Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке
С использованием квазиклассического приближения в рамках модифицированной модели Маядаса и Шацкеса теоретически проанализирован тензорезистивный эффект в многослойной поликристаллической пленке. Получено общее (при произвольном соотношении между толщинами слоев) и асимптотические (для толстых и тонк...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
2010
|
| Назва видання: | Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/73132 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке / Ю.А. Шкурдода, Л.В. Дехтярук, А.Н. Чорноус // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2010. — Т. 8, № 3. — С. 579-592. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-73132 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-731322015-01-06T03:02:02Z Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке Шкурдода, Ю.А. Дехтярук, Л.В. Чорноус, А.Н. С использованием квазиклассического приближения в рамках модифицированной модели Маядаса и Шацкеса теоретически проанализирован тензорезистивный эффект в многослойной поликристаллической пленке. Получено общее (при произвольном соотношении между толщинами слоев) и асимптотические (для толстых и тонких по сравнению с длиной свободного пробега электронов слоев металла, входящих в состав мультислоя) выражения для коэффициентов продольной и поперечной тензочувствительности. Предсказана их немонотонная зависимость от отношений толщин соседних слоев металла и выполнен детальный численный расчет коэффициента продольной тензочувствительности при различных значениях параметров, характеризующих мультислой. З використанням квазикласичного наближення у рамках модифікованого моделю Маядаса і Шацкеса теоретично проаналізовано тензорезистивний ефект у багатошаровій полікристалічній плівці. Одержано загальне (при довільному співвідношенні між товщинами шарів) та асимптотичні (для товстих і тонких у порівнянні з довжиною вільного пробігу електронів шарів металу, які входять до складу багатошарової плівки) вирази для коефіцієнтів поздовжньої і поперечної тензочутливости. Передбачено їх немонотонну залежність від відношення товщин суміжних шарів металу і виконано детальний чисельний розрахунок коефіцієнта поздовжньої тензочутливости при довільних значеннях параметрів, які характеризують мультишар. Within the scope of the modified Mayadas—Shatzkes model, the tensoresistance of a multilayered polycrystalline film is analysed theoretically. The general and asymptotical expressions for the coefficients of the strainsensitivity (CSS) are obtained. A non-monotonic behaviour of the CSS as a function of the ratio of the adjacent layer thicknesses is predicted. A detailed calculation of the longitudinal CSS for the wide range of the layer thicknesses at various values of the parameters, which characterize the multilayer, is performed. 2010 Article Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке / Ю.А. Шкурдода, Л.В. Дехтярук, А.Н. Чорноус // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2010. — Т. 8, № 3. — С. 579-592. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1816-5230 PACS numbers: 72.10.Fk, 72.15.Lh, 73.40.Jn, 73.50.Bk, 73.50.Lw, 73.61.At, 73.90.+f http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/73132 ru Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
С использованием квазиклассического приближения в рамках модифицированной модели Маядаса и Шацкеса теоретически проанализирован тензорезистивный эффект в многослойной поликристаллической пленке. Получено общее (при произвольном соотношении между толщинами слоев) и асимптотические (для толстых и тонких по сравнению с длиной свободного пробега электронов слоев металла, входящих в состав мультислоя) выражения для коэффициентов продольной и поперечной тензочувствительности. Предсказана их немонотонная зависимость от отношений толщин соседних слоев металла и выполнен детальный численный расчет коэффициента продольной тензочувствительности при различных значениях параметров, характеризующих мультислой. |
| format |
Article |
| author |
Шкурдода, Ю.А. Дехтярук, Л.В. Чорноус, А.Н. |
| spellingShingle |
Шкурдода, Ю.А. Дехтярук, Л.В. Чорноус, А.Н. Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| author_facet |
Шкурдода, Ю.А. Дехтярук, Л.В. Чорноус, А.Н. |
| author_sort |
Шкурдода, Ю.А. |
| title |
Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке |
| title_short |
Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке |
| title_full |
Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке |
| title_fullStr |
Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке |
| title_full_unstemmed |
Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке |
| title_sort |
тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке |
| publisher |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/73132 |
| citation_txt |
Тензорезистивный эффект в поликристаллической многослойной пленке / Ю.А. Шкурдода, Л.В. Дехтярук, А.Н. Чорноус // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2010. — Т. 8, № 3. — С. 579-592. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| work_keys_str_mv |
AT škurdodaûa tenzorezistivnyjéffektvpolikristalličeskojmnogoslojnojplenke AT dehtâruklv tenzorezistivnyjéffektvpolikristalličeskojmnogoslojnojplenke AT čornousan tenzorezistivnyjéffektvpolikristalličeskojmnogoslojnojplenke |
| first_indexed |
2025-07-05T21:48:11Z |
| last_indexed |
2025-07-05T21:48:11Z |
| _version_ |
1836845201981702144 |
| fulltext |
579
PACS numbers:72.10.Fk, 72.15.Lh,73.40.Jn,73.50.Bk,73.50.Lw,73.61.At, 73.90.+f
Тензорезистивный эффект
в поликристаллической многослойной пленке
Ю. А. Шкурдода, Л. В. Дехтярук
*, А. Н. Чорноус
**
Сумской государственный педагогический университет им. А. С. Макаренко,
ул. Роменская, 87,
40007 Сумы, Украина
*Харьковский государственный технический университет
строительства и архитектуры,
ул. Сумская, 40,
61002 Харьков, Украина
**Сумской государственный университет,
ул. Римского-Корсакова, 2,
40007 Сумы, Украина
С использованием квазиклассического приближения в рамках модифи-
цированной модели Маядаса и Шацкеса теоретически проанализирован
тензорезистивный эффект в многослойной поликристаллической пленке.
Получено общее (при произвольном соотношении между толщинами сло-
ев) и асимптотические (для толстых и тонких по сравнению с длиной сво-
бодного пробега электронов слоев металла, входящих в состав мульти-
слоя) выражения для коэффициентов продольной и поперечной тензочув-
ствительности. Предсказана их немонотонная зависимость от отношений
толщин соседних слоев металла и выполнен детальный численный расчет
коэффициента продольной тензочувствительности при различных значе-
ниях параметров, характеризующих мультислой.
З використанням квазикласичного наближення у рамках модифікованого
моделю Маядаса і Шацкеса теоретично проаналізовано тензорезистивний
ефект у багатошаровій полікристалічній плівці. Одержано загальне (при
довільному співвідношенні між товщинами шарів) та асимптотичні (для
товстих і тонких у порівнянні з довжиною вільного пробігу електронів
шарів металу, які входять до складу багатошарової плівки) вирази для
коефіцієнтів поздовжньої і поперечної тензочутливости. Передбачено їх
немонотонну залежність від відношення товщин суміжних шарів металу і
виконано детальний чисельний розрахунок коефіцієнта поздовжньої тен-
зочутливости при довільних значеннях параметрів, які характеризують
мультишар.
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies
2010, т. 8, № 3, сс. 579—592
© 2010 ІМФ (Інститут металофізики
ім. Г. В. Курдюмова НАН України)
Надруковано в Україні.
Фотокопіювання дозволено
тільки відповідно до ліцензії
580 Ю. А. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. Н. ЧОРНОУС
Within the scope of the modified Mayadas—Shatzkes model, the ten-
soresistance of a multilayered polycrystalline film is analysed theoretically.
The general and asymptotical expressions for the coefficients of the strain-
sensitivity (CSS) are obtained. A non-monotonic behaviour of the CSS as a
function of the ratio of the adjacent layer thicknesses is predicted. A detailed
calculation of the longitudinal CSS for the wide range of the layer thicknesses
at various values of the parameters, which characterize the multilayer, is
performed.
Ключевые слова: многослойная поликристаллическая пленка, модифи-
цированная модель Маядаса и Шацкеса, тензорезистивный эффект, ко-
эффициенты продольной и поперечной тензочувствительности.
(Получено 27 августа 2010 г.)
1. ВВЕДЕНИЕ
В последние годы транспортные явления в мультислоях, – перио-
дических структурах, состоящих из чередующихся нанокристал-
лических слоев разных металлов, – широко изучаются как экспе-
риментально, так и теоретически [1, 2]. Этот интерес в значитель-
ной мере обусловлен тем, что, с одной стороны, используемые в
микроэлектронике тонкопленочные приборы достаточно часто яв-
ляются многослойными системами, а с другой стороны, появляется
принципиальная возможность получения информации, которая
необходима при решении фундаментальных проблем физики твер-
дого тела.
Так, в частности, исследование продольного и поперечного тен-
зорезистивного эффекта в многослойных системах позволит полу-
чить дополнительную информацию о процессе электропроводности
при деформации многослойного образца. Кроме этого, исследование
эффекта тензочувствительности представляет и практический ин-
терес с точки зрения разработки тензорезисторов на основе много-
слойных элементов.
В настоящем сообщении с использованием модифицированной
модели Маядаса и Шацкеса (модель МШ) [3, 4] теоретически иссле-
дован эффект тензочувствительности в многослойной поликри-
сталлической пленке. Получено точное и асимптотические (для
толстых и тонких по сравнению с длиной свободного пробега элек-
тронов слоев металла, из которых состоит мультислой) выражения
для коэффициентов тензочувствительности (КТ) – продольной и
поперечной. Выполнен подробный численный расчет КТ в много-
слойном проводнике для широкого интервала толщин при различ-
ных значениях параметров, описывающих многослойный провод-
ник.
ТЕНЗОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛЕНКЕ 581
2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОБЩАЯ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ
ФОРМУЛЫ ДЛЯ КОЄФФИЦИЕНТОВ ПРОДОЛЬНОЙ
И ПОПЕРЕЧНОЙ ТЕНЗОЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ
Рассмотрим многослойную пленку (МП), состоящую из чередую-
щихся поликристаллических слоев металла разной толщины
( )i jd d≠ и разной чистоты ( )i jl l≠ .
Будем считать, что нормаль к границе раздела (ГР) слоев парал-
лельна оси X. Предположим, что к МП приложено параллельно к
ГР слоев металла внешнее, однородное электрическое поле напря-
женностью ( )0, ,0yE=E и (или) продольная (поперечная) деформа-
ция.
Количественными характеристиками продольного и поперечного
тензорезистивного эффекта являются коэффициенты продольной ( )1γ и поперечной
( )2γ тензочувствительности, которые могут быть
определены следующим образом [5, 6]:
( ) ln
ln
n ML
n
d R
d a
γ = , (1)
1
2
1
ML
a
R
a d
=
σ
. (2)
В формулах (1) и (2) введены следующие обозначения: MLR – со-
противление мультислоя; a1, a2 – длина и ширина его слоев,
1 2
d d d= + – толщина элемента периодичности (бислоя) много-
слойной пленки. Здесь и ниже, если индекс n принимает значения
n = 1, то соответствующие формулы определяют коэффициент про-
дольной тензочувствительности; если же n = 2, то они определяют
коэффициент поперечной тензочувствительности.
Удельная проводимость МП σ может быть вычислена с помощью
кинетического уравнения Больцмана для квазиклассической
функции распределения электронов, дополненного граничными
условиями описывающие характер взаимодействия носителей за-
ряда с интерфейсами бислоя.
В случае квадратичного и изотропного закона дисперсии для но-
сителей заряда в каждом слое образца проводимость мультислоя
равна [7]:
2
0
1
1
,i i i
i
d
d =
σ = σ Φ (3)
где 0iσ
– коэффициенты удельной электропроводности монокри-
сталлического безграничного образца ( )i
d → ∞ , времена релакса-
ции электронов в которых равно 0 i
τ . Размерные функции iΦ , вхо-
дящие в формулу (3), могут быть записаны в следующем виде:
582 Ю. А. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. Н. ЧОРНОУС
( )i i i
f GΦ = α − , (4)
( ) ( ){ } ( ){ },
1
1 1 1 1
1 , (5)
i i j i j i j i j j i i j i j i j j i j i j j
i
G P E P E Q Q E E C P E Q E C
AB
= − + + − − + τ ≡
Δ
≡ −
Δ
( )2
2 2 2 2 2 2
1 2ij i j i j i j j i i j i j j i i j j i i jP E P E Q Q E E Q Q P P E EΔ = − − − + − ,
( )
2
2 3
i
2
3
1 3 , 1,
23 1
1 3 3 ln 1
3 32
, 1,
4 5
i i i
i i i i
i
i i
f
− α + α α << α = − α + α − α + ≅ α − α >>
α α
(6)
exp ,i i
i
k H
E
x
= −
2
1
cos 1
i
i
H
x
α
= +
φ −
,
,i
i
i
d
k
l
=
0
, 0 , ,
0
,
j i
j i j i i j
i j
H
H
H
τ
τ = ≡ τ
τ
(7)
1 32
2
2
0 0
( )(1 )6
... cos ...i
i i
x x E
d dx
k H
π
− −
= φ φ π
. (8)
Здесь const
i j
P = – вероятности зеркального отражения носителя
заряда границей раздела между i-м и j-м слоями металла,
const
j i
Q = – вероятности прохождения электрона через интер-
фейс с j-го слоя в i-й без рассеяния, так что выполняются неравен-
ства 1
i j j i
P Q+ ≤ . Зернограничные параметры 1
i i i i i
l L R Rα = × − , с
одной стороны, в зависимости от знака неравенства между длинами
свободного пробега электронов li и средними размерами кристалли-
тов в плоскости слоя const
i
L = определяют структуру тонких сло-
ев, входящих в состав МП, с другой стороны, – характер взаимо-
действия носителей заряда с межкристаллитными границами, т.к.
величины const
i
R = определяют вероятности диффузного рассея-
ния электронов границами зерен.
Если многослойный образец состоит из толстых ( )1
i
k >> или
тонких ( )1
i
k << слоев металла, то для размерных функций i
Φ мо-
гут быть получены следующие асимптотические выражения [7]:
ТЕНЗОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛЕНКЕ 583
( ) ( ){ }1, 0 , 2,
3
1
8
i i i j i j i j i i
i
f P Q
k
Φ = α − − Γ − τ Γ ≅
( ) ( )
( ) ( )
0 ,
0 ,
3 3 32 16
1 1 1 1 , 1,
2 8 3 3
2563 1 512
1 1 1 1 ,
4 8 105 105
1,
(9)
i i j i j i j i i j i
i
i ji
i j j i j i
i i i i j i j
i
P Q
k
P Q
k
− α − − − α − τ − α + α α << π π
α + α α ≅ − − − − τ − α α πα α πα α
α >>
( ) ( )
( ) ( )
,
1
ln , ,
1 1 23 1 4
ln , 1,
4 1 1
1 1
ln , 1 ,
i i
i
i j j i i j j i j i j i
i i i i i
ii j j i i j j i
i
i i i
k
k
P P Q Q Q d
k k
kP P Q Q
k k
α ≤
+ − + + Φ ≅ − α < α << π− − −
< α <<
α
(10)
( ){ }2 2 3 4
1,
32 16
1 12 5 4 5 40
3
i i i i i i iIΓ = − α + α + − − α α − α
π π
,
( ) ( )2 2 3 2 2 3
2,
16 3
1 3
3 4
i i j i i j j i i j i j j
πΓ = − α + α − α + α α + α − α + α α + α α + α +π
( ) ( ) ( )4 2 4 24 3 2 2 3 4 3 1 13
,
2
i i i j j ji i j i j i j j
i j
I I α − α − α − απ α + α α + α α + α α + α + + α − α
2
2
2
1 11
ln , 1,
1
1
arccos
, 1.
1
i
i
ii
i
i
i
i
I
+ − α
α ≤
α − α
=
α α > α −
Подставив формулу (3) в (2), а полученный результат – в выраже-
ние (1), получим общее аналитическое выражение для коэффициен-
тов тензочувствительности многослойной пленки в условиях внут-
реннего размерного эффекта (предполагаем, что параметры, описы-
вающие взаимодействие носителей заряда с интерфейсами и грани-
цами зерен, не зависят от деформации, являясь параметрами задачи):
584 Ю. А. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. Н. ЧОРНОУС
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0
,
ln ln1
1 ln lni i j j
n n n n n ni i
i l d l d
i j j i i j
D k k≠
∂ Φ ∂ Φγ = γ − η − η − η − η −+ ∂ ∂
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
0 ,
ln ln ln
ln ln lni i j j i j
n n n n n ni i i
L l L l l l
i j j i
∂ Φ ∂ Φ ∂ Φ − η − η − η − η − η − η ∂ α ∂ α ∂ τ
,(11)
где
0
,
0
j j j
j i
i i i
d
D
d
σ Φ
=
σ Φ
, а феноменологические параметры
( ) ln
lni
n i
l
n
d l
d a
η = − ,
( ) ln
lni
n i
d
n
d d
d a
η = − и
( ) ln
lni
n i
L
i
d L
d a
η = − определяют изменение длин свобод-
ного пробега электронов li, толщин слоев di и средних размеров кри-
сталлитов Li в плоскости слоя металла при наличии продольной или
поперечной деформации.
Коэффициенты тензочувствительности
( )
0
n
i
γ безграничного образ-
ца ( )i
d → ∞ с монокристаллической структурой равны [6, 8]:
( ) ( ) ( ) ( )( )0
2 2 1
i i
n n n
i l d
nγ = η + − + η ,
где учтено, что коэффициенты, которые определяют изменение дли-
ны и ширины i-го слоя металла МП при наличии деформации совпа-
дают вследствие того, что их размеры вдоль осей Y и Z бесконечно
большие.
Подставляя размерные функции i
Φ в виде (4) в формулу (11), по-
лучим общие (при произвольном соотношении между толщинами
слоев и произвольном характере взаимодействия электронов с ин-
терфейсами образца) выражения для коэффициентов тензочувстви-
тельности в многослойной поликристаллической пленке:
( ) ( ) ( ){ }0
,
1
1
n n n
i i
i j j iD≠
γ = γ − Μ
+ , 1,2i j≠ = , (12)
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ){
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) }
1
,
i i j j i i
j j j i
n n n n n n n
i l d d i l d d i L l i
i
n n n n
L l i l l i
J J J
J J
∗
α
∗
α τ
Μ = η − η − η − η − η − η −
Φ
− η − η − η − η
( ){ }1
1i i i
di i i i i
k E H
J G G E
x
−= − − − Θ , * j j j
di i
k E H
J
x
∗= Θ , (13)
( ) ( ) ( ) ( )1*
1 1 2i i
i i i i i i i i
i i i
k E x
J f H G E G
x k E H
−
α
= α + − − − Θ − Λ +
,(14)
ТЕНЗОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛЕНКЕ 585
( )* 1
j j
i j i i
j j j
k E x
J H
x k E H
∗
α
= − Θ + Λ
,
i i
Jτ = Λ , (15)
( ) ( )
2
2
* 3
2
3
6 , 1,
3 2 3 23 1
9 ln 1
3 62 1
, 1,
4 5
i i i
i i
i i i
i i
i
i i
f
α − α α <<α + α α = α − + α + ≅ + α α − α >>
α α
(16)
( ) ( ) ( ){ } 1
i i j i i j j i i j j i i j i iP A B Q Q P P A B E B−Θ = − + − + Δ − Ξ ,
( ) ( )( ) ( )( )
*
,
1
,
i
i j j i i j j i i j i j i i i j i j j i i j j i i
i j
A Q Q P P E Q B P Q Q P P E
B
Θ =
− − − τ + − −
= + Ξ
Δ
( ){ }2
2 2
2i i j j i i i j j i j i j j i i j j i i jA P P E Q Q E Q Q P P E E −Ξ = + − − Δ ,
1
,
(1 )
i j i j i j
Q E A −Λ = τ − Δ .
Функции ,
i
G A, Bi и угловые скобки определены формулами (5)—(8).
При отсутствии диффузного рассеяния носителей заряда на меж-
слойных границах ( )1i j j iP Q+ = , коэффициенты тензочувствитель-
ности, характеризующие продольный и поперечный тензоэффекты
в МП, равны
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )0
,
1
,
1 i i
n n n n i
i L l
i j j i i
f
D f
∗
≠
α γ = γ + η − η + α
и при выполнении равенств
0 0
,
i j
σ = σ ,
i j i j
l l= α = α ,
0 0i j
γ = γ (17)
КТ мультислоя совпадают со своими объемными значениями и
равны [5, 8]:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ){ }
( ) ( ) ( ){ }
0
0
0
3 5
1 , 1,
2 2
4
1 , 1.
5
n n n
L l
n n n n
L l
n n n
L l
f
f
∗
∞
γ + α − α η − η α << α γ = γ + η − η ≅ α γ + − η − η α >> α
Следовательно, в этом случае многослойный проводник формально
можно рассматривать как безграничный поликристаллический об-
разец.
586 Ю. А. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. Н. ЧОРНОУС
Если ГР слоев металла мультислоя абсолютно не прозрачны для
носителей заряда ( )0i j j iQ Q= = , то размерные функции в каждом
из слоев образца не зависят от параметров характеризующих сосед-
ние слои и КТ равны:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0
,
1 1
1 i i i i
n n n n n n
i l d d i l L i
i j j i i
J J
D
α
≠
γ = γ − η − η + η − η + Φ
. (18)
В формуле (18) размерные функции iΦ определены выражением (4),
функции d i
J и i
Jα определены формулами (13) и (14) в которых следует
учесть, что ( )0i jQ = , а выражения для iG и iΘ имеют следующий вид:
1
1
i j
i
i j i
P
G
P E
−
=
−
,
( )
( )2
1
1
i j i j
i
i j i
P P
P E
−
Θ =
−
.
Если выполняются равенства (17) и равенства
, ,
i j j i i j
P P P d d d= = = = (19)
то многослойный проводник формально можно рассматривать как
тонкий поликристаллический слой металла, КТ которого равны [5, 8]:
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 ,
1n n n n n n
l d d l LJ Jα
γ = γ − η − η + η − η Φ
, (20)
( )
0
f G
σΦ = = α −
σ
, ( ){ }1
1d
kEH
J G G E
x
−= − − − Θ ,
( ) ( ) ( ) 1
1 1 2
kE x
J f H G E G
x kEH
−∗
α
= α + − − − Θ −
,
1
1
P
G
PE
−=
−
,
( )
( )2
1
1
P P
PE
−
Θ =
−
. (21)
Величины ( ) ( ), , , ,k E H f f∗α α и угловые скобки определены форму-
лами (6)—(8) и (16) в которых следует пренебречь индексом «i».
Если же выполняются равенства (17) и (19), а носители заряда с
одинаковой вероятностью туннелируют в соседние слои металла
( )i jQ Q= , то КТ многослойной пленки снова будут определяться
формулой (20) в которой функции G и Θ могут быть получены из
формулы (21) путем замены в ней P P Q→ + :
( )
1 ( )
,
1
P Q
G
P Q E
− +=
− +
( )
( )( )2
( ) 1 ( )
1
P Q P Q
P Q E
+ − +
Θ =
− +
.
ТЕНЗОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛЕНКЕ 587
Следовательно, для такой модели многослойной пленки (модель
Устинова [9]), её КТ, как и коэффициент удельной проводимости
[9], зависят только от полной вероятности отражения электронов на
границах раздела слоев ( )P Q+ , и многослойный образец снова
формально можно рассматривать как тонкий слой металла, однако,
в рассматриваемом случае, его границы с вероятностью ( )P Q+ от-
ражают электроны.
Чтобы упростить процедуру сравнения теоретических соотноше-
ний с результатами экспериментальных измерений, получим
асимптотические выражение для коэффициентов продольной и по-
перечной тензочувствительности мультислоя для предельных зна-
чений параметров ki и αi. Если 1ik >> , то КТ при произвольных зна-
чениях параметров ,
i j i j
P Q и αi определяются формулой (12) в кото-
рой функции
* *, , ,
di di i i
J J J Jα α и iJτ (см. формулы (13)—(15)) могут
быть записаны в следующем виде:
( ){ }1, 0 , 2,
3
1
8
di i j i j i j i i
i
J P Q
k
= − Γ − τ Γ ,
* 0,diJ = 0 , 2,
3
8
i j i j i i
i
J Q
k
τ = τ Γ ,(22)
( ){ }*
3, 0 , 4,
2
( ) 2 1i
i i i j i j i j i i
i
J f P Q
k
α
α
= α − − Γ − τ Γ
π
,
*
0 , 4,
2
,
j
i j i j i j
i
J Q
k
α
α
= τ Γ
π
( ) ( )
2
2 2 3
3, 2
19
1 6 5 3 5 15 ,
4 4 1
i i
i i i i i i
i
I
I
− απ Γ = − α − − − α − α + πα
− α
( )4,
3
1 2
4
i i j
πΓ = − α + α +
{ } ( )2
3 2 2 3
1 13 2
4 3 2 1
2
i i
i i j i j j
i
I − − απ + α + α α + α α + α − − π α
( )
( ) ( )2 24 31 13 3
1 .
j i i i j jj i i
i j i ji i j
I I I α − α − α − αα α − + − α − α α − αα α − α
Если же многослойный образец состоит из слоев металла имею-
щих крупнозернистую ( )1
i
α << или мелкозернистую ( )1
i
α >>
структуру, то при произвольных значениях отношения толщин со-
седних слоев МП ,j i
d , КТ имеют следующий вид:
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0
,
1 3 3 6
1 1
1 2 8i i i i
n
n n n n n
i i L l i j i l d
i j j i i
P
D k≠
γ =
= γ + α η − η − − − α η − η + + π
588 Ю. А. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. Н. ЧОРНОУС
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )0 ,
6
16 6
1
3 8
i i
i i i i
n n
i L l
n n n ni
j i j i j l d i L lQ
+ α η − η −π
α − τ − α + η − η + α η − η − π π
( ) ( )( ) ( ) ( )( )16 16
1
3 3 8j j i j
n n n ni
j L l j l l
α − α η − η − − α + η − η π π
, 1,
i
α << (23)
( ) ( ) ( ) ( )( )0
, ,
1 4
1
1 5 i i
n n n n
i L l
i j j i iD
γ = γ + − η − η − + α
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )1 3 3
1 1 1
2 4 2i i i i
n n n n
i j l d L l
i i i i
P
k
− − − η − η + − η − η − α α α
( ) ( ) ( )( )0 ,
4
1
5 4 i i
i j n ni
j i j i l d
j i i j
Q
π α + αα − τ + − η − η +
α α α α
( ) ( ) ( )( )93
1
4 8 i i
i j n n
L l
i i j
α + α + + − η − η α α α
, 1.iα >> (24)
В случае, когда каждый слой многослойного образца имеет оди-
наковые структурные характеристики ( )i jα = α , формулы (23) и
(24) существенно упрощаются и приобретают вид:
( )nγ =
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0
,
3 13 61
1
1 2 8i i i i
i j j in n n n ni i
i L l l d
i j j i i
P Q
D k≠
− − α α = γ + η − η − − η − η + + π
( ) ( )( )6
i i
n n
i L l
+ α η − η π
, 1iα << , (25)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
0
, ,
11 4
1
1 5 2
3 3
1 1 , 1.
4 2
i i
i i i i
i j j in n n n
i L l
i j j i i i i
n n n n
l d L l i
i i
P Q
D k
− − γ = γ + − η − η − × + α α
× − η − η + − η − η α >> α α
(26)
Для многослойной структуры, состоящей из тонких поликри-
ТЕНЗОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛЕНКЕ 589
сталлических слоев металла ( )1
i
k << , для коэффициентов тензо-
чувствительности могут быть получены следующие приближенные
выражения при произвольном соотношении между толщинами
слоев металла в МП:
( ) ( ) ( ) ( )( ) 1
0
,
1 1
1 ln ,
1 i i
n n n n
i l d i i
i j j i i
k
D k
−
≠
γ = γ − η − η − α ≤ +
, (27)
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( )
0
,
4
1 1
1 ,
4 41 11
ln ln
1,
i i
i i
n n i
L l
n n n n
i l d
i ii j j i
i i
i i
D
k k
k
≠
αη − η π γ = γ − η − η − + α α+ − − π π
< α <<
(28)
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0
,
1 1 1
1 ,
1 11
ln ln
1
1 .
i i i i
n n n n n n
i l d L l
i j j i
i i i i
i
i
D
k k
k
≠
γ = γ − η − η − + η − η + α α
< α <<
(29)
Таким образом, мы получили точное, в рамках используемой мо-
дели, и асимптотические выражения для коэффициентов тензочув-
ствительности, которые в случае выполнения неравенств i i
l L<<
или 1
i
R << (т.е. когда зернограничный параметр 0
i
α → ) перехо-
дят в соответствующие выражения работы [10]. Дальнейший ана-
лиз тензорезистивного эффекта в многослойной поликристалличе-
ской пленке возможен только на основе численного расчета.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА
Для выполнения численного расчета, общую формулу (12), для ко-
эффициента продольной тензочувствительности запишем в виде:
( )
( )
( )( )
( )
( )
11
1
1
, 0 ,1 1
2,101 0
1
1
1
i
i
i j i j
i j i
M
D
D
−
≠
γ = γ − +γ γ
. (30)
При выполнении неравенства ,
1
j i
D << формулу (30) можно запи-
сать следующим образом:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ){ }1 1 1 1 1 1 1
0 , 0 0i i j i i i j jM D M Mγ = γ − γ − − γ − ,
откуда вытекает, что
590 Ю. А. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. Н. ЧОРНОУС
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
1
2,111
01
1 1 1
01 02 2
2,11 1
01 02
1 , 0,
1 , .
M
d
M
d
− →
γγ ≅
γ γ − → ∞ γ γ
(31)
Кривые, приведенные на рис. 1, полученные численным расче-
а б
в г
Рис. 1. Зависимость коэффициента продольной тензочувствительности
многослойной пленки
( ) ( )1 1
01
/γ γ от отношения соседних слоев металла 2,1
d
при таких значениях параметров ( 0,3,
i id Lη = η =
1
0,5lη = , 0,1
i j j i
P P= = ,
,
1,
i j
l = )i j j i
Q Q Q= = : а – 0,1,Q = 0,1,iα = 2
0,4,lη = 1 – 1
10,k = 2 –
1
1,k = 3 – 1
0,1k = ; б – 0,1,Q = 1
0,1,k = 0,1,iα = 1 –
2
0,5,lη = 2 –
2
0,3,lη = 3 –
2
0,1lη = ; в – 0,1,iα =
2
0,4,lη = 1
0,1,k = 1 – 0,8Q = , 2 –
0,5Q = , 3 – 0,1Q = ; г – 1
0,1,k = 0,1,Q =
2
0,4,lη = 1 – 2
0,1α = , 2 –
2
1α = , 3 – 2
5α = .
ТЕНЗОРЕЗИСТИВНЫЙ ЭФФЕКТ В МНОГОСЛОЙНОЙ ПЛЕНКЕ 591
том по точной (в рамках используемой модифицированной модели
Маядаса и Шацкеса [3, 4]) и иллюстрируют зависимость, нормиро-
ванной на
( )1
01
γ , коэффициента продольной тензочувствительности
многослойного образца от отношения толщин соседних слоев ме-
талла 2,1
d при различных значениях параметров, которые характе-
ризуют МП. Полученные зависимости показывают, что в области
малых значений 2,1
0,1d < (рис. 1, а—г) численное значения КТ
определяется своим значением в слое толщиной d1 и характером
взаимодействия носителей заряда с межслоевыми границами мно-
гослойного образца, в то время как при 2,1
1d >> , поведение
( ) ( )1
2,1
dγ
определяется отношением объемных значений коэффициентов тен-
зочувствительности (рис. 1, б). Если же 1 2
~d d , то характер поведе-
ния зависимости
( ) ( )1
2,1
dγ определяется конкуренцией вклада в КТ
объемного и интерфейсного рассеяния электронов.
Если доминирующим механизмом релаксации носителей заряда
есть их рассеяние на границах раздела слоев, то на зависимости ( ) ( )1
2,1
dγ возникает минимум, который с увеличением вероятности
прохождения электронов в соседние слои МП без рассеяния (рис. 1, в)
или параметра αi вырождается, и коэффициент продольной тензочув-
ствительности монотонным образом изменяется с увеличением перио-
да многослойной поликристаллической пленки d2,1.
4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Таким образом, коэффициент продольной тензочувствительности
многослойной поликристаллической пленки немонотонным образом
зависит от толщины слоев. В области толщин 2,1
1d << КТ определя-
ется своим значением в слое металла толщиной d1, в то время как при
выполнении противоположного неравенства 2,1
1d >> коэффициент
тензочувствительности асимптотически стремится к отношению
своих объемных значений. Если же толщины элемента периодично-
сти имеют один порядок ( )1 2
~d d , на размерной зависимости возни-
кает минимум, который обусловлен диффузным характером взаимо-
действия носителей заряда с границами раздела слоев.
Экспериментальное исследование зависимости коэффициентов
продольной и поперечной тензочувствительности от толщины слоев
многослойного поликристаллического образца позволяет получить
информацию о характере взаимодействия носителей заряда с меж-
слоевыми границами многослойной пленки.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. B. Y. Jin and J. B. Ketterson, Adv. Phys., 38, No. 3: 189 (1989).
2. І. Ю. Проценко, Н. І. Шумакова, Технологія одержання і застосування
592 Ю. А. ШКУРДОДА, Л. В. ДЕХТЯРУК, А. Н. ЧОРНОУС
плівкових матеріалів (Суми: СумДУ: 2007).
3. A. F. Mayadas, M. Shatzkes, and J. F. Janak, Appl. Phys. Lett., 14, No. 11:
345 (1969).
4. A. F. Mayadas and M. Shatzkes, Phys. Rev. B, 1, No. 4: 1382 (1970).
5. C. R. Tellier and A. J. Tosser, Size Effects in Thin Films (Amsterdam—
Oxford—New York: ESPC: 1982).
6. З. Г. Мейксин, Несплошные керментные пленки. Физика тонких пле-
нок, (Москва: Мир: 1978), т. VIII.
7. A. Chornous, L. Dekhtyaruk, M. Marszalek, and I. Protsenko, Cryst. Res.
Technol., 41, No. 4: 388 (2006).
8. Л. В. Дехтярук, Є. О. Забіла, С. І. Проценко, А. М. Чорноус, Металло-
физ. новейшие технол., 26, № 10: 1333 (2004).
9. В. В. Устинов, ФММ, 49, вып. 1: 31 (1980).
10. Л. В. Дехтярук, И. Е. Проценко, Наносистеми, наноматеріали, наноте-
хнології, 4, № 3: 695 (2006).
|