Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома

Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома

В рамках концепции «снизу–вверх» наноэлектроники рассмотрены общие вопросы электронной проводимости, причины возникновения тока, роль электрохимических потенциалов, функций Ферми и фермиевского окна проводимости, модель упругого резистора, различные режимы транспорта электронов, моды проводимости,...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2013
Автор: Кругляк, Ю.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2013
Назва видання:Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75910
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 3. — С. 519-549. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-75910
record_format dspace
spelling irk-123456789-759102015-02-07T03:01:52Z Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома Кругляк, Ю.А. В рамках концепции «снизу–вверх» наноэлектроники рассмотрены общие вопросы электронной проводимости, причины возникновения тока, роль электрохимических потенциалов, функций Ферми и фермиевского окна проводимости, модель упругого резистора, различные режимы транспорта электронов, моды проводимости, коэффициент прохождения. Изложена обобщённая модель транспорта электронов в режиме линейного отклика, развитая Р. Ландауэром, С. Даттой и М. Лундстромом применительно к проводникам любой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом, квазибаллистическом или диффузионном режиме. В межах концепції «знизу–вгору» наноелектроніки розглянуто загальні питання електронної провідности, причини виникнення струму, роль електрохімічних потенціалів, функцій Фермі і Фермівського вікна провідности, модель пружнього резистора, різні режими транспорту електронів, моди провідности, коефіцієнт проходження. Викладено узагальнену модель транспорту електронів у режимі лінійного відгуку, розвинену Р. Ландауером, С. Даттой і М. Лундстромом стосовно провідників будь-якої вимірности, будь-якого масштабу і довільної дисперсії, що працюють у балістичному, квазибалістичному або дифузійному режимі. Generalissues of electronic conductivity and the causes of the current flow, role of electrochemical potentials, Fermi functions, and Fermi window for conduction, elastic-resistor model, different electron-transport regimes, conductivity modes, and transmission coefficient are discussed within the scope of the ‘bottom–up’ approach of modern nanoelectronics. Generalized model of electron transport in the linear-response regime developed by R. Landauer, S. Datta, and M. Lundstrom with application to the resistors of any dimension, any size scale, and arbitrary dispersionoperating in ballistic, quasi-ballistic or diffusion regime is summarized. 2013 Article Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 3. — С. 519-549. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 1816-5230 PACSnumbers:71.15.Mb,72.10.Bg,73.22.Dj,73.23.Ad,73.63.-b,84.32.Ff,85.35.-p http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75910 ru Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В рамках концепции «снизу–вверх» наноэлектроники рассмотрены общие вопросы электронной проводимости, причины возникновения тока, роль электрохимических потенциалов, функций Ферми и фермиевского окна проводимости, модель упругого резистора, различные режимы транспорта электронов, моды проводимости, коэффициент прохождения. Изложена обобщённая модель транспорта электронов в режиме линейного отклика, развитая Р. Ландауэром, С. Даттой и М. Лундстромом применительно к проводникам любой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом, квазибаллистическом или диффузионном режиме.
format Article
author Кругляк, Ю.А.
spellingShingle Кругляк, Ю.А.
Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
author_facet Кругляк, Ю.А.
author_sort Кругляк, Ю.А.
title Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_short Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_full Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_fullStr Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_full_unstemmed Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_sort обобщённая модель электронного транспорта ландауэра–датты–лундстрома
publisher Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate 2013
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75910
citation_txt Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 3. — С. 519-549. — Бібліогр.: 24 назв. — рос.
series Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
work_keys_str_mv AT kruglâkûa obobŝënnaâmodelʹélektronnogotransportalandauéradattylundstroma
first_indexed 2025-07-06T00:09:12Z
last_indexed 2025-07-06T00:09:12Z
_version_ 1836854073779814400
fulltext 519 PACS numbers: 71.15.Mb, 72.10.Bg, 73.22.Dj, 73.23.Ad, 73.63.-b, 84.32.Ff, 85.35.-p Обобщённая модель электронного транспорта Ландауэра–Датты–Лундстрома Ю. А. Кругляк Одесский государственный экологический университет, ул. Львовская, 15, 65016 Одесса, Украина В рамках концепции «снизу–вверх» наноэлектроники рассмотрены общие вопросы электронной проводимости, причины возникновения тока, роль электрохимических потенциалов, функций Ферми и фермиевского окна про- водимости, модель упругого резистора, различные режимы транспорта элек- тронов, моды проводимости, коэффициент прохождения. Изложена обобщён- ная модель транспорта электронов в режиме линейного отклика, развитая Р. Ландауэром, С. Даттой и М. Лундстромом применительно к проводникам лю- бой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом, квазибаллистическом или диффузионном режиме. В межах концепції «знизу–вгору» наноелектроніки розглянуто загальні пи- тання електронної провідности, причини виникнення струму, роль електро- хімічних потенціалів, функцій Фермі і Фермівського вікна провідности, мо- дель пружнього резистора, різні режими транспорту електронів, моди провід- ности, коефіцієнт проходження. Викладено узагальнену модель транспорту електронів у режимі лінійного відгуку, розвинену Р. Ландауером, С. Даттой і М. Лундстромом стосовно провідників будь-якої вимірности, будь-якого мас- штабу і довільної дисперсії, що працюють у балістичному, квазибалістичному або дифузійному режимі. General issues of electronic conductivity and the causes of the current flow, role of electrochemical potentials, Fermi functions, and Fermi window for conduction, elastic-resistor model, different electron-transport regimes, conductivity modes, and transmission coefficient are discussed within the scope of the ‘bottom–up’ approach of modern nanoelectronics. Generalized model of electron transport in the linear-response regime developed by R. Landauer, S. Datta, and M. Lundstrom with application to the resistors of any dimension, any size scale, and arbitrary dispersion operating in ballistic, quasi-ballistic or diffusion regime is summarized. Ключевые слова: нанофизика, наноэлектроника, упругий резистор, моды проводимости, коэффициент прохождения. Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2013, т. 11, № 3, сс. 519–549  2013 ІМФ (Інститут металофізики ім. Ã. В. Курдюмова ÍАÍ Óкраїни) Íадруковано в Óкраїні. Фотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 520 Ю. А. КРÓÃЛЯК (Получено 16 сентября 2013 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ Бурное развитие наноэлектроники в последние 15–20 лет привело не только к созданию и широкому использованию нанотранзисто- ров и других разнообразных наноразмерных устройств электрони- ки, но и к более глубокому пониманию причин возникновения тока, обмена и диссипации энергии и принципов работы устройств в це- лом как наноразмерных, так и привычных электронных приборов [1–4]. В наши дни фактически происходят революционные измене- ния в электронике, что влечёт за собой необходимость пересмотра содержания университетского физического образования. Похожая революционная ситуация наблюдалась 50 лет назад после открытия транзистора, что привело не только к повсеместному использова- нию устройств микроэлектроники, но и к коренному пересмотру университетских и инженерных курсов общей физики, не говоря уже о специальных курсах в области электроники и смежных дис- циплин. Со времён становления физики твёрдого тела используе- мые в электронике материалы и вещества характеризовались инте- гральными свойствами, такими, например, как подвижность носи- телей тока или коэффициент оптического поглощения, с дальней- шим их использованием для объяснения наблюдаемых физических явлений и моделирования различных электронных устройств. С переходом в наши дни к мезо- и наноскопике нано- и молекулярные транзисторы требуют с самого начала для своего описания и моде- лирования применение законов квантовой механики и неравновес- ной статистической термодинамики. Это неизбежно приведёт к пе- ресмотру физического образования уже на начальных университет- ских курсах. Феноменологическая модель электронной проводимости Друде [5, 6] и поныне занимает центральное место и в преподавании и в экспериментальных измерениях электрических характеристик различных материалов [7]. В качестве причины, вызывающей электрический ток, принимается внешнее электрическое поле x dV V dx L     , (1) возникающее как градиент разности потенциалов V, подаваемой на проводник (рис. 1). Электрон испытывает действие силы e x F q   (2) ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 521 со стороны электрического поля и движется с дрейфовой скоростью d x v   , (3) характеризуемой мобильностью . Ток равен суммарному заряду Q nqAL , (4) где n — объемная плотность электронов, перенесённая за время tt, / t I Q t , (5) которое, в свою очередь, определяется скоростью дрейфа / t d t L v . (6) Для тока окончательно имеем d x I nqv A nq A   (7) и A I nq V L   , (8) а для проводимости G и её удельного значения  имеем: A A G nq L L     (9) Рис. 1. Электронный транспорт в режиме диффузии через провод- ник длины L и площади поперечного сечения А. Используется тра- диционное соглашение о знаках: ток I и направление движения электронов противоположны. 522 Ю. А. КРÓÃЛЯК и .nq   (10) Согласно закону Ома сопротивление / /R V I L A   , (11) где удельное сопротивление , как и обратная ему удельная прово- димость  не зависят от геометрии проводника и являются свой- ствами материала, из которого изготовлен проводник. Закон Ома утверждает, что если уменьшить длину проводника в несколько раз, то во столько же раз уменьшится его сопротивление. А если уменьшить длину канала проводимости до очень маленьких разме- ров, то сопротивление практически «занулится»? При обычном «диффузионном» движении электронов по провод- нику среднее значение длины свободного пробега в полупроводни- ках меньше 1 мкм и изменяется в широких пределах в ту и в другую стороны в зависимости от температуры и природы материала, из которого сделан проводник. Длина канала проводимости в совре- менных полевых транзисторах 30–40 нм, что соответствует не- скольким сотням атомов. Вполне уместно задаться вопросом: а если длина проводника меньше диффузионной длины свободного пробе- га, то движение электрона станет баллистическим? Будет ли сопро- тивление подчиняться закону Ома? А если уменьшить длину кана- ла проводимости до нескольких атомов? Имеет ли смысл в этом случае говорить о сопротивлении как таковом? Все эти вопросы бы- ли предметом жарких дискуссий ещё лет 15–20 назад. Сегодня от- веты на эти вопросы даны и надёжно подкреплены многочислен- ными экспериментальными данными. Измерено даже сопротивле- ние молекулы водорода [8] и создан полевой транзистор на одиноч- ном атоме фосфора [9]. Обращает на себя внимание то обстоятельство, что впечатляющие успехи экспериментальной наноэлектроники практически не по- влияли на то, как мы думаем, обучаем и объясняем понятия сопро- тивления, проводимости и работу электронных устройств в целом. И поныне, по-видимому, по историческим причинам доминирует привычная концепция «сверху–вниз», от массивных проводников до молекул. Такой подход был вполне приемлем до тех пор, пока не было достаточного массива экспериментальных данных по измере- нию проводимости наноразмерных проводников. В последнее деся- тилетие ситуация изменилась. Íакоплены обширные эксперимен- тальные данные и для больших и для предельно малых проводни- ков. Íачалась разработка концепции проводимости «снизу–вверх» [10–13], которая не только оказалась комплементарной концепции ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 523 «сверху–вниз», но и привела к переосмысливанию принципов ра- боты обычных электронных устройств. Вспомним, что в квантовой механике с самого начала доминировала концепция «снизу– вверх»: от атома водорода в направлении твёрдого тела. Есть ещё один круг задач в наноэлектронике, для решения кото- рых концепция «снизу–вверх» особенно привлекательна. Это — транспортные задачи. В обычной электронике транспорт частиц описывается законами механики — классической или квантовой. Транспорт по массивному проводнику сопровождается выделением тепла, что описывается законами термодинамики — обычной или статистической. Процессы в механике обратимы, а в термодинами- ке необратимы. Разделить эти два процесса — движения и выделе- ния тепла — строго говоря, невозможно. Совсем иная ситуация в наноэлектронике. Здесь процессы движения электронов и выделе- ния тепла пространственно разделены: электроны движутся упру- го, баллистически («упругий резистор»), а выделение тепла проис- ходит лишь на границах контакта проводника с электродами. Кон- цепция «упругого резистора» была предложена Ландауэром в 1957 г. [14–16] задолго до её экспериментального подтверждения в нано- транзисторах. Концепция «упругого резистора», строго говоря, яв- ляется идеализацией, но она надёжно подтверждена многочислен- ными экспериментальными данными для ультрамалых нанотран- зисторов. Развитие концепции «снизу–вверх» Рольфом Ландауэ- ром, Суприе Даттой и Марком Лундстромом (ЛДЛ) привело к со- зданию единой модели транспортных явлений в электронных устройствах как наноразмерных, так и макроскопических. Изло- жению её и посвящено настоящее сообщение. В своём изложении мы будем ближе всего следовать лекциям Марка Лундстрома ‘Near- Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications’ [11], прочи- танных им в 2011 г., и лекциям Суприе Датты ‘Fundamentals of Nanoelectronics, Part I: Basic Concepts’, прочитанных им в 2012 г. в рамках инициативы Purdue University/nanoHUB-U [www.nanohub.org/u] и изданных позже в виде книг [12, 13], Одна- ко, сначала вернёмся к вопросу о причинах возникновения элек- трического тока. 2. ПРИЧИНЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ТОКА Íа вопрос о причине возникновения тока при приложении разности потенциалов к концам проводника обычно ссылаются на связь плотности тока J с внешним приложенным электрическим полем Е:  J Е , (12) что следует из (7); другими словами, причиной возникновения тока 524 Ю. А. КРÓÃЛЯК обычно считают электрическое поле. Ответ, в лучшем случае, не полный. Ещё до подключения проводника к клеммам источника напряжения на электроны проводника действуют сильные элек- трические поля, создаваемые ядрами атомов, а ток, тем не менее, не возникает. Почему сильные внутренние электрические поля не вы- зывают движение электронов, а намного более слабое внешнее электрическое поле батареи вызывает движение электронов? Обычно говорят, что внутренние микроскопические поля не могут вызвать движение электронов, необходимо приложить внешнее макроскопическое поле. Трудно признать такое объяснение удовле- творительным. В современных экспериментах по измерению про- водимости отдельных молекул невозможно с определённостью вы- членить отдельно внутренние и внешние электрические поля. При- ходится считаться с этим уроком, преподнесённым нам современ- ной экспериментальной наноэлектроникой, и заново задаться во- просом, почему же движутся электроны при подключении батареи к концам проводника. Для ответа на вопрос о причине возникновения тока нам с самого начала потребуются два понятия — плотности состояний провод- ника на единицу энергии D(E), занятых электронами и свободных и электрохимического потенциала EF0 (рис. 2). Для простоты, что никак не скажется на окончательных выво- дах, будем пользоваться точечной моделью проводника, которая предполагает неизменность плотности состояний D(E) при движе- нии вдоль проводника. Если система, включающая истоковый электрод (S/Source), проводник M и стоковый электрод (D/Drain), находится в равновесии (закорочена), то электрохимический по- Рис. 2. Первым шагом в объяснении работы любого электронного устрой- ства должно быть задание плотности состояний D(E) как функции энергии E внутри проводника M и определение равновесного значения электрохи- мического потенциала EF0, отделяющего заполненные электронами состо- яния от пустых состояний. ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 525 тенциал EF0 везде одинаков и все состояния с EEF0 заполнены электронами, а состояния с EEF0 пустые (рис. 2). При включении в цепь источника напряжения (рис. 3) разность потенциалов V понижает все энергии на положительном электроде D на величину qV, где q — заряд электрона, в результате чего на электродах создаётся разность электрохимических потенциалов EF1EF2qV. (13) Точно так же как разность температур приводит к потоку тепла, а различие в уровнях жидкости ведёт к её перетеканию, так и раз- ность электрохимических потенциалов является причиной возник- новения тока. Только состояния проводника в окне EF1 — EF2 и находящиеся достаточно близко к значениям EF1 и EF2 дают вклад в поток электронов, тогда как все состояния, лежащие значительно выше EF1 и ниже EF2, не играют никакой роли. Причина этого кро- ется в следующем. Каждый контакт стремится привести токовый канал в равнове- сие с собой путём заполнения электронами всех состояний канала с энергией, меньшей электрохимического потенциала EF1, и опорож- нения состояний канала с энергией, большей потенциала EF2. Рас- смотрим токовый канал с состояниями, энергия которых меньше EF1, но больше EF2. Контакт 1 стремится заполнить эти состояния, поскольку их энергия меньше EF1, а контакт 2 стремится опорож- нить эти состояния, поскольку их энергия больше EF2, что и приво- дит к непрерывному движению электронов от контакта 1 к контак- ту 2. Рассмотрим теперь состояния канала с энергией, большей EF1 и Рис. 3. При подаче напряжения V на клеммы проводника потенциал анода D понижается на величину qV, создавая разность электрохимических по- тенциалов на концах проводника. 526 Ю. А. КРÓÃЛЯК EF2. Оба контакта стремятся опорожнить эти состояния, но они и так пустые и не дают вклада в электрический ток. Аналогична си- туация с состояниями, энергия которых одновременно меньше обо- их потенциалов EF1 и EF2. Каждый из контактов стремится запол- нить их электронами, но они уже заполнены, и вклада в ток дать не могут, а точнее не могут в пределах нескольких kT от ширины окна, в чем мы убедимся позже. Подобная картина выглядит почти очевидной, если бы не при- вычное утверждение о том, что электроны движутся под действием электрического поля внутри проводника. Если бы это было так, то вклад в ток должны были бы дать все электроны, а не только те, энергия состояний которых лежит в пределах разности потенциа- лов на концах проводника. 2.1. Роль фермиевских функций Итак, утверждалось, что в равновесии все состояния с энергией EEF0 заполнены электронами, а состояния с энергией EEF0 — пустые (рис. 2). Это справедливо только в пределе абсолютного нуля температуры. Более точно, переход от полностью заполненных со- стояний к пустым совершается в зазоре 2kT, охватывающем зна- чение EEF0, где k — постоянная Больцмана, Т — абсолютная тем- пература. Математически этот переход описывается функцией Ферми   1 exp 1F f E E E kT       . (14) Ãрафик функции Ферми показан на рис. 4 слева, возможно, в не- сколько непривычном виде с энергией в безразмерных единицах по вертикальной оси, что позволит нам позже при объяснении причи- Рис. 4. Ãрафики функции Ферми и нормированной функции теплового уширения. ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 527 ны токообразования совместить функцию Ферми с графиком плот- ности состояний D(E). Функция Ферми играет ключевую роль в статистической меха- нике, однако же, для наших целей достаточно понимать, что состо- яния с низкой энергией всегда заняты (f1), тогда как состояния с высокой энергией всегда пустые (f0), а переход от f1 к f0 про- исходит в узком интервале энергии 2kT, охватывающем значе- ние EEF0. Действительно, на рис. 4 показана производная от функции Ферми, помноженная на kT с тем, чтобы сделать её безразмерной:  , T F f F E E kT E      . (15) Подставляя выражение для фермиевской функции (14), видим, что    2, 1 x T F x e F E E e   , (16) где x(EEF)/kT. Из (16) видно, что      , T F T F T F F E E F E E F E E    , (17) а из уравнений (16) и (14) следует, что  1 T F f f  . (18) Интегрирование функции (18) во всем интервале изменения энергии даёт площадь, равную kT      , 1 0 T F f dEF E E kT dE kT f kT kT E                 . (19) Так что функцию FT можно приблизительно представить себе в виде прямоугольного «импульса», центрированного относительно зна- чения EEF с высотой, равной 1/4 и шириной 4kT. Функция  f E   получила название фермиевского окна проводимости. 2.2. Выход из равновесия Когда рассматриваемая система находится в равновесии (рис. 2), электроны распределяются по имеющимся состояниям в соответ- 528 Ю. А. КРÓÃЛЯК ствии с функцией Ферми. При выходе из равновесия нет простых правил для вычисления функции распределения электронов. Все зависит от конкретной задачи, решать которую нужно методами неравновесной статистической механики. В нашем специальном случае выхода из равновесия (рис. 3) мож- но надёжно утверждать, что оба контакта S и D настолько велики по сравнению с каналом переноса электронов, что они не могут выйти из равновесия. Каждый из контактов локально находится в равновесии со своим собственным электрохимическим потенциа- лом, порождая две фермиевские функции (рис. 5)  1 1 1 exp 1F f E E E kT       (20) и  2 2 1 exp 1F f E E E kT       . (21) Подводя итоги, утверждается, что причиной появления тока яв- ляется различие в подготовке равновесных состояний контактов, отображаемое их соответствующими фермиевскими функциями f1(E) и f2(E). Качественно это справедливо для любых проводников – и наноразмерных и макроскопических. Однако, для наноразмер- ных проводников ток при любых значениях энергии электронных состояний в проводнике, как будет показано позже, пропорциона- лен разности фермиевских распределений в обоих контактах: I(E)f1(E)f2(E). Эта разность зануляется, если энергия E больше Рис. 5. При выходе из равновесия электроны в контактах занимают до- ступные им состояния в соответствии с фермиевскими распределениями и значениями электрохимических потенциалов. ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 529 EF1 и EF2, поскольку в этом случае обе функции Ферми равны нулю. Эта разность также зануляется, если энергия E меньше и EF1 и EF2, поскольку в этом случае обе фермиевские функции равны единице. Ток возникает лишь в окне EF1EF2, если в этом окне есть хотя бы одно электронное состояние проводника. 2.3. Линейный отклик Вольт-амперная характеристика обычно нелинейная, но из неё можно вычленить участок «линейного отклика», под которым под- разумевается проводимость dI/dV при V0. Построим функцию разности двух фермиевских функций, нор- мированную к приложенному напряжению, 1 2( ) ( ) ( ) / f E f E F E qV kT  , (22) где    1 0 2 0/ 2 , / 2 . F F F F E E qV E E qV    (23) Функция разности F(E) сужается по мере того, как напряжение V, помноженное на заряд электрона, становится все меньше вели- чины kT (рис. 6). Отметим также, что по мере того, как kT начинает превосходить энергию qV, функция F(E) все больше приближается к функции теплового уширения (15) F(E)FT(E) при qV/(kT)0, так что из уравнения (22) следует, что Рис. 6. Ãрафик функции разности F(E) в зависимости от значения (E EF0)/(kT) для различных значений qV/(kT)y. 530 Ю. А. КРÓÃЛЯК       0 1 2 0, T fqV f E f E F E qV kT E         , (24) если приложенное напряжение, помноженное на заряд электрона, qVEF1EF2 становится намного меньшим kT. Íам потребуется также следующее выражение      0 0 0F F f f E f E E E E     , (25) которое, как и уравнение (24), получается следующим образом. Для функции Ферми   1 , 1 F x E E f x x kTe   (26) имеем: 2 1 1 , , , F F F f df x df f df x df E dx E dx kT E dx E dx kT E Ef df x df T dx T dx kT                 (27) откуда , .F F E Ef f f f E E T T E           (28) Выражение (25) получается из разложения функции Ферми вблизи точки равновесия в ряд Тейлора       0 0 0, , F F F F F F F E E f f E E f E E E E E        . (29) Из уравнения (28) следует 00 F FF F E EF E E f f E E             . (30) Пусть f(E) соответствует f(E, EF), а f0(E) соответствует f(E, EF0); то- гда      0 0 , F F f f E f E E E E        (31) что после перегруппировки даёт искомое уравнение (25), которое ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 531 справедливо при EFEF0kT. Подведём итоги. Проводимость веществ может меняться более чем в 1020 раз, переходя, например, от серебра до стекла — веществ, весьма удалённых друг от друга в шкале проводимости. Стандарт- ное объяснение различия в их проводимости якобы состоит в том, что плотность «свободных электронов» в этих веществах суще- ственно отличается. Подобное объяснение немедленно требует по- яснения, какие электроны свободные, а какие нет. Это различие становится все более абсурдным по мере перехода к наноразмерным проводникам. Концепция «снизу–вверх» предлагает следующий простой ответ. Проводимость зависит от плотности состояний в окне шириной в несколько kT, охватывающих равновесный электрохимический по- тенциал EF0, определяемый функцией FT (формула (15), рис. 4), ко- торая отлична от нуля в небольшом промежутке шириной в не- сколько kT около равновесного значения электрохимического по- тенциала. Дело не в суммарном числе электронов, которое одного порядка, как в серебре, так и в стекле. Ключевым моментом является нали- чие электронных состояний в области значений электрохимическо- го потенциала EF0 (фермиевское окно проводимости), что в корне отличает одно вещество от другого. Íастоящий ответ нельзя назвать новым, и он хорошо известен специалистам в области микро- и наноэлектроники. Тем не менее, обсуждение проводимости и поныне обычно начинается с теории Друде [7], которая сыграла важнейшую историческую роль в пони- мании природы электрического тока. К сожалению, подход Друде породил два недоразумения, которые следовало бы преодолеть, а именно: — ток порождается электрическим полем и — ток зависит от числа электронов. Оба недоразумения связаны друг с другом, поскольку, если бы ток действительно порождался бы электрическим полем, то все элек- троны были бы подвержены влиянию поля. Óроки, преподнесённые нам экспериментальной наноэлектрони- кой, показывают, что ток порождается «подготовкой» двух контак- тов f1(E)f2(E), и эта разница — ненулевая только в фермиевском окне проводимости вокруг равновесного электрохимического по- тенциала EF0. Проводимость канала высокая или низкая зависит только от наличия электронных состояний в этом окне. К этому вы- воду обычно приходят на основе транспортного уравнения Больц- мана [22] или формализма Кубо [23], тогда как предлагаемая кон- цепция «снизу–вверх» сразу даёт корректную картину возникно- вения тока. 532 Ю. А. КРÓÃЛЯК 3. ЭЛЕКТРОННЫЙ ТРАНСПОРТ В МОДЕЛИ ЛАНДАУЭРА–ДАТТЫ–ЛУНДСТРОМА Мы рассмотрим модель электронного транспорта довольно простую и вместе с тем удивительно полезную в прикладном отношении и нашедшую широкое применение при анализе как электронного, так и фононного транспорта не только в режиме линейного откли- ка, но и в высоковольтном режиме горячих электронов, нелокаль- ного и квантового транспорта, транспорта в неупорядоченных и наноструктурированных материалах как наноразмерных, так и протяжённых, в которых проводимость определяется только свой- ствами проводника. Своё начало она берет в работах Ландауэра [14– 16], переосмысленных Даттой [12, 17, 18] и далее развитых Лунд- стромом применительно к самым различным материалам [13, 19]. Центральное место в любом электронном устройстве играет ка- нал проводимости, характеризуемый плотностью состояний D(E U), где E — энергия состояний проводника, а U — самосогла- сованный электростатический потенциал затвора, позволяющий смещать состояния вверх или вниз по шкале энергии (рис. 7). Далее будем рассматривать двухтерминальное устройство (U0). Канал проводимости связан с двумя «идеальными» контактами, способными к быстрому восстановлению равновесия в процессе электронного транспорта и характеризуемыми фермиевскими функциями (20) и (21) с соответствующими электрохимическими потенциалами EF1 и EF2. При подаче напряжения V электрохимиче- ский потенциал EF2 понижается относительно потенциала EF1 на величину qV. Связь контактов с каналом проводимости характеризуется вре- менами пролёта , дающими представление о том, как быстро элек- троны могут покинуть контакт или проводник. Для наноразмерных резисторов, например, молекул, времена  контролируются контак- тами. Для протяжённых резисторов с хорошими контактами, как мы убедимся позже, времена  становятся сопоставимыми со време- Рис. 7. Типичное наноразмерное электронное устройство с контактами, характеризуемыми временами пролёта . ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 533 нами пролёта всей протяжённости проводника. В общем случае ка- чество обоих контактов может быть различным, что ведёт к различ- ным значениям 1 и 2. Иногда времена  удобнее выражать в едини- цах энергии ћ/. Если в роли канала проводимости выступает одиночная молекула, величина y приобретает простой физический смысл уширения энергетических уровней молекулы за счёт конеч- ности времени жизни электронов на молекулярных уровнях. Предполагается, что канал имеет зонную структуру E(k). Это требование, однако, не является обязательным [17]. Обсуждение ограничений и применимости модели ЛДЛ можно найти в [12, 13, 17, 18]. Перейдём к построению математической модели транспорта ЛДЛ в концепции «снизу–вверх». Íачать надо с нахождения зависимо- сти плотности электронов и тока в проводнике в зависимости от фермиевских распределений и соответствующих электрохимиче- ских потенциалов, плотности состояний проводника и характери- стических времён  пролёта. 3.1. Число электронов и ток в проводнике Пусть пока только левый контакт 1 связан с каналом проводимо- сти. Он стремится пополнить проводник электронами в соответ- ствии со своим электрохимическим потенциалом EF1. В конце кон- цов, равновесие между контактом и каналом проводимости насту- пит тогда, когда число электронов с энергиями между Е и EdE станет равным 01 1( ) ( ) ( )N E dE D E dEf E  , (32) где D(E) — плотность состояний с энергией E (пусть каждое состоя- ние заполнено двумя электронами с противоположными спинами), а f1(E) есть равновесная функция Ферми контакта 1. Процесс установления равновесия между контактом 1 и каналом описывается простым кинетическим уравнением 01 1 1 1 ( ) ( )( ) ( ) N E N EdN E F dt E      , (33) где скорость подачи электронов в канал /dN dt положительна, ес- ли число электронов в канале Nменьше его равновесного значения 01N , и отрицательна в противном случае. Если канал первоначаль- но пустой, то он заполняется электронами до их равновесного чис- ла; если же канал переполнен электронами, то он опустошается до тех пор, пока в канале не будет достигнуто равновесное число элек- тронов. 534 Ю. А. КРÓÃЛЯК Если канал проводимости связан только с контактом 2, анало- гичные рассуждения приводят к следующей паре уравнений: 02 2( ) ( ) ( )N E dE D E dEf E  , (34) 02 2 2 2 ( ) ( )( ) ( ) N E N EdN E F dt E      . (35) Когда канал проводимости связан одновременно с двумя контак- тами и оба контакта одновременно пополняют электронами канал и опорожняют его, имеем 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( )dN E dN E dN E F F dt dt dt       . (36) В состоянии динамического равновесия левые части кинетиче- ского уравнения (36) равны нулю. Приравнивая нулю правую часть равенства (36) и подставляя выражения для скоростей на обоих контактах 1 и 2 по уравнениям (33) и (35), для числа электронов в канале проводимости получим:          1 2 01 02 1 2 1 2 1/ 1/ ( ) ( ) ( ) 1/ 1/ 1/ 1/ N E N E N E           . (37) Для простоты положим 12 и подставим равновесные значения числа электронов 01N и 02N по уравнениям (32) и (34). Тогда для числа электронов в канале в состоянии динамического равновесия в дифференциальной форме получим: 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 D E dE D E dE N E dE f E f E   . (38) Остаётся проинтегрировать по всему спектру энергий, и получим число электронов в канале проводимости в состоянии динамическо- го равновесия двух контактов с электрохимическими потенциала- ми EF1 и EF2, разница между которыми пропорциональна напряже- нию, поданному на концы проводника, а именно: 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 D E D E N N E dE f E f E dE        . (39) Получен ответ на первый из поставленных нами двух вопросов: найдено число электронов или, иначе, плотности электронов, если известны геометрические параметры проводника, в зависимости от плотности состояний проводника и фермиевских распределений на контактах. Когда электронное устройство (рис. 7) находится в рав- новесии (f1f2f0), получаем стандартное выражение для равно- ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 535 весного числа электронов в проводнике [20] 0 0( ) ( )N D E f E dE  , (40) в отличие, от которого уравнение (39) пригодно как для равновесно- го состояния устройства (рис. 7), так и для случая, когда электрон- ное устройство выведено далеко за пределы равновесия. Íапомним, что для 1D-, 2D- и 3D-проводников плотность состоя- ния пропорциональна, соответственно, длине L проводника, пло- щади его поперечного сечения A и объёму проводника : D(E){L, A, }, (41) а плотность электронов определяется, соответственно, как nLN/L, nSN/A, nN/. (42) Перейдём к вычислению тока в состоянии динамического равно- весия. В этом состоянии один из контактов пополняет канал прово- димости электронами, а другой контакт опустошает его. Если EF1EF2, контакт 1 инжектирует электроны, а контакт 2 поглощает их, и наоборот, если EF1EF2. Скорости, с которыми электроны покидают или поглощаются контактами 1 и 2, даются уравнениями (33) и (35). В состоянии ди- намического равновесия 1 2 0F F  . (43) По договорённости ток считается положительным, если он вхо- дит в контакт 2 (рис. 7), так что 1 2I qF qF    . (44) Выразив ток один раз через F1, а второй раз через F2 согласно (44), и сложив эти одинаковые токи, сразу получим, что  1 22 q I F F   . (45) Остаётся подставить значения для скоростей (33) и (35) в предпо- ложении одинаковости контактов (12), затем воспользовать- ся (32) и (34), и мы имеем:  01 02 1 2 2 ( ) ( ) ( )( ) 2 ( ) 2 q q E I E N N D E f f E h        , (46) 536 Ю. А. КРÓÃЛЯК где характеристическое время пролёта  выражено в единицах энергии, а именно: ( )E    . (47) Интегрируя (46) по всему спектру энергий, окончательно для то- ка в состоянии динамического равновесия получаем:  1 2 2 ( ) ( ) ( ) 2 q D E I I E dE E f f dE h       . (48) Согласно (48), ток возникает лишь тогда, когда фермиевские рас- пределения на контактах различны, то ли по причине различия электрохимических потенциалов, то ли по причине различия в температуре контактов, то ли сразу по этим обеим причинам. При различии в электрохимических потенциалах контактов один из контактов стремится передать электроны проводнику, а другой стремится принять их на себя. Рассмотрение тока при различии в температуре контактов потребует отдельной публикации. Подведём итоги. Получены два основных уравнения транспорт- ной модели ЛДЛ:  1 2 ( ) 2 D E N f f dE  , (49)  1 2 2 ( ) ( ) 2 q D E I E f f dE h     . (50) Первое из них выражает число электронов в проводнике в состоя- нии динамического равновесия через плотность состояний провод- ника и фермиевские функции контактов, а второе уравнение даёт ток через эти же характеристики электронного устройства и через характеристическое время пролёта. Дальнейшее построение моде- ли ЛДЛ фактически сводится к использованию и развитию этих двух основных уравнений. 3.2. Моды проводимости Как и ожидалось, ток пропорционален разности фермиевских функций контактов. Позже мы убедимся, что комбинация фунда- ментальных констант 2q/h играет важную роль в выражении для тока (50). А каков смысл произведения D/2? Параметр γ (47) имеет размерность энергии, а размерность плот- ности состояний D есть [энергия]1, так что интересующее нас про- изведение D/2 не имеет размерности. В отношении размерности плотности состояний обратим внимание на то, что мы оперируем с ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 537 числом электронов, а не с плотностями электронов (42), как это обычно принято в физике полупроводников, где плотность состоя- ний для 3D-образца имеет размерность [энергияобъем]−1. Мы сей- час увидим, что произведение D/2M(E) имеет физический смысл числа мод (иначе, каналов) проводимости резистора. Рассмотрим баллистический 2D-резистор длины L, меньшей средней длины свободного пробега , вытянутый вдоль оси х и ши- риной W вдоль оси y. Полная плотность состояний D(E)D2D(E)LW, (51) * 2 2 ( ) D v m D E g  , (52) где D2D есть плотность состояний на единицу площади, выписанная для параболической зонной структуры с эффективной массой m * и долинным вырождением gv [20]. Определим характеристическое время . Из (38) и (46) имеем:   1 2 1 2 ( ) ( ) f fqN E dE I E dE f f     . (53) Приложим к концам проводника достаточно большое напряже- ние, такое, чтобы имело место EF2EF1, так что f2f1. Тогда из (53) имеем ( ) Íакопленный заряд ( ) ( ) Ток qN E dE E I E dE       . (54) Число электронов в канале ( ) ( ) S N E n E LW  , (55) где S n — электронная плотность на единицу площади, а ток ( ) ( ) ( ) S x I E qWn E v E  , (56) так что из (54) имеем: ( ) ( ) x L E v E  , (57) что есть просто среднее время пролёта электрона через всю длину упругого резистора. Для оценки  нужно вычислить среднюю скорость пролёта от контакта 1 до контакта 2 в направлении х (рис. 1). Эта скорость в 538 Ю. А. КРÓÃЛЯК случае баллистического транспорта, т.е. без изменения направле- ния движения ( ) ( ) cos x v E v E   , (58) где угол  отсчитывается от положительного направления оси х. Поскольку в нашем случае /2 /2 cos 2 cos d          , (59) для средней скорости в случае параболического дисперсионного со- отношения и изотропии скорости имеем:   * 22 2 ( ) C x E E v E v m     . (60) Определяя число мод проводимости как ( ) ( ) ( ) 2 D E M E E   (61) и используя определение  по (47) и плотности состояний для 2D- проводника по (51), для числа мод 2D-проводника окончательно получаем: 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 4 D x D h M E WM E W v E D E  . (62) Аналогичные соображения для 1D- и 3D-проводников дают: 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 4 D x D h M E M E v E D E  , 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 4 D x D h M E WM E W v E D E  , (63) 3 3( ) ( ) ( ) ( ) 4 D x D h M E AM E A v E D E  . Обратим внимание, что в случае 2D-проводников число мод про- водимости пропорционально ширине проводника W, а для 3D- проводников — площади их поперечного сечения A. Заслуживает внимания физический смысл полученных резуль- татов (63). Так, для 2D-проводника с учётом (60) и (52) число мод проводимости ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 539  * 2 2 ( ) C D v m E E WM E g W   . (64) Для частного случая параболической дисперсии 2 2 * ( ) 2 C k E k E m   , (65) и выражая волновой вектор через дебройлевскую длину волны B2/k, (66) вместо общего выражения (64) для числа мод проводимости 2D- проводника имеем: 2 ( ) ( ) / 2 D v v B Wk W WM E g g E    , (67) что открывает возможность их физической интерпретации, а имен- но: число мод проводимости 2D-проводника (с учётом долинного вырождения) показывает, сколько дебройлевских полуволн энер- гии E укладывается по ширине 2D-проводника. Целочисленность мод обеспечивается граничными условиями, согласно которым волновые функции электронов на обеих сторонах 2D-проводника должны обращаться в нуль. Сам термин «моды» заимствован из теории волноводов. Теперь мы можем базовые уравнения модели ЛДЛ (49) и (50) пе- реписать в виде  1 2 ( ) 2 D E N f f dE  ,  1 2 2 ( ) ( ) 2 q D E I E f f dE h     . (68) Таким образом, для вычисления числа электронов и тока в про- воднике кроме фермиевских функций контактов нужно знать плотность состояний D(E) и число мод M(E) проводника. Для параболической дисперсии (65) плотности состояний хорошо известны [20]:    * 1 2 ( ) D C C L m D E L H E E E E    , (69)  * 2 2 ( ) D C m D E A A H E E  , (70) 540 Ю. А. КРÓÃЛЯК  * * 3 2 3 2 ( ) ( ) C D C m m E E D E H E E     , (71) где H(EEc) — ступенчатая функция Хевисайда, а соответствую- щие моды проводимости таковы:  1 ( ) D C M E H E E  , (72)    * 2 2 ( ) C D v C m E E M E g H E E   , (73)    * 3 2 ( ) 2 C D v C m E E M E g H E E   . (74) Поведение плотности состояний D(Е) и числа мод M(Е) для 1D-, 2D- и 3D-проводников с параболической дисперсией качественно показано на рис. 8. Плотность состояний для 1D-проводника обратно пропорцио- нальна √Е, для 2D-проводника постоянна, для 3D — прямо пропор- циональна √Е. Что касается мод проводимости, то 1D-проводник характеризуется единственной модой проводимости, равной функ- ции Хевисайда, что позволяет определить её калибровку для ис- пользования её в формулах (69)–(74). Число же мод 2D-проводника прямо пропорциональна √Е, а 3D-проводника расчёт с энергией ли- нейно. Заключая этот раздел, подведём итоги. 1. Плотность состояний D(Е) нужна для вычисления плотности носителей тока. 2. Число мод M(Е) используется для вычисления тока. Рис. 8. Сравнительное поведение плотности состояний D(Е) и числа мод M(Е) для 1D-, 2D- и 3D-проводников с параболической дисперсией (65). ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 541 3. Число мод M(Е) пропорционально средней скорости носителей тока в направлении их движения, помноженной на плотность со- стояний D(Е). 4. Число мод M(Е) зависит от зонной структуры и размерности проводника. Хотя выше в качестве примера и рассмотрены проводники с па- раболической дисперсией, формулы (63) носят общий характер. Мы воспользуемся ими в другом обзоре, посвящённом графену, диспер- сия у которого линейная [21]. Для произвольной дисперсионной за- висимости E(k) разработаны численные методы вычисления числа мод проводимости [22]. 3.3. Коэффициент прохождения До сих пор мы рассматривали баллистический транспорт. Перейдём к рассмотрению диффузионного транспорта, когда L. Электро- ны, инжектируемые контактами 1 и 2, подвержены случайным блужданиям. Íекоторые из них заканчиваются на инжектирую- щем контакте, а иные — на другом контакте. Если на контакт 2 по- дан положительный потенциал, то большая часть блужданий за- кончится на этом контакте. Ключевым параметром в модели ЛДЛ есть величина D(Е)/2, которая в случае баллистического транспорта оказывается равной числу мод проводимости M(E). Óширение  и время пролёта  свя- заны между собой: ћ/. В режиме диффузионного транспорта следует ожидать увеличения времени , что влечёт за собой умень- шения величины D(Е)/2. Сейчас покажем, что в случае диффузи- онного транспорта D(Е)/2M(E)Т(Е), где Т(Е)1 получил название коэффициента прохождения (transmission coefficient). В режиме баллистического транспорта электроны инжектируют- ся в проводник под разными углами, в результате чего время пролё- та описывается некой функцией распределения. Величину  мы оценивали через среднее время пролёта ( ) ( ) E E    , (75) где  ( ) ( ) cos ( ) 2 /( ) x L L L E v E v Ev E     . (76) Íаша задача сейчас оценить ( )E  в режиме диффузионного транс- порта. Воспользуемся первым законом диффузии Фика применительно 542 Ю. А. КРÓÃЛЯК к потоку электронов в 2D-проводнике: ,S dn J qD dx  (77) где плотность тока J пропорциональна градиенту плотности элек- тронов с коэффициентом диффузии D в роли коэффициента про- порциональности. Пусть электроны в проводник с подавляющим преимуществом поставляет только контакт 1, т.е. f11, а f20. Íа левом конце проводника (х0) имеется конечная плотность электронов (0) S n (рис. 9). Поскольку процессы рекомбинации/рождения носителей тока не учитываются, то профиль плотности электронов на всем протяже- нии проводника будет линейным с практически нулевым значени- ем плотности на правом конце проводника: ( ) 0 S L  за счёт f20. Время пролёта, согласно (54), есть отношение накопленного в про- воднике заряда к току 2(0) / 2 (0) / 2 S D S Wq n LqN L I WqD n L D     , (78) где накопленный в проводнике заряд qN есть половина площади прямоугольника (рис. 9), построенного для 2D-проводника на его длине L и ширине W, а ток IJW и, согласно (77), dnS/dxnS(0)/L. Таким образом, время пролёта в диффузионном режиме 2 2 D L D   , (79) тогда как в баллистическом режиме B x L v  . (80) Рис. 9. К выводу времени пролёта D в диффузионном режиме. ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 543 Собирая все вместе, имеем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B D B D D E D E D E E M E T E          , (81) где коэффициент прохождения есть отношение двух времён пролё- та — в баллистическом режиме и в диффузионном: ( ) B D T E   . (82) Другими словами, при наличии рассеяния число мод M(E) нужно заменить на M(E)Т(Е). Для оценки Т(Е) воспользуемся определением коэффициента прохождения (82) и выражениями (79) и (80). Тогда 2 ( ) x D T E L v . (83) Опираясь на теорию случайных блужданий [23], можно показать [24], что коэффициент диффузии 2 x v D   , (84) что вместе с (83) даёт простое выражение для коэффициента про- хождения ( ) 1T E L  . (85) Как и ожидалось, число мод проводимости в диффузионном ре- жиме M(E)Т(Е) резко уменьшается. Выражение для коэффициента прохождения (85) верно для диф- фузионного режима. Можно показать [24], что в общем случае ко- эффициент прохождения ( ) ( ) ( ) E T E E L    . (86) Это выражение справедливо как для диффузионного режима (L), так и для баллистического (L), приближаясь к едини- це, так и для промежуточных случаев. Подводя итоги, в общем случае имеет место соотношение ( ) ( ) ( ) ( ) 2 D E E M E T E   , (87) 544 Ю. А. КРÓÃЛЯК в котором число мод определяется общими выражениями (63), а в отношении коэффициента прохождения в реальных экспериментах рассматривают три режима: диффузионный: L, T/L1; баллистический: L, T1; (88) квазибаллистический: L, T1. Примечательно, что сравнительно простая транспортная модель ЛДЛ применима ко всем трём режимам. 3.4. Режим линейного отклика Для тока в модели ЛДЛ получены два выражения:  1 2 2 ( ) ( ) 2 q D E I E f f dE h     ,  1 2 2 ( ) ( ) q I T E M E f f dE h   . (89) В них не учитывается важный в прикладном отношении низко- вольтный режим. Если подать на проводник большое напряжение, то вследствие появления множества неупругих столкновений в ре- жиме горячих электронов нарушатся принятые нами допущения, которые привели нас к модели независимых мод проводимости. Мы далее продолжим строить модель ЛДЛ для режима линейного от- клика, что позволит упростить уравнения (89). В режиме линейного отклика (п. 2.3), иначе линейного транспор- та или почти равновесного транспорта (near-equilibrium transport), фермиевские функции контактов (20) и (21) и равновесная функция Ферми  0 0 1 exp 1F f E E E kT       (90) находятся в соотношении 0 1 2 0( ) ( ) ( ) ( )f E f E f E f E   ; (91) при этом подаваемое на концы проводника напряжение  1 2/ / F F F V E q E E q    (92) ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 545 незначительно. Пользуясь малостью EF, фермиевскую функцию контакта 2 можно разложить в ряд Тейлора и ограничиться первой степенью, а именно: 1 1 2 1 1F F F f f f f DE qV E E f   , (93) а учитывая (30) и (91), окончательно для разности фермиевских функций контактов в режиме линейного отклика имеем: 0 1 2 f f f qV E       . (94) Окончательно для тока (89) и проводимости в режиме линейного отклика модели ЛДЛ имеем: 2 02 ( ) ( ) fq I T E M E dE V GV h E          , (95) 2 02 ( ) ( ) fq G T E M E dE h E      , (96) где последнее уравнение известно как уравнение Ландауэра для проводимости. Теперь мы имеем выражение для проводимости, в котором про- водимость связана со свойствами материала проводника. Эти вы- ражения справедливы для 1D-, 2D- и 3D-проводников как в балли- стическом режиме, так и в диффузионном, если пользоваться соот- ветствующими выражениями для числа мод (63). 3.5. Транспорт в массивных проводниках Модель ЛДЛ пригодна как для коротких, наноразмерных, так и длинных, массивных проводников. Когда канал проводимости до- статочно длинный, роль контактов пренебрежимо мала и проводи- мость определяется свойствами материала проводника. Выражения для тока в массивных проводниках в режиме линейного отклика можно получить из любого из общих уравнений (89). Воспользуем- ся первым их них. Перепишем разность фермиевских функций (94) в виде 0 1 2 0 F F f f f E E     . (97) Тогда для тока имеем: 546 Ю. А. КРÓÃЛЯК 0 0 2 ( ) ( ) 2 F F fq D E I E E dE h E             . (98) В массивных проводниках всегда реализуется диффузионный режим, так что 2 ( ) ( ) / 2 ( ) E E L D E    . (99) Пусть мы рассматриваем 2D-проводник. Для него, согласно (70), 2( ) ( ) D D E WLD E . (100) Подставляя (99) и (100) в (98), для плотности тока получаем: 0 2 0 / ( ) ( ) F x D F f E J I W qD E D E dE E L            . (101) Поскольку массивный проводник находится в режиме линейного отклика и почти равновесного транспорта по всей длине проводни- ка, мы вправе предположить линейное падение электрохимическо- го потенциала от контакта 1 до контакта 2 так, что EF/L есть гра- диент фермиевской функции dEF/dx, и (101) можно переписать в виде  F x d E J q dx  , (102) где удельная проводимость 2 0 2( ) ( ) D f q D E D E dE E       . (103) Оба уравнения (102) и (103) представляют собой стандартный ре- зультат, получаемый обычно в термодинамике необратимых про- цессов или же путём решения транспортного уравнения Больцмана [7]. Мы же получили эти стандартные результаты для массивных проводников, предположив в модели ЛДЛ лишь то, что длина про- водника намного превышает длину свободного пробега. Óравнение (102) можно переписать иначе. Из теории полупро- водников для невырожденных n-проводников известно [20], что  2 exp ( ) ( ) S D F C n N E E kT  , 2 2D m kT N   , 2ln D F C S N E E kT n   , nq   . ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 547 Для этого случая уравнение для плотности тока (102) можно пере- писать в виде: S x S x dn J n q qD dx    , (104) где D kT q  (105) есть соотношение Эйнштейна между коэффициентом диффузии электронов и их мобильностью. Óравнение (104) дрейфа и диффузии хорошо известно в физике полупроводников и обычно служит начальным приближением при анализе полупроводниковых устройств [20]. Оно справедливо для невырожденных проводников в предположении постоянства тем- пературы вдоль проводника и, как мы видели, предполагает почти равновесный транспорт. До сих пор речь шла только о транспорте электронов. Если же речь зайдёт о транспорте «дырок», то в модели ЛДЛ нужно лишь помнить, что «дырки» описываются своим электрохимическим по- тенциалом  p F E , отличным от химпотенциала электронов EF, в обо- значении которого мы просто опускали верхний индекс (n) из-за очевидности его. Это связано с тем, что в валентной зоне и в зоне проводимости носители тока отделены друг от друга, и в равновесии находятся лишь носители тока в каждой из зон. Процессы реком- бинации/рождения носителей тока, которые связывают заселённо- сти в этих зонах, идут намного медленнее, чем процессы рассеяния, устанавливающие равновесие в каждой из зон. Для электронов в зоне проводимости имеем уравнения (102), (103) и (91). Óравнения (102) и (103) выводились без учёта природы носителей тока. Поэтому для «дырок» в валентной зоне эти уравне- ния нужно просто переписать с «дырочным» электрохимическим потенциалом, а именно:     p Fp x d E J q dx  , (106)   2 0 2( ) ( ) p p p D f q D E D E dE E        , (107)      0 0 1 exp 1 k p p F f E E E T        . (108) 548 Ю. А. КРÓÃЛЯК Полный ток есть сумма токов в каждой из зон. Осталось подвести итоги. Óравнение Ландауэра для проводимо- сти (96) описывает электронный транспорт в проводнике с общих позиций. Проводимость пропорциональна фундаментальным кон- стантам (G2q2/h), которые определяют квант проводимости, ас- социируемый с контактами, в чем мы убедимся в следующей части настоящего обзора. Проводимость зависит от числа мод проводимо- сти M(E) и от коэффициента прохождения T(E), представляющего собой вероятность того, что электрон с энергией E, инжектирован- ный контактом 1, достигнет контакта 2. Полную проводимость находим путём интегрирования вкладов от всех мод проводимости. Óравнение справедливо для 1D-, 2D- и 3D-проводников; нужно лишь просто корректно вычислить число мод проводимости по (63). Справедливо оно как для баллистических нанорезисторов, так и для массивных резисторов и корректно описывает промежуточные ситуации. Следующую часть обзора мы начнём с уравнения Ландауэра и по- святим её вычислению проводимости для 1D-, 2D- и 3D- проводников, работающих в режиме баллистическом или диффузи- онном, как, впрочем, и в любом промежуточном. Íужно также помнить, что электронный транспорт рассматривался нами в изо- термических условиях. Термоэлектрические явления и термоэлек- трики с позиций транспортной модели ЛДЛ будут рассмотрены от- дельно. Благодарю проф. Марка Лундстрома и проф. Суприе Датту за возможность прослушать их курсы лекций, положенных в основу при написании настоящего обзора, на темы ‘Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications’, ‘Nanoscale Transistors’ и ‘Fundamentals of Nanoelectronics, Part I: Basic Concepts’, прочитан- ных в 2011–2012 годах в рамках инициативы Purdue Universi- ty/nanoHUB-U [www.nanohub.org/u]. Я также благодарен Í. Е. Кругляк за помощь в работе и за изго- товление рисунков. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. V. V. Mitin, V. A. Kochelap, and M. A. Stroscio, Introduction to Nanoelectron- ics: Science, Nanotechnology, Engineering, and Applications (Cambridge: Cam- bridge University Press: 2012). 2. Chips 2020: A Guide to the Future of Nanoelectronics (Ed. B. Hoefflinger) (Ber- lin: Springer-Verlag: 2012). 3. Дж. М. Мартинес-Дуарт, Р. Дж. Мартин-Палма, Ф. Агулло-Руеда, Нано- технологии для микро- и оптоэлектроники (Москва: Техносфера: 2007). 4. В. П. Драгунов, И. Ã. Íеизвестный, В. А. Ãридчин, Основы наноэлектрони- ки (Москва: Логос: 2006). 5. P. Drude, Ann. Physik., 306, H. 3: 566 (1900). ОБОБЩЁÍÍАЯ МОДЕЛЬ ЭЛЕКТРОÍÍОÃО ТРАÍСПОРТА ЛДЛ 549 6. P. Drude, Ann. Physik., 308, H. 11: 369 (1900). 7. Í. Ашкрофт, Í. Мермин, Физика твёрдого тела (Москва: Мир: 1979). 8. R. H. M. Smit, Y. Noat, C. Untiedt, N. D. Lang, M. C. van Hemert, and J. M. van Ruitenbeek, Nature, 419, No. 3: 906 (2002). 9. M. Fuechsle, J. A. Miwa, S. Mahapatra, H. Ryu, S. Lee, O. Warschkow, L. C. L. Hollenberg, G. Klimeck, and M. Y. Simmons, Nature Nanotech., 7: 242 (2012). 10. M. Lundstrom and S. Datta, Electronics from the Bottom Up: A New Approach to Nanoelectronic Devices and Materials, www.nanohub.org/topics/ElectronicsFromTheBottomUp. 11. M. Lundstrom, Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications, www.nanohub.org/resources/11763. 12. S. Datta, Lessons from Nanoelectronics: A New Perspective on Transport (Hack- ensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2012); www.nanohub.org/courses/FoN1. 13. M. Lundstrom and C. Jeong, Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013). 14. R. Landauer, IBM J. Res. Dev., 1, No. 3: 223 (1957). 15. R. Landauer, Philos. Mag., 21: 863 (1970). 16. R. Landauer, J. Math. Phys., 37, No. 10: 5259 (1996). 17. S. Datta, Electronic Transport in Mesoscopic Systems (Cambridge: Cambridge University Press: 2001). 18. S. Datta, Quantum Transport: Atom to Transistor (Cambridge: Cambridge Uni- versity Press: 2005). 19. M. Lundstrom, Nanoscale Transistors, www.nanohub.org/groups/u/self_paced_nanoscale_transistors. 20. R. F. Pierret, Semiconductor Device Fundamentals (Reading, MA: Addison– Wesley: 1996). 21. Ю. А. Кругляк, Í. Е. Кругляк, Вісник Одеського державного екологічного університету, 13: 207 (2012). 22. C. Jeong, R. Kim, M. Luisier, S. Datta, and M. Lundstrom, J. Appl. Phys., 107: 023707 (2010). 23. H. C. Berg, Random Walks in Biology (Princeton: Princeton University Press: 1993). 24. Ю. А. Кругляк, Í. Е. Кругляк, Физическое образование в вузах, 19, № 2: 161 (2013). http://www.nanohub.org/topics/ElectronicsFromTheBottomUp http://www.nanohub.org/resources/11763 http://www.nanohub.org/courses/FoN1 http://www.nanohub.org/groups/u/self_paced_nanoscale_transistors.-%202012

Схожі ресурси