Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле
В системе с двумя степенями свободы, которая является аналогом 4-го класса Аппельрота для гиростата с условиями типа Ковалевской в двойном поле, решена задача классификации бифуркационных диаграмм. Построено разделяющее множество и дано доказательство его полноты. Представлены все преобразования, им...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72597 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле / П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 61-75. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-72597 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-725972014-12-27T03:01:21Z Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле Рябов, П.Е. Смирнов, Г.Е. Харламов, М.П. В системе с двумя степенями свободы, которая является аналогом 4-го класса Аппельрота для гиростата с условиями типа Ковалевской в двойном поле, решена задача классификации бифуркационных диаграмм. Построено разделяющее множество и дано доказательство его полноты. Представлены все преобразования, имеющие место в диаграммах. Результаты являются необходимым шагом в решении проблемы построения топологических инвариантов для интегрируемой системы Реймана–Семенова-Тян-Шанского с тремя степенями свободы. У системi з двома степенями вiльностi, яка є аналогом 4-го класу Аппельрота для гiростата з умовами типу Ковалевської в подвiйному полi, надано класифiкацiю бiфуркацiйних дiаграм. Побудовано роздiляючу множину i надано доведення її повноти. Подано всi перетворення, що мають мiсце в дiаграмах. Результати є необхiдним кроком у вирiшеннi проблеми побудови топологiчних iнварiантiв для iнтегровної системи Реймана–СеменоваТян-Шанського. For the system with two degrees of freedom, which is an analogue of the 4th Appelrot class for a gyrostat of the Kowalevski type in a double force field the problem of the classification of bifurcation diagrams is solved. The separating set is built and its completeness is proved. All transformations taking place in the diagrams are shown. The results serve as a necessary part of solving the problem of obtaining the topological invariants for the Reyman – Semenov-Tian-Shansky system. 2012 Article Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле / П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 61-75. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72597 531.38+517.938.5 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В системе с двумя степенями свободы, которая является аналогом 4-го класса Аппельрота для гиростата с условиями типа Ковалевской в двойном поле, решена задача классификации бифуркационных диаграмм. Построено разделяющее множество и дано доказательство его полноты. Представлены все преобразования, имеющие место в диаграммах. Результаты являются необходимым шагом в решении проблемы построения топологических инвариантов для интегрируемой системы Реймана–Семенова-Тян-Шанского с тремя степенями свободы. |
| format |
Article |
| author |
Рябов, П.Е. Смирнов, Г.Е. Харламов, М.П. |
| spellingShingle |
Рябов, П.Е. Смирнов, Г.Е. Харламов, М.П. Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле Механика твердого тела |
| author_facet |
Рябов, П.Е. Смирнов, Г.Е. Харламов, М.П. |
| author_sort |
Рябов, П.Е. |
| title |
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле |
| title_short |
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле |
| title_full |
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле |
| title_fullStr |
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле |
| title_full_unstemmed |
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле |
| title_sort |
атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений аппельрота на гиростат в двойном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72597 |
| citation_txt |
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений Аппельрота на гиростат в двойном поле / П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 61-75. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT râbovpe atlasdiagrammobobŝeniâ4goklassaosobozamečatelʹnyhdviženijappelʹrotanagirostatvdvojnompole AT smirnovge atlasdiagrammobobŝeniâ4goklassaosobozamečatelʹnyhdviženijappelʹrotanagirostatvdvojnompole AT harlamovmp atlasdiagrammobobŝeniâ4goklassaosobozamečatelʹnyhdviženijappelʹrotanagirostatvdvojnompole |
| first_indexed |
2025-07-05T21:21:46Z |
| last_indexed |
2025-07-05T21:21:46Z |
| _version_ |
1836843539936313344 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.38+517.938.5
c©2012. П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов
АТЛАС ДИАГРАММ ОБОБЩЕНИЯ 4-ГО КЛАССА
ОСОБО ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫХ ДВИЖЕНИЙ АППЕЛЬРОТА
НА ГИРОСТАТ В ДВОЙНОМ ПОЛЕ
В системе с двумя степенями свободы, которая является аналогом 4-го класса Аппельрота
для гиростата с условиями типа Ковалевской в двойном поле, решена задача классифика-
ции бифуркационных диаграмм. Построено разделяющее множество и дано доказательство
его полноты. Представлены все преобразования, имеющие место в диаграммах. Результа-
ты являются необходимым шагом в решении проблемы построения топологических инва-
риантов для интегрируемой системы Реймана–Семенова-Тян-Шанского с тремя степенями
свободы.
Ключевые слова: гиростат, двойное поле, бифуркационная диаграмма.
Введение. Исследуя вопрос о типах движений волчка С.В.Ковалев-
ской, Г.Г.Аппельрот выделил четыре класса движений, которые он назвал
особо замечательными. В них остается постоянной одна из разделенных пе-
ременных Ковалевской. Как выяснилось позже, классы Аппельрота полно-
стью исчерпывают критическое множество отображения момента и, следо-
вательно, порождают все бифуркации интегральных многообразий. Случай
Ковалевской распространен на гиростат в работах Х.М.Яхья и на гиростат в
двойном поле в работе [1]. При этом первые три класса Аппельрота претер-
пели принципиальные изменения, а последний получил естественное обобще-
ние [2]. Отметим, что 4-й класс Аппельрота является частным случаем клас-
сического решения Бобылева –Стеклова, а его аналог для гиростата в поле
силы тяжести включен в более общее семейство решений, найденное в [3].
Критическое множество отображения момента гиростата с условиями ти-
па Ковалевской в двойном поле состоит из многообразий четной размерно-
сти ниже 6, на которых индуцируются почти всюду гамильтоновы системы с
меньшим числом степеней свободы. Одной из таких критических подсистем
и является обобщение 4-го класса Аппельрота, данное в работе [2]. При отсут-
ствии гиростатического момента (для волчка в двойном поле) соответствую-
щее многообразие указано в [4]. Индуцированная на нем система полностью
исследована в работах [5–7].
Опишем систему, изучаемую в настоящей работе. Рассмотрим гиростат в
двойном поле и обозначим через M и ω векторы кинетического момента и
угловой скорости, так что M = Iω + λ. Далее для аналога случая Ковалев-
ской полагаем I = diag{2, 2, 1}, λ = (0, 0, λ). Пусть α,β – характеристиче-
ские векторы силовых полей, а центры приложения полей лежат в эквато-
риальной плоскости эллипсоида инерции. Без ограничения общности можно
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 10-01-00043).
61
П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов
считать, что радиус-векторы центров приложения составляют ортонормиро-
ванную пару (и, следовательно, могут быть взяты в качестве ортов первых
двух главных осей инерции), а векторы α,β взаимно ортогональны [4]. В
силу последнего, фазовое пространство системы с тремя степенями свободы
задается в R
9(ω,α,β) геометрическими интегралами
α2 = a2, β2 = b2, α · β = 0 (a > b > 0, a2 + b2 6= 0).
В случае a > b > 0 это пространство шестимерно, а в случае a > b > 0 в за-
даче отсутствует циклический интеграл. Рассмотрим функцию
Φ =
M ·α
ω1
− M · β
ω2
и систему инвариантных соотношений {Φ = 0, Φ̇ = 0}. Замыкание множе-
ства точек, заданного этой системой, инвариантно относительно уравнений
движения и является почти всюду четырехмерным многообразием, симпле-
ктическим относительно ограничения исходной симплектической структуры.
По аналогии с работой [2] обозначим это замыкание вместе с индуцирован-
ной на нем (почти) гамильтоновой системой с двумя степенями свободы через
O и будем называть основной системой (для настоящей работы). В [2] ука-
зана связь этой системы с 4-м классом Аппельрота. К настоящему моменту
для основной системы имеются следующие результаты. В работе [8] найдены
все так называемые “особые периодические движения” (далее, сокращенно, –
ОПД), т.е. траектории, состоящие из критических точек интегрального ото-
бражения ранга 1 (среди них есть и непериодические, но асимптотические
к положениям равновесия гиростата). На этих движениях исходная система
интегрируется в эллиптических функциях. Условия вещественности соответ-
ствующих решений (т.е. условия существования ОПД в пространстве параме-
тров) найдены в [9]. В работе [10] в терминах констант пары функционально
независимых интегралов вычислен показатель внешнего типа для всех крити-
ческих точек интегрального отображения, что, в частности, дает локальную
классификацию регулярных точек системы O, рассматриваемых как особен-
ность ранга 2 в системе с тремя степенями свободы. Настоящая публикация
использует результаты и формулы работ [2, 8, 10]. Система O соответствует
первой критической подсистеме M1 работы [10].
Согласно [2] в качестве пары коммутирующих интегралов на O можно
взять функции H,S:
H = ω2
1 + ω2
2 +
1
2
ω2
3 − α1 − β2,
S = −2α1ω
2
1 + 2(α2 + β1)ω1ω2 + 2β2ω
2
2 + (α3ω1 + β3ω2)(ω3 + λ)
2(ω2
1
+ ω2
2
)
.
(1)
Последний интеграл выбран не случайно. Его константа s в предельной
классической задаче (β = 0, λ = 0) есть значение переменной разделения
62
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений
С.В.Ковалевской, остающейся постоянной в соответствующих движениях. В
работе [2] указана также связь этого значения со спектральным параметром
представления Лакса.
Константы k, g двух общих интегралов исходной системы K и G в точках
подсистемы O выражаются в терминах констант h, s интегралов (1), форми-
руя первую бифуркационную поверхность Π1 в R
3(h, k, g):
Π1 :
k = p2 + (h− λ2
2
)2 − 4(h − λ2
2
)s+ 3s2 − p4 − r4
4s2
,
g = (h− λ2
2
− s)s2 +
p4 − r4
4s
, s ∈ R\{0}.
(2)
Здесь и далее наряду с параметрами a, b используются вспомогательные ве-
личины p > r > 0, такие что p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2.
Нам понадобятся и уравнения второй бифуркационной поверхности Π2 –
образа другой критической подсистемы M2 под действием отображения мо-
мента [10]:
Π2 :
k = −2λ2(h− λ2
2
− 2s)− λ4 +
r4
4s2
,
g =
1
2
p2(h+
λ2
2
)− λ2s2 − r4
4s
, s ∈ R\{0}.
(3)
Здесь s – постоянная соответствующего частного интеграла для M2.
При классификации критических точек в системе с тремя степенями сво-
боды по возникающим в их окрестности слоениям Лиувилля в предположении
отсутствия так называемых расщепляющихся атомов разделяющим служит
множество критических точек ранга 0 и 1, а также вырожденных крити-
ческих точек ранга 2 (в системе с n степенями свободы, соответственно, –
критических точек ранга до n−2 включительно и вырожденных точек ранга
n−1). Это множество точек называется ключевым множеством системы [11].
Определение [11]. Пусть у критической подсистемы заданы два незави-
симых почти всюду интеграла φ и ψ. Назовем (φ,ψ)-диаграммой критической
подсистемы образ принадлежащих ей точек ключевого множества при ото-
бражении φ×ψ.
Поставим следующие задачи для основной системы O:
– получить аналитическое описание (S,H)-диаграммы системы и указать
способ ее построения;
– найти атлас (разделяющее множество) в пространстве параметров a, b, λ,
классифицирующий такие диаграммы;
– указать перестройки, происходящие в диаграммах при пересечении раз-
деляющих кривых в составе атласа.
1. Ключевое множество. В неприводимом случае b > 0 критических
точек ранга 0 (положений равновесия) в рассматриваемой задаче четыре:
ck : ω = 0, α = (ε1a, 0, 0), β = (0, ε2b, 0). (4)
63
П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов
Здесь ε21 = ε22 = 1 и k = 1, . . . , 4. Упорядочим ck по возрастанию h:
h1 = −a− b, h2 = −a+ b, h3 = a− b, h4 = a+ b. (5)
Критические точки ранга 1 организованы в две различных группы дви-
жений. Первая группа – маятниковые движения, в которых осью маятни-
ков служит ось динамической симметрии Oe3, расположенная ортогонально
обоим силовым полям. В зависимости от ориентации образовавшегося три-
эдра (α,β, e3) соответствующие многообразия, сотканные из маятниковых
траекторий, обозначаются через M± [10]. Очевидно, c1, c4 ∈ M+, c2, c3 ∈ M−
и точки ck служат бифуркационными внутри семейств маятников. Точки ck
принадлежат основной системе O за одним исключением, а именно, точка
c4 самого верхнего положения равновесия не принадлежит O, если значение
энергии h = a+ b лежит в интервале
λ2
2
− 2
√
ab < h <
λ2
2
+ 2
√
ab. (6)
Множество M− целиком содержится в O, а M+ пересекается с подсистемой
O только по движениям со значениями энергии за пределами интервала (6).
Множества M± при отображении момента переходят в прямые Π±. Соответ-
ствующие формулы приведены в [10].
Вторая группа критических точек ранга 1 составлена из “особых периоди-
ческих движений”, заданных уравнениями (8), (27), (29), (30) работы [8]. Для
экономии места эти уравнения здесь не повторяем и будем ссылаться на них
как на уравнения (ОПД). Система уравнений (ОПД) выражает все фазовые
переменные через одну переменную w, физические параметры a, b, λ и два
вспомогательных параметра σ, u, связанных соотношением
λ2(λ2 + σ)2u5 + (λ2 + σ)[2p2λ4 − (λ2 + σ)3σ]σu4+
+r4λ6σ2u3 + 2r4λ4σ4(λ2 + σ)2u2 − r8λ8σ6 = 0.
(7)
Изменение переменной w(t) определяется дифференциальным уравнением
(dw
dt
)2
= − λ2
4σ2
P+(w)P−(w), (8)
где
P±(w) = w2 + 2σ2
u± r2λ2
λ2u
w +
σ[u3 − (λ2 + σ)σ2u2 + r4λ4σ3]
(λ2 + σ)λ2u2
.
Условия существования решений уравнений (ОПД) найдены в работе [9].
Наконец, условия вырожденности получены в работе [10]. В частности,
для регулярных точек системы O имеет место теорема.
Теорема 1 [10]. Регулярные точки системы O, рассматриваемые как
критические точки ранга 2 в объемлющей системе с тремя степенями сво-
боды, имеют тип, определенный знаком выражения µ = s FC(s, h)FT (s, h),
64
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений
где h, s – значения интегралов (1),
FC(s, h) = 3s4 − 2(h − λ2
2
)s3 + a2b2, FT (s, h) = 2s2 − 2(h +
λ2
2
)s+ a2 + b2.
Критические точки имеют тип “центр” при µ < 0 и тип “седло” при µ > 0.
При µ = 0 критические точки вырождены. В пространстве констант пер-
вых интегралов множество вырожденных критических точек отвечает ре-
бру возврата поверхности Π1
FC(s, h) = 0 (9)
и линии
FT (s, h) = 0 (10)
касания поверхности Π1 с другой бифуркационной поверхностью Π2, задан-
ной уравнениями (3).
2. Подмножества в диаграмме. По определению диаграммы и в си-
лу результатов раздела 1 диаграмма состоит из образов на плоскости (s, h)
следующих множеств:
1) положений равновесия;
2) маятниковых движений M+;
3) маятниковых движений M−;
4) особых периодических движений, определенных уравнениями (ОПД);
5) критических торов из точек ранга 2, отвечающих линии касания по-
верхностей Π1,Π2;
6) критических торов из точек ранга 2, отвечающих ребру возврата по-
верхности Π1.
Обозначим образы этих множеств на плоскости (s, h) через D0, D+, D−,
D1, DT , DC соответственно. Уравнения всех этих составляющих диаграммы,
кроме D1, записываются явно.
Обозначим
Q±(x) =
√
(
x− λ2
2
)2
∓ 4ab > 0,
φ+
1,2(x) =
1
2
[
x− λ2
2
∓Q+(x)
]
, φ−
1,2(x) =
1
2
[
x− λ2
2
∓Q−(x)
]
,
и пусть для j = 1, 2
s1j = φ+j (−a− b), s2j = φ−j (−a+ b), s3j = φ−j (a− b), s4j = φ+j (a+ b).
Множество D0 состоит из восьми или шести (значения s4j не всегда веще-
ственны) точек, отвечающих положениям равновесия (4) со значениями энер-
гии (5)1:
Pij(sij, hi) (i = 1, . . . , 4, j = 1, 2). (11)
1Интеграл S неоднозначно определен на маятниковых движениях и, в частности, в по-
ложениях равновесия.
65
П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов
Множество D+ состоит из ветвей гиперболы (для отрицательных s – сегмент
ветви, ограниченный точками P11, P12):
h =
λ2
2
+ s+
ab
s
, s ∈ [s11, s12] ∪ (0,+∞).
Для обратных зависимостей имеем
s = φ+
1,2(h), h ∈ [−a− b,−2
√
ab+
λ2
2
] ∪ [2
√
ab+
λ2
2
,+∞).
Множество D− состоит из сегментов ветвей гиперболы, ограниченных снизу
по h точками P21, P22:
h =
λ2
2
+ s− ab
s
, s ∈ [s21, 0) ∪ [s22,+∞).
Очевидно, что s31 ∈ (s21, 0), s32 ∈ (s22,+∞), поэтому точки P3j также учтены.
Для обратных зависимостей
s = φ−
1,2(h), h ∈ [−a+ b,+∞).
Множество DT описывается уравнением (10), а множество DC – уравнени-
ем (9). Вопрос об области изменения s в этих случаях пока открыт.
Неявное уравнение множества D1 получим так. Из уравнений (2), (3) за-
пишем условия пересечения поверхностей Π1,Π2 – два уравнения для сов-
падения координат g, k при одном и том же h, но произвольных различных
значениях параметра s, оставив обозначение s для Π1, а для Π2 обозначив
этот параметр, например, через t. Вычислим результант левых частей этих
уравнений по t. Получим уравнение вида F 2
T (s, h)Φ(s, h) = 0, где Φ(s, h) –
многочлен степени 4 по h и степени 12 по s с коэффициентами, полиноми-
альными по a, b, λ. Его несложно выписать с помощью компьютерной алге-
бры, поэтому для краткости соответствующее выражение здесь не приводим.
Очевидно, сомножитель F 2
T (s, h) отвечает за касание поверхностей, а урав-
нением пересечения в точке общего положения является Φ(s, h) = 0. Однако
для визуализации множества D1 это уравнение непригодно, так как, опре-
делив удовлетворяющую ему точку (s, h), мы не имеем способа установить,
является ли она допустимой, т.е. отвечает ли она некоторому вещественному
решению уравнений (ОПД), например, условиям, полученным в [9]. В связи
с этим предлагается следующий численный алгоритм построения D1.
Фиксируем физические параметры a, b, λ. Сразу же отметим, что всегда
можно считать, что
a = 1, 0 6 b 6 1, λ > 0, (12)
так как a можно взять за единицу измерения длин векторов α,β и выбрать
подходящее направление подвижных осей.
66
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений
Выбираем промежуток значений энергии [hmin, hmax], на котором лежат
все особые точки диаграммы. Ниже эти точки названы узловыми. Их коне-
чное число и все они эффективно вычисляются. Очевидно, что в качестве
hmin всегда нужно брать абсолютный минимум энергии hmin = h1 = −a − b.
Значение hmax вычисляется как наибольшая из h-координат узловых точек,
увеличенная так, чтобы увидеть поведение кривых в окрестности наивысшей
узловой точки. Выражение для h в произвольной точке ОПД получим из
формулы (35) работы [8] в виде h = ϕ(u, σ). Из этого уравнения и уравне-
ния (7) получим одно уравнение Ψ(h, σ) = 0, связывающее h, σ, и выражение
для общего корня u в виде u = θ(h, σ), которое, хотя и является весьма гро-
моздким, но легко выписывается средствами компьютерной алгебры в виде
дробно-рациональной функции всех входящих параметров. Меняя h с опре-
деленным шагом на отрезке [hmin, hmax], находим для каждого h все реше-
ния σ уравнения Ψ(h, σ) = 0. Для каждой найденной пары (h, σ) вычисляем
u = θ(h, σ) и проверяем наличие положительного корня по w многочлена
P+(w;u, σ)P−(w;u, σ), что является необходимым и достаточным условием
существования вещественного решения уравнений (ОПД), так как по своему
определению переменная w в (8) неотрицательна. В случае наличия поло-
жительного корня координата s соответствующей точки из D1 находится из
формулы (40) работы [8]. В результате такой процедуры множество D1 по-
лучается в виде большого массива точек, что даже на достаточно мощных
компьютерах не позволяет наблюдать перестройки в диаграмме, меняя ди-
намически физические параметры. Эту проблему удается обойти с помощью
алгоритмов замены точек кривыми, использующих полученные в работе [10]
формулы для вычисления типов точек множества D1 как критических точек
ранга 1. Описание таких алгоритмов выходит за рамки настоящей статьи.
3. Узловые точки диаграммы. В этом разделе указаны особые точ-
ки диаграммы, бифуркации в множестве которых порождают перестройки
самой диаграммы. Все предложения проверяются прямым вычислением и
потому приводятся без доказательства. Отметим, что в рамках настоящей
работы не удалось найти способ установить допустимые сегменты DT ,DC на
кривой касания поверхностей и на ребре возврата поверхности Π1, то есть
множества тех точек кривых, заданных уравнениями (10), (9), в прообразе
которых существуют траектории из O. Здесь и далее мы будем исходить из
гипотезы отсутствия минимальных торов.
Гипотеза. При каждом фиксированном s на множестве O ∩ {S = s}
наименьшее значение h достигается в критической точке ранга не выше 1.
В частности, это означает, что точки общего положения на DT и DC не
могут выступать нижней границей допустимой области по h. Следующее
утверждение описывает пересечения DC и DT с кривыми D± и позволяет
определить границу DT .
Предложение 1. 1) Кривая DT имеет с каждой из кривых D− и D+
ровно по одной общей точке
67
П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов
P− = DT ∩D− =
{
s =
(a+ b)2
2λ2
, h =
(a+ b)4 + (a− b)2λ4
2(a+ b)2λ2
}
,
P+ = DT ∩D+ =
{
s =
(a− b)2
2λ2
, h =
(a− b)4 + (a+ b)2λ4
2(a− b)2λ2
}
.
(13)
2) Множество DT на кривой (10) задано условием s ∈ (0,
(a+ b)2
2λ2
], где
правая граница определяется точкой P− пересечения с D−.
3) Кривая DC не имеет общих точек с D− и ровно две общих точки с
D+, а именно, изолированную точку
s = −
√
ab, h =
λ2
2
− 2
√
ab (14)
и точку касания
s =
√
ab, h =
λ2
2
+ 2
√
ab. (15)
Последняя точка не является граничной для DC .
Отметим, что если рассматривать кривую (9) без учета условий суще-
ствования вещественных решений, то точка (14) также оказывается точкой
касания этой кривой с D+. Однако легко показать, что в целом при отрица-
тельных s кривая (9) лежит нижеD+. Поэтому из принятой гипотезы следует,
что ее точки для s < 0, отличные от (14), недопустимы.
Рассмотрим пересечение DC с DT .
Предложение 2. При условии
λ4 <
a6 − 33a4b2 − 33a2b4 + b6 + (a4 + 14a2b2 + b4)3/2
54a2b2
(16)
кривые DT ,DC имеют ровно две общие точки, определяемые системой
(a2 − s2)(s2 − b2)− 2λ2s3 = 0, s > 0, h =
2s2 − sλ2 + a2 + b2
2s
. (17)
Если в (16) неравенство заменить равенством, то эти точки сливаются,
образуя точку касания кривых DT и DC . При обратном строгом неравенстве
в (16) кривые DT ,DC общих точек не имеют.
Очевидно, и эти точки пересечения не могут служить граничными для
DC . Следовательно, граница DC должна лежать в D1. Перейдем к рассмо-
трению пересечений D1 с другими подмножествами диаграммы.
Предложение 3. 1) Кривая D1 имеет с каждой из кривых D− и D+ в
качестве общих точек образы положений равновесия – точки (11), а также
ровно по одной общей точке касания
68
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений
P ∗
− =
{
s = − 2abλ2
(a+ b)2
, h =
(a+ b)4 + (a− b)2λ4
2(a+ b)2λ2
}
∈ D1 ∩D−,
P ∗
+ =
{
s =
2abλ2
(a− b)2
, h =
(a− b)4 + (a+ b)2λ4
2(a− b)2λ2
}
∈ D1 ∩D+.
(18)
2) Общими точками кривых D1,DT служат общие точки кривых
DT ,DC (которые являются, таким образом, тройными точками диаграм-
мы) и, при условии λ 6 (a + b)/
√
a− b, единственная точка касания D1 и
DT , заданная координатами
PT : s =
r4/3
2λ2/3
, h =
r8/3 + 2p2λ4/3 − r4/3λ8/3
2r4/3λ2/3
. (19)
Других общих точек у множеств DT ,D1 нет.
Отметим, что точка (19) соответствует случаю устранимой особенности
σ = −λ2 в уравнениях (ОПД). Подчеркнем также, что точки (13), (14), (15),
(18) отвечают вырожденным маятниковым движениям [10].
Предложение 4. Точки пересечения DC и D1, отличные от тройных
точек, находятся из системы
FC(s, h) = 0, ΦC(s) = 0, s > 0, h > −a− b, (20)
где
ΦC(s) = [a4b4 − 6a2b2s4 + 4(a2 + b2)s6 − 3s8]2+
+2[3a6b6 + 3a4b4s4 − 20a2b2(a2 + b2)s6 + 57a2b2s8 − 12(a2 + b2)s10+
+s12]s3λ2 + 4[3a4b4 + 15a2b2s4 − (a2 + b2)s6]s6λ4 + 8a2b2s9λ6.
Теперь в силу принятой выше гипотезы допустимый промежуток измене-
ния параметра s на кривой DC определяется следующим образом.
Предложение 5. Кривая DC определяется уравнением (9) со значени-
ями переменной s
s ∈
{
−
√
ab
}
∪ (0, s∗].
Здесь s∗ = s∗(λ, a, b) – наибольший вещественный корень многочлена ΦC(s).
Такой корень существует и положителен при всех λ.
Поскольку кривые D±,DT ,DC имеют весьма простую структуру без осо-
бых точек, а все кратные точки уже изучены, для описания особых точек
диаграммы остается найти точки возврата кривых в составе D1. Они соо-
тветствуют пересечению поверхности Π1 с ребром возврата поверхности Π2.
Предложение 6. Для того чтобы точка (s, h), найденная из уравне-
ний множества D1, была допустимой точкой возврата D1, необходимо и
достаточно выполнение следующих условий:
69
П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов
1) h > −a− b;
2) пара (s, h) удовлетворяет системе уравнений
(2s2 − p2)2 − r4 + 3r4/3λ4/3s2 + 2λ2s3 = 0,
h =
4s4 + 2λ2s3 − (3λ2/3r8/3 − λ2p2)s− (p4 − r4)
2s(2s2 − p2)
;
(21)
3) для заданного s среди значений σ = −λ2 ±
√
r4/3λ4/3 − 2sλ2, u =
−r4/3λ4/3σ найдутся такие, что многочлен P+(w;u, σ)P−(w;u, σ) в правой
части уравнения (8) имеет хотя бы один положительный корень.
Следующие отмеченные выше точки будем называть узловыми:
– образы (11) положений равновесия, они же – точки трансверсального
пересечения D1 c D±;
– образы вырожденных маятников, они же – точки (13) пересечения DT
c D±;
– точки (14), (15) касания DC c D+, они же – точки экстремума h на D+;
– две тройных точки (17) пересечения DT , DC , D1;
– образы вырожденных маятников для дуального значения s, они же –
точки (18) касания D1 c D±;
– точка (19) касания D1 с DT ;
– точки (20) пересечения D1 c DC ;
– точки (21) возврата кривых в составе D1.
4. Бифуркации семейства диаграмм. Рассмотрим семейство опре-
деленных выше (S,H)-диаграмм основной системы, зависящих от набора па-
раметров
c = (λ, a, b), λ > 0, 0 < b < a.
Обозначим произвольную диаграмму семейства через T = T (c). При каждом
c в диаграмме выделен конечный набор точек, названных узловыми. Обозна-
чим это конечное множество через R = R(c).
Под бифуркациями плоских диаграмм по векторному параметру c ∈ R
k
обычно понимают нарушение локальной тривиальности расслоения-проекции
pr : U → R
k, где U – сколь угодно малая окрестность множества ∪c(T (c), c)
в R
2×R
k. Здесь нужны аккуратные определения, поскольку диаграмма не
является гладким многообразием. Однако в нашем случае диаграмма тако-
ва, что качественные перестройки ее структуры полностью определены пере-
стройками в конечном множестве узловых точек. А бифуркация в семействе
множеств R(c), снабженных дискретной топологией, есть изменение количе-
ства точек в R(c), которое происходит либо на границе условий существова-
ния той или иной точки, либо при возникновении в множестве R(c) кратной
точки. В силу различного вида узловых точек и принадлежности их разли-
чным кривым в составе диаграммы, необходимо описать явный и достаточно
простой алгоритм перебора вариантов, гарантирующий нахождение всех не-
обходимых и достаточных условий бифуркации.
70
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений
Итак, пусть задано множество T (c) и в нем конечный набор точек R(c),
называемых узловыми. Пусть имеется представление вида T = ∪Ti, R = ∪Ri,
где Ri ⊂ Ti. Множества Ti назовем для краткости слоями. Предположим, что
все точки пересечения двух слоев Tij = Ti ∩ Tj являются узловыми точками
для одного из этих слоев. Поскольку порядок в совокупности множеств Ti по
номеру i вводится условно, то и отнесение точки p ∈ Tij к тому или иному
из подмножеств Ri, Rj условно. Его удобно осуществлять по мере рассмотре-
ния множеств Ti при первом появлении пересечения. Обозначим через R0
i ту
часть множества узловых точек Ri, которая не попала в пересечения Tij при
j < i. При этом может оказаться, что при некоторых c какие-то точки R0
i (c)
все же попадают в предыдущие множества. Такие значения параметра по
определению считаются бифуркационными (разделяющими).
Дальнейший алгоритм состоит в следующем. Для первого множества T1
по определению полагаем R1 = R0
1 и исследуем возможные бифуркации (по-
явления кратных точек) внутри R0
1. Для множества Ti с i > 1 исследуем:
1) бифуркации внутри множеств ∪j<iTij ; 2) бифуркации внутри R0
i ; 3) слу-
чаи наличия непустых пересечений (∪j<iTij) ∩R0
i .
В нашей задаче все узловые точки описаны в разделе 3. Множества, фор-
мирующие диаграмму, можно занумеровать, например, в таком порядке:
T1 = D+ ∪D−, T2 = DT , T3 = DC , T4 = D1.
Тогда
R1 = R0
1 = D0, R2 = DT ∩ (D+ ∪D−),
R3 = (DC ∩DT ) ∪ (DC ∩ (D+ ∪D−))\(R1 ∪R2),
R4 = R0
4 ∪ (D1 ∩ (D+ ∪D−)) ∪ (D1 ∩DT ) ∪ (D1 ∩DC)\(R1 ∪R2 ∪R3),
где R0
4 – точки возврата на кривых D1. Бифуркации в ∪iRi находятся с
использованием утверждений раздела 3, которые описывают систему узло-
вых точек именно в такой последовательности. В результате получаем сле-
дующее описание разделяющего множества.
Теорема 2. В области параметров λ > 0, 0 6 b 6 a перестройки (S,H)-
диаграмм системы с двумя степенями свободы O происходят тогда и толь-
ко тогда, когда точка (a, b, λ) пересекает разделяющее множество Θ, состо-
ящее из поверхностей
γ1,2 : λ =
√
2
(√
a∓
√
b
)
, b ∈ [0, a];
γ3 : λ =
a+ b√
a− b
, b ∈ [0, a);
γ4 : λ =
a− b√
a+ b
, b ∈ [0, a];
γ5 : λ4 =
a6 − 33a4b2 − 33a2b4 + b6 + (a4 + 14a2b2 + b4)3/2
54a2b2
, b ∈ (0, 1];
γ6 : λ2 =
(a− b)2
2
√
ab
, b ∈ (0, a];
71
П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов
γ7 : λ =
a2 − b2
23/4(a2 + b2)3/4
, b ∈ [0, a];
γ8 : λ =
√
2 a
z2 − 1
z
√
z
, b = a
(3− z2)3/2
√
1 + z2
4z3
, 1 6 z 6
√
3.
Эти поверхности делят область параметров на 16 подобластей со стру-
ктурно устойчивыми диаграммами.
Поскольку, как отмечалось, всегда можно считать a = 1, то будем го-
ворить о разделяющих кривых γi в полуполосе (12) плоскости R
2(λ, b). Они
показаны на рис. 1. На каждой из них λ есть однозначная функция от b (явно
выписанная на всех множествах, кроме γ8, а на γ8 имеем λ′z > 0 при z > 0).
Обозначим такую функцию на γi через λi(b) (i = 1, . . . , 8).
Рис. 1. Разделяющее множество для классификации
диаграмм.
На рис. 2 показана известная (S,H)-диаграмма при λ = 0 [5] и одна из
возможных диаграмм при λ > 0. Видно, что структура диаграммы в общем
случае достаточно сложна. Звездочкой помечены компоненты дополнения к
диаграмме, в которых интегральные многообразия пусты.
(a) b = 0.3, λ = 0 (b) b = 0.3, λ = 1.2
Рис. 2. Примеры (S,H)-диаграмм.
72
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений
D
1
D
1
D
1
D
1
D
1
D
+
D
+
P
41
P
42
D
C
D
T
(1) λ < λ1
D
C
D
+
D
T
D
1
D
1
D
1
D
1
P
4
(2) λ = λ1
D
1
D
1
D
1
D
1
D
C
D
+
D
+
D
+
D
T
(3) λ > λ1
D
1
D
+
D
+D D
+
�¿
C
(4) λ < λ2
D
1
D
1
D
+ D
+
D D
+
�¿
C
P
41
(5) λ = λ2
D
1
D
1
D D
+
�¿
C
D
+
D
+
D
+
D
+
P
41 P
42
(6) λ > λ2
D
1
D
1 D
1
D
T
D
T
D
-
P
32
(7) λ < λ3
D
-
D
T
P
32
D
1
D
1
(8) λ = λ3
D
1
D
T D
-
P
32
(9) λ > λ3
(10) λ < λ3 (11) λ = λ3
D
1
D
1
D
1
D
-
D
-
D
+
P
31
(12) λ > λ3
D
+
D
T
D
1
P
T
P
42
(13) λ < λ4
D
+
D
+
D
1
D
1
D
T
D
T
P
42
(14) λ = λ4
D
T
D
T
D
+
D
+ D
1
D
1
P
42
(15) λ > λ4
73
П.Е. Рябов, Г.Е. Смирнов, М.П. Харламов
D
1
D
1
D
1
D
T
D
T
D
C
D
C
D
+
(16) λ < λ5
D
T
D
1
D
1
D
C
D
C
D
+
D
T
(17) λ = λ5
D
T D
C
D
1
(18) λ > λ5
D
1
D
1
D
1
D
C
D
C
D
C
D
+
D
+ D
+
D
+
D
T
D
T
(19) λ < λ6
D
1
D
C
D
C
D
T
D
T
D
+ D
+
D
1
(20) λ = λ6
D
1
D
1
D
1
D
+
D
+
D
+
D
T
D
T
D
C
(21) λ > λ6
(22) λ < λ7
D
1
D
1
D
C D
T
P
T
D
C
D
T
D
1
(23) λ = λ7 (24) λ > λ7
D
1
D
1
D
1
D
1
D
1
D
+
D
+
D
C
(25) λ < λ8
D
1
D
1
D
1
D
1
D
1
D
+
D
+
D
C
D
C
(26) λ = λ8
D
C
D
1
D
1
D
1
D
1
D
1
D
C
D
C
D
+
D
+
(27) λ > λ8
Рис. 3. Перестройки в диаграммах.
Для того, чтобы получить возможность построить и проанализировать
любую диаграмму, на рис. 3 приведены перестройки фрагментов диаграммы
при пересечении разделяющих кривых. Подрисунки на рис. 3 организова-
ны в тройки, указывающие фрагменты слева от соответствующей кривой, на
самой кривой (имеется кратная точка среди узловых) и справа от кривой.
Для кривой γ3 таких троек две, так как перестройки фрагментов происходят
одновременно на удаленных друг от друга участках в окрестности точек P31
и P32. Таким образом, получены необходимые и достаточные условия бифур-
каций в семействе диаграмм системы O и явно указаны соответствующие пе-
рестройки, происходящие в окрестностях узловых точек. Следующий шаг –
74
Атлас диаграмм обобщения 4-го класса особо замечательных движений
топологический анализ системы – будет выполнен в дальнейшем с учетом
вычисленных ранее типов критических точек.
1. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Лаксово представление со спектральным
параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его прило-
жения. – 1988. – 22, 2. – С. 87–88.
2. Харламов М.П. Критические подсистемы гиростата Ковалевской в двух постоянных
полях // Нелинейная динамика. – 2007. – 3, 3. – С. 331–348.
3. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Изд-во НГУ, 1965. – 221 с.
4. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о дви-
жении волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. –
Вып. 34. – С. 47–58.
5. Kharlamov M.P., Shvedov E.G. On the existence of motions in the generalized 4th Appelrot
class // Regular and Chaotic Dynamics. – 2006. – 11, 3. – P. 337–342.
6. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: аналитические решения // Ме-
ханика твердого тела. – 2008. – Вып. 38. – С. 20–30.
7. Харламов М.П. Обобщение 4-го класса Аппельрота: фазовая топология // Там же. –
2010. – Вып. 40. – С. 21–33.
8. Харламов М.П. Особые периодические движения гиростата Ковалевской в двойном
поле // Там же. – 2007. – Вып. 37. – С. 85–96.
9. Харламова И.И., Смирнов Г.Е. Условия существования периодических движений ги-
ростата Ковалевской в двойном поле // Там же. – 2010. – Вып. 40. – С. 50–62.
10. Харламов М.П., Рябов П.Е., Савушкин А.Ю., Смирнов Г.Е. Типы критических точек
гиростата Ковалевской в двойном поле // Там же. – 2011. – Вып. 41. – С. 26–37.
11. Харламов М.П., Рябов П.Е. Диаграммы Смейла–Фоменко и грубые инварианты слу-
чая Ковалевской–Яхья // Вестн. УдГУ. – 2011. – № 4. – С. 40–59.
P.E.Ryabov, G.E. Smirnov, M.P.Kharlamov
The atlas of the diagrams for the generalization of the 4th Appelrot class of
especially remarkable motions to a gyrostat in a double force field
For the system with two degrees of freedom, which is an analogue of the 4th Appelrot class
for a gyrostat of the Kowalevski type in a double force field the problem of the classification of
bifurcation diagrams is solved. The separating set is built and its completeness is proved. All
transformations taking place in the diagrams are shown. The results serve as a necessary part
of solving the problem of obtaining the topological invariants for the Reyman– Semenov-Tian-
Shansky system.
Keywords: gyrostat, double force field, bifurcation diagram.
П.Є.Рябов, Г.Є. Смiрнов, М.П.Харламов
Атлас дiаграм узагальнення 4-го класу особливо чудових рухiв
Аппельрота на гiростат у подвiйному полi
У системi з двома степенями вiльностi, яка є аналогом 4-го класу Аппельрота для гiроста-
та з умовами типу Ковалевської в подвiйному полi, надано класифiкацiю бiфуркацiйних
дiаграм. Побудовано роздiляючу множину i надано доведення її повноти. Подано всi пе-
ретворення, що мають мiсце в дiаграмах. Результати є необхiдним кроком у вирiшеннi
проблеми побудови топологiчних iнварiантiв для iнтегровної системи Реймана–Семенова-
Тян-Шанського.
Ключовi слова: гiростат, подвiйне поле, бiфуркацiйна дiаграма.
Волгоградский филиал РАНХиГС, Россия
mharlamov@vags.ru
Получено 28.08.12
75
|