меняет местами связные компоненты. Устройство семейства множеств R(λ)
проиллюстрировано на рис. 1.
Рис. 1. Поверхности относительных равновесий.
Параметр λ обычно трактуется как физический. Однако гиростат – это
система с четырьмя степенями свободы (тело плюс ротор), в которой λ есть
константа циклического интеграла, а уравнения Эйлера –Пуассона описыва-
ют систему, полученную понижением порядка. Поэтому все исследования
каких-либо свойств системы относительно интегральных постоянных есте-
ственно проводить в расширенном пространстве параметров, включающем
ось значений λ.
Введем следующее понятие. Если {S = S(λ)} – семейство зависящих от
параметра λ множеств в P 5, определим расширенное множество
Λ(S) =
⋃
λ
S(λ)× {λ} ⊂ P 5 × R = {(ω,α, λ) : ω ∈ R
3,α ∈ S2, λ ∈ R}.
Считая λ > 0, случай λ = 0 рассматриваем лишь как предельную во-
зможность там, где это явно оговорено. Как следует из предложения 1, мно-
жество Λ(R) в части λ > 0 гомеоморфно четырем плоскостям и дважды
накрывает область D = {(r, λ) ∈ R
2 : λ > 0, r 6= λ}. Фактически это накрытие
и показано на рис. 1.
Условимся образы множеств Λ(Ri) при отображении на плоскость пара-
49
М.П. Харламов
метров (r, λ) обозначать через δi (i = 1, 2, 3):
δ1 : {(r, λ) : 0 6 r < λ, λ > 0},
δ2 : {(r, λ) : r 6 0, λ > 0},
δ3 : {(r, λ) : r > λ, λ > 0}.
При дополнительной детализации будем снабжать подмножества этих мно-
жеств двойными индексами.
2. Классы эквивалентности и типы относительных равновесий.
Напомним некоторые понятия, связанные с классификацией неподвижных
точек в интегрируемой системе с двумя степенями свободы [8]. Все объекты
предполагаются аналитическими. Система, заданная гамильтонианом F , обо-
значается sgradF и в локальных координатах имеет вид
ẋ = Ω(x)∇F (x), x ∈ R
4. (6)
Здесь Ω – невырожденная кососимметрическая 4×4-матрица, которая опре-
деляется симплектической структурой или, как в случае уравнений Эйлера –
Пуассона, вырожденной скобкой Пуассона на некотором объемлющем про-
странстве.
Пусть x0 – неподвижная точка системы, т.е. ∇F (x0) = 0. Тогда линеари-
зованная система в точке x0 задана матрицей
AF = Ω(x0)DF (x0)
(
DF = ‖ ∂2F
∂xi∂xj
‖
)
.
Хорошо известно, что характеристическое уравнение матрицы AF биквадра-
тное, поэтому его корни либо разбиты на две пары, каждая из которых имеет
вид ±a или ±b i , либо составляют четверку ±a±b i . Пусть detAF 6= 0. Тогда в
первом случае R
4 есть прямая сумма двух инвариантных плоскостей, ограни-
чения на которые линеаризованной системы имеют начало координат седлом
или центром. Во втором случае начало координат в R
4 является фокусной
особенностью. В соответствии с этим говорят, что точка x0 имеет тип “центр-
центр” в случае двух пар мнимых корней, “центр-седло” (или “седло-центр”,
если важно подчеркнуть порядок следования корней) в случае пары мнимых
и пары вещественных корней, “седло-седло” в случае двух пар вещественных
корней, “фокус-фокус” в случае четверки комплексных корней. В интегриру-
емой системе тип точки полностью определяет характер устойчивости: точка
типа “центр-центр” устойчива по всем переменным, точка типа “центр-седло”
по двум переменным устойчива и по двум – неустойчива, остальные – неу-
стойчивы по всем переменным.
Замечание 1. Пусть система (6) изначально задана на некотором
объемлющем пространстве (как, например, R6(ω,α) в случае системы Эйле-
ра –Пуассона), а фактическое фазовое пространство (в нашей задаче – P 4
` )
является совместным уровнем первых интегралов – аннуляторов скобки
50
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской –Яхья
Пуассона (в нашем случае это интегралы Γ и L). Пусть Φ – один из таких
интегралов. Тогда AF∇Φ = 0, и этот интеграл порождает нулевое соб-
ственное значение матрицы AF . Поэтому при вычислении собственных чи-
сел оператора AF (в отличие от вычисления собственных чисел ограничения
оператора DF на подмногообразия совместного уровня) интегралы такого
рода учитывать не нужно, а следует просто отбросить соответствую-
щее количество нулевых корней характеристического многочлена, которые
заведомо существуют. Таким образом, нет необходимости переходить к
каким-либо специальным координатам, отвечающим приведенным систе-
мам, а все вычисления легко проделать в исходных переменных (в нашем
случае – в переменных Эйлера –Пуассона). Говоря далее о собственных зна-
чениях операторов вида AF , вычисленных в переменных Эйлера –Пуассона,
всегда имеем в виду, что два нулевых значения уже отброшены.
Отметим еще одно преимущество перехода от DF к AF – характеристи-
ческое уравнение AF зависит не от самой точки x0, а от значений первых
интегралов в этой точке.
Пусть G – первый интеграл, независимый с F почти всюду в окрестно-
сти точки x0 и такой, что x0 – неподвижная точка для sgradG (последнее
заведомо выполнено, если detDF (x0) 6= 0).
Определение 1 [8]. Неподвижная точка x0 называется невырожденной,
если:
1◦) матрицы AF и AG линейно независимы;
2◦) существует линейная комбинация матриц AF и AG, у которой все че-
тыре собственных значения различны.
Невырожденность позволяет описать топологию интегральных много-
образий в окрестности точки x0 в виде почти прямого произведения атомов
одномерных систем. При этом не запрещается “странная” динамика, в ко-
торой все точки одного из сомножителей могут оказаться неподвижными.
Дополнительное условие detAF 6= 0 гарантировало бы, что неподвижная то-
чка изолирована в четырехмерном фазовом пространстве. Ниже показано,
что в рассматриваемой задаче в невырожденных точках это условие выпол-
няется. Для краткости вырожденную точку x0 назовем сильно вырожденной,
если для нее нарушается условие 1◦ определения 1, и слабо вырожденной в
противном случае. Эти термины не являются стандартными, а из сильной
вырожденности не следует слабая.
Для уравнений Эйлера –Пуассона 2-форма, индуцированная на P 5 сим-
плектической структурой многообразия TSO(3), заведомо вырождена. Вве-
денные понятия необходимо рассматривать с точки зрения систем на P 4
` .
Но, как отмечалось, в явном переходе к этим системам, которые сделали бы
вычисления необозримыми, нет необходимости. Корректно определены скоб-
ки Ли–Пуассона на R
6(ω,α), поэтому поле sgradF , сопоставленное функции
F , определено уравнениями
Ṁ = M× ∂F
∂M
+α× ∂F
∂α
, α̇ = α× ∂F
∂M
. (7)
51
М.П. Харламов
Здесь M = Iω + λ, I = diag{2, 2, 1}, λ = (0, 0, λ).
Вернемся к рассматриваемой системе.
Определение 2. Будем говорить, что точки ξ1, ξ2 ∈ Λ(R) принадлежат
к одному классу, если существует непрерывный путь в Λ(R), соединяющий
ξ1 с ξ2 или ξ1 с τ (ξ2), вдоль которого тип точки не меняется.
Пусть (r, λ) ∈ D. При r 6= 0 и sgn d = sgn r(r− λ) обозначим через ξ±(r, λ)
две точки (3) в P 5. В соответствии с принятыми ранее обозначениями имеем
lim
r→+0
ξ±(r, λ) = c+ ∈ R1, lim
r→−0
ξ±(r, λ) = c− ∈ R2.
Определение 3. Точку (r, λ) назовем разделяющей, если в любой ее
окрестности найдутся образы точек из Λ(R) разных классов.
Обозначим через π луч запрещенных точек {r = λ, λ > 0}, не включенный
в D. Он является разделяющим, если в качестве области изменения параме-
тров рассматривать всю полуплоскость {λ > 0}, т.е. замыкание множества D.
Поскольку ξ1 ∈ R1 и ξ2 ∈ R2 не могут принадлежать одному классу, точки ви-
да (0, λ) всегда являются разделяющими. Обозначим полуось {r = 0, λ > 0}
через π0. Подчеркнем, что точки луча π0 разделяют образы множеств R1 и
R2 при любом λ, но внутри каждого из этих множеств значения r = 0, как
будет ясно ниже, не являются разделяющими за исключением конечного чи-
сла точек вида (0, λ), в которых меняется тип абсолютного равновесия. При
r 6= 0 типы точек ξ±(r, λ) всегда одинаковы, поэтому точка (r, λ) является
разделяющей тогда и только тогда, когда точки ξ±(r, λ) вырождены. Для
исследования свойства вырожденности будем использовать пару функцио-
нально независимых (т.е. независимых почти всюду) первых интегралов H
(гамильтониан) и K (интеграл Ковалевской –Яхья).
Рис. 2. Разделяющее множество и классы относительных
равновесий.
Вычислим характеристический многочлен оператора AH . Для этого ли-
неаризуем уравнения (1) или, что то же самое, уравнения (7) с F = H, после
52
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской –Яхья
чего характеристический многочлен 6×6-матрицы линеаризованной системы
в подстановке (3) сократим на µ2 в соответствии с замечанием 1. Получим
χH(µ) = (µ2 − µ2
1)(µ
2 − µ2
2), где
µ2
1 = −1
4
[(2r − λ)(r − λ)− d],
µ2
2 = − 1
2(r − λ)
[(2r − λ)(r − λ)r + λd].
(8)
Эти величины впервые вычислены в работе [9].
Теорема 1. Точки ξ±(r, λ) вырождены тогда и только тогда, когда то-
чка (r, λ) ∈ D лежит на одной из кривых
π21 : r = λ− 1
λ1/3
, 0 < λ 6 1,
π22 : r = −λ, λ > 0,
π23 : r =
σ4 − 4
2σ3
, λ =
3σ4 − 4
2σ3
, σ ∈ ( 4
√
4/3,
√
2],
π24 : r =
1
2
(
λ−
√
λ2 + 4λ2/3
)
, λ > 0,
π31 : r =
σ4 − 4
2σ3
, λ =
3σ4 − 4
2σ3
, σ ∈ (− 4
√
4/3, 0).
(9)
Первый индекс в обозначении кривой соответствует номеру подмноже-
ства, т.е. кривая πij содержится в соответствующем множестве δi ⊂ D.
Только кривая π21 отвечает точкам сильного вырождения.
Кривые (9) порождают разбиение множества невырожденных относи-
тельных равновесий в Λ(R) на 11 классов в смысле определения 2 – про-
образов областей δ1, δ21– δ28, δ31, δ32 (рис. 2). Классы в прообразах подобла-
стей δ1, δ21, δ26, δ27 связны, остальные имеют по две связных компоненты.
В соответствии с обозначениями подобластей относительные равновесия
имеют следующие характеристики:
• δ1, δ24, δ25, δ28, δ32 – µ2
1 < 0, µ2
2 < 0, тип “центр-центр”, устойчивы по
всем переменным;
• δ27 – µ2
1 < 0, µ2
2 > 0, тип “центр-седло”, по двум переменным устойчи-
вы, по двум – неустойчивы;
• δ23, δ31 – µ2
1 > 0, µ2
2 < 0, тип “седло-центр”, по двум переменным
устойчивы, по двум – неустойчивы;
• δ21, δ22, δ26 – µ2
1 > 0, µ2
2 > 0, тип “седло-седло”, неустойчивы по всем
переменным.
Нетрудно уточнить утверждения об устойчивости, указав соответствую-
щие направления в фазовом пространстве. Ясно, что таких уточнений требу-
ет лишь смешанный тип относительного равновесия, в котором присутству-
ют как “седло”, так и “центр”. Обозначим трехмерное многообразие, задан-
ное уравнениями (2), сотканное из одномерных траекторий (периодических и
53
М.П. Харламов
асимптотических к относительному равновесию), через M1. В точке невыро-
жденного относительного равновесия касательное пространство к M1 есть
сумма прямой, касательной к одномерному семейству относительных равно-
весий, и плоскости, касательной к уровню интеграла площадей в самом M1,
т.е. к пересечению M1 ∩ P 4
` . Дополнение к трехмерному касательному про-
странству многообразия M1 в пятимерном фазовом пространстве P 5 есть
плоскость, и эту плоскость можно выбрать так, что она окажется лежащей
в трехмерном касательном пространстве к другому многообразию M2 ча-
стного решения, найденного в работах [10, 11], а именно, будет касательной
плоскостью к уровню интеграла площадей в M2. За устойчивость относи-
тельно этой последней плоскости отвечает показатель µ2
1 (т.е. он является
“внешним” типом относительного равновесия для инвариантного многообра-
зия M1). Направление прямой (общее для касательных пространств к M1
и M2) является собственным вектором линеаризованной системы с нулевым
собственным значением и не учитывается при описании устойчивости (оно
трансверсально уровню интеграла площадей). За устойчивость по отношению
к направлениям в плоскости, касательной к M1∩P 4
` , отвечает показатель µ2
2.
Таким образом, при µ2
1 > 0, µ2
2 < 0 относительное равновесие устойчиво в M1
и неустойчиво в M2, при µ2
1 < 0, µ2
2 > 0, наоборот, относительное равновесие
неустойчиво в M1 и устойчиво в M2.
Изображенная на рис. 2 кривая `0 в области δ2 задана уравнением
λ(r − λ) + d = 0 (d > 0).
Она отвечает случаю, когда в точках ξ±(r, λ) значение интеграла L равно
нулю, т.е. эти точки попадают на один интегральный уровень. Однако, как
нетрудно установить из соответствующих аналитических решений для тра-
екторий ранга 1, две точки ξ±(r, λ) и в этом случае принадлежат разным
компонентам интегрального многообразия, поэтому ни тип относительного
равновесия, ни топологическая структура связной компоненты его насыщен-
ной окрестности при пересечении кривой `0 не изменяются. В то же время
ниже будет показано различие в глобальной структуре уровня первых инте-
гралов для подобластей в δ27, δ28, обозначение которых снабжено штрихами.
Доказательство теоремы проведем в виде последовательности утвержде-
ний. Обозначим для краткости x0 = ξ±(r, λ) и пусть
B = ν1AH + ν2AK , ν21 + ν22 6= 0. (10)
Если у такой матрицы B все собственные числа различны, то она называется
регулярным элементом (алгебры симплектических операторов [8]). Таким
образом, условие 2◦ в определении невырожденности можно назвать требо-
ванием существования регулярного элемента.
Лемма 1. Точки x0 сильно вырождены тогда и только тогда, когда
(r, λ) ∈ π21.
Доказательство. Сильно вырожденная точка отвечает существованию
нулевой комбинации B. Располагая переменные и, соответственно, элементы
54
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской –Яхья
матриц в порядке ω,α, приравняем к нулю элемент
B12 =
1
2
(r − λ)
[
ν1 − 2ν2λ(Q
2 + λ+ r)
]
= 0 (Q2 =
1
2
[
−r +
1
r − λ
d
]
6= 0).
Отсюда выразим ν1 = 2ν2λ(Q
2 + λ+ r) (ν2 6= 0). Тогда
B = κ
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 −2
√
r 0 0
λ+ r
Q(λ− r)
0
0 −2r
√
r 0 0
r(λ+ r)
Q(λ− r)
0
2r
√
r 0 −λQ − r(λ+ r)
Q(λ− r)
0
2λ
√
r
λ− r
0 2rQ 0 0 −
√
r(λ+ r)
λ− r
0
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
∥
,
где κ = 2ν2(λ − r)Q(Q2 + λ). Очевидно, матрица в правой части ненулевая,
поэтому Q2+λ = 0, что равносильно уравнению 1 + λ(r − λ)3 = 0 с условием
Q2 < 0. Но sgnQ2 = sgn[(r − λ)d] совпадает с sgn r (см. предложение 1). По-
этому из решений уравнения нужно взять только лежащие в δ2, что и дает
первую кривую (9).
В частности, относительные равновесия сильно вырождены над “узловой”
точкой
P0 : r = −2−3/4, λ = 2−3/4,
в которой пересекается пучок разделяющих кривых. Далее для краткости,
говоря о слабой вырожденности над разделяющими кривыми, опускаем есте-
ственную оговорку “за исключением точки P0”.
Лемма 2. Относительные равновесия над кривой π22 слабо вырождены.
При этом detAH 6= 0.
Доказательство. Полагая r = −λ, вычислим характеристический много-
член комбинации (10). Получим
χ(µ) =
[
µ2 +
(Z2 − 2)(ν1Z + ν2)
2Z3
]2
, Z = λ2 +
√
λ4 + 1.
Поэтому в линейной оболочке операторов AH , AK регулярного элемента нет,
нарушено условие 2◦. Случай Z2 = 2 приводит к точке P0. В остальных
точках B 6= 0, даже если ν1Z + ν2 = 0 и все собственные числа равны нулю.
Поэтому имеет место слабая вырожденность.
Положим ν1 = 1, ν2 = 0. Получим для многочлена χH(µ) при λ 6= 2−3/4
µ2
1,2 = −(Z2 − 2)Z
2Z3
6= 0,
55
М.П. Харламов
т.е. второй дифференциал ограничения H на P 4
` в соответствующих точках
невырожден.
Лемма 3. Относительные равновесия над кривыми π23, π24, π31 слабо
вырождены. При этом характеристический многочлен AH имеет два ну-
левых собственных числа.
Доказательство. Характеристический многочлен комбинации (10) имеет
вид
χ(µ) = µ4 − (σ8 + 2σ4 − 8)[−2ν1σ
2 + ν2(σ
4 − 4)]2
8σ10
µ2
при условии (r, λ) ∈ π23∪π31. Полагая Z = λ2/3+
√
4 + λ4/3, в точках кривой
π24 получим
χ(µ) = µ4 +
(Z2 − 8)(4 + Z2){ν2[Z2(Z2 − 8)2 − 64]− 4ν1Z
3}2
512Z7
µ2.
Поэтому χ(µ) при всех ν1, ν2 имеет два нулевых корня, т.е. регулярного эле-
мента нет. В частности, два нулевых собственных числа имеет и сама матрица
AH (естественно, с учетом замечания 1).
Итак, доказана вырожденность относительных равновесий в прообразах
всех кривых, перечисленных в формулировке теоремы 1. Это технически
наиболее сложная часть доказательства теоремы, так как необходимо дока-
зывать несуществование некоторого объекта (регулярного элемента). При-
меры явных доказательств вырожденности в литературе на эту тему авто-
ру неизвестны. Обычно ограничиваются утверждением об областях невыро-
жденности (достаточными условиями). Здесь такое утверждение получить
легко.
Лемма 4. За пределами кривых, перечисленных в теореме 1, относи-
тельные равновесия невырождены. При этом во всех таких точках второй
дифференциал приведенного гамильтониана невырожден.
Доказательство. По лемме 1 сильного вырождения в этой области быть
не может. В качестве возможного регулярного элемента возьмем саму ма-
трицу AH . Она может иметь совпадающие собственные числа лишь в трех
случаях µ2
1 = 0, µ2
2 = 0 или µ2
1 = µ2
2. Первое условие при r 6= 0 дает уравне-
ние (r − λ)(3r − λ) = 4 с условием sgn(2r − λ) = sgn r. Отсюда подстановкой
r = λ−σ получаем параметрические выражения кривых π23, π31. При r = 0 из
µ2
1 = 0 следует λ =
√
2, d = 2 > 0. Это – граничная точка кривой π23. Случай
µ2
2 = 0 сводится к уравнению r(r − λ) = λ2/3, которое при λ > 0 определяет
ровно по одной точке в δ2 (r < 0) и в δ3 (r > λ). В этих областях следует
считать d > 0. Но тогда в области δ3 будет (2r − λ)(r − λ)r = −λr < 0, что не
так. Поэтому допустимым решением здесь является лишь кривая π24.
Вне кривых π23, π31, π24 многочлен χH(µ) не имеет нулевых корней, что,
в частности, означает невырожденность ограничения второго дифференци-
ала функции H на фазовое пространство P 4
` соответствующей приведенной
системы.
56
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской –Яхья
Условие µ2
1 = µ2
2 за пределами кривой π22 дает
(2r − λ)(r − λ) + d = 0.
Выполняя подстановку r = λ− σ, получим то же параметрическое представ-
ление, что и на кривых π23, π31, но при σ >
√
2 и d < 0. Характеристический
многочлен χH(µ) по условию имеет хотя и ненулевые, но попарно совпадаю-
щие собственные числа и задачу о невырожденности не решает. Вычислим,
однако, характеристический многочлен AK :
χK(µ) =
[
µ2 +
(σ4 − 4)2(4 + σ4)
σ14
] [
µ2 +
(σ4 + 4)(3σ8 − 7σ4 + 4)2
σ14
]
.
При σ >
√
2 все его корни различны, поэтому он представляет собой иско-
мый регулярный элемент. В граничной точке σ =
√
2, которая соответствует
нижнему абсолютному равновесию тела c+ при λ =
√
2 (r = 0, d = −2),
многочлен
χK(µ) = (µ2 + 36)µ2
регулярным элементом не является. Однако для комбинации (10) имеем
χ(µ) = (µ2+ν21)
[
µ2 + (ν1 − 6ν2)
2
]
. Поэтому при любых ν1 6= 0, ν2 6= 0 матрица
B есть регулярный элемент и соответствующие точки невырождены.
Доказательство теоремы завершается применением лемм 1 – 4 и непосред-
ственным определением знаков величин (8) в подобластях множества D.
3. Топология интегральных уровней относительных равновесий.
Пусть x – точка невырожденного относительного равновесия, ` = L(x). Рас-
смотрим F` = H×K : P 4
` → R
2 – интегральное отображение приведенной
системы. Обозначим через J(x) полный прообраз точки F`(x) – критическую
интегральную поверхность, а через U(x) – достаточно малую насыщенную
окрестность поверхности J(x), не содержащую относительных равновесий с
другими значениями отображения F`. Поверхность J(x) может состоять из
нескольких связных компонент. Как следует из формул (3), компонента то-
чки x всегда содержит ровно одно относительное равновесие. Одновременно
могут существовать компоненты, содержащие ровно одну критическую окру-
жность. Количество и топология этих компонент устанавливаются по сводке
результатов для критических подсистем, приведенных в работе [12]. Рассма-
тривая точку x в каждой из двух содержащих ее критических подсистем [12],
анализируем информацию по прилегающим областям в образе критической
подсистемы. Эти области порождают дуги бифуркационной диаграммы ото-
бражения F` в окрестности точки x. Структура критического множества в
прообразах этих дуг и перестройки в U(x) при их пересечении находятся по
таблицам из [12]. После этого тип круговых молекул самих относительных
равновесий и лежащих на том же уровне критических периодических трае-
кторий вместе с метками однозначно устанавливается исходя из исчерпываю-
щего описания круговых молекул невырожденных особенностей низкой сло-
жности [8]. Кроме компонент, содержащих критические точки, в J(x) могут
57
М.П. Харламов
входить и регулярные торы, заполненные двояко-периодическими траекто-
риями. Их количество однозначно устанавливается по виду бифуркационной
диаграммы, дополненной указанием атомов на дугах.
Таблица
Класс
точек
Компо-
нент
в прообразе
Особые
траектории
в прообразе
Диаграмма Молекулы
в прообразе
Регул.
торы
δ1 1 pCC 0
δ25 3 pCC ∪ S1
E 1
δ′′
28
, δ32 2 pCC ∪ S1
E 0
δ24, δ
′
28 4 pCC ∪2S1
E 1
δ23, δ
′
27 2 pCS ∪ S1
H 0
δ31, δ
′′
27 1 pCS 0
δ22, δ26 1 pSS 0
δ21 1 pSS 0
Результат топологической классификации приведен в таблице. Для кру-
говых молекул указаны только r-метки с единственной целью – отличить
молекулы относительных равновесий типа “центр-центр” (метка r = 0) от мо-
58
Аналитическая классификация равномерных вращений гиростата Ковалевской –Яхья
лекул лежащих на том же уровне эллиптических периодических траекторий
(метка r = ∞). В действительности же, здесь все метки (включая ε, n-метки)
выставляются автоматически в соответствии с [8].
На фрагментах диаграммы в окрестности относительного равновесия ука-
заны атомы, возникающие на критических окружностях при пересечении дуг
диаграммы. Здесь встречаются лишь атомы типов A,B,A∗, C2. Для несим-
метричных атомов стрелкой указано направление возрастания числа торов.
Само это число в регулярных областях указано в рамке. При описании осо-
бых траекторий (сингулярной компоненты интегрального многообразия) pCC
– это неподвижная точка типа “центр-центр”, pCS – критическое многообра-
зие неподвижной точки типа “центр-седло” – восьмерка, pSS – критическое
многообразие неподвижной точки типа “седло-седло” – две восьмерки с общей
центральной точкой и приклеенные к ним четыре прямоугольника, заполнен-
ных асимптотическими траекториями из регулярных точек (правило склей-
ки полностью определено соответствующей круговой молекулой). Через S1
E
обозначена периодическая траектория эллиптического типа, исчерпывающая
соответствующую связную компоненту, а через S1
H – поверхность периодиче-
ской траектории гиперболического типа, отвечающая атому типа B (прямое
произведение восьмерки на окружность). Полученная классификация по ко-
личеству классов и по виду круговых молекул полного прообраза значения
отображения момента в относительных равновесиях отличается от результа-
тов, представленных недавно в [13]. Ввиду отсутствия в цитируемой работе
точного определения принципа классификации детальное сопоставление ре-
зультатов не проводилось.
Заключение. Сформулируем кратко результаты классификации относи-
тельных равновесий случая Ковалевской –Яхья.
1) В фазовом пространстве P 5 = R
3×S2 при любом λ > 0 множество
относительных равновесий R(λ) однопараметрическое, имеет четыре связных
компоненты. Две из них сохраняются симметрией τ , меняющей знак интегра-
ла площадей, две остальных симметричны друг другу.
2) Объявляя эквивалентными в расширенном множестве ∪λ(R(λ), λ) отно-
сительные равновесия, которые можно перевести друг в друга непрерывным
изменением параметров или симметрией τ с сохранением топологии связной
насыщенной окрестности, получим 11 классов эквивалентности. Разделяю-
щие кривые в пространстве параметров и типы относительных равновесий в
классах определены в теореме 1. Для связных окрестностей относительных
равновесий имеется четыре вида круговых молекул.
3) Требуя сохранение при непрерывном изменении параметров полного
уровня первых интегралов, отвечающего относительному равновесию, при-
ходим к 13 классам. Для таких интегральных многообразий получаем семь
различных сочетаний круговых молекул на одном уровне без учета наличия
регулярных торов, и восемь – с учетом этого наличия (два последних столбца
таблицы).
59
М.П. Харламов
1. Yehia H.M. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Commun. –
1986. – 13, 3. – P. 169–172.
2. Харламов М.П., Харламова И.И., Шведов Е.Г. Бифуркационные диаграммы на изо-
энергетических уровнях гиростата Ковалевской–Яхья // Механика твердого тела. –
2010. – Вып. 40. – С. 77–90.
3. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: Изд-во ДонНУ, 2010. – 365 с.
4. Гашененко И.Н. Новый класс движений тяжелого гиростата // Докл. АН СССР. –
1991. – 318, №1. – С. 66–68.
5. Малаха А.Е. Об одном классе асимптотических движений гиростата Ковалевской //
Механика твердого тела. – 1997. – Вып. 29. – С. 7–10.
6. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Изд-во НГУ, 1965. – 221 с.
7. Гашененко И.Н. Бифуркационное множество задачи о движении гиростата, подчинен-
ного условиям Ковалевской // Механика твердого тела. – 1995. – Вып. 27. – С. 31-35.
8. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия,
топология, классификация // Ижевск: Изд-во РХД. – 1999. – Т. 1. - 444 с.; Т. 2. - 448 с.
9. Рябов П.Е. Аналитическая классификация особенностей интегрируемого случая
Ковалевской–Яхья // Вестн. УдГУ. – 2010. – № 4. – С. 25–30.
10. Харламова Е.И., Харламов П.В. Новое решение дифференциальных уравнений дви-
жения тела, имеющего неподвижную точку, при условиях С.В. Ковалевской // Докл.
АН СССР. – 1969. – 189, №5. – С. 967–968.
11. Харламов П.В. Один случай интегрируемости уравнений движения твердого тела,
имеющего неподвижную точку //Механика твердого тела. – 1971. – Вып. 3. - С.57-64.
12. Харламов М.П., Рябов П.Е. Диаграммы Смейла–Фоменко и грубые инварианты
Ковалевской–Яхья // Вестн. УдГУ. – 2011. – №4. – С. 40–59.
13. Логачева Н.С. Классификация невырожденных положений равновесия и вырожден-
ных одномерных орбит интегрируемой системы Ковалевской–Яхья // Матем. сб. –
2012. – 203, №1. – С. 31–60.
Analytical classification of the permanent rotations
of the Kowalevski – Yehia gyrostat
M.P. Kharlamov
The complete investigation of the permanent rotations of a gyrostat in the integrable case of
Kowalevski – Yehia is presented. The notion of equivalence classes is given with respect to the
defining parameters, the separating set is constructed. For each class the type of a singularity is
calculated as the type of a fixed point in the reduced system. The detailed character of stability
is obtained, and the structure of local Liouville foliation is shown.
Keywords: permanent rotations, type of singularity, stability, loop molecule.
М.П. Харламов
Аналiтична класифiкацiя рiвномiрних обертань
гiростата Ковалевської – Яхья
Подано повне дослiдження множини рiвномiрних обертань гiростата у випадку iнтегров-
ностi Ковалевської – Яхья. Введено поняття класiв еквiвалентностi вiдносно визначальних
параметрiв, побудовано роздiляючу множину. Для кожного класу обчислено тип особли-
востi як тип нерухомої точки у зведенiй системi, отримано детальний характер стiйкостi,
указано структуру локального шарування Лiувiлля.
Ключовi слова: рiвномiрнi обертання, тип особливостi, стiйкiсть, кругова молекула.
Волгоградский филиал РАНХиГС, Россия
mharlamov@vags.ru
Получено 11.08.12
60
|