Миграция примесных атомов в структуре графена

Зависимость главных характеристик графена (проводимость и др.) как от общего уровня дефектности, так и от распределения примесей предопределяет необходимость анализа микрокинетики перемещений примесных атомов по поверхности графена. Рассматривается задача о переносе примесных атомов в двумерной ге...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2013
Hauptverfasser:	Долгов, А.С., Жабчик, Ю.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2013
Schriftenreihe:	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75922
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Миграция примесных атомов в структуре графена / А.С. Долгов, Ю.Л. Жабчик // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 2. — С. 281-293. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-75922
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-759222016-10-13T22:37:01Z Миграция примесных атомов в структуре графена Долгов, А.С. Жабчик, Ю.Л. Зависимость главных характеристик графена (проводимость и др.) как от общего уровня дефектности, так и от распределения примесей предопределяет необходимость анализа микрокинетики перемещений примесных атомов по поверхности графена. Рассматривается задача о переносе примесных атомов в двумерной гексагональной структуре, моделирующей одиночную углеродную плоскость — графен. Принято, что примесные атомы занимают позиции в окрестности определенного атома главной структуры. Неограниченная совокупность уравнений кинетики чисел заполнения всех узлов графена введением производящих функций соответствующего вида сводится к конечной совокупности нелинейных интегродифференциальных уравнений. Изучены общие свойства этих уравнений и частные варианты. Определяются моменты функции распределения частиц по узлам. Показывается, что в отсутствие внешнего воздействия, задающего ориентационную неоднородность вероятностей перескоков, уравнения для производящих функций линеаризуются. Последнее уподобляет общие закономерности миграции поведению невзаимодействующих частиц или одиночных вакансий. Упомянутые варианты определяют некоторый класс миграционных процессов, общим свойством которых является утрата влияния кинематического взаимодействия на закономерности миграции. Выявлено наложение диффузионной и дрейфовой составляющих движения, которое может быть ощутимым только при достаточно сильном внешнем воздействии. Картина миграции асимптотически изотропна. Рассматриваются особенности перераспределения примесных атомов между двумя сторонами графена, что моделирует углеродную структуру с присоединенными атомами водорода («графан»). В условиях пространственной однородности уравнения кинетики сводятся к соотношениям для средних вероятностей заполнения позиций с каждой из сторон графена. Устанавливается, что, независимо от характера первоначального заполнения, распределение примесных атомов релаксирует к равновесному состоянию, которое может отличаться от разделения общего числа примесных атомов пополам. Параметр релаксации зависит как от диффузионных характеристик, так и от плотности примесного компонента. Обнаруживается тенденция к замедлению релаксационных процессов при повышенных средних уровнях заполнения структуры. Оказывается также, что равновесное состояние менее чувствительно к температуре, нежели вероятности перескоков. Залежність головних графенових характеристик (провідність та ін.) як від загального рівня дефектности, так і від розподілу домішок зумовлює потребу у аналізі мікрокінетики переміщень домішкових атомів по графеновій поверхні. Розглядається задача про перенесення домішкових атомів у двовимірній гексагональній структурі, що моделює одиночну вуглецеву площину — графен. Прийнято, що домішкові атоми займають позиції в околі певного атома основної структури. Необмежена сукупність рівнянь кінетики чисел заповнення всіх графенових вузлів введенням твірних функцій відповідного виду зводиться до скінченної сукупности нелінійних інтеґро-диференційних рівнянь. Розглянуто загальні властивості цих рівнянь і окремі варіанти. Визначаються моменти функції розподілу частинок по вузлах. Показується, що за відсутности зовнішнього впливу, який задає орієнтаційну неоднорідність ймовірностей перескоків, рівняння для твірних функцій лінеаризуються. Останнє уподібнює загальні закономірності міґрації поведінці невзаємодійних частинок або окремих вакансій. Згадані варіанти визначають певний клас міґраційних процесів, загальною властивістю яких є втрата впливу кінематичної взаємодії на закономірності міґрації. Виявлено накладання дифузійної та дрейфової складових руху, яке може бути помітним лише за достатньо сильного зовнішнього впливу. Картина міґрації є асимптотично ізотропною. Розглядаються особливості перерозподілу домішкових атомів між двома графеновими сторонами, що моделює вуглецеву структуру з приєднаними атомами водню («графан»). В умовах просторової однорідности рівняння кінетики зводяться до співвідношень для середніх ймовірностей заповнення позицій з кожної графенової сторони. Встановлюється, що, незалежно від характеру початкового заповнення, розподіл домішкових атомів релаксує до рівноважного стану, який може відрізнятися від розділення загального числа домішкових атомів навпіл. Параметр релаксації залежить як від дифузійних характеристик, так і від густини домішкового компонента. Виявляється тенденція до уповільнення релаксаційних процесів при підвищених середніх рівнях заповнення структури. Також виявляється, що рівноважний стан менш чутливий до температури, аніж ймовірності перескоків. The dependence of the graphene outstanding features (conductivity, etc.) either on the total defectiveness level or on the impurity distribution predetermines the importance of an analysis of the impurity-atoms’ transfers’ microkinetics over the graphene surface. The task of impurity-atoms’ transfer in the two-dimensional hexagonal structure, which models the single-atom carbon plane, is considered. As suggested, the impurity atoms occupy the positions in the vicinity of a certain atom of the host structure. The unlimited set of equations of the occupation-numbers’ kinetics for all the graphene sites by the including of the corresponding-type generating function is reduced to the finite set of the non-linear integrodifferential equations. The generalproperties and particular cases of obtained equations are examined. The moments of function of the particles’ distribution over the sites are defined. As shown, when the external influence setting the orientational irregularity of the jump probabilities is absent, then the equations for generating function may be linearized. Due to linearized equations, the general regularities of migration become like the behaviour of non-interacting particles or single vacancies. The respective parameters define some class of the migration processes, where the loss of the kinematic-interaction influence on the migration conformity is a general property. Interplay of the diffusion and drift components in a movement is revealed, when the external influence is sufficiently strong. The migration pattern is asymptotically isotropic. The features of the impurity-atoms’ redistribution between the both sides of graphene, which models the carbon structure with added hydrogen atoms (‘graphan’), are examined. For the spatial homogeneity conditions, the kinetics equations are reduced to the relationships for the average probabilities of filling of the positions on both graphene sides. As revealed, the impurity-atoms’ distribution relaxes to the equilibrium state, which can differ from the separation of a total amount of impurity atoms пополам, independently on the initialfilling. The relaxation parameter depends on both diffusion characteristics and the impurity-component density. The tendency to slowdown of the relaxation processes under the average level of filling of the structure is revealed. As also determined, the equilibrium state is less sensitive to the temperature than the probabilities of jumps. 2013 Article Миграция примесных атомов в структуре графена / А.С. Долгов, Ю.Л. Жабчик // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 2. — С. 281-293. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1816-5230 PACSnumbers:61.48.Gh,61.72.Bb,61.72.J-,61.72.Yx,66.30.jp,66.30.Pa,68.35.Fx http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75922 ru Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Зависимость главных характеристик графена (проводимость и др.) как от общего уровня дефектности, так и от распределения примесей предопределяет необходимость анализа микрокинетики перемещений примесных атомов по поверхности графена. Рассматривается задача о переносе примесных атомов в двумерной гексагональной структуре, моделирующей одиночную углеродную плоскость — графен. Принято, что примесные атомы занимают позиции в окрестности определенного атома главной структуры. Неограниченная совокупность уравнений кинетики чисел заполнения всех узлов графена введением производящих функций соответствующего вида сводится к конечной совокупности нелинейных интегродифференциальных уравнений. Изучены общие свойства этих уравнений и частные варианты. Определяются моменты функции распределения частиц по узлам. Показывается, что в отсутствие внешнего воздействия, задающего ориентационную неоднородность вероятностей перескоков, уравнения для производящих функций линеаризуются. Последнее уподобляет общие закономерности миграции поведению невзаимодействующих частиц или одиночных вакансий. Упомянутые варианты определяют некоторый класс миграционных процессов, общим свойством которых является утрата влияния кинематического взаимодействия на закономерности миграции. Выявлено наложение диффузионной и дрейфовой составляющих движения, которое может быть ощутимым только при достаточно сильном внешнем воздействии. Картина миграции асимптотически изотропна. Рассматриваются особенности перераспределения примесных атомов между двумя сторонами графена, что моделирует углеродную структуру с присоединенными атомами водорода («графан»). В условиях пространственной однородности уравнения кинетики сводятся к соотношениям для средних вероятностей заполнения позиций с каждой из сторон графена. Устанавливается, что, независимо от характера первоначального заполнения, распределение примесных атомов релаксирует к равновесному состоянию, которое может отличаться от разделения общего числа примесных атомов пополам. Параметр релаксации зависит как от диффузионных характеристик, так и от плотности примесного компонента. Обнаруживается тенденция к замедлению релаксационных процессов при повышенных средних уровнях заполнения структуры. Оказывается также, что равновесное состояние менее чувствительно к температуре, нежели вероятности перескоков.
format	Article
author	Долгов, А.С. Жабчик, Ю.Л.
spellingShingle	Долгов, А.С. Жабчик, Ю.Л. Миграция примесных атомов в структуре графена Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
author_facet	Долгов, А.С. Жабчик, Ю.Л.
author_sort	Долгов, А.С.
title	Миграция примесных атомов в структуре графена
title_short	Миграция примесных атомов в структуре графена
title_full	Миграция примесных атомов в структуре графена
title_fullStr	Миграция примесных атомов в структуре графена
title_full_unstemmed	Миграция примесных атомов в структуре графена
title_sort	миграция примесных атомов в структуре графена
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2013
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75922
citation_txt	Миграция примесных атомов в структуре графена / А.С. Долгов, Ю.Л. Жабчик // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 2. — С. 281-293. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
work_keys_str_mv	AT dolgovas migraciâprimesnyhatomovvstrukturegrafena AT žabčikûl migraciâprimesnyhatomovvstrukturegrafena
first_indexed	2025-07-06T00:09:50Z
last_indexed	2025-07-06T00:09:50Z
_version_	1836854113612070912
fulltext	281 PACS numbers: 61.48.Gh, 61.72.Bb, 61.72.J-, 61.72.Yx, 66.30.jp, 66.30.Pa, 68.35.Fx Миграция примесных атомов в структуре графена А. С. Долгов, Ю. Л. Жабчик Национальный аэрокосмический университет им. Н. Е. Жуковского «Харьковский авиационный институт», ул. Чкалова, 17, 61070 Харьков, Украина Зависимость главных характеристик графена (проводимость и др.) как от общего уровня дефектности, так и от распределения примесей предопре- деляет необходимость анализа микрокинетики перемещений примесных атомов по поверхности графена. Рассматривается задача о переносе при- месных атомов в двумерной гексагональной структуре, моделирующей одиночную углеродную плоскость — графен. Принято, что примесные атомы занимают позиции в окрестности определенного атома главной структуры. Неограниченная совокупность уравнений кинетики чисел за- полнения всех узлов графена введением производящих функций соответ- ствующего вида сводится к конечной совокупности нелинейных интегро- дифференциальных уравнений. Изучены общие свойства этих уравнений и частные варианты. Определяются моменты функции распределения ча- стиц по узлам. Показывается, что в отсутствие внешнего воздействия, за- дающего ориентационную неоднородность вероятностей перескоков, уравнения для производящих функций линеаризуются. Последнее упо- добляет общие закономерности миграции поведению невзаимодействую- щих частиц или одиночных вакансий. Упомянутые варианты определяют некоторый класс миграционных процессов, общим свойством которых является утрата влияния кинематического взаимодействия на законо- мерности миграции. Выявлено наложение диффузионной и дрейфовой составляющих движения, которое может быть ощутимым только при до- статочно сильном внешнем воздействии. Картина миграции асимптоти- чески изотропна. Рассматриваются особенности перераспределения при- месных атомов между двумя сторонами графена, что моделирует углерод- ную структуру с присоединенными атомами водорода («графан»). В усло- виях пространственной однородности уравнения кинетики сводятся к со- отношениям для средних вероятностей заполнения позиций с каждой из сторон графена. Устанавливается, что, независимо от характера первона- чального заполнения, распределение примесных атомов релаксирует к равновесному состоянию, которое может отличаться от разделения обще- го числа примесных атомов пополам. Параметр релаксации зависит как Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2013, т. 11, № 2, сс. 281–293  2013 ІÌÔ (Інститут металофізики ім. Ã. Â. Êóðäþìîâà ÍÀÍ України) Надруковано â Україні. Ôотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 282 А. С. ДОЛГОВ, Ю. Л. ЖАБЧИК от диффузионных характеристик, так и от плотности примесного компо- нента. Обнаруживается тенденция к замедлению релаксационных про- цессов при повышенных средних уровнях заполнения структуры. Оказы- вается также, что равновесное состояние менее чувствительно к темпера- туре, нежели вероятности перескоков. Залежність головних графенових характеристик (провідність та ін.) як від загального рівня дефектности, так і від розподілу домішок зумовлює потребу у аналізі мікрокінетики переміщень домішкових атомів по гра- феновій поверхні. Розглядається задача про перенесення домішкових атомів у двовимірній гексагональній структурі, що моделює одиночну вуглецеву площину — графен. Прийнято, що домішкові атоми займають позиції в околі певного атома основної структури. Необмежена сукупність рівнянь кінетики чисел заповнення всіх графенових вузлів введенням твірних функцій відповідного виду зводиться до скінченної сукупности нелінійних інтеґро-диференційних рівнянь. Розглянуто загальні власти- вості цих рівнянь і окремі варіанти. Визначаються моменти функції роз- поділу частинок по вузлах. Показується, що за відсутности зовнішнього впливу, який задає орієнтаційну неоднорідність ймовірностей переско- ків, рівняння для твірних функцій лінеаризуються. Останнє уподібнює загальні закономірності міґрації поведінці невзаємодійних частинок або окремих вакансій. Згадані варіанти визначають певний клас міґраційних процесів, загальною властивістю яких є втрата впливу кінематичної вза- ємодії на закономірності міґрації. Виявлено накладання дифузійної та дрейфової складових руху, яке може бути помітним лише за достатньо сильного зовнішнього впливу. Картина міґрації є асимптотично ізотроп- ною. Розглядаються особливості перерозподілу домішкових атомів між двома графеновими сторонами, що моделює вуглецеву структуру з приєд- наними атомами водню («графан»). В умовах просторової однорідности рівняння кінетики зводяться до співвідношень для середніх ймовірностей заповнення позицій з кожної графенової сторони. Встановлюється, що, незалежно від характеру початкового заповнення, розподіл домішкових атомів релаксує до рівноважного стану, який може відрізнятися від роз- ділення загального числа домішкових атомів навпіл. Параметр релаксації залежить як від дифузійних характеристик, так і від густини домішково- го компонента. Виявляється тенденція до уповільнення релаксаційних процесів при підвищених середніх рівнях заповнення структури. Також виявляється, що рівноважний стан менш чутливий до температури, аніж ймовірності перескоків. The dependence of the graphene outstanding features (conductivity, etc.) either on the total defectiveness level or on the impurity distribution prede- termines the importance of an analysis of the impurity-atoms’ transfers’ mi- crokinetics over the graphene surface. The task of impurity-atoms’ transfer in the two-dimensional hexagonal structure, which models the single-atom carbon plane, is considered. As suggested, the impurity atoms occupy the po- sitions in the vicinity of a certain atom of the host structure. The unlimited set of equations of the occupation-numbers’ kinetics for all the graphene sites by the including of the corresponding-type generating function is reduced to the finite set of the non-linear integrodifferential equations. The general ÌИГРАЦИЯ ПРИÌЕСНЫХ АТОÌОВ В СТРУКТУРЕ ГРАÔЕНА 283 properties and particular cases of obtained equations are examined. The mo- ments of function of the particles’ distribution over the sites are defined. As shown, when the external influence setting the orientational irregularity of the jump probabilities is absent, then the equations for generating function may be linearized. Due to linearized equations, the general regularities of migration become like the behaviour of non-interacting particles or single vacancies. The respective parameters define some class of the migration pro- cesses, where the loss of the kinematic-interaction influence on the migration conformity is a general property. Interplay of the diffusion and drift compo- nents in a movement is revealed, when the external influence is sufficiently strong. The migration pattern is asymptotically isotropic. The features of the impurity-atoms’ redistribution between the both sides of graphene, which models the carbon structure with added hydrogen atoms (‘graphan’), are ex- amined. For the spatial homogeneity conditions, the kinetics equations are reduced to the relationships for the average probabilities of filling of the po- sitions on both graphene sides. As revealed, the impurity-atoms’ distribution relaxes to the equilibrium state, which can differ from the separation of a total amount of impurity atoms пополам, independently on the initial- filling. The relaxation parameter depends on both diffusion characteristics and the impurity-component density. The tendency to slowdown of the relax- ation processes under the average level of filling of the structure is revealed. As also determined, the equilibrium state is less sensitive to the temperature than the probabilities of jumps. Ключевые слова: графен, примеси, миграция, производящие функции, моменты функции распределения. (Получено 27 июля 2012 р.) 1. ВВЕДЕНИЕ Установление возможности существования двумерной углеродной конфигурации — графена [1, 2] — стимулировало теоретическое и экспериментальное изучение различных свойств и особенностей этого объекта. Относительно новой, но растущей составляющей это- го направления исследований является обращение к усложненным и дефектным структурам [3, 4]. В частности, опубликованы работы, где изучается роль наличия примесей в структуре графена [5, 6, 7]. Также установлено существование и изучаются свойства структу- ры, состоящей из гексагональной углеродной сетки и присоединен- ных атомов водорода — так называемый «графан», что также мо- жет рассматриваться как вариант примесной структуры [8, 9, 10]. Выясняется, что присутствие даже небольших количеств примеси может иметь следствием существенные изменения важнейших макроскопических характеристик объекта (аналогично — для уг- леродных нанотрубок [11, 12]). В статьях [13, 14] показано, что проводимость графена весьма чувствительна к наличию примесей 284 А. С. ДОЛГОВ, Ю. Л. ЖАБЧИК некоторых видов, что позволяет использовать измерения проводи- мости в качестве индикатора наличия примесей. Разумеется, наблюдаемые свойства структуры зависят от концентрации при- месного компонента, т.е. как общего количества, так и от их рас- пределения. В работах [14, 15] выявлена сильная зависимость не- которых характеристик от концентрации, что указывает на необхо- димость изучения закономерностей перераспределения дефектного компонента. В данной работе в рамках определенной схематизации процесса рассматриваются общие особенности миграции дефектов по узлам гексагональной структуры. 2. МОДЕЛЬ Состояние мигрирующего компонента характеризуется набором значений величин km — вероятностей заполнения позиций у соот- ветствующих узлов гексагональной сетки, причем, k, m — два це- лых числа, нумерующих соответствующую позицию в принятом направлении отсчета. При выборе в качестве направлений осей вза- имно перпендикулярных направлений, где одно ориентировано нормально к сторонам шестиугольников, а другое вдоль прямой, соединяющей противоположные вершины гексагона, кинетика пе- рескоков представляется четырьмя совокупностями уравнений ви- да (перескоки на один шаг)           2 1,2 1 2 2,2 2 2 ,2 3 2 1,2 1 2 1,2 1 2 2,2 2 2 ,2 3 2 1,2 1 2 1,2 1 1 1 1 , k m k m k m k m k m k m k m k m k m d dt                                            (1)           2 ,2 1 1 2 1,2 1 2 2 1,2 1 3 2 ,2 2 2 ,2 1 1 2 1,2 1 2 2 1,2 1 3 2 ,2 2 2 ,2 1 1 1 1 1 . k m k m k m k m k m k m k m k m k m d dt                                                (2) (Аналогично для функций вида 2 ,2k m  и 2 1,2 1k m   .) Здесь первый индекс означает номер узла цепи с углами 120 в точках излома, а второй индекс — номер цепи. Символы  означают вероятности скачков за единицу времени для трех имеющихся ори- ентаций в размещении ближайших узлов, причем, предполагается неидентичность этих величин для перескоков в прямом (в сторону возрастания соответствующего индекса) и обратном направлениях. Это различие может быть обусловлено наличием дополнительных факторов, задающих ориентационную неоднородность условий пе- рескоков (внешнее поле, деформации). Ôорма уравнений (1), (2) соответствует допущению об отсутствии непосредственного влияния соседних примесных атомов на вероят- ÌИГРАЦИЯ ПРИÌЕСНЫХ АТОÌОВ В СТРУКТУРЕ ГРАÔЕНА 285 ности перескоков каждого из них. Роль окружения исчерпывается фиксацией невозможности перескоков в уже занятую позицию, что и определяет присутствие в уравнениях (1), (2) вероятностей того, что узел-адрес перескока пуст (выражение вида (1)). Взаимодействие названного вида обычно квалифицируется как «кинематическое». 3. ОБЩИЕ СООТНОШЕНИЯ Для функций вида   00 2 ,2 1 2 , exp 2 2k m k m G i ks ms   , (3)   01 2 ,2 1 1 2 , exp 2 (2 1)k m k m G i ks m s      , (4)   10 2 1,2 1 2 , exp (2 1) 2k m k m G i k s ms      , (5)   11 2 1,2 1 1 2 , exp (2 1) (2 1)k m k m G i k s m s        (6) бесконечная система уравнений для узельных вероятностей ((1), (2) и аналоги) точно соответствует уравнениям 1 1 2 1 1 1 1 2 2 10 1 2 00 3 11 1 2 3 10 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 00 10 2 2 00 10 3 3 10 11 1 2 1 ( ) ( ) (7) (2 ) {( ) ( ) ( ) } , is is is i s u i s u i s u G e e G e G G t e G G e G G e G G du du                                                  1 1 2 1 1 1 1 2 2 01 1 2 11 3 00 1 2 3 01 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 11 01 2 2 11 01 3 3 00 01 1 2 1 ( ) ( ) (8) (2 ) {( ) ( ) ( ) } , is is is i s u i s u i s u G e e G e G G t e G G e G G e G G du du                                                1 1 2 1 1 1 1 2 2 00 1 2 10 3 01 1 2 3 00 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 10 00 2 2 10 00 3 3 01 00 1 2 1 ( ) ( ) (9) (2 ) {( ) ( ) ( ) } . is is is i s u i s u i s u G e e G e G G t e G G e G G e G G du du                                                  1 1 2 1 1 1 1 2 2 11 1 2 01 3 10 1 2 3 11 2 ( ) ( ) ( ) 1 1 01 11 2 2 01 11 3 3 10 11 1 2 1 ( ) ( ) (10) (2 ) {( ) ( ) ( ) } . is is is i s u i s u i s u G e e G e G G t e G G e G G e G G du du                                                  Произведения вида G G   в уравнениях (7)–(10) во всех случаях понимаются как выражения 1 1 2 2 1 2 ( , ) ( , )G s u s u G u u     . 286 А. С. ДОЛГОВ, Ю. Л. ЖАБЧИК Замкнутая система уравнений (7)–(10) определяет функции 1 2 ( , , ) ij G s s t (3)–(6), что, в свою очередь, позволяет находить как все моменты распределения примесных атомов по правилам 00 1 2 ( ) (0,0, ) G k t i t s     , (11) 2 2 11 2 2 (2 1) ( ) (0,0, ) G m t t s      (12) и т.д., так и функции изменения заполнения всех возможных пози- ций операциями вида   2 ,2 1 01 1 2 1 22 1 exp 2 (2 1) (2 ) k m G i ks m s ds ds            . (13) Нетрудно заметить, что пары уравнений (7), (8) и (9), (10) содер- жат идентичные наборы коэффициентов и сводятся друг к другу перестановкой индексов. Это подсказывает целесообразность объ- единения соответствующих функций. Суммирование уравнений (7), (8) и (9), (10) дает уравнения для новых функций 0 00 11 G G G  , 1 01 10 G G G  . (14) Ìогло бы показаться, что наличие в уравнениях (7)–(10) выра- жений, содержащих произведения исходных двухиндексных функций, не дает возможности записать независимые соотношения для G0, G1, так как в соответствии с определением (14) 0 1 01 11 10 00 G G G G G G  . Однако можно убедиться, что содержащиеся в уравнениях инте- грирования по u1 и u2 результирующих выражений G0G1 сохраняют только те слагаемые, которые представлены в исходных уравнени- ях (7)–(10). Таким образом, согласно (7)–(10), (14) получается: 1 1 2 1 1 1 1 2 2 0 1 2 1 3 1 1 2 3 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 0 1 1 22 ( ) ( ) (15) 1 {( ) ( ) ( ) } , (2 ) is is is i s u i s u i s u G e e G e G G t e e e G G du du                                                  1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 0 3 0 1 2 3 1 ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 0 1 1 22 ( ) ( ) (16) 1 {( ) ( ) ( ) } . (2 ) is is is i s u i s u i s u G e e G e G G t e e e G G du du                                                ÌИГРАЦИЯ ПРИÌЕСНЫХ АТОÌОВ В СТРУКТУРЕ ГРАÔЕНА 287 Следует обратить внимание на то, что функции G0 и G1 охватыва- ют только несмежные узлы. Таким образом, каждая из этих функ- ций включает в себя набор вероятностей заполнения узлов в одной из двух вставленных друг в друга решеток, образованных правиль- ными треугольниками со стороной 3a . В этой связи уместно напомнить, что ожидаемая структура графана (графен с адсорбиро- ванным водородом) предполагает чередование размещения атомов водорода относительно плоскости, проведенной через узлы графе- новой сетки [9]. Тем самым оказывается, что каждая из функций G0 и G1 в применении к графену охватывает атомы с одной из сторон упомянутой плоскости («сверху» и «снизу»), т.е. соответствует фи- зически выделенной общности примесных атомов. Высказываются предположения о возможности обособленного (вероятно, частичного) существования примесного слоя только с одной стороны графенового листа [16, 17], что получило наимено- вание «графон», который может обсуждаться в качестве исходной ситуации или в допущении перескоков на удаления, превышающие параметр решетки. Уравнения (15), (16) могут служить платформой для анализа не- которых частных вариантов и развития методов. При этом прибли- женные или содержащие аппроксимации приемы анализа свойств уравнений (15), (16) не предполагают ограничений в отношении ко- личеств узлов, охватываемых проводимыми построениями, что неизбежно присутствует при прямом интегрировании совокупности исходных уравнений типа (1), (2). 4. КВАЗИСВОБОДНАЯ МИГРАЦИЯ Слагаемые уравнений (15), (16), содержащие операции интегриро- вания по переменным u1, u2, квадратичны по искомым величинам . Поэтому в условиях , 1 k m   (невысокий средний уровень запол- нения) вклад этих слагаемых невелик или вовсе пренебрежим. Аналогичная ситуация возникает и в противоположном случае , 1 k m   , где оперирование вероятностями наличия вакансий (1k,m) также линеаризует уравнения кинетики. Кроме того, в от- сутствие внешних факторов, задающих ориентационную неодно- родность, вероятности прямых и обратных перескоков в соответ- ствующем направлении тождественны, что обращает в нуль обсуж- даемые слагаемые при произвольных уровнях заполнения позиций. Обсуждаемые выражения также весьма малы в случае преимуще- ственно одностороннего заполнения возможных позиций (графон). Таким образом, можно говорить о довольно широком наборе ва- риантов условий миграции, когда роль кинематического взаимо- действия несущественна, что, в свою очередь, определяет редуци- рованную форму уравнений типа (15), (16).Такие режимы можно 288 А. С. ДОЛГОВ, Ю. Л. ЖАБЧИК квалифицировать как «квазисвободные». Упрощенным уравнениям удовлетворяют экспоненциальные решения t t k k k G A e C e     , причем, масштабные множители определяются начальным состоя- нием структуры и соответствием между одноименными коэффици- ентами для функций G0 и G1. Определяющие характеристики вре- менного изменения   ,   («частоты») находятся из характеристи- ческого уравнения         1 1 2 1 2 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0. is is is is is is e e e e e e                                       (17) Некоторая унификация общей формы результатов достигается при использовании линеаризованной формы представления веро- ятностей перескоков. Последнее едва ли вводит сколько-нибудь значительные ограничения. Дело в том, что различие значений k  определяется только наличием внешнего искажающего воздей- ствия, при том, что реальные макроскопические факторы ведут, как правило, только к весьма малым изменениям особенностей по- тенциального рельефа и характеристик микропроцессов. Записывая вероятности перескоков в виде 0 (1 ) k k b    , 0 (3 )y      , (18) получаем:   2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 4cos 4cos cos 2 ( ) sin(2 ) ( ) sin cos ( 2 ) cos sin . y s s s i b b s b b s s b b b s s            (19) Если принять, что в начальный момент частица была локализо- вана в позиции (0, 0), то получается: 03 0 0 1 2 0 1 2 3 sh( ) ( , , ) ch( ) ( ) . t y t G s s t e y t b b b y               (20) Применяя к выражению (20) операции (11), (12), в линейном приближении по i b для немалых значений t (асимптотическая об- ласть, 0 1t  ) находим: 1 2 0 2 ,2 1 ( )k k b b t    , (21) ÌИГРАЦИЯ ПРИÌЕСНЫХ АТОÌОВ В СТРУКТУРЕ ГРАÔЕНА 289 1 2 3 0 1 2 ,2 1 ( 2 ) 3 m m b b b t     , (22) 2 1 2 3 0 2 (2 ) 2 ( ) 3 k b b b t           . (23) Выражения (21)–(23) представляют диффузионное расползание сгустков плотности при одновременном дрейфовом перемещении с постоянной скоростью. При этом выражение, определяющее диф- фузионную подвижность, содержит величины bi, что могло бы трактоваться как наложение ориентированной дрейфовой и изо- тропной диффузионной составляющих. Следует, однако, принять во внимание, что, так как отличие ве- личин bi от нуля обусловлено присутствием определенного ориен- тирующего фактора, эти параметры нельзя считать независимыми. Ìасштаб каждого из них следует связать с проекцией действующе- го поля на направление перескока. Надежной аппроксимацией, корреспондирующей с допущением о линейном отклике структуры на внешнее воздействие, являются соответствия 1 cos 6 b b         , 2 cos 6 b b         , 3 sinb b  , где угол  отсчитывается от направления, заданного нумерацией «k». Соотношения (21), (22) приобретают вид: 0 2 3 cos ( )k b t   , 0 2 sin ( )m b t   , (24) а величина 1 2 3 ( )b b b  обращается в нуль. Последнее устраняет прямое влияние дрейфа на диффузионное перераспределение и позволяет существенно упростить результат (20). Приняв во внимание, что шаг трансляции в направлении «k» составляет 3a , а в направлении «m» — 3a, согласно (24) устанав- ливаем, что, независимо от направления внешнего воздействия, смещение «центра тяжести» распределения частиц следует направ- лению воздействия и определяется выражением 2 0 3r ab t  . 5. АСИММЕТРИЧНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Асимметрия плотностей и набора конфигураций в миграционных подструктурах, соответствующих двум сторонам графена (введен- ные индексы «0», «1»), может быть обусловлена как асимметрией механизма нанесения (формирования) примесного компонента, так 290 А. С. ДОЛГОВ, Ю. Л. ЖАБЧИК и различием вероятностей перескоков в двух направлениях, пред- полагающим присутствие дополнительного ориентационного фак- тора, что может быть связано с составляющей внешнего поля в нор- мальном к плоскости графена направлении, наличием подложки и др. Данная ситуация охватывается общей формой уравнений вида (1), (2) и (9), (10), но если сосредоточить внимание на эффекте асимметрии, то формальные представления кинетики могут быть существенно упрощены. В предположении об однородности распре- делений с обеих сторон листа анализ сводится к определению двух величин 0 и 1, имеющих смысл среднего уровня заполнения узлов той и другой подструктур. Уравнение кинетики приобретает вид 1 0 0 1 1 1 0 0 1 3 3 3( ) , d dt              (25) причем, 0 1      ; (26) Здесь  — удвоенное среднее число заполнения позиций  ( 2,   0,1 1) . Из уравнения (25) с учетом (26) следует 10 10 1 10 10 ( ) ( ) ( ) ( ) t t e t e                           , (27) где 10 — исходное значение , 2 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 2 4                                   , (28)   2 1 0 1 0 1 0 0 3 ( ) ( ) 4( )               . (29) Независимо от начального уровня 10 (разумеется, 10    , 10 1  ), функция 1 (27) асимптотически приближается к положи- тельному корню + (28), отвечающему равновесию. Величина  задает темп изменения концентраций по обе стороны листа. Значение  1 играет роль времени релаксации неравновесно- го распределения. Согласно (29) эта величина существенно изменя- ется при варьировании , т.е. вследствие роли кинематического взаимодействия. Наименьшее значение  достигается, когда 1 0 1 0 m           , ÌИГРАЦИЯ ПРИÌЕСНЫХ АТОÌОВ В СТРУКТУРЕ ГРАÔЕНА 291 если 1 0 3   , либо при 2  в противоположном случае (для определенности принято, что 1 0    ). Это значит, что увеличение общего количества присоединенных атомов при умеренном разли- чии характеристик 1, 0 соответствует неуклонному замедлению процесса релаксации, а при большом превышении 1 над 0 рост времени релаксации при превышении  над уровнем m сменяется убыванием. Последнее, видимо, связано с тем, что высокие значе- ния  соответствуют приближению к состоянию полной упорядо- ченности. Ìасштаб  определяется значениями 1, 0, которые зависят от температуры по гиббсовскому закону. Это значит, что при высоких (умеренных) температурах релаксационные перестройки происхо- дят чрезвычайно быстро. Однако при низких температурах и в упо- мянутых специальных ситуациях значения  могут оказаться весьма малыми, что открывает возможности наблюдения переход- ных режимов и использования их особенностей. Вариант 1 физически не выделен и хорошо представляет кар- тину распределения и ее эволюцию во времени для средних уровней заполнения позиций при отсутствии ограничений в отношении вы- бора начального значения 10. Получается 0 1 0        , 1 0 6    . (30) Видно, что равновесное значение 1     при неограниченном из- менении соотношения 1/0 пробегает весь диапазон от нуля до единицы. При этом корневая форма зависимостей от характерных частот предопределяет отставание изменения наблюдаемых харак- теристик от варьирования констант 1, 0. Это определяет темпера- турную обусловленность равновесного состояния, однако, менее острую, нежели для вероятностей перескоков. Вследствие того, что константы 1, 0 следуют температуре по больцмановскому закону, различие между ними при охлаждении увеличивается. Это значит, что при низкой температуре в оговорённых условиях достигается практически полное заполнение одной из подструктур за счет опу- стошения другой. Так как неравноправие двух сторон графена связано с дополни- тельными внешними обстоятельствами, то следует предполагать возможность варьирования этих условий. При этом изменение ве- личин 1, 0 влечет за собой изменение параметра релаксации и равновесных плотностей, что, в свою очередь, предопределяет соот- ветствующее изменение всех наблюдаемых характеристик, связан- ных с обсуждаемым объектом. В частности, следует ожидать изме- нения оптических свойств структуры (цветность, степень черноты, частотные зависимости), что, видимо, должно обнаруживаться, 292 А. С. ДОЛГОВ, Ю. Л. ЖАБЧИК прежде всего, при больших углах падения. Инверсия направления внешнего воздействия изменяет и различие характеристик двух по- верхностей графена на противоположное, что может быть индика- тором в отношении этого фактора или, напротив, инструментом «переключения» свойств структуры (нечто, сходное со свойствами жидких кристаллов). Отклик структуры на периодическое изменение внешних усло- вий зависит от соотношения частоты внешнего воздействия  и значения  (29), (30). Структуру можно считать устойчивой в диа- пазоне условий    . В противоположной ситуации   , напротив, объект будет эволюционировать, строго следуя измене- нию внешнего воздействия. Промежуточный вариант    опре- деляет некоторый набор вариантов корреляции свойств объекта с режимом воздействия. 6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Выполненный анализ включает как общую формулировку задачи о переносе инородных атомов по узлам двумерной гексагональной сетки, так и завершенные построения для относительно простых вариантов процесса. Выясняется, что в отсутствие факторов анизотропии перескоков между узлами кинематическое взаимодействие не оказывает влия- ние на эволюцию исходного распределения. Роль этого фактора растет по мере увеличения ориентационной неоднородности веро- ятностей перескоков. В условиях достаточно слабого ориентационного воздействия свойства структуры асимптотически изотропны. Различение раз- мещения мигрирующих атомов с той или другой стороны плоскости графена определяет возможность макроскопического отслежива- ния перераспределения примесного компонента. Ìетодические приемы работы могут быть применены при анали- зе ряда специальных ситуаций, не охватываемых вышеприведен- ным текстом. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. A. K. Geim and K. S. Novoselov, Nature Mater., 6, No. 3: 183 (2007). 2. А. В. Елецкий, И. Ì. Искандарова, А. А. Книжник, Д. Н. Красиков, Успехи физ. наук, 181, № 3: 233 (2011). 3. G. M. Rutter, J. N. Crain, N. P. Guisinger, T. Li, P. N. First, and J. A. Stroscio, Science, 317: 5835 (2007). 4. А. С. Ôёдоров, Д. А. Ôёдоров, З. И. Попов, Ю. Е. Ананьева, Н. С. Елисееева, А. А. Кузубов, ЖЭТФ, 139: 5 (2011). 5. Y.-Y. Zhang, J. Hu, B. A. Bernevig, X. R. Wang, X. C. Xie, and W. M. Liu, ÌИГРАЦИЯ ПРИÌЕСНЫХ АТОÌОВ В СТРУКТУРЕ ГРАÔЕНА 293 physica status solidi (a), 207, No. 12: 2726 (2010). 6. A. K. M. Newaz, S. Puzyrev, B. Wang, T. Pantelides, and K. I. Bolotin, Nature Commun., 3: 734 (2012). 7. R. R. Nair, M. Sepioni, I.-L. Tsai, O. Lehtinen, J. Keinonen, A. V. Krash- eninnikov, T. Thomson, A. K. Geim, and I. V. Grigorieva, Nature Phys., 8: 199 (2012). 8. J. O. Sofo, A. S. Chaudhari, G. D. Barber, Phys. Rev. B, 75: 153401 (2007). 9. D. W. Boukhvalov, M. I. Katsnelson, and A. I. Lichtenstein, Phys. Rev. B, 77: 035427 (2008). 10. D. C. Elias, R. R. Nair, T. M. G. Mohiuddin, S. V. Morozov, P. Blake, M. P. Halsall, A. C. Ferrari, D. W. Boukhvalov, M. I. Katsnelson, A. K. Geim, and K. S. Novoselov, Science, 323: 5914 (2009). 11. А. П. Попов, И. В. Бажин, Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології, 6, вип. 4: 1083 (2008). 12. А. В. Долбин, В. Б. Есельсон, В. Г. Гаврилко, В. Г. Ìанжелий, Н. А. Винни- ков, С. Н. Попов, Б. Сундквист, Наносистеми, наноматеріали, нанотехно- логії, 7, вип. 1: 121 (2009). 13. T. O. Wehling, K. S. Novoselov, S. V. Morozov, E. E. Vdovin, M. I. Katsnelson, A. K. Geim, and A. I. Lichtenstein, Nano Lett., 8: 173 (2008). 14. B. Huang, Z. Li, Z. Liu, G. Zhou, S. Hao, J. Wu, B.-L. Gu, and W. Duan, Phys. Chem. С, 112: 13442 (2008). 15. J.-H. Chen, C. Jang, S. Adam, M. S. Fuhrer, E. D. Williams, and M. Ishigami, Nature Phys., 4: 377 (2008). 16. J. Zhou, Q. Wang, Q. Sun, X. S. Chen, Y. Kawazoe, and P. Jena, Nano Lett. 9: No. 11: 3867 (2009). 17. А. И. Подливаев, Л. А. Опенов, Физ. техн. полупровод., 45, № 7: 988 (2011).

Миграция примесных атомов в структуре графена

Institution

Ähnliche Einträge