Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле
Установлены условия существования линейного инвариантного соотношения у уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Показано, что при выполнении найденных условий ось, относительно которой задано линейное инвариантное соотношение, ортогональна круговому сечению г...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72599 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 84-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-72599 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-725992014-12-27T03:01:22Z Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле Мазнев, А.В. Установлены условия существования линейного инвариантного соотношения у уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Показано, что при выполнении найденных условий ось, относительно которой задано линейное инвариантное соотношение, ортогональна круговому сечению гирационного эллипсоида. При условии, что гиростатический момент зависит от времени, найдены асимптотически–равномерные движения гиростата относительно вертикали. Встановлено умови iснування лiнiйного iнварiантного спiввiдношення для рiвнянь руху гiростата у магнiтному полi з урахуванням ефекту Барнетта–Лондона. Показано, що при виконаннi знайдених умов вiсь, вiдносно якої задано лiнiйне iнварiантне спiввiдношення, ортогональна круговому перерiзу гiрацiйного елiпсоїда. За умови, що гiростатичний момент залежить вiд часу, знайдено асимптотично-рiвномiрнi рухи гiростата вiдносно вертикалi. The author studies equations of motion of a heavy gyrostat in the magnetic field in the presence of Barnet-London effect. Existence conditions are obtained for one invariant relation, linear in the state variables (they are the components of the angular velocity vector and the components of the vertical unit vector in the body axis). It is shown that, under these conditions, the axis determined by the linear invariant relation is orthogonal to the circular cross-section of the gyratory ellipsoid. Asymptotically steady motions of the gyrostat relative to the vertical line are obtained in the case, when the gyrostatic moment depends on time. 2012 Article Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 84-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72599 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Установлены условия существования линейного инвариантного соотношения у уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Показано, что при выполнении найденных условий ось, относительно которой задано линейное инвариантное соотношение, ортогональна круговому сечению гирационного эллипсоида. При условии, что гиростатический момент зависит от времени, найдены асимптотически–равномерные движения гиростата относительно вертикали. |
| format |
Article |
| author |
Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Мазнев, А.В. Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле Механика твердого тела |
| author_facet |
Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Мазнев, А.В. |
| title |
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле |
| title_short |
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле |
| title_full |
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле |
| title_fullStr |
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле |
| title_full_unstemmed |
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле |
| title_sort |
линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72599 |
| citation_txt |
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата с переменным гиростатическим моментом в магнитном поле / А.В. Мазнев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 84-92. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT maznevav linejnoeinvariantnoesootnošenieuravnenijdviženiâgirostatasperemennymgirostatičeskimmomentomvmagnitnompole |
| first_indexed |
2025-07-05T21:21:51Z |
| last_indexed |
2025-07-05T21:21:51Z |
| _version_ |
1836843544914952192 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.38
c©2012. А.В. Мазнев
ЛИНЕЙНОЕ ИНВАРИАНТНОЕ СООТНОШЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ГИРОСТАТА
С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ МОМЕНТОМ
В МАГНИТНОМ ПОЛЕ
Установлены условия существования линейного инвариантного соотношения у уравнений
движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Показа-
но, что при выполнении найденных условий ось, относительно которой задано линейное
инвариантное соотношение, ортогональна круговому сечению гирационного эллипсоида.
При условии, что гиростатический момент зависит от времени, найдены асимптотиче-
ски–равномерные движения гиростата относительно вертикали.
Ключевые слова: гиростат, гиростатический момент, инвариантное соотношение,
магнитное поле.
Введение. Современные подходы в моделировании движений сложных
механических систем приводят к рассмотрению новых задач динамики твер-
дого тела. Из множества этих задач выделим две: задачу о движении гироста-
та с переменным гиростатическим моментом и задачу о движении гиростата
в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона.
Постановка первой задачи и вывод уравнений движения гиростата рас-
смотрены в работах [1–4]. В статьях [5–8] изучен случай, когда на гиростат
действует сила тяжести, а случай движения гиростата под действием потен-
циальных и гироскопических сил – в [9–12].
Уравнения движения во второй задаче, а также эффекты, возникающие
при вращении нейтрального ферромагнетика или сверхпроводящего тела в
магнитном поле, обсуждены в работах [13–15]. Случаи интегрируемости этой
задачи найдены либо при условии постоянного гиростатического момента
[16], либо при наличии дополнительных предположений на распределение
масс гиростата [12, 17].
Данная статья посвящена исследованию условий существования линейно-
го инвариантного соотношения у уравнений движения гиростата с перемен-
ным гиростатическим моментом в магнитном поле сил. С помощью первого
метода А.М. Ляпунова [18] в предположении, что гиростатический момент
является линейной функцией компонент единичного вектора вертикали, по-
строены асимптотические решения приведенной системы.
1. Постановка задачи. Запишем уравнения движения гиростата с пе-
ременным гиростатическим моментом, используя обозначения, принятые в
[16]:
ẋ = (x+ λα)× ax− Lα+Bax× ν + s× ν + ν × Cν, (1)
ν̇ = ν × ax, λ̇ = L. (2)
84
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата
В уравнениях (1), (2) введены обозначения: x = (x1, x2, x3) – момент коли-
чества движения тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор, указыва-
ющий направление магнитного поля; λ = λ(t) – величина гиростатического
момента λ(t)α; α = (α1, α2, α3) – постоянный единичный вектор; a = (aij) –
гирационный тензор; s = (s1, s2, s3) – постоянный вектор, сонаправленный с
вектором обобщенного центра масс; B = (Bij), C = (Cij) – постоянные сим-
метричные матрицы третьего порядка; L – функция времени, определяющая
взаимодействие тела-носителя и ротора; точка над переменными обознача-
ет дифференцирование по времени t. Матрица B характеризует магнитный
момент B = Bω, который возникает при вращении нейтрального феррома-
гнетика в магнитном поле, ω – угловая скорость гиростата. Последние два
слагаемых в правой части уравнения (1) определяют потенциальные силы,
действующие на гиростат.
Уравнения (1), (2) допускают первые интегралы: геометрический
ν21 + ν22 + ν23 = 1 (3)
и интеграл момента количества движения
(x+ λα) · ν = k, (4)
где k – произвольная постоянная.
Поставим задачу об определении условий существования у системы (1),
(2) инвариантного соотношения (ИС)
x1 − (b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) = 0. (5)
Здесь bi (i = 0, 3) – параметры, подлежащие определению.
Запишем компоненты вектора угловой скорости ω = ax, используя соо-
тношение (5):
ωi = a1i(b0 + b1ν1 + b2ν2 + b3ν3) + ai2x2 + ai3x3, a23 = a32, i = 1, 3. (6)
Уравнения Пуассона (2) в скалярной форме примут вид
ν̇1 = ν2ω3 − ν3ω2, ν̇2 = ν3ω1 − ν1ω3, ν̇3 = ν1ω2 − ν2ω1. (7)
Подставим L = λ̇ в уравнение (1) и запишем проекцию его правой и левой
части на первую координатную ось
ẋ1 = x2ω3 − x3ω2 + λ(t)(α2ω3 − α3ω2)− λ̇(t)α1+
+ ν3(Bω)2 − ν2(Bω)3 + s2ν3 − s3ν2 + ν2(Cν)3 − ν3(Cν)2, (8)
где
(Bω)i = B1iω1 +Bi2ω2 +Bi3ω3, (Cν)i = C1iν1 +Ci2ν2 + Ci3ν3,
B23 = B32, C23 = C32, i = 2, 3.
(9)
85
А.В. Мазнев
Если вычислять производную от ИС (5) в силу уравнений (7), (8) с обо-
значениями (9), она будет содержать переменные x2, x3, νi (i = 1, 3), фун-
кцию λ(t) и ее производную λ̇(t). Требование того, чтобы производная от
ИС (5) обращалась в нуль для любых λ(t), λ̇(t), приводит к противоречию с
предположением о переменности гиростатического момента. Следовательно,
необходимо задать класс функций λ(t). Естественно считать, что функция λ
зависит только от νi (i = 1, 3). Будем предполагать, что эта функция являе-
тся многочленом по переменным νi. Нетрудно показать, что производная от
ИС (5) в силу (7), (8) обращается в нуль для всех значений x2, x3, ν1, ν2, ν3,
например, в случае, когда функция λ имеем вид
λ = λ0 + λ1ν1 + λ2ν2 + λ3ν3. (10)
Предполагая наличие зависимости (10), выпишем общий вид производной
от ИС (5) в силу уравнений (7), (8)
(a33 − a22)x2x3 + a23(x
2
2 − x23) + F
(2)
1 (ν1, ν2, ν3)x2+
+ F
(3)
1 (ν1, ν2, ν3)x3 + F2(ν1, ν2, ν3) = 0, (11)
где функции F
(2)
1 (ν1, ν2, ν3), F
(3)
1 (ν1, ν2, ν3) – многочлены по νi (i = 1, 3) перво-
го порядка; F2(ν1, ν2, ν3) – многочлен по νi (i = 1, 3) второго порядка. В общем
случае коэффициенты этих многочленов имеют достаточно громоздкий вид
и поэтому их не выписываем. Из равенства (11) вытекает
a12 = 0, a23 = 0, a33 = a22, (12)
F
(2)
1 (ν1, ν2, ν3) = 0, F
(3)
1 (ν1, ν2, ν3) = 0, F2(ν1, ν2, ν3) = 0. (13)
Условия (12) аналогичны условиям Гесса для классической задачи [19].
Потребуем, чтобы первое и второе равенства из (13) были тождествами
по ν1, ν2, ν3. Тогда получим условия на параметры соотношений (5), (10) и
параметры задачи (1)
a13b1 − a22(b3 + α3λ1 + α1λ3) = 0, a13b2 − a22(α3λ2 +B23) = 0,
a13b3 + a22(b1 + α1λ1 − α3λ3 +B22) = 0, a13b0 − a22α3λ0 = 0,
a13(b3 + α1λ3 −B13)− a22(b1 + α1λ1 − α2λ2 −B33) = 0,
b2 + α2λ1 + α1λ2 = 0, α2λ0 = 0.
(14)
В дальнейшем рассматриваем вариант
α2 = 0, (15)
при выполнении которого система (14) упрощается.
86
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата
Потребуем, чтобы функция F2(ν1, ν2, ν3) из (13) обращалась в нуль для
любых значений ν1, ν2, ν3. Тогда должны выполняться равенства
a13b0 − a22α3λ0 = 0, C23 = −b2µ1, C23 = b3µ2,
C13 = −b1µ1, C12 = b1µ2, C22 −C33 = b3µ1 + b2µ2,
s2 = −b0µ1, s3 = b0µ2,
(16)
где
µ1 = a11(b3 +α1λ3−B13)− a13(b1 +α1λ1 +B33), µ2 = a11B12 + a13B23. (17)
2. Анализ системы уравнений (14)–(17). Нетрудно показать, что
данная система уравнений имеет решение, в котором матрицы B и C имеют
вид
B =
B11 −aB33 −aB33
−aB33 −B33 B33
−aB33 B33 B33
, C =
C11 0 0
0 C22 C23
0 C23 C22
, (18)
где
a =
a22
a13
, C23 = −aβ0B
2
33
a13
, β0 = a11a22 − a213, a13 6= 0. (19)
При этом вектор α = (1, 0, 0), параметры инвариантных соотношений (5),
(10) имеют значения
b0 = 0, b1 = 0, b2 = b3 = aB33, λ0 = 0, λ1 = 0, λ2 = λ3 = −aB33, (20)
а у вектора s
s2 = 0, s3 = 0. (21)
Следовательно, в силу условий (20), ИС (5) и (10) таковы:
x1 = aB33(ν2 + ν3), λ = −aB33(ν2 + ν3). (22)
На основании (21), (22) и условий α3 = α2 = 0 выполняется равенство
(x+ λα) · s = 0, (23)
т. е. проекция общего момента количества движения гиростата на барицен-
трическую ось гиростата равна нулю. Это же свойство характеризует и ре-
шение В. Гесса [19].
Запишем компоненты вектора угловой скорости (6) с учетом условий (12):
ω1 = −a11λ+ a13x3, ω2 = a22x2, ω3 = −a13λ+ a22x3. (24)
При наличии равенств (24) уравнения (7) принимают вид
ν̇1 = ν2(a22x3 − a13λ)− a22ν3x2,
ν̇2 = ν3(a13x3 − a11λ)− ν1(a22x3 − a13λ),
ν̇3 = a22ν1x2 − ν2(a13x3 − a11λ).
(25)
87
А.В. Мазнев
Здесь λ определяется второй формулой из (22).
Первое скалярное уравнение, вытекающее из (1), при выполнении условий
(18)–(22) становится тождеством. Запишем два других скалярных уравнения,
которые следуют из (1):
ẋ2 = x3(a13x3 − a11λ) + ν1(Bω)3 − ν3(Bω)1 − s1ν3+
+(C11 − C22)ν1ν3 − C23ν1ν2,
ẋ3 = −x2(a13x3 − a11λ) + ν2(Bω)1 − ν1(Bω)2 + s1ν2+
+(C22 − C11)ν1ν2 + C23ν1ν3,
(26)
где в силу (18), (24)
(Bω)1 = λ(B33a22 −B11a11)−
a222B33
a13
x2 +
B11a
2
13 −B33a
2
22
a13
x3,
(Bω)2 =
B33
a13
(λβ0 − a13a22x2), (Bω)3 =
B33
a13
(λβ0 + a13a22x2).
(27)
Уравнения (26) имеют первый интеграл
x2ν2 + x3ν3 = k,
который можно определить из (4) на основании условий α1 = 1, α2 = α3 = 0
и равенств (22).
3. Преобразование уравнений (25), (26). Введем вместо перемен-
ных νi новые переменные θ, ϕ
ν1 = cos θ, ν2 = sin θ cosϕ, ν3 = sin θ sinϕ. (28)
Тогда геометрический интеграл (3) становится тождеством. Редукцию урав-
нений (25), (26) будем проводить при условии k = 0. Тогда x2 cosϕ+x3 sinϕ =
= 0 (считаем sin θ 6= 0). Данное уравнение параметризуем следующим обра-
зом:
x2 = u sinϕ, x3 = −u cosϕ. (29)
Запишем формулы (22) в переменных (28)
x1 = aB33(sinϕ+ cosϕ) sin θ, λ = −aB33(sinϕ+ cosϕ) sin θ. (30)
Используя равенства (28)–(30), преобразуем уравнения (25) к новым пере-
менным θ, ϕ, u. В силу обозначений (27) имеем
θ̇ = a22[u−B33(sinϕ+ cosϕ) sin θ cosϕ], (31)
ϕ̇ = a13u cosϕ+ aB33(sinϕ+ cosϕ)(a13 cos θ sinϕ− a11 sin θ), (32)
88
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата
u̇ =
u
a13
[a22a13B33(3 sin
2 ϕ− sinϕ cosϕ− 1) cos θ + a222B33 sin θ sinϕ+
+ (B11a
2
13 −B33a
2
22) sin θ cosϕ] +
[(
C11 −C22 − aβ0B
2
33
)
cos θ − s1
]
sin θ. (33)
Таким образом, система дифференциальных уравнений (31)–(33) является
редуцированной системой, полученной из уравнений (1), (2) на инвариан-
тном соотношении (5), равенстве (10), которые имеют место при выполнении
условий (12), (18)–(21).
4. Асимптотические решения уравнений (31)–(33). Поскольку
в общем случае установить решение системы (31)–(33) затруднительно, то
рассмотрим класс асимптотически-стационарных решений этой системы.
Нетрудно убедиться в том, что система (31)–(33) допускает решение
u∗ = 0, θ∗ = 0, ϕ∗ = −π
4
. (34)
Введем возмущения для переменных u, θ, ϕ, учитывая (34)
u = x, θ = y, ϕ = −π
4
+ z. (35)
Подставим выражения (35) в уравнения (31)–(33) и выпишем линейную часть
полученной системы
ẋ = −a22B33x+ µ0y, ẏ = a22x, ż =
√
2
2
a13x− a22B33z, (36)
где
µ0 = C11 − C22 − aβ0B
2
33 − s1. (37)
Составим характеристическое уравнение системы (36)
β(β2 + a22B33β − µ0a22) = 0. (38)
Выпишем ненулевые корни уравнения (38)
β1,2 =
−a22B33 ±
√
∆
2
, ∆ = a222B
2
33 + 4µ0a22. (39)
Известно, что характеристичные числа σ1, σ2 системы (36) связаны с корнями
характеристического уравнения (38) следующими равенствами:
σi = −Reβi (i = 1, 2). (40)
Пусть µ0 > 0, т. е. в силу (37), (39) выполняется условие
∆ = a22
[
4
(
C11 − C22 −
a22β0B
2
33
a13
− s1
)
+ a22B
2
33
]
> 0, (41)
89
А.В. Мазнев
тогда уравнение (39) имеет два действительных корня: β1 > 0, β2 < 0. В силу
(40) и согласно первому методу Ляпунова [18], нелинейная система (31)–(33)
допускает решение
θ(t) =
∞
∑
m=1
L
(m)
θ (t)cmemβ2t, ϕ(t) = −π
4
+
∞
∑
m=1
L(m)
ϕ (t)cmemβ2t,
u(t) =
∞
∑
m=1
L(m)
u (t)cmemβ2t,
(42)
где c – произвольная постоянная, m ∈ N. Ряды (42) сходятся абсолютно, хара-
ктеристичные числа функций L
(m)
θ (t), L
(m)
ϕ (t), L
(m)
u (t) не менее нуля. Решение
(42) обладает свойством асимптотичности: θ(t) → 0, ϕ(t) → −π
4 , u(t) → 0 при
t → ∞.
При µ0 < 0, B33 > 0 и выполнении неравенства (41) уравнение (38) до-
пускает два отрицательных корня (β1 < 0, β2 < 0). Система (36) имеет два
положительных характеристичных числа σ1 = −β1, σ2 = −β2. Следователь-
но, система (31)–(33) имеет решение
θ(t) =
∞
∑
(
m1+m2=m
m=1
)
M
(m1,m2)
θ (t)cm1
1 cm2
2 e(m1β1+m2β2)t,
ϕ(t) = −π
4
+
∞
∑
(
m1+m2=m
m=1
)
M (m1,m2)
ϕ (t)cm1
1 cm2
2 e(m1β1+m2β2)t,
u(t) =
∞
∑
(
m1+m2=m
m=1
)
M (m1,m2)
u (t)cm1
1 cm2
2 e(m1β1+m2β2)t,
(43)
где c1 и c2 – произвольные постоянные; m1 и m2 – натуральные числа, или
нули. Функции M
(m1,m2)
θ (t),M
(m1 ,m2)
ϕ (t),M
(m1,m2)
u (t) имеют неотрицательные
характеристичные числа. Ряды (43) сходятся абсолютно и θ(t) → 0, ϕ(t) →
→ −π
4 , u(t) → 0 при t → 0.
При µ0 < 0, B33 < 0 и выполнении неравенства (41) оба корня β1 и β2
положительны и линейная система (36) имеет отрицательные характеристи-
чные числа. В этом случае первый метод Ляпунова не дает асимптотических
решений системы (31)–(33).
Если дискриминант ∆ из (39) отрицателен, что возможно при наличии
неравенства µ0 < 0, то корни (39) комплексные. В силу (40) положительными
характеристичные числа системы (36) будут при условии B33 > 0. Тогда
опять нелинейная система (31)–(33) будет допускать решение в виде рядов
Ляпунова, которые формально можно получить путем замены в формулах
(42) величины β2 на −a22B33/2.
90
Линейное инвариантное соотношение уравнений движения гиростата
Для получения решения исходной системы (1), (2) необходимо подставить
выражения (42) или (43) в соотношения (28)–(30) и L = λ̇. Построенное ре-
шение характеризуется линейным инвариантным соотношением (5).
Заключение. В статье установлены условия существования у уравне-
ний движения гиростата в магнитном поле сил с учетом эффекта Барнетта–
Лондона линейного инвариантного соотношения. При этом была принята
линейная зависимость гиростатического момента от компонент единичного
вектора вертикали. Показано, что при выполнении найденных условий ось,
относительно которой задано линейное инвариантное соотношение, ортого-
нальна круговому сечению гирационного эллипсоида. Установлено, что прое-
кция общего гиростатического момента на барицентрическую ось равна нулю.
Изучен один класс стационарных решений приведенной системы дифферен-
циальных уравнений и на его основе с помощью первого метода Ляпунова
построены асимптотические решения этой системы. Им отвечают два класса
асимптотически-равномерных движений гиростата. Первый класс описыва-
ется однопараметрическими рядами Ляпунова, а для второго класса ряды
Ляпунова зависят от двух произвольных постоянных.
1. Liouville J. Developpements sur un chapitre de la Mecanique de Poisson // J. math. pures
et appl. – 1858. – 3. – P. 1–25.
2. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta. Math. – 1899. – 22. –
P. 201–358.
3. Жуковский Н.Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполненные одно-
родной капельной жидкостью. – Собр. соч. М.;Л.: ОГИЗ, 1949. – Т. 2. – С. 152-309.
4. Харламов П.В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого
тела. – 1972. – Вып. 4. – С. 52-73.
5. Ковалева Л.М., Позднякович А.Е. Равномерные вращения вокруг наклонной оси
твердого тела с одним маховиком // Там же. – 2000. – Вып. 30. – С. 100–105.
6. Волкова О.С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси //
Тр. Ин-та прикл. математики и механики НАН Украины. – 2009. – 19. – С. 30–35.
7. Волкова О.С., Гашененко И.Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с пере-
менным гиростатическим моментом // Механика твердого тела. – 2009. – Вып. 39. –
С. 42–49.
8. Волкова О.С. О движениях гиростата, характеризующихся линейными по компонен-
там угловой скорости инвариантными соотношениями // Там же. – 2011. – Вып. 41. –
С. 39-50.
9. Мазнев А.В. Прецессионные движения гиростата с переменным гиростатическим мо-
ментом под действием потенциальных и гироскопических сил // Там же. – 2010. –
Вып. 40. – С. 91–104.
10. Мазнев А.В. О двух линейных инвариантных соотношениях уравнений движения
гиростата с переменным гиростатическим моментом под действием потенциальных и
гироскопических сил // Там же. – Донецк. – 2011. – Вып. 41. – С. 51-60.
11. Мазнев А.В. О трех инвариантных соотношениях уравнений движения гиростата под
действием потенциальных и гироскопических сил // Вiсн. Одеського нац. ун-ту. Ма-
тематика i механiка. – 2011. – 16, вип. 16. – С. 158–165.
12. Горр Г.В., Мазнев А.В. О движении симметричного гиростата с переменным гироста-
тическим моментом в двух задачах динамики // Нелинейная динамика. – Ижевск,
2012. – 8, № 2. – С. 369–376.
13. Урман Ю.М. Динамические эффекты, обусловленные вращательным движением
сверхпроводника в магнитном подвесе // Докл. АН СССР. – 1984. – 276, № 6. –
С. 1402–1404.
91
А.В. Мазнев
14. Barnett S.I. Gyromagnetic and Electron-Inertia Effects // Rev. Modern Phys. – 1935. –
7(2). – P. 129–166.
15. London F. Superfluids. – New-York: Weley, 1950. – 372 p.
16. Горр Г.В., Мазнев А.В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. – До-
нецк: ДонНУ, 2010. – 364 с.
17. Скрыпник С.В., Щетинина Е.К. О трех инвариантных соотношениях уравнений дви-
жения симметричного гиростата в магнитном поле // Механика твердого тела. –
2011. – Вып. 41. – С. 61-67.
18. Ляпунов А.М. Общая задача об устойчивости движения. – Собр. соч. в 5 т. – М.;Л.:
Изд-во СССР, 1956. – Т. 2. – С. 7–263.
19. Hess W. Uber die Eulerchen Bewegungsgleichungen und uber eine neue partikulare Losung
des Problems der Bewegung eines starren schweren Korpers um einen festen Punkt //
Math. Ann.– 1890. – B. 37, H. 2. – S. 153–181.
A.V. Maznev
Linear invariant relation for equations of motion of a gyrostat with variable
gyrostatic moment in the magnetic field
The author studies equations of motion of a heavy gyrostat in the magnetic field in the presence
of Barnet-London effect. Existence conditions are obtained for one invariant relation, linear in
the state variables (they are the components of the angular velocity vector and the components
of the vertical unit vector in the body axis). It is shown that, under these conditions, the axis
determined by the linear invariant relation is orthogonal to the circular cross-section of the
gyratory ellipsoid. Asymptotically steady motions of the gyrostat relative to the vertical line are
obtained in the case, when the gyrostatic moment depends on time.
Keywords: gyrostat, gyrostatic moment, invariant relation, magnetic field.
О.В. Мазнєв
Лiнiйне iнварiантне спiввiдношення рiвнянь руху гiростата зi змiнним
гiростатичним моментом у магнiтному полi
Встановлено умови iснування лiнiйного iнварiантного спiввiдношення для рiвнянь руху гi-
ростата у магнiтному полi з урахуванням ефекту Барнетта–Лондона. Показано, що при
виконаннi знайдених умов вiсь, вiдносно якої задано лiнiйне iнварiантне спiввiдношення,
ортогональна круговому перерiзу гiрацiйного елiпсоїда. За умови, що гiростатичний мо-
мент залежить вiд часу, знайдено асимптотично-рiвномiрнi рухи гiростата вiдносно верти-
калi.
Ключовi слова: гiростат, гiростатичний момент, iнварiантне спiввiдношення, магнi-
тне поле.
Донецкий национальный ун-т
maznev_av@rambler.ru
Получено 01.10.12
92
|