От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома

От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома

В рамках транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома рассмотрено вычисление проводимости резисторов любой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом или диффузионном режимах, как вблизи 0 К, так и при более высоких температурах. Обсуждены и поныне широко...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2013
1. Verfasser: Кругляк, Ю. А.
Format: Artikel
Sprache:Ukrainian
Veröffentlicht: Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2013
Schriftenreihe:Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75937
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 4. — С. 655-677. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-75937
record_format dspace
spelling irk-123456789-759372015-02-07T03:02:12Z От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома Кругляк, Ю. А. В рамках транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома рассмотрено вычисление проводимости резисторов любой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом или диффузионном режимах, как вблизи 0 К, так и при более высоких температурах. Обсуждены и поныне широко используемые понятия мобильности, диссипации тепла и падения напряжения в баллистических резисторах. У межах транспортної моделі Ландауера–Датти–Лундстрома розглянуто обчислення провідности резисторів будь-якої вимірности, будь-якого масштабу і довільної дисперсії, що працюють у балістичному або дифузійному режимах поблизу 0 К та при більш високих температурах. Також обговорено і донині широко використовувані поняття мобільности, дисипації тепла та спаду напруги в балістичних резисторах The Landauer–Datta–Lundstrom transport model is used to calculate conductivity of resistors of any dimension and scale as well as of an arbitrary dispersion, which are working in the ballistic or diffusion regimes near 0 K and at the higher temperatures. Still widely used concepts of mobility, heat dissipation, and the voltage drop in the ballistic resistors are also discussed. 2013 Article От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 4. — С. 655-677. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1816-5230 PACSnumbers:71.15.Mb,71.20.-b,72.10.Bg,73.22.Dj,73.23.Ad,73.63.-b,85.35.-p http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75937 uk Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Ukrainian
description В рамках транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома рассмотрено вычисление проводимости резисторов любой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом или диффузионном режимах, как вблизи 0 К, так и при более высоких температурах. Обсуждены и поныне широко используемые понятия мобильности, диссипации тепла и падения напряжения в баллистических резисторах.
format Article
author Кругляк, Ю. А.
spellingShingle Кругляк, Ю. А.
От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
author_facet Кругляк, Ю. А.
author_sort Кругляк, Ю. А.
title От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_short От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_full От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_fullStr От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_full_unstemmed От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома
title_sort от баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели ландауэра–датты–лундстрома
publisher Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate 2013
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75937
citation_txt От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома / Ю.А. Кругляк // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2013. — Т. 11, № 4. — С. 655-677. — Бібліогр.: 15 назв. — рос.
series Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
work_keys_str_mv AT kruglâkûa otballističeskojprovodimostikdiffuzionnojvtransportnojmodelilandauéradattylundstroma
first_indexed 2025-07-06T00:10:45Z
last_indexed 2025-07-06T00:10:45Z
_version_ 1836854170744782848
fulltext 655 PACS numbers: 71.15.Mb, 71.20.-b, 72.10.Bg, 73.22.Dj, 73.23.Ad, 73.63.-b, 85.35.-p От баллистической проводимости к диффузионной в транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома Ю. А. Кругляк Одесский государственный экологический университет, ул. Львовская, 15, 65016 Одесса, Украина В рамках транспортной модели Ландауэра–Датты–Лундстрома рассмот- рено вычисление проводимости резисторов любой размерности, любого масштаба и произвольной дисперсии, работающих в баллистическом или диффузионном режимах, как вблизи 0 К, так и при более высоких темпе- ратурах. Обсуждены и поныне широко используемые понятия мобильно- сти, диссипации тепла и падения напряжения в баллистических резисто- рах. У межах транспортної моделі Ландауера–Датти–Лундстрома розглянуто обчислення провідности резисторів будь-якої вимірности, будь-якого ма- сштабу і довільної дисперсії, що працюють у балістичному або дифузій- ному режимах поблизу 0 К та при більш високих температурах. Також обговорено і донині широко використовувані поняття мобільности, диси- пації тепла та спаду напруги в балістичних резисторах. The Landauer–Datta–Lundstrom transport model is used to calculate con- ductivity of resistors of any dimension and scale as well as of an arbitrary dispersion, which are working in the ballistic or diffusion regimes near 0 K and at the higher temperatures. Still widely used concepts of mobility, heat dissipation, and the voltage drop in the ballistic resistors are also discussed. Ключевые слова: наноэлектроника, электропроводность, баллистический режим, диффузионный режим, плотность электронных состояний. (Получено 17 ноября 2013 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ Продолжим изложение модели электронного транспорта Ландауэ- ра–Датты–Лундстрома (ЛДЛ), начатое в первой части настоящего Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2013, т. 11, № 4, сс. 655–677  2013 ІÌÔ (Інститут металофізики ім. Ã. В. Курдюмова ÍАÍ України) Íадруковано в Україні. Ôотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 656 Ю. А. КРУÃЛЯК обзора [1]. Во второй части рассмотрим электрическую проводи- мость в модели ЛДЛ. Рассмотрим 1D-, 2D- и 3D-проводники, начи- ная с очень коротких баллистических резисторов, затем перейдём к обычным резисторам, работающим в диффузионном режиме, и рас- смотрим также промежуточные режимы. В 1D-проводнике («нано- проволока») длины L электроны могут перемещаться лишь в одном измерении, в 2D-проводнике («нанояма») ширины W — в двух из- мерениях, в 3D-проводнике c площадью поперечного сечения А все три измерения доступны электронам. Согласно общепринятой договорённости [2], сопротивление R и его удельное значение  для проводников всех трёх размерностей запишем следующим образом (см. (9) в [1] для 3D-проводника): 1 1 1 1 , D D D L R L n q      , (1) 2 2 2 1 , D D D S L R W n q      , (2) 3 3 3 1 , D D D L R A nq      , (3) где  — мобильность электронов, а nL, nS и n есть плотность элек- тронов для проводников размерности 1D, 2D и 3D соответственно (см. (42) в [1]), удельное сопротивление которых измеряется в раз- ных единицах в зависимости от размерности проводника. Подобная запись сопротивления для проводников разной размерности физи- чески вполне корректна: во всех случаях сопротивление пропорци- онально длине проводника, а для 2D- и 3D-проводников ещё и об- ратно пропорционально, соответственно, ширине W и площади A поперечного сечения проводника, поскольку увеличение W и A фи- зически эквивалентно параллельному соединению проводников. Вместе с тем мы увидим, что уравнения (1)–(3) не всегда корректны: удивительное встречается даже в таких, казалось бы, простых устройствах, какими нам представляются проводники разной раз- мерности. Уравнение Ландауэра (96) из [1] для проводимости         2 02 ( ) ( ) fq G T E M E dE h E (4) послужит нам отправным пунктом; оно справедливо для проводни- ков любой размерности, если только используются корректные вы- ражения для числа мод проводимости M(E) [1]. Рассмотрим 2D-проводник, проводимость которого запишем в виде: ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 657     2 1 S D W W G L L . (5) Ìы позже убедимся в том, что у массивных и длинных 2D- проводников, работающих в диффузионном режиме, удельная по- верхностная проводимость S не зависит от ширины W и длины L проводника. Для коротких же проводников S становится завися- щей от длины проводника, а для узких проводников проводимость увеличивается с ростом их ширины ступенчато. Основное внимание мы уделим 2D-проводникам, хотя похожие рассуждения и выкладки могут быть проведены и для 1D- и 3D- проводников, для которых мы приведём только окончательные ре- зультаты. В отношении формулы Ландауэра (4) напомним, что множитель  0 f E  происходит из разложения в ряд Тейлора разности электрохимических потенциалов на контактах проводни- ка f1f2 [1] в предположении, что температура обоих контактов одинакова. Термоэлектрические явления в модели ЛДЛ будут рас- смотрены отдельно. 2. 2D-БАЛЛИСТИЧЕСКИЕ РЕЗИСТОРЫ У баллистических 2D-резисторов коэффициент прохождения Т(Е)1, а число мод проводимости в (4) M(E)WM2D(E) [1], где общие выражения для мод проводимости для любых дисперсион- ных соотношений даются формулами (63), а для параболических дисперсий — формулами (72)–(74). Рассмотрим подробнее множи- тель  0 f E  в уравнении (4), который получил название «ферми- евское окно» проводимости. Íа рисунке 1 качественно показан график функции Ôерми f0(E) и функции  0 f E  в зависимости от энергии Е. Более подробное и количественное обсуждение можно найти в [1]. Ìы видим, что функция  0 f E  существенна лишь в окрестно- сти 2kT вокруг энергии Ôерми EF. В [1] показано, что площадь под этой кривой равна единице, так что для низких температур фермиевское окно проводимости можно записать через дельта- функцию Кронекера:         0 F f E E E . (6) Используя (6) и Т(Е)1, из уравнения Ландауэра (4) получаем выражение для баллистической проводимости   2 ball 2 F q G M E h , (7) 658 Ю. А. КРУÃЛЯК которое является общим и справедливым для резисторов любой размерности. Если число мод невелико, его можно вычислить из эксперимен- тальных измерений. Тогда проводимость и соответственно сопро- тивление не может принимать произвольные значения, а квантует- ся согласно  ball 2 1 12,9 ( ) ( )2 F F h R M E M Eq [кОм]. (8) Обратим внимание, что сопротивление в баллистическом режиме не зависит от длины проводника, как и ожидалось для режима балли- стического транспорта. Тот факт, что сопротивление квантуется, надёжно установлен экспериментально [3, 4]. В экспериментах ширина резистора W контролировалась электростатически напряжением на затворе VG. Баллистический режим транспорта обеспечивался низкой темпера- турой. По мере роста ширины резистора проводимость растёт сту- пенчато (рис. 2) в соответствии с уравнением (7). Рис. 1. Ôермиевское окно проводимости. Рис. 2. Квантование проводимости электронного газа в интерфейсе AlGaAs/GaAs [3, 4]. ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 659 Отметим, что ступенчатый характер проводимости в современ- ных экспериментах наблюдается даже при комнатных температу- рах благодаря выполнению измерений на нанорезисторах. 2.1. Широкие 2D-баллистические резисторы при Т0 К Ширина W резистора может стать столь значительной, что на ней укладывается большое число дебройлевских полуволн, и число мод [1] измерить экспериментально становится затруднительно. В этом случае, например, для параболической дисперсии из уравнений (64) и (73) в [1] имеем: 2 2 ( ) ( ) ( ) F C F D F v m E E M E WM E g W      . (9) Число мод M2D удобно связать с поверхностной плотностью элек- тронов nS, которая обычно известна из экспериментов. Все состоя- ния с волновым вектором kkF заняты при Т0 К. Для поверх- ностной плотности имеем:   2 2 2 2 22 F F S v v k k n g g      , (10) где двойка учитывает спиновое вырождение, а gv — долинное вы- рождение. Отсюда находим kF через поверхностную плотность и подставляем в (67) из [1], так что окончательно  2 2 S D F v n M E g  . (11) Уравнение (11) связывает число мод при энергии, равной энергии Ôерми, с поверхностной плотностью электронов 2D- баллистического проводника. Обратим внимание на то, что этот ре- зультат не предполагает задание какой-либо конкретной зонной структуры. Важно лишь, чтобы она была изотропной. А вот увязка kF и EF уже требует задания конкретной дисперсии. Íапример, для параболической дисперсии волновой вектор kF находим из 2 2 2 F F C k E E m   . (12) 2.2. Широкие 2D-баллистические резисторы при Т0 К Приближение (6) хорошо работает при низких температурах. При комнатных температурах и выше интеграл Ландауэра (4) нужно 660 Ю. А. КРУÃЛЯК добросовестно вычислять. Пользуясь записью фермиевской функ- ции (14) в [1], для баллистической 2D-проводимости (T1) имеем:   2 ball 2 2 1 ex 2 ( p ( ) ( ) 1 ) D D F E E q G WM E dE h E kT          . (13) Подобные интегралы часто встречаются в физике полупроводни- ков. Разберёмся в качестве примера с этим интегралом. Ôермиевская функция обладает полезным свойством [1]: F E E               , (14) которое позволяет производную в уравнении (13) вынести из-под знака интеграла. Тогда вместо (13) с учётом (64) из [1] получим:   2 ball 2 0 exp 1 22 F v D F C E E E E kT g W mq G dE h E               . (15) Далее введём новые переменные:    / ( ), / ( ) C F F C E E kT E E kT      , (16) что позволяет интеграл (15) преобразовать к виду   2 ball 2 0 22 exp 1 F v D F g W m kTq G d h                 . (17) Интегралы этого типа не берутся аналитически. Они часто встре- чаются в физике полупроводников и получили название интегралов Ôерми–Дирака. В нашем случае интеграл (17) пропорционален ин- тегралу   1/2 1/2 0 ex 2 ( p 1 ) F F d             , (18) называемому интегралом Ôерми–Дирака порядка одна вторая. При дифференцировании интеграла Ôерми–Дирака по его пара- метру порядок интеграла понижается на единицу: 1 ( ) ( ) j F j F F d d        . (19) Воспользуемся этим свойством и перепишем выражение (17) сле- дующим образом: ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 661 2 2 ball 2 1/2 2 22 2 ( ) 2 v D F D g W m kTq q G WM h h         , (20) где 2 2 1/2 ( ) ( ) 2 D D F M WM WM kT       , (21) а 2 ( ) D WM kT есть  2D C WM E E , вычисленное при энергии C E E kT  . Сравнивая (20) с (7), мы видим, что проводимость 2D баллистических резисторов при конечных температурах имеет тот же вид, что и при Т0 К: нужно лишь заменить число мод M(EF) на M по (21). Величина M есть число мод проводимости 2D- баллистического резистора при конечных температурах в фермиев- ском окне проводимости 0 /f E  . При обработке экспериментальных данных для 2D-проводников чаще легче определить поверхностную плотность электронов nS, чем энергию уровня Ôерми EF. Однако они связаны между собой, и зная nS, можно найти EF. Для параболической дисперсии эта связь даётся следующим выражением: * 2 0 0 2 02 0 ( ) ( ) ( ) ( ) S D v F D F m kT n D E f E dE g N          . (22) Ìы рассмотрели только один пример 2D-резистора с параболиче- ской дисперсией. Аналогичные интегралы Ôерми–Дирака разного порядка часто встречаются в задачах о проводниках разной размер- ности и различной зонной структуры. Полезно рассмотреть инте- гралы Ôерми–Дирака более подробно. 2.3. Интегралы Ферми–Дирака Интеграл Ôерми–Дирака порядка j  0 1 ( ) p1 ex 1( ) j j F F d j             , (23) где гамма-функция при целом положительном n ( ) ( 1) !n n   ; (24) при этом ( 1) ( )p p p    , (25) а 662 Ю. А. КРУÃЛЯК 1 2         . (26) Важным свойством интеграла Ôерми–Дирака является пониже- ние его порядка при дифференцировании интеграла по его парамет- ру (19). Íапример, известно аналитическое выражение для инте- грала нулевого порядка [5]:  0 ( ) log 1 F F e      . (27) Тогда для интеграла минус первого порядка имеем: 0 1 ( ) 1 ( ) 1F F F F d d e           . (28) Продолжая таким же образом далее, можно получить аналитиче- ские полиномиальные выражения для любых целых отрицатель- ных порядков [5–7]. Для невырожденных полупроводников   / ( ) 0 F F C E E kT   , (29) в связи с чем для них интегралы Ôерми–Дирака любого порядка сводятся к экспонентам:  ( ) 0F j F F e      . (30) Роль интегралов Ôерми–Дирака в физике полупроводников, производные интегралов, асимптотические и приближенные вы- ражения для них, методы и алгоритмы высокоточных и прибли- женных методов их расчёта можно найти в [7]. 2.4. 2D-диффузионные резисторы Перейдём от рассмотрения баллистического транспорта с коэффи- циентом прохождения всегда равным единице, T(E)1, к диффу- зионному транспорту с T(E)(E)/L. Ìодель ЛДЛ успешно приме- няется к проводникам любой размерности, однако, мы по- прежнему сосредоточимся на 2D-резисторах, а позже приведём окончательные результаты для 1D- и 3D-резисторов. Уравнение Ландауэра (4) перепишем с учётом (63) из [1] для 2D- резистора в диффузионном режиме, а именно: 2 diff 0 2 2 2 ( ) ( ) D D fq W G E M E dE h L E          . (31) ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 663 Появление множителя W/L согласуется с традиционным опреде- лением (2) сопротивления 2D-проводника. В модели же ЛДЛ про- порциональность проводимости ширине резистора W объясняется тем, что число мод проводимости 2D-проводника должно быть про- порционально его ширине, а обратная пропорциональность длине проводника L вызвана диффузионным режимом. 2.5. Широкие 2D-диффузионные резисторы при Т0 К Выражение (31) для низких T существенно упрощается за счёт сужения фермиевского окна проводимости (6), и можно записать      2 diff ball 2 2 2 2 F D D F F D Eq W G M E E G h L L     , (32) где баллистическая проводимость даётся выражением (7). Если определена длина свободного пробега , проводимость в диффузи- онном режиме можно вычислить через её значение в баллистиче- ском режиме. Ìы уже обсудили проводимость раздельно в баллистическом и в диффузионном режимах при низких температурах. Однако можно рассмотреть весь спектр режимов при переходе от баллистического режима к диффузионному. Воспользуемся общим выражением для коэффициента прохождения (86) из [1]        1 T E E E L     ; (33) тогда           2 ball 2 2 2 2 F F D D F D F F E Eq G W M E G h E L E L         , (34) а для сопротивления имеем:   ball 2 2 1 D D F L R R E        . (35) Полученный результат свидетельствует, что при низких темпера- турах сопротивление 2D-резистора в диффузионном режиме про- порционально длине проводника, а в баллистическом режиме от длины проводника не зависит. 2.6. Широкие 2D-диффузионные резисторы при Т0 К При конечных температурах интеграл (31) нужно вычислять. По- 664 Ю. А. КРУÃЛЯК ступим следующим образом. Умножая и деля его на 2D M  0 2 ( ) D f M E dE E        , (36) переписываем (31) следующим образом: 2 diff ball 2 2 2 2 D D D q G WM G h L L     , (37) где 2D WM даётся выражением (21), а усреднённое значение дли- ны свободного пробега определяется как 0 2 0 2 ( ) ( ) ( ) D D f E M E dE ME f M M E dE E                   . (38) Уравнение (37) по форме такое же, как и уравнение (32). При низких температурах мы заменяем M на M(EF), а  — на (EF). Одиночные и двойные угловые скобки указывают лишь на то, как производится усреднение. Чтобы реально оценить усреднённое значение средней длины свободного пробега, нужно задаться дисперсионным соотношением и выражением для (E). В случае обычных и наиболее распростра- нённых механизмов рассеяния простейший путь записать выраже- ние для (E) — это воспользоваться степенным законом в форме [8] 0 ( ) r C E E E kT          , (39) где значение показателя степени r определяется выбором того или иного механизма рассеяния, а константа 0 в типичных случаях ещё и температурно-зависимая. Íапример, при рассеянии электро- нов на акустических фононах в 3D-проводнике r0, а на заряжен- ных примесях r2. Оба интеграла в (38) выражаются через интегралы Ôерми– Дирака следующим образом: 1/2 0 1/2 3 ( )2 3 ( ) 2 r F F r                                . (40) Если r0, средняя длина свободного пробега не зависит от энер- ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 665 гии, и 0    . Íе будем рассматривать весь спектр перехода от баллистического режима к диффузионному; это вывело бы нас далеко за пределы вы- бранной темы обзора. Заметим лишь, что при независящей от энер- гии средней длине свободного пробега сопротивление резистора ball 0 1 L R R        , (41) что очень похоже на уже известный результат (35). Далее мы обсудим с позиций транспортной модели ЛДЛ некото- рые общие вопросы электронного транспорта, такие как понятие мобильности носителей тока, способы записи выражений для по- верхностной 2D-проводимости, диссипацию мощности и падение напряжения в баллистическом резисторе. Приведём, наконец, сводку основных результатов для 1D- и 3D-проводников. 3. О ПОНЯТИИ МОБИЛЬНОСТИ Традиционно обсуждение сопротивления проводников начинается с определений (1)–(3), которые, однако, не применимы к проводни- кам, работающим в баллистическом или квазибаллистическом ре- жимах. В этих режимах не совсем ясно, как оценить мобильность носителей тока. Транспортная модель ЛДЛ начинается с уравнения Ландауэра (4) и пригодна для любых транспортных режимов, от баллистического до диффузионного и во всем спектре режимов между ними. В рамках модели ЛДЛ вообще нет нужды обращаться к понятию мобильности. Вместе с тем, понятие мобильности и по- ныне широко используется, несмотря на то, что в отдельных случа- ях оно приводит к недоразумениям. Так, уравнения (1)–(3) утвер- ждают, что проводимость пропорциональна произведению плотно- сти неких электронов и мобильности. Тогда как согласно уравне- нию Ландауэра (4) проводимость обеспечивается только теми элек- тронами, энергия которых попадает в фермиевское окно проводи- мости  0 f E  . Для полупроводников n-типа это могут быть все электроны в зоне проводимости (невырожденные полупроводники), а может быть только малая их доля (вырожденные полупроводни- ки). Поскольку понятие мобильности и поныне широко использует- ся, следует обсудить его в рамках концепции ЛДЛ. Лучше всего опять начать с уравнения Ландауэра (4) и прирав- нять его проводимости 2D-проводника по уравнению (2), а именно: 2 0 2 2 ( ) ( ) D S fq W G T E M E dE n q h E L           , (42) 666 Ю. А. КРУÃЛЯК откуда кажущаяся мобильность для 2D-резистора app 0 2 2 2 1 ( ) ( ) , D D S fq T E LM E dE h n E          (43) берётся нами за определение мобильности, в отличие от определе- ния мобильности по модели Друде [9] *q m   , (44) где  — среднее время рассеяния, иначе, время импульсной релак- сации. Ìы называем мобильность по (43) кажущейся, поскольку определение (43) пригодно как для баллистической мобильности, так и для диффузионной. Íапример, положив время прохождения T(E)1, для баллистической мобильности имеем: ball 0 2 2 2 1 ( ) D D S fq LM E dE h n E          ; (45) аналогично, выбрав T(E)(E)/L, получим выражение для диффу- зионной мобильности: diff 0 2 2 2 1 ( ) ( ) D D S fq E M E dE h n E           . (46) Концепция баллистической мобильности была введена в обраще- ние Шуром [10] и оказалась полезной при анализе различных устройств [11]. Сравнивая выражения (45) и (46), видим, что диф- фузионная мобильность отличается от баллистической только за- меной средней длины свободного пробега на длину баллистического резистора. Эта замена выглядит вполне физически приемлемой. Вспомним, что в контактах равновесие быстро достигается за счёт интенсивных процессов рассеяния. Электрон, инжектированный в баллистический канал истоком, участвовал в рассеянии в контакте с истоком, а затем следующий раз участвовал в рассеянии лишь в контакте со стоком. Расстояние между этими двумя событиями есть как раз длина баллистического резистора, которая и играет роль средней длины свободного пробега в диффузионном канале. Проблемы в наноэлектронике возникают в области промежуточ- ной между баллистическим и диффузионным предельными режи- мами. В этой области коэффициент прохождения определяется вы- ражением (33), и можно показать [11], что для кажущейся мобиль- ности имеет место следующее соотношение app diff ball 1 1 1      , (47) ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 667 которое выглядит как традиционное правило Ìатиссена [8, 12]. По- другому в этой переходной области можно поступить, если в (46) среднюю длину свободного пробега заменить на её кажущееся зна- чение, а именно: app 1 1 1 L    . (48) Кажущуюся длину свободного пробега можно интерпретировать либо как реальную среднюю длину свободного пробега в условиях диффузионного режима, либо как длину резистора в зависимости от того, какая из этих длин меньше. Предполагая параболическую зонную структуру, мобильность даже в самом общем случае можно выразить через интегралы Ôер- ми–Дирака. Для примера рассмотрим более простой случай, когда Т0 К. Плотность электронов в зоне проводимости     * 22S v F C D F C m n g E E D E E     , (49) а также из формулы (63) работы [1] следует, что  2 2 4 D x D h M v D , (50) где скорость 2 x F v v   (51) выражается через фермиевскую скорость vF. Используя (45) и (46) вместе с (49) и (50), находим, что   ball ball 2 2 / D D F C D E E q    , (52)   diff diff 2 2 / D D F C D E E q    , (53) где коэффициенты диффузии даются выражениями: ball 2 2 D x L D v , (54)  diff 2 2 F D x E D v   . (55) Уравнения (52) и (53) напоминают соотношение Эйнштейна меж- 668 Ю. А. КРУÃЛЯК ду мобильностью и коэффициентом диффузии (105) из [1] с разно- стью F C E E , играющей роль kT, поскольку с самого начала пред- полагалось, что Т0 К. Уравнение (55) даёт привычное определение коэффициента диф- фузии, а вот (54) вводит новое понятие «баллистического коэффи- циента диффузии». 4. СПОСОБЫ ЗАПИСИ 2D-ПРОВОДИМОСТИ Согласно уравнению (32), удельная диффузионная проводимость, иначе поверхностная проводимость, при Т0 К даётся выражением       2 2 2 S D F F q M E E h . (56) Выражения для поверхностной проводимости встречаются в раз- личных формах записи. Полезно рассмотреть наиболее часто встре- чающиеся. Íам уже известно выражение 2 ( ) D M E из (63) в [1], а именно:  2 2 ( ) ( ) ( ) 4 D x D h M E v E D E , (57) где для средней скорости, в случае параболической дисперсии и изотропии скорости, имеем уравнение (60) из [1], а именно:    2 x v v . (58) Позже при рассмотрении общих вопросов рассеяния при элек- тронном транспорте для средней длины свободного пробега в (56) мы получим ( ) ( ) ( ) 2 E v E E     , (59) где  есть время импульсной релаксации, иначе, время между дву- мя соседними актами рассеяния. Используя (58) и (59), для поверх- ностной проводимости (56) получаем типичное выражение:         2 2 2 . 2 F F S D F v E E q D E (60) Определяя электронный коэффициент диффузии        2 2 F F F v E E D E , (61) ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 669 переписываем (60) в более привычном виде:      2 2S D F F q D E D E . (62) Приведём ещё один способ записи поверхностной проводимости. Для параболической дисперсии    * 21 2 F F C m v E E E . (63) Используя это выражение и (49), переписываем (60) в виде    S S n q , (64) где мобильность     * F q E m . (65) Уравнение (65) хорошо известно, но его нельзя назвать удачным в качестве базового уравнения для анализа работы электронного устройства в целом. Типичным примером может служить ситуация, когда не работает предположение о параболической зонной струк- туре, порождающее понятие эффективной массы носителя тока. Подведём итоги. Получены четыре разных способа записи удельной 2D- проводимости при Т0 К. Это уравнения (56), (60), (62) и пара уравнений (64)–(65). Все уравнения эквивалентны, но обладают они разными возможностями. Уравнение (56) увязывает удельную про- водимость с числом мод проводимости. По уравнениям (60) и (62) нужно знать плотность состояний резистора и скорость или коэф- фициент диффузии при энергии, равной фермиевскому значению. Уравнение (64) связывает удельную проводимость с поверхностной плотностью электронов. Конечно, роль фермиевского окна прово- димости  0 f E  остаётся прежней: проводимость обеспечивают лишь те электроны, энергия которых попадает в окно 2kT, охва- тывающее фермиевскую энергию EF. При конечных температурах вместо уравнения (56) имеем: 2 0 2 2 ( ) ( ) S D fq M E E dE h E           . (66) Удобно ввести удельную поверхностную проводимость в диффе- ренциальной форме ( ) S E , а именно, ( ) S S E dE   , (67) 670 Ю. А. КРУÃЛЯК где 2 0 2 2 ( ) ( ) ( ) S D fq E M E E h E          . (68) Полную проводимость (67) получаем суммированием проводимо- стей по всем модам резистора. Уравнение (68) при конечных темпе- ратурах можно записать по-разному так же, как это было показано выше для Т0 К. 5. ДИССИПАЦИЯ МОЩНОСТИ В БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РЕЗИСТОРАХ Любой проводник, на который подано напряжение V, диссипирует мощность РVIV2/R. Ìощность обычно диссипирует в результа- те электрон-фононного взаимодействия, энергия которого переда- ётся решётке проводника, и проводник греется. В баллистических резисторах перенос электронов происходит без рассеяния, однако, диссипация мощности по-прежнему равна V 2/R. Ãде же эта мощ- ность диссипирует? Поскольку диссипация мощности не может происходить в канале проводимости, то есть единственный ответ — на контактах, где происходят интенсивные процессы рассеяния, направленные на быстрое восстановление равновесных значений электрохимических потенциалов. Диссипация мощности в баллистическом резисторе иллюстриру- ется на рис. 3. Ток возникает в фермиевском окне, созданном разностью ферми- евских функций f1f2, отличной от нуля, и, следовательно, разно- стью электрохимических потенциалов EF1EF2qV. Как схемати- чески показано на рис. 3, когда электрон покидает контакт 1, обра- зуется незаполненное состояние в спектре контакта 1 («дырка»). Рис. 3. Диссипация мощности в баллистическом канале происходит на контактах. ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 671 Достигнув баллистически контакта 2 с избытком энергии, по срав- нению с химпотенциалом EF2 («горячий электрон»), он теряет этот избыток в результате неупругого рассеяния на контакте 2. При рав- ноправии контактов потеря энергии на контакте 2 составит qV/2, так что половина мощности диссипирует на контакте 2. Зарядовая нейтральность контакта 2 восстанавливается после того, как элек- трон покинет контакт 2 и по внешней цепи достигнет контакта 1. Электрон входит в контакт 1 с энергией EF1, неупруго теряет энер- гию, заполняя собой «дырку» и диссипируя мощность qV/2 на кон- такте 1. Итак, в баллистическом канале в режиме линейного отклика на каждом контакте диссипирует примерно половина мощности VI. 6. ПАДЕНИЕ НАПРЯЖЕНИЯ В БАЛЛИСТИЧЕСКИХ РЕЗИСТОРАХ В диффузионном режиме работы однородного резистора напряже- ние падает линейно вдоль его длины. А как падает напряжение в баллистическом резисторе? Ответ, наверное, ожидаемый — на кон- тактах (рис. 4). Внутри контакта 1 есть один хорошо определённый уровень Ôерми EF1, аналогично и в контакте 2 есть один уровень EF2. Внутри же всего устройства уровней Ôерми два. Часть электронных состо- яний резистора заполняется истоком. Поскольку они находятся в равновесии с ним, то заполнены они в соответствии с фермиевской функцией контакта 1. Аналогичная ситуация имеет место со сторо- ны стока. Состояния заполняются в соответствии с фермиевской функцией контакта 2. Расчёт среднего значения электрохимиче- ского потенциала внутри баллистического резистора [13] приводит к результату, показанному на рис. 4. При равноправии контактов Рис. 4. В баллистическом резисторе при равноправии контактов напряже- ние V(EF1EF2)/q падает на контактах поровну. 672 Ю. А. КРУÃЛЯК половина падения электрохимического потенциала происходит на истоке, а вторая половина — на стоке. По этой причине баллистиче- ское сопротивление в 12,9 кОм называют квантом контактного со- противления. 7. 1D- И 3D-РЕЗИСТОРЫ Уравнение Ландауэра для проводимости (4) справедливо для рези- сторов любой размерности, если только корректно учесть число мод проводимости ( )M E . Вернёмся к 2D-проводнику. Он удлинён в направлении движения электронов и имеет конечную ширину W. Движение электронов ограничено потенциальной ямой, их энергия квантуется, а именно,    2 2 2 * 2 2 n n m a , (69) где а — ширина потенциальной ямы, n — целое квантовое число, перечисляющее уровни энергии («подзоны»), которые заселяются в соответствии с положением уровня Ôерми, и каждая из подзон есть мода (канал) проводимости для тока. При достаточно большой ши- рине резистора W энергии нижних подзон близки друг к другу, и многие из этих подзон заселены электронами. В этом случае число подзон пропорционально ширине резистора W, и для числа мод проводимости имеем:          * 2 1 2 ( ) ( ) N n D v n m E M E WM E Wg , (70) где сумма берётся по всем подзонам. Теперь рассмотрим 1D-проводник. Он похож на очень узкий 2D- резистор. Если его ширина и толщина малы, то все подзоны далеко расположены друг от друга по энергии, и их можно легко пересчи- тать, так что (формула (63) в [1]) 1 ( ) ( ) Числу подзон энергии D M E M E Е  . (71) Íаконец, если ширина и толщина резистора велики, то мы имеем фактически 3D-проводник, все подзоны близко расположены друг по отношению к другу по энергии и число мод проводимости (фор- мула (63) в [1])  * 3 2 ( ) ( ) 2 C D v m E E M E AM E g     , (72) где А — площадь поперечного сечения 3D-проводника. ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 673 Для 1D-резистора имеет место строгое квантовое ограничение в двух измерениях, и число мод проводимости даётся простым выра- жением (71). Для 2D-резистора строгое квантовое ограничение име- ет место в одном измерении, и число мод даётся выражением (70). Для 3D-резистора квантовых ограничений нет, и число мод даётся выражением (72). Из (70) и (72) видно, что эти формулы выписаны для параболической дисперсии. С таким же успехом их можно вы- писать для любой аналитически заданной дисперсии, например, для линейной, как в графене, которому мы намерены посвятить от- дельную публикацию в концепции «снизу–вверх» транспортной модели ЛДЛ [1]. Если дисперсия задаётся эмпирически, то остаётся прибегнуть только к численным методам. Как только число мод выявлено, интеграл Ландауэра для проводимости (4) нетрудно оце- нить для проводников любой размерности. Уравнение Ландауэра (4) бывает удобнее переписать в другом ви- де, а именно, 2 2q G T M h  , 0( ) f M M E dE E         , (73) 0 0 ( ) ( ) ( ) f T E M E dE E T f M E dE E                . Воспользуемся общим выражением для коэффициента прохож- дения (33). Для простоты предположим, что средняя длина свобод- ного пробега постоянна и равна 0. Тогда для проводимости имеем:     2 0 0 2q G M h L . (74) В случае параболической дисперсии для 1D-резистора 1 1 ( ) D Fi i M     , (75) где     F i Fi E kT , (76) и суммирование в (75) проводится по подзонам. При Т0 К проводимость 1D-резистора упрощается до 674 Ю. А. КРУÃЛЯК      2 0 1 0 2 Число подзон энергии D F q G Е h L . (77) В случае статистики Ìаксвелла–Больцмана  app 1 1 D L G qn L , (78) где    app / D kT q , (79)   app 2 T v D , (80) * 2 / ( ) T v kT m  , (81)   app 0 1 1 1 L . (82) Для 2D-резистора имеем: 2 2 1/2 ( ) ( ) 2 D D Fi i M W M WM kT       , (83) где для параболической дисперсии   * 2 2 ( ) D v m kT M kT g . (84) При Т0 К выражение (74) для 2D-резистора упрощается до       2 0 2 2 0 2 D D F q G WM E h L . (85) В случае статистики Ìаксвелла–Больцмана  app 2D S W G qn L . (86) Íаконец, для 3D-резистора 3 3 0 ( ) ( ) D D F M A M AM kT    , (87) где * 3 2 ( ) 2 D v m kT M kT g  (88) ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 675 и F C F E E kT    . (89) При Т0 К выражение (74) для 3D-резистора упрощается до   2 0 3 3 0 2 D D F q G AM E h L     . (90) В случае статистики Ìаксвелла–Больцмана app 3D A G qn L   . (91) В заключение в качестве примера приведём результаты анализа экспериментальной вольт-амперной характеристики (ВАХ) угле- родных нанотрубок. Это почти идеальные 1D-проводники. Экспе- риментальные ВАХ одностенных углеродных нанотрубок в метал- лическом режиме длиной 1 мкм при Т4, 100, 200 К в широком диапазоне напряжений воспроизведены из [14] на рис. 5. Из линейного участка ВАХ для проводимости получается 22 мкСм. Для таких углеродных нанотрубок приближение при Т0 К хорошо работает даже при весьма высоких температурах. Так что можно пользоваться выражением для проводимости (77). Долинное вырождение для углеродных нанотрубок равно двойке. В предпо- ложении, что заполнена одна подзона, для баллистической прово- димости получается G ball154 мкСм. Оценка среднего пути свобод- ного пробега из уравнения (77) даёт 0167 нм, что намного меньше физической длины использованных в эксперименте нанотрубок в 1 мкм, так что транспорт в таких нанотрубках диффузионный. Ìы видели перед собой задачу в этом обзоре показать, как поль- Рис. 5. Вольт-амперная характеристика одностенных углеродных нано- трубок в металлическом режиме при трёх разных температурах [14]. Об- ведён участок линейного отклика. 676 Ю. А. КРУÃЛЯК зоваться уравнением проводимости Ландауэра при отсутствии пе- репада температур на концах проводника. Основные результаты можно было бы сформулировать коротко следующим образом. Все проводники обладают постоянным сопротивлением даже при отсутствии рассеяния электронов. Баллистическое сопротивление есть нижний предел сопротивления независимо от того, насколько мал проводник. Этот баллистический предел сопротивления стано- вится важным даже при работе электронных устройств при ком- натной температуре. Баллистическое сопротивление квантуется, и квантом сопротив- ления является величина h/(2q2). Вся область перехода от баллистического транспорта к диффузи- онному стандартно трактуется в модели ЛДЛ с помощью коэффи- циента прохождения. Резисторы всех размерностей (1D, 2D и 3D) трактуются в форма- лизме ЛДЛ единообразно, а сама трактовка допускает любой вид дисперсии. При изучении электрических свойств любого нового материала, включая наносистемы, начинать следует не с договорённостей (1)– (3), а с уравнения Ландауэра (4). Благодарю проф. Ìарка Лундстрома за возможность прослушать его курс лекций (частично положенный в основу при написании настоящего обзора) на тему ‘Near-Equilibrium Transport: Funda- mentals and Applications’ [15], прочитанный в 2011 году в рамках инициативы Purdue University/nanoHUB-U [www.nanohub.org/u]. Я также благодарен Í. Е. Кругляк за помощь в работе по изго- товлению рисунков. ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Ю. А. Кругляк, Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології, 11, № 3: 519 (2013). 2. R. F. Pierret, Semiconductor Device Fundamentals (Reading, MA: Addison– Wesley: 1996). 3. B. J. van Wees, H. van Houten, C. W. J. Beenakker, J. G. Williamson, L. P. Kouwenhoven, D. van der Marel, and C. T. Foxon, Phys. Rev. Lett., 60: 848 (1988). 4. D. F. Holcomb, Amer. J. Phys., 67, No. 4: 278 (1999). 5. D. Cvijovic, Theoret. Math. Phys., 161, No. 3: 163 (2009). 6. R. Dingle, Appl. Scientific Res., 6, No. 1: 225 (1957). 7. R. Kim and M. S. Lundstrom, Notes on Fermi–Dirac Integrals, www.nanohub.org/resources/5475. 8. M. Lundstrom, Fundamentals of Carrier Transport (Cambridge: Cambridge Univ. Press: 2000). 9. P. Yu and M. Cardona, Fundamentals of Semiconductors. Physics and Materi- als Properties (Berlin: Springer: 2010). http://www.nanohub.org/resources/5475 ОТ БАЛЛИСТИЧЕСКОЙ ПРОВОДИÌОСТИ К ДИÔÔУЗИОÍÍОЙ В ÌОДЕЛИ ЛДЛ 677 10. M. S. Shur, IEEE Electron Dev. Lett., 23, No. 9: 511 (2002). 11. J. Wang and M. Lundstrom, IEEE Trans. Electron Dev., 50, No. 7: 1604 (2003). 12. Í. Ашкрофт, Í. Ìермин, Физика твердого тела (Ìосква: Ìир: 1979). 13. S. Datta, Electronic Transport in Mesoscopic Systems (Cambridge: Cambridge University Press: 2001). 14. Zh. Yao, C. L. Kane, and C. Dekker, Phys. Rev. Lett., 84, No. 13: 2941 (2000). 15. M. Lundstrom and C. Jeong, Near-Equilibrium Transport: Fundamentals and Applications (Hackensack, New Jersey: World Scientific Publishing Company: 2013); www.nanohub.org/resources/11763. http://www.nanohub.org/resources/11763

Ähnliche Einträge