Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель

Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель

Розглянуто кінетичний модель впливу зовнішнього шуму, зокрема, флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів і неоднорідности густини опроміненого ГЦК-кристалу на утворення дисипативної модульованої структури в просторовому розподілі вакансій. Швидкість ґенерації точкових дефектів типу вакансій...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2012
Автори: Татаренко, В.А., Селищев, П.О., Олійник, О.В., Парк, Й.Б.
Формат: Стаття
Мова:Ukrainian
Опубліковано: Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2012
Назва видання:Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75872
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель / В.А. Татаренко, П.О. Селищев, О.В. Олійник, Й. Б. Парк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2012. — Т. 10, № 3. — С. 629-666. — Бібліогр.: 56 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-75872
record_format dspace
spelling irk-123456789-758722015-02-06T03:02:23Z Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель Татаренко, В.А. Селищев, П.О. Олійник, О.В. Парк, Й.Б. Розглянуто кінетичний модель впливу зовнішнього шуму, зокрема, флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів і неоднорідности густини опроміненого ГЦК-кристалу на утворення дисипативної модульованої структури в просторовому розподілі вакансій. Швидкість ґенерації точкових дефектів типу вакансій по вузлах і густина їхніх стоків типу дислокацій уважалися як незалежними випадковими стаціонарними однорідними полями, так і з певними параметрами кореляцій флюктуацій – просторової та часової. Такі стохастичні поля можуть спричиняти просторовий перерозподіл вакансій, який призводить до стаціонарного однорідного чи то стохастичного поля їхньої густини. За її середнім значенням і кореляційними функціями зазначених флюктуацій встановлено умови, за яких в результаті взаємодії між флюктуаціями густини вакансій це однорідне випадкове поле стає нестійким по відношенню до стохастичного поля з просторово-періодичним середнім розподілом густини вакансій. На прикладі ГЦК-ніклю чисельно передбачено та проаналізовано температурні залежності просторових періодів дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми у ГЦК-кристалі для зазначених випадків із врахуванням сумарної («електрохемічної» + «деформаційної») взаємодії між вакансіями. Цей геометричний параметер такої структури визначається також кінетичними характеристиками перерозподілу вакансій. Рассмотрена кинетическая модель влияния внешнего шума, в частности, флюктуаций скорости генерации точечных дефектов и неоднородности плотности облучённого ГЦК-кристалла на образование диссипативной модулированной структуры в пространственном распределении вакансий. Скорость генерации точечных дефектов типа вакансий на узлах и плотность их стоков типа дислокаций считались как независимыми случайными стационарными однородными полями, так и с определёнными параметрами корреляций флюктуаций – пространственной и временной. Такие стохастические поля могут обусловить пространственное перераспределение вакансий, которое приводит к однородному стационарному или же стохастическому полю их плотности. По его среднему значению и корреляционным функциям указанных флюктуаций установлены условия, при которых в результате взаимодействия между флюктуациями плотности вакансий это однородное случайное поле становится неустойчивым в отношении стохастического поля с пространственно-периодическим средним распределением плотности вакансий. На примере ГЦК-никеля численно предсказаны и проанализированы температурные зависимости пространственных периодов диссипативной модулированной структуры вакансионной подсистемы в ГЦК-кристалле для указанных случаев с учётом суммарного («электрохимического» + «деформационного») взаимодействия между вакансиями. Этот геометрический параметр такой структуры определяется также кинетическими характеристиками перераспределения вакансий. A kinetic model for the influence of external noise, such as fluctuations of the point defects’ generation rate and inhomogeneity of irradiated f.c.c. crystal, on the formation of dissipative modulated structure in a spatial distribution of vacancies is considered. The generation rate of vacancy-type point defects all over the sites and a density of their dislocation-type sinks are modelled as independent random uniform stationary fields and with certain defined parameters of fluctuation correlations–spatial and temporal ones. Such stochastic fields can induce a spatial redistribution of vacancies that can lead to their density stationary uniform field or stochastic one. By the average value and correlation functions of these fluctuations, the conditions for interacting fluctuations of the vacancy density, under which this homogeneous random field becomes unstable in relation to the stochastic field with a spatially periodic mean distribution of vacancies’ density, are determined. For instance with f.c.c. nickel as a model, the temperature dependences of spatial periods of the dissipative modulated structure of vacancies’ subsystem in f.c.c. crystal in mentioned cases are numerically forecasted and analysed, taking into account the total (‘electrochemical’ + ‘strain-induced’) interaction between vacancies. Such a geometrical parameter for a dissipative modulated structure is also determined by the kinetic characteristics of vacancies’ redistribution. 2012 Article Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель / В.А. Татаренко, П.О. Селищев, О.В. Олійник, Й. Б. Парк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2012. — Т. 10, № 3. — С. 629-666. — Бібліогр.: 56 назв. — укр. 1816-5230 PACSnumbers:05.65.+b,61.50.Lt,61.72.Bb,61.72.jd,61.72.Qq,61.80.Az,82.40.Ck http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75872 uk Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description Розглянуто кінетичний модель впливу зовнішнього шуму, зокрема, флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів і неоднорідности густини опроміненого ГЦК-кристалу на утворення дисипативної модульованої структури в просторовому розподілі вакансій. Швидкість ґенерації точкових дефектів типу вакансій по вузлах і густина їхніх стоків типу дислокацій уважалися як незалежними випадковими стаціонарними однорідними полями, так і з певними параметрами кореляцій флюктуацій – просторової та часової. Такі стохастичні поля можуть спричиняти просторовий перерозподіл вакансій, який призводить до стаціонарного однорідного чи то стохастичного поля їхньої густини. За її середнім значенням і кореляційними функціями зазначених флюктуацій встановлено умови, за яких в результаті взаємодії між флюктуаціями густини вакансій це однорідне випадкове поле стає нестійким по відношенню до стохастичного поля з просторово-періодичним середнім розподілом густини вакансій. На прикладі ГЦК-ніклю чисельно передбачено та проаналізовано температурні залежності просторових періодів дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми у ГЦК-кристалі для зазначених випадків із врахуванням сумарної («електрохемічної» + «деформаційної») взаємодії між вакансіями. Цей геометричний параметер такої структури визначається також кінетичними характеристиками перерозподілу вакансій.
format Article
author Татаренко, В.А.
Селищев, П.О.
Олійник, О.В.
Парк, Й.Б.
spellingShingle Татаренко, В.А.
Селищев, П.О.
Олійник, О.В.
Парк, Й.Б.
Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
author_facet Татаренко, В.А.
Селищев, П.О.
Олійник, О.В.
Парк, Й.Б.
author_sort Татаренко, В.А.
title Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель
title_short Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель
title_full Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель
title_fullStr Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель
title_full_unstemmed Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель
title_sort фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в гцк-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель
publisher Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate 2012
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75872
citation_txt Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель / В.А. Татаренко, П.О. Селищев, О.В. Олійник, Й. Б. Парк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2012. — Т. 10, № 3. — С. 629-666. — Бібліогр.: 56 назв. — укр.
series Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
work_keys_str_mv AT tatarenkova fízičnakínetikaevolûcíínanomasštabnoídisipativnoístrukturivakansíjnoípídsistemivgckkristalahvumovahflûktuacíjšvidkostigeneracíítočkovihdefektívpídopromínennâmstohastičnijmodelʹ
AT seliŝevpo fízičnakínetikaevolûcíínanomasštabnoídisipativnoístrukturivakansíjnoípídsistemivgckkristalahvumovahflûktuacíjšvidkostigeneracíítočkovihdefektívpídopromínennâmstohastičnijmodelʹ
AT olíjnikov fízičnakínetikaevolûcíínanomasštabnoídisipativnoístrukturivakansíjnoípídsistemivgckkristalahvumovahflûktuacíjšvidkostigeneracíítočkovihdefektívpídopromínennâmstohastičnijmodelʹ
AT parkjb fízičnakínetikaevolûcíínanomasštabnoídisipativnoístrukturivakansíjnoípídsistemivgckkristalahvumovahflûktuacíjšvidkostigeneracíítočkovihdefektívpídopromínennâmstohastičnijmodelʹ
first_indexed 2025-07-06T00:04:37Z
last_indexed 2025-07-06T00:04:37Z
_version_ 1836853785700335616
fulltext 629 PACS numbers: 05.65.+b, 61.50.Lt,61.72.Bb,61.72.jd,61.72.Qq,61.80.Az, 82.40.Ck Фізична кінетика еволюції наномасштабної дисипативної структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалах в умовах флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів під опроміненням: стохастичний модель В. А. Татаренко, П. О. Селищев *, О. В. Олійник, Й. Б. Парк ** Інститут металофізики ім. Г. В. Курдюмова НАН України, бульв. Акад. Вернадського, 36, 03680, МСП, Київ-142, Україна *University of Pretoria, Department of Physics, Private Bag X20, 0028 Hatfield, South Africa **Department of Materials Science and Metallurgical Engineering, Nano Materials Research Centre, Sunchon National University, 315 Maegok, Sunchon, Jeonnam 540-742, Korea Розглянуто кінетичний модель впливу зовнішнього шуму, зокрема, флю- ктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів і неоднорідности густини опроміненого ГЦК-кристалу на утворення дисипативної модульованої структури в просторовому розподілі вакансій. Швидкість ґенерації точко- вих дефектів типу вакансій по вузлах і густина їхніх стоків типу дислока- цій уважалися як незалежними випадковими стаціонарними однорідними полями, так і з певними параметрами кореляцій флюктуацій – просторо- вої та часової. Такі стохастичні поля можуть спричиняти просторовий пе- рерозподіл вакансій, який призводить до стаціонарного однорідного чи то стохастичного поля їхньої густини. За її середнім значенням і кореляцій- ними функціями зазначених флюктуацій встановлено умови, за яких в результаті взаємодії між флюктуаціями густини вакансій це однорідне випадкове поле стає нестійким по відношенню до стохастичного поля з просторово-періодичним середнім розподілом густини вакансій. На прик- ладі ГЦК-ніклю чисельно передбачено та проаналізовано температурні залежності просторових періодів дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми у ГЦК-кристалі для зазначених випадків із враху- ванням сумарної («електрохемічної» + «деформаційної») взаємодії між вакансіями. Цей геометричний параметер такої структури визначається також кінетичними характеристиками перерозподілу вакансій. Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2012, т. 10, № 3, сс. 629—666 © 2012 ІМФ (Інститут металофізики ім. Г. В. Курдюмова НАН України) Надруковано в Україні. Фотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 630 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК Рассмотрена кинетическая модель влияния внешнего шума, в частности, флюктуаций скорости генерации точечных дефектов и неоднородности плотности облучённого ГЦК-кристалла на образование диссипативной мо- дулированной структуры в пространственном распределении вакансий. Скорость генерации точечных дефектов типа вакансий на узлах и плот- ность их стоков типа дислокаций считались как независимыми случайны- ми стационарными однородными полями, так и с определёнными парамет- рами корреляций флюктуаций – пространственной и временной. Такие стохастические поля могут обусловить пространственное перераспределе- ние вакансий, которое приводит к однородному стационарному или же сто- хастическому полю их плотности. По его среднему значению и корреляци- онным функциям указанных флюктуаций установлены условия, при кото- рых в результате взаимодействия между флюктуациями плотности вакан- сий это однородное случайное поле становится неустойчивым в отношении стохастического поля с пространственно-периодическим средним распре- делением плотности вакансий. На примере ГЦК-никеля численно предска- заны и проанализированы температурные зависимости пространственных периодов диссипативной модулированной структуры вакансионной подси- стемы в ГЦК-кристалле для указанных случаев с учётом суммарного («электрохимического» + «деформационного») взаимодействия между ва- кансиями. Этот геометрический параметр такой структуры определяется также кинетическими характеристиками перераспределения вакансий. A kinetic model for the influence of external noise, such as fluctuations of the point defects’ generation rate and inhomogeneity of irradiated f.c.c. crystal, on the formation of dissipative modulated structure in a spatial distribution of vacancies is considered. The generation rate of vacancy-type point defects all over the sites and a density of their dislocation-type sinks are modelled as inde- pendent random uniform stationary fields and with certain defined parameters of fluctuation correlations–spatial and temporal ones. Such stochastic fields can induce a spatial redistribution of vacancies that can lead to their density stationary uniform field or stochastic one. By the average value and correla- tion functions of these fluctuations, the conditions for interacting fluctua- tions of the vacancy density, under which this homogeneous random field be- comes unstable in relation to the stochastic field with a spatially periodic mean distribution of vacancies’ density, are determined. For instance with f.c.c. nickel as a model, the temperature dependences of spatial periods of the dissi- pative modulated structure of vacancies’ subsystem in f.c.c. crystal in men- tioned cases are numerically forecasted and analysed, taking into account the total (‘electrochemical’ + ‘strain-induced’) interaction between vacancies. Such a geometrical parameter for a dissipative modulated structure is also de- termined by the kinetic characteristics of vacancies’ redistribution. Ключові слова: вакансії, «деформаційна» взаємодія, «електрохемічна» взаємодія, когезійна енергія, дисипативна структура, модульована стру- ктура, флюктуації, нанопори. (Отримано 13 вересня 2012 р.) КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 631 1. ВСТУП Головними причинами стохастичности густини радіяційних дефек- тів є такі зовнішні, як, наприклад, флюктуації швидкости їх ґенера- ції, та й внутрішні типу випадкового розподілу різноманітних недо- сконалостей кристалічної ґратниці, що стають стоками для точкових дефектів. Внаслідок того флюктуації густини радіяційних точкових дефектів є істотно нерівноважними. На відміну від термічно активо- ваних рівноважних, їхній внесок не зникає обернено пропорційно розмірам системи і може сягати значних величин [1]. Роль зазначе- них випадкових збурень стає важливою для систем із нелінійними зворотніми зв’язками між складовими елементами і для процесів, що мають пороговий характер і точки розгалуження [2, 3]. В даній роботі теоретично досліджуються умови утворення прос- торово-періодичного розподілу густини радіяційних точкових де- фектів, які постають внаслідок їх нелінійної взаємодії в системі з флюктувальними параметрами [2, 3]. Для того, щоб охарактеризу- вати ймовірнісну природу розподілу густини точкових дефектів, її розглядають як стохастичне поле значень, а для опису використо- вують стохастичне(і) диференційне(і) рівнання [2—5]. Якщо швид- кість ґенерації дефектів і густина їхніх стоків моделюються відпо- відними випадковими однорідними й стаціонарними полями, то випадковий розподіл точкових дефектів також може бути однорід- ним і стаціонарним [2, 3]. Однак, за певних умов опромінення, роз- поділ стає нестабільним внаслідок взаємодії флюктуацій густини дефектів, і утворюється стохастичне поле значень густини з періо- дичною зміною у просторі її середнього значення [2, 3, 5]. 2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ Нехай у ГЦК-кристалі через зовнішнє опромінення випадковим чи- ном утворюються вакансії та власні міжвузловинні атоми [2—5]. Швидкість ґенерації таких точкових дефектів K(r,t) вважатимемо випадковою функцією координат вузлів r і часу t; її середня (за відпо- відним Ґіббсовим ансамблем) величина 0 ( , )K t K=r і дисперсія є сталими, що припускаються відомими. Кореляційні функції такого поля швидкостей ґенерації дефектів ( , ) ( , ) ( , )KK t K t C t t′ ′ ′ ′= − −r r r r та їхні Фур’є-образи, – спектральні густини, – G(k,t) також вважа- ються заданими [2, 3]. Точкові дефекти міґрують і вбираються стоками (наприклад, дислокаціями чи то дислокаційними петлями). Однак, внаслідок того, що коефіцієнт дифузії власних міжвузловинних атомів наба- гато порядків перевищує коефіцієнт дифузії вакансій (v), міжвуз- ловинні атоми значно швидше вбираються стоками. В результаті концентрація міжвузловинних атомів є значно меншою за концен- 632 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК трацію вакансій, і їх розділяє значно більша середня віддаль, аніж середня віддаль між вакансіями; сумарний внесок їхньої взаємодії між собою та з вакансіями у термодинаміку системи значно слаб- кіший за внесок взаємодії між усіма вакансіями [2—4]. Тому, нех- туючи анігіляцією вакансій і міжвузловинних атомів, будемо розг- лядати тільки еволюцію розподілу густини n(r,t) «повільних» ва- кансій, яка описується наступним рівнанням [2, 3]: ( )( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) n t K t n t t t ∂ = − β − ∇ ⋅ ∂ r r r r r j r (1) (∇ ≡ ∂ ∂r r – Гамільтонів диференційний оператор); β(r) = zdρd(r)Dv – випадкове поле, яке описує ймовірність вбирання вакансій дислока- ційними стоками густиною ρd(r) і з коефіцієнтом zd, що характеризує ефективність кінетично-силового взаємочину вакансій із тими дис- локаційними стоками [2, 3]; Dv(T) – коефіцієнт дифузії вакансій; ( , ) { ( , ) ( , ) ( , ) ( )}v Bt D n t n t t k T= − ∇ −rj r r r F r – густина потоку вакансій [2—6]; ( , ) ( ) ( , )vvt W n t d′ ′ ′= −∇  −rF r r r r r – сила, яка діє на вакансію, що знаходиться в точці r, з боку усіх інших вакансій з точок {r′} через їхнє ефективне самоузгоджене внутрішньокристалічне поле [2—6]; Wvv(r − r′) – енергія взаємодії пари вакансій у точках r і r′; T – тем- пература опроміненого кристалу-цілі, kB – Больцманнова константа. Рівнання (1) розв’язуватимемо за циклічности крайових умов (Борна—Кармана) [2, 3]. (В цьому випадку характеристики стохас- тичного поля густини точкових дефектів визначаються тривіяльно.) Припускатимемо, що термоконцентраційний взаємозв’язок є слабким; це обумовлено розглядом випадку, коли теплообміном за- безпечено ізотермічність (dT/dt → 0), та нехтуванням рекомбінаці- єю міжвузловинних атомів з вакансіями при еволюції розподілу їх. Розділяючи детерміністичні та флюктуаційні частини функцій n, K, β в (1), матимемо [2, 3]: 0 0 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) v n t K n t n t D n t t ∂ = − β − β + Δ + ∂ r r r r r  ( )( , ) ( , ) ( ) vvv B D n t n t W d k T ′ ′ ′+ ∇ ⋅ ∇ − +r rr r r r r ( )( , ) ( , ) ( ) ,vvv B D n t n t W d k T ′ ′ ′+ ∇ ⋅ ∇ −r rr r r r r  (2) 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )v n t K t n t n t D n t t ∂ = − β − β + Δ + ∂ r r r r r r     ( )( , ) ( , ) ( )vvv B D n t n t W d k T ′ ′ ′+ ∇ ⋅ ∇ − +r rr r r r r КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 633 ( )( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )vvv B D n t n t W d n t n t k T ′ ′ ′+ ∇ ⋅ ∇ − + β − β +r rr r r r r r r r r    { }( )( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) vvv B D n t n t n t n t W d k T ′ ′ ′ ′+ ∇ ⋅ − ∇ −r rr r r r r r r    ; (3) де ( )Δ ≡ ∇ ⋅∇r r – Ляплясів оператор, 0 ( , ) ( , ) , ( , ) ,n t n t K K t= =r r r 0 0 0 ( ) , ( , ) ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) , ( ) ( ) .n t n t n t K t K t Kβ = β = − = − β = β − βr r r r r r r r  3. ОДНОРІДНЕ СТАЦІОНАРНЕ ВИПАДКОВЕ ПОЛЕ ГУСТИНИ ДЕФЕКТІВ Серед розв’язків рівнань (1) або системи рівнань (2), (3) може існу- вати розв’язок, який є випадковим однорідним стаціонарним по- лем – n0(r,t). Для нього середня густина вакансій 0 0 ( , )n t n=r є постійною в просторі та в часі, а кореляційна функція густини де- фектів залежить лише від ріжниці арґументів [2, 3]. Тоді для серед- нього значення n0 матимемо [2, 3]: 0 0 0 0 ( ) ( , ) 0K n n t− β − β =r r  . (4) Нехтуючи флюктуаціями добутку випадкових функцій, розв’язує- мо (3) та будуємо кореляційні функції [2]: 0 0 0 ( ) ( ) ( , ) , ( ; ) G n t n d n ββ = λ k r r k k   (5) ( ) 2 0 1 0 2 0 2 0 ( ) ( , ) ( , ) ( ; ) iG e d n t n t n n ′⋅ − β′ = + λ k r rk k r r k   1 2 1 1 2 1 2( ) ( )( ) 2 ( ) ( ) 1 2 2 ( , ) , t t i t td e d e d G e − τ ′⋅ − +λ − − λ τ −λ τ −∞ −∞ + τ τ τ  k r r k k kk k (6) де під dk{…} розуміється інтеґрування по оберненому простору, а 2 0 0 0 ( ) ( ) ( ; ) 1 vv v B n W n k D k T    λ ≡ λ = − + + β        k k k  , ( ) ( ) vv vv iW W e d− ⋅=  k rk r r . Рівнання (4), (5) складають замкнену систему для n0(r,t) і разом із (6) описують випадкове однорідне стаціонарне поле густини вакан- сій у наближенні, що частково враховує й кореляції [2, 3]. 634 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК 4. НЕСТІЙКІСТЬ ОДНОРІДНОГО РОЗПОДІЛУ ВАКАНСІЙ ЗА НАЯВНОСТИ ФЛЮКТУАЦІЙ ШВИДКОСТИ ҐЕНЕРАЦІЇ ДЕФЕКТІВ І НЕОДНОРІДНОСТИ ОПРОМІНЕНОГО ГЦК-КРИСТАЛУ Для визначення умов стійкости стаціонарного однорідного випадко- вого поля густини вакансій розглянемо еволюцію малого збурення її ймовірнісного розподілу, за якого спотворенням середнього значення є δ ( , )n tr ∝ λ + ⋅ f exp{ }t ik r з декрементом згасання λf = λf(k), а флюк- туаційним збуренням неоднорідної частини – δ ( , )n tr [2, 3]. Внаслі- док анізотропії ГЦК-кристалу Фур’є-компонента ( ) vvW k енергій вза- ємодії сягає мінімального значення для певного кристалографічного напрямку. Тому зі зміною параметрів, наприклад, температури опромінюваного зразка, нестійкою стає, насамперед, одна з мод із хвильовим вектором k = kc, який має отой самий напрямок. Серед ін- ших факторів це уможливлює у аналізі стійкости обмежитися одно- вимірними збуреннями, спрямувавши вісь 0x вздовж kc. Підставля- ючи = + δ 0 ( , ) ( , )n x t n n x t в (2), а = + δ   0 ( , ) ( , )n x t n n x t – в (3), одержу- ємо рівнання еволюції малих збурень середнього значення та флюк- туацій однорідного випадкового розподілу точкових дефектів [2, 3]: 2 0 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , )v n x t n x t x n x t D n x t t x ∂δ ∂= −β δ − β δ + δ + ∂ ∂   2 0 2 ( , ) ( ) vvv B D n n x t W x x dx k T x ∂′ ′ ′+ δ − + ∂ { }0 0 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ,vvv B D n x t n x t n x t n x t W x x dx k T x x ∂ ∂′ ′ ′ ′+ δ + δ − ∂ ∂     (7) 2 0 2 ( , ) ( , ) ( , )v n x t n x t D n x t t x ∂δ ∂= −β δ + δ + ∂ ∂   2 0 2 ( , ) ( ) ( ) ( , ) vvv B D n n x t W x x dx x n x t k T x ∂ ′ ′ ′+ δ − − β δ + ∂    0 ( ) ( , ) ( , ) vv v B D W x x n x t n x t dx k T x x  ′∂ ∂ −′ ′+ δ +∂ ∂  0 ( ) ( , ) ( , ) vvW x x n x t n x t dx x ′ ∂ −′ ′+δ ∂    . (8) Система рівнань (7), (8) має змінні коефіцієнти та не є замкненою, оскільки до неї входять величини ( ) ( , )x n x tβ δ  , 0 ( , ) ( , )n x t n x t′δ  . Але, оскільки в (8) змінні коефіцієнти є лише при ( , )n x tδ , то, розг- КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 635 лядаючи відповідні доданки як неоднорідність, знаходимо ( , )n x tδ  , яке тепер є функціоналом ( , )n x tδ . Тоді підставляємо його в (7) і, виконуючи усереднення, для декремента згасання одержуємо: λ = λ + f ( ) ( )k k β ′ ′ ′   ′+ − − − − +   ′ ′ ′λ − λ − λ λ     0 1 0 2 f ( ) ( , ) ( , ) 1 1 , ( ) ( ) ( ) ( ) v v B B G n D S n D S d S k T k T k k k k k k k k k k k (9) де 0 0 02 1 2 3 1 22 ( , ) ( , ) ( ) v B D S d d d d S S k T −∞ −∞ −∞ ′ ′= τ τ τ ×    k k k k k ′ ′ ′× τ − τ − τ −λ τ + τ + λ − λ − τ 1 2 3 1 2 f 3 ( , ) exp{ ( )( ) [ ( ) ( )] },G k k k k k ( )1 ( , ) ( ) { ( ) ( )} , vv vvS W W′ ′ ′ ′= − ⋅ −k k k k k k k k  ( )2 ( , ) { ( ) ( ) ( )} . vv vvS W W′ ′ ′ ′ ′= ⋅ − − −k k k k k k k k k  Для одержання виразу (9) припускалася статистична незалежність ( , )K tr , ( )β r , тобто їх взаємна кореляційна функція та відповідна спектральна густина припускалися рівними нулям. Декремент згасання λf є функцією k. Якщо енергія теплового ру- ху вакансій значно перевищує енергію силової взаємодії їх сукуп- ності, то декремент згасання λf < 0 для будь-якої моди [2—5]. Зі зни- женням температури для деякого k = kc декремент згасання прохо- дить через нуль і стає вже позитивним: розвивається нестійкість по відношенню до переходу до ймовірнісного розподілу густини вакан- сій із середнім, період просторової зміни якого дорівнює 2π/|kc| [2]. 5. НЕСТІЙКІСТЬ ОДНОРІДНОГО РОЗПОДІЛУ ВАКАНСІЙ ЗА ВІДСУТНОСТИ ФЛЮКТУАЦІЙ ШВИДКОСТИ ҐЕНЕРАЦІЇ ДЕФЕКТІВ ТА НЕОДНОРІДНОСТИ ОПРОМІНЕНОГО ГЦК-КРИСТАЛУ (ДЕТЕРМІНІСТИЧНИЙ МОДЕЛЬ) У випадку відсутности зовнішніх флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів та флюктуацій неоднорідности опроміненого ГЦК-кристалу рівнання (1) має наступний вигляд [3—6]: ∂ = − β − ∇ ⋅ ∂ 0 0 ( ). n K n t r j (10) Одним із стаціонарних розв’язків рівнання (10) є наступний од- норідний розв’язок: = = ≡ β = τ 0 st 0 0 0 /n n n K K . Зі зниженням тем- 636 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК ператури опроміненого зразка густина вакансій зростає, роль взає- модії збільшується, а однорідний стан стає нестійким [3—6]. Це призводить до його розпаду і утворення неоднорідної структури в розподілі густини вакансій. Для дослідження стійкости однорідно- го розв’язку розглянемо еволюцію його малого збурення: δ ∝ λ + ⋅( , ) exp( )n t t ir k r . (11) Лінеаризацією (10) за δ ( , )n tr одержуємо дисперсійне рівнання [3—6]: 2 1 ( , ) {1 ( )}vD k U −λ α = − + α − τn nk k ; (12) за означенням маємо: 0 ( ) ( ) vv vvU W W= nk k   , ( ) ( ) vv vv iW W e d− ⋅=  k rk r r , → =  0 0 lim ( )vv vv k W W kn n , st 0 ( ) vv B n W k Tα =  n n [3—6]. Параметер помпування αn є пропорційний концентрації взаємо- дійних вакансій і визначається зовнішнім джерелом дефектів (K0) та температурою (Т) [3—6]. За малої густини вакансій та/або висо- ких температур (коли αn → 0) дійсно λ(k, αn → 0) ≅ −Dvk 2 − τ−1 < 0. По- вертаючись до виразу (11) для малого просторово-часового збурення однорідного й стаціонарного розподілу густини вакансій, можна побачити, що, коли λ(k, αn → 0) < 0, концентраційні неоднорідності з часом «розсмоктуватимуться», оскільки δ →( , ) 0n tr при t → ∞, і однорідний стан залишатиметься стійким [3—6]. Для деяких напрямків k може бути < ( ) 0U k , і з перевищенням (позитивним) параметром αn порогового значення αnKP для деякого певного хвильового вектора k = kKP (що знаходитиметься на порозі нестабільности) величина λ(k, αn) ставатиме позитивною [3—6]. З ви- разу (11) видно, що в умовах, коли хоча б λ(k, αn ≥ αnKP > 0) > 0, конце- нтраційні неоднорідності збільшуватимуться з часом: збурення роз- поділу густини вакансій зростатимуть за експоненційним законом. Отже, однорідний стан ставатиме нестійким; відповідно, розвивати- меться модульована структура в розподілі вакансій, насамперед, з періодом d = 2π/kKP, де kKP відповідатиме (біфуркаційній) точці ви- никнення нового (додаткового до однорідного) розв’язку кінетичного рівнання (10) у вигляді неоднорідної концентраційної хвилі [3—6]. Найменше значення параметра помпування αn = αnKP, при якому вже виконується рівність λ α KP KP ( , )nk нулеві, тобто рівнання 2 1 KP KP KP {1 ( )} 0 v D k U −+ α + τ =n k , (13) відповідає точці біфуркації, якщо останнє має ненульовий розв’язок саме при kKP ≡ kKPn, а kKP знаходиться з умови [3—6] KP KP [ ( , ) ] = ∂λ α ∂ =n k k k k 0 . (14) КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 637 Властивості парної функції λ(k, αn) детально досліджено в [3, 4]. Якщо αn < 1, коли < ( ) 0U k , то λ(k, αn) < 0, тобто вона є монотонно спадною від’ємною функцією. При αn = 1 в точці k = ±km з’являється екстремум. km з ростом αn монотонно збільшується, а значення λ(k, αn) збільшується та сягає нуля, насамперед, при αn = αnKP і k = ±km = ±kKP. При αn > αnKP в околі точок k = ±kKP значення функції λ(k, αn) стають позитивними (рис. 1). Таким чином, в процесі опромінення швидше за всіх будуть зрос- тати амплітуди тих концентраційних хвиль, хвильові вектори яких утворюють промені зірки хвильового вектора kKP, а параметер пом- пування є не меншим за αnKP [6]. Всі інші, більш повільні концент- раційні хвилі, аніж хвиля з хвильовими векторами-променями зір- ки {kKP}, матимуть позитивний «декремент згасання» λ лише у ви- падку, коли αn > αnKP [6]. З рівнань (13) і (14) за умови наближень, яких описано нижче (п. 6), порогове значення αnKP параметра помпування, яке визнача- ється середньою концентрацією взаємодійних вакансій, і критичне значення величини kKP хвильового вектора уздовж фіксованого на- прямку n біля k ≅ 0 для кубічного кристалу дорівнюють, відповідно: 00 0 KP 2 2 2 ( ){ ( ) }2 ( ) [ ] [ ] vv vv vv vvvv vv vv v vv vv vv v v W w DW W w w D w D Β Β − τΒ α ≅ − + + τ τ n nn n n n n n n nn         чи то (якщо 0d d ( )ρ = ρ r ) ρ Β ρ Β −ρ Β α ≅ − + +         0 d 0d d 0d0 d 0d 0 KP 2 2 2 ( ){ ( ) }2 ( ) , [ ] [ ] vv vv vv vvvv vv vv vv vv vv W z z wW z W w w w n nn n n n n n n nn Рис. 1. Схематична ілюстрація появи нестійкости однорідного розподілу вакансій [4]. 638 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК 0 KP KP KP KP ( , ) 2 ( ) vv vv vv W w k − − α α = α Β n n n n n n n    , де el.chem ( ) ( )vv vv vv vvw Q= ϕ + +n 0 n  A та 0 ( ) ( )vv vv vvΒ = γ +n n B – коефіцієн- ти розвинення у наближеному виразі 2 ( ) ( ) vv vv vvW w k≅ + Β +nk n   [6] (див. п. 6). Оскільки Фур’є-компоненти енергій «деформаційної» й «електрохемічної» v—v-взаємодій мають неґативні граничні зна- чення при k → 0 саме з напрямку [100] (або [010] чи [001]) усередині першої Бріллюенової зони (BZ) для ГЦК-ґратниці (див. п. 6), поро- гове значення α[100]KP параметра помпування та критичне значення величини kKP хвильового вектора kKP уздовж напрямку [100] (або [010] чи [001]) біля k ≅ 0 дорівнюють [3—6], відповідно: 0[100] [100]KP 0[100] 0[100] 2 ([100]){ ([100]) }2 ([100]) 1 vv vv vvvv v vv vv v v W D W D W D Β Β + τΒα ≅ + + τ τ     чи то ρ Β ρ Β +ρ Β α ≅ + +     d 0d d 0d 0[100]d 0d [100]KP 0[100] 0[100] 2 ([100]){ ([100]) }2 ([100]) 1 , vv vv vvvv vv vv z z Wz W W [100]KP 0[100] KP [100]KP [100]KP ( 1) ([100], ) 2 ([100]) vv vv W k α − α ≅ α Β   . За оцінками саме перший (одиничний) член у виразі для α[100]KP є найбільшим за величиною доданком і дає головний внесок у порого- ве значення α[100]KP [2—6]. Таким чином, оскільки ([100]) 0 vvΒ ≥ (див. п. 6), дисипативні модульовані структури вакансійної підсистеми в Рис. 2. Схематичне зображення одновимірної модульованої структури ва- кансійної підсистеми; світлим («сірим») кольором позначено гребені кон- центраційної хвилі атомів металевого ГЦК-кристалу, темнішим («жовто- гарячим») – гребені концентраційної хвилі вакансійної підсистеми. КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 639 ГЦК-кристалі виникатимуть, якщо α[100]KP > 1, а періоди дисипатив- них модульованих структур вакансійної підсистеми залежатимуть від параметрів кінетики перерозподілу: коефіцієнта дифузії вакан- сій і скінченного часу життя нестабільних вакансій або ж коефіціє- нта zd, який характеризує ефективність кінетично-силового взаємо- чину таких вакансій з дислокаційними стоками [3—5, 7, 8]. У ГЦК-кристалі (посеред дислокаційних стоків) можуть виникати концентраційні вакансійні хвилі зазначеного типу у еквівалентних напрямках [100], [010] або [001], зокрема, одночасно у вигляді три- вимірної суперпозиції взаємно проникних двох або трьох хвиль: = + δ [001] 0 1 ( , ) ( , )n t n n z tr , (15а) = + δ + δ[010] [001] 0 2 2 ( , ) ( , ) ( , )n t n n y t n z tr , (15б) = + δ + δ + δ[100] [010] [001] 0 3 3 3 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )n t n n x t n y t n z tr , (15в) де x, y, z, – компоненти вектора r в напрямках осей [100], [010], [001] відповідно. Кожна з неоднорідних функцій, які складають праві частини (15а), (15б), (15в), описує одновимірну модуляцію ва- кансійної підсистеми в напрямку одного із ребер куба [9]. На рисунках 2, 3 схематично зображено одно-, дво- та тривимір- ну модульовані структури вакансійної підсистеми. В разі збігу гребенів одночасно трьох взаємно проникних та син- фазно модульованих концентраційних вакансійних хвиль створю- ються умови для «зародкування» нанопор по охоплених гребенями вузлах. Виникнення такої тривимірної суперпозиції концентрацій- них вакансійних хвиль у напрямках [100], [010] і [001] одночасно (із синфазним перетином їхніх гребенів) можна зіставити з механізмом утворення надґратниці нанопор у ГЦК-кристалі, що опромінюється. а б Рис. 3. Схематичні зображення дво- та тривимірної модульованої структу- ри вакансійної підсистеми; темнішим («жовтогарячим») кольором позна- чено перетини гребенів концентраційних хвиль вакансійної підсистеми. 640 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК 6. ЕНЕРГЕТИЧНІ ПАРАМЕТРИ ВЗАЄМОДІЙ ВАКАНСІЙ Коли віддаль між вакансіями у кубічному кристалі набагато пере- вищує параметер a0 його ґратниці, енергії ефективно парної взаємо- дії між ними Wvv(r − r′) в основному визначаються тими Фур’є- компонентами ( ) vvW k , яких можна наблизити Тейлоровим рядом за степенями k 2 [6] (через наявність центрів інверсії ( ) ( )vv vvW W− = k k ): 2 el.chem ( ) ( ) ( ) ( ) ...vv vv vv vv vvW V w k≈ + ϕ ≅ + Β +nk k k n    , (16) де  ( ) vvV k – k-та Фур’є-компонента енергій (непрямої) «деформацій- ної» взаємодії між вакансіями, яку навіть у скінченній малій області поблизу k = 0 можна представити апроксимувальним виразом [9—12]: 2 ( ) ( ) ( ) vv vv vv vvV k Q≅ + +k n n A B . Відома формула для першого доданку тут праворуч ґрунтується на довгохвильовій границі (тобто континуальному наближенні) [9, 10]: υ + ξ + ξ −    2 2 2 0 9 ( ) (1 2 ( ) 3 ( )) ( ) ( ) v vv K L n n n n X Y A D , а другий доданок є першою поправкою до неї [10, 11]; третій доданок Рис. 4. Дисперсія залежности Фур’є-компоненти енергії «деформаційної» v—v-взаємодії в кристалі ГЦК-Ni в основних високосиметрійних напрям- ках оберненого простору, зокрема, у високосиметрійних точках Γ, X, W, L, K(U) його першої BZ;  – ( ) vvV 0 приТ = 300К. КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 641 – калібрувальний параметер, який виключає ефект непрямої «са- модії» (тобто враховує відсутність «пружньої» взаємодії вакансії із самою собою) [9, 12, 13]. В останньому виразі 3 0 0 / 4аυ = – об’єм примітивної елементарної комірки ГЦК-кристалу, L v – коефіцієнт концентраційного стиснення (або ж розширення) його ґратниці че- рез наявність вакансій; K = (C11 + 2C12)/3 – модуль всебічного стис- ку, ξ = (C11 − C12 − 2C44)/C44 – параметер анізотропії пружности, C11, C12, C44 – модулі пружности [12, 14]; 2 2 2 2 2 2( ) x y y z z x n n n n n n= + + nX , = 2 2 2( ) x y z n n nnY , = + ξ + + ξ + + 2 11 11 12 11 12 44 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( )C C C C C Cn n nD X Y [9—12]. (Формулу для коефіцієнта Bvv(n) див. в [11].) На рисунку 4 представлено розрахунок дисперсійних кривих для Фур’є-компоненти  ( ) vvV k енергій «деформаційної» v—v-взаємодії уздовж усіх високосиметрійних напрямків в оберненому просторі за даними про модулі пружности [14], фононні частоти [15] й енер- гію когезії [16] для ГЦК-Ni (із значенням L v = −0,073, якого було оцінено в роботі [17] за експериментальними даними). Для реаліс- тичних значень C11, C12, C44 і ξ Фур’є-компонента  ( ) vvV k має най- менше граничне значення при k → 0 з напрямку [100] (або [010] чи [001]) всередині першої BZ (рис. 5) для ГЦК-ґратниці: 2 2 20 11 9 ( ) ( ) ( ) v vv vv vv X X K L V k Q C Γ Γ υ → ≅ − + +k 0 n   B ; 2 4 2 2 0 L 2 11 9 ( ) ( ) 256 v vv X X K a L M C Γ ω ≅nB [11], ωLX – температурозалежна (як і a0, C11, C12, C44) частота поздовжньо поляризованого фонона у точці високої симетрії X(100) на поверхні BZ [15], M – маса атома ГЦК- Рис. 5. Перша BZ оберненого простору для ГЦК-ґратниці. 642 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК кристалу. Зазначимо, що в (квази)гармонічному наближенні методи стати- ки ґратниці Мацубари—Канзакі—Кривоглаза величина Q vv за Хача- туряном визначається наступним виразом [9, 12]: ( ) 2* 3 2 1 ( ) ( )1 ( ) v svv s s Q N M≠ = ⋅ = ω k 0 e k F k k  , (17) де ( ) vF k – Фур’є-компонента вектора фіктивної сили (Канзакі) ( ) v ′−F r r , яка діє на атом кристалу в деякому вузлі r з боку вакансії з радіюс-вектором r′. У виразі (17) враховано внески від усіх акус- тичних (s = 1, 2, 3) мод власних коливань (з частотами ωs(k) і векто- рами поляризації es(k)) ГЦК-кристалу, який складається з N вузлів та атомів (масою М кожний) у переважній більшості з них. Симболі …* і (…⋅…) означають комплексне спряження та скалярний добуток векторів відповідно. Величини ( ) v ′−F r r можуть бути розраховані в рамках того або іншого моделю [9], зокрема, на підставі експериме- нтальних даних про С11, С12, а також L v. За (грубим) розрахунком величини Q vv, виконаним у довгохви- льовому наближенні [9, 12], її виражено аналітично тільки через макроскопічні характеристики (модулі пружности і коефіцієнт концентраційної ділятації). У роботі [12] нехтували просторовою дисперсією коливань кристалу (власне нелінійностями в залежнос- тях ωs(k)) і Фур’є-компонент сил міжатомової взаємодії ( ) vF k , тоб- то екстраполювали на всю першу BZ асимптотичні залежності [9, 12] ω ( ) ( )s suk n k та − υ σ  0 ( )v v l lj jF i kk , які є слушними тільки за малих |k| (тобто при ka0 << 1). Тут us(n) – швидкість звуку в s-й аку- стичній гілці у напрямку вектора k, а компоненти симетричного тензора силових диполів визначаються формулою [9, 12] 1 0 ( ){ }v v ij i j jF r r− ′ ′σ ≡ υ − −r r r , і для ГЦК-кристалу пов’язані з v v ij ijL L= δ (i, j = x, y, z; δij – Кроне- керів симболь) співвідношенням: 11 12 ( 2 )v v ij ijC C Lσ = + . Тоді, у термінах наступних позначень [9, 12]: 2 2 2 11 11 44 11 12 44 ( ) ( ) ( ) , ( ) x y z xx C C C n C C n n C − − + ξ + Ω =n nD 2 2 2 12 44 44 ( )(1 ) ( ) ( ) z y x xy C C n n n C + + ξ Ω = −n nD КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 643 (а інші компоненти тензора {Ωij} визначаються циклічною переста- новкою індексів x, y, z), 2 30 0 1 3 ( ) ( ) ( ) (2 ) vv v v v v i ij jl lm m i ij jl lm mN BZ Q n n d kn n N >> υ υ ≈ σ Ω σ ⎯⎯⎯⎯→ σ Ω σ π  k n n і власне для ГЦК-кристалу 2 2 2 30 3 ( ) (1 2 ( ) 3 ( )) . ( )(2 ) vv BZ Q d k σ υ + ξ + ξ≅ π  n n n  X Y D (18) Інтеґрування в (18) можна виконати двома способами [12]. Перша метода полягає в заміні першої BZ рівновеликим шаром і апроксимації підінтеґрального виразу лінійним за ( )nX й ( )nY по- ліномом у довільному напрямку n = (nx; ny; nz) оберненого простору ГЦК-ґратниці за тих умов, щоб його значення збігалися зі значення- ми відповідного підінтеґрального виразу у певних напрямках висо- кої симетрії: n = (1; 0; 0), (1 2 ;1 2 ;0)=n , (1 3 ;1 3 ;1 3)=n [12]. Тоді для наближеного виразу (18) матимемо апроксимацію [12]: 2 2 0 1 2 3 9 ( ) ( 5 105)vv vQ K L≅ υ ζ + ζ + ζ , 1 11 1 C ζ = , 44 2 11 12 11 12 44 (     )(        2 ) C C С С С С ξ ζ = − + + , 2 2 44 3 11 11 12 44 11 12 44 18 ( 2 )( 2 4 ) C C C C C C C C ξζ = + + + + . Друга метода інтеґрування (підсумовування) у виразі (17) ґрун- тується на методі підсумовування по так званих спеціяльних точ- ках «головного» значення у першій BZ [12, 13]. За цією методою, що не підмінює (спотворюючи) BZ, 30 3 1( ) ( ) ( ) (2 ) BZ f d k f ℵ μ μ μ= υ ≅ γ π  k k  для гладкої періодичної функції ( )f k хвильового вектору k (з періо- дами 2πb, де b – будь-який вектор оберненої ґратниці). Тут kμ – спеціяльна точка «головного» значення (з ваговим множником γμ) в BZ (μ = 1, ..., ℵ); 1 1 ℵ μ μ= γ = . (Деякі набори таких точок наведено в [18, 19].) У роботі [12] використовували одну точку «головного» значен- ня, що відповідає так званій точці Балдереші [19] у BZ для ГЦК- ґратниці: 644 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК 2 2 2 0 9 ( ) (1 2 ( ) 3 ( )) ( ) v vv B B B K L Q υ + ξ + ξ ≅ n n n  X Y D , де B B B=n k k , kB ≈ (2π/a0)(0,6223; 0,2953; 0) [19] (зазвичай вона забезпечує результат інтеґрування з похибкою, що не перевищує декількох відсотків). У формулі (16) el.chem ( )vvϕ k – Фур’є-компонента енергій (прямої) «електрохемічної» v—v-взаємодії. Дисперсійні криві для 0 0 0 0 el.chem I ( ) 4 ( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 2 2 2 2 vv vv x y y z a a a a r k k k k ϕ ≅ ϕ + + k   + + ϕ + + +   0 0 II 0 0 0 cos( ) cos( ) 2 ( ) cos( ) cos( ) cos( ) 2 2 vv x z x y z a a k k r a k a k a k + ϕ + + 0 0 0 0 III 0 0 8 ( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 2 2 2 2 vv x y z y z x a a a a r k k a k k k a k 0 0 0 IV 0 0 cos( ) cos( ) cos( ) 4 ( ) cos( ) cos( ) 2 2 vv z x y x y a a k k a k r a k a k  + + ϕ + + + + ϕ ×0 0 0 0 V cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) 4 ( ) vv y z x za k a k a k a k r ( ) ( )    × + − + + − +         0 0 0 0 cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) 2 2 x y x y x z x z a a a k k k k a k k k k ( ) ( )   + + − + − + +        0 0 0 0 cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) 2 2 y z y z x z x z a a a k k k k a k k k k ( ) ( )    + − + + − + +        0 0 0 0 cos ( ) cos ( ) cos ( ) cos ( ) 2 2 x y x y y z y z a a a k k k k a k k k k VI 0 0 0 8 ( ) cos( ) cos( ) cos( ) vv x y zr a k a k a k+ ϕ + … уздовж усіх високосиметрійних напрямків всередині першої BZ представлено на рис. 6; ϕvv(rI), ϕvv(rII), …, ϕvv(rVI), … – значення енер- гій ефективно ізотропної «електрохемічної» v—v-взаємодії в справж- ніх першій, другій, …, шостій, … вузлових координаційних сферах. В підході, розробленому авторами [20—25] для прямої (в основно- му когезійної за природою) «електрохемічної» взаємодії вакансій у кубічному кристалі (для якого взагалі-то й el.chem el.chem ( ) ( ) vv vvϕ − = ϕ k k ), у довгохвильовому наближенні [9, 26] в околі k = 0 маємо наступне розвинення в Тейлорів ряд за степенями k 2 [26]: КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 645 2 el.chem el.chem 0 ( ) ( )vv vv vvkϕ ≅ ϕ + γ +k 0   , де ∈ ϕ = ϕ ≈ ≈ ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ +   I II el.chem el.chem { , ,...} I II III IV V VI ( ) ( ) 12 ( ) 6 ( ) 24 ( ) 12 ( ) 24 ( ) 8 ( ) , vv vv vv vv vv vv vv vvr r r r r r r r r 0 r ∈ γ = − ϕ ≈ ≈ − ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ + ϕ +   I II 2 0 el.chem { , ,...} 2 0 I II III IV V VI 1 ( ) 6 { ( ) ( ) 6 ( ) 4 ( ) 10 ( ) 4 ( ) }. vv vv vv vv vv vv vv vva r r r r r r r r r r r На рисунку 7 зображено залежність центральносиметричного потенціялу el.chem ( )vvϕ r такої «електрохемічної» взаємодії v—v у ГЦК- кристалі від зведеної міжвакансійної віддалі r/a із врахуванням взаємодії у справжніх 28-х координаційних сферах по вузлах. Для вузлів ГЦК-ґратниці помічено просту залежність між номе- ром координаційної сфери та її радіюсом у формі [29—32]: Rn = rI(N(n)) 1/2 = a(2N(n)) 1/2/2, яка, на жаль, порушується (через специфічне «зняття кристалог- Рис. 6. Дисперсійні криві для Фур’є-компоненти енергій «електрохемічної» взаємодії вакансій уздовж усіх високосиметрійних напрямків у оберненому просторі, яких побудовано з використанням Маклінового потенціялу [16] для кристалу ГЦК-Ni (тобто за енергії когезії у −4,45 еВ/атом [27, 28]) при Т = 300 К з врахуванням лишешістьох координаційних сфер по вузлах. 646 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК рафічного виродження») на XIV-й, XXX-й, … сферах. Дійсно, для тривимірної ГЦК-ґратниці номер справжньої координаційної сфе- ри та її радіюс визначаються сукупністю Міллерових індексів («ко- ординат») {hnknln}: 2 2 2 (n) n n n 2N h k l= + + , 2 2 2 n n n n 2R a h k l= + + , і зрозуміло, що номери XIV, XXX, … не складаються з трійки квад- ратів цілих чисел {hnknln}. Такі номери відповідають, згідно з [30— 32], так званим «нульовим» координаційним сферам, тобто сферам, на яких вузли ГЦК-ґратниці не розташовуються (їхні координа- ційні числа є нульовими). Видно, що модулі енергій «електрохемічної» v—v-взаємодії змен- шуються зі збільшенням віддалі rn (монотонно для n ≥ II; рис. 7). Са- ме достатньо різким спаданням абсолютних величин el.chem ( ) vvϕ r зі збільшенням віддалі між вакантними вузлами (тобто «короткосяж- ним» характером «електрохемічної» взаємодії v—v) забезпечується аналітичність функції ( )vvϕ k el.chem в околі k = 0 (рис. 6), тоді як енергія (непрямої) «деформаційної» (чи то пружньої за природою) v—v- взаємодії має істотно далекосяжніший (та й анізотропний і «квазио- сцилівний») характер [11, 26], що спричиняє неаналітичність (ро- зрив першого роду) функції ( ) vvV k в точці k = 0 (див., зокрема, [13]): Рис. 7. Залежність енергії «електрохемічної» v—v-взаємодії у кристалі ГЦК-Ni (за Макліновим потенціялом [16] з енергією когезії у −4,45 еВ/атом [27, 28]) від зведеної віддалі r(300К)/a(300К)між вакансіями у вузлах. КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 647 lim ( ) ( )vv vvV V → ≠ k 0 k 0  . Але, незважаючи на далекосяжність «деформаційної» взаємодії між вакансіями, абсолютні значення її енергій є значно меншими, аніж модулі енергій «електрохемічної» взаємодії [6, 11, 26] вакан- сій на невеликих віддалях, і тому найістотнішим внеском в енергію міжвакансійної взаємодії в ГЦК-Ni є енергія саме їхньої «електро- хемічної» взаємодії. Однак, слід зазначити, що в околі k = 0 Фур’є-компонента енергій (прямої) «електрохемічної» v—v-взаємодії не залежить від напрям- ку n, і тому розрахунки дисперсійних кривих Фур’є-компонент енергій «деформаційної» v—v-взаємодії є також важливим, оскіль- ки з їх аналізи (за рис. 4) можна дізнатися, саме в якому напрямку можуть утворитися концентраційні вакансійні хвилі. На рисунку 8 представлено температурні залежності Фур’є-ком- понент ( , ) vvV T→k 0 енергій «деформаційної» v—v-взаємодії з різних напрямків n: зі збільшенням температури абсолютні значення Фур’є-компонент енергій «деформаційної» v—v-взаємодії зростають. Через те, що Маклінів потенціял NiNi 4 8 NiNi NiNi ( )r A r B r− −ϕ = − + для T > 0 К (але в термінах параметра а0 ГЦК-ґратниці кристалу ніклю Рис. 8. Температурні залежності Фур’є-компонент енергій «деформацій- ної» v—v-взаємодії ( ) vvV →k 0 з різних основних напрямків симетрії в обе- рненому просторі: 1 – Г ( ) vv X V n , 2 – Г ( ) vv K V n , 3 – Г ( ) vv L V n . (Пунктиром позначено залежності ( , ) vvV T→k 0 , яких одержано екстраполяцією кри- вих, побудованих на основі відомих експериментальних даних про модулі пружности [14] та коефіцієнт термічного розширення [33, 34] ГЦК-Ni.) 648 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК при T = 0 К, енергії його когезії ε0 і ґратницевих сум S4 ≈ 25,338, S8 ≈ ≈ 12,80193 [16], за якими 0 4 1 NiNi 0 4 A a S−= −ε , 0 8 1 NiNi 0 8 8B a S−= − ε ) [9, 16, 25] все ж таки простягається значно за межі першої вузлової коор- динаційної сфери (з радіюсом = I 2r a ) (рис. 7), стається істотне переладнання відповідної залежности NiNi el.chem ( ) ( )vvϕ ≈ ϕk k  , що ро- бить її (хоча б локально) екстремальною не лише в точках високої симетрії на поверхні, але й усередині першої BZ (рис. 6). Гіпотетич- но таке відповідає урізноманітненню довгохвильових (модульова- них) структур у просторовому розподілі вакансійної підсистеми, які могли б утворитися в ГЦК-кристалі за сприятливих умов. На рисунку 9 представлено температурні залежності Фур’є-компонен- ти енергій «електрохемічної» v—v-взаємодії el.chem ( ) vvϕ 0 при k = 0 та коефіцієнта просторової дисперсії 0 vvγ відповідно. 7. ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСИПАТИВНИХ МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР ВАКАНСІЙНОЇ ПІДСИСТЕМИ ЗА ВІДСУТНОСТИ ФЛЮКТУАЦІЙ ШВИДКОСТИ ҐЕНЕРАЦІЇ ДЕФЕКТІВ І НЕОДНОРІДНОСТИ ОПРОМІНЕНОГО ГЦК-КРИСТАЛУ В даній роботі оцінки виконувалися, насамперед, за наступних зна- чень параметрів для кристалу ГЦК-Ni з вакансіями та їхніми (дис- локаційними) стоками: zd = 1, ρ0d ≅ 5⋅10 −8 Å−2 [8, 35, 36] і, відповідно, наприклад, при 1500 К τ ≅ 1,33⋅10 −4 с; енергію активації міґрації та а б Рис. 9. Температурні залежності (з урахуванням v—v-взаємодії у справжніх 28-х координаційних сферах): (а) Фур’є-компоненти енергій (прямої) «еле- ктрохемічної» взаємодії вакансій el.chem ( ) vvϕ 0 , (б) коефіцієнта просторової дисперсії Фур’є-компоненти енергій «електрохемічної» v—v-взаємодії 0 vvγ . КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 649 передекспоненційний множник у Арреніюсовій формулі для коефі- цієнта дифузії вакансій Dv покладали рівними 1,3 еВ і 3,5⋅1015 Å2/с [8, 35] відповідно. Експериментальні дані стосовно модулів пружно- сти ГЦК-Ni C11(T), C12(T), C44(T) та умотивована оцінка коефіцієнта концентраційної ділятації L v через вакансії бралися з праць [14] і [17] відповідно. el.chem ( )vvϕ 0 , 0 vvγ оцінювалися з використанням зазна- ченого міжатомового потенціалу для ГЦК-Ni [16]. Прогнозовану температурну залежність періоду дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми, яка мала б вини- кати першою в якості неоднорідного розв’язку (15) рівнання (10), представлено на рис. 10. У виразах для критичного значення хвильового вектора концент- раційної вакансійної хвилі і відповідного періоду дисипативної мо- дульованої структури підсистеми вакансій у ГЦК-Ni основний вне- сок у визначальному енергетичному параметрі 0 0 lim ( )vv vv k W W k → =n n  має енергія «електрохемічної» взаємодії v—v; тому саме вона визна- чатиме й температурну залежність зазначеного періоду. Але слід за- значити, що температурна залежність періоду дисипативної моду- льованої структури вакансійної підсистеми визначається не тільки і не стільки температурною залежністю el.chem ( )vvϕ 0 , скільки коефіціє- нтом 0 vvγ просторової дисперсії ϕ el.chem ( )vv k . Енергія «електрохемічної» v—v-взаємодії має немонотонний хара- ктер (рис. 7) як функція зведеної віддалі rn/a0 між вакансіями на ву- Рис. 10. Температурна залежність періоду дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми в ГЦК-Ni з фіксованою густиною дис- локацій ρ0d ≅ 5⋅10 −8 Å−2 [36]. (Щодо пунктиру див. пояснення до рис. 8.) 650 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК злах ГЦК-Ni. Через зростання абсолютного значення енергії «елект- рохемічної» v—v-взаємодії саме на першій координаційній сфері з підвищенням температури, що не компенсується у величині 0[100] vvW спаданням модулів таких енергій на наступних сферах, період диси- пативної модульованої структури вакансійної підсистеми може тро- хи зменшуватися (на < 2%) з підвищенням температури (рис. 10) в умовах сталости густини дислокацій (утворення дисипативних мо- дульованих структур вакансійної підсистеми полегшується). Період (в тому числі й наномасштабний) дисипативної модульо- ваної структури вакансійної підсистеми залежить від густини дис- локацій. З ростом температури густина дислокацій зменшується [37—40]. Експериментальні дані (за різних умов оброблення) щодо таких залежностей та їх апроксимацій представлено на рис. 11—13: 2 3 0d 350 К 1 2 3 ( 350 К) ( 350 К) ( 350 К)T T Tρ ≅ ρ + ρ − + ρ − + ρ − ,(19) де ρ350 К ≅ 5⋅10 −4 Å−2, ρ1 ≅ −2,44⋅10 −6 Å−2⋅К−1, ρ2 ≅ 5,43⋅10 −9 Å−2⋅К−2, ρ3 ≅ ≅ −4,89⋅10 −12 Å−2⋅К−3 (рис. 11); 0d 20 К 1 ( 20 К)Tρ ≅ ρ + ρ − , (20) Рис. 11. Залежність густини дислокацій ρ0d(T) від температури відпалу для порошкового полікристалу Ni, який був одержаний в результаті поме- лу кульовим млином [37]. (Пунктиром на рисунку відмічено залежність, яку одержано екстраполяцією кривої ρ0d(T), що побудовано на основі ная- вних експериментальних даних про густину дислокацій.) КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 651 де ρ20 К ≅ 1,77⋅10 −6 Å−2, ρ1 ≅ −3,88⋅10 −9 Å−2⋅К−1 (рис. 12, а); 0d 77 К 1 ( 77 К)Tρ ≅ ρ + ρ − , (21) а б Рис. 12. Температурна залежність густини дислокацій ρ0d(T) для ГЦК-мо- нокристалу ніклю: (а) якого було попередньо відпалено при T = 823 К впродовж 6 годин, а потім деформовано прокаткою зі ступенем обтиснення у 6% паралельно площині (110) в напрямку [112 ] [38]; (б) при мінімаль- них ступенях деформації шляхом стиснення [39] з орієнтацією вісі стиску [001]. (Щодо пунктиру див. пояснення до рис. 11.) Рис. 13. Залежність густини дислокацій ρ0d(T) від температури для ніклю у випадку опромінення високоенергетичними йонами Ni+ [41]. (Щодо пу- нктиру див. пояснення до рис. 11.) 652 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК де ρ77 К ≅ 0,87⋅10 −6 Å−2, ρ1 ≅ −6,995⋅10 −10 Å−2⋅К−1 (рис. 12, б); 0d 798 К 1 ( 798 К)Tρ ≅ ρ + ρ − , (22) де ρ798 К ≅ 2,73⋅10 −6 Å−2, ρ1 ≅ −8,43⋅10 −9 Å−2⋅К−1 (рис. 13). Значення густини дислокацій при мінімальних ступенях стиску є нижчими для монокристалу, якого деформовано за високих темпе- ратур (рис. 12, б) [39]. Згідно з припущенням авторів [39, 40], зі зро- станням температури збільшується рухливість дислокацій і частота елементарних актів руху дислокацій. В результаті цього віддаль, на яку можуть переміщатися дислокації, збільшується, і зростає шви- дкість анігіляції дислокацій як величина, що пропорційна частоті їх зустрічей [39]. Це й призводить до того, що процеси анігіляції по- мітно посилюються, а густина дислокацій зменшується [39]. Врахування такої температурної залежності густини дислокацій спричинює істотну перебудову зміни (наномасштабного) періоду дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми з те- мпературою (рис. 14—16). Так, зменшення густини дислокацій ρ0d(T) з підвищенням темпе- ратури перешкоджає утворенню (просторово впорядкованої) диси- пативної модульованої структури вакансійної підсистеми, що про- являється у збільшенні періоду модуляції (рис. 14—16), тобто ентро- пійному «розсмоктуванні» порядку. І, навпаки, при збільшенні гус- Рис. 14. Температурна залежність періоду дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми з апроксимацією густини дислокацій ρ0d(T) за виразом (19). (Щодо пунктиру див. пояснення до рис. 11.) КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 653 тини дислокацій від 10 −6 Å−2 до 10 −4 Å−2 (наномасштабний) період ди- сипативної модульованої структури підсистеми вакансій зменшу- ється від 103 Å до 102 Å (рис. 14—16). Період дисипативної модульованої структури вакансійної підси- а б Рис. 15. Температурна залежність періоду дисипативної модульованої стру- ктури вакансійної підсистеми з апроксимацією густини дислокацій ρ0d(T) за виразами (20) (а) і (21) (б). (Щодо пунктиру див. пояснення до рис. 11.) Рис. 16. Температурна залежність періоду дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми з апроксимацією густини дислокацій ρ0d(T) за виразом (22). (Щодо пунктиру див. пояснення до рис. 11.) 654 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК стеми також залежить від швидкости ґенерації дефектів K0. Зі збільшенням швидкости ґенерації дефектів типу вакансій те- мпературна область існування (скінченного) періоду d(T) розширю- ється. Дисипативна модульована структура підсистеми вакансій стає можливою при T < TKP = 360—820 К в залежності від швидкости ґенерації дефектів (K0 = 10 −8—10 −2 зна/с), значень коефіцієнта дифу- зії вакансій, а також густини дислокацій (рис. 17, 18). На рисунках 17, 18 зазначено область нестійкости однорідного розподілу вакансій у координатах критичної температури та інтен- сивности опромінення (∝ K0). Відповідну координатну площину ро- зділено на дві частини кривою: в області I однорідний розподіл не- стійкий, а в області II – стійкий. При інтенсивностях та температу- рах опромінення, які відповідають області I, в кристалі може утво- рюватися періодичний розподіл густини вакансійної підсистеми. Із врахуванням спадної температурної залежности густини дис- локацій область стабільности дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми трохи розширюється (рис. 18). Зменшення ж рухливости вакансій сприяє зміщенню области стабільности такої структури в координатах критичної температури (ТKP) та швидкости дефектоутворення (K0) в сторону вищих температур (рис. 18). Зазначимо, що криві на рис. 17, 18 визначають лише порядок ве- личин порогових значень K0(ТKP) утворення нестійкости. Значення Рис. 17. Області (не)стійкости однорідного розподілу вакансій у ГЦК-крис- талі по відношенню до неоднорідних збурень в координатах швидкости де- фектоутворення (K0) та критичної температури (TKP): I – область нестійкос- ти, II – стійкости. В даній роботі розділову криву 1 обраховано з коефіцієн- том дифузії вакансій Dv = 3,5⋅1015exp{(−1,3 еВ)/(kBT)} [Å2/c] [35] за густиною дислокацій ρ0d ≅ 5⋅10 −8 Å−2, 2 – з апроксимацією (21) для густини дислока- цій; розділову криву 3 наведено за даними роботи [42] для порівняння. КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 655 критичної температури визначити складно через відсутність надій- них даних про дифузійні параметри; так, є розкид до ≅ 4,3⋅1015 Å2/c у передекспоненційному множнику коефіцієнта дифузії вакансій, а також до ≅ 0,1 еВ – у енергії активації їхньої міґрації [35, 43—45]. а б в Рис. 18. Області (не)стійкости однорідного розподілу вакансій у ГЦК-кри- сталі по відношенню до неоднорідних збурень залежно від швидкости ґене- рації точкових дефектів опроміненням та критичної температури: I – об- ласть нестійкости, II – область стійкости. Розділові криві обраховано за різними коефіцієнтами дифузії вакансій: (а) Dv = 6⋅1015exp{(−1,3 еВ)/(kBT)} [Å2/c] [43], (б) Dv = 9,2⋅1015exp{(−1,4 еВ)/(kBT)} [Å2/c] [44], (в) Dv = 1⋅1015× ×exp{(−1,4 еВ)/(kBT)} [Å2/c] [45] для випадків, коли (1) густина дислокацій ρ0d ≅ 5⋅10 −8 Å−2 [36], (2) густину дислокацій апроксимовано за виразом (21), (3) густина дислокацій ρ0d ≅ 0,75⋅10 −6 Å−2 [39], (4) густину дислокацій апро- ксимовано за виразом (19) або (5) густина дислокацій ρ0d ≅ 5⋅10 −4 Å−2 [37]. 656 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК Також зазначимо, що у застосованому моделі розглянуто ізотер- мічні умови самоорганізації дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалі, що опромінюється. Одер- жані в його рамках кількісні результати можуть бути задовільними не завжди, оскільки не враховано вплив зовнішніх флюктуацій, а саме, флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів, які завжди присутні в реальних умовах опромінення. Але, незважаючи на це, даний модель пристойно описує явище на якісному рівні. У випадку з нанорозмірними порами можна припустити, що ене- ргія взаємодії їх визначається лише їхньою «пружньою» взаємодією в межах теорії пружности суцільного середовища зі сторонніми ко- герентними включеннями [9, 10]. У межах такого наближення роз- глядатимемо нанопори як скінченні сферичні мікродефекти («дір- ки») у пружньому континуумі з використанням результатів довгох- вильової апроксимації у методі статики ґратниці, тобто з k ≅ 2π/dp << << 2π/a0 [9, 10]: ( )vv vv vvw w Q ≅ +n n n  A , ( ) ( ) ( )vv vvΒ  Β ≅n n n  B . На рисунку 19 представлено відповідну температурну залежність пері- оду dp надґратниці в розподілі нанопор, яка виникає першою в якос- ті неоднорідности розв’язку кінетичного рівнання їх перерозподілу (зокрема, у вигляді тривимірної суперпозиції [9] взаємно проник- них і синфазно модульованих концентраційних вакансійних хвиль у напрямках [100], [010] і [001]; рис. 3 у п. 5). Період надґратниці в розподілі нанорозмірних пор дещо збільшується з температурою (рис. 19), що побічно підтверджується висновками робіт [48—50]. Рис. 19. Залежність періоду надґратниці в розподілі нанопор від темпера- тури для різних експериментальних оцінок коефіцієнта L p концентрацій- ної ділятації ґратниці ГЦК-Ni через наявність пор: 1 – L p ≅ 0,0146 [46], 2 – L p ≅ 0,0154 [47] (якщо ρ0d ≅ 5⋅10 −8 Å−2 [36]). (Щодо пунктиру див. рис. 8.) КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 657 8. ДИСИПАТИВНІ МОДУЛЬОВАНІ СТРУКТУРИ ВАКАНСІЙНОЇ ПІДСИСТЕМИ ЗА НАЯВНОСТИ ФЛЮКТУАЦІЙ ШВИДКОСТИ ҐЕНЕРАЦІЇ ТОЧКОВИХ ДЕФЕКТІВ Одержані співвідношення для визначення n0 (4), (5), критичних значень параметрів (9) і періоду структури, що виникає, є неліній- ними та залежать від інтеґральних властивостей потенціялу взає- модії вакансій і відповідних спектральних густин [2]. Впливи флю- ктуацій швидкости ґенерації дефектів і неоднорідности опроміне- ного кристалу в рамках зроблених наближень є незалежними; ви- значувані ними поправки входять у (5) та (9) як доданки [2]. Середнє значення густини дефектів, на відміну від декремента згасання, залежить лише від флюктуацій густини стоків (через Gβ(k)), а не від флюктуацій швидкости ґенерації дефектів: її коре- ляційних функцій або спектральних густин. У випадку відсутности випадкової неоднорідности розподілу сто- ків для вакансій вираз для середньої густини останніх формально співпадає з виразом, який одержано у детерміністичному набли- женні, якщо всі величини замінити їх середніми [2]: 0 n = K0/β0. Врахування стаціонарних зовнішніх флюктуацій і нелінійної взаємодії вакансій призводить до якісно нових результатів: зник- нення або, навпаки, виникнення безлічі можливих однорідних ви- падкових полів густини вакансій з різними першими та другими моментами, кожне з яких може реалізуватися [2]. Коли зовнішні флюктуації стають дуже малими, (4), (5) та (9) пе- ретворюються у співвідношення, яких одержано з використанням детерміністичного моделю (п. 5) [2, 6]. Оскільки впливи ( , )K tr та ( , )tβ r є адитивними (роль останніх проаналізовано в [51], а статис- тичні характеристики випадкового стаціонарного розподілу точко- вих дефектів одержано в [52]), розглянемо умови виникнення періо- дичного розподілу густини вакансій при їх стохастичному утворенні [2]. Щоб одержати кількісні результати необхідно задати конкрет- ний вигляд спектральної густини; зокрема, для Ґавсового часового спектру з ∝ 2ln{ ( ,0) ( , )}G G t tk k завжди знайдеться нестійка мода, а однорідне стаціонарне випадкове поле густини вакансій не реалізу- ється [2]. Також обмежимося випадком, коли флюктуації швидкос- ти ґенерації дефектів у часі й у просторі є статистично незалежними і настільки малими, що період виникаючої структури в розподілі густини вакансій близький до детерміністичного і набагато більший за радіюс їх кореляції rcorr, а час кореляції τcorr набагато менший за всі характерні часи задачі (зокрема, за час релаксації). Тоді для до- бавки в (9), яку обумовлено флюктуаціями, одержуємо [2]: ′ ′ ′ τ′≈ ′ ′ ′λ λ + λ − 2 1 2 corr 2 ( ) ( , ) ( , ) ( ){ ( ) ( )}2( ) v B G S SD S d k T k k k k k k k k k k . (23) 658 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК Тут і надалі радіюс кореляції флюктуацій і час їхньої кореляції представлятимемо за означенням наступним чином [53, 54]: corr 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) K t K t d r K t + Δ Δ =  r r r r r , corr 2 ( , ) ( , ) ( ) ( , ) K t K t t d t K t + Δ Δ τ =  r r r . rcorr < 104—106 Å (< порядку розміру каскаду зміщень, тобто максима- льної віддалі, на якій каскади можуть перетинатися і вже можна вве- сти і детерміністичну, і флюктуаційну складові густини утворених дефектів), а τcorr ≤ 102—104 пс (≤ порядку часу розвитку каскадів) [53]. При стохастичному описі не вдається звести залежності (зокрема, S) від параметрів 0 n , 0 vvW n  разом з T до одного α =  0 0 ( )vv Bn W k Tn n . Шу- катимемо умови розвитку нестійкости, змінюючи K0 (декремент зга- сання λf залежить від K0 лише через αn), а температуру та коефіцієнт варіяції швидкости утворення зміщень  2 0 K K вважатимемо фі- ксованими [2]. Оскільки підінтеґральна функція в (23), що спадає з ростом k, як k2, є локалізованою на відрізку [−|km|, |km|] (|km| ≤ |kKP|), декремент зга- сання λf дорівнюватиме 0 при αn ≤ αnKP, оскільки чисельник у підінте- ґральному виразі в (23) є додатнім в інтервалі (−|kKP|, |kKP|) (kKP ≡ kKPn) і S > 0 [2]. В чисельнику підінтеґральної функції (23) обмежимося першим членом розвинення, а в λ(k) – другим, оскільки саме ним визначається точка мінімуму km. Переходячи в (23) від інтеґрування до підсумовування та враховуючи, що 2 corr corr ( ,0)G K r= τ0  , підста- вляємо (23) в (9); утримуючи члени одного порядку малости, знахо- димо із врахуванням кореляцій флюктуацій [2]: ( ) ( )−α  α ≡ ≅ α − ρ Ψ β  /4 /40c 0[1 500] [100]KP [100]c [100]KP 0d 0 1( ) 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) 2 vv B K W T b T T T T k T ( ) ( )− ≅ − ρ Ψ1 5/4 /4 KP c KP 0d 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 4 k k k T b T T T , = τ  2 corr corr 2 0 ( ) ( ) K b T r D T K , ΒΨ =   0[100] ([100]) ( ) vv vv T W . Таким чином, зміни періоду дисипативної модульованої струк- тури вакансійної підсистеми, які виникають через включення флюктуацій швидкости ґенерації дефектів, також визначаються кінетичними характеристиками (окрім параметрів опромінення). Відповідні температурні залежності періоду модульованої струк- тури вакансійної підсистеми з врахуванням впливу зовнішніх КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 659 флюктуацій швидкости ґенерації точкових дефектів, які характе- ризуються радіюсом кореляції rcorr і часом кореляції τcorr, а також температурної залежности густини дислокацій ρ0d(T) представлено на рис. 20—22. (Пунктиром на рис. 20—22 відзначено прогнозовані залежності d(T), яких одержано екстраполяцією кривих, побудо- ваних на основі відповідних експериментальних даних про модулі пружности [14], коефіцієнт термічного розширення [33, 34] та гус- тину дислокацій [37—39, 41], за межі областей їх визначення.) При високих температурах наявність флюктуацій спричинює руйнування дисипативної модульованої структури вакансійної під- системи, що проявляється у збільшенні періоду з температурою (власне через ентропійний чинник порядок розсмоктується). Зі зниженням температури флюктуації швидкости ґенерації дефектів зменшуються, і в умовах опромінення дисипативна модульована структура підсистеми вакансій вже має бути (саме завдяки йому). А завдяки надшвидкому охолодженню матеріялу вона може бути за- фіксованою навіть після припинення опромінення [8]. Таким чином, наявність зовнішніх флюктуацій швидкости ґене- рації точкових дефектів типу вакансій призводить до звуження об- а б Рис. 20. Температурна залежність періоду дисипативної модульованої структури підсистеми вакансій із коефіцієнтом вакансійної дифузії Dv = = 3,5⋅1015exp{(−1,3 еВ)/(kBT)} [Å2/c] [35] і густиною дислокаційних стоків ρ0d(T) за різних апроксимацій, – (а) (19) чи (б) (21), – при флуктуаціях швидкости ґенерації точкових дефектів за фіксованих значень часу коре- ляції τcorr = 104 пс і коефіцієнта варіяції флюктуацій = 2 0 1K K , але із різними значеннями радіюса їхньої кореляції rcorr: 1 – 10 Å, 2 – 102 Å, 3 – 103 Å. (Щодо пунктиру див. також пояснення до рис. 11.) 660 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК ласти стабільности дисипативної структури в розподілі густини ва- кансійної підсистеми (рис. 20—22). 9. ВИСНОВКИ В даній роботі проведено аналогію між утворенням надґратниці на- нопор з утворенням просторово-впорядкованого розміщення точко- вих дефектів, насамперед, вакансій. Вперше таку аналогію зазначив Чанг [55, 56], використовуючи атомістичний розгляд. На його дум- ку, вакансії – це квазичастинки, які пружньо взаємодіють між со- бою, шикуючись під опроміненням у надґратницю вакансій. Тобто взаємодія між вакансіями, як між квазичастинками, є подібною до взаємодії між атомами, що також стверджувалося ще в роботах [20— 25]. Їм властива така ж сама кінетика, що і атомам. Це уможливлює утворення надґратниці вакансій. В даній роботі продемонстровано механізм виникнення дисипа- тивних модульованих структур вакансійної підсистеми в ГЦК-крис- талі, що опромінюється, який явно ґрунтується на відкритості та а б Рис. 21. Температурна залежність періоду дисипативної модульованої структури підсистеми вакансій із коефіцієнтом вакансійної дифузії Dv = = 3,5⋅1015exp{(−1,3 еВ)/(kBT)} [Å2/c] [35] і густиною дислокаційних стоків ρ0d(T) за різних апроксимацій, – (а) (19) чи (б) (21), – при флюктуаціях швидкости ґенерації точкових дефектів із фіксованими значеннями їхніх радіюса кореляції rcorr = 102 Å і часу кореляції τcorr = 104 пс, але для різних значень коефіцієнта варіяції флюктуацій  2 0 K K : 1 – 10, 2 – 102, 3 – 103, 4 – 104, 5 – 105. (Щодо пунктиру див. також пояснення до рис. 11.) КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 661 нерівноважності такої системи в цілому, а також на нелінійності ха- рактеру зв’язків вакансій з оточенням, причім, на відміну від робіт Чанга [55, 56], застосовано (послідовне з методичної точки зору) спільне врахування внесків (непрямої) далекосяжної «деформацій- ної» взаємодії (зокрема, на далеких віддалях, «пружньої» за харак- тером) і («прямої») порівняно короткосяжної «електрохемічної» взаємодії (в основному когезійної природи на близьких віддалях) у взаємодію зґенерованих вакансій. Теоретичне оцінювання параметрів взаємодії та кінетичних па- раметрів перерозподілу вакансій і на такому підґрунті дослідження механізмів самоорганізації модульованих структур їхньої підсис- теми є потрібним для з’ясування шляхів реґулювання властивостей наявних матеріалів і способів одержання нових з поліпшеною фун- кціональністю. Утворення надґратниць вакансій є внутрішньою властивістю де- яких кристалічних матеріялів. Дослідження такої властивості є а б Рис. 22. Температурна залежність періоду дисипативної модульованої структури підсистеми вакансій із коефіцієнтом вакансійної дифузії Dv = = 3,5⋅1015exp{(−1,3 еВ)/(kBT)} [Å2/c] [35] та апроксимацією (22) для густини дислокацій ρ0d(T) при флюктуаціях швидкости ґенерації точкових дефек- тів: (а) за фіксованих значень їхніх коефіцієнта варіяції = 2 0 1K K і часу кореляції τcorr = 104 пс, але із різними значеннями радіюса кореляції rcorr (1 – 10 Å, 2 – 102 Å, 3 – 103 Å); (б) при фіксованих значеннях rcorr = = 102 Å та τcorr = 104 пс, але за різних значень коефіцієнта варіяції флюкту- ацій  2 0 K K : 1 – 10, 2 – 102, 3 – 103, 4 – 104, 5 – 105. (Щодо пункти- ру див. також пояснення до рис. 11.) 662 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК важливим для уможливлення застосувань в якості реакторних тих чи інших матеріялів, оскільки матеріял, який має достатньо вира- зну схильність до утворення надґратниць вакансій, як очікується, може чинити опір розпуханню. Нікель має істотне технологічне значення, тому що його використовують в багатьох стопах як осно- ви реакторних матеріялів. Для того, щоб краще зрозуміти поведін- ку дефектів, зокрема, вакансій у явищі утворення дисипативних модульованих структур їхньої підсистеми, в ніклевих стопах, в ро- боті виконано розрахунки його для чистого ГЦК-Ni. На прикладі ГЦК-Ni чисельно розраховано дисперсійну криву Фур’є-компонент енергій «електрохемічної» (когезійної за приро- дою) взаємодії вакансій у ГЦК-кристалі з урахуванням істотних рис такої їхньої «прямої» взаємодії (зокрема, ізотропії та притягально- го характеру). З’ясовано, що немалі значення її енергій (у порів- нянні з енергіями «деформаційної» взаємодії між вакансіями) хоча б на віддалях радіюсів декількох перших координаційних сфер за- безпечують домінування саме цього енергетичного внеску у Фур’є- компоненти сумарної міжвакансійної взаємодії, принаймні, в околі центру Бріллюенової зони оберненого простору для ГЦК-ґратниці. Розглянуто випадок ізотермічних умов самоорганізації передвіс- ника утворення надґратниці нанопор – модульованої структури у розподілі зґенерованих опроміненням вакансій через нестійкість їхнього однорідного розподілу в результаті, насамперед, взаємодії між ними всередині ГЦК-кристалу, що опромінюється. В рамках детерміністичного моделю оцінено температурні зале- жності періодів дисипативних модульованих структур в розподілі вакансій і нанопор. Чисельно підтверджено, що навіть за відсутности флюктуацій неоднорідности дефектної будови ГЦК-кристалу, що опромінюєть- ся, та флюктуацій швидкости ґенерації в ньому вакансій нестій- кість однорідного розподілу їх визначається низкою параметрів. Насамперед, це – коефіцієнт дифузії вакансій (а значить, і енергія активації їхньої міґрації), характерний час виходу вакансій на сто- ки, що вбирають їх, фактор ефективности вбиральної дії на вакансії з боку (дислокаційних) стоків, а також Фур’є-компоненти енергій «деформаційної» («пружньої») і «електрохемічної» взаємодій між вакансіями, що відповідають околу центру першої Бріллюенової зони оберненого простору ГЦК-ґратниці. За наявности зазначених флюктуацій критерій нестійкости однорідного розподілу вакансій в умовах підтримуваного опромінення характеризується ще й пара- метрами кореляції: радіюсом кореляції флюктуацій швидкости ґе- нерації вакансій, часом кореляції флюктуацій швидкости ґенерації вакансій, коефіцієнтом варіяції швидкости утворення вакансій. За відсутности (зовнішніх) флюктуацій ненульової швидкости ґенерації радіяційних точкових дефектів типу вакансій (та й (внут- КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 663 рішніх) флюктуацій неоднорідности у розміщенні їхніх стоків (дислокацій)) період дисипативної модульованої структури вакан- сійної підсистеми (в тому числі й наномасштабний) трохи зменшу- ється з підвищенням температури в умовах сталості густини дисло- кацій, що визначається, насамперед, «електрохемічними» взаємо- діями вакансій (оскільки взаємодія між вакансіями визначається не тільки (і не стільки) «пружнім» внеском, а, насамперед, їхніми «електрохемічними» взаємодіями). З’ясовано, що період d стаціонарної дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми істотно залежить від густини стоків вакансій. Урахування (емпіричної) температурної залежнос- ти густини дислокацій як стоків для вакансій у ГЦК-кристалі ви- явило розширення температурного інтервалу стаціонарного існу- вання модульованої структури (із скінченним наномасштабним пе- ріодом). Чисельно показано, що саме зменшення густини дислока- цій з підвищенням температури призводить до збільшення періоду d(T) дисипативної модульованої структури вакансійної підсистеми (в тому числі й наномасштабного); це зумовлено ентропійним чин- ником і «електрохемічними» взаємодіями вакансій. Уперше враховано вплив залежностей густини (наприклад, дис- локаційних) стоків вакансій і енергетичних параметрів міжвакан- сійних взаємодій у ГЦК-кристалі від його температури T на інші (окрім періоду) характеристики модульованих структур вакансій- ної підсистеми, зокрема, на критичну температуру виникнення їх. При цьому виявлено, що врахуванням температурної залежности, насамперед, густини стоків вакансій оцінка критичної температури виникнення дисипативних структур підвищується. Проілюстровано, що параметрична залежність періоду d (в тому числі й наномасштабного) стаціонарних дисипативних модульова- них структур підсистеми вакансій від швидкости ґенерації їх є не- лінійною, чому може відповідати як погіршення, так і поліпшення функціональних властивостей відповідного матеріялу (залежно від інтенсивности опромінення). З підвищенням швидкости ґенерації вакансій у ГЦК-кристалі температурний інтервал стійкости їхніх модульованих структур (із скінченним наномасштабним періодом d(T)) розширюється. Підтверджено, що період d стаціонарних дисипативних модульо- ваних структур вакансійної підсистеми параметрично залежить від коефіцієнта дифузії вакансій у ГЦК-кристалі, причому нелінійним чином. Зменшення рухливості вакансій сприяє зміщенню области стабільности дисипативної модульованої структури вакансійної пі- дсистеми в бік вищих температур. Кількісно підтверджено, що, на відміну від періоду модульованої структури, яка виникає у закритій вакансійній підсистемі ГЦК- кристалу за спинодальним механізмом релаксації [26], період ста- 664 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК ціонарної дисипативної модульованої структури відкритої нерівно- важної підсистеми вакансій у ГЦК-кристалі, що опромінюється, істотно визначається їхніми кінетичними параметрами (коефіцієн- том дифузії, характерним часом життя до вбирання стоками, кое- фіцієнтом, що характеризує ефективність вбирального взаємочину вакансій із стоками (дислокаціями), а також характеристиками опромінення (насамперед, його інтенсивністю, а значить, швидкіс- тю ґенерації ним точкових дефектів типу вакансій). Період надґратниці в розподілі нанопор підвищується з темпера- турою, що визначається, на відміну від модульованої структури ва- кансійної підсистеми, лише «пружньою» взаємодією в рамках тео- рії пружности суцільного середовища із когерентними включення- ми. Чисельно досліджено нелінійну залежність періоду d(T) стаціо- нарних дисипативних модульованих структур вакансійної підсис- теми від параметрів кореляції зовнішніх флюктуацій: радіюса ко- реляції просторових флюктуацій швидкости ґенерації вакансій, часу кореляції просторових флюктуацій швидкости ґенерації вака- нсій, коефіцієнта варіяції швидкости утворення вакансій. Уперше кількісно проілюстровано, що зі збільшенням радіюса кореляції просторових флюктуацій швидкости утворення вакансій та/або ко- ефіцієнта варіяції швидкости ґенерації вакансій температурний інтервал стаціонарного існування дисипативних модульованих структур (із скінченним наномасштабним періодом d(T)) у розподі- лі густини вакансійної підсистеми в ГЦК-кристалі звужується. Для порівняння чисельно підтверджено та проілюстровано гіпо- тезу про можливість утворення надґратниці (скінченного періоду) із «пружньо» взаємодійних нанопор услід «зародженню» їх в око- лах тих вузлів ГЦК-кристалу (що опромінюється), у яких густина вакансій (які групуються) є підвищеною, у певному інтервалі тем- ператур. ПОДЯКИ Насамкінець, автори щиро дякують к.ф.-м.н. С. М. Бокочу та проф. Д. О. Харченку за дискусію стосовно температурних залежностей періодів модульованих структур ізольованих і відкритих систем. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. W. Horsthemke and R. Lefever, Noise-Induced Transitions: Theory and Appli- cations in Physics, Chemistry, and Biology (Berlin—Heidelberg: Springer— Verlag: 2006). 2. П. О. Селищев, Металлофиз. новейшие технол., 21, № 9: 11 (1999). 3. П. А. Селищев, Самоорганизация в радиационной физике (Киев: Аспект- КІНЕТИКА ЕВОЛЮЦІЇ НАНОМАСШТАБНОЇ ДИСИПАТИВНОЇ СТРУКТУРИ 665 Полиграф: 2004). 4. В. И. Сугаков, О сверхрешетках плотности дефектов в облучаемых кри- сталлах (Киев: 1984) (Препринт/АН УССР. Институт теоретической физи- ки. ИТФ-84-70). 5. В. Й. Сугаков, Основи синерґетики (Київ: Обереги: 2001). 6. О. В. Олійник, П. О. Селищев, В. А. Татаренко, Й. Б. Парк, Металлофиз. новейшие технол., 34, № 9: 1231 (2012). 7. P. A. Selishchev and V. I. Sugakov, Radiat. Eff. and Defects in Solids, 133, No. 3: 237 (1995). 8. В. И. Сугаков, П. А. Селищев, Физ. твердого тела, 28, № 10: 2921 (1986). 9. A. G. Khachaturyan, Theory of Structural Transformations in Solids (Mineola, NY: Dover Publications Inc.: 2008). 10. A. A. Кацнельсон, А. И. Олемской, Микроскопическая теория неоднород- ных структур (Москва: Изд. МГУ: 1987). 11. О. В. Олійник, В. А. Татаренко, С. М. Бокоч, Металлофиз. новейшие тех- нол., 33, № 10: 1383 (2011); ibidem, 34, № 1: 137 (2012). 12. В. А. Татаренко, К. Л. Цинман, Физика реальных кристаллов: Сб. науч. тр. (Ред. В. Г. Барьяхтар) (Киев: Наукова думка: 1992), с. 244. 13. В. А. Татаренко, К. Л. Цинман, Металлофизика, 14, № 10: 14 (1992). 14. И. Н. Францевич, Ф. Ф. Воронов, С. А. Бакута, Упругие постоянные и упру- гие модули металлов и неметаллов: Справочник (Киев: Наукова думка: 1982). 15. Л. Г. Климович, С. В. Семеновская, Я. С. Уманский, М. Я. Фишкис, Физ. мет. металловед., 25, № 6: 1029 (1968). 16. E. S. Machlin, Acta Metall., 22, No. 1: 95 (1974). 17. O. Bender and P. Ehrhart, J. Phys. F: Met. Phys., 13, No. 5: 911 (1983). 18. D. J. Chadi and M. L. Cohen, Phys. Rev. B, 8, No. 12: 5747 (1973). 19. A. Baldereschi, Phys. Rev. B, 7, No. 12: 5212 (1976). 20. V. G. Weizer and L. A. Girifalco, Phys. Rev., 120, No. 3: 837 (1960). 21. R. Yamamoto and M. Doyama, J. Phys. F: Met. Phys., 3, No. 8: 1524 (1973). 22. W. A. Harrison, Pseudopotentials in the Theory of Metals (New York: W. A. Benjamin Inc.: 1966). 23. W. A. Harrison, Solid State Theory (New York: McGraw-Hill: 1970). 24. J. W. Flocken and J. R. Hardy, Phys. Rev., 177, No. 3: 1054 (1969). 25. M. S. Blanter and A. G. Khachaturyan, Metall. Trans., 9A, No. 6: 753 (1978). 26. O. V. Oliinyk and V. A. Tatarenko, Журнал нано- та електронної фізики, 4, № 1: 01001-1 (2012). 27. L. Brewer, High-Strength Materials (Ed. V. F. Zackay) (New York: Wiley: 1965), ch. 2, p. 12. 28. L. Brewer, The Cohesive Energies of the Elements: Report LBL—3720 (Berkeley, CA: Lawrence Berkeley Laboratory: 1977). 29. В. А. Полухин, М. А. Спиридонов, Л. А. Жукова, Структура и атомная динамика в конденсированных металлах: Учебное электронное текстовое издание (Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ—УПИ: 2009). 30. М. Д. Старостенков, Кристаллография, 37, № 3: 717 (1992). 31. М. Д. Старостенков, Метод расчета заполнения координационных сфер в кристаллах с ГЦК-решеткой (Деп. в ВИНИТИ 31.03.86 № 2968-2-В86). 26 с. 32. И. В. Лощина, М. Д. Старостенков, Фундаментальные проблемы современ- ного материаловедения, 3, № 3: 94 (2006). 666 В. А. ТАТАРЕНКО, П. О. СЕЛИЩЕВ, О. В. ОЛІЙНИК, Й. Б. ПАРК 33. T. G. Kollie, Phys. Rev. B, 16, No. 11: 4872 (1977). 34. G. K. White, Proc. Phys. Soc. London, 86, No. 2: 159 (1965). 35. Ю. В. Конобеев, ВАНТ. Сер. Физика радиац. поврежд. и радиац. матер., № 1(29)—2(30): 172 (1984). 36. Т. П. Диденко, П. А. Селищев, Металлофиз. новейшие технол., 34, № 10: 1347 (2012). 37. Y. Zhao, T. D. Shen, and J. Zhang, Nanoscale Res. Lett., 2, No. 10: 476 (2007). 38. И. А. Гиндин, Я. Д. Стародубов, В. К. Аксенов, Укр. физ. журн., 19, № 11: 1834 (1974). 39. В. А. Старенченко, Д. В. Лычагин, Р. В. Шаехов, Э. В. Козлов, Изв. высших учебн. завед. Физика, 1, № 7: 71 (1999). 40. И. И. Новиков, Теория термической обработки металлов (Москва: Метал- лургия: 1978). 41. F. A. Smidt, Jr., and L. A. Beach, Cooperative Radiation Effects Simulation Program Annual Progress Report for the period 1 September 1978—31 August 1979: Report NRL—4379 (Washington, D.C.: Naval Research Laboratory: 1980). 42. В. В. Михайловский, К. С. Рассел, В. И. Сугаков, Физ. твердого тела, 42, № 3: 471 (2000). 43. N. M. Ghoniem, D. Walgraef, and S. J. Zinkle, J. of Computer-Aided Materials Design, No. 8: 1 (2002). 44. H. E. Schaefer, Positron Annihilation (Eds. P. G. Coleman, S. C. Sharma, and L. M. Diana) (Amsterdam: North-Holland Pub. Co: 1982), p. 369. 45. J. A. Sprague, J. E. Westmoreland, F. A. Smidt, Jr., and P. R. Malmberg, J. Nucl. Mater., 54, No. 2: 286 (1974). 46. G. L. Kulcinski, J. L. Brimhall, and H. E. Kissinger, J. Nucl. Mater., 40, No. 2: 166 (1971). 47. А. В. Козлов, Е. Н. Щербаков, О. И. Асипцов, Л. А. Скрябин, И. А. Порт- ных, Физика и химия обработки материалов, № 1: 9 (2006). 48. Ю. В. Конобеев, Физ. твердого тела, 20, № 5: 1560 (1978). 49. D. J. Mazey, S. Francis, and J. A. Hudson, J. Nucl. Mater., 47, No. 2: 137 (1973). 50. B. A. Loomis, S. B. Gerber, and A. Taylor, J. Nucl. Mater., 68, No. 1: 19 (1977). 51. П. А. Селищев, Металлы, 1, № 3: 99 (1998). 52. П. А. Селищев, Физ. мет. металловед., 87, № 2:10 (1999). 53. П. О. Селищев, Д. В. Щур, Вісник Київського університету. Сер. фізико- математичних наук, 1, № 2: 505 (1999). 54. И. А. Квасников, Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем (Москва: Изд. МГУ: 1987). 55. R. Chang, Scr. Metall., 10, No. 9: 861 (1976). 56. R. Chang, Scr. Metall., 10, No. 7: 611 (1976).

Схожі ресурси