Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа
Рассмотрена задача о влиянии демпфирующего момента на устойчивость вращений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой вокруг главной оси инерции, несущей центр масс. Найдены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости изучаемого движения, которые налагают ограничения на распреде...
Gespeichert in:
| Datum: | 2012 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72604 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа / В.Е, Пузырев Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 135-142. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-72604 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-726042017-04-20T17:36:14Z Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. Рассмотрена задача о влиянии демпфирующего момента на устойчивость вращений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой вокруг главной оси инерции, несущей центр масс. Найдены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости изучаемого движения, которые налагают ограничения на распределение масс в теле, величину скорости вращения и коэффициент трения. Установлено, что при вращении вокруг нижнего положения относительного равновесия движение становится асимптотически устойчивым. При вращении вокруг верхнего положения равновесия влияние демпфирующего момента является двояким – гироскопически стабилизированное вращение тела может терять свойство устойчивости, но может становиться и асимптотически устойчивым. Примечательным является тот факт, что последний эффект стабилизации реализуем только для динамически несимметричного тела. Розглянуто задачу про вплив демпфiрувального моменту на стiйкiсть обертань твердого тiла з нерухомою точкою. Знайдено необхiднi i достатнi умови асимптотичної стiйкостi руху, якi накладають обмеження на розподiл мас у тiлi, величину кутової швидкостi i коефiцiєнт тертя. Встановлено, що у разi обертань навкруги нижчого положення вiдносної рiвноваги рух стає асимптотично стiйким. У разi обертання навкруги верхнього положення рiвноваги вплив демпфiрувального моменту може мати такi наслiдки: стабiлiзоване за рахунок гiроскопiчних сил обертання може отримати стiйкiсть або стати асимптотично стiйким. Останнiй ефект стабiлiзацiї має мiсце лише для динамiчно несиметричного тiла. The problem of the damping momentum influence on the stability of permanent rotations of the rigid body with fixed point is considered. The necessary and sufficient conditions of the stability are found, which give restrictions for mass distribution of the body, the angular velocity of the rotation and the damping coefficient. It is shown that the motion for downside position of the gyro becomes asymptotically stable. The influence of the damping for the upside rotations may be two-fold: gyroscopically stabilized motion may lose its stability, or may become asymptotically stable. The noteworthy is the fact that the last stabilization effect is realizable for the nonsymmetric gyro only. 2012 Article Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа / В.Е, Пузырев Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 135-142. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72604 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о влиянии демпфирующего момента на устойчивость вращений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой вокруг главной оси инерции, несущей центр масс. Найдены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости изучаемого движения, которые налагают ограничения на распределение масс в теле, величину скорости вращения и коэффициент трения. Установлено, что при вращении вокруг нижнего положения относительного равновесия движение становится асимптотически устойчивым. При вращении вокруг верхнего положения равновесия влияние демпфирующего момента является двояким – гироскопически стабилизированное вращение тела может терять свойство устойчивости, но может становиться и асимптотически устойчивым. Примечательным является тот факт, что последний эффект стабилизации реализуем только для динамически несимметричного тела. |
| format |
Article |
| author |
Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. |
| spellingShingle |
Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа Механика твердого тела |
| author_facet |
Пузырев, В.Е. Савченко, Н.В. |
| author_sort |
Пузырев, В.Е. |
| title |
Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа |
| title_short |
Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа |
| title_full |
Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа |
| title_fullStr |
Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа |
| title_full_unstemmed |
Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа |
| title_sort |
оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72604 |
| citation_txt |
Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость равномерных вращений несимметричного гироскопа / В.Е, Пузырев Н.В. Савченко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 135-142. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT puzyrevve ocenkavliâniâdempfiruûŝegomomentanaustojčivostʹravnomernyhvraŝenijnesimmetričnogogiroskopa AT savčenkonv ocenkavliâniâdempfiruûŝegomomentanaustojčivostʹravnomernyhvraŝenijnesimmetričnogogiroskopa |
| first_indexed |
2025-07-05T21:22:06Z |
| last_indexed |
2025-07-05T21:22:06Z |
| _version_ |
1836843560773615616 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.36
c©2012. В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ ДЕМПФИРУЮЩЕГО МОМЕНТА
НА УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОМЕРНЫХ ВРАЩЕНИЙ
НЕСИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА
Рассмотрена задача о влиянии демпфирующего момента на устойчивость вращений
тяжелого твердого тела с неподвижной точкой вокруг главной оси инерции, несущей
центр масс. Найдены необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости
изучаемого движения, которые налагают ограничения на распределение масс в теле,
величину скорости вращения и коэффициент трения. Установлено, что при вращении
вокруг нижнего положения относительного равновесия движение становится
асимптотически устойчивым. При вращении вокруг верхнего положения равновесия
влияние демпфирующего момента является двояким – гироскопически стабилизиро-
ванное вращение тела может терять свойство устойчивости, но может становиться и
асимптотически устойчивым. Примечательным является тот факт, что последний эффект
стабилизации реализуем только для динамически несимметричного тела.
Ключевые слова: демпфирующий момент, структура сил, равномерные вращения,
асимптотическая устойчивость.
В последние десятилетия при исследовании неконсервативных механиче-
ских систем большое внимание уделялось изучению влияния структуры сил
на динамику и устойчивость движения этих систем. Наряду с результата-
ми общего характера, посвященными обобщению и развитию классических
теорем Томсона –Тэта –Четаева [1, 2], большое число работ связано с иссле-
дованием поведения конкретных систем [3 – 9]. При этом достаточно важным
обстоятельством, влияющим на сложность исследования и его результаты,
является отсутствие или наличие циркуляционных (неконсервативных пози-
ционных) сил. В первом случае часто можно использовать вышеназванные
теоремы и их обобщения. Соответствующие формулировки обычно содержат
требования качественного порядка – полная диссипация энергии, произволь-
ные гироскопические силы, устойчивость положения равновесия при одних
(любых по величине) потенциальных силах ([2, теоремы 1 – 4 п. 6.5]) и пр. Во
втором случае ситуация принципиально иная, поскольку устойчивость или
неустойчивость движения зависит от количественных соотношений между
величинами действующих сил. В частности, движение гироскопически стаби-
лизированной системы теряет устойчивость при добавлении либо одних дис-
сипативных, либо одних циркуляционных сил, но может становиться асим-
птотически устойчивым при их совместном воздействии (примером может
служить вращение ротора на гибком валу, см. [6, п. 3.2; 7]).
1. Постановка задачи. Рассмотрим уравнения движения тяжелого
твердого тела под действием демпфирующего момента M = −k(ω − ω0):
Jω̇ +ω × Jω + Ps× ν = M , ν̇ + ω × ν = 0, (1)
135
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
где J = diag(J1, J2, J3) – тензор инерции, ω – вектор угловой скорости тела в
связанной системе координат, ν – орт вертикали, s – вектор, направленный
из неподвижной точки в центр масс тела, P – вес тела.
В [10] получены условия устойчивости равномерных вращений тела во-
круг главной оси, несущей центр масс, которым соответствует решение
ω = ω0 = (0, 0, ω0)
T , ν = (0, 0, 1)T , (2)
символ T обозначает транспонирование.
Соответствующие уравнения в вариациях сводятся [10] к системе
Aẍ+ (B +G)ẋ+ (C + P )x = 0. (3)
Здесь x = (ν̃2,
√
aν̃1)
T , A = diag(1, 1), B = diag(κ, κa ), G = b√
a
Λ,
C = diag(1− b+ µ, (a− b+ µ)/a), P =
κ√
a
Λ, Λ =
(
0 1
−1 0
)
,
значком “тильда” обозначены возмущения. Очевидно, без ограничения об-
щности, можно считать ω0 > 0. Здесь использованы следующие обозначения
a =
J2
J1
, b =
J1 + J2 − J3
J1
, µ =
P
J1ω2
0
, κ =
k
J1ω0
, τ = ω0t. (4)
С учетом неравенств треугольника для моментов инерции множество
возможных значений параметров a, b определяется неравенствами
a > 0, 0 < b < 2, b < 2a. (5)
Характеристическое уравнение для (3) таково:
aλ4 + κ(a+ 1)λ3 + [κ2 + 2a+ b2 − (a+ 1)(b+ µ)]λ2+
+κ(a+ 1− 2µ)λ+ (b− 1 + µ)(b− a+ µ) + κ
2 = 0. (6)
Согласно критерию Рауса –Гурвица [11] все корни имеют отрицательные
вещественные части тогда и только тогда, когда
κ
2 + 2a+ b2 − (a+ 1)(b+ µ) > 0, (a+ 1− 2µ) > 0; (7)
(b− 1 + µ)(b− a+ µ) + κ
2 > 0; (8)
∆3 = −µκ2[−µ(a− 1)2 + 2(a+ 1)(κ2 + b2)] > 0. (9)
2. Анализ условий асимптотической устойчивости равномерных
вращений. Найдем условия совместности системы (7) – (9). Напомним [12],
что необходимые условия устойчивости обычного тяжелого гироскопа (без
демпфирующего момента, т.е. при κ = 0) суть
c2 = −(a+ 1)(µ− µ0) > 0, c0 = (µ− µ1)(µ− µ2) > 0, d = c22 − 4ac0 > 0. (10)
Здесь
µ0 = (2a+ b2)/(a+ 1)− b, µ1 = min(a, 1) − b, µ2 = max(1, a) − b. (11)
136
Оценка влияния демпфирующего момента
Рассмотрим вначале более простой случай висящего гироскопа (µ < 0).
Выражение для d из (10) можно представить следующим образом:
d = [µ(a− 1)− b(a+ 1− b)]2 − 4abµδ1 (12)
или
d = [µ(a− 1) + b(a+ 1− b)]2 − 4bµδ2, (13)
где δ1 = −a+b+1, δ2 = a+b−1. Если δ1 > 0 , то положительность d следует
из первого представления (12). В противном случае имеем a ≥ b + 1, тогда
δ2 ≥ b+1+ b− 1 = 2b > 0, и d > 0 в силу (13). Кроме того, легко убедиться в
том, что всюду в области (5) выполняется неравенство µ0 > 0. Поэтому не-
равенства (10) выполнены тогда и только тогда, когда µ ∈ (−∞, µ1)
⋃
(µ2, 0),
µ2 < 0. В этом случае условия (7) – (9) также выполнены при любом значе-
нии коэффициента κ 6= 0 − устойчивые в первом приближении равномерные
вращения висящего гироскопа становятся асимптотически устойчивыми.
Предположим теперь, что µ ∈ (µ1, µ2), тогда вращение гироскопа
без трения неустойчиво (c0 < 0). Однако при значениях κ больших, чем
κ2 = [(µ1−µ)(µ−µ2)]
1/2 свободный член характеристического уравнения (6)
положителен, равно как и все остальные коэффициенты этого уравнения.
Таким образом, все условия (7) – (9) выполнены при κ > κ2. Этот резуль-
тат не изменится, если µ ∈ [µ1, 0), µ2 > 0. Если же µ1 > 0, то условия
асимптотической устойчивости выполнены для любых значений κ. Демпфи-
рующий момент оказывает стабилизирующее влияние на движение твердого
тела: устойчивые в первом приближении вращения всегда переводит в асим-
птотически устойчивые, а неустойчивые – при дополнительном ограничении
снизу на величину коэффициента демпфирования.
Перейдем к рассмотрению случая выпрямленного гироскопа (µ > 0). Те-
перь уже неравенство (9) не выполняется автоматически для любых допу-
стимых значений параметров. Выражение в фигурных скобках должно быть
отрицательно, откуда имеем ограничение для κ:
κ
2 = κ < κ3 =
(a− 1)2µ
2(a+ 1)
− b2. (14)
Поскольку левая часть (14) положительна, то должно выполняться условие
κ3 > 0. Иначе система неравенств (7) – (9) будет несовместна. Следовательно,
необходимым условием совместности системы (7) – (9) является условие
µ > µ3 =
2b2(a+ 1)
(a− 1)2
. (15)
Из первого неравенства (7) и неравенства (8) получим
κ > κ1 = (a+ 1)(µ + b)− 2a− b2, (16)
κ > κ2 = −µ2 + (a− 2b+ 1)µ − (b− a)(b− 1). (17)
137
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
Если κ1 < 0, κ2 < 0, то условия (16), (17) выполняются автоматически, и при
анализе их можно не учитывать.
Объединяя условия (14), (16) и (17), получим
κ0 = max(κ1, κ2, 0) < κ < κ3. (18)
Отметим, что κ2 > κ1, если 0 < µ <
√
a+ b2 − b и κ1 > κ2,
если µ >
√
a+ b2 − b. Для того, чтобы двойное неравенство (18) имело
место необходимой является положительность двух выражений
κ31 = κ3 − κ1 = −a2 + 6a+ 1
2(a + 1)
µ+ 2a− b(a+ 1),
(19)
κ32 = κ3 − κ2 = µ2 + [2b− a2 + 6a+ 1
2(a+ 1)
]µ+ a− b(a+ 1).
Решая первое неравенство (19) относительно µ, получим
µ < µ31 =
−2(ab− 2a+ b)(a+ 1)
a2 + 6a+ 1
. (20)
Так как должно выполняться условие µ > 0, то неравенство (20) имеет смысл
при 0 < b < 2a/(a+ 1).
Аналогичным образом из второго неравенства (19) имеем следующие
ограничения на µ:
µ < µ32 =
2(a− ab− b)
a+ 1
, (21)
µ >
1
2
(a+ 1). (22)
Неравенство (21) имеет смысл при 0 < b < a/(1 + a).
Не трудно видеть, что выполнение неравенства (22) противоречит
второму условию (7) и может быть исключено из рассмотрения. Объединяя
указанные ограничения на µ, получим условия совместности системы нера-
венств (7) − (9)
µ3 < µ < min(µ1, µ31, µ32). (23)
Поскольку
µ31 − µ32 =
2a(4b(a + 1) + (a− 1)2)
(1 + a2 + 6a)(a + 1)
> 0, µ1 − µ32 =
b(a+ 1 + b)
a+ 1
> 0,
то µ31 > µ32 и µ1 > µ32 для любых значений a и b. Следовательно, (23)
перепишется в следующем виде:
µ3 < µ < µ32. (24)
Поверхности, соответствующие правой части неравенства (23) и области
выполнения неравенства (24), изображены на рис. 1, 2.
138
Оценка влияния демпфирующего момента
Рис. 1. Вид поверхностей: µ = µ1(a, b) − верхняя,
µ = µ31(a, b) − средняя, µ = µ32(a, b) − нижняя.
Рис. 2. Вид поверхностей µ = µ32(a, b), µ = µ3(a, b).
Для выполнения условия (24) необходимо, чтобы
µ32 − µ3 =
2a(a− 1)2 − 2b2(a+ 1)2 − 2b(a− 1)(a2 − 1)
(a+ 1)(a− 1)2
> 0. (25)
1. Если 0 < a < 1, то (a − 1)/(a + 1) < 0 < a(1 − a)/(a + 1). И тогда
выполнение условия (25) будет при 0 < b < a(1− a)/(a + 1).
2. При a > 1 имеет место неравенство a(1−a)/(a+1) < 0 < (a−1)/(a+1);
тогда условие (25) справедливо при 0 < b < (a− 1)/(a + 1).
Следовательно, множество, на котором выполнена система (7) − (9), не
пустое и описывается неравенствами (24) с учетом ограничения (25).
139
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
Таким образом, необходимым и достаточным1 условием асимптотической
устойчивости равномерных вращений несимметричного гироскопа является
система неравенств (18), (24) и (25). Последнее из них накладывает огра-
ничения на распределение масс в теле и является необходимым для асим-
птотической устойчивости. Ему соответствует заштрихованная область на
рис. 3. Второе условие определяет диапазон допустимых значений угловой
скорости вращения. Первое условие определяет интервал значений (κ0, κ3)
приведенного коэффициента демпфирования κ, которые переводят устой-
чивые (неасимптотически) вращения выпрямленного тяжелого гироскопа в
асимптотически устойчивые.
Рис.3. Область выполнения условия (25). Рис.4. Разбиение на подобласти.
3. Оценка влияния демпфирующего момента на устойчивость.
Сравним полученные условия (18), (24), (25) с условиями устойчивости рав-
номерных вращений выпрямленного гироскопа (без демпфирующего момен-
та), приведенными в [13]. Эти условия представлены в виде таблицы.
Таблица в других обозначениях приведена в [12], там же введен термин
“тонкий” (“толстый”), который в наших обозначениях соответствует случаю
a < 1− b2(a > 1− b2).
Величины ω1, ω2, ω?, определяющие границы интервалов из таблицы,
соответствуют значениям µ1 = a − b, µ2 = 1 − b и меньшему из корней
уравнения d(µ) = 0
µ? =
b
(1− a)2
[b(a+ 1)− (1− a)2 − 2
√
a(a+ b− 1)(1 + b− a)].2
Их явные выражения через параметры исходной системы могут быть
получены с помощью формул (4).
В областях D′
j (j = 1; 5) условия устойчивости получаются из приведен-
ных в таблице посредством замены (a, b, µ) −→ (1/a, b/a, µ/a).
1Случай, когда хотя бы одно из неравенств переходит в равенство, является критиче-
ским в смысле Ляпунова и требует дополнительного исследования.
2Легко убедиться в том, что µ? > 0 в областях D3, D4, D5.
140
Оценка влияния демпфирующего момента
Область Вид гироскопа Вращение устойчиво при
D1 : b < a < 1− b2 короткоосный, тонкий ω ∈ (ω1,∞)
D2 : a < b <
√
1− a среднеосный, тонкий ω ∈ Ø
D3 : 1− b2 < a < b, b < 1 среднеосный, толстый ω ∈ (ω?, ω2)
D4 :
√
1− a < b < a короткоосный, толстый ω ∈ (ω?, ω2) ∪ (ω1,∞)
D5 : b > 1 длинноосный ω ∈ (ω?,∞)
Как можно видеть на рис. 4, область значений a, b, в которой выполнены
условия асимптотической устойчивости, принадлежит области D1(D
′
1
). Про-
межуток (µ3, µ32) допустимых значений µ принадлежит промежутку (0, µ1)
(ранее было показано, что µ32 < µ1). Интервал значений угловой скорости,
при которых вращение будет устойчивым, сужается – нижняя граница уве-
личивается, и появляется ограничение сверху. Для точек же (a, b), принадле-
жащих незаштрихованной части рисунка, имеет место неустойчивость, не-
зависимо от скорости вращения тела и величины демпфирующего момента.
Влияние последнего на устойчивость вращений выпрямленного гироскопа,
таким образом, в основном негативно. Вместе с тем, как было показано в
[14], для симметричного гироскопа диссипация энергии “разрушает” устой-
чивость любых вращений выпрямленного гироскопа (не трудно убедиться
в том, что при a = 1, µ > 0 неравенство (9) не выполняется). Считаем до-
стойным внимания тот факт, что несимметрия тела может оказывать поло-
жительное влияние на устойчивость равномерных вращений.
1. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. – М.: Изд-
во АН СССР, 1962. – 536 с.
2. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
3. Кошляков В.Н. О структурных преобразованиях неконсервативных систем // Прикл.
математика и механика. – 2000. – 64, вып. 6. – С. 933–941.
4. Agafonov S.A. Stability and motion stabilization of nonconservative mechanical systems
// J. Math. Sci. Dynamical systems II. – 2002. – 112, № 5. – P. 4419–4497.
5. Пузырев В.Е. Влияние сил вязкого трения на устойчивость стационарных движе-
ний механических систем при наличии частичной диссипации энергии // Докл. НАН
Украины. – 2004. – N 8. – С. 61–65.
6. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах
и задачах / Учеб. пособие для вузов. – М.: Наука, 1988. – 304 с.
7. Стороженко В.О. До дослiдження дiї неконсервативних позицiйних сил в системах з
обертанням // Доп. НАНУ. Сер. Мат., природн., техн. науки. – 1998. – № 7. – С. 67–70.
8. Кириллов О.Н. Об устойчивости неконсервативных систем с малой диссипацией //
Современная математика и ее приложения. – 2005. – 36. – С. 107–117.
9. Агафонов С.А. Об устойчивости и стабилизации движения неконсервативных меха-
нических систем // Прикл. математика и механика. – 2010. – 74, вып. 4. – С.560–566.
10. Пузырев В.Е., Топчий Н.В. Оценка собственных значений линейной механической
системы с двумя степенями свободы // Механика твердого тела. – 2011. – Вып. 41. –
С. 132–140.
141
В.Е. Пузырев, Н.В. Савченко
11. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 576 с.
12. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения: В 2-х т. – М.: Изд-во иностр. лит.,
1952. – Т.1. – 351 с.
13. Пузырев В.Е. Анализ условий устойчивости равномерных вращений тяжелого гиро-
скопа на упруго закрепленном основании// Механика твердого тела. – 2005. – Вып. 35.
– С. 124–127.
14. Матросов В.М. К теории устойчивости движения // Прикл. математика и механика.
– 1962. – 26, № 4. – С. 992–1002.
V.E. Puzyrev, N.V. Savchenko
The damping momentum’s influence on the stability of the non-symmetrical
gyro’s permanent rotations
The problem of the damping momentum influence on the stability of permanent rotations of the
rigid body with fixed point is considered. The necessary and sufficient conditions of the stability
are found, which give restrictions for mass distribution of the body, the angular velocity of the
rotation and the damping coefficient. It is shown that the motion for downside position of the
gyro becomes asymptotically stable. The influence of the damping for the upside rotations may
be two-fold: gyroscopically stabilized motion may lose its stability, or may become asymptotically
stable. The noteworthy is the fact that the last stabilization effect is realizable for the non-
symmetric gyro only.
Keywords: damping momemtum, structure of forces, permanent rotations, asymptotic stability.
В.Є. Пузирьов, Н.В. Савченко
Оцiнка впливу демпфiрувального моменту на стiйкiсть рiвномiрних
обертань несиметричного гiроскопа
Розглянуто задачу про вплив демпфiрувального моменту на стiйкiсть обертань твердого
тiла з нерухомою точкою. Знайдено необхiднi i достатнi умови асимптотичної стiйкостi
руху, якi накладають обмеження на розподiл мас у тiлi, величину кутової швидкостi i ко-
ефiцiєнт тертя. Встановлено, що у разi обертань навкруги нижчого положення вiдносної
рiвноваги рух стає асимптотично стiйким. У разi обертання навкруги верхнього положе-
ння рiвноваги вплив демпфiрувального моменту може мати такi наслiдки: стабiлiзоване
за рахунок гiроскопiчних сил обертання може отримати стiйкiсть або стати асимптотично
стiйким. Останнiй ефект стабiлiзацiї має мiсце лише для динамiчно несиметричного тiла.
Ключовi слова: демпфiрувальний момент, структура сил, рiвномiрнi обертання, асим-
птотична стiйкiсть.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
vpsr@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 01.11.12
142
|