Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского
The paper presents a method of building a strong Lyapunov function from a weak one for autonomous systems satisfying the conditions of the Barbashin–Krasovskii theorem. The method is based on results from the invariant set theory. The resulting function is built iteratively as a sum of the initial L...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7499 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского / А.М. Ковалев, А.С. Суйков // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 22-27. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7499 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-74992010-04-01T12:01:32Z Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского Ковалев, А.М. Суйков, А.С. Математика The paper presents a method of building a strong Lyapunov function from a weak one for autonomous systems satisfying the conditions of the Barbashin–Krasovskii theorem. The method is based on results from the invariant set theory. The resulting function is built iteratively as a sum of the initial Lyapunov function with semidefinite derivative and several additional functions, whose derivatives have definite signs at the points, where the derivative of the initial function becomes zero. 2008 Article Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского / А.М. Ковалев, А.С. Суйков // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 22-27. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7499 531.36 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Ковалев, А.М. Суйков, А.С. Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского |
| description |
The paper presents a method of building a strong Lyapunov function from a weak one for autonomous systems satisfying the conditions of the Barbashin–Krasovskii theorem. The method is based on results from the invariant set theory. The resulting function is built iteratively as a sum of the initial Lyapunov function with semidefinite derivative and several additional functions, whose derivatives have definite signs at the points, where the derivative of the initial function becomes zero. |
| format |
Article |
| author |
Ковалев, А.М. Суйков, А.С. |
| author_facet |
Ковалев, А.М. Суйков, А.С. |
| author_sort |
Ковалев, А.М. |
| title |
Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского |
| title_short |
Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского |
| title_full |
Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского |
| title_fullStr |
Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского |
| title_full_unstemmed |
Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского |
| title_sort |
построение функции ляпунова при выполнении теоремы барбашина–красовского |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7499 |
| citation_txt |
Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина–Красовского / А.М. Ковалев, А.С. Суйков // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 22-27. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kovalevam postroeniefunkciilâpunovaprivypolneniiteoremybarbašinakrasovskogo AT sujkovas postroeniefunkciilâpunovaprivypolneniiteoremybarbašinakrasovskogo |
| first_indexed |
2025-07-02T10:21:01Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:21:01Z |
| _version_ |
1836530178115764224 |
| fulltext |
5. Kalashnikov A. S. On the dependence of properties of solutions of parabolic equations in unbounded domai-
ns on the behavior of the coefficients at infinity // Math. USSR Sb. – 1986. – 53. – P. 399–410.
6. Kalashnikov A. S. On quasilinear degenerating parabolic equation with singular lower-order terms and
growing initial values // Дифференц. уравнения. – 1993. – 29, No 6. – C. 999–1009.
7. Abdullaev U.G. Exact local estimates for the supports of solutions in problems for nonlinear parabolic
equations // Maт. сб. – 1995. – 186, No 8. – С. 3–24.
8. Ughi M. Initial behavior of the free boundary for a porous media equation with strong absorption // Adv.
Math. Sci. and Appl. Gakkotosho, Tokyo. – 2001. – 11, No 1. – P. 333–345.
9. Li Jun-Jie. Instantaneous shrinking of the support of solutions to certain parabolic equations with un-
bounded initial data // Nonlinear Analysis. – 2002. – 48. – P. 1–12.
10. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv.
Different. Equat. – 2005. – 10, No 1. – P. 89–120.
11. Andreucci D., Tedeev A.F. Finite speed of propagation for the thin film equation and other higher order
parabolic equations with general nonlinearity // Interfaces and Free Boundaries. – 2001. – 3, No 3. –
P. 233–264.
12. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for a degenerate Neumann problem in domains with non
compact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543–567.
13. Kazuhiro Ishige. On the existence of solutions of the Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic
equation // SIAM J. Math. Anal. – 1996. – 27, No 5. – P. 1235–1260.
14. Fan H. J. Cauchy problem of some doubly degenerate parabolic equations with initial datum a measure //
Acta Math. Sinica. Engl. Ser. – 2004. – 20, No 4. – P. 663–682.
15. Bernis F. Finite speed of propagation and asymptotic rates for some nonlinear higher order parabolic
equations with absorption // Proc. Roy. Soc. Edinburgh. – 1986. – A104. – P. 1–19.
Поступило в редакцию 05.05.2008Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
УДК 531.36
© 2008
Член-корреспондент НАН Украины А.М. Ковалев, А.С. Суйков
Построение функции Ляпунова при выполнении
теоремы Барбашина–Красовского
The paper presents a method of building a strong Lyapunov function from a weak one for
autonomous systems satisfying the conditions of the Barbashin–Krasovskii theorem. The method
is based on results from the invariant set theory. The resulting function is built iteratively
as a sum of the initial Lyapunov function with semidefinite derivative and several additional
functions, whose derivatives have definite signs at the points, where the derivative of the initial
function becomes zero.
Для систем, удовлетворяющих условиям теоремы Барбашина–Красовского, получено яв-
ное выражение функции Ляпунова со знакоопределенной производной. Функция строится
в виде W = V +Va, где V — исходная функция Ляпунова со знакопостоянной производной,
а Va представляет собой сумму некоторых дополнительных функций. Каждое из состав-
ляющих Va слагаемых сужает множество, на котором производная получаемой функции
обращается в нуль. В процессе построения к Va добавляются слагаемые до тех пор, пока
22 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
производная V + Va не станет знакоопределенной. Для построения дополнительных фун-
кций используется метод инвариантных соотношений.
1. Теорема Барбашина–Красовского и метод инвариантных соотношений. Рас-
смотрим систему дифференциальных уравнений
ẋ = f(x), f(0) = 0; x ∈ D ⊂ R
n, t ∈ [t0,∞), (1)
где D — некоторая окрестность нуля, функция f(x) предполагается непрерывно диффе-
ренцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает дифференцирование по
времени t зависимой переменной x, а также функции V (x) в силу системы (1): V̇ (x) =
= (∇V (x), f(x)).
Асимптотическая устойчивость нулевого решения может быть установлена с помощью
теоремы Барбашина–Красовского [1].
Теорема 1. Если существует определенно положительная функция V (x) такая, что
V̇ (x) — отрицательно постоянная функция и множество M = {x : V̇ (x) = 0} не со-
держит целых полутраекторий, кроме точки x = 0, то нулевое решение системы (1)
асимптотически устойчиво.
Функцию Ляпунова V (x) в теореме 1 будем предполагать непрерывно дифференцируе-
мой достаточное число раз. Тогда уравнение V̇ (x) = 0 определяет в окрестности нуля неко-
торое множество поверхностей Mi, описываемых уравнениями ϕi(x) = 0 (i = 1, . . . , s), где
ϕi(x) — ni-мерные дифференцируемые вектор-функции, причем ∇ϕi(x) 6= 0 для x ∈ Mi,
кроме x = 0.
Проверить, содержит ли множество M =
s⋃
i=1
Mi целые полутраектории, т. е. некоторое
инвариантное многообразие, можно с помощью метода инвариантных соотношений [2].
Соотношение вида ϕ(x) = 0 (при условии ∇ϕ(x) 6= 0) называется инвариантным соотно-
шением системы (1), если множество
G : ϕ(i)(x) = 0, i = 1, 2, . . . ,
непусто; само такое множество G называется инвариантным многообразием. Здесь ϕ(i) =
= (∇ϕ(i−1), f), i > 1, — i-я производная ϕ в силу (1), ϕ(0) ≡ ϕ. Если x0(t) является решением
системы (1) и x0(t0) ∈ G, то x0(t) ∈ G для всех t > t0, т. е. множество G содержит всю
полутраекторию системы (1), проходящую через точку x0(t0).
Следующая теорема [2] дает возможность проверить, содержит ли множество целые
полутраектории, т. е. является ли инвариантным многообразием системы (1):
Теорема 2. Порождаемое соотношением ϕ(x) = 0 инвариантное многообразие G сис-
темы (1) определено уравнениями
ϕ(i)(x) = 0, i = 0, l − 1,
где l 6 n — число функционально независимых функций в последовательности ϕ(x), ϕ̇(x),
ϕ̈(x), . . ..
Таким образом, если некоторое множество K задается соотношением ϕ(x) = 0 и система
ϕ(x) = 0, ϕ̇(x) = 0, . . . , ϕ(n−1)(x) = 0 (2)
не имеет решений, кроме x = 0, то это множество не содержит целых полутраекторий,
за исключением x = 0. Заметим, что для выполнения теоремы важно наличие условия
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 23
∇ϕ 6= 0. В противном случае система (2) может оказаться совместной, даже если траектории
системы (1) на задаваемом ϕ множестве K отсутствуют.
Если система (1) и функция Ляпунова V удовлетворяют условиям теоремы 1, то мно-
жество M = {x : V̇ (x) = 0} и любое его подмножество заведомо не содержат целых полу-
траекторий. Это позволяет сформулировать следующее утверждение:
Лемма 1. Если множество M не содержит целых полутраекторий, а подмножество
G ⊂ M задается функцией ϕ : G = {x : ϕ(x) = 0}, то для каждой точки x0 ∈ G найдется
i < n такое, что ϕ(i)(x0) 6= 0.
Действительно, если для какой-то точки x0 ∈ G такого i не найдется, то это значит,
что система ϕ(x0) = 0, . . . , ϕ(n−1)(x0) = 0 совместна и точка x0 принадлежит множеству ее
решений. Но тогда из теоремы 2 следует, что G (а значит, и M) содержит инвариантное
многообразие.
2. Преобразование системы. Для систем, удовлетворяющих условиям теоремы Бар-
башина–Красовского, исходная система (1) может быть преобразована к форме, существен-
но упрощающей построение искомой функции Ляпунова. Справедливо следующее утвер-
ждение [3]:
Лемма 2. Пусть система (1) удовлетворяет условиям теоремы 1, а множество M
не содержит целых полутраекторий. Тогда систему (1) можно представить в виде
ẋ = fM(x) + fN (x) (3)
так, что на множестве M функция fM (x) = 0, а функция fN (x) 6= 0.
Действительно, пусть такой функции fN (x) не существует, т. е. f(x) = 0 на некотором
подмножестве M . Тогда ϕ(i) = (∇ϕ(i−1), f) = 0 на этом подмножестве, а это согласно те-
ореме 2 означает существование на нем инвариантного многообразия, что противоречит
условию.
Видно, что лемму можно применить как ко всему M =
⋃
Mi, так и к отдельным Mi. Во
втором случае функции fNi и fMi будут свои для каждого Mi.
3. Дополнительная функция. При наличии функции Ляпунова, удовлетворяющей
теореме Барбашина–Красовского, построение функции Ляпунова со знакоопределенной
производной можно провести путем добавления к данной функции Vs, которую примем
в качестве начальной, дополнительной функции Va, производная которой V̇a отрицательна
на множестве M = {x : V̇s(x) = 0}. Функцию Va следует выбирать достаточно малой, чтобы
она не могла повлиять на знакоопределенность Vs и знакопостоянство V̇s. Оказывается, что
условия, накладываемые теоремой Барбашина–Красовского на систему (1), позволяют это
сделать.
Поскольку согласно лемме 1 в любой точке x ∈ M среди ϕ
(j)
i (x), j = 0, n − 1, найдет-
ся ненулевое значение, можно использовать функции ϕ
(j)
i для построения дополнительной
функции.
Предположим сначала, что s = 1, т. е. все множество M можно задать одной функцией ϕ:
M = {x : ϕ(x) = 0} при условии ∇ϕ(x) 6= 0 на M . Учитывая (3), обозначим ϕ̃ = (∇ϕ, fN ).
Поскольку fM (x) = 0 при x ∈ M , то имеет место равенство ϕ̃(x) = ϕ̇(x). Рассмотрим
выражение
w = ϕ̃2m(ϕ̃, ϕ). (4)
Непосредственным вычислением можно убедиться, что ẇ на множестве M принимает зна-
чение ϕ̃2m+2, т. е. ẇ > 0 на M при условии ϕ̇ 6= 0 на M . Можно также доказать, что при
24 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
подходящем выборе m и α сумма V − αw будет положительно определенной, а ее произво-
дная V̇ − αẇ — определенно отрицательной.
Покажем как распространить этот результат на случай s > 1. Рассмотрим Mi при неко-
тором фиксированном значении i. Опять воспользуемся леммой 2 и представим систему (1)
в виде (3), опуская индекс i при fM и fN , и введем обозначение ϕ̃i = (∇ϕi, fN ) при x ∈Mi.
Рассмотрим выражение
wi(ϕ1, . . . , ϕp,m) = (ϕ̃i, ϕi)ϕ̃
2m
i
∏
j 6=i
ϕ2
j , 1 6 i 6 p. (5)
Теорема 3. Пусть V — функция Ляпунова для системы (1), производная которой
V̇ (x) = 0 при x ∈ Mj , j = 1, p, а множества Mj задаются уравнениями ϕj = 0 и не
содержат целых полутраекторий. Тогда выражение (5) при соответствующем выборе m
удовлетворяет следующим условиям:
1) V + wi > 0 при x 6= 0;
2) V̇ + ẇi < 0 при ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) 6= 0, ϕj(x) 6= 0 для любого j 6= i, 1 6 j 6 p;
3) V̇ + ẇi = 0, если ϕj(x) = 0 при некотором j 6= i, или если ϕ̇i(x) = 0 при x ∈ Mi;
4) V̇ + ẇi < 0 при x 6∈ M .
В случае, когда s > 1, т. е. множеств Mi больше одного, для построения дополнитель-
ной функции можно использовать сумму wi, построенных для каждого из множеств Mi.
Обозначим выбранные согласно теореме 3 для каждого множества Mi числа m через m∗
i
и рассмотрим выражение
W = W (V,ϕ1, . . . , ϕp) = V − α
p∑
i=1
wi(ϕ1, . . . , ϕp,m
∗
i ). (6)
Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 3. Тогда функция (6) при подходящем
выборе α положительно определена, а ее производная строго меньше нуля всюду, кроме
множеств {x : ϕi(x) = 0, ϕj(x) = 0, i 6= j}, и {x : ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 0}.
Заметим, что множитель
∏
j 6=i
ϕj заставляет wi обращаться в нуль на множествах Mj ,
j 6= i, и позволяет гарантировать знакопостоянство суммы V̇ +ẇi на Mj, j 6= i: V̇ обращается
в нуль на Mj , а производная ϕ̃2m
i (ϕ̃i, ϕi) на Mj при j 6= i имеет достаточно сложный вид
и может в общем случае принимать значения любого знака.
Производная функции W (V,ϕ1, . . . , ϕs) будет обращаться в нуль в тех точках x, в кото-
рых ϕi(x) = 0 и ϕj(x) = 0 для некоторых i и j, либо ϕi(x) = 0 и ϕ̇i(x) = 0. Обозначим
V11 = W (V,ϕ1, . . . , ϕs)
и обратим внимание, что функция V11 является положительно определенной, а ее произво-
дная — отрицательно постоянной, обращаясь в нуль на некотором подмножестве исходного
множества M , т. е. задача для V11 сходна с исходной задачей. Покажем, что это действи-
тельно так и что последовательным вычислением функций W можно получить функцию
со знакоопределенной производной.
4. Особые случаи. Для дальнейших построений удобным будет ввести краткое обо-
значение для следующей операции. Пусть g1(x) = (g11(x), g12(x), . . . , g1p(x)) и g2(x) =
= (g21(x), g22(x), . . . , g2q(x)) — две вектор-функции. Из множества {g11, . . . , g1p, g21, . . . , g2q}
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 25
выберем максимальное функционально независимое подмножество, и обозначим через
〈g1, g2〉 вектор-функцию, составленную из элементов этого подмножества. Другими сло-
вами,
g = 〈g1, g2〉 = (g1i1 , g1i2 , . . . , g2j1 , g2j2 , . . .),
где индексы i1, i2, . . . и j1, j2, . . . выбираются так, чтобы уравнение g(x) = 0 и система
g1(x) = 0, g2(x) = 0 оставались эквивалентными, а размерность вектора g была минималь-
ной. Аналогично определим обозначения для большего числа вектор-функций: 〈g1, g2, g2〉 =
= 〈〈g1, g2〉, g3〉, 〈g1, g2, g3, g4〉 = 〈〈g1, g2, g3〉, g4〉 и т. д.
Возвращаясь к задаче для V11, рассмотрим сначала случай, когда ϕi(x) = 0 и ϕj(x) = 0
при некоторых x 6= 0, что соответствует пересечению Mi и Mj в отличных от нуля точках.
Построим функции ϕ
(2)
ij = 〈ϕi, ϕj〉. Такие функции определяют множества
M2
ij = {x : ϕ
(2)
ij (x) = 0} = Mi ∩Mj .
Перенумеруем ϕ
(2)
ij последовательно, исключая зависимые функции: ϕ
(2)
k = ϕ
(2)
ij , k = 1, s2.
Построим
V12 = W (V11, ϕ
(2)
1 , . . . , ϕ(2)
s2
). (7)
Производная V12 может обращаться в нуль, если найдутся точки x такие, что ϕ
(2)
i (x) = 0
и ϕ
(2)
j (x) = 0 одновременно при некоторых i и j. В таком случае построим аналогичным
образом ϕ(3) = 〈ϕ
(2)
i , ϕ
(2)
j 〉,
V13 = W (V12, ϕ
(3)
1 , . . . , ϕ(3)
s3
),
затем, при наличии точек, в которых ϕ
(3)
i (x) = 0 и ϕ
(3)
j (x) = 0, V14 и т. д.
Покажем, что потребуется построить не более n функций V1i. Действительно, согласно
построению, размерность ϕ
(k)
ij строго больше размерности как ϕ
(k−1)
i , так и ϕ
(k−1)
j . Следо-
вательно, при некотором k размерность ϕ(k+1) станет равной n и уравнение
ϕ
(k+1)
ij (x) = 0
заведомо будет задавать единственную точку x = 0.
Таким образом, за конечное число шагов будет построена функция V1, производная
которой будет обращаться в нуль только в точках x: ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 0.
Переходя к случаю ϕi(x) = 0, ϕ̇i(x) = 0, введем функции
ψ
(2)
i = 〈ϕi, ϕ̇i〉 (8)
для всех i, для которых ϕi(x) = 0 и ϕ̇i(x) = 0 возможно при x 6= 0. Построим функцию
V2 = W (V1, ψ
(2)
1 , ψ
(2)
2 , . . . , ψ(2)
r2
), (9)
учитывая при необходимости случаи, когда ψ
(2)
i (x) = 0 и ψ
(2)
j (x) = 0 выполняются одновре-
менно при x 6= 0, указанным выше образом. Согласно (6) производная V2 обращается в нуль
26 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
в тех точках, где ψ̇
(2)
i (x) = 0 для некоторых i, или, учитывая (8), где ϕ̇i(x) = 0 и ϕ̈i(x) = 0
одновременно. Если такие точки найдутся, построим
ψ
(3)
i = 〈ϕi, ϕ̇i, ϕ̈i〉,
затем с их помощью получим V3 = W (V2, ψ
(3)
1 , . . . , ψ(3)
r3
) и т. д.
Обратим внимание, что производная функции Vk будет обращаться в нуль в тех то-
чках x, в которых ψ̇
(k)
i (x) = 0, или ϕ̇i(x) = 0, ϕ̈i(x) = 0, . . . , ϕ
(k+1)
i (x) = 0. Согласно лемме 1
для любой точки x ∈ M , x 6= 0 найдется k 6 l < n такое, что ϕ̇(x) = · · · = ϕ(k−1)(x) = 0,
ϕk(x) 6= 0. Следовательно, для функции Vl заведомо не найдется точек x 6= 0 таких, что
ψ̇l
i(x) = 0.
Учитывая структуру (6), (7), (9), отметим что построенная в результате функция будет
иметь вид
Vl = V −
∑
i
αiwi(gi1, gi2, . . . , giki
,mi),
где wi определяется формулой (5), а уравнения g(x) = 0 задают некоторые подмножества
исходного множества M .
Таким образом, для систем, удовлетворяющих условиям теоремы Барбашина–Красовс-
кого, получено явное выражение функции Ляпунова со знакоопределенной производной.
Процесс построения этой функции состоит в получении дополнительных функций, добавле-
ние которых к исходной функции Ляпунова последовательно сужает множество обращения
в нуль ее производной от исходного M до нулевой точки, сохраняя знакоопределенность
самой функции и ее производной в остальных точках. Дополнительная функция строится
с использованием метода инвариантных соотношений в виде суммы членов, соответствую-
щих множествам вида {x : ϕ(x) = 0}. Процесс построения продолжается до тех пор, пока
производная полученной функции не станет знакоопределенной; показано, что это прои-
зойдет за конечное число шагов.
1. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. – Москва: Наука, 1970. – 240 с.
2. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Механика
твердого тела. – Киев: Наук. думка, 1974. – Вып. 6. – С. 15–24.
3. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для систем, удовле-
творяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и механика. – 2008. – 72, вып. 2. –
С. 266–272.
Поступило в редакцию 23.05.2008Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 27
|