Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела

С точки зрения визуализации движений рассматривается случай интегрируемости, найденный М.П. Харламовым (Механика твердого тела, 2002, вып. 32). Фазовое пространство задано двумя инвариантными соотношениями в общей интегрируемой неприводимой системе с тремя степенями свободы. Для почти всех наборов п...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Харламова, И.И., Харламов, М.П., Савушкин, А.Ю.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2013
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72636
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела / И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 19-28. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-72636
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-726362014-12-28T03:02:01Z Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела Харламова, И.И. Харламов, М.П. Савушкин, А.Ю. С точки зрения визуализации движений рассматривается случай интегрируемости, найденный М.П. Харламовым (Механика твердого тела, 2002, вып. 32). Фазовое пространство задано двумя инвариантными соотношениями в общей интегрируемой неприводимой системе с тремя степенями свободы. Для почти всех наборов постоянных первых интегралов подвижный и неподвижный годографы всюду плотно заполняют двумерные поверхности. Получены явные параметрические уравнения этих поверхностей и матрицы ориентации, где в качестве параметров выступают переменные разделения. Указано правило, позволяющее избавиться от двузначных радикалов с целью вывода формул, применимых для компьютерной визуализации. Построены иллюстрации основных типов поверхностей. Сделаны выводы о характере движений. З точки зору вiзуалiзацiї рухiв розглядається випадок iнтегровностi, знайдений М.П. Харламовим (Механiка твердого тiла, 2002, вип. 32). Фазовий простiр визначено двома iнварiантними спiввiдношеннями в загальному iнтегровному випадку з трьома степенями вiльностi. Для майже всiх наборiв сталих перших iнтегралiв рухомий i нерухомий годографи всюди щiльно заповнюють двовимiрнi поверхнi. Отримано явнi параметричнi рiвняння цих поверхонь i матрицi орiєнтацiї, в яких як параметри виступають змiннi роздiлення. Указано правило, що дозволяє позбавитися вiд двозначних радикалiв з метою виведення формул, що застосовуються для комп’ютерної вiзуалiзацiї. Побудовано iлюстрацiї основних типiв поверхонь. Зроблено висновки про характер рухiв. The integrable case found by M.P.Kharlamov (Mekh. Tverd. Tela, 2002, No. 32) is considered from the point of view of the visualization of motion. The phase space is defined by two invariant relations in a general integrable case with three degrees of freedom and, for almost all integral constants, the moving and fixed hodographs densely fill two-dimensional surfaces. We derive the explicit equations of these surfaces and the orientation matrix in terms of the separated variables, supply the rule of eliminating the two-valued radicals to get the formulas applicable for computer visualization. The main types of the hodographs surfaces are illustrated and some conclusions on the geometry of motion are made. 2013 Article Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела / И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 19-28. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72636 531.38+517.938.5 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	С точки зрения визуализации движений рассматривается случай интегрируемости, найденный М.П. Харламовым (Механика твердого тела, 2002, вып. 32). Фазовое пространство задано двумя инвариантными соотношениями в общей интегрируемой неприводимой системе с тремя степенями свободы. Для почти всех наборов постоянных первых интегралов подвижный и неподвижный годографы всюду плотно заполняют двумерные поверхности. Получены явные параметрические уравнения этих поверхностей и матрицы ориентации, где в качестве параметров выступают переменные разделения. Указано правило, позволяющее избавиться от двузначных радикалов с целью вывода формул, применимых для компьютерной визуализации. Построены иллюстрации основных типов поверхностей. Сделаны выводы о характере движений.
format	Article
author	Харламова, И.И. Харламов, М.П. Савушкин, А.Ю.
spellingShingle	Харламова, И.И. Харламов, М.П. Савушкин, А.Ю. Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела Механика твердого тела
author_facet	Харламова, И.И. Харламов, М.П. Савушкин, А.Ю.
author_sort	Харламова, И.И.
title	Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела
title_short	Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела
title_full	Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела
title_fullStr	Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела
title_full_unstemmed	Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела
title_sort	визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/72636
citation_txt	Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела / И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2013. — Вип 43. — С. 19-28. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT harlamovaii vizualizaciâodnogoklassadvuhčastotnyhdviženijtverdogotela AT harlamovmp vizualizaciâodnogoklassadvuhčastotnyhdviženijtverdogotela AT savuškinaû vizualizaciâodnogoklassadvuhčastotnyhdviženijtverdogotela
first_indexed	2025-07-05T21:23:26Z
last_indexed	2025-07-05T21:23:26Z
_version_	1836843644338831360
fulltext	ISSN 0321-1975. Механика твердого тела. 2013. Вып. 43 УДК 531.38+517.938.5 c©2013. И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ОДНОГО КЛАССА ДВУХЧАСТОТНЫХ ДВИЖЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА С точки зрения визуализации движений рассматривается случай интегрируемости, най- денный М.П. Харламовым (Механика твердого тела, 2002, вып. 32). Фазовое пространство задано двумя инвариантными соотношениями в общей интегрируемой неприводимой си- стеме с тремя степенями свободы. Для почти всех наборов постоянных первых интегралов подвижный и неподвижный годографы всюду плотно заполняют двумерные поверхности. Получены явные параметрические уравнения этих поверхностей и матрицы ориентации, где в качестве параметров выступают переменные разделения. Указано правило, позво- ляющее избавиться от двузначных радикалов с целью вывода формул, применимых для компьютерной визуализации. Построены иллюстрации основных типов поверхностей. Сде- ланы выводы о характере движений. Ключевые слова: твердое тело, метод годографов, визуализация движения. Введение. В классических задачах динамики твердого тела (поле си- лы тяжести, центральное ньютоновское поле, движение тела в жидкости) по- движный годограф угловой скорости есть образ соответствующего решения уравнений Эйлера –Пуассона (или аналогичных им уравнений Кирхгофа) в пространстве угловых скоростей, отнесенных к подвижным осям. Для на- хождения неподвижного годографа требуется дополнительная квадратура. Естественный способ записи уравнений неподвижного годографа и исследо- вания семейства неподвижных годографов в зависимости от существующих параметров предложен П.В.Харламовым [1] и известен как метод годографов построения прямого геометрического истолкования движения твердого тела. Если подвижный годограф – замкнутая кривая (периодическое решение урав- нений Эйлера –Пуассона), то неподвижный годограф лежит на двумерной поверхности и, как правило, заполняет всюду плотно некоторую область на ней. П.В.Харламов показал, что эта поверхность есть поверхность вращения, меридиан которой полностью определен подвижным годографом с исполь- зованием только конечных уравнений, а угловая координата неподвижного годографа находится интегрированием заданной функции времени. Однако для произвольных движений в интегрируемой задаче с осесимметричным си- ловым полем (в так называемой приводимой системе) подвижный годограф будет, вообще говоря, двухчастотной вектор-функцией времени, а следова- тельно, неподвижный годограф почти всегда будет заметать всюду плотно трехмерную область в неподвижном пространстве. Исследованию годографов в таких задачах (в том числе, в классических задачах Ковалевской и Горяче- ва –Чаплыгина) посвящен ряд работ И.Н. Гашененко [2] – [8]. В частности, ме- тодами теории чисел и Фурье-анализа определяются классы движений в ин- Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и ПВО (грант № 13-01-97025). 19 И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин тегрируемых приводимых системах, для которых и координаты вектора угло- вой скорости в неподвижном пространстве являются двоякопериодическими функциями времени или, иначе говоря, однозначными функциями на регу- лярном двумерном торе Лиувилля приведенной системы (связной компоненте регулярного интегрального многообразия уравнений Эйлера –Пуассона). В настоящей работе рассматривается случай, когда потенциал не обла- дает осью симметрии, но в шестимерном фазовом пространстве выделяются инвариантные четырехмерные многообразия, на которых индуцированная (а не приведенная) система имеет две степени свободы и интегрируема. Подоб- ные системы возникают, например, как критические подсистемы в системах с тремя степенями свободы, а их исследование является необходимым этапом в анализе исходной задачи в целом. Регулярные интегральные многообразия состоят из двумерных торов Лиувилля, а оба годографа, как подвижный, так и неподвижный, принадлежат двумерным поверхностям в соответствующих пространствах (гладким проекциям торов из шестимерного пространства в трехмерное) и, для почти всех начальных данных, заполняют эти поверхно- сти всюду плотно. 1. Изучаемая система. Рассматривается система с двумя степенями свободы, найденная в [9]. Ее явное решение в разделенных переменных указа- но в [10]. Там же представлены классификация решений и грубый топологи- ческий анализ этой системы. Запишем решение в обозначениях, удобных для целей настоящей работы. Предположим, что твердое тело с тензором инер- ции, удовлетворяющим условиям Ковалевской, помещено в двойное постоян- ное силовое поле, причем центры приложения полей расположены в эквато- риальной плоскости тела. Пусть O – неподвижная точка тела, {e1, e2, e3} – подвижный ортонормированный базис главных осей инерции, а тензор инер- ции (после перехода к безразмерным величинам) имеет вид diag{2, 2, 1}. Как показано в [11], силы можно считать взаимно ортогональными, а центры при- ложений сил выбрать на главных осях инерции. Пусть α,β – неподвижные в пространстве единичные направляющие векторы силовых полей, представ- ленные своими координатами в подвижном базисе. Тогда геометрические ин- тегралы имеют вид α2 = 1, β2 = 1, α·β = 0, а полная энергия (гамильтониан) системы такова: H = ω2 1 + ω2 2 + 1 2 ω2 3 − (aα1 + b β2). Скалярные характеристики действия силового поля можно без ограничения общности считать подчиненными условию a > b > 0 (в предельных случаях b = 0 и b = a задача в целом приводится к двум степеням свободы пони- жением порядка по Раусу). При произвольных a, b интегрируемость общей неприводимой системы с тремя степенями свободы доказана в [12]. Из двух параметров a, b существенным является лишь один, но мы сохраним оба для большей симметричности полученных выражений. Пространство переменных ωi, αj , βk в силу геометрических интегралов шестимерно. В работе [9] указаны два инвариантных соотношения, опреде- ляющие рассматриваемую здесь систему. Далее для краткости говорим о си- 20 Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела стеме N, подразумевая соответствующее четырехмерное инвариантное под- многообразие фазового пространства с индуцированной на нем динамикой. Система N является критической подсистемой [11] общей задачи Реймана – Семенова-Тян-Шанского. В дополнение к интегралу {H = h} система N име- ет указанный в [9] частный интеграл {M = m}. Имеет место разделение переменных [10]. Приведем явные формулы для решения. Положим p = √ a2 + b2 > 0, r = √ a2 − b2 > 0, ` = √ 2p2m2 + 2hm+ 1 > 0, Ψ(s1, s2) = 4ms1s2 − 2`(s1 + s2) + 1 m (`2 − 1), Φ(s) = Ψ(s, s), F1 = √ − Φ(s1), G1 = √ s2 1 − a2, F2 = √ Φ(s2), G2 = √ b2 − s2 2 . Выражения для фазовых переменных таковы: α1 = 1 2a(s1 − s2)2 [(s1s2 − a2)Ψ +G1G2F1F2], α2 = 1 2a(s1 − s2)2 [(s1s2 − a2)F1F2 −ΨG1G2], β1 = 1 2b(s1 − s2)2 [ΨG1G2 − (s1s2 − b2)F1F2], β2 = 1 2b(s1 − s2)2 [(s1s2 − b2)Ψ +G1G2F1F2], α3 = r G1 a(s1 − s2) , β3 = r G2 b(s1 − s2) , (1) ω1 = r(`− 2ms1)F2 2(s1 − s2) , ω2 = r(`− 2ms2)F1 2(s1 − s2) , ω3 = −G2F1 +G1F2 s1 − s2 . (2) Зависимость s1, s2 от времени задана уравнениями 2ṡ1 = F1G1, 2ṡ2 = F2G2. (3) Обозначим через h±a , h ± b значения h, при которых хотя бы один из много- членов под радикалами в правых частях уравнений (3) имеет кратный корень: h±a = r2m± 2a, h±b = −r2m± 2b. Эти прямые вместе с кривой ` = 0 определяют разбиение области суще- ствования решений на плоскости (m,h) на подобласти I –VI с регулярными интегральными многообразиями [10]: I) : max(h−a , h − b ) < h < min(h+a , h + b ); II) : max(h−a , h + b ) < h < h+a ; III) : max(h+a , h − b ) < h < h+b ; IV) : h+a < h < `, m > −1/(2a); V) : max(h+a , h + b ) < h < `, −1/(2b) < m < −1/(2a); VI) : h+ b < h < `, m < −1/(2b). 21 И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин 2. Поверхности годографов и геометрические свойства движе- ний. В дополнение к подвижному базису выберем ортонормированный базис {n1,n2,n3} в неподвижном пространстве. Арифметическое трехмер- ное пространство разложений всевозможных векторов угловой скорости по подвижному (неподвижному) базису назовем P -пространством (соответ- ственно, Π-пространством). Фиксируем значения всех имеющихся первых интегралов. Образ связной компоненты интегрального многообразия в P - пространстве (Π-пространстве) назовем P -поверхностью [2] (соответственно, Π-поверхностью [5]). Положению тела сопоставим матрицу Q направляющих косинусов, опре- деленную так, что ni = Qikek. Физическому вектору угловой скорости отве- чают арифметические векторы ω в P -пространстве и Ω в Π-пространстве, связанные соотношением Ω = Qω. Особенность точных решений неприводи- мых систем состоит в том, что само решение включает в себя выражение для матрицы ориентации Q. Действительно, в рассматриваемой системе N в силу геометрических интегралов можно взять n1 = α, n2 = β. Тогда, по опреде- лению, две первые строки Q заданы выражениями (1), а элементы третьей строки находим как координаты вектора n3 = α×β: γ1 = −r(s2G1Ψ+ s1G2F1F2) 2ab(s1 − s2)2 , γ2 = −r(s2G1F1F2 − s1G2Ψ) 2ab(s1 − s2)2 , γ3 = − a2s2 − b2s1 2ab(s1 − s2) . (4) Обозначая через Ωi координаты угловой скорости Ω в неподвижных осях, получим из (1), (4) Ω1 = − r 2a(s1 − s2)2 [G1G2F1 − (a2 + s1s2 − 2s21)F2], Ω2 = − r 2b(s1 − s2)2 [G1G2F2 + (b2 + s1s2 − 2s22)F1], Ω3 = − 1 2ab(s1 − s2)2 {[b2s1 + a2(s1 − 2s2)]F1G2− − [a2s2 − b2(2s1 − s2)]F2G1}. (5) Уравнения (2) и (5) дают аналитическую основу для компьютерной ви- зуализации P - и Π-поверхностей. Необходимо, однако, избавиться от устра- нимых особенностей, связанных с геометрией вспомогательных переменных, а также от двузначных алгебраических радикалов, некоторые из которых должны периодически менять знак вдоль фазовой траектории. Как следует из (1)–(3), переменные s1, s2 осциллируют в промежутках, определенных неравенствами G2 i (si) > 0, F 2 i (si) > 0 (i = 1, 2). При m < 0 область осцилляции переменной s1 неограничена, поскольку в первом урав- нении (3) под радикалом стоит многочлен 4-й степени с положительным стар- шим коэффициентом. Очевидно, что все особенности, связанные с прохожде- 22 Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела нием s1 через бесконечность, устранимы. Так как условия G2 i (si) > 0 рав- носильны неравенствам \|s1\| > a, \|s2\| 6 b, выполним подстановку s1 = au−1 1 , s2 = bu2 (\|u1\| 6 1, \|u2\| 6 1). Тогда F1(s1) = u−1 1 T1(u1), F2(s2) = T2(u2), G1(s1) = au−1 1 S1(u1), G2(s2) = bS2(u2). Здесь введены новые алгебраические радикалы T1 = √ − 4mθ1 θ2(u1 − τ1)(u1 − τ2), S1 = √ 1− u2 1 , T2 = b √ 4m(u2 − σ1)(u2 − σ2), S2 = √ 1− u2 2 и параметры θ1 = `+ 1 2m , θ2 = `− 1 2m , τi = a θi , σi = θi b (i = 1, 2). Из определения областей регулярности в плоскости (m,h) устанавливаем условия на корни τi, σi многочленов T 2 i , S 2 i и находим промежутки осцилля- ции переменных u1, u2 (см. табл. 1). Таблица 1 Номер обл. Условия на τi Условия на σi u1 ∈ u2 ∈ I 0 < τ1 < 1, \|τ2\| > 1 σ1 > 1, \|σ2\| < 1 [τ1, 1] [−1, σ2] II \|τ1\| < 1, τ2 > 1 \|σ1\| > 1, σ2 > 1 [τ1, 1] [−1, 1] III τ1 < −1, \|τ2\| > 1 σ1 < −1, \|σ2\| < 1 [−1, 1] [−1, σ2] IV \|τ1\| < 1, 0 < τ2 < 1 \|σ1\| > 1, σ2 > 1 [τ1, τ2] [−1, 1] V τ1 < −1, τ2 > 1 σ1 < −1, σ2 > 1 [−1, 1] [−1, 1] VI τ1 < −1, \|τ2\| > 1 −1 < σ1 < 0, \|σ2\| < 1 [−1, 1] [σ1, σ2] Для построения P - и Π-поверхностей преобразуем (2) и (5) в уравнения без особенностей. Подвижный годограф примет вид ω1 = r(`u1 − 2ma)T2 2(a− bu1u2) , ω2 = r(`− 2mbu2)T1 2(a− bu1u2) , ω3 = −aS1T2 + bS2T1 a− bu1u2 . (6) Координаты неподвижного годографа запишутся следующим образом: Ω1 = −r { bS1S2T1 + [a(2− u21)− bu1u2]T2 } 2(a− bu1u2)2 , Ω2 = −r { [bu1(1− 2u22) + au2]T1 + au1S1S2T2 } 2(a− bu1u2)2 , Ω3 = −(p2 − 2abu1u2)S2T1 − (p2u1u2 − 2ab)S1T2 2(a− bu1u2)2 . (7) 23 И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин После этого выполним тригонометрическую подстановку u1 = a1 sin 2 ϕ1 + b1 cos 2 ϕ1, u2 = a2 sin 2 ϕ2 + b2 cos 2 ϕ2, (8) где ai, bi – конечные границы изменения переменных ui из табл. 1. Тогда для радикалов, периодически меняющих знак, получим представление √ bi − ui = √ bi − ai sinϕi, √ ui − ai = √ bi − ai cosϕi. (9) Правило определения общего периода Ki всех зависимостей от переменной ϕi следующее: если ai, bi – корни одного и того же многочлена из S2 i , T 2 i , то период равен π, если же это корни разных многочленов, то период равен 2π. Величины периодов сведены в табл. 2. Число N = 4π2/(K1K2) в последнем столбце указывает количество P - и Π-поверхностей при заданных константах интегралов. Таблица 2 Номер обл. K1 (период по ϕ1) K2 (период по ϕ2) N (к-во компонент) I 2π 2π 1 II 2π π 2 III π 2π 2 IV π π 4 V π π 4 VI π π 4 Отметим, что образ интегрального многообразия (всех связных компо- нент в целом) как в P -пространстве, так и в Π-пространстве симметричен относительно координатных плоскостей. Так, чтобы изменить знак только координат ω1,Ω1, изменим одновременно знаки радикалов S1, T2, для коор- динат ω2,Ω2 изменим знаки S2, T1, а для координат ω3,Ω3 изменим знаки S1, S2. Кроме того, любая P - и Π-поверхность (связная компонента) симме- трична относительно плоскостей ω1 = 0 и Ω1 = 0 для областей I, III,VI, относительно плоскостей ω2 = 0 и Ω2 = 0 для областей I, II, IV и относитель- но плоскостей ω3 = 0 и Ω3 = 0 для областей I, II, III,V. Таким образом, если при заданных константах интегралов поверхностей несколько, то все они по- лучаются одна из другой отражением относительно некоторой координатной плоскости, а значит, при визуализации достаточно ограничиться каким-либо одним выбором знаков тех радикалов, которые вдоль фазовой траектории знака не меняют. В табл. 3 представлен результат компьютерной визуализации по фор- мулам (6)–(9) поверхностей, несущих подвижный и неподвижный годо- графы. Движение тела представляется качением P -поверхности “сквозь” Π-поверхность таким образом, что некоторая кривая (образ условно-пери- одической обмотки тора) на P -поверхности катится без проскальзывания по аналогичной кривой на Π-поверхности. 24 Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела Таблица 3 Номер обл. P -поверхность Π-поверхность I II III 25 И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин Таблица 3 (продолжение) Номер обл. P -поверхность Π-поверхность IV V VI Заметим, что согласно (6) характер изменения координат подвижного го- 26 Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела дографа определяется радикалами T1, T2 и выражением aS1T2+ bS2T1. Ясно, что в целом ωi являются двоякопериодическими функциями времени, но дви- жение по отношению к соответствующей оси может быть охарактеризовано как “колебание”, если координата знакопеременна, и как “вращение”, если она знакопостоянна. Естественно, что эта характеристика весьма условна и не но- сит здесь какого-либо точного математического содержания. Более строгий подход к описанию геометрии движений по отношению к главным осям, осно- ванный на введении понятий декомпозиции движений и частного движения в системе с разделенными переменными, предложен в работе [13]. Из табл. 1 следует, что выражение T1 знакопеременно в областях I, II, IV и знакопостоянно в областях III,V,VI, а T2 знакопеременно в областях I, III,VI и знакопостоянно в областях II, IV,V. Аналогично, выражение S1 знакопе- ременно во всех областях, кроме IV, а S2 знакопеременно во всех областях, кроме VI. В частности, выражение aS1T2 + bS2T1 знакопеременно во всех областях, кроме IV и VI. В каждой из двух последних областей одно из выражений S2T1 или S1T2 оказывается знакопостоянным. Таким образом, за исключением областей IV и VI движение носит колебательный характер по отношению к оси динамической симметрии. Вид движения относитель- но первой главной оси инерции (несущей центр приложения силы с боль- шей интенсивностью) определяется радикалом T2, а движение характери- зуется как колебание в областях I, III,VI и вращение в областях II, IV,V. Движение относительно второй главной оси инерции (несущей центр прило- жения силы с меньшей интенсивностью), согласно поведению радикала T1, является колебанием в областях I, II, IV и вращением в областях III,V,VI. Эти свойства также объясняют расположение проиллюстрированных выше поверхностей, несущих подвижный и неподвижный годографы, относитель- но координатных плоскостей. Подчеркнем, что данное описание относится к сомножителям в координатах подвижного годографа, которые определяю- тся радикалами (знакопеременными или знакопостоянными). Более точные утверждения требуют анализа произведений этих радикалов на однозначные несимметричные функции двух разделенных переменных (функции на торах Лиувилля). 1. Харламов П.В. Кинематическое истолкование движения тела, имеющего неподви- жную точку // Прикл. математика и механика. – 1964. – 28, вып. 3. – С. 502–507. 2. Гашененко И.Н. Подвижный годограф вектора угловой скорости в решении Горячева– Чаплыгина // Механика твердого тела. – 1986. – Вып. 18. – С. 3–9. 3. Гашененко И.Н. О неподвижном годографе угловой скорости в решении Горячева– Чаплыгина // Механика твердого тела. – 1988. – Вып. 20. – С. 29–34. 4. Гашененко И.Н. Характерные свойства годографов угловой скорости в решении Горячева–Чаплыгина // Механика твердого тела. – 1989. – Вып. 21. – С. 9–18. 5. Гашененко И.Н. Геометрический анализ двухчастотных квазипериодических движе- ний гироскопа Ковалевской // Механика твердого тела. – 1990. – Вып. 22. – С. 1–10. 6. Гашененко И.Н. Движение гироскопа Ковалевской при нулевой постоянной интеграла площадей // Механика твердого тела. – 1993. – Вып. 25. – С. 7–16. 7. Гашененко И.Н. Подвижный годограф угловой скорости в решении С.В. Ковалев- ской // Механика твердого тела. – 1994. – Вып. 26(1). – С. 1–9. 27 И.И. Харламова, М.П. Харламов, А.Ю. Савушкин 8. Gashenenko I.N. Angular velocity of the Kovalevskaya top // Regular and Chaotic Dynamics. – 2000. – 5, № 1. – P. 107–116. 9. Харламов М.П. Один класс решений с двумя инвариантными соотношениями задачи о движении волчка Ковалевской в двойном постоянном поле // Механика твердого тела. – 2002. – Вып. 32. – С. 32–38. 10. Харламов М.П., Савушкин А.Ю. Разделение переменных и интегральные многообра- зия в одной частной задаче о движении обобщенного волчка Ковалевской // Укр. мат. вестник. – 2004. – 1, № 4. – С. 564–582. 11. Харламов М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о дви- жении волчка Ковалевской в двойном поле // Механика твердого тела. – 2004. – Вып. 34. – С. 47–58. 12. Рейман А.Г., Семенов-Тян-Шанский М.А. Лаксово представление со спектральным параметром для волчка Ковалевской и его обобщений // Функц. анализ и его прило- жения. – 1988. – 22, вып. 2. – С. 87–88. 13. Kharlamova I.I., Savushkin A.Y. On the geometry of motions in one integrable problem of the rigid body dynamics // Submitted to J. of Geom. and Phys. – Preprint arXiv:1312.6774. I.I. Kharlamova, M.P. Kharlamov, A.Y. Savushkin Visualization of one class of two-frequency motions of a rigid body The integrable case found by M.P.Kharlamov (Mekh. Tverd. Tela, 2002, No. 32) is considered from the point of view of the visualization of motion. The phase space is defined by two invariant relations in a general integrable case with three degrees of freedom and, for almost all integral constants, the moving and fixed hodographs densely fill two-dimensional surfaces. We derive the explicit equations of these surfaces and the orientation matrix in terms of the separated variables, supply the rule of eliminating the two-valued radicals to get the formulas applicable for computer visualization. The main types of the hodographs surfaces are illustrated and some conclusions on the geometry of motion are made. Keywords: rigid body, hodograph method, visualization of motions. I.I. Харламова, М.П. Харламов, О.Ю. Савушкiн Вiзуалiзацiя одного класу двочастотних рухiв твердого тiла З точки зору вiзуалiзацiї рухiв розглядається випадок iнтегровностi, знайдений М.П. Хар- ламовим (Механiка твердого тiла, 2002, вип. 32). Фазовий простiр визначено двома iн- варiантними спiввiдношеннями в загальному iнтегровному випадку з трьома степенями вiльностi. Для майже всiх наборiв сталих перших iнтегралiв рухомий i нерухомий годогра- фи всюди щiльно заповнюють двовимiрнi поверхнi. Отримано явнi параметричнi рiвняння цих поверхонь i матрицi орiєнтацiї, в яких як параметри виступають змiннi роздiлення. Указано правило, що дозволяє позбавитися вiд двозначних радикалiв з метою виведення формул, що застосовуються для комп’ютерної вiзуалiзацiї. Побудовано iлюстрацiї основних типiв поверхонь. Зроблено висновки про характер рухiв. Ключовi слова: тверде тiло, метод годографiв, вiзуалiзацiя руху. Волгоградский филиал РАНХиГС, Россия irinah@vags.ru Получено 28.10.13 28

Визуализация одного класса двухчастотных движений твердого тела

Institution

Ähnliche Einträge