Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем

Рассмотрена задача определения вектора постоянных параметров динамической системы по информации о значениях ее фазового вектора. Предложена схема построения асимптотического идентификатора для неизвестных параметров. Используется метод синтеза инвариантных многообразий, разработанный для решения обр...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2012
Автор:	Щербак, В.Ф.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2012
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72609
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 185-191. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-72609
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-726092014-12-27T03:01:29Z Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем Щербак, В.Ф. Рассмотрена задача определения вектора постоянных параметров динамической системы по информации о значениях ее фазового вектора. Предложена схема построения асимптотического идентификатора для неизвестных параметров. Используется метод синтеза инвариантных многообразий, разработанный для решения обратных задач теории управления. Метод позволяет находить конечные соотношения между переменными, которые на траекториях системы определяют искомые неизвестные как функции от известных величин. Розглянуто задачу визначення вектора постiйних параметрiв динамiчної системи за iнформацiєю про значення її фазового вектора. Запропоновано схему побудови асимптотичного iдентифiкатора для невiдомих параметрiв. Використовується метод синтезу iнварiантних многовидiв, розроблений для розв’язку обернених задач теорiї керування. Метод дозволяє знаходити алгебраїчнi спiввiдношення мiж змiнними, якi на траєкторiях системи визначають невiдомi параметри як функцiї вiд вiдомих величин. The problem of the dynamic system parameters determination by the information about the values of its phase vector is considered. The scheme for asymptotically evaluation of unknown parameters is proposed. Method is based on the synthesis of invariant manifold for dynamical system. Such approach allows us to synthesize the algebraic relation between the variables that determine with respect of the system trajectories the unknown parameters as a function of known quantities. 2012 Article Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 185-191. — Бібліогр.: 4 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72609 62-50:519.7 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена задача определения вектора постоянных параметров динамической системы по информации о значениях ее фазового вектора. Предложена схема построения асимптотического идентификатора для неизвестных параметров. Используется метод синтеза инвариантных многообразий, разработанный для решения обратных задач теории управления. Метод позволяет находить конечные соотношения между переменными, которые на траекториях системы определяют искомые неизвестные как функции от известных величин.
format	Article
author	Щербак, В.Ф.
spellingShingle	Щербак, В.Ф. Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем Механика твердого тела
author_facet	Щербак, В.Ф.
author_sort	Щербак, В.Ф.
title	Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем
title_short	Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем
title_full	Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем
title_fullStr	Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем
title_full_unstemmed	Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем
title_sort	инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2012
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72609
citation_txt	Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем / В.Ф. Щербак // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2012. — Вип 42. — С. 185-191. — Бібліогр.: 4 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT ŝerbakvf invariantnyesootnošeniâvzadačeidentifikaciimehaničeskihsistem
first_indexed	2025-07-05T21:22:19Z
last_indexed	2025-07-05T21:22:19Z
_version_	1836843573995110400
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2012. Вып. 42 УДК 62-50:519.7 c©2012. В.Ф.Щербак ИНВАРИАНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ИДЕНТИФИКАЦИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ Рассмотрена задача определения вектора постоянных параметров динамической системы по информации о значениях ее фазового вектора. Предложена схема построения асим- птотического идентификатора для неизвестных параметров. Используется метод синтеза инвариантных многообразий, разработанный для решения обратных задач теории управ- ления. Метод позволяет находить конечные соотношения между переменными, которые на траекториях системы определяют искомые неизвестные как функции от известных вели- чин. Ключевые слова: идентификация, инвариантные многообразия, гиростат. Для многих задач управления динамическими системами характерна си- туация, когда часть параметров системы неизвестна. В таких случаях во- зникает задача идентификации, которая состоит в определении неизвестных параметров по значениям выхода – известной информации о движении. Воз- можность решения задачи идентификации – свойство идентифицируемости – существенным образом зависит от аналитической структуры правых частей уравнений динамики и доступной информации [1]. Целью данной работы является распространение метода синтеза инвари- антных многообразий в задачах управления [2, 3] на задачи идентификации динамических систем. Чтобы не усложнять изложение метода особенностями, возникающими при идентификации систем общего вида, рассмотрим относи- тельно простой случай, а именно: предположим, что выходом исходной систе- мы является фазовый вектор, а сама система линейно зависит от неизвестных параметров. Обобщения на более общие конструкции систем “вход–выход”, в том числе и с привлечением информации о выходе, полученной на несколь- ких траекториях, могут быть проведены с использованием описанного ниже подхода и представляют предмет отдельного исследования. 1. Дополнительные соотношения в задаче идентификации. Рас- смотрим динамическую систему, правые части которой линейно зависят от вектора неизвестных параметров a: ẋ = f(x) + g(x)a, x(0) = x0; x ∈ Rn, a ∈ Rk. (1) Полагаем, что функция f(x) и матрица g(x) размером (n×k) удовлетворяют условиям теоремы о существовании и единственности решения x(t) системы (1). Предполагается также, что значения x(t) – функции выхода – измеряются Работа выполнена при поддержке проекта украинско-австрийского сотрудничества (гос. рег. № 0111U007275). 185 В.Ф. Щербак и известны для любого t ≥ 0. Задача идентификации состоит в определении по этой информации вектора постоянных параметров a. При k ≤ n достаточные условия идентифицируемости системы (1) в не- которой области D ⊆ Rn имеют вид [1] ∀x ∈ D rank ( g, ∂f ∂x g, . . . , ∂fn−1 ∂xn−1 g ) = k. (2) Далее будем полагать, что эти условия выполнены в области D, которой при- надлежит наблюдаемая траектория x(t). Дополним исходную систему (1) уравнениями для искомых параметров a и вектора A(t), который будем использовать для их оценки: ȧ = 0, Ȧ = u(A, x). (3) Здесь u(A, x) ∈ Rk – некоторое управление. Будем рассматривать дифферен- циальные уравнения (3) как динамическое расширение системы (1). Отме- тим, что если вектор-функция u(A, x) выбрана и задано начальное значение A0 = A(0), то вектор A(t) может быть найден в результате решения зада- чи Коши. При выполнении этих условий значения A(t) будем считать изве- стными. Обозначим через e(t) = A(t) − a, тогда из (3) следует, что ė = u(x,A). Основная идея предлагаемого подхода – выразить неизвестные a как некото- рые функции от известных. В нашем случае известными считаются x(t), A(t). Для этого переформулируем задачу следующим образом. Будем подбирать управление u(A, x) так, чтобы система дифференциальных уравнений (1),(3) имела инвариантное многообразие M , которое в пространстве переменных x, e описывалось бы системой k равенств e− Φ(x) = 0 (4) с некоторой функцией Φ(x). Тогда, если начальные условия x0, A0 выбраны так, что траектория системы (1), (3) принадлежит M , то при известной фун- кции Φ(x) по формуле (4) можно вычислить значения e(t) = A(t) − a или, что то же самое, найти параметры a. В общем случае начальные условия не принадлежат M , но если указан- ное многообразие будет обладать свойством глобального асимптотического притяжения для всех траекторий расширенной системы (1), (3), то в слу- чае непрерывности функции Φ(x) с помощью соотношений (4) может быть получена асимптотическая оценка параметров a. Введем вектор η – отклонение траекторий от многообразия (4) по формуле η = e − Φ(x). Дифференцируя в силу системы (1),(3), получаем дифферен- циальные уравнения для отклонений η: η̇ = u(A, x)− Φx(x)[f(x) + g(x)(A − Φ(x))] + Φx(x)g(x)η, (5) 186 Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем где через Φx обозначена якобиева матрица ∂Φ(x)/∂x. Выберем управление u(A, x) таким, что u(x,A) = Φx(x)[f(x) + g(x)(A − Φ(x))]. (6) При таком управлении дифференциальные уравнения (5) становятся линей- ными и однородными относительно η η̇ = Φx(x)g(x)η, (7) т.е. функция η(t) ≡ 0 удовлетворяет (7). Тем самым доказано Утверждение. Для всякой дифференцируемой функции Φ(x) система дифференциальных уравнений (1),(3) с управлением (6) обладает инвариан- тным многообразием M , которое описывается формулой (4). Равенства (4) образуют систему дополнительных алгебраических соотно- шений, с помощью которых на траекториях, принадлежащих M , может быть найден вектор искомых параметров a. Чтобы (4) можно было использовать на любом решении системы (1), (3), а не только на тех, которые прина- длежат инвариантному многообразию M , требуется из множества функций Φ(x) выбрать такую, для которой соответствующее ей многообразие обладает свойством глобального притяжения. Иными словами, функция Φ(x) должна быть такой, чтобы тривиальное решение (7) обладало свойством асимптоти- ческой устойчивости в области D. Таким образом, предлагаемая схема решения задачи идентификации па- раметров системы (1) предполагает выбор дифференцируемой функции Φ(x), при которой решение задачи Коши с произвольным начальным условием A0 для системы (3) с правой частью, определяемой (6), является ограниченным. Для оценки параметров a используется формула a = A(t)− Φ(x(t))− η(t). (8) Первые два слагаемые в правой части (8) известны. Остается открытым во- прос о синтезе такой функции Φ(x), для которой третье слагаемое – решение системы дифференциальных уравнений (7) – стремится к нулю. Проблема обеспечения глобальной асимптотической устойчивости неав- тономной системы дифференциальных уравнений (7) является сложной. В описанном способе решения задачи идентификации предполагается, что она рассматривается для каждой конкретной динамической системы отдельно, в зависимости от аналитического вида матрицы g(x). В частности, если g(x) является невырожденной якобиевой матрицей, то в качестве функции Φ(x) можно использовать функцию, якобиева матрица которой равна Φx(x) = BgT (x), (9) где B = diag(b1, b2, · · · , bk) – диагональная матрица, bi < 0, i = 1, k; T озна- чает операцию транспонирования матрицы. Для случая k = 1 функция Φ(x) 187 В.Ф. Щербак находится простым интегрированием выражения BgT (x). Если же k > 1, то функции Φ(x), удовлетворяющей (9), в общем случае не существует. В качестве примеров применения описанной схемы идентификации рас- смотрим задачи определения параметров осесимметричного твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки и гиростата с постоянным гиро- статическим моментом. 2. Идентификация параметра, характеризующего распределение масс в осесимметричном твердом теле. Запишем уравнения Эйлера для осесимметричного твердого тела, вращающегося вокруг своего центра масс. Обозначим A1, A2, A3 – главные центральные моменты инерции тела, и пусть A1 = A2. Тогда уравнения для угловой скорости ω = (ω1, ω2, ω3) имеют вид ω̇1 = aω2ω3, ω̇2 = −aω1ω3, ω̇3 = 0, (10) где a = (A2 − A3)/A1. Система (10) идентифицируема, если для любых мо- ментов времени ω3 6= 0, ω1 2(t) + ω2 2(t) 6= 0. Рассмотрим задачу идентификации параметра a, считая известными зна- чения вектора ω(t). Дополним систему (10) уравнением ȧ = 0 и введем урав- нение для идентификатора A(t) переменной a Ȧ = u(A,ω). (11) Здесь u(A,ω) ∈ R – неопределенная пока функция. Функция A(t) будет использована далее для оценки параметра a. Предлагаемый в работе подход заключается в оценивании искомых неизвестных (в данном случае параметра a) с помощью некоторых функций от известных величин. Введем в рассмотре- ние такую функцию Φ(ω). В силу произвола Φ(ω(t)) на траекториях системы (10), (11) выполнено равенство (8) A(t)− a = Φ(ω(t)) + η(t), (12) где η – некоторая величина, характеризующая отклонение. Наложим ограничения на функции u(A,ω) и Φ(ω). Выберем эти функции таким образом, что η̇ = kη, где константа k < 0. В этом случае формула (12) может быть использована для оценки параметра a. Действительно, значения Φ(ω(t)) известны, одно из неопределенных слагаемых – отклонение η(t) – экспоненциально стремится к нулю с показателем затухания, равным k, а значения другого – A(t) – находятся в процессе решения дифференциального уравнения (11) с любым начальным условием A(0) = A0. Уравнение η̇ = kη с учетом (10)–(12) принимает вид u(A,ω) − ∂Φ ∂ω1 (A− Φ− η)ω2ω3 + ∂Φ ∂ω2 (A− Φ− η)ω1ω3 − kη = 0. В частности, последнее равенство будет выполнено, если потребуем выполне- ния следующих двух соотношений: u(A,ω) = (A− Φ)( ∂Φ ∂ω1 ω2 − ∂Φ ∂ω2 ω1)ω3, ∂Φ ∂ω1 ω2 − ∂Φ ∂ω2 ω1 = k ω3 . 188 Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем Первое из них определяет вид управления u(A,ω), а второе – дифференциаль- ное уравнение в частных производных для функции Φ(ω1, ω2). Его частным решением является Φ(ω1, ω2) = k ω3 arctg ω1 ω2 . (13) Зная аналитический вид функции Φ(ω1, ω2), находим правую часть уравне- ния (11) для идентификатора Ȧ = k ( A− k ω3 arctg ω1(t) ω2(t) ) . (14) Окончательно получаем равенство a = A(t)− k ω3 arctg ω1(t) ω2(t) − η0 exp(kt), (15) где A(t) – решение задачи Коши для уравнения (14) с A(0) = A0. Формула (15) задает экспоненциальную оценку параметра a. 3. Определение компонент вектора гиростатического момента. Рассмотрим задачу идентификации двух компонент вектора гиростатическо- го момента. В качестве уравнения движения гиростата возьмем уравнения [4] A1ω̇1 = (A2 −A3)ω2ω3 + λ2ω3 − λ3ω2, A2ω̇2 = (A3 −A1)ω1ω3 + λ3ω1 − λ1ω3, (16) A3ω̇3 = (A1 −A2)ω1ω2 + λ1ω2 − λ2ω1, где A1, A2, A3 – главные центральные моменты инерции, ω = (ω1, ω2, ω3) – вектор угловой скорости носителя, λ = (λ1, λ2, λ3) – постоянный вектор ги- ростатического момента, у которого компоненты λ1, λ2 неизвестны. Полагая известными угловую скорость ω(t) и параметр λ3, рассмотрим задачу иден- тификации параметров λ1, λ2 по имеющейся информации. Достаточные усло- вия идентифицируемости системы (16) таковы: для любых моментов времени ω2 1 (t) + ω2 2 (t) 6= 0, а переменная ω3(t) не меняет знак, ω3(t) 6= 0. В соответствии с излагаемой методикой добавим к системе дифференци- альных уравнений (16) уравнения λ̇1 = 0, λ̇2 = 0 и введем в рассмотрение переменные Λ1,Λ2, используемые далее для получения оценок параметров λ1, λ2. Полагаем Λ̇1 = u1(ω), Λ̇2 = u2(ω). (17) Выразим соответствующие отклонения в виде (8): Λ1 − λ1 = Φ1(A2ω2) + η1, Λ2 − λ2 = Φ2(A1ω1) + η2. (18) Заменим переменные λ1, λ2 в уравнениях (16) соотношениями λi = Λi − Φi− −ηi, i = 1, 2. 189 В.Ф. Щербак Для того, чтобы использовать равенства (18) для получения асимпто- тических оценок параметров λ1, λ2, достаточно с помощью функций ui,Φi, i = 1, 2, обеспечить асимптотическое стремление переменных η1, η2 к нулю. Дифференцируя (18) в силу (16), (17), получаем u1 = η̇1 + Φ́1(A2ω2)[(A2 −A3)ω2ω3 + λ3ω1 + (Λ1 − Φ1 − η1)ω3], u2 = η̇2 + Φ́2(A1ω1)[(A3 −A1)ω1ω3 − λ3ω2 − (Λ2 − Φ2 − η2)ω3], (19) штрих означает дифференцирование Φ1,Φ2 соответственно по ω2, ω1. Потребуем, чтобы для части слагаемых правых частей (19) были выпол- нены равенства η̇1 − ω3Φ́1(A2ω2)η1 = 0, η̇2 + ω3Φ́2(A1ω1)η2 = 0, (20) которые формируют дифференциальные уравнения для отклонений ηi, i = 1, 2. При выполнении (20) уравнения (19) определяют управления u1 = Φ́1(A2ω2)[(A2 −A3)ω2ω3 + λ3ω1 + (Λ1 − Φ1)ω3], u2 = Φ́2(A1ω1)[(A3 −A1)ω1ω3 − λ3ω2 − (Λ2 − Φ2)ω3]. (21) Для нахождения из уравнений (20) отклонений η1, η2, полагаем Φ1 = −sign(ω3)A2ω2, Φ2 = sign(ω3)A1ω1, (22) тогда решение системы (20) таково ηi(t) = ηi(0) exp{− ∫ t 0 \|ω3(τ)\|dτ}, i = 1, 2. (23) Из формул (18) получаем, что неизвестные параметры λ1, λ2 удовлетво- ряют равенствам λ1 = Λ1(t) + sign(ω3(t))A2ω2(t)− η1(t), λ2 = Λ2(t)− sign(ω3(t))A1ω1(t)− η2(t), (24) где Λ1(t),Λ2(t)– любое решение системы дифференциальных уравнений (17) с правыми частями, задаваемыми формулами (21). Если для наблюдаемого движения гиростата существуют момент времени t∗ и постоянная α > 0 такая, что \|ω3(t)\| ≥ αt−1 для всех t ≥ t∗, то, как следует из (23), отклонения ηi(t), i = 1, 2, стремятся к нулю. В этом случае соотноше- ния (24) могут быть использованы для нахождения асимптотических оценок параметров λ1, λ2. 1. Ковалев А.М., Щербак В.Ф. Управляемость, наблюдаемость, идентифицируемость динамических систем. – Киев: Наук. думка, 1993. – 235 с. 190 Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем 2. В.Ф.Щербак Синтез дополнительных соотношений в задаче наблюдения // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 33. – С. 197–216. 3. В.Ф.Щербак Задача наблюдения динамических систем с неопределенностью // Тр. ИПММ НАН Украины. – 2006. – 13. – С. 218–223. 4. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1965. – 221 c. V.F. Shcherbak Invariant relations in identification problem of mechanical systems The problem of the dynamic system parameters determination by the information about the values of its phase vector is considered. The scheme for asymptotically evaluation of unknown parameters is proposed. Method is based on the synthesis of invariant manifold for dynamical system. Such approach allows us to synthesize the algebraic relation between the variables that determine with respect of the system trajectories the unknown parameters as a function of known quantities. Keywords: identification, invariant manifolds, gyrostat. В.Ф.Щербак Iнварiантнi спiввiдношення у задачi iдентифiкацiї механiчних систем Розглянуто задачу визначення вектора постiйних параметрiв динамiчної системи за iнфор- мацiєю про значення її фазового вектора. Запропоновано схему побудови асимптотичного iдентифiкатора для невiдомих параметрiв. Використовується метод синтезу iнварiантних многовидiв, розроблений для розв’язку обернених задач теорiї керування. Метод дозволяє знаходити алгебраїчнi спiввiдношення мiж змiнними, якi на траєкторiях системи визнача- ють невiдомi параметри як функцiї вiд вiдомих величин. Ключовi слова: iдентифiкацiя, iнварiантнi многовиди, гiростат. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк shvf@iamm.ac.donetsk.ua Получено 17.05.12 191

Инвариантные соотношения в задаче идентификации механических систем

Репозитарії

Схожі ресурси