Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв
The dynamics of quasiperiodically driven interval translation mappings is presented and re-searched. Such mappings, on the one hand, generate simple and general enough discrete-time dynamical systems and, on another, detect common features of a group of mathematical models for widely used discretize...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2008
|
| Schlagworte: | |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7502 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв / О.Ю. Теплiнський // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 40-45. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7502 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-75022010-04-01T12:01:29Z Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв Теплінський, О.Ю. Математика The dynamics of quasiperiodically driven interval translation mappings is presented and re-searched. Such mappings, on the one hand, generate simple and general enough discrete-time dynamical systems and, on another, detect common features of a group of mathematical models for widely used discretized electronic devices such as sigma-delta modulators and digital phase-locked loops. 2008 Article Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв / О.Ю. Теплiнський // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 40-45. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7502 517.9 uk Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Теплінський, О.Ю. Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв |
| description |
The dynamics of quasiperiodically driven interval translation mappings is presented and re-searched. Such mappings, on the one hand, generate simple and general enough discrete-time dynamical systems and, on another, detect common features of a group of mathematical models for widely used discretized electronic devices such as sigma-delta modulators and digital phase-locked loops. |
| format |
Article |
| author |
Теплінський, О.Ю. |
| author_facet |
Теплінський, О.Ю. |
| author_sort |
Теплінський, О.Ю. |
| title |
Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв |
| title_short |
Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв |
| title_full |
Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв |
| title_fullStr |
Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв |
| title_full_unstemmed |
Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв |
| title_sort |
відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2008 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7502 |
| citation_txt |
Відображення зсуву інтервалів як об'єднавчий підхід до вивчення динаміки ряду моделей дискретизованих електронних пристроїв / О.Ю. Теплiнський // Доп. НАН України. — 2008. — № 12. — С. 40-45. — Бібліогр.: 12 назв. — укр. |
| work_keys_str_mv |
AT teplínsʹkijoû vídobražennâzsuvuíntervalívâkobêdnavčijpídhíddovivčennâdinamíkirâdumodelejdiskretizovanihelektronnihpristroív |
| first_indexed |
2025-07-02T10:21:09Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:21:09Z |
| _version_ |
1836530186419437568 |
| fulltext |
УДК 517.9
© 2008
О.Ю. Теплiнський
Вiдображення зсуву iнтервалiв як об’єднавчий пiдхiд
до вивчення динамiки ряду моделей дискретизованих
електронних пристроїв
(Представлено академiком НАН України А.М. Самойленком)
The dynamics of quasiperiodically driven interval translation mappings is presented and re-
searched. Such mappings, on the one hand, generate simple and general enough discrete-time
dynamical systems and, on another, detect common features of a group of mathematical models
for widely used discretized electronic devices such as sigma-delta modulators and digital phase-
locked loops.
Для опису багатьох поширених радiоелектронних пристроїв можуть бути використанi ма-
тематичнi моделi, що мають вигляд нелiнiйних динамiчних систем того чи iншого типу. Але
головним напрямком у розвитку сучасних телекомунiкацiй є дискретизованi (зокрема, циф-
ровi) системи, тобто такi, що продукують, передають i обробляють дискретнi у часi (i часто
“квантованi” за величиною) сигнали, у зв’язку з чим саме розривнi динамiчнi системи з дис-
кретним часом привертають в останнi десятилiття найбiльшу увагу як iнженерiв-теорети-
кiв, так i практичних розробникiв електронних приладiв. Серед особливостей цифрових
систем — принципова неможливiсть їхньої лiнеаризацiї: навiть у стацiонарному станi, якщо
вiн у них є, вони схильнi виявляти так званий джиттер (тобто дрижання) вихiдного сигна-
лу внаслiдок дискретизацiї i квантування. Звичайно, метою розробникiв комерцiйного при-
ладдя є зменшення рiвня цього “квантизацiйного шуму”, але без надмiрного ускладнення
(а отже, подорожчання) вiдповiдних елементарних блокiв. Саме визначення оптимального
спiввiдношення мiж складнiстю та ефективнiстю радiоелектронних пристроїв з елементами
дискретизацiї вимагає ретельного вивчення динамiки вiдповiдних математичних систем.
У цiй роботi ми представляємо i дослiджуємо математичну модель iнтервального зсуву,
керованого поворотом кола, яка, з одного боку, є досить простою i загальною розривною дво-
вимiрною динамiчною системою з дискретним часом, а з iншого — виявляє суттєвi спiльнi
риси цiлого ряду дискретизованих електронних пристроїв. Такими пристроями є, зокрема,
сигма-дельта-модулятори (Σ∆) та системи фазового автопiдлаштування частоти (ФАПЧ)
з елементами дискретизацiї. Першi являють собою найбiльш поширений зараз (внаслiдок
своєї вiдносної простоти) тип аналого-цифрових конверторiв [1]. Другi, вiдомi також пiд
назвою ‘системи фазової синхронiзацiї’ (англ. phase-locked loops — PLL), що зараз широко
застосовуються, наприклад, у мобiльному зв’язку, були описанi ще в 1980-тi роки [2, 3].
Iснує багато рiзновидiв як Σ∆, так i дискретизованих ФАПЧ, що вiдрiзняються, зокрема,
порядком складностi електронної схеми, тобто кiлькiстю наявних циклiв зворотного зв’яз-
ку або iнтеграторiв, порядком частотних фiльтрiв тощо. Викладенi тут новi результати
безпосередньо застосовнi до декiлькох найпростiших схем, зокрема тих, якi описано в ро-
ботах [4–6], виконаних автором у спiвробiтництвi з групою iрландських iнженерiв на чолi
з професором Орлою Фiлi (University College Dublin).
40 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
Спочатку ми введемо поняття iнтервального зсуву на прямiй i наведемо результат щодо
граничної абсорбуючої множини для квазiперiодично керованого зсуву двох iнтервалiв з не-
рiвномiрним перекриттям. Потiм покажемо, яким чином цей результат стосується динамiки
електронних пристроїв Σ∆ та дискретизованих ФАПЧ.
1. Граничний абсорбуючий пояс для квазiперiодично керованого зсуву iнтер-
валiв. Зсув iнтервалiв — це розривне вiдображення певного, скiнченного чи нескiнченно-
го, промiжку дiйсної прямої R або кола в себе, яке полягає в його розбиттi на скiнченну
кiлькiсть пiдпромiжкiв i жорсткому зсувi кожного з них на певну вiдстань. Iнакше кажу-
чи, це є одновимiрне кусково-афiнне вiдображення таке, що кутовий коефiцiєнт кожного
з його афiнних кускiв дорiвнює 1. Зсув iнтервалiв є природним узагальненням перекладан-
ня вiдрiзкiв (яке можна означити як взаємно однозначний зсув) — добре вивченого класу
вiдображень, що породжує одновимiрнi динамiчнi системи з нетривiальними ергодичними
властивостями, але без перемiшування [7]. Динамiчнi властивостi iнтервальних зсувiв є ще
бiльш складними, i навiть питання про геометрiю їхнiх граничних множин у загальному
виглядi є досить нетривiальним [8].
Поява зсуву iнтервалiв у моделях цифрової радiоелектронiки є насправдi цiлком при-
родною. Схематично її можна пояснити таким чином. Моделями аналогових систем є, як
правило, системи звичайних диференцiальних рiвнянь. Нехай перед нами найпростiший
випадок — одновимiрне автономне рiвняння ẋ = f(x) з неперервною правою частиною.
У вiдповiднiй цифровiй системi сигнал, по-перше, дискретизується за часом, тобто замiсть
неперервної величини x(t) розглядається послiдовнiсть її числових значень xn = x(tn)
в окремi моменти (такти) часу tn, зазвичай рiвнорозподiленi. По-друге, вплив цього сиг-
налу на себе через цикл зворотного зв’язку (а саме цей вплив описує функцiя f(x)), часто
квантується, тобто права частина може приймати лише скiнченний набiр значень. У резуль-
татi, замiсть диференцiального рiвняння, записаного вище, з’являється рiзницеве рiвняння
вигляду xn+1 = xn +f(xn), де квантована функцiя f(x) є кусково-сталою. Вiдповiдне вiдоб-
раження xn 7→ xn+1, як легко зрозумiти, є нiчим iншим як зсувом iнтервалiв.
Звичайно, бiльш реалiстичнi моделi мiстять не одну, а декiлька незалежних змiнних,
значення яких мусять задовольняти певнi фiзичнi обмеження, потерпають вiд випадкових
збурень i залежать вiд кiлькох параметрiв. Ми розглянемо лише одне з таких ускладнень,
досить специфiчне з математичної точки зору, але дуже природне в електронiцi, а саме —
квазiперiодичне керування, тобто наявнiсть фазового (кутового) параметра θ, що змiню-
ється незалежно вiд внутрiшнього стану системи за законом повороту на певний кут ω (що
припускається рацiонально несумiрним з 2π), тобто θn+1 = θn + ω(mod 2π). Таким природ-
ним квазiперiодичним керуванням є вхiдний перiодичний сигнал, частота якого несумiрна
з внутрiшньою тактовою частотою системи.
Зауваження 1. Певне практичне значення має i розгляд резонансного випадку, тобто
коли частота вхiдного сигналу є рацiонально сумiрною з тактовою частотою системи, а от-
же, керування є не квазiперiодичним, а перiодичним. Цей випадок потребує спецiального
дослiдження з огляду на специфiчнi властивостi конкретних розглядуваних систем, що й
було, зокрема, зроблено в роботах [4, 6]. З iншого боку, взяте навмання дiйсне число є iрра-
цiональним з iмовiрнiстю 1, тому випадок квазiперiодичного керування є основним за умови
припущення, що вхiдний сигнал не є корельованим iз внутрiшнiми параметрами пристрою.
Розглянемо таке модельне вiдображення цилiндра S2π × R в себе:
F (θ, x) = (θ + ω, fθ+ω(x)), (1)
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 41
де iнтервальнi зсуви на прямiй R задаються виразами fθ(x) = x + a(θ) − b(θ) sgn x, в яких
функцiя знаку sgn набуває лише двох значень: sgn x = 1 при x > 0 i sgn x = −1 при
x < 0, тодi як a та b — це певнi дiйснi функцiї на колi S2π, друга з яких вважається додат-
ною (це забезпечує стiйкiсть системи “на великих масштабах” вiдносно значень змiнної x).
Зауважимо, що вiдображення fθ є зсувом двох iнтервалiв (−∞, 0) та [0,+∞), чиї образи
перекриваються на ширину 2b(θ), θ ∈ S2π.
Траєкторiї динамiчної системи на цилiндрi задаються iтерацiями вiдображення (1):
(θn, xn) = F (θn−1, xn−1) = Fn(θ0, x0) = F (F (. . . F (θ0, x0) . . .)) (n разiв).
Основним результатом щодо цiєї системи є доведення iснування i єдиностi так званого
граничного поглинаючого (чи абсорбуючого) поясу — регiону спецiальної форми у фазовому
просторi, всередину якого рано чи пiзно потрапляють усi траєкторiї.
Теорема 1. Нехай число обертання ω/2π є iррацiональним, функцiї a та b неперервнi,
причому b строго додатна, i має мiсце нерiвнiсть
∣
∣
∣
∣
∣
2π
∫
0
a(θ) dθ
∣
∣
∣
∣
∣
<
2π
∫
0
b(θ) dθ.
Тодi iснує єдиний пояс B = {(θ, x)|L(θ) 6 x < U(θ), θ ∈ S2π} з неперервними межами U
та L, якi задовольняють спiввiдношення U(θ) = ξb(θ)(U(θ−ω))+a(θ), L(θ) = −ξb(θ)(−L(θ−
− ω)) + a(θ), θ ∈ S2π, де ξs(t) = min{t + s,max{t − s, s}}. Цей пояс має такi властивостi:
1) вiн є напiвiнварiантним, тобто F (B) ⊂ B;
2) його ширина ∆(θ) = U(θ)−L(θ) знаходиться в межах перекриття образiв промiж-
кiв, що зсуваються, тобто задовольняє нерiвностi
2 min
ν∈S2π
b(ν) 6 ∆(θ) 6 2 max
ν∈S2π
b(ν), θ ∈ S2π;
3) вiн поглинає всi траєкторiї в динамiчнiй системi рiвномiрно на обмежених множи-
нах початкових даних, тобто для кожного C > 0 iснує таке натуральне N = N(C), що
з нерiвностi |x0| 6 C випливає включення (θn, xn) ∈ B для всiх n > N , θ0 ∈ S2π;
4) межовi контури U та L складаються з частин скiнченної кiлькостi кривих, заданих
формулами C+
1 : x = a(θ)+b(θ), C+
n = F (C+
n−1), n > 2, та C−
1 : x = a(θ)−b(θ), C−
n = F (C−
n−1),
n > 2, вiдповiдно.
Ця теорема доводиться конструктивно шляхом побудови послiдовностi взаємно вкладе-
них напiвiнварiантних поясiв Bn = {(θ, x) | Ln(θ) 6 x < Un(θ), θ ∈ S2π} з неперервними
межами, що задовольняють умову F (Bn) ⊂ Bn+1 ⊂ Bn для всiх n > 1, i доведення для
граничного поясу B = lim
n→∞
Bn усiх зазначених властивостей (включаючи єдинiсть).
2. Застосування теорiї iнтервального зсуву до вивчення динамiки Σ∆ та
ФАПЧ.
2.1. Σ∆ першого порядку та ФАПЧ типу “bang-bang”. Найбiльш безпосередньо наведена
вище теорема застосовна до моделей таких електронних пристроїв, що розглядались у ро-
ботi [6]: однобiтного Σ∆ першого порядку з дискретним часом з перiодичним вхiдним сиг-
налом; аналогiчного Σ∆ з неперервним часом; ФАПЧ типу “bang-bang” (BB-PLL, див. [9])
з частотно-модульованим (FM) вхiдним сигналом. Як пояснено в [6], усi три моделi опису-
ються вiдображенням (1) iз зсувом вигляду fθ(x) = x + a(θ) − sgn x, де a(θ) — неперервна
42 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
функцiя на колi S2π. Зауважимо, що фiзичний змiст змiнної x є рiзним для розглядуваних
пристроїв: для Σ∆ вона виражає безпосереднє значення сигналу (тобто миттєву напругу),
а для ФАПЧ — вiдхилення фази вихiдного сигналу вiд вхiдного. Особливiстю даного ви-
падку є сталiсть ширини перекриття: b(θ) ≡ 1. Наслiдком теореми 1 є iснування та єдинiсть
iнварiантного (у сенсi F (B) = B) поглинаючого поясу B, межi якого задовольняють зазна-
ченi в теоремi спiввiдношення i є неперервними, а ширина є сталою: ∆(θ) ≡ 2. Динамiка
всерединi цього iнварiантного поглинаючого поясу (якщо склеїти мiж собою його межi U
та L) є еквiвалентною до динамiки певного (визначеного конструктивним чином) косого
зсуву [7] на двовимiрному торi.
2.2. Цифрова ФАПЧ другого порядку з синусоїдальним вхiдним сигналом. Математичне
дослiдження моделей ФАПЧ з неперервним та дискретним часом, що базується на класич-
нiй теорiї динамiчних систем, на сьогоднi може бути проведено майже вичерпно (принаймнi
для систем низької розмiрностi) — див., наприклад, найновiшу монографiю польських до-
слiдникiв [10]. Значно складнiшим виявилося дослiдження цифрових ФАПЧ, головна особ-
ливiсть яких — це квантування промiжного сигналу (що пояснювалось нами в п. 1), що
призводить до необхiдностi розгляду динамiчних систем з розривами, зокрема вiдображень
зсуву iнтервалiв. Модель цифрової ФАПЧ другого порядку з синусоїдальним вхiдним сиг-
налом розглядалася i дослiджувалася чисельно Ф. Гарднером у роботi [11]. Математичне
обгрунтування його спостережень було проведено в [4, 5]. Система двох рiзницевих рiв-
нянь, що описують дану модель, має вигляд
φn+1 = φn + 2
πµ
2b
− 2πQb(C1 sinφn + un)mod 2π, (2)
un+1 = un + C2 sin φn+1. (3)
Тут φ — вiдхилення фази вихiдного сигналу вiд вхiдного; u — певна внутрiшня змiнна
системи (вихiдний сигнал iнтегратора); µ = m+α, де m = [µ], α ∈ (0, 1), — частота вхiдного
сигналу; C1 i C2 — додатнi параметри; Qb(x) = 2−b[2bx] — це функцiя, що описує квантуван-
ня сигналу на b-бiтному регiстрi; квадратнi дужки позначають цiлу частину. Зауважимо,
що в реальних промислових приладах довжина регiстра квантизатора коливається в межах
вiд 24 до 64 бiт [11].
У [5] виписано обмеження на величини параметрiв C1 i C2, за яких усi траєкторiї системи
рано чи пiзно потрапляють всередину напiвiнварiантного чотирикутника, що мiстить точку
(φ = 0, u = 2−b), обмеженого кривими u = 2−b(m+1)−C1 sin(φ+2π ·2−b(1−α))+C2 sinφ та
u = 2−b(m+1)−C1 sin(φ−2π ·2−bα)+C2 sin φ з лiвого та правого бокiв вiдповiдно i певними
(визначеними конструктивно) графiками згори та знизу. Якщо склеїти його лiву та праву
межi, ототожнивши мiж собою пари точок, координати яких вiдрiзняються на 2π/2b, i роз-
тягнути кутову змiнну в 2b разiв (тобто замiнити φ на θ = 2bφmod 2π), ми перетворимо цей
чотирикутник на напiвiнварiантний пояс B1 з неперервними межами на цилiндрi S2π×R, ди-
намiка на якому, як можна переконатися, описується вiдображенням вигляду (1) з ω = 2πα
i квазiперiодично керованим зсувом двох iнтервалiв fθ(x) = x+a(θ)−b(θ) sgn(x−c(θ)). Вiд-
мiннiсть одержаної динамiчної системи вiд тої, що фiгурує в теоремi 1, щоправда, полягає
в наявностi одного розриву першого роду в додаткового коефiцiєнта c(θ). Але це ускладнен-
ня в даному випадку компенсується iншими властивостями системи (2), (3), якi дозволяють
довести аналог теореми 1 у подiбний спосiб з аналогiчним результатом: для iррацiонально-
го µ iснує єдиний напiвiнварiантний поглинаючий пояс з неперервними кусково-гладкими
межами i шириною, що мiститься в межах перекриття (у даному випадку мiж величинами
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 43
C2 sin(2π/2b) та 2C2 sin(π/2b)). Досить розгорнути цей пояс у початкову систему координат
(φ, u), аби отримати оцiнки на джиттер, якi цiкавлять iнженера.
2.3. Цифрова ФАПЧ першого порядку з вхiдним FM-сигналом. Динамiка цього електрон-
ного пристрою моделюється [12] вiдображенням F (θ, φ) = (θ+ω, fθ+ω(φ)) двовимiрного тора
S2π × S2π в себе, де зсув iнтервалiв (дуг) на колi задається як
fθ(φ) = φ + 2π(µ + g(θ))/2b − 2πQb(C1 sin φ)mod 2π, φ ∈ S2π. (4)
Тут φ, µ = m + α, Qb, b та C1 мають той самий змiст, що й у попередньому пiдпунктi, але
миттєва частота вхiдного сигналу вiдхиляється вiд µ модулюючим перiодичним сигналом
g(θ) з частотою ω, при цьому змiнна θ виражає його фазу. Ми вважатимемо, що 2πC1 ∈ (0, 1)
i що 2bC1 не є цiлим числом. Нехай A = max
θ∈S2π
|g(θ)| — амплiтуда модулюючого сигналу.
Вiдображення (4) є зсувом не двох, а 4kmax + 2 iнтервалiв, де kmax = [2bC1], на якi
коло S2π розбивається точками розриву σ+
k = arcsin(k/(2bC1)) та σ−
k = π−σ+
k для |k| 6 kmax.
Власне iнтервали, що зсуваються, не залежать вiд параметра θ, але величина їхнього зсуву
залежить вiд нього: зсув fθ(φ) = fk,θ(φ) = φ + ck + 2πg(θ)/2b, де ck = 2π(µ − k)/2b, дiє на
iнтервалах φ ∈ [σ+
k , σ+
k+1) та φ ∈ (σ−
k+1, σ
−
k ] для −kmax 6 k < kmax, на φ ∈ [σ+
kmax
, σ−
kmax
] для
k = kmax i на φ ∈ (σ−
−kmax
, σ+
−kmax
) для k = −kmax − 1.
Цiкавим є лише той випадок, коли наша цифрова ФАПЧ здатна вловити сигнал при
вiдсутнiй частотнiй модуляцiї (A = 0), а це вiдбувається тодi i лише тодi, коли набiр величин
зсувiв {ck}k мiстить як додатнi, так i вiд’ємнi значення, звiдки випливають такi обмеження
на частоту: µ ∈ (−kmax − 1, kmax). При A > 0 варто видiлити два крайнiх значення iндексу:
k∗ = [µ + A] + 1 та k∗ = [µ − A] + 1. Їхнiй змiст у тому, що для кожного θ ∈ S2π при
k > k∗ зсув fk,θ вiдбувається на вiд’ємну величину, а при k 6 k∗ зсув fk−1,θ вiдбувається
на додатну величину. Неважко переконатися, що умова належностi k∗ та k∗ до набору
допустимих значень |k| 6 kmax вiдповiдає такiй умовi на амплiтуду модулюючого сигналу:
A < A1 = min{kmax +1+µ, kmax−µ}. Ця умова виявилася майже достатньою для доведення
наведеної нижче теореми, але певна особливiсть взаємного розташування iнтервалiв, що
зсуваються, у випадку σ−
kmax
− σ+
kmax
< 2π/2b вимагає зменшити A1 на δ = 1 − 2b(σ−
kmax
−
− σ+
kmax
)/(2π). Отже, покладемо A∗
1 = min{A1, A1 − δ}.
Теорема 2. Нехай амплiтуда модулюючого сигналу задовольняє оцiнку A < A∗
1. Тодi
iснує пояс B = {(θ, φ) | φ ∈ [L(θ), U(θ))} ⊂ S2π × S2π сталої ширини 2π/2b з неперервними
межами, що є iнварiантним вiдносно вiдображення F i поглинає всi траєкторiї системи
рiвномiрно за початковими значеннями. Цей iнварiантний пояс мiститься всерединi на-
пiвiнварiантного поясу B1 = {(θ, φ) | φ ∈ [fk∗,θ(σ
+
k∗
), fk∗−1,θ(σ
+
k∗))}. Динамiка всерединi B
(зi склеєними межами U та L) є еквiвалентною до динамiки косого зсуву на двовимiр-
ному торi.
При доведеннi цiєї теореми спочатку прослiдковується процес, за яким траєкторiї рiв-
номiрно абсорбуються поясом B1 (при цьому, зокрема, будується неперервний вiдштовхую-
чий контур φ = r(θ) шляхом застосування аналогiчної до доведення теореми 1 iтеративної
процедури у зворотнiй бiк, тобто до вiдображення, оберненого до F у певному сенсi; цей
контур є межею мiж басейнами поглинання рiзних копiй поясу B, зсунутих одна вiдносно
одної уздовж кола на повний оберт). Решта доведення проводиться аналогiчно до доведен-
ня теореми 1. Оскiльки всерединi B1 ширина всiх перекриттiв при зсувах дорiвнює 2π/2b,
то дiє додаткова умова сталої ширини перекриття, яка призводить до появи не лише на-
44 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2008, №12
пiвiнварiантного, а власне iнварiантного поясу з динамiкою косого зсуву на двовимiрному
торi аналогiчно до випадку Σ∆ з пiдпункту 2.1.
Для зовсiм малих значень амплiтуди, якi додатково до A < A∗
1 задовольняють умову
A < min{α, 1 − α}, має мiсце рiвнiсть k∗ = k∗, пояс B1 має ширину 2π/2b, отже, B = B1.
1. Delta-Sigma Data Converters: Theory, Design and Simulation / Ed. by S.R. Norsworthy, R. Schreier,
G.C. Temes. – New York: IEEE Press, 1996. – 512 p.
2. Цифровые системы фазовой синхронизации / Под ред. М. И. Жодзишского. – Москва: Сов. радио,
1980. – 208 с.
3. Системы фазовой синхронизации с элементами дискретизации / Под ред. В. В. Шахгильдяна. –
Москва: Радио и связь, 1989. – 318 с.
4. Teplinsky A., Feely O., Rogers A. Phase-jitter dynamics of digital phase-locked loops // IEEE Trans.
Circuits and Systems. Part I. – 1999. – 46, No 5. – P. 545–558.
5. Teplinsky A., Feely O. Phase-jitter dynamics of digital phase-locked loops. Part II // Ibid. – 2000. – 47,
No 4. – P. 458–472.
6. Teplinsky A., Condon E., Feely O. Driven interval shift dynamics in sigma-delta modulators and phase-
locked loops // Ibid. – 2005. – 52, No 6. – P. 1224–1235.
7. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин С.В. Эргодическая теория. – Москва: Наука, 1980. – 383 с.
8. Boshernitzan M., Kornfeld I. Interval translation mappings // Erg. Theory and Dyn. Sys. – 1995. – 15. –
P. 821–832.
9. Walker R.C. Designing bang-bang PLLs for clock and data recovery in serial data transmission systems //
Phase-Locking in High-Performance Systems – From Devices to Architecture / Ed. B. Razavi. – New York:
IEEE Press, 2003. – P. 34–45.
10. Kudrewicz J., Wasowicz S. Equations of phase-locked loops: Dynamics on circle, torus and cylinder. –
Singapore: World Scientific, 2007. – 226 p.
11. Gardner F.M. Frequency granularity in digital phase-locked loops // IEEE Trans. Communs. – 1996. –
44, No 6. – P. 749–758.
12. Tertinek S., Teplinsky A., Feely O. Phase jitter dynamics of first-order digital phase-locked loops with
frequency-modulated input // Proc. of Intern. Symp. on Circuits and Systems, Seattle WA, USA, May,
2008. – P. 1544–1547.
Надiйшло до редакцiї 05.05.2008Iнститут математики НАН України, Київ
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2008, №12 45
|