Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа
Рассмотрена математическая модель пластины Кирхгофа с учетом инерции вращения ее поперечного сечения. Для такой модели получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая колебания с конечным числом модальных координат, и решена задача оптимального управления с квадратичным функцио...
Збережено в:
| Дата: | 2012 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2012
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72607 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 163-176. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-72607 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-726072014-12-27T03:01:25Z Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. Рассмотрена математическая модель пластины Кирхгофа с учетом инерции вращения ее поперечного сечения. Для такой модели получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая колебания с конечным числом модальных координат, и решена задача оптимального управления с квадратичным функционалом качества. Также приведены результаты численного интегрирования двухточечной задачи при полученном управлении. Розглянуто математичну модель пластини Кiрхгофа з урахуванням iнерцiї обертання її перетину. Для такої моделi отримано систему звичайних диференцiальних рiвнянь зi скiнченною кiлькiстю модальних координат та розвязано задачу оптимального керування з квадратичним критерiєм якостi. Також наведено результати чисельного iнтегрування двоточкової задачi при отриманому керуваннi. A mathematical model of the Kirchhoff plate with the rotational inertia of its cross section is considered. For such a model, a system of ordinary differential equations with finite numbers of modal coordinates is derived and the optimal control problem with a quadratic cost is solved. Results of numerical integration of a two-point problem with such a control are presented. 2012 Article Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 163-176. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72607 531.39, 517.977 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена математическая модель пластины Кирхгофа с учетом инерции вращения ее поперечного сечения. Для такой модели получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая колебания с конечным числом модальных координат, и решена задача оптимального управления с квадратичным функционалом качества. Также приведены результаты численного интегрирования двухточечной задачи при полученном управлении. |
| format |
Article |
| author |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. |
| spellingShingle |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа Механика твердого тела |
| author_facet |
Зуев, А.Л. Новикова, Ю.В. |
| author_sort |
Зуев, А.Л. |
| title |
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа |
| title_short |
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа |
| title_full |
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа |
| title_fullStr |
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа |
| title_full_unstemmed |
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа |
| title_sort |
оптимальное управление моделью пластины кирхгофа |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2012 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72607 |
| citation_txt |
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа / А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 163-176. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT zueval optimalʹnoeupravleniemodelʹûplastinykirhgofa AT novikovaûv optimalʹnoeupravleniemodelʹûplastinykirhgofa |
| first_indexed |
2025-07-05T21:22:14Z |
| last_indexed |
2025-07-05T21:22:14Z |
| _version_ |
1836843568473309184 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42
УДК 531.39, 517.977
c©2012. А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
МОДЕЛЬЮ ПЛАСТИНЫ КИРХГОФА
Рассмотрена математическая модель пластины Кирхгофа с учетом инерции вращения ее
поперечного сечения. Для такой модели получена система обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, описывающая колебания с конечным числом модальных координат, и ре-
шена задача оптимального управления с квадратичным функционалом качества. Также
приведены результаты численного интегрирования двухточечной задачи при полученном
управлении.
Ключевые слова: пластина Кирхгофа, собственные формы, задача оптимального управ-
ления, принцип максимума.
Введение. Изучению математических моделей колебаний тонких плас-
тин посвящен ряд работ отечественных и зарубежных авторов. Не претен-
дуя на полноту обзора, выделим работы [1,2]. Одной из наиболее принятых
моделей является модель Кирхгофа, которая имеет ряд преимуществ для
теоретического исследования по сравнению с теориями пластин Пуассона,
Рейсснера и классической теорией пластин.
В работе [3] была рассмотрена модель пластины Кирхгофа, которая шар-
нирно прикреплена на границе к вращающемуся твердому телу. Для та-
кой механической системы были получены условия управляемости конечно-
мерной модели пластины, а также найдены решения задачи Коши для систе-
мы в линейном приближении. При этом предполагалось, что вращательным
движением сечения пластины можно пренебречь.
В данной работе рассмотрена уточненная модель пластины Кирхгофа,
в которой учитывается момент инерции сечения пластины. Целью работы
является решение задачи оптимального управления колебаниями пластины
для любого фиксированного числа мод.
1. Модель Кирхгофа с учетом вращательной динамики сечения
пластины. Рассмотрим механическую систему (рис. 1), которая состоит
из упругой плаcтины, прикрепленной на границе к вращающемуся твердому
телу B. Предположим, что с твердым телом B связана декартова система
координат Ox1x2x3 [4].
Будем считать, что в состоянии покоя пластина занимает замкнутую
область, которая имеет вид (x1, x2) ∈ Ω = [0, l1] × [0, l2], |x3| ≤ h/2, где тол-
щина пластины равна h > 0. Предположим, что в каждый момент времени t
срединную поверхность пластины можно задать уравнением x3 = w(x1, x2, t).
Работа выполнена при поддержке гранта Президента Украины (№ Ф47/082) и проекта
украинско-австрийского сотрудничества (гос. рег. № 0111U007275).
163
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Рис. 1. Твердое тело с упругой пластиной.
Чтобы описать поведение функции w = w(x1, x2, t), воспользуемся мо-
делью пластины Кирхгофа с учетом вращательного движения поперечного
сечения [2]:
ρh
∂2w(x1, x2, t)
∂t2
− Iρ∆
∂2w(x1, x2, t)
∂t2
+D∆2w(x1, x2, t) = F, (x1, x2) ∈ Ω. (1)
Здесь ∆ =
∂2
∂x21
+
∂2
∂x22
– оператор Лапласа, ρ > 0 – плотность (масса на еди-
ницу объема), Iρ =
ρh3
12
– полярный момент инерции поперечного сечения,
D > 0 – жесткость пластины при изгибе, F – поперечная компонента си-
лы, которая действует на пластину. Будем считать, что пластина шарнирно
оперта на границе области Ω, т.е. компоненты вектора перемещения и вектора
моментов равны нулю на ∂Ω:
w(x1, x2, t)|∂Ω = 0, (2)
∂2w(x1, x2, t)
∂x21
+ ν
∂2w(x1, x2, t)
∂x22
∣∣∣∣
x1=0, x1=l1
= 0, (3)
∂2w(x1, x2, t)
∂x22
+ ν
∂2w(x1, x2, t)
∂x21
∣∣∣∣
x2=0, x2=l2
= 0, (4)
где ν – коэффициент Пуассона.
Модель пластины Кирхгофа с Iρ = 0 рассматривалась в работе [3].
Функция F в правой части уравнения (1) соответствует предположениям,
сделанным в работе [3], т.е. полагаем
F =− ρh[(x1 − a1)(ω1ω3 − ω̇2) + (x2 − a2)(ω2ω3 + ω̇1) +
+ (ω2
1 + ω2
2)(a3 − w(x1, x2, t)) + ẅ(x1, x2, t)].
(5)
164
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа
Здесь F – сила инерции, действующая на пластину, которая обусловлена пе-
реносным движением твердого тела с угловой скоростью ω = (ω1, ω2, ω3);
(a1, a2, a3) – координаты точки O1 в системе координат Ox1x2x3.
Перепишем уравнение (1) с учетом (5) следующим образом:
∂2w(x1, x2, t)
∂t2
− h2
24
∆
∂2w(x1, x2, t)
∂t2
+ α2∆2w(x1, x2, t) =
= −1
2
[(x1 − a1)(ω1ω3 − ω̇2) + (x2 − a2)(ω2ω3 + ω̇1)+
+(ω2
1 + ω2
2)(a3 − w(x1, x2, t))
]
= f(x1, x2, t),
(6)
где α2 =
D
2ρh
> 0.
Таким образом, получена модель (6), (2)–(4) колебаний механической си-
стемы, которая состоит из твердого тела и упругой пластины, шарнирно опер-
той на границе области Ω.
Для решения однородной краевой задачи (6), (2)–(4) методом Фурье под-
ставим
w(x1, x2, t) = X(x)q(t), x = (x1, x2)
в задачу (6), (2)–(4) с f = 0 и разделим переменные. В результате получим
q̈
q
= − α2∆2X
X − h2
24∆X
= −λ = const.
Рассмотрим уравнение
α2∆2X = λ(X − h2
24
∆X). (7)
Предположим, что X(x1, x2) = X1(x1)X2(x2) и обозначим
X ′′
1
X1
= µ1,
X ′′
2
X2
= µ2, µ = µ1 + µ2.
Тогда ∆X = (µ1 + µ2)X1X2 = µX. Подставим последнее выражение в урав-
нение (7) и получим, что λ =
α2(µ1 + µ2)
2
1− h2
24 (µ1 + µ2)
. В результате уравнение (6)
примет вид
q̈(t) + λq(t) = 0,
где µ1 и µ2 – собственные значения следующих задач Штурма–Лиувилля:
{
X ′′
1 (x1) = µ1X1(x1),
X1(0) = X1(l1) = 0,
0 ≤ x1 ≤ l1, (8)
165
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
{
X ′′
2 (x2) = µ2X2(x2),
X2(0) = X2(l2) = 0,
0 ≤ x2 ≤ l2. (9)
Известно, что задачи (8) и (9) имеют дискретный спектр: µ1 = µ1k,
µ2 = µ2j (k, j ∈ N), где
µ1k = −
(
πk
l1
)2
, µ2j = −
(
πj
l2
)2
. (10)
Собственным значениям задач Штурма–Лиувилля (8), (9) соответствуют
собственные функции {X1k}∞k=1 и {X2j}∞j=1. Пронормируем эти функции так,
чтобы они образовывали ортонормированные базисы в L2(0, l1) и L2(0, l2)
соответственно:
X1k(x1) =
√
2
l1
sin
(
πkx1
l1
)
, X2j(x2) =
√
2
l2
sin
(
πjx2
l2
)
. (11)
Решение краевой задачи (6), (2)–(4) будем искать в виде ряда Фурье
w(x1, x2, t) =
∞∑
k,j=1
Ckj(t)X1k(x1)X2j(x2).
Почленно продифференцируем ряд и подставим его в уравнение (6), учи-
тывая, что X ′′
1k = µ1kX1k, X
′′
2j = µ2jX2j :
∞∑
k,j=1
C̈kjX1kX2j −
h2
24
∞∑
k,j=1
C̈kj(µ1kX1kX2j + µ2jX1kX2j) +
+ α2
∞∑
k,j=1
Ckj(µ
2
1kX1kX2j + 2µ1kµ2jX1kX2j + µ2
2jX1kX2j) =
=
∞∑
k,j=1
fkjX1kX2j .
(12)
В результате проведенных преобразований получена бесконечная система
обыкновенных дифференциальных уравнений
C̈kj + λkjCkj = fkj, λkj =
α2(µ1k + µ2j)
2
1− h2
24 (µ1k + µ2j)
(k, j) ∈ N
2, (13)
где fkj – коэффициенты Фурье правой части уравнения (6) относительно
166
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа
ортонормированной системы {X1k(x1)X2j(x2)}∞k,j=1 в L2(Ω):
fkj =
2(
1 +
h2
24
(
(πkl2)
2 + (πjl1)
2
(l1l2)2
))√
l1l2
×
×
∫
Ω
f(x1, x2, t) sin
(
πkx1
l1
)
sin
(
πjx2
l2
)
dx1dx2 =
=
√
l1l2
π2kj
(
1 +
h2
24
(
(πkl2)
2 + (πjl1)
2
(l1l2)2
))
(
ω̇1
(
a2((−1)k − 1)((−1)j − 1) −
−l2(−1)j((−1)k − 1)
)
+ ω̇2
(
l1(−1)k((−1)j − 1)− a1((−1)k − 1)((−1)j − 1)
)
+
+ω1ω3
(
a1((−1)k − 1)((−1)j − 1)− l1(−1)k((−1)j − 1)
)
+
+ω2ω3
(
a2((−1)k − 1)((−1)j − 1)− l2(−1)j((−1)k − 1)
)
−
−a3(ω
2
1 + ω2
2)((−1)k − 1)((−1)j − 1)
)
+
(ω2
1 + ω2
2)√
l1l2
Ckj(t).
Подставим это значение fkj в (13) и запишем полученную систему диф-
ференциальных уравнений с точностью до слагаемых порядка
o(|ωk|, |ω̇k|, |Ckj |, |Ċkj|):
C̈kj + Ckjλkj =
2f̄kj
√
l1l2
π2kj
(
1 +
h2
24
(
(πkl2)
2 + (πjl1)
2
(l1l2)2
)) , (14)
где
f̄kj =
0, k - четное, j - четное,
−l1ω̇2, k - четное, j - нечетное,
l2ω̇1, k - нечетное, j - четное,
(l1 − 2a1)ω̇2 + (2a2 − l2)ω̇1, k - нечетное, j - нечетное.
Для исследования влияния движения тела-носителя B на малые колеба-
ния пластины положим u1(t) = ω̇1(t), u2(t) = ω̇2(t) и будем считать u1(t),
u2(t) управляющими функциями в системе (14):
C̈kj + Ckjλkj = ϕkju1(t) + gkju2(t), λkj =
α2(µ1k + µ2j)
2
1− h2
24 (µ1k + µ2j)
, (15)
где (k, j) ∈ N
2. Сделаем в системе (15) замену переменных
√
λkjCkj = ξkj(t), Ċkj(t) = ηkj(t), βkj =
√
λkj > 0.
167
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
В таких переменных система (15) примет вид
ẋkj = Akjxkj +Bkju(t), (16)
где xkj =
(
ξkj
ηkj
)
, Akj =
(
0 βkj
−βkj 0
)
, Bkj =
(
0 0
ϕkj gkj
)
, k, j ∈ N
2.
2. Задача оптимального управления. Зафиксируем число n ≥ 1 и
зададим отображение i 7→ (ki, ji), ставящее в соответствие индексу i ∈ {1, n}
пару индексов (ki, ji) ∈ N
2. Рассмотрим подсистему системы (16) для значе-
ний индексов k = ki, j = ji при i = 1, n:
ẋkiji = Akijixkiji +Bkijiu(t), i = 1, n. (17)
Для системы (17) рассмотрим следующую задачу оптимального управ-
ления. При заданных τ > 0, x0kiji , x1kiji необходимо найти управление
u ∈ L2(0, τ), доставляющее минимум функционалу
J =
τ∫
0
{u21(t) + u22(t)}dt −→ min (18)
на решениях x(t) системы (17), которые удовлетворяют краевым условиям
xkiji(0) = x0kiji , xkiji(τ) = x1kiji , i = 1, n. (19)
Решим задачу оптимального управления (17)–(19) с помощью принципа
максимума Понтрягина [5].
Составим функцию Гамильтона H(ζ0, ζ, x, u) = ζ0(u
2
1+u22)+
n∑
i=1
(pkijiβkijiηkiji+
+ qkiji(−βkijiξkiji + ϕkijiu1 + gkijiu2)) = ζ0(Qu, u) + ζ(Ax+Bu), где
x =
(
xk1j1 , . . . , xknjn
)∗
, Q =
(
1 0
0 1
)
, A = diag
(
Ak1j1 , . . . , Aknjn
)
, B =
=
(
Bk1j1 , . . . , Bknjn
)∗
, ζ =
(
pk1j1 , qk1j1 , . . . , pknjn , pknjn
)∗
, символом “ * ” обо-
значена операция транспонирования.
Оптимальное управление u = û(t) находится из условия максимума га-
мильтониана:
∂H
∂u
= 0. Тогда 2ζ0Qû+ ζB = 0, т.е.
û(t) = − 1
2ζ0
Q−1ζ(t)B, (20)
168
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа
û(t) = B∗ζ̃∗(t) =
(
0 ϕk1j1 0 ϕk2j2 . . . 0 ϕknjn
0 gk1j1 0 gk2j2 . . . 0 gknjn
)
pk1j1
qk1j1
pk2j2
qk2j2
...
pknjn
qknjn
=
=
n∑
i=1
ϕkijiqkiji
n∑
i=1
gkijiqkiji
. (21)
Выражение (20) рассматривается на траекториях гамильтоновой системы
ẋ =
∂H
∂ζ
∣∣∣∣
u=û
= Ax+Bû(t), ζ̇ = −∂H
∂x
∣∣∣∣
u=û
= −ζA. (22)
Систему (22) запишем покомпонентно:
ṗkiji(t) = βkijiqkiji(t), q̇kiji(t) = −βkijipkiji(t), i = 1, n. (23)
Решение этой системы будет иметь вид
{
pkiji(t) = p0kiji cos(βkiji(t)) + q0kiji sin(βkiji(t)),
qkiji(t) = −p0kiji sin(βkiji(t)) + q0kiji cos(βkiji(t)).
(24)
Подставим решение (24) в выражение (21), в результате получим управление
û1(s) =
n∑
i=1
ϕkiji
(
q0kiji cos(βkijis)− p0kiji sin(βkijis)
)
,
û2(s) =
n∑
i=1
gkiji
(
q0kiji cos(βkijis)− p0kiji sin(βkijis)
)
.
(25)
Найдем константы pkiji , qkiji , исходя из граничных условий (19). Для этого
представим решение x(t) системы (17) с управлением û(t) следующим обра-
зом:
xkljl(t) = etAkljlx0kljl +
τ∫
0
e(t−s)AkljlBkljl û(s)ds, (26)
где
etAkljlx0kljl =
(
cos(βkljlt) sin(βkljlt)
− sin(βkljlt) cos(βkljlt)
)(
ξ0kljl
η0kljl
)
.
169
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Перепишем выражение (26) в развернутом виде
ξkljl(t) = ξ0kljl cos(βkljlt) + η0kljl sin(βkljlt)+
+
t∫
0
(
n∑
i=1
ϕkljlϕkiji
(
q0kiji cos(βkijis)− p0kiji sin(βkijis)
)
+
+ gkljl
n∑
i=1
gkiji
(
q0kiji cos(βkijis)− p0kiji sin(βkijis)
)
)
sin(βkljl(t− s))ds,
ηkljl(t) = −ξ0kljl sin(βkljlt) + η0kljl cos(βkljlt)+
+
t∫
0
(
n∑
i=1
ϕkljlϕkiji
(
q0kiji cos(βkijis)− p0kiji sin(βkijis)
)
+
+ gkljl
n∑
i=1
gkiji
(
q0kiji cos(βkijis)− p0kiji sin(βkijis)
)
)
cos(βkljl(t− s))ds
(27)
и зададим граничные условия
{
ξkljl(τ) = ξ1kljl ,
ηkljl(τ) = η1kljl .
(28)
Вычислим интегралы в выражениях (27) и перепишем соотношение (28)
в следующем виде:
n∑
i 6=l,i=1
q0kiji(ϕkljlϕkiji + gkljlgkiji)βkljl
cos(βkijiτ)− cos(βkljlτ)
β2
kljl
− β2
kiji
+
+ q0kljl(ϕ
2
kljl
+ g2kljl)
τ sin(βkljlτ)
2
−
n∑
i 6=l,i=1
p0kiji(ϕkljlϕkiji + gkljlgkiji)×
× βkljl sin(βkijiτ)− βkiji sin(βkljlτ)
β2
kljl
− β2
kiji
− p0kljl(ϕ
2
kljl
+ g2kljl)× (29)
× sin(βkljlτ)− βkljlτ cos(βkljlτ)
2βkljl
= ξ1kljl − ξ0kljl cos(βkljlτ)− η0kljl sin(βkljlτ),
n∑
i 6=l,i=1
q0kiji(ϕkljlϕkiji + gkljlgkiji)βkljl
sin(βkljlτ)− βkiji sin(βkijiτ)
β2
kljl
− β2
kiji
+
+ q0kljl(ϕ
2
kljl
+ g2kljl)
sin(βkljlτ) + βkljlτ cos(βkljlτ)
2βkljl
−
170
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа
−
n∑
i 6=l,i=1
p0kiji(ϕkljlϕkiji + gkljlgkiji)
cos(βkijiτ)− cos(βkljlτ)
β2
kljl
− β2
kiji
βkiji−
− p0kljl(ϕ
2
kljl
+ g2kljl)
τ sin(βkljlτ)
2
= η1kljl + ξ0kljl sin(βkljlτ)− η0kljl cos(βkljlτ).
Преобразуем систему (29) следующим образом: первое уравнение умно-
жим на sin(βkljlτ), а второе – на cos(βkljlτ) и сложим их. Аналогично, первое
уравнение умножим на cos(βkljlτ), а второе – на sin(βkljlτ) и вычтем из пер-
вого второе. Тогда система (29) примет вид
q0kljl
τ
2
+q0kljl
sin(2βkljlτ)
4βkljl
−p0kljl
sin2(βkljlτ)
2βkljl
+
n∑
i 6=l,i=1
q0kiji
(ϕkljlϕkiji + gkljlgkiji)
ϕ2
kljl
+ g2kljl
×
×
(
βkljl sin(βkljlτ) cos(βkijiτ)− βkiji cos(βkljlτ) sin(βkijiτ)
β2
kljl
− β2
kiji
)
−
−
n∑
i 6=l,i=1
p0kiji
(ϕkljlϕkiji + gkljl)
gkiji
ϕ2
kljl
+
+g2kljl
(
βkljl sin(βkljlτ) sin(βkijiτ) + βkiji cos(βkljlτ) cos(βkijiτ)− βkiji
β2
kljl
− β2
kiji
)
=
=
ξ1kljl sin(βkljlτ) + η1kljl cos(βkljlτ)− η0kljl
ϕ2
kljl
+ g2kljl
,
p0kljl
τ
2
−p0kljl
sin(2βkljlτ)
4βkljl
−q0kljl
sin2(βkljlτ)
2βkljl
+
n∑
i 6=l,i=1
q0kiji
(ϕkljlϕkiji + gkljlgkiji)
ϕ2
kljl
+ g2kljl
×
×
(
βkljl cos(βkljlτ) cos(βkijiτ) + βkiji sin(βkljlτ) sin(βkijiτ)− βkljl
β2
kljl
− β2
kiji
)
−
−
n∑
i 6=l,i=1
p0kiji
(ϕkljlϕkiji + gkljlgkiji)
ϕ2
kljl
+ g2kljl
×
×
(
βkljl cos(βkljlτ) sin(βkijiτ)− βkiji cos(βkijiτ) sin(βkljlτ)
β2
kljl
− β2
kiji
)
=
=
ξ1kljl cos(βkljlτ)− η1kljl sin(βkljlτ)− ξ0kljl
ϕ2
kljl
+ g2kljl
.
Перепишем полученную систему линейных алгебраических уравнений в
171
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
матричном виде:
(
M + F
)
q0k1j1
p0k1j1
...
q0knjn
p0knjn
= P, (30)
где
M =
τ
2 0 . . . 0
0 τ
2 . . . 0
...
...
. . .
...
0 0 . . . τ
2
, F =
F11 F12 . . . F1n
F21 F22 . . . F2n
...
...
. . .
...
Fn1 Fn2 . . . Fnn
,
Fll =
sin(2βkljlτ)
4βkljl
−sin2(βkljlτ)
2βkljl
−sin2(βkljlτ)
2βkljl
−sin(2βkljlτ)
4βkljl
,
Fli =
ϕkljlϕkiji + gkljlgkiji
(ϕ2
kljl
+ g2kljl)(β
2
kljl
− β2
kiji
)
(
F 11
li F 12
li
F 21
li F 22
li
)
,
F 11
li = βkljl sin(βkljlτ) cos(βkijiτ)− βkiji cos(βkljlτ) sin(βkijiτ),
F 12
li = −(βkljl sin(βkljlτ) sin(βkijiτ) + βkiji cos(βkljlτ) cos(βkijiτ)− βkiji),
F 21
li = βkljl cos(βkljlτ) cos(βkijiτ) + βkiji sin(βkljlτ) sin(βkijiτ)− βkljl ,
F 22
li = −(βkljl cos(βkljlτ) sin(βkijiτ)− βkiji cos(βkijiτ) sin(βkljlτ));
P =
ξ1k1j1 sin(βk1j1τ) + η1k1j1 cos(βk1j1τ)− η0k1j1
ϕ2
k1j1
+ g2k1j1
ξ1k1j1 cos(βk1j1τ)− η1k1j1 sin(βk1j1τ)− ξ0k1j1
ϕ2
k1j1
+ g2k1j1
...
ξ1knjn sin(βknjnτ) + η1knjn cos−η0knjn
ϕ2
knjn
+ g2knjn
ξ1knjn cos(βknjnτ)− η1knjn sin(βknjnτ)− ξ0knjn
ϕ2
knjn
+ g2knjn
.
Таким образом, с помощью принципа максимума Понтрягина доказано
утверждение
172
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа
Утверждение 1. Для произвольных τ > 0, x0kiji , x
1
kiji
, (i = 1, n) в задаче
(17)–(19) существует единственное оптимальное управление, которое зада-
ется формулой
û1(s) =
n∑
i=1
ϕkiji
(
q0kiji cos(βkijis)− p0kiji sin(βkijis)
)
,
û2(s) =
n∑
i=1
gkiji
(
q0kiji cos(βkijis)− p0kiji sin(βkijis)
)
,
где параметры p0kiji , q0kiji находятся из системы линейных алгебраических
уравнений (30).
3. Результаты численного моделирования. В качестве примера рас-
смотрим систему дифференциальных уравнений вида (17) для девяти мод
колебаний пластины:
ẋkpjp = Akpjpxkpjp +Bkpjpu(t), p = 1, 9. (31)
Матрицы системы (31) задаются соотношениями
xkpjp =
(
ξkpjp
ηkpjp
)
, Akpjp =
(
0 βkpjp
−βkpjp 0
)
, Bkpjp =
(
0 0
ϕkpjp gkpjp
)
,
u(t) =
(
û1(t)
û2(t)
)
, где βkpjp =
α
(
πkp
l1
)2
+
(
πjp
l2
)2
√
√
√
√
√
√
1+
h2
24
((
πkp
l1
)2
+
(
πjp
l2
)2
) ,
ϕkpjp =
0, kp = 2n, jp = 2m+ 1,
2l2
√
l1l2
π2kpjp
(
1 +
h2
24
(
(πkpl2)
2 + (πjpl1)
2
(l1l2)2
)) , kp = 2n+ 1, jp = 2m,
2
√
l1l2(2a2 − l2)
π2kpjp
(
1 +
h2
24
(
(πkpl2)
2 + (πjpl1)
2
(l1l2)2
)) , kp = 2n+ 1, jp = 2m+ 1,
gkpjp =
−2l1
√
l1l2
π2kpjp
(
1 +
h2
24
(
(πkpl2)
2 + (πjpl1)
2
(l1l2)2
)) , kp = 2n, jp = 2m+ 1,
0, kp = 2n+ 1, jp = 2m,
2
√
l1l2(l1 − 2a1)
π2kpjp
(
1 +
h2
24
(
(πkpl2)
2 + (πjpl1)
2
(l1l2)2
)) , kp = 2n+ 1, jp = 2m+ 1,
173
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
(k, j ∈ N
2), p = 1, 9.
Выберем следующие значения механических параметров:
l1 = 1, l2 = π, α = 1, a1 = 1, a2 = −1, h = 0, 01.
Найдем значения собственных частот βkpjp :
βk1j1 =
π2 + 1√
1 +
π2 + 1
240000
≈ 10, 869; βk1j2 =
π2 + 4√
1 +
π2 + 4
240000
≈ 13, 869;
βk1j3 =
π2 + 9√
1 +
π2 + 9
240000
≈ 18, 869; βk2j1 =
4π2 + 1√
1 +
4π2 + 1
240000
≈ 40, 475;
βk2j2 =
4(π2 + 1)√
1 +
π2 + 1
60000
≈ 43, 474; βk2j3 =
4π2 + 9√
1 +
4π2 + 9
240000
≈ 48, 474;
βk3j1 =
9π2 + 1√
1 +
9π2 + 1
240000
≈ 89, 809; βk3j2 =
9π2 + 4√
1 +
9π2 + 4
240000
≈ 92, 808;
βk3j3 =
9(π2 + 1)√
1 +
9(π2 + 1)
240000
≈ 97, 807.
Для иллюстрации эффективности оптимального управления, полученно-
го в утверждении 1, рассмотрим подсистему системы (31) с тремя степенями
свободы. Выберем среди приведенных выше собственных значений три наи-
меньших
0 < βk1j1 < βk1j2 < βk1j3
и введем обозначения (k1, j1) = (1, 1) для i = 1; (k2, j2) = (1, 2) для i = 2;
(k3, j3) = (1, 3) для i = 3. Тогда частоты βkiji будут следующими:
βk1j1 ≈ 10.869, βk2j2 ≈ 13.869, βk3j3 ≈ 18.869.
Рассмотрим задачу оптимального управления для подсистемы систе-
мы (31), соответствующую трем модам колебаний
ẋkpjp = Akpjpxkpjp +Bkpjpu(t), p = 1, 3, (32)
с функционалом качества
J =
1∫
0
{u21(t) + u22(t)}dt −→ min (33)
174
Оптимальное управление моделью пластины Кирхгофа
и краевыми условиями
x1kpjp =
(
0
0
)
, x0k1j1 =
(
1
0
)
, x0k2j2 = x0k3j3 =
(
0
0
)
. (34)
Найдем коэффициенты q0kpjp и p0kpjp , подставив значения βkpjp , ϕkpjp , gkpjp,
ξ0kpjp , ξ
1
kpjp
, η0kpjp и η1kpjp в линейную систему (30):
p0k1j1 ≈ −1, 291, q0k1j1 ≈ 0, 071,
p0k2j2 ≈ −0, 848, q0k2j2 ≈ −3, 141,
p0k3j3 ≈ 1, 242, q0k3j3 ≈ 0, 750.
С помощью выражения (25) найдем оптимальное управление системы.
Для выбранных частот функции управления будут такими:
û1(t) = ϕk1j1(q
0
k1j1
cos(βk1j1t)− p0k1j1 sin(βk1j1t)) + ϕk2j2(q
0
k2j2
cos(βk2j2t)−
− p0k2j2 sin(βk2j2t)) + ϕk3j3(q
0
k3j3
cos(βk3j3t)− p0k3j3 sin(βk3j3t)),
û2(t) = gk1j1(q
0
k1j1
cos(βk1j1t)− p0k1j1 sin(βk1j1t)) + gk2j2(q
0
k2j2
cos(βk2j2t)−
− p0k2j2 sin(βk2j2t)) + gk3j3(q
0
k3j3
cos(βk3j3t)− p0k3j3 sin(βk3j3t)).
1.0
1.0
Рис. 2. График нормы решения ‖x(t)‖.
Путем численного интегрирования найдем решение системы (31) с на-
чальными условиями
x0k1j1 =
(
1
0
)
, x0k2j2 = ... = x0k9j9 =
(
0
0
)
,
соответствующее управлению û(t) в виде
x(t) =
(
xk1j1 , xk2j2 , xk3j3 , xk4j4 , xk5j5 , xk6j6 , xk7j7 , xk8j8 , xk9j9
)T
.
175
А.Л. Зуев, Ю.В. Новикова
Из рис. 2 видно, что оптимальное управление, соответствующее подсисте-
ме с тремя низкочастотными модами, может быть использовано для прибли-
женного решения двухточечной задачи управления системой (31) с девятью
модами. График нормы решения ‖x(t)‖ системы (31) приведен на рис. 2 для
t ∈ [0, 1].
Выводы. В работе рассмотрена математическая модель пластины Кирх-
гофа с учетом вращательного движения ее поперечного сечения. Данная мо-
дель является уточнением модели работы [3]. Для уточненной модели Кирх-
гофа была получена система обыкновенных дифференциальных уравнений,
описывающая колебания с конечным числом мод. Решена задача оптималь-
ного управления модели с явным заданием семейства управлений для любого
числа мод колебаний. Результаты численного интегрирования подтверждают
эффективность предложенных управлений для двухточечной задачи.
Представляет дальнейший интерес рассмотрение задачи управления мо-
делью пластины Кирхгофа с бесконечным числом степеней свободы.
1. Жилин П.А. О теориях пластин Пуассона и Кирхгофа с позиций современной теории
пластин // Изв. РАН. Механика твердого тела. – 1992. – № 3. – С. 48-64.
2. Lagnese J.E., Leugering G. Controllability of Thin Elastic Beams and Plates // The
control handbook (W.S. Levine ed.). – Boca Raton: CRC Press. – IEEE Press, 1996. –
P. 1139-1156.
3. Зуев А.Л., Новикова Ю.В. Малые колебания пластины Кирхгофа с двумерным управ-
лением // Механика твердого тела. – 2011. – Вып. 41. – С. 187-198.
4. Zuyev A. Approximate Controllability of a Rotating Kirchhoff Plate Model // Proc. 49-th
IEEE Conf. on Decision and Control. – Atlanta (USA), 2010. – P. 6944-6948.
5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математиче-
ская теория оптимальных процессов. Изд. 4-е. – М.: Наука, 1983. – С. 393.
A.L. Zuyev, Yu.V. Novikova
Optimal control of the Kirchhoff plate model
A mathematical model of the Kirchhoff plate with the rotational inertia of its cross section is
considered. For such a model, a system of ordinary differential equations with finite numbers of
modal coordinates is derived and the optimal control problem with a quadratic cost is solved.
Results of numerical integration of a two-point problem with such a control are presented.
Keywords: Kirchhoff plate, eigen forms, optimal control problem, maximum principle.
О.Л. Зуєв, Ю.В. Новiкова
Оптимальне керування моделлю пластини Кiрхгофа
Розглянуто математичну модель пластини Кiрхгофа з урахуванням iнерцiї обертання її
перетину. Для такої моделi отримано систему звичайних диференцiальних рiвнянь зi скiн-
ченною кiлькiстю модальних координат та розв’язано задачу оптимального керування з
квадратичним критерiєм якостi. Також наведено результати чисельного iнтегрування дво-
точкової задачi при отриманому керуваннi.
Ключовi слова: пластина Кiрхгофа, власнi форми, задача оптимального керування,
принцип максимуму.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины
al_zv@mail.ru, yuliya.novikova.88@mail.ru
Получено 25.06.12
176
|