Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины

Рассматривается динамически симметричное твердое тело на струнном подвесе. Длина подвеса меняется по кусочно-постоянному периодическому закону. Исследуется потеря устойчивости вращения тела вокруг оси динамической симметрии. Исследования проводятся методами теории Флоке и теории параметрических возм...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2012
1. Verfasser:	Очеретнюк, Е.В.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72601
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины / Е.В. Очеретнюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 103-111. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-72601
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-726012014-12-27T03:01:23Z Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины Очеретнюк, Е.В. Рассматривается динамически симметричное твердое тело на струнном подвесе. Длина подвеса меняется по кусочно-постоянному периодическому закону. Исследуется потеря устойчивости вращения тела вокруг оси динамической симметрии. Исследования проводятся методами теории Флоке и теории параметрических возмущений. Получены достаточные условия потери устойчивости. Розглядається динамiчно симетричне тверде тiло на струнному пiдвiсi. Довжина пiдвiсу змiнюється за кусково-сталим перiодичним законом. Дослiджується втрата обертання твердого тiла навколо осi динамiчної симетрiї. Дослiдження проводяться методами теорiї Флоке i теорiї параметричних збурень. Отримано достатнi умови втрати стiйкостi. Dynamically symmetric rigid body on a string suspension is considered. Suspension length varies in a piecewise constant periodic law. The loss of stability of the system of the rotation around the axis of dynamic symmetry is investigated. Research is carried out using the Floquet theory and perturbation theory. The sufficient conditions of instability are obtained. 2012 Article Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины / Е.В. Очеретнюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 103-111. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72601 531.36: 534.1 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматривается динамически симметричное твердое тело на струнном подвесе. Длина подвеса меняется по кусочно-постоянному периодическому закону. Исследуется потеря устойчивости вращения тела вокруг оси динамической симметрии. Исследования проводятся методами теории Флоке и теории параметрических возмущений. Получены достаточные условия потери устойчивости.
format	Article
author	Очеретнюк, Е.В.
spellingShingle	Очеретнюк, Е.В. Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины Механика твердого тела
author_facet	Очеретнюк, Е.В.
author_sort	Очеретнюк, Е.В.
title	Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины
title_short	Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины
title_full	Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины
title_fullStr	Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины
title_full_unstemmed	Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины
title_sort	условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72601
citation_txt	Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины / Е.В. Очеретнюк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 103-111. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT očeretnûkev usloviâpoteriustojčivostistacionarnogovraŝeniâtverdogotelanastrunnompodveseperemennojdliny
first_indexed	2025-07-05T21:21:57Z
last_indexed	2025-07-05T21:21:57Z
_version_	1836843550389567488
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42 УДК 531.36: 534.1 c©2012. Е.В. Очеретнюк УСЛОВИЯ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ВРАЩЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА СТРУННОМ ПОДВЕСЕ ПЕРЕМЕННОЙ ДЛИНЫ Рассматривается динамически симметричное твердое тело на струнном подвесе. Длина по- двеса меняется по кусочно-постоянному периодическому закону. Исследуется потеря устой- чивости вращения тела вокруг оси динамической симметрии. Исследования проводятся методами теории Флоке и теории параметрических возмущений. Получены достаточные условия потери устойчивости. Ключевые слова: твердое тело на струнном повесе, теория Флоке, теория параметри- ческих возмущений, неустойчивость. Введение. Исследования движения тела, подвешенного на струне, на- чатые еще в 50-х годах двадцатого века, развиваются и сейчас [1–8]. В рабо- те [5] рассмотрена задача о колебаниях маятника переменной длины на ви- брирующем основании при больших частотах вибраций и малых амплитудах гармонических колебаний длины маятника и точки его подвеса. Получены усредненные уравнения первого и второго приближений, описаны бифурка- ции стационарных режимов в уравнениях первого приближения, а также во втором приближении при резонансе 1:2. В работе [7] исследуются частоты и формы параметрических колебаний маятника переменной длины при значе- ниях коэффициента модуляции от сколь угодно малых до предельно допусти- мых. Аналитическими и численными методами построены и изучены грани- цы резонансных зон первых четырех мод колебаний, установлены основные качественные свойства высших мод. Установлены специфические свойства собственных форм колебаний. В книге [8] теоретически и эксперименталь- но исследуется нелинейное поведение физического маятника с колеблющейся точкой подвеса. Найдена область неустойчивости нижнего вертикального по- ложения маятника. Получена амплитудно-частотная характеристика, отве- чающая периодическим движениям с малой амплитудой. Целью настоящей работы является исследование потери устойчивости стационарного вращения динамически симметричного твердого тела на струнном подвесе в случае, когда длина подвеса меняется по периодическому закону. Дополнительно предполагается, что расстояние от центра масс тела до точки соединения тела с подвесом мало. 1. Постановка задачи. Рассматривается динамически симметричное твердое тело, подвешенное на нерастяжимом невесомом стержне O1O2. Точка O2 находится на оси динамической симметрии тела. Предполагается, что длина подвеса описывается кусочно-постоянной фун- 103 Е.В. Очеретнюк кцией так, что l(t) =    l1, t ∈ ( kθ, θ 2 + kθ ] ; l2, t ∈ (θ 2 + kθ, (k + 1)θ ] ; k ∈ Z. Исходя из вида функции l(t), можем заключить, что на интервалах времени( kθ, θ 2 + kθ ) и (θ 2 + kθ, (k + 1)θ ) тело находится под действием стационар- ных связей, а в момент времени t = kθ 2 происходит мгновенное изменение голономной связи. Этот момент времени является моментом удара в системе. Введем неподвижную систему координат O1ξηζ так, что ось O1ζ – верти- кальная, а плоскость O1ξη – горизонтальная. В центре масс G тела, распо- ложенного на оси динамической симметрии, поместим начала двух других систем координат: Gξ1η1ζ1 и Gxyz. Оси первой системы координат постоян- но параллельны соответствующим осям O1ξηζ, оси второй системы жестко связаны с телом. При этом ось Gz направлена по оси динамической симме- трии тела и является главной центральной осью инерции (см. рис. 1). Рис. 1 Положение тела и жестко связанной с ним системы координат Gxyz отно- сительно поступательно перемещающейся системы Gξ1η1ζ1 определим тремя углами Эйлера–Крылова: α, β и γ. Углами α1 и β1 зададим положение стер- жня O1O2 по отношению к системе координат O1ξηζ. 104 Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела Струнный подвес можно рассматривать как реономную геометрическую связь x2 + y2 + z2 = l2(t), t 6= kθ 2 , где x, y, z – координаты точки O2 в неподвижной системе координат. Коор- динаты ξG, ηG, ζG центра масс тела G определяются по формулам ξG = −l(t) sin β1 − a sin β, ηG = −l(t) sinα1 cos β1 + a sinα cos β, t 6= kθ 2 , ζG = −l(t) cosα1 cos β1 − a cosα cos β. Кинетическая энергия системы имеет вид T = 1 2 [ m(ξ̇2G + η̇2G + ζ̇2G) +A(ω2 x + ω2 y) + Cω2 z ] , а потенциальная энергия определяется формулой V = mgζG = −mg(l(t) cosα1 cos β1 + a cosα cos β), t 6= kθ 2 . Кроме силы тяжести на систему действуют малые силы трения в шарнире O1, которые можно задать функцией Релея R = µ(α̇2 1 + β̇2 1) 2 , µ – положительный коэффициент. При t 6= kθ 2 уравнения движения имеют форму уравнений Лагранжа вто- рого рода d dt ( ∂L ∂q̇k ) − ∂L ∂qk = Qq, где qk – обобщенные координаты, а Qq – соответствующие им обобщенные силы Qq = ∂R ∂q̇k . При t = kθ 2 уравнения движения имеют форму qk (kθ 2 − 0 ) = qk (kθ 2 + 0 ) , ∂L ∂q̇k ∣∣∣∣ t= kθ 2 −0 = ∂L ∂q̇k ∣∣∣∣ t= kθ 2 +0 . Система уравнений движения допускает стационарный режим α1 = α̇1 = 0, β1 = β̇1 = 0, β = β̇ = 0, α = α̇ = 0, γ = ωt+ c, γ̇ = ω, 105 Е.В. Очеретнюк где ω – угловая скорость вращения тела вокруг его оси динамической симме- трии. В линейном приближении система уравнений возмущенного движения в переменных x1 = α1, x2 = β1, x3 = α, x4 = β имеет вид Anẍ(t) + (B + G)ẋ(t) + Cnx(t) = 0, n = 1, 2, t 6= kθ 2 , x(t+) = x(t), A2ẋ(t +) = A1ẋ(t), t = θ 2 + kθ, x(t+) = x(t), A1ẋ(t +) = A2ẋ(t), t = kθ, (1) где постоянные матрицы An, B, G, C выглядят следующим образом: An =   ml2n 0 maln 0 0 ml2n 0 maln maln 0 A+ma2 0 0 maln 0 A+ma2,   , B =   µ 0 0 0 0 µ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   , G =   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Cω 0 0 −Cω 0   , Cn =   mgln 0 0 0 0 mgln 0 0 0 0 mga 0 0 0 0 mga   . Введем комплексные переменные z1 = x1 + ix2, z2 = x3 + ix4. Система (1) преобразуется к виду Ãnz̈(t) + (B̃ + G̃)ż(t) + C̃nz(t) = 0, n = 1, 2, t 6= kθ 2 , z(t+) = z(t), Ã2ż(t +) = Ã1ż(t), t = θ 2 + kθ, z(t+) = z(t), Ã1ż(t +) = Ã2ż(t), t = kθ, (2) где Ãn = ( ml2n maln maln A+ma2 ) , B̃ = ( µ 0 0 0 ) , G̃ = ( 0 0 0 −iCω ) , C̃n = ( mgln 0 0 mga ) . Система (2) является линейной периодической системой дифференциаль- ных уравнений с импульсным воздействием. Для исследования устойчиво- сти системы (2) применим результаты теории Флоке [9]. Для этого систему дифференциальных уравнений приведем к нормальной форме. Введем новые переменные y1(t) = z(t), y2(t) = ż(t), тогда ẏ(t) = Mny(t), t 6= kθ 2 , ẏ(t+) = S1y(t), t = θ 2 + kθ, ẏ(t+) = S2y(t), t = kθ, (3) 106 Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела где Mn = ( 0 I −Ã−1 n C̃n −Ã−1 n (B̃ + G̃) ) = =   0 0 1 0 0 0 0 1 − (A+ma2)g Aln ma2g Aln − (A+ma2)µ Aml2n −aCω Aln i mag A −mag A aµ Aln Cω A i   , S1 = ( I 0 0 Ã−1 2 Ã1 ) =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 l1(Al1+ma2(l1−l2)) Al2 2 a(A+ma2)(l1−l2) Al2 2 0 0 − mal1(l1−l2) Al2 Al2−ma2(l1−l2) Al2   , S2 = ( I 0 0 Ã−1 1 Ã2 ) =   1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 l2(Al2+ma2(l2−l1)) Al2 1 a(A+ma2)(l2−l1) Al2 1 0 0 − mal2(l2−l1) Al1 Al1−ma2(l2−l1) Al1   . Матрица монондромии системы (3) будет иметь вид Φ = S2e M2 θ 2S1e M1 θ 2 . Необходимые и достаточные условия устойчивости системы (3) основаны на результатах классической теории Флоке: 1) система (3) асимптотически устойчива, тогда и только тогда, когда все мультипликаторы этой системы (характеристические числа матрицы моно- дромиии Φ) лежат внутри открытого единичного круга (комплексной пло- скости C), 2) система (3) неустойчива, если хотя бы один мультипликатор лежит вне замкнутого единичного круга, 3) система (3) устойчива, тогда и только тогда, когда все мультиплика- торы лежат внутри замкнутого единичного круга и тем из них, которые ле- жат на единичной окружности соответствуют простые элементарные делите- ли матрицы Φ. В настоящей работе ограничимся исследованием вопроса о достаточных условиях потери устойчивости стационарного вращения твердого тела при условии, что параметр a является достаточно малым по сравнению со средней длиной подвеса. Очевидно, что достаточным условием потери устойчивости будет нахождение одного из мультипликаторов вне единичного круга. 2. Условия потери устойчивости. Рассмотрим случай, когда a – z-координата точки O2 в системе Gxyz мала. Разложим с точностью до o(a) все элементы матрицы монодромии Φ Mn = M0 n + aM1 n + o(a), 107 Е.В. Очеретнюк eMn θ 2 = eM 0 n θ 2 + aeM 0 n θ 2M1 n θ 2 + o(a), Sn = S0 n + aS1 n + o(a). Тогда Φ разложится в ряд по a следующим образом: Φ = Φ0 + aΦ1 + o(a), (4) где Φ0 = S0 2e M0 2 θ 2S0 1e M0 1 θ 2 , (5) Φ1 = S1 2e M0 2 θ 2S0 1e M0 1 θ 2 + S0 2e M0 2 θ 2S1 1e M0 1 θ 2+ + θ 2 S0 2e M0 2 θ 2M1 2S 0 1e M0 1 θ 2 + θ 2 S0 2e M0 2 θ 2S0 1e M0 1 θ 2M1 1 . (6) Мультипликаторы матрицы M0 n равны соответственно λ1 = 0, λ2 = Cω A i, λ3,4 = 1 2ml2n (−µ± √ µ2 − 4m2gl3n). Мультипликаторы матрицы Φ0 примут вид λ1 = 1, λ2 = ei Cω A θ, λ3 = eα1+β1 , λ4 = eα2+β2 , где α1,2 = θ 4ml21 (−µ ± √ µ2 − 4m2gl31), β1,2 = θ 4ml22 (−µ± √ µ2 − 4m2gl32). Для мультипликатора ei Cω A θ воспользуемся теорией возмущения линейных параметров для случая простого собственного значения [8], для этого пред- ставим его в виде разложения в ряд по степеням a: λ = λ0 + a dλ da + o(a). (7) В свою очередь dλ da = vT0 Φ1u0/(v T 0 u0), (8) u0 – собственный вектор, отвечающий собственному значению ei Cω A θ, а v0 – левый собственный вектор, отвечающий собственному значению ei Cω A θ. Под- ставляя в формулу (8) соответствующие значения, находим dλ da = iei Cω A θ(l1 + l2) Cω(eα2+β2 − ei Cω A θ) ((ml21l 2 2(l1 − l2) 2 − 1 2 µθ(l41 + l42 + l21l 2 2− −l1l2(l 2 1 + l22)))e iCω A θ − ((l1(ml22 − 1 2 µθ)−ml32)l 2 1e α2 + (ml31 −ml21l2+ + 1 2 µθl2)l 2 2e β2)(l1 − l2)e iCω 2A θ + (m(l1 − l2) 2 + 1 2 µθ)l21l 2 2e α2+β2). 108 Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела Таким образом, можно получить достаточное условие неустойчивости данной системы ∣∣∣∣∣e iCω A θ + a ( iei Cω A θ(l1 + l2) Cω(eα2+β2 − ei Cω A θ) ((ml21l 2 2(l1 − l2) 2 − 1 2 µθ(l41 + l42+ +l21l 2 2 − l1l2(l 2 1 + l22)))e iCω A θ − ((l1(ml22 − 1 2 µθ)−ml32)l 2 1e α2+ +(ml31 −ml21l2 + 1 2 µθl2)l 2 2e β2)(l1 − l2)e iCω 2A θ + (m(l1 − l2) 2+ + 1 2 µθ)l21l 2 2e α2+β2) )∣∣∣∣∣ > 1, a � 1. 3. Численные примеры. Области неустойчивости при C = 2кг·м2/с2, A = 2кг ·м2/с2, l1 = 2м, l2 = 7м, m = 2кг, a = 0, 3м, g = 9, 8м/с2, µ = 0, 35кг · м2/с2 в пространстве параметров (θ, ω) изображены на рис. 2 штриховкой. Области неустойчивости при C = 2кг · м2/с2, A = 5кг · м2/с2, l1 = 3м, l2 = 7м, m = 2, 5кг, a = 0, 3м, g = 9, 8м/с2, µ = 0, 15кг · м2/с2 в пространстве параметров (θ, ω) изображены на рис. 3 штриховкой. Рис. 2 Рис. 3 Области неустойчивости при C = 1кг · м2/с2, A = 1кг · м2/с2, l1 = 10м, l2 = 5м, m = 1кг, a = 0, 5м, g = 9, 8м/с2, µ = 0, 2кг · м2/с2 в пространстве параметров (θ, ω) изображены на рис. 4 штриховкой. Области неустойчивости при C = 1кг · м2/с2, A = 2кг · м2/с2, ω = 10с−1, l2 = 5м, m = 1кг, a = 0, 5м, g = 9, 8м/с2, µ = 0, 2кг · м2/с2 в пространстве параметров (θ, l1/l2) изображены на рис. 5 штриховкой. 109 Е.В. Очеретнюк Рис. 4 Рис. 5 Области неустойчивости при C = 3кг · м2/с2, A = 5кг · м2/с2, ω = 10с−1, l2 = 4м, m = 2кг, a = 0, 3м, g = 9, 8м/с2, µ = 0, 15кг · м2/с2 в пространстве параметров (θ, l1/l2) изображены на рис. 6 штриховкой. Области неустойчивости при C = 3кг · м2/с2, A = 5кг · м2/с2, ω = 10с−1, l2 = 4м, m = 2кг, a = −0, 2м, g = 9, 8м/с2, µ = 0кг · м2/с2 в пространстве параметров (θ, l1/l2) изображены на рис. 7 штриховкой. Рис. 6 Рис. 7 Заключение. Предложен подход, основанный на теории Флоке и тео- рии параметрического возмущения, который дает возможность определить области потери устойчивости динамически симметричного твердого тела на струнном подвесе переменной длины. Получены достаточные условия неу- стойчивости в виде неравенства, ограничивающие параметры системы. Пред- ставлены численные примеры и построены области, которые им отвечают. 110 Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела 1. Золотенко Г.Ф. Движение твердого тела подвешеного на нити переменной длины // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1988. – №1. – С. 16–19. 2. Голубев Ю.Ф. Резонансы в линейных системах с одной степенью свободы и кусочно- постоянными параметрами // Прикл. математика и механика. – 1999. – 63, №2. – С. 204–212. 3. Слынько В.И. Об устойчивости стационарных вращений динамически симметричного твердого тела на струнном колеблющемся подвесе // Доп. НАН України. – 2008. – №5. – С. 82–88. 4. Очеретнюк Е.В., Слынько В.И. Параметрический резонанс в задачах динамики твер- дого тела на длинном струнном подвесе // Механика твердого тела. – 2011. – Вып. 41. – С. 68–84. 5. Красильников П.С. О нелинейных колебаниях маятника переменной длины на вибри- рующем основании // Прикл. математика и механика. – 2012. – 76, №1. – С. 36–51. 6. Беспалова Е.И., Урусова Г.П. Определение областей динамической неустойчивости неоднородных оболочечных систем при периодических возмущениях // Прикл. меха- ника. – 2011. – 47, №2. – С. 96–106. 7. Акуленко Л.Д., Нестеров С.В. Устойчивость равновесия маятника переменной длины // Прикл. математика и механика. – 2009. – 73, №6. – С. 893–902. 8. Майлыбаев А.А., Сейранян А.П. Многопараметрические задачи устойчивости. Тео- рия и приложения в механике. – М.: Физматлит, 2009. – 399 с. 9. Самойленко А.М., Перестюк Н.А. Дифференциальные уравнения с импульсным во- здействием. – К.: Вища школа, 1987. – 288 c. E.V. Ocheretnyuk Terms of losing stability of stationary rotation rigid body suspended on a string of variable length Dynamically symmetric rigid body on a string suspension is considered. Suspension length varies in a piecewise constant periodic law. The loss of stability of the system of the rotation around the axis of dynamic symmetry is investigated. Research is carried out using the Floquet theory and perturbation theory. The sufficient conditions of instability are obtained. Keywords: rigid body on a string suspension, Floquet theory, theory of parametric perturbations, instability. Є.В. Очеретнюк Умови втрати стiйкостi стацiонарного обертання тердого тiла на струнному пiдвiсi змiнної довжини Розглядається динамiчно симетричне тверде тiло на струнному пiдвiсi. Довжина пiдвi- су змiнюється за кусково-сталим перiодичним законом. Дослiджується втрата обертання твердого тiла навколо осi динамiчної симетрiї. Дослiдження проводяться методами теорiї Флоке i теорiї параметричних збурень. Отримано достатнi умови втрати стiйкостi. Ключовi слова: тверде тiло на струнному пiдвiсi, теорiя Флоке, теорiя параметричних збурень, нестiйкiсть. Ин-т механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев Ocheretnyukeugen@ukr.net Получено 20.06.12 111

Условия потери устойчивости стационарного вращения твердого тела на струнном подвесе переменной длины

Institution

Ähnliche Einträge