Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков

Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков

Развивается дискретная трёхмерная модель оксидных наноразмерных порошков. Методом гранулярной динамики моделируются процессы одноосного, двухстороннего (радиального), всестороннего (изостатического) прессований, а также уплотнение с одновременным выполнением сдвиговых деформаций и сдвиговые деформ...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2014
Автори: Болтачев, Г.Ш., Волков, Н.Б., Максименко, А.Л., Штерн, М.Б.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2014
Назва видання:Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75971
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков / Г.Ш. Болтачев, Н.Б. Волков, А.Л. Максименко, М.Б. Штерн // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2014. — Т. 12, № 2. — С. 365-382. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-75971
record_format dspace
spelling irk-123456789-759712015-02-07T03:01:25Z Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков Болтачев, Г.Ш. Волков, Н.Б. Максименко, А.Л. Штерн, М.Б. Развивается дискретная трёхмерная модель оксидных наноразмерных порошков. Методом гранулярной динамики моделируются процессы одноосного, двухстороннего (радиального), всестороннего (изостатического) прессований, а также уплотнение с одновременным выполнением сдвиговых деформаций и сдвиговые деформации без уплотнения. Взаимодействие частиц включает упругие силы отталкивания, тангенциальные силы «трения», дисперсионные притяжения, а также возможность образования/разрушения прочных связей химической природы. В пространстве инвариантов тензора напряжений построена поверхность нагружения нанопорошка. Анализируется выполнимость ассоциированного закона течения. Розвинуто дискретну тривимірну модель оксидних нанорозмірних порошків. Методою ґранулярної динаміки модельовано процеси одновісного, двобічного (радіяльного), всебічного (ізостатичного) пресувань, а також ущільнення з одночасним виконанням зсувних деформацій і зсувні деформації без ущільнення. Взаємодія частинок включає пружні сили відштовхування, танґенційні сили «тертя», дисперсійні притягання, а також можливість виникнення/руйнування міцних зв’язків хімічної природи. У просторі інваріянтів тензора напруг побудовано поверхню навантаження нанопорошку. Проаналізовано здійсненність асоційованого закону плинности. Discrete three-dimensional model of oxide nanosize powders is developed. The different processes are simulated by the granular-dynamics method. The processes of the uniaxial and biaxial (radial) pressing, the omniradial (isostatic) compression, the compaction combined with shear deformations as well as the shear deformation without compaction are simulated. The interac- tion of particles involves the elastic repulsion forces, the tangential forces of ‘friction’, the dispersion attraction forces as well as the possibility of formation/destruction of strong chemical bonds. The loading surface of a nanopowder is constructed within the space of the stress-tensor invariants. The associated flow rule is analysed. 2014 Article Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков / Г.Ш. Болтачев, Н.Б. Волков, А.Л. Максименко, М.Б. Штерн // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2014. — Т. 12, № 2. — С. 365-382. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1816-5230 PACSnumbers:61.43.Bn,61.43.Gt,62.23.St,81.07.Wx,83.10.-y,83.60.-a,83.80.Fg http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75971 ru Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Развивается дискретная трёхмерная модель оксидных наноразмерных порошков. Методом гранулярной динамики моделируются процессы одноосного, двухстороннего (радиального), всестороннего (изостатического) прессований, а также уплотнение с одновременным выполнением сдвиговых деформаций и сдвиговые деформации без уплотнения. Взаимодействие частиц включает упругие силы отталкивания, тангенциальные силы «трения», дисперсионные притяжения, а также возможность образования/разрушения прочных связей химической природы. В пространстве инвариантов тензора напряжений построена поверхность нагружения нанопорошка. Анализируется выполнимость ассоциированного закона течения.
format Article
author Болтачев, Г.Ш.
Волков, Н.Б.
Максименко, А.Л.
Штерн, М.Б.
spellingShingle Болтачев, Г.Ш.
Волков, Н.Б.
Максименко, А.Л.
Штерн, М.Б.
Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
author_facet Болтачев, Г.Ш.
Волков, Н.Б.
Максименко, А.Л.
Штерн, М.Б.
author_sort Болтачев, Г.Ш.
title Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков
title_short Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков
title_full Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков
title_fullStr Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков
title_full_unstemmed Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков
title_sort характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков
publisher Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate 2014
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/75971
citation_txt Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков / Г.Ш. Болтачев, Н.Б. Волков, А.Л. Максименко, М.Б. Штерн // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2014. — Т. 12, № 2. — С. 365-382. — Бібліогр.: 16 назв. — рос.
series Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
work_keys_str_mv AT boltačevgš harakternyeosobennostimehaničeskogopovedeniânanorazmernyhporoškov
AT volkovnb harakternyeosobennostimehaničeskogopovedeniânanorazmernyhporoškov
AT maksimenkoal harakternyeosobennostimehaničeskogopovedeniânanorazmernyhporoškov
AT šternmb harakternyeosobennostimehaničeskogopovedeniânanorazmernyhporoškov
first_indexed 2025-07-06T00:21:00Z
last_indexed 2025-07-06T00:21:00Z
_version_ 1836854816557498368
fulltext 365 PACS numbers: 61.43.Bn, 61.43.Gt, 62.23.St, 81.07.Wx, 83.10.-y, 83.60.-a, 83.80.Fg Характерные особенности механического поведения наноразмерных порошков Г. Ш. Болтачев, Н. Б. Волков, А. Л. Максименко*, М. Б. Штерн* Институт электрофизики УрО РАН, ул. Амундсена, 106, 620016 Екатеринбург, Россия *Институт проблем материаловедения им. И. Н. Францевича НАН Украины, ул. Кржижановского, 3, 03680, ГСП, Киев, Украина Развивается дискретная трёхмерная модель оксидных наноразмерных порошков. Методом гранулярной динамики моделируются процессы од- ноосного, двухстороннего (радиального), всестороннего (изостатического) прессований, а также уплотнение с одновременным выполнением сдвиго- вых деформаций и сдвиговые деформации без уплотнения. Взаимодей- ствие частиц включает упругие силы отталкивания, тангенциальные си- лы «трения», дисперсионные притяжения, а также возможность образо- вания/разрушения прочных связей химической природы. В пространстве инвариантов тензора напряжений построена поверхность нагружения нанопорошка. Анализируется выполнимость ассоциированного закона течения. Розвинуто дискретну тривимірну модель оксидних нанорозмірних поро- шків. Методою ґранулярної динаміки модельовано процеси одновісного, двобічного (радіяльного), всебічного (ізостатичного) пресувань, а також ущільнення з одночасним виконанням зсувних деформацій і зсувні дефо- рмації без ущільнення. Взаємодія частинок включає пружні сили відшто- вхування, танґенційні сили «тертя», дисперсійні притягання, а також можливість виникнення/руйнування міцних зв’язків хімічної природи. У просторі інваріянтів тензора напруг побудовано поверхню навантажен- ня нанопорошку. Проаналізовано здійсненність асоційованого закону плинности. Discrete three-dimensional model of oxide nanosize powders is developed. The different processes are simulated by the granular-dynamics method. The processes of the uniaxial and biaxial (radial) pressing, the omniradial (iso- static) compression, the compaction combined with shear deformations as well as the shear deformation without compaction are simulated. The interac- Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2014, т. 12, № 2, сс. 365–382  2014 ІМÔ (Інститут металофізики ім. Г. В. Êурдюмова НАН України) Надруковано в Україні. Ôотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 366 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН tion of particles involves the elastic repulsion forces, the tangential forces of ‘friction’, the dispersion attraction forces as well as the possibility of for- mation/destruction of strong chemical bonds. The loading surface of a na- nopowder is constructed within the space of the stress-tensor invariants. The associated flow rule is analysed. Ключевые слова: нанопорошок, гранулярная динамика, поверхность нагружения, ассоциированный закон течения. (Получено 19 ноября 2013 г.) 1. ВВЕДЕНИЕ Одним из обязательных этапов получения наноструктурированных материалов методами порошковой металлургии является компак- тирование нанопорошков [1]. Механические свойства порошковых тел при этом описывают в рамках феноменологии сплошных сред. В частности, достаточно удобным и мощным инструментом теорети- ческого анализа зарекомендовала себя теория пластично упрочня- ющегося пористого тела [1–3]. Данная теория имеет строгое обосно- вание применительно к процессам спекания или горячего прессо- вания порошков и экспериментально подтверждается для процес- сов холодного компактирования порошков с частицами микронного или большего размеров [1, 4]. В случае наноразмерных порошков, особенно оксидных нанопорошков, частицам которых не свой- ственно пластичное деформирование [5], применимость данной тео- рии — весьма дискуссионная. Во-первых, такие понятия как пре- дел текучести материала и упрочнение приобретают в нанопорош- ках достаточно условный характер. Во-вторых, за рамками фено- менологической теории оказываются специфические особенности механического поведения нанопорошков, такие, например, как размерный эффект в процессах их компактирования. Из экспери- ментальных исследований известно, что порошки нанометрового диапазона уплотняются хуже порошков с более крупными части- цами [5, 6]. Низкую прессуемость нанопорошков связывают с отно- сительно высокой силой адгезионного сцепления их отдельных гранул, что приводит к образованию прочных агрегатов [7]. По- следние исследования [7–10] показывают, что наиболее существен- ным фактором, отвечающим за существование размерного эффекта, являются Ван-дер-Ваальсовы силы дисперсионного притяжения. В данной работе представлены результаты моделирования про- цессов компактирования порошкового материала методом дис- кретных элементов [7–11], который называют также методом гра- нулярной динамики. Высокая степень сферичности и недеформи- руемость отдельных частиц исследуемых нами оксидных нанопо- ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСÊОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОПОРОШÊОВ 367 рошков делают метод гранулярной динамики особенно привлека- тельным и многообещающим инструментом их теоретического ана- лиза. Недеформируемость частиц с размерами 10–100 нм обуслов- лена их бездефектностью: дислокации из них выталкиваются вы- сокими напряжениями «изображений» [12]. Такие частицы дефор- мируются упруго, восстанавливая свою форму после снятия нагрузки. Данная работа является продолжением исследований [8, 9], посвящённых 2D-моделированию. Но здесь, в отличие от [8, 9], численные эксперименты поставлены в 3D-геометрии [10]: частицы сферической формы, одинакового диаметра, обладают как поступа- тельными, так и вращательными степенями свободы. Взаимодей- ствие частиц, помимо широко известных законов контактного вза- имодействия, включает дисперсионные силы притяжения и воз- можность образования/разрушения прочных межчастичных свя- зей. Последние образуются вследствие сильного прижатия частиц друг к другу, что инициируется либо действием высоких дисперси- онных взаимодействий, либо процессом компактирования [10]. 2. МЕТОДИКА РАСЧЁТОВ Модельная ячейка имеет форму прямоугольной призмы с размера- ми xcell, ycell и zcell. Для генерации начальных засыпок используется алгоритм, описанный в [10], который позволяет создавать изотроп- ные и однородные структуры в виде связного 3D-периодического кластера, состоящего их цепочек толщиной в две частицы. Êоличе- ство частиц Np8000, начальная плотность — 00,24. Под плот- ностью  подразумевается относительный объём твёрдой фазы, т.е.  (/6)Npd 3/Vcell, где d — диаметр частиц, Vcell — объём модельной ячейки. На боковых сторонах ячейки используются периодические граничные условия. Деформирование системы осуществляется од- новременным изменением выбранных размеров модельной ячейки и пропорциональным перемасштабированием соответствующих ко- ординат всех частиц. После каждого акта деформирования опреде- ляется новое равновесное положение частиц. Данная процедура со- ответствует воздействию на порошок в квазистатических условиях. Усреднённый по модельной ячейке тензор напряжений ij рас- считывался по известному выражению:      ( ) ( ) cell 1 kl kl ij i j k l f r V , (1) где суммирование выполняется по всем парам взаимодействующих частиц k и l; f (kl) — полная сила, воздействующая на частицу k со стороны частицы l; r (kl) — вектор, соединяющий центры рассматри- ваемых частиц. Силовые характеристики межчастичных взаимо- 368 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН действий описываются соотношениями [10]:           3 2 62 0 2 3 2 2 0 0 ( ) ( ) , 3 ( ) ( ) a nd d f r r r d r d d r ; (2)                       3/2 2 2 ( ) ( / ) 1 ln 1 , 4 (1 2 )(1 )3(1 ) e f r h d h h h d r d dEd ; (3)               24 1 ( ) min ; ; , (2 )(1 ) 2 t e b Ea f f a a hd ; (4)                 3 3 2 0 8 ( ) min ; ( ); , ( ) 2 ( ) 3(1 ) 2 a p p p b n Ea M M a a M a r r dr ; (5)          3 2 4 1 ( ) min ; 3 31 r r r e Ea M af . (6) Здесь модифицированная формула Гамакера (2) определяет силу дисперсионных притяжений fa; модифицированный закон Герца (3) — силу fe упругого отталкивания частиц; линеаризованный закон Êатанео–Миндлина (4) — тангенциальное взаимодействие прижа- тых частиц (силы «трения»); линеаризованный закон Егера (5) (или закон Рейснера–Сагоси) — момент Mp поверхностных сил, возни- кающий при взаимном вращении прижатых частиц вокруг кон- тактной оси на угол p; закон Лурье (6) — момент Mr поверхностных сил, возникающий при изгибе контактной оси на угол r (только при наличии прочной связи между частицами). В представленных соотношениях  и d0 — энергетический и размерный параметры межмолекулярных сил;  — коэффициент, определяющий мини- мальный зазор между соприкасающимися частицами (rd), и устанавливающий, таким образом, максимальную силу адгезион- ного сцепления (fa,maxfa(d)); E и  — модуль Юнга и коэффициент Пуассона частиц соответственно;  — тангенциальное смещение контактной площадки; a — радиус контактной площадки;  — ко- эффициент трения; b — критическое напряжение сдвига, которое характеризует сдвиговую прочность материала; n — нормальные напряжения на контактной поверхности. Появление/разрушение прочной связи между частицами описы- вается с помощью параметра rch, который характеризует необхо- димое прижатие частиц [10]. Принимается, что уменьшение рас- стояния r между центрами частиц до значения rmind  rch иници- ирует образование прочного сцепления. После образования прочной связи между частицами дальнейшее сжатие (при уменьшении r) продолжает соответствовать упругому взаимодействию (3), а при ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСÊОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОПОРОШÊОВ 369 растяжении (увеличение r) имеем линейную взаимосвязь силы fe и расстояния r вплоть до значения rrminrch. При rr вводится частичное разрушение контакта, которое описывается увеличением параметра rmin, так чтобы разность rrmin оставалась равна своему максимальному значению rch. Полное разрушение контакта между частицами происходит при растяжении до значения rd. С появ- лением прочного сцепления между частицами ограничения в соот- ношениях (4) и (5), связанные с коэффициентом трения , снимают- ся. В качестве материала частиц подразумевается оксид алюминия в -фазе, для которого принято [10]: E382 ГПа, 0,25, 3 0 2nd , d00,392 нм; 1224kB, 0,1, rch0,008d, b0,018E. Êак по- казано в [10], модель при этих параметрах удовлетворительно вос- производит данные натурных экспериментов [9] об одноосном ком- пактировании нанопорошков оксида алюминия с характерными размерами частиц d от 10 до 40 нм. В настоящей работе исследуется уплотнение монодисперсной системы с размером частиц d10 нм в различных условиях приложения внешних нагрузок. Êомпьютерные эксперименты выполнены для следующих про- цессов. A. Всестороннее (трёхосное) сжатие: на каждом шаге деформиро- вания модельной ячейки все её размеры одновременно уменьша- лись на 0,1% от текущих значений. При этом тензоры скоростей деформаций eij и напряжений ij являются шаровыми, т.е. eij(e/3)ij, ijzij (ij — символ Êронекера, eSp(eij)). B. Двухосное сжатие по осям Oy и Oz. Тензоры скоростей дефор- маций eij и напряжений ij характеризуются значениями: exx0, eyyezze/2; xxyyzz. Для интенсивности девиатора eij имеем   1/ 6e , а для интенсивности девиатора тензора напряжений —      2 /3 xx zz . С. Одноосное сжатие вдоль оси Oz: exxeyy0, ezze; zz0, xxyyt;   2 / 3e ,      2 /3 t zz . D. Сжатие с одновременным приложением сдвиговой деформа- ции: на каждом шаге деформирования производилось одновремен- ное сжатие по направлению Oz (величина zcell уменьшается на 0,1% от текущего значения) и растяжение по направлению Oy (величина ycell увеличивается на 0,05% от текущего значения). Тензор скоро- стей деформаций характеризуется значениями: exx0, eyye, ezz2e;   14 / 3e . E. Сдвиговое деформирование модельной ячейки при неизмен- ном объёме. Здесь на каждом шаге деформирования одновременно 370 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН уменьшалась величина zcell и увеличивалась величина ycell (на 0,1% от текущих значений): exx0, eyyezz;   2 zz e . 3. ВЫДЕЛЕНИЕ «УПРУГО-ОБРАТИМОГО» ВКЛАДА В расчётах со сжатием (процессы A–D) уплотнение модельной ячейки выполнялось до заданного уровня pmax внешней нагрузки вдоль оси Oz. Затем осуществлялась разгрузка модельной ячейки, в ходе которой ячейка расширялась по всем направлениям со скоро- стями, пропорциональными соответствующим напряжениям:   ii ii e . Данная стадия (упругая разгрузка) характеризуется изме- нением плотности el. Êонечно, сброс давления помимо чисто упругой разгрузки межчастичных контактов сопровождается так- же необратимыми процессами относительного перемещения ча- стиц. Поэтому название этих стадий «упругими» достаточно услов- но и предполагает лишь то, что упругие процессы здесь преоблада- ют. Расчёты по упругой разгрузке выполнены для значений pmax0,025, 0,05, 0,1, 0,2, 0,3, 0,5, 0,7, 1, 1,5, 2, 3, 4 и 5 ГПа. Взаи- мосвязь между приложенным внешним давлением poutzz и вели- чиной el аппроксимирована выражениями:              22 3 out 1 2 el 3 el 4 el 5 elel p s s s s s . (7) Êоэффициенты аппроксимаций для анализируемых нами условий представлены в табл. Предложенные аппроксимации описывают расчётные данные с погрешностью, не превышающей погрешность статистического усреднения (см. рис. 1; каждый из расчётов состо- ял из 10 независимых компьютерных экспериментов). Полученные зависимости (7) позволяют выделить из общей де- формации модельной ячейки упруго-обратимую часть (el) и полу- чить в чистом виде необратимую (пластическую) составляющую, которая характеризуется разгрузочной плотностью материала u. Зависимость разгрузочной плотности от внешнего давления для анализируемых условий прессования представлена на рис. 2. Там же для сравнения представлены исходные зависимости p(pout), со- ТАБЛИЦА. Êоэффициенты аппроксимаций (7) для различных условий прессования (процессы A, B, C и D). Процесс s1 s2 s3 s4 s5 A 17,7 118,7 89 0,015 0,032 B 18,9 129,2 106 0,010 0,025 C 21,9 168,5 0 0,004 0,015 D 25,2 159,8 0 0 0 ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСÊОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОПОРОШÊОВ 371 держащие упругий вклад (puel). Интересно отметить, что все представленные зависимости достаточно близки друг к другу, мак- симальное различие по разгрузочной плотности не превышает 1– 2%. В гипотетическом пределе неограниченно высоких давлений (p) разгрузочная плотность порошка составляет порядка 65% (см. вставку на рис. 2). Среднее координационное число k моделируемой системы после Рис. 1. Изменение плотности на стадии упругой разгрузки в зависимости от внешнего давления poutzz. Точки — результаты компьютерных экс- периментов, линии — аппроксимации по уравнению (7) для процессов A (сплошные линии), B (штриховые), C (пунктирные) и D (штрихпунктир- ные). На вставке: область малых давлений в увеличенном масштабе. Рис. 2. Зависимость плотности p (под давлением) /1/ и разгрузочной плотности u /2/ от внешнего давления для процессов A–D (обозначения линий те же, что и на рис. 1). На вставке: разгрузочная плотность в зави- симости от величины 1/2 out p . 372 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН разгрузки от pmax5 ГПа, как показывают выполненные расчёты, для процессов A–D лежит в интервале 6,3–6,4. Таким образом, можно заключить, что после разгрузки от высоких значений внеш- него давления (pout5 ГПа) исследуемая система по своим характе- ристикам близка к RCP (Random Close Packing) структурам, для которых RCP0,64, k6. На кривых уплотнения u(pout) можно выделить три качествен- ных стадии (I, II и III), известных по натурным [13] и компьютер- ным 2D [14] экспериментам об уплотнении микронных порошков. На I-й стадии плотность слабо зависит от давления. Здесь внешней нагрузки недостаточно для преодоления первоначального сцепле- ния частиц. На II-й стадии наблюдается интенсивное уплотнение по закону   out ln( )p . Здесь происходят основные процессы пере- группировки в расположении частиц. На III-й стадии разгрузочная плотность порошка выходит на некоторое максимальное значение u,max (порядка 65%). Расчёты показывают (см. вставку на рис. 2), что здесь     2 out ,max 1/ ( ) u u p . Отметим, что при моделировании двухмерных структур соответствующий показатель степени равен единице [14, 15], что позволяет предположить в общем случае     1 out ,max 1/ ( ) D u u p , где D — размерность пространства. 4. СДВИГОВОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ ПРИ ПОСТОЯННОМ ОБЪЁМЕ (ПРОЦЕСС E) При моделировании сдвиговых деформаций начальные размеры модельной ячейки устанавливались равными xcellycellLn, zcellnz Ln (nz3, 4 или 5; LnL0). Затем осуществлялось всестороннее од- нородное сжатие модельной ячейки до заданных размеров (LnL0), что позволяло получить порошковую структуру с необходимой начальной плотностью 0, и разгрузка напряжений (незначитель- ное обратное расширение ячейки). После этого выполнялся процесс сдвиговой деформации: по оси Oz модельная ячейка сжималась, а по оси Oy растягивалась, так чтобы объём оставался неизменным. Этот процесс прекращался при достижении значения zcellL0, после чего осуществлялась повторная разгрузка напряжений до нуля. Данные расчёты выполнены для 12 наборов параметров (nz, L0/d, Np/1000): 5, 12, 6 /1/; 4, 12, 5 /2/; 4, 12, 6 /3/; 4, 12, 7 /4/; 4, 12, 8 /5/; 4, 12, 9 /6/; 3, 13, 4.5 /7/; 3, 13, 5 /8/; 3, 13, 6 /9/; 3, 13, 7 /10/; 3, 13, 8 /11/; 3, 15, 8 /12/. Отметим, что в отличие от процессов с уплотнением модельной ячейки (A–D), величины изменения плот- ности на стадиях разгрузки для процесса E были пренебрежимо ма- лыми. На рисунке 3 продемонстрирован характер изменения интенсив- ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСÊОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОПОРОШÊОВ 373 ности девиатора напряжений  в зависимости от величины ycell. Видно, что для набора параметров /7/ (линия 1) длительности мо- делируемого процесса, т.е. величины nz, недостаточно для уверен- ного выхода на критическое (стационарное) состояние. Отметим, что данный набор соответствует начальной плотности 035,2%. Увеличение начальной плотности способствует более быстрому вы- ходу на стационарное состояние. Так, для набора /4/ (линия 3) 051,0%, и состояние модельной ячейки практически сразу же выходит на постоянные значения. Для определения значений, ха- рактеризующих критическое состояние, зависимости от ycell всех анализируемых параметров на интервале ycell(20d, znL0) были ап- проксимированы выражением    2 3 cell 1 cell 2 cell ( ) c f y f f y f y . Получен- ные таким образом критические значения гидростатического дав- ления pc и интенсивности девиатора напряжений c в зависимости от плотности порошкового тела представлены на рис. 4. Расчётные точки удовлетворительно аппроксимируются рядами:                  3 3 /4 /4 lim lim 1 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) i i c i c i i i p p , (8) с коэффициентами: lim0,74; 11,294, 22,053, 30,888; p13,328, p25,267, p32,096. Рисунок 4 показывает, что исследуемые структуры (оксидные нанопорошки) обладают заметной положительной дилатансией. В условиях чисто сдвиговых напряжений они стремятся увеличить свой объём. В нашем случае это проявляется в положительных зна- чениях гидростатического давления. С ростом плотности дилатан- Рис. 3. Интенсивность девиатора напряжений в зависимости от ширины модельной ячейки в ходе сдвиговой деформации (процесс E) для парамет- ров (nz, L0/d, Np/1000)(3, 13, 4,5) — линия 1, (4, 12, 6) — линия 2 и (4, 12, 7) —линия 3. 374 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН сия усиливается. Так, если при 50% давление pc существенно ниже уровня касательных напряжений c, то при высоких плотно- стях (60%) мы уже имеем pcc. 5. ПОВЕРХНОСТЬ НАГРУЖЕНИЯ Êлючевым параметром порошкового тела при описании его меха- нических свойств в рамках континуального подхода является по- верхность нагружения, которая определяет границу инициирова- ния процессов пластично-необратимого деформирования. В отли- чие от сплошных тел поверхность нагружения порошка определя- ется не только интенсивностью девиатора напряжений (), но и зна- чением первого инварианта тензора напряжений (p). А её положе- ние на плоскости p– зависит от текущей плотности (или пористо- сти ), переходя в пределе 0 в условие текучести сплошного ма- териала. В частности, для пористых тел теоретически обоснованной является поверхность нагружения эллиптического типа [1–4]:            2 2 2 0 0 (1 ) ( ) ( ) ( ) p , (9) где 0 — предел текучести твёрдой фазы; 0 — эффективная дефор- мация формоизменения в ней: Рис. 4. Êритические значения интенсивности девиатора напряжений c (тёмные точки, сплошная линия) и гидростатического давления pc (свет- лые точки, штриховая линия), характеризующие процесс сдвиговой де- формации (E), в зависимости от плотности модельной системы. Точки — данные компьютерных экспериментов, линии — аппроксимации по урав- нению (8). ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСÊОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОПОРОШÊОВ 375              2 2 2 0 0 0 , (1 ) ( ) ( )dt e , (10) e и  — шпур и интенсивность девиатора макроскопического тензо- ра скоростей деформаций, соответственно, а функции пористости  и  устанавливаются в рамках гидродинамической аналогии теории упругости [16]. Закон упрочнения 0(0) должен устанавливаться эмпирически, например, по экспериментальным кривым одноосно- го сжатия. Характер деформирования при достижении напряже- ниями поверхности (9) определяется в соответствие с ассоцииро- ванным законом, который требует ортогональности вектора скоро- стей деформаций в пространстве напряжений к поверхности нагружения [1]. Это приводит к требованию соосности девиаторов тензоров eij и ij, а также, применительно к поверхности вида (9), к скалярному соотношению:    e p . (11) Соотношения (9) и (11) позволяют для заданных условий дефор- мирования выразить любой из компонентов тензора напряжений как функцию плотности (пористости). Так, в случае анализируе- мых нами процессов для осевого давления poutzz имеем:               0 out 0 0 0 3/2 : 1 ( ) , , (1 ) d A p (12)                   0 out 0 0 0 3/2 1 1 : 1 ( ) , , 6 6 (1 ) d B p (13)                   0 out 0 0 0 3/2 2 2 : 1 ( ) , , 3 3 (1 ) d C p (14)                      0 out 0 0 0 3/2 5 / 3 14 : 1 ( ) , . 3 (1 )14 / 3 d D p (15) Записанные выражения показывают, что зависимость pout() должна существенно зависеть от условий прессования. Определе- ние закона упрочнения 0(0) по кривой одноосного прессования (процесс C) даёт в соответствие с уравнениями (12) и (14) различия по плотности порядка 10% при давлении pout100 МПа [14]. Рас- чётные же кривые на рис. 2 демонстрируют при этом давлении на порядок меньшее различие по плотности — порядка 1%. Неприме- нимость поверхности нагружения (9) к моделируемой нами системе также подтверждается выявленным в предыдущем разделе эффек- том дилатансии. Симметричность поверхности (9) относительно де- виаторной оси предполагает отсутствие дилатансии. В частности, 376 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН уравнение (11) показывает, что при условии e0 (сдвиговые де- формации без уплотнения) величина p также должна обращаться в ноль. Таким образом, выявленная несовместимость механических свойств моделируемой системы, представленных на рис. 2 и 4, с по- верхностью нагружения (9) обуславливает необходимость поиска поверхности нагружения более сложной формы. Рисунок 5 демонстрирует кривые монотонного нагружения ис- следованных процессов (A–D) в пространстве инвариантов тензора напряжений, а также зависимость c(pc) процесса E. Точками на этих кривых отмечены состояния, соответствующие фиксирован- ным значениям разгрузочной плотности u. Видим, что расположе- ние этих точек требует, по крайней мере, сдвига эллипса нагруже- ния в область положительных значений p. В связи с этим, предста- вим уравнение поверхности нагружения в виде:       2 2 0 1 2 0 ( ) ( ) ( , )p p q q . (16) В первом приближении можно предположить, что все три неиз- вестные параметры (p0, q1 и q2) зависят только от пористости. Тогда не составляет труда определить их по любым трём точкам, соответ- ствующим фиксированному значению пористости. На рисунке 5 показаны построенные таким образом поверхности нагружения для значений плотности u0,60 и 0,62 (штриховые линии). При их по- строении использованы точки для процессов A, B и C. Видим, что продолжения построенных эллипсов не достигают соответствую- Рис. 5. Зависимость интенсивности девиатора напряжений от гидростати- ческого давления. Сплошные линии: кривые монотонного нагружения для процессов A–D (линия A совпадает с осью абсцисс) и линия c(pc) про- цесса E. Пунктирные линии: поверхность нагружения (17) при фиксиро- ванных значениях плотности u40, 50, 55, 58, 59, 60, 60,5, 61, 61,4, 61,8, 62 и 62,2%. Штриховые линии: поверхность нагружения (16) при значениях u60 и 62%. ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСÊОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОПОРОШÊОВ 377 щих точек D и E. Последнее можно связать с пренебрежением зави- симостью параметра q2 от меры накопленных деформаций. Переход от процесса A (всестороннее уплотнение) к кривым (p) процессов B, …, E вдоль линий постоянной плотности сопровождается ростом значений 0, что должно увеличивать «размер» эллипса. Это гово- рит о принципиальной возможности описания всех представлен- ных процессов поверхностью типа «сдвинутый эллипс» (16). С целью опосредованного учёта зависимости параметра q2 от условий компактирования была использована следующая аппрок- симация поверхности нагружения:            2 2 2 0 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) m A A p p q p p p p . (17) Здесь pA — значение p на A-линии, т.е. максимальное значение p для заданной плотности; p0, q1,  и m — параметры, зависящие от плот- ности (пористости). Данная аппроксимация за счёт второго слагае- мого в квадратных скобках учитывает увеличение «размеров» эл- липса при переходе от A-процесса к B, C и т.д. Результат примене- ния формулы (16) представлен на рис. 5 (сплошные линии). При этом для всех значений плотности принято p00,7pA, а оставшиеся параметры определялись из условия наилучшего описания точек B, C, D и E. Рисунок 5 показывает, что аппроксимация (17) позволяет достаточно точно воспроизвести все расчётные точки, кроме линии E (чистый сдвиг). До попадания в соответствующую точку на кри- вой E-процесса линия постоянной плотности пересекает кривую E в области более высоких значений плотности. Последнее, по-видимо- му, свидетельствует об окончании поверхности нагружения в окрестности E-линии. В частности, можно отождествить E-линию с границей разрушения моделируемой системы, что качественно со- гласуется с данными [11] о расположении этой границы. 6. АССОЦИИРОВАННЫЙ ЗАКОН Построенная в предыдущем разделе поверхность нагружения поз- воляет выполнить детальную проверку применимости ассоцииро- ванного закона к описанию поведения наноразмерных порошков. Одним из следствий ассоциированного закона является соосность девиаторов тензоров напряжений и скоростей деформаций, т.е.    ij ij . Нетрудно убедиться, что в случаях A, B и C выполнимость соосности гарантирована условиями симметрии: равенство напря- жений по направлениям с одинаковой скоростью деформации. По- следнее нетрудно обосновать в общем случае. Пусть главные оси двух тензоров совпадают (т.е., применительно к нашему случаю, материал изотропен), и произвольные два главных компонента равны. Возьмём для определённости 123 и e1e2e3. Тогда 378 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН компоненты девиаторов данных тензоров таковы, что 123/2 и 123/2, т.е. они соосны. В случаях D (сжатие со сдвигом) и E (чистый сдвиг) соосность де- виатора напряжений девиатору скоростей деформаций приводит к необходимости определённых соотношений между компонентами тензора напряжений:    (ass) (ass) : (2 ) / 3 ; : ( ) / 2 . x y z x y z D p p p E p p p (18) Рисунок 6 демонстрирует достаточно хорошее совпадение рас- чётных значений px с величиной px (ass) в случае D-процесса, что мож- но расценивать как подтверждение ассоциированного закона. Так, при pz5 ГПа различие величин px и px (ass) составляет порядка 4%. Данное различие во всем интервале давлений существенно ниже разностей между отдельными компонентами тензора напряжений (см. вставку на рис. 6). В случае процесса E различие между px и px (ass) несколько выше. Оно достигает 13% от разницы pzpy. Последнее может быть связано с особым статусом процесса E, что обсуждалось в предыдущем разделе: близость, или даже отождествление, про- цесса E с границей разрушения порошкового тела. Другим следствием ассоциированного закона, наряду с соосно- стью тензоров ij и ij, является ортогональность вектора (e, ), кото- рый задаёт «направление» процесса деформирования, к поверхно- сти нагружения на p–-плоскости. В частности, для поверхности Рис. 6. Расчётные значения напряжений по оси Ox (pxxx, сплошные линии) и значения, соответствующие ассоциированному закону ( (ass) x p по уравнению (18), штриховые линии). Показаны линии монотонного нагру- жения до pz5 ГПа и упругой разгрузки. На вставке: расчётные значения px /1/, py /2/ и pz /3/ в области малых давлений. ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСÊОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОПОРОШÊОВ 379 эллиптического типа (9) это приводит к скалярному соотношению (11). Поверхность нагружения, соответствующая плотности 62%, и векторы (e, ), характеризующие исследованные процессы A–E, представлены на рис. 7 (здесь положительные значения e соответ- ствуют уплотнению). Видим, что ортогональность к поверхности нагружения наблюдается только в тривиальном случае всесторон- него сжатия (совпадающая с осью абсцисс линия A). Все остальные векторы заметно отклоняются от нормали в сторону больших зна- чений e, т.е. при реализуемых напряжениях материал в сравнении с ассоциированным законом демонстрирует слишком сильное уплотнение. Так, положение точек D на поверхности нагружения, в частности, меньшие значения  в этом D-процессе по сравнению с одноосным сжатием (C), свидетельствует о необходимости раз- уплотнения. Это принципиально противоречит выполненным чис- ленным экспериментам, в которых процесс D соответствует повы- шению плотности. Таким образом, в силу нарушения одного из следствий ассоции- рованного закона (ортогональность вектора (e, ) к поверхности нагружения) можно констатировать его неприменимость к описа- нию механических свойств оксидных нанопорошков. 7. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Перечислим основные результаты выполненного исследования. 1. Построена дискретная модель порошкового тела, которая надёжно воспроизводит экспериментальные данные о механиче- ском поведении оксидных наноразмерных порошков. В частности, теоретическая модель удовлетворительно описывает такие нюансы Рис. 7. Зависимость интенсивности девиатора напряжений от гидростати- ческого давления. Сплошные линии соответствуют процессам A–E, пунк- тирная линия — поверхность нагружения (17) при значении u62%. Стрелки изображают вектора (e, ), определяющие «направление» дефор- маций в процессах A–E (здесь положительное значение e соответствует уплотнению). 380 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН поведения исследуемых объектов, как размерные эффекты в про- цессах компактирования, и слабую чувствительность кривых уплотнения к условиям организации процесса (одноосное прессова- ние, всестороннее и т.д.). 2. Методом гранулярной динамики промоделированы квазиста- тические процессы одноосного сжатия, двухстороннего, всесторон- него, и сжатия с одновременным сдвиговым деформированием мо- дельной ячейки. В общей деформации модельной системы выделе- ны упруго-обратимый вклад, связанный преимущественно с упру- гой деформацией отдельных частиц, и пластично-необратимый вклад, связанный с взаимными перемещениями частиц. Пластич- ная часть деформации характеризуется разгрузочной плотностью u. Обнаружено, что при уплотнении от одинакового значения плотности (024%) в координатах ‘ln(pout)–u’, где pout — внешнее давление со стороны основного нагружения, кривые всех исследо- ванных процессов близки друг к другу. Различия по плотности не превышают 2%. Êонечное состояние порошка в области высоких давлений близко к характеристикам RCP-структур (плотность RCP64%, координационное число kRCP6). На кривых уплотне- ния pout(u) можно выделить три режима: 1) стадия незначительного изменения плотности с ростом давления, когда внешнего воздей- ствия недостаточно для преодоления начального сцепления частиц; 2) стадия «логарифмического» уплотнения (  out ln( )p ), когда происходит интенсивная переупаковка частиц; 3) стадия выхода плотности на некоторое максимальное значение max. Для режима 3 установлена зависимость     2 max 1/ ( )p . 3. Промоделировано поведение оксидных нанопорошков при сдвиговой деформации модельной ячейки. Здесь обнаружен эффект положительной дилатансии: в условиях чисто сдвиговых напряже- ний модельная система стремится увеличить свой объём. В выпол- ненных компьютерных экспериментах (при постоянном объёме) это проявляется в положительных значениях гидростатического дав- ления pc. С ростом плотности дилатансия усиливается. Так, если при 50% давление pc существенно ниже уровня касательных на- пряжений c, то при высоких плотностях (60%) обнаружено pcc. 4. Предложена аппроксимационная формула для поверхности нагружения моделируемой системы. Установлено, что данная по- верхность близка к эллиптическому типу. Однако, эллипс нагру- жения на плоскости p– смещён в область положительных значений p, а его форма определяется не только пористостью порошка, но и характером выполняемых процессов. Предложенная аппроксима- ция поверхности нагружения позволяет удовлетворительно вос- произвести все исследованные процессы, за исключением сдвиго- вых деформаций модельной ячейки (процесс E). Обнаружено, что ОСОБЕННОСТИ МЕХАНИЧЕСÊОГО ПОВЕДЕНИЯ НАНОПОРОШÊОВ 381 до попадания в соответствующую точку на кривой данного процесса (в пространстве p–) линия постоянной плотности пересекает кри- вую E в области более высоких значений плотности. Последнее мо- жет свидетельствовать об окончании поверхности нагружения в окрестности E-линии. На основании этого сделан вывод, что кри- вую E-процесса можно отождествить с границей разрушения моде- лируемой системы. 5. Обнаружена неприменимость ассоциированного закона к опи- санию механических свойств оксидных нанопорошков. При этом одно из следствий ассоциированного закона — соосность девиаторов тензоров напряжений и скоростей деформаций — остаётся в силе. А второе следствие — ортогональность векторов (e, ) к поверхности нагружения на плоскости p– — нарушается. Работа выполнена при финансовой поддержке РÔÔИ (проект № 12-08-00298). ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. М. Б. Штерн, Г. Г. Сердюк, Л. А. Максименко, Ю. В. Трухан, Ю. М. Шуляков, Феноменологические теории прессования порошков (Êиев: Наукова думка: 1982). 2. E. A. Olevsky, G. Timmermans, M. B. Shtern, L. Froyen, and L. Delaey, Powder Technology, 93: 127 (1997). 3. A. L. Maximenko, E. A. Olevsky, and M. B. Shtern, Comput. Mat. Science, 43: 704 (2008). 4. Е. А. Олевский, М. Б. Штерн, Порошковая металлургия, 7–8: 35 (2004). 5. В. П. Ôилоненко, Л. Г. Хвостанцев, Р. Х. Баграмов, Л. И. Трусов, В. И. Новиков, Порошковая металлургия, 4: 16 (1992). 6. М. И. Алымов, Порошковая металлургия нанокристаллических материа- лов (Москва: Наука: 2007). 7. A. Balakrishnan, P. Pizette, C. L. Martin, S. V. Joshi, and B. P. Saha, Acta Ma- terialia, 58: 802 (2010). 8. Г. Ш. Болтачев, Н. Б. Волков, ЖТФ, 81, вып. 7: 18 (2011). 9. Г. Ш. Болтачев, Н. Б. Волков, А. С. Êайгородов, В. П. Лознухо, Российские нанотехнологии, 6, № 9–10: 125 (2011). 10. G. Sh. Boltachev, K. E. Lukyashin, V. A. Shitov, and N. B. Volkov, Phys. Rev. E, 88: 012209 (2013). 11. P. Pizette, C. L. Martin, G. Delette, P. Sornay, and F. Sans, Powder Technolo- gy, 198: 240 (2010). 12. В. Г. Грязнов, А. М. Êапрелов, А. Е. Романов, Письма в ЖТФ, 15, вып. 2: 39 (1989). 13. A. Castellanos, Advances in Physics, 54, No. 4: 263 (2005). 14. F. A. Gilabert, J.-N. Roux, and A. Castellanos, Phys. Rev. E, 78: 031305 (2008). 15. Г. Ш. Болтачев, Н. Б. Волков, Порошковая металлургия, 51, Nos. 5–6: 12 (2012). 16. В. В. Скороход, Реологические основы теории спекания (Êиев: Наукова думка: 1972). 382 Г. Ш. БОЛТАЧЕВ, Н. Б. ВОЛÊОВ, А. Л. МАÊСИМЕНÊО, М. Б. ШТЕРН REFERENCES 1. M. B. Shtern, G. G. Serdyuk, L. A. Maksimenko, Yu. V. Trukhan, Yu. M. Shulyakov, Phenomenological Theories of Pressing of Powders (Kiev: Naukova Dumka: 1982) (in Russian). 2. E. A. Olevsky, G. Timmermans, M. B. Shtern, L. Froyen, and L. Delaey, Powder Technology, 93: 127 (1997). 3. A. L. Maximenko, E. A. Olevsky, and M. B. Shtern, Comput. Mat. Science, 43: 704 (2008). 4. E. A. Olevskij and M. B. Shtern, Poroshkovaya Metallurgiya, 7–8: 35 (2004) (in Russian). 5. V. P. Filonenko, L. G. Khvostantsev, R. Kh. Bagramov, L. I. Trusov, and V. I. Novikov, Poroshkovaya Metallurgiya, 4: 16 (1992) (in Russian). 6. M. I. Alymov, Powder Metallurgy of Nanocrystalline Materials (Moscow: Nau- ka: 2007) (in Russian). 7. A. Balakrishnan, P. Pizette, C. L. Martin, S. V. Joshi, and B. P. Saha, Acta Ma- terialia, 58: 802 (2010). 8. G. Sh. Boltachev, N. B. Volkov, Zhurn. Tekh. Fiz., 81, Iss. 7: 18 (2011) (in Rus- sian). 9. G. Sh. Boltachev, N. B. Volkov, A. S. Kaygorodov, and V. P. Loznukho, Ros- siyskie Nanotekhnologii, 6, Nos. 9–10: 125 (2011) (in Russian). 10. G. Sh. Boltachev, K. E. Lukyashin, V. A. Shitov, and N. B. Volkov, Phys. Rev. E, 88: 012209 (2013). 11. P. Pizette, C. L. Martin, G. Delette, P. Sornay, and F. Sans, Powder Technolo- gy, 198: 240 (2010). 12. V. G. Gryaznov, A. M. Kaprelov, and A. E. Romanov, Pis’ma v ZhTF, 15, Iss. 2: 39 (1989) (in Russian). 13. A. Castellanos, Advances in Physics, 54, No. 4: 263 (2005). 14. F. A. Gilabert, J.-N. Roux, and A. Castellanos, Phys. Rev. E, 78: 031305 (2008). 15. G. Sh. Boltachev and N. B. Volkov, Poroshkovaya Metallurgiya, 51, Nos. 5–6: 12 (2012) (in Russian). 16. V. V. Skorokhod, Rheological Fundamentals of the Theory of Sintering (Kiev: Naukova Dumka: 1972) (in Russian).

Схожі ресурси