Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями

Рассмотрены системы непрямого управления с периодическими дифференцируемыми нелинейностями. С помощью метода периодических функций Ляпунова и частотной теоремы Якубовича– Калмана получены оценки сверху для отклонения выхода системы в произвольный момент времени от его начального значения. Оценки уст...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автори:	Перкин, А.А., Перьева, Е.Л., Смирнова, В.Б., Шепелявый, А.И.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72605
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями / А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 143-152. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-72605
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-726052014-12-27T03:01:24Z Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями Перкин, А.А. Перьева, Е.Л. Смирнова, В.Б. Шепелявый, А.И. Рассмотрены системы непрямого управления с периодическими дифференцируемыми нелинейностями. С помощью метода периодических функций Ляпунова и частотной теоремы Якубовича– Калмана получены оценки сверху для отклонения выхода системы в произвольный момент времени от его начального значения. Оценки устанавливаются путем проверки неравенств относительно частотной характеристики линейной части системы. Розглянуто системи непрямого керування з перiодичними диференцiйовними нелiнiйностями. За допомогою методу перiодичних функцiй Ляпунова i частотної теореми Якубовича Калмана отримано оцiнки зверху для вiдхилення виходу системи в довiльний момент часу вiд його початкового значення. Оцiнки встановлюються шляхом перевiрки нерiвностей щодо частотної характеристики лiнiйної частини системи. A system of indirect control with periodic differentiable nonlinearity is considered. By means of periodic Lyapunov functions and Yakubovich–Kalman frequency-domain theorem certain estimates for the deviation of the output from its initial value are obtained. The estimates are established with the help of frequency-domain inequalities. 2012 Article Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями / А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 143-152. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72605 681.511.42 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрены системы непрямого управления с периодическими дифференцируемыми нелинейностями. С помощью метода периодических функций Ляпунова и частотной теоремы Якубовича– Калмана получены оценки сверху для отклонения выхода системы в произвольный момент времени от его начального значения. Оценки устанавливаются путем проверки неравенств относительно частотной характеристики линейной части системы.
format	Article
author	Перкин, А.А. Перьева, Е.Л. Смирнова, В.Б. Шепелявый, А.И.
spellingShingle	Перкин, А.А. Перьева, Е.Л. Смирнова, В.Б. Шепелявый, А.И. Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями Механика твердого тела
author_facet	Перкин, А.А. Перьева, Е.Л. Смирнова, В.Б. Шепелявый, А.И.
author_sort	Перкин, А.А.
title	Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями
title_short	Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями
title_full	Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями
title_fullStr	Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями
title_full_unstemmed	Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями
title_sort	частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72605
citation_txt	Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями / А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И. Шепелявый // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 143-152. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT perkinaa častotnoalgebraičeskieocenkičislaproskalʹzyvanijciklovdlâmnogomernyhfazovyhsistemsdifferenciruemyminelinejnostâmi AT perʹevael častotnoalgebraičeskieocenkičislaproskalʹzyvanijciklovdlâmnogomernyhfazovyhsistemsdifferenciruemyminelinejnostâmi AT smirnovavb častotnoalgebraičeskieocenkičislaproskalʹzyvanijciklovdlâmnogomernyhfazovyhsistemsdifferenciruemyminelinejnostâmi AT šepelâvyjai častotnoalgebraičeskieocenkičislaproskalʹzyvanijciklovdlâmnogomernyhfazovyhsistemsdifferenciruemyminelinejnostâmi
first_indexed	2025-07-05T21:22:09Z
last_indexed	2025-07-05T21:22:09Z
_version_	1836843563589042176
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42 УДК 681.511.42 c©2012. А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И.Шепелявый ЧАСТОТНО-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЙ ЦИКЛОВ ДЛЯ МНОГОМЕРНЫХ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ С ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫМИ НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ Рассмотрены системы непрямого управления с периодическими дифференцируемыми не- линейностями. С помощью метода периодических функций Ляпунова и частотной теоре- мы Якубовича– Калмана получены оценки сверху для отклонения выхода системы в про- извольный момент времени от его начального значения. Оценки устанавливаются путем проверки неравенств относительно частотной характеристики линейной части системы. Ключевые слова: фазовая система, проскальзывание циклов, прямой метод Ляпунова, частотные критерии. Введение. Статья посвящена изучению асимптотического поведения фазовых систем управления. Фазовые системы – это системы непрямого управления с периодическими нелинейностями. Математическое описание многомерной фазовой системы с одной нелинейностью может быть сведено [1] к системе дифференциальных уравнений вида      dz dt = Az + bϕ(σ), dσ dt = c∗z + ρϕ(σ). (1) Здесь A – действительная m × m-матрица, b и c – действительные m- векторы, ρ – число, символом * обозначено эрмитово сопряжение, ϕ(σ) – ∆-периодическая функция. Непосредственно из вида уравнений (1) вытека- ет, что если пара функций {z(t), σ(t)} является решением системы (1), то и пара {z(t), σ(t) + j∆}, где j ∈ Z, также является ее решением. Так что, если множество положений равновесия системы (1) непусто, то оно не менее чем счетно. Среди положений равновесия фазовой системы могут быть как устойчи- вые в малом, так и неустойчивые. Поэтому основной характеристикой устой- чивости фазовой системы является стремление любого ее решения к одному из положений равновесия при стремлении t → +∞. Это свойство носит на- звание глобальной асимптотической устойчивости. Изучению асимптотического поведения фазовых систем как низкого (вто- рого или третьего) порядка, так и многомерных посвящено много работ, начи- ная со статьи Ф. Трикоми [2]. Подробная библиография содержится в обзоре Г.А. Леонова [3]. Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (№ 12-01-00808). 143 А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И.Шепелявый Условия глобальной асимптотической устойчивости многомерных систем разрабатывались с помощью прямого метода А.М. Ляпунова. Оказалось, что стандартные в теории управления функции Ляпунова вида “квадратичная форма” и “квадратичная форма плюс интеграл от нелинейности” не позво- ляют получать конструктивные условия глобальной асимптотической устой- чивости. Поэтому в рамках прямого метода А.М. Ляпунова были разрабо- таны новые методы: процедура Бакаева–Гужа (метод периодических фун- кций Ляпунова) [4] и метод нелокального сведения [5]. Они привели к новым классам функций Ляпунова. Необходимые и достаточные условия существо- вания функций Ляпунова формулировались с помощью частотной теоремы Якубовича–Калмана [6]. Они имели форму частотных неравенств с варьиру- емыми параметрами. К задаче о глобальной асимптотической устойчивости тесно примыкает задача о числе проскальзываний циклов, впервые поставленная Дж.Стокером [7] для математического маятника, испытывающего сопротивление воздуха, пропорциональное первой степени скорости. На многомерные фазовые систе- мы эта задача была обобщена в статье [8]. Определение 1. Говорят, что решение {z(t), σ(t)} системы (1) проскаль- зывает k циклов, если существует такой момент t̂, что \|σ(t̂)− σ(0)\| = k∆, и \|σ(t)− σ(0)\| < (k + 1)∆ для всех t ∈ R+. В статье [8] путем применения метода нелокального сведения и метода периодических функций Ляпунова для решений системы (1) получены час- тотные критерии, позволяющие строить оценки числа проскальзываний ци- клов. В эти критерии был затем введен дополнительный варьируемый пара- метр для случая дифференцируемой нелинейной функции [9]. Они были рас- пространены на распределенные [10] и на дискретные [11] фазовые системы. В статье [12] частотные критерии, установленные в работе [8], сопрягаются с методом линейных матричных неравенств, что дает возможность эффектив- но применять их к конкретным системам. В данной статье продолжено исследование случая дифференцируемой не- линейности, начатое в монографии [9]. В статье используется обобщение пе- риодических функций Ляпунова, примененных в [9]. В итоге для построения оценок числа проскальзываний циклов устанавливаются новые многопараме- трические частотные критерии. 1. Рассмотрим автономную фазовую систему (1). Будем предполагать, что матрица A – гурвицева, пара (A, b) – управляема, пара (A, c) – наблю- даема, функция ϕ(σ) является непрерывно дифференцируемой функцией с конечным числом простых нулей на промежутке [0,∆). Для определенности предположим, что ∆ ∫ 0 ϕ(σ)dσ < 0. (2) Линейная часть системы (1) характеризуется передаточной функцией от 144 Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов входа ϕ к выходу (−σ̇). Она имеет вид K(p) = −ρ+ c∗(A− pEm)−1b (p ∈ C), где Em – единичная m×m-матрица. Пусть числа α1 и α2 таковы, что α1 ≤ dϕ dσ ≤ α2 (σ ∈ R). (3) Заметим, что α1α2 < 0. Введем в рассмотрение функции Φ(σ) = √ (1− α−1 1 ϕ′(σ))(1 − α−1 2 ϕ′(σ)) , rj(k,æ, x) = ∆ ∫ 0 ϕ(σ)dσ + (−1)j x æk ∆ ∫ 0 \|ϕ(σ)\|dσ (j = 1, 2) , r0j(k,æ, x) = ∆ ∫ 0 ϕ(σ)dσ + (−1)j x æk ∆ ∫ 0 Φ(σ)\|ϕ(σ)\|dσ (j = 1, 2) . Докажем лемму ляпуновского типа. Лемма 1. Пусть существует такое целое число k, такие неотрица- тельные числа a и a0, положительные числа ε, δ, τ и число æ 6= 0, а также такие непрерывно дифференцируемые при t ≥ 0 функции σ(t) и W (t), что выполняются следующие требования: 1) dW (t) dt +æϕ(σ(t)) dσ(t) dt +ε ( dσ(t) dt )2 +δϕ2(σ(t))+τΦ2(σ(t)) ( dσ(t) dt )2 ≤ 0; (4) 2) a+ a0 = 1; 3) матрицы Tj(W (0)), где Tj(x) = ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ε aærj(k,æ, x) 2 0 aærj(k,æ, x) 2 δ a0ær0j(k,æ, x) 2 0 a0ær0j(k,æ, x) 2 τ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ ∥ являются положительно определенными (j = 1, 2); 4) величина t̄ такова, что W (t̄) ≥ 0. Тогда \|σ(t̄)− σ(0)\| 6= k∆ . 145 А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И.Шепелявый Доказательство. Пусть положительное число ε0 столь мало, что матри- цы Tj(W (0) + ε0) (j = 1, 2) являются положительно определенными. Опре- делим для j = 1, 2 следующие функции: Fj(σ) = ϕ(σ)− rj \|ϕ(σ)\|, Ψj(σ) = ϕ(σ)− r0j \|ϕ(σ)\|Φ(σ), где rj = rj(k,æ,W (0) + ε0), r0j = r0j(k,æ,W (0) + ε0). Определим также функции ляпуновского типа Vj(t) = W (t) + æ    a σ(t) ∫ σ(0) Fj(σ)dσ + a0 σ(t) ∫ σ(0) Ψj(σ)dσ    . Вычислим производные dVj(t) dt = dW (t) dt +æaFj(σ(t))σ̇(t) + æa0Ψj(σ(t))σ̇(t). Согласно требованию 1) доказываемой леммы, установим, что справедли- во неравенство dVj dt ≤ −εσ̇2 − τ (Φ(σ)σ̇)2 − æarj\|ϕ(σ)\|σ̇ − æa0r0j \|ϕ(σ)\|Φ(σ)σ̇ − δϕ2(σ(t)). Из положительной определенности матриц Tj(W (0) + ε0) (j = 1, 2) вытекает, что dVj dt ≤ 0 (j = 1, 2) (5) и, следовательно, для всех t ≥ 0 справедливы неравенства Vj(t) ≤ Vj(0) = W (0). (6) Предположим теперь, что σ(t̄) = σ(0) + k∆. Тогда V1(t̄) = W (t̄) + kæ   ∆ ∫ 0 (aF1(σ) + a0Ψ1(σ))dσ   . 146 Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов Но ∆ ∫ 0 F1(σ)dσ = ∆ ∫ 0 Ψ1(σ)dσ = 1 æk (W (0) + ε0). Следовательно, V1(t̄) = W (t̄) +W (0) + ε0 > W (0), (7) что противоречит неравенству (6). Если же предположить, что σ(t̄) = σ(0) − k∆, то аналогичными рассуждениями установим, что V2(t̄) > W (0), что также противоречит неравенству (6). Этими противоречиями лемма 1 доказана. Следствие. Пусть выполнены условия 1) – 3) леммы 1. Если для всех t ≥ 0 справедливо неравенство W (t) ≥ 0, то для всех t ≥ 0 выполнена оценка \|σ(t)− σ(0)\| ≤ k∆. (8) 2. Чтобы воспользоваться леммой 1 для построения оценок числа про- скальзываний циклов решений системы (1), проведем сначала дополнитель- ные рассмотрения. Прежде всего, следуя [1], осуществим расширение фазово- го пространства системы (1). Введем в рассмотрение (m+1)×(m+1)-матрицу Q = ∥ ∥ ∥ ∥ A b O O ∥ ∥ ∥ ∥ , (m+ 1)-векторы L = ∥ ∥ ∥ ∥ O 1 ∥ ∥ ∥ ∥ , D = ∥ ∥ ∥ ∥ c ρ ∥ ∥ ∥ ∥ , y(t) = ∥ ∥ ∥ ∥ z(t) ϕ(σ(t)) ∥ ∥ ∥ ∥ и функцию ξ(t) = d dt ϕ(σ(t)). Функции y(t) и ξ(t) удовлетворяют системе уравнений      dy(t) dt = Qy(t) + Lξ(t), dσ(t) dt = D∗y(t). (9) 147 А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И.Шепелявый Из управляемости пары (A, b) следует управляемость пары (Q,L). Рассмотрим квадратичную форму аргументов y ∈ R m+1, ξ ∈ R G(y, ξ) = 2y∗H(Qy + Lξ) + æy∗LD∗y + εy∗DD∗y+ +δy∗LL∗y + τ(D∗y − α−1 1 ξ)∗(D∗y − α−1 2 ξ), где H = H∗ – (m+1)×(m+1)-матрица; æ, ε, δ, τ — параметры. Распространим форму G(y, ξ) на комплексные переменные y ∈ C m+1, ξ ∈ C c сохранением эрмитовости, обозначив расширенную форму через G̃. Получим G̃(y, ξ) = 2Re [ y∗H(Qy + Lξ) + æy∗LD∗y + εy∗DD∗y+ +δy∗LL∗y + τ(D∗y − α−1 1 ξ)∗(D∗y − α−1 2 ξ) ] . Пусть M̃(y, ξ) = −Re [ æy∗LD∗y+εy∗DD∗y+δy∗LL∗y+τ(D∗y−α−1 1 ξ)∗(D∗y−α−1 2 ξ) ] . Согласно частотной теореме Якубовича–Калмана, для существования эр- митовой матрицы H (вещественной в вещественном случае), для которой G̃(y, ξ) ≤ 0 (∀y ∈ C m+1, ∀ξ ∈ C), необходимо и достаточно, чтобы M̃((iωEm+1 −Q)−1Lξ, ξ) ≥ 0, ξ ∈ C, ω ∈ R, ω 6= 0. Следуя [1], используем равенства D∗(Q− pEm+1) −1L = 1 p K(p), L∗(Q− pEm+1) −1L = − 1 p (p ∈ C) и установим, что M̃ ((pE −Q)−1Lξ, ξ) = \|p\|−2ξ∗ ( Re[æK(p)− τ(K(p) + α−1 1 p)∗(K(p) + α−1 2 p)]− −ε\|K(p)\|2 − δ ) ξ (ξ ∈ C, p ∈ C). Таким образом, если выполнено частотное условие Re [ æK(iω)− τ(K(iω) + α−1 1 iω)∗(K(iω) + α−1 2 iω) ] − ε\|K(iω)\|2 − δ ≥ 0, (10) то существует такая симметричная (m+1)×(m+1)-матрица H, что выполнено неравенство G(y, ξ) ≤ 0 ∀y ∈ R m+1, ξ ∈ R. (11) Рассмотрим решение системы (1) с начальными данными (z(0), σ(0)). Ему соответствует решение системы (9) с начальными данными y(0) = ∥ ∥ ∥ ∥ z(0) ϕ(σ(0)) ∥ ∥ ∥ ∥ . Заметим, что в силу гурвицевости матрицы A любое решение y(t) системы (9) ограничено при t ∈ [0,+∞). 148 Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов Теорема 1. Пусть существуют такие неотрицательные числа a, a0, положительные числа ε, δ, τ , число æ 6= 0 и натуральное число k, что выполняются следующие условия: 1) для всех ω ≥ 0 справедливо частотное неравенство (10) ; 2) a+ a0 = 1; 3) матрицы Tj (y ∗(0)Hy(0) − I) (j = 1, 2), где I = inf t∈R+ y∗(t)Hy(t), являются положительно определенными для некоторой матрицы H = H∗, удовлетворяющей неравенству (11). Тогда для решения (1) c начальными данными (z(0), σ(0)) справедлива оценка (8) при всех t ≥ 0. Доказательство. Оно основано на применении леммы 1. Пусть W (t) = = y∗(t)Hy(t)− I. Тогда dW (t) dt = 2y∗(t)H (Qy(t) + Lξ(t)) . Условие 1) доказываемой теоремы обеспечивает выполнение неравенства (11), откуда следует, что dW (t) dt ≤ −æϕ(σ(t))σ̇(t)− εσ̇2(t)− δϕ2(σ(t))− −τ σ̇2(t) ( 1− α−1 1 ϕ′(σ(t)) ) ( 1− α−1 2 ϕ′(σ(t)) ) . Так что условие 1) леммы 1 выполнено. Условия 2) и 3) теоремы 1 совпадают с условиями 2) и 3) леммы 1 соответственно. Кроме того, W (t) ≥ 0, t ∈ R+. Таким образом, справедливость теоремы 1 вытекает из следствия к лемме 1. Теорема 2. Пусть σ(0) ∈ (σ1, σ2), где ϕ(σ1) = ϕ(σ2) = 0, \|σ1−σ2\| < ∆. Пусть существуют такие неотрицательные числа a, a0, натуральное число k, положительные числа ε, δ, τ и число æ 6= 0, что выполняются следующие условия: 1) для всех ω ≥ 0 справедливо частотное неравенство (10) ; 2) a+ a0 = 1. Если для матрицы H = H∗, удовлетворяющей неравенству (11), и при i = 1, и при i = 2 выполнены неравенства wi ≡ y∗(0)Hy(0)−æ σi ∫ σ(0) ϕ(σ)dσ < 0, то для всех t ∈ R+ справедлива оценка \|σ(0) − σ(t)\| < ∆. Если же wp ≥ 0 для p = 1 или p = 2 и матрица Tj(wp), где j = 1 2 (3 − signæ), положитель- но определена для указанного значения p, то для решения системы (1) c начальными условиями (z(0), σ(0)) для всех t ∈ R+ справедлива оценка \|σ(t) − σ(0)\| < ∆(k + 1). 149 А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И.Шепелявый Доказательство. Оно основано на лемме 1. Пусть (z(t), σ(t)) — решение системы (1), а W (t) = y∗(t)Hy(t). Так же, как и в доказательстве теоремы 1, доказываем, что условие 1) леммы 1 выполнено. Пусть для t = t̂ выполне- но σ(t̂) = σ1 или σ(t̂) = σ2. Рассмотрим (ẑ(t), σ̂(t)) — решение системы (1) с начальными данными ẑ(0) = z(t̂), σ̂(0) = σ(t̂). Используем обозначения ŷ = ∥ ∥ ∥ ∥ ẑ ϕ(σ̂(t)) ∥ ∥ ∥ ∥ , Ŵ (t) = ŷ∗(t)Hŷ(t). Заметим, что ϕ(σ̂(0)) = 0. Предполо- жим, что σ̂(t̄) = σ̂(0) ± k∆ (причем \|σ̂(t) − σ̂(0)\| < k∆ при t < t̄ ). Тогда ϕ(σ̂(t̄)) = 0. Запишем матрицу H в виде H = ∥ ∥ ∥ ∥ H0 h h∗ α ∥ ∥ ∥ ∥ , (12) где H0 = H∗ 0 – m × m-матрица, h – m-вектор, α – число. Тогда Ŵ (t̄) = = ẑ∗(t̄)H0ẑ(t̄). Покажем, что матрица H0 является положительно определен- ной. Действительно, для матрицы H выполнено условие (11), откуда G(y, 0) ≤ 0, y ∈ R m+1. (13) Положим y = ∥ ∥ ∥ ∥ z 0 ∥ ∥ ∥ ∥ (z ∈ R m). Тогда y∗L = 0, D∗y = c∗z, Qy = ∥ ∥ ∥ ∥ Az 0 ∥ ∥ ∥ ∥ , y∗HQy = z∗H0Az. Из (13) следует, что 2z∗H0Az + (ε+ τ)\|c∗z\|2 ≤ 0, откуда в силу гурвицевости матрицы A и наблюдаемости (A, c) следует, что H0 > 0 [6]. Таким образом, Ŵ (t̄) ≥ 0. (14) Заметим, что Ŵ (0) ≥ 0. (15) С другой стороны, Ŵ (0) = W (t̂). Из (11) вытекает, что dW (t) dt ≤ −æϕ(σ(t))σ̇(t), (16) и, следовательно, W (t̂) ≤ W (0)−æ t̂ ∫ 0 ϕ(σ(t))σ̇(t)dt = W (0)−æ σj ∫ σ(0) ϕ(σ)dσ (j = 1 или 2). (17) Таким образом, W (0)− æ σj ∫ σ(0) ϕ(σ)dσ ≥ Ŵ (0) ≥ 0. (18) 150 Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов Если wj < 0 и для j = 1, и для j = 2, то неравенство (18) приводит к противоречию. Следовательно, в этом случае σ(t) 6= σ1 и σ(t) 6= σ2. Пусть хотя бы одно из wp ≥ 0 (p = 1 или 2). Используя вид фун- кций rj(k,æ, x) и r0j(k,æ, x), легко показать, что, в силу неравенства (18), условия теоремы 2 гарантируют выполнение для Ŵ (t) условия 3) леммы 1. Действительно, пусть æ > 0. Тогда, в силу предположения (2), для любого x > 0 справедливы неравенства \|r1(k,æ,x)\| ≥ \|r2(k, æ,x)\|, \|r01(k,æ,x)\| ≥ ≥ \|r02(k,æ, x)\|. С другой стороны, если x1 ≥ x ≥ 0, то \|r1(k,æ,x1)\| ≥ ≥ \|r1(k,æ, x)\|, \|r01(k,æ,x1)\| ≥ \|r01(k,æ,x)\|. Тогда из того, что T1(x1) > 0, следует, что T1(x) > 0 и T2(x) > 0. Аналогичные рассуждения справедливы и для случая æ<0. Итак, все условия для функций σ̂(t) и Ŵ (t) леммы 1 выполнены. Так как Ŵ (t̄) ≥ 0, то согласно лемме 1 справедливо неравенство \|σ̂(0) − σ̂(t̄)\| 6= k∆, откуда следует, что для всех t > 0 справедлива оценка \|σ̂(0)− σ̂(t̄)\| < k∆. Но тогда для всех t > 0 −(k + 1)∆ < σ(t) < (k + 1)∆. Из доказательства теоремы 2 вытекает справедливость следующего утвер- ждения. Теорема 3. Пусть ϕ(σ(0)) = 0. Пусть далее для некоторых чисел a, a0 ≥ 0, k ∈ N, ε, δ, τ > 0 и æ 6= 0 выполнены условия 1), 2) теоремы 2 и матрицы Tj(y ∗(0)Hy(0)) являются положительно определенными для ма- трицы H = H∗, удовлетворяющей (11). Тогда для всех t ∈ R+ справедлива оценка \|σ(t)− σ(0)\| < ∆k. 1. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость нелинейных систем с неедин- ственным состоянием равновесия. – М.: Наука, 1978. – 400 с. 2. Tricomi F. Integrazione di un’equazione differenziale prezentatasi in electrotecnica // Annal della Roma Schuola Normale Superiore de Pisa. Scienza Phys. e Math. – 1933. – 2, № 2. – P. 1–20. 3. Леонов Г.А. Фазовая синхронизация. Теория и приложения // Автоматика и телеме- ханика. – 2006. – № 10. – С. 47–85. 4. Бакаев Ю.И., Гуж А.А. Оптимальный прием сигналов частотной модуляции в усло- виях эффекта Допплера // Радиотехника и электроника. – 1965. – 10, № 1. – С. 175– 196. 5. Леонов Г.А. Второй метод Ляпунова в теории фазовой синхронизации// Прикл. ма- тематика и механика. – 1976. – 40, № 2. – С. 238–244. 6. Якубович В.А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журн. – 1973. – 14, № 2. – С. 265–289. 7. Stoker J.J. Nonlinear vibrations in mechanical and electrical systems. – New York: Intersci- ence, 1950. – 273 p. 8. Леонов Г.А., Ершова О.Б. Частотные оценки числа проскальзываний циклов в фа- зовых системах автоматического регулирования // Автоматика и телемеханика. – 1983.– № 5. – С. 65–72. 9. Leonov G.A., Reitmann V., Smirnova V.B. Non-Local Methods for Pendulum-Like Feedback Systems. – Stuttgart–Leipzig: Teubner VerlagsgesellSchaft, 1992. – 242 p. 151 А.А. Перкин, Е.Л. Перьева, В.Б. Смирнова, А.И.Шепелявый 10. Киселева О.Б., Леонов Г.А., Смирнова В.Б. Оценка числа проскальзываний циклов в фазовых системах с распределенными параметрами// Численные методы в краевых задачах мат. физики. Межвуз. тематич. сб. тр. – Л.: ЛИСИ, 1985. – С. 116–124. 11. Смирнова В.Б., Утина Н.В., Шепелявый А.И. Оценка сверху числа проскальзыва- ний циклов в дискретных системах с периодической нелинейностью // Вестн. Санкт- Петербург. ун-та. Сер. 1. – 2003. – Вып. 2. – С. 48–57. 12. Ying Yang, Lin Huang Cycle slipping in phase synchronization systems // Physics Letters A. – 2007. – 362, № 3. – P. 183–188. A.A. Perkin, E.L. Perieva, V.B. Smirnova, A.I. Shepelyavyi Frequency-algebraic estimates of a number of slipped cycles for multidimensional phase systems with differentiable nonlinearities A system of indirect control with periodic differentiable nonlinearity is considered. By means of periodic Lyapunov functions and Yakubovich–Kalman frequency-domain theorem certain es- timates for the deviation of the output from its initial value are obtained. The estimates are established with the help of frequency-domain inequalities. Keywords: phase system, cycle slipping, direct Lyapunov method, frequency-domain criteria. О.О. Перкiн, К.Л. Пер’єва, В.Б. Смiрнова, О.I. Шепелявий Частотно-алгебраїчнi оцiнки числа проковзування циклiв для багатовимiрних фазових систем з диференцiйовними нелiнiйностями Розглянуто системи непрямого керування з перiодичними диференцiйовними нелiнiйностя- ми. За допомогою методу перiодичних функцiй Ляпунова i частотної теореми Якубовича– Калмана отримано оцiнки зверху для вiдхилення виходу системи в довiльний момент часу вiд його початкового значення. Оцiнки встановлюються шляхом перевiрки нерiвностей що- до частотної характеристики лiнiйної частини системи. Ключовi слова: фазова система, проковзування циклiв, прямий метод Ляпунова, ча- стотнi критерiї. Санкт-Петербургский гос. архитектурно-строительный ун-т, Санкт-Петербургский гос. ун-т ofercinn@gmail.com; ekaterinaperieva@gmail.com; root@al2189.spb.edu; as@as1020.spb.edu Получено 27.07.12 152

Частотно-алгебраические оценки числа проскальзываний циклов для многомерных фазовых систем с дифференцируемыми нелинейностями

Репозитарії

Схожі ресурси