Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур
Аналізуються необхідні термодинамічні умови появи шаруватих структур при неодноріднім розподілі домішкових цупких кулястих частинок у мезоморфнім середовищі. Використовуються метода статичних флюктуаційних хвиль та наближення самоузгодженого поля в моделю квазиґратницевого газу. Вважається, що за ф...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
2008
|
| Назва видання: | Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76083 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур / А.В. Клещонок, В.Ю. Решетняк, В.А. Татаренко // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 2. — С. 635-667. — Бібліогр.: 52 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-76083 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-760832015-10-31T09:33:02Z Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур Клещонок, А.В. Решетняк, В.Ю. Татаренко, В.А. Аналізуються необхідні термодинамічні умови появи шаруватих структур при неодноріднім розподілі домішкових цупких кулястих частинок у мезоморфнім середовищі. Використовуються метода статичних флюктуаційних хвиль та наближення самоузгодженого поля в моделю квазиґратницевого газу. Вважається, що за формування структур відповідає залежна від зовнішніх умов далекосяжна непряма взаємодія між домішковими частинками, що індукується інтерференцією статичних полів викривлення директора. Такий підхід дозволяє оцінити температуру, за якої можуть з’являтися модульовані структури, та їх просторовий період. Necessary thermodynamic conditions of appearance of modulated lamellarstructures within the framework of the non-uniform distribution of impurity rigid-ball-like particles intruded into the mesomorphic host medium are analyzed. The method of static fluctuation waves and the self-consistent-field approximation within the quasi-lattice-gas model are used. The externalcondition-dependent long-range indirect elastically-controlled interaction between impurity particles is induced by an interference of static directorfield curvatures and is considered as being responsible for the formation of superstructures. Such approach allows estimating the temperature of formation of the possible modulated structures and their spatial period. Анализируются необходимые термодинамические условия появления слоистых структур при неоднородном распределении примесных жестких шаровых частиц в мезоморфной среде. Применяются метод статических флуктуационных волн и приближение самосогласованного поля в модели квазирешеточного газа. Считается, что за формирование структур отвечает зависимое от внешних условий дальнодействующее взаимодействиемежду примесными частицами, которое индуцируется интерференцией статических полей искривления директора. Такой подход позволяет оценить температуру, при которой могут появляться модулированные структуры, и их пространственный период. 2008 Article Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур / А.В. Клещонок, В.Ю. Решетняк, В.А. Татаренко // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 2. — С. 635-667. — Бібліогр.: 52 назв. — укр. 1816-5230 PACS numbers: 05.50.+q,05.65.+b,61.30.Dk,61.30.Gd,61.30.Jf,61.30.Pq,82.70.Kj http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76083 uk Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Аналізуються необхідні термодинамічні умови появи шаруватих структур при неодноріднім розподілі домішкових цупких кулястих частинок у
мезоморфнім середовищі. Використовуються метода статичних флюктуаційних хвиль та наближення самоузгодженого поля в моделю квазиґратницевого газу. Вважається, що за формування структур відповідає залежна від зовнішніх умов далекосяжна непряма взаємодія між домішковими частинками, що індукується інтерференцією статичних полів викривлення директора. Такий підхід дозволяє оцінити температуру, за якої
можуть з’являтися модульовані структури, та їх просторовий період. |
| format |
Article |
| author |
Клещонок, А.В. Решетняк, В.Ю. Татаренко, В.А. |
| spellingShingle |
Клещонок, А.В. Решетняк, В.Ю. Татаренко, В.А. Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| author_facet |
Клещонок, А.В. Решетняк, В.Ю. Татаренко, В.А. |
| author_sort |
Клещонок, А.В. |
| title |
Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур |
| title_short |
Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур |
| title_full |
Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур |
| title_fullStr |
Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур |
| title_full_unstemmed |
Нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур |
| title_sort |
нестабільність домішконаповнених мезофаз щодо утворення модульованих структур |
| publisher |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76083 |
| citation_txt |
Нестабільність домішконаповнених мезофаз
щодо утворення модульованих структур / А.В. Клещонок, В.Ю. Решетняк, В.А. Татаренко // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2008. — Т. 6, № 2. — С. 635-667. — Бібліогр.: 52 назв. — укр. |
| series |
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| work_keys_str_mv |
AT kleŝonokav nestabílʹnístʹdomíškonapovnenihmezofazŝodoutvorennâmodulʹovanihstruktur AT rešetnâkvû nestabílʹnístʹdomíškonapovnenihmezofazŝodoutvorennâmodulʹovanihstruktur AT tatarenkova nestabílʹnístʹdomíškonapovnenihmezofazŝodoutvorennâmodulʹovanihstruktur |
| first_indexed |
2025-07-06T00:33:18Z |
| last_indexed |
2025-07-06T00:33:18Z |
| _version_ |
1836855590054264832 |
| fulltext |
635
PACS numbers: 05.50.+q, 05.65.+b, 61.30.Dk, 61.30.Gd, 61.30.Jf, 61.30.Pq, 82.70.Kj
Нестабільність домішконаповнених мезофаз
щодо утворення модульованих структур
А. В. Клещонок, В. Ю. Решетняк, В. А. Татаренко*
Київський національний університет ім. Тараса Шевченка,
фізичний факультет, кафедра теоретичної фізики,
вул. Акад. Глушкова, 2/1,
03022 Київ-22, Україна
*Інститут металофізики ім. Г. В. Курдюмова НАН України,
бульв. Акад. Вернадського, 36,
03680, МСП, Київ-142, Україна
Аналізуються необхідні термодинамічні умови появи шаруватих струк-
тур при неодноріднім розподілі домішкових цупких кулястих частинок у
мезоморфнім середовищі. Використовуються метода статичних флюктуа-
ційних хвиль та наближення самоузгодженого поля в моделю квазиґрат-
ницевого газу. Вважається, що за формування структур відповідає зале-
жна від зовнішніх умов далекосяжна непряма взаємодія між домішкови-
ми частинками, що індукується інтерференцією статичних полів викрив-
лення директора. Такий підхід дозволяє оцінити температуру, за якої
можуть з’являтися модульовані структури, та їх просторовий період.
Necessary thermodynamic conditions of appearance of modulated lamellar-
structures within the framework of the non-uniform distribution of impurity
rigid-ball-like particles intruded into the mesomorphic host medium are ana-
lyzed. The method of static fluctuation waves and the self-consistent-field
approximation within the quasi-lattice-gas model are used. The external-
condition-dependent long-range indirect elastically-controlled interaction
between impurity particles is induced by an interference of static director-
field curvatures and is considered as being responsible for the formation of
superstructures. Such approach allows estimating the temperature of forma-
tion of the possible modulated structures and their spatial period.
Анализируются необходимые термодинамические условия появления
слоистых структур при неоднородном распределении примесных жестких
шаровых частиц в мезоморфной среде. Применяются метод статических
флуктуационных волн и приближение самосогласованного поля в модели
квазирешеточного газа. Считается, что за формирование структур отвеча-
ет зависимое от внешних условий дальнодействующее взаимодействие
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies
2008, т. 6, № 2, сс. 635—667
© 2008 ІМФ (Інститут металофізики
ім. Г. В. Курдюмова НАН України)
Надруковано в Україні.
Фотокопіювання дозволено
тільки відповідно до ліцензії
636 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
между примесными частицами, которое индуцируется интерференцией
статических полей искривления директора. Такой подход позволяет оце-
нить температуру, при которой могут появляться модулированные струк-
туры, и их пространственный период.
Ключові слова: домішконаповнені рідкі кристали, модульовані структу-
ри, пружня взаємодія, мікронеоднорідності густини, втрата стійкости.
(Отримано 5 лютого 2008 р.)
1. ВСТУП
В останній час багато уваги приділяється ріжноманітним суспензі-
ям та кольоїдам на основі нематичних рідких кристалів (НРК). Такі
матеріяли мають усі властивості, що притаманні рідкокристалічній
фазі; разом з тим, можлива нетривіяльна поведінка системи домі-
шок: створення модульованих структур, що значно впливатимуть
на фізичні властивості всієї системи. Вже виконано багато теорети-
чних та експериментальних робіт, де досліджуються гексагональні
структури в системі гліцеринових капель на межі поділу рідкого
кристалу та повітря, ланцюгові структури в системі водяних кра-
пель у нематику, ріжноманітні «ґратницеві» структури в нематич-
нім та смектичнім рідких кристалах. Такі системи є дуже чутливи-
ми до зміни зовнішніх умов (температури, зовнішніх магнетного і
електричного полів), що дозволяє керувати їх структурою й власти-
востями. Актуальність таких досліджень зумовлена потребою у пе-
редбаченні тих структурних станів рідкокристалічних систем з до-
мішками, механічні й фізичні властивості яких (поряд з хімічними
характеристиками) можуть знайти прикладне застосування як у
розробці, так і експериментальнім дослідженні нових рідкокриста-
лічних матеріялів для оптичних, детекторних, телевізійних при-
строїв і навіть медичних приладів тощо [1—3].
В даній роботі розглядається розчин домішкових сферичних час-
тинок у рідкокристалічнім (РК) носії (мезофазі). Таким носієм мо-
же виступати речовина, що перебуває у нематичній фазі. Молекулі
рідких кристалів є суттєво анізометричними з лінійними розміра-
ми порядку 2—3 нм і внаслідок взаємодії між собою утворюють
пружнє середовище. Розріжняють два випадки включень. Перший,
коли в рідкий кристал втілюють тверді частинки, називають рідко-
кристалічним кольоїдом (суспензією). В другім випадку в рідкому
кристалі розчиняють краплини іншої рідини з відмінними від ме-
зофази густиною та діелектричними властивостями. Таке середо-
вище має назву рідкокристалічної емульсії. З точки зору теоретич-
ного опису обидва середовища є еквівалентними, якщо не приймати
до уваги можливу зміну форм крапель іншої рідини в рідкім крис-
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 637
талі. В якости домішкових сферичних частинок можуть виступати
макромолекулі або, наприклад, частинки аеросилу чи аероґелю з
порівняно великою молекулярною масою та діяметром порядку 10—
103
нм, що є значно більшим, ніж характерний розмір молекуль
рідкокристалічного середовища.
При втіленні в носій таких кулястих частинок відбувається спо-
творення рідкокристалічної структури завдяки наявности зчеплен-
ня (з ненульовою енергією) оточуючих молекуль рідкого кристалу з
частинками домішок. Розріжняють випадки сильного та слабкого
зчеплення. У випадку слабкого зчеплення спотворення поля дирек-
тора навколо домішок є малим, і розподіл директора задається фі-
зичними властивостями всього зразка і його межовими обмежен-
нями. У випадку сильного зчеплення, в першу чергу, самі домішки
спотворюють структуру РК. Такі спотворення поля директора РК
можуть простягатися в об’ємі, що суттєво перевищує розміри самих
домішкових частинок. Якщо області спотворень, наведених ріж-
ними домішковими частинками, перекриваються, то кожна з тих
частинок буде реаґувати на ці спотворення поля директора, тобто
ефективно взаємодіяти з іншими. Завдяки далекосяжному харак-
теру непрямої взаємодії між домішковими частинками через їх вза-
ємодію з молекулями рідкого кристалу енергія взаємодії між домі-
шковими частинками значно перевищує їхню пряму Ван дер Ва-
альсову взаємодію (причому, навіть на характерних віддалях по-
рядку їхнього діяметра) [4—6]. Головна особливість таких домішко-
вих систем – це можливе формування у них модульованих струк-
тур з певним просторовим періодом.
В даній роботі описується нестабільність однорідних домішкових
систем щодо появи таких взагалі-то анізотропних структур, причо-
му всі одержані аналітичні результати перевіряються на прикладах
і порівнюються з наявними експериментальними даними та чисе-
льним моделюванням. Така робота має самостійне теоретичне зна-
чення, оскільки її виконано за методою й у формі, що можуть бути
застосованими при теоретичному розгляді властивостей інших не-
однорідних дисперсних конденсованих систем.
2. ОГЛЯД ЛІТЕРАТУРИ
Рідкий кристал – речовина у аґреґатнім стані, властивості якого є
проміжними між кристалічним твердим тілом і аморфною рідиною
[7]. Рідкі кристали поділяються на нематичні та смектичні. В свою
чергу, нематичні рідкі кристали бувають власне нематичними та
холестеричними. Для характеристики розташування молекуль
рідкого кристалу вводять одиничний вектор n (власне директор),
який вказує на напрямок переважної орієнтації довгих осей моле-
куль. Найбільш упорядкованими є смектичні рідкі кристали. Вони
638 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
представляють собою тривимірні рідкі кристали, але з шаровою
структурою, в яких центри мас молекуль розташовані в «квазидво-
вимірних» шарах, але директор кожного шару не лежить у «пло-
щині» шару, а утворює з нею певний кут. Одну з можливих конфі-
ґурацій смектика показано на рис. 2.1.
У власне нематичних рідких кристалах центри мас молекуль
розташовані в просторі хаотично. Проте вісі молекуль розташовані
приблизно в однім напрямі, і спостерігається далекий порядок тіль-
ки стосовно їх орієнтації (див. рис. 2.2).
Холестеричні рідкі кристали є більш симетричними. В невели-
ких за розміром областях вони не відріжняються від нематиків, але
на великих віддалях у них спостерігається спіральне упорядкуван-
ня їхніх молекуль. Центри мас молекуль лежать у шарах і не є упо-
рядкованими. Директор знаходиться в «площині» шарів, але при
переході від одного шару до іншого він повертається на деякий кут,
в результаті чого виникає спірально упорядкована структура (див.
рис. 2.3).
Надалі в роботі будемо розглядати нематичні рідкі кристали
(НРК) як носії для створення суспензій. Такі системи спостерігають
досить давно, і експериментально виявлено велику кількість ціка-
вих ефектів: від самоорганізації домішок до впливу домішок на
ефект пам’яті, що виникає у НРК як необоротній електрооптичний
відгук під дією електричного поля [8, 9].
Рис. 2.1. Схематична будова смектичного рідкого кристалу.
Рис. 2.2. Схематична будова нематичного рідкого кристалу.
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 639
Перейдемо тепер до огляду розроблених феноменологічних тео-
рій нематичних кольоїдів. У перших роботах [6, 10] на цю тему ав-
тори розглядають взаємодію сторонніх макромолекуль між собою,
коли вони знаходяться в нематичнім або смектичнім носіях. Домі-
шкова макромолекуля створює навколо себе спотворення рідкого
кристалу. Спотворення поля директора РК можуть простягатися в
об’ємі, що суттєво перевищує розміри самих домішкових частинок.
Якщо області спотворень, наведених ріжними домішковими части-
нками, перекриваються, то кожна з тих частинок буде реаґувати на
ці спотворення поля директора, тобто ефективно взаємодіяти з ін-
шими. В роботі [6] одержано асимптотичні вирази для енергій вза-
ємодії в граничнім випадку великих віддалей між домішками; та-
кож показано, що на типових віддалях (порядку десятків наномет-
рів) енергія взаємодії через середовище значно перевищує енергію
прямої Ван дер Ваальсової взаємодії. Крім того, було розглянуто
вплив магнетного поля, яке прикладене до комірки, і показано, що
воно здійснює екранування взаємодії між домішковими частинка-
ми. Нажаль, автори не врахували (навіть у наближенні середнього
самоузгодженого поля) ентропійні внески у вільну енергію системи
«НРК—домішка» від розчину домішкових частинок, а також стати-
стичного розподілу молекуль самого рідкокристалічного носія, що,
як буде показано далі, вносить суттєве доповнення до внутрішньої
енергії системи.
Також в літературі обговорювалася взаємодія між Бровновими
частинками у в’язкім рідкім середовищі [11]. Автор довів, що з ура-
хуванням в’язкости та Бровнового руху частинок, між ними вини-
кає слабка, але далекосяжна відштовхувальна взаємодія диполь—
дипольного характеру. Фізична суть явища полягає в тім, що час-
тинка, яка рухається, спричиняє рух і в навколишніх шарах сере-
довища, що, в свою чергу, може впливати на сусідні частинки. В
середньому такий рух не компенсується, а призводить до того, що
завжди між частинками ефективно діють цілком детерміновані си-
ли, але врахування таких сил є суттєвим лише тоді, коли взагалі
відсутні інші механізми взаємодії між частинками.
Рис. 2.3. Схематична будова холестеричного рідкого кристалу.
640 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
Крім непрямої взаємодії через викривлене поле директора, між
домішковими частинками завжди є мала пряма притягальна Ван
дер Ваальсова взаємодія, що виникає завдяки тепловим флюктуа-
ціям внутрішніх електричних диполів домішок. Для кулястих час-
тинок однакового радіюса dim її енергія має вигляд [12]:
( ) ( )
( )
( )
2 2
imim im
VdW 2 2
im im im
42 2
ln
6 4 2 2
R R dd d
U
R R d R d R d
⎡ ⎤+
⎢ ⎥= − + +
+⎢ ⎥+ +⎣ ⎦
A
, (2.1)
де R – віддаль між центрами частинок, A – Хамакерова констан-
та, яка у випадку втілення частинок у типовий РК в якости середо-
вища модифікується до значення 1,1 Bk T=A . Ця взаємодія теж ви-
являється суттєвою на дуже малих віддалях або ж за відсутности
інших типів взаємодій.
Автори роботи [13] показали, що з точністю до квадратичних
членів, малих за збуренням директора, розподіл директора на ве-
ликих віддалях від домішкової частинки в системі «НРК—доміш-
ка» матиме вигляд (з деяким параметром A
μ):
3 5
( , ) ij i jc rrA
n
r r r
μμ μ
μ = + + +p r
K , (2.2)
де ( )μp r – ефективний чи то умовний «дипольний» момент системи
(взагалі-то неелектричного походження), а ( )ijcμ r – ефективний
«квадрупольний» момент. З міркувань симетрії (стосовно інваріян-
тности поля директора щодо обертань навколо виділеного директо-
ром напрямку та зміни знаку «дипольного» члена при переміщенні
топологічного дефекту РК, спотвореного домішкою, згори донизу
відносно тієї домішки) значення вказаних моментів матимуть на-
ступний вигляд: 0( , )μ μ=p p n e , ( )0 0i jij j ic c n e e nμ μ μ= + , де { }μe – оди-
ничні вектори у спотворенім середовищі, які відповідають напрям-
кам μ = ,x y у середовищі з незбуреним директором ( )0 0,0,1=n . А в
роботі [14] розглянуто розподіли директора навколо сферичної до-
мішкової частинки у двох граничних випадках сильного та слабко-
го зчеплення на поверхні частинки.
Для розгляду взаємодії між домішками вводяться топологічні
«заряди», які описують дефекти в нематиках та взаємодіють між
собою за законами, аналогічними до законів взаємодії електричних
зарядів в електродинаміці [7]. У випадку сильного гомеотропного
зчеплення [7] молекуль нематика з шаровою домішковою частин-
кою ця частинка індукує топологічний «заряд» +1 («радіяльний
їжак») у РК. Повний «заряд» системи повинен залишитися незмін-
ним (нульовим). Тому одна з можливостей компенсації топологіч-
ного «заряду», який виник внаслідок втілення («нейтральної») час-
тинки в середовище, – це утворення «дипольної» конфіґурації де-
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 641
фектів поля директора РК. Це означає, що дефект, який виник вна-
слідок втілення частинки має супроводжуватись створенням й де-
фекту типу «гіперболічного їжака» з топологічним «зарядом» —1.
Саме така ситуація є найбільш типовою в експериментах. Інша мо-
жливість – утворення дефекту типу кільця Сатурну (з топологіч-
ним «зарядом» —1/2) навколо екватора частинки. Така дисклінація
може рухатися вздовж поверхні частинки, але єдиним стабільним
положенням її має бути таке, що розташовується у екваторіальній
площині, що перпендикулярна до незбуреного директора. Обидві,
вище зазначені ситуації, є еквівалентними і неперервно переходять
одна в іншу. Якщо енергія зчеплення знижується, то поле директо-
ра стає більш гладким і «кільце Сатурну» наближається безпосере-
дньо до екватору на поверхні частинки [15]. Таке розташування де-
фектів навколо кулястої частинки домішки проілюстровано на рис
2.4. В літературі також досліджують взаємодію домішкової части-
нки (яка супроводжується індукованим нею дефектом) з топологіч-
ними дефектами (лініями дисклінації) самого РК [16]. Зазначимо,
що топологічні дефекти спостерігаються не лише у РК-розчинах, а
й у інших системах, наприклад, у системі «вода—піна» [17].
Експериментально виявлено, що у системі «НРК—домішка» є да-
лекосяжні кореляції густини [18]. Автори ж [13] показали, що й си-
ла взаємодії пари кулястих домішок має мультипольний характер:
( )2 2 2 2 3 3 2 2
1im 2im 1im 2im 1im 2im 1im 2im4 6 5
6 120 24
4
F
d d d d d d d d
K R R R
= −α + β − αβ −
π
, (2.3)
де R – віддаль між домішками, d1im, d2im – радіюси домішок, α, β –
безрозмірні матеріяльні параметри НРК-середовища, K – середнє
значення параметрів пружности НРК. Отже, домінуючою є диполь—
дипольна взаємодія, а взаємодія типу диполь—квадруполь відсутня
для частинок однакового радіюса. Такі висновки знайшли й експе-
риментальне підтвердження [19]. В одній з останніх праць автори
[20] одержують аналогічні результати як в межах мікроскопічної
теорії (за допомогою рівнань Орнштейна—Церніке), так і в рамках
феноменологічної теорії.
Автори робіт [4, 5] теж знайшли вираз для енергії далекосяжної
парної взаємодії домішкових частинок, який узгоджується з вира-
зом для сили (2.3); крім того, вони врахували ще й відмінності фор-
ми включень від сферичної і відповідну зміну значень енергії зчеп-
лення нематичного середовища з домішками. Коли в системі прису-
тня велика кількість домішкових частинок, зазначені відмінності
призводять до додаткового екранування парної взаємодії, яка за-
лежить від геометричної форми тих частинок. У випадку шарових
включень, що розглянемо, таке екранування відсутнє. Також у тих
роботах показано принципову можливість формування просторо-
вих структур з певним просторовим періодом.
642 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
Перейдемо до огляду експериментів, в яких досліджувалися ко-
льоїди на основі НРК. Виконано багато експериментів, в яких спо-
стерігалося формування модульованих структур у НРК, але здебі-
льшого досліджувались двовимірні надструктури (рис. 2.5, 2.6) або
одновимірні ланцюги [21].
Характерні значення періодів двовимірних структур становлять
2,4—3,0dim, де dim – радіюс силікатної домішкової частинки (5—25
нм); досліджуваний рідкий кристал – 5CB. Початкову структуру
було сформовано лазерним пінцетом, а потім одну частинку було
переміщено і відпущено з оптичної пастки. З часом ця частинка
знову зайняла відповідне положення в попередньо сформованій
групі частинок. В експерименті, відображенім на рис. 2.6, автори
виконали також міряння енергії взаємодії відокремленої кольоїд-
Рис. 2.5. Будова модульованих домішкових структур у НРК [22].
Рис. 2.4. Схема розташування дефектів в околі кулястої домішки [15].
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 643
ної частинки з тією групою частинок в залежности від її віддалі до
незайнятої позиції в кутку утвореної структурної групи (рис. 2.7).
Також в літературі досліджують взаємодію частинок за температу-
рою над фазовим переходом «нематик—ізотропна фаза», де доміш-
кові частинки оточені шаром нематичної фази, що індукована змо-
чуванням на їх поверхні [23].
Також в літературі описано прямі вимірювання сили, що діє між
двома домішковими частинками в НРК. Автори [24] використову-
вали в якости домішок краплини ферофлюїду з радіюсом 16 нм, 28
нм, 50 нм, а в якости матриці слугував РК ZLI2248. Потім, прикла-
даючи зовнішнє магнетне поле, яке індукувало великі магнетні ди-
полі в домішках, розміщали краплини на віддалі порядку 200 нм
одна від одної. Після вимкнення магнетного поля далекосяжна вза-
ємодія через поля викривлення директора нематика примушувала
домішки знову наближатися одна до одної. На поверхні домішок
виконувалися гомеотропні межові умови. З кожною частинкою був
спряжений дефект типу «гіперболічного їжака» (рис. 2.4). В ре-
зультаті було відновлено наступну емпіричну залежність сили, що
діє між частинками, від віддалі між ними:
( ) 4 4
imF R CKd R≅ , (2.4)
Рис. 2.7. Залежність енергії взаємодії однієї частинки з групою частинок
за експериментом (при температуріT), відображеним на рис. 2.6 [22].
Рис. 2.6. Еволюція самовпорядкування двовимірних кольоїдів на основі
НРК в часі (з інтервалом у 5 с) за експериментальними даними [22].
644 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
де K – середнє значення параметрів пружности нематика, dim –
радіюс домішки, R – віддаль між центрами домішок, C – безроз-
мірна стала, експериментальне значення якої 70C ≅ . Зазначимо,
що комбінація ( ) 4
imF R d є тут незалежною від розміру частинок.
Автори [25] теж виконували прямі вимірювання сили взаємодії
між кольоїдними частинками радіюсом dim = 15 нм у РК ZLI2806
(рис. 2.8). За допомогою лазерного пінцету з фіксованим світловим
пучком одну з частинок занурювали в оптичну «пастку», а іншу пе-
реміщували за допомогою сканівного жмута. При переміщенні од-
нієї частинки на деяку віддаль R від другої потужність лазера пові-
льно зменшували доки домішка не звільнялась з «пастки». В мо-
мент звільнення й вимірювалась сила взаємодії між частинками,
Рис. 2.8. Залежність сили, що виникає між кольоїдними частинками,
від віддалі між ними (на вкладці – у логаритмічній шкалі) [25].
Рис. 2.9. Залежність сили, що діє між кольоїдними частинками, від від-
далі між ними у випадку (б) за роботою [26] (значення 2 на вісі абсцис
R/dim відповідає віддалі центрів контактуючих домішок).
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 645
яка дорівнювала силі з боку оптичної «пастки». В експерименті ре-
алізувалися гомеотропні умови зчеплення з поверхнею домішки, а
топологічні «диполі» були паралельними щодо незбуреного дирек-
тора 0n . Виявлена експериментальна залежність співпадає з (2.4),
але зі сталою 98C ≅ , що й проілюстровано на рис. 2.8.
В роботі [26] виконано прямі вимірювання сили взаємодії між
кольоїдними частинками радіюсом dim = 25,5 нм у НРК MJ032358.
На поверхні частинок забезпечено гомеотропні умови зчеплення з
молекулями НРК. На відміну від попередніх робіт, автори [26] роз-
глянули три випадки: (а) паралельну конфіґурацію топологічних
«диполів», які розташовані один за одним, (б) антипаралельну, де
дефекти типу «гіперболічних їжаків» розташовані між частинка-
ми, (в) антипаралельну, коли між частинками немає дефектів. У
випадках (а) і (в) експериментальні результати не відріжняються
від наведених вище, а у випадку (б) залежність сили від віддалі між
центрами частинок є немонотонною (рис. 2.9).
Автори пояснюють немонотонність сили взаємодії між кольоїд-
ними частинками на малих віддалях зміною орієнтації топологіч-
ного «диполя», яка, в свою чергу, пояснюється тим, що при тих від-
далях між двома частинками взаємодія між однією частинкою і де-
фектом, що спряжений з другою частинкою, посилюється.
В літературі є й приклади дослідження впливу немалої кількости
домішкових частинок на фазові перетворення в рідких кристалах
[27—29]. В цих експериментах вивчалися розчини кольоїдних час-
тинок з розмірами порядку 7—10 нм на основі рідких кристалів
8CB, 4O.8, 8S5. При цьому застосовувалися аерофільні частинки
двох типів: гідрофобні та гідрофільні. Автори міряли залежність
тепломісткости від температури і значенню температури, за якої
спостерігалась особливість тепломісткости, зіставляли фазове пе-
ретворення. При збільшенні концентрації домішок, температури
фазових перетворень знижуються як для перетворення нематик—
ізотропна фаза, так і для перетворення нематик—смектик А. Така
залежність температури фазового перетворення від концентрації
домішки є характерною для обох зазначених типів її частинок.
Доречно розглянути й роботу [30], де експериментально дослі-
джено вплив порівняно великої концентрації домішкових частинок
(5 ваг.%) на фазові перетворення рідких кристалів. В ній автори на
прикладі системи, що складалася з НРК 5CB і домішок розмірами
100—250 нм та знаходилася в комірці з розмірами 0,5 мм між пара-
лельними пластинами, спостерігали фазове перетворення з появою
комірчастих структур (див. рис. 2.10) та виміряли його характерис-
тики. Схема експерименту була наступною. За температури, що пе-
ревищує температуру ізотропізації бездомішкового НРК (T1 ≅ 318
К), домішки були розподілені рівномірно в об’ємі системи. При зни-
женні температури відбувається розпад системи з виділенням фаз з
646 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
ріжними концентраціями домішок.
Такий ефект розмежування можна пояснити гетерофазними
флюктуаціями з появою зародків нематичної фази у верхнім околі
температури переходу ізотроп—нематик. За температури, що нижче
за температуру ізотропізації, системі енергетично вигідно зменши-
ти концентрацію домішок у певних областях, а потім перетворити
такі області в нематичну фазу; області ж з підвищеною концентра-
цією домішок утворюють залишкову ізотропну фазу. Тепер, коли в
системі присутні дві фази, на межі поділу між ними виникає тиск,
спричинений «середнім полем» нематика (так називаний «немати-
чний тиск»). З подальшим зниженням температури такий «нема-
тичний тиск» зростає, і при досяганні деякого критичного значення
(за певної температури T0c ≅ 306,7—307,3 К, що залежить від розмі-
ру частинок домішки) роздільча межа фаз зникає, а решта ізотроп-
ної рідини переходить у нематичний стан. Проте, нерівномірність
розподілу домішок, яка була спричинена зазначеними процесами
розмежування, залишається. А отже, таким чином формується ко-
мірчаста структура в НРК. Зниження температури за точкою фазо-
вого перетворення лише підвищує «нематичний тиск», який на цім
етапі вже стабілізує нерівномірний розподіл домішок (і домішкова
структура «зміцнюється»). Експериментально також було виявле-
но, що зі зменшенням розміру домішок одержуються більш цупкі
структури.
Крім прямих мірянь сили взаємодії між кольоїдними частинка-
ми, в літературі описано й численні комп’ютерні експерименти
[31—36] (див., наприклад, рис. 2.11), в яких методами молекуляр-
ної динаміки, Монте-Карло і функціоналу густини розраховано
Рис. 2.10. Зображення комірчастої структури в тонкій плівці НРК з до-
мішками [30].
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 647
ефективні сили взаємодії між кольоїдними частинками в НРК.
Зокрема, в роботі [32] виконано розрахунок розподілу густини
НРК навколо одиничних домішок ріжних радіюсів. Виявлено, що в
такій системі присутні відхилення густини від її асимптотичного
значення вдалині (вглиб об’єму нематика) від домішки, які є най-
більш значними в напрямку незбуреного директора. Чим менша за
Рис. 2.11. Результати моделювання зведеної залежности нормальної
компоненти сили взаємодії, що діє між кольоїдними частинками, від
віддалі між ними [31] (на вкладці – залежність сили на немалих від-
далях для ріжних орієнтацій α радіюс-вектора, що з’єднує кольоїдні
частинки в площині незбуреного директора, щодо системи координат).
Рис. 2.12. Результати моделювання залежности профілю густини НРК
від віддалі до поверхні частинки домішки [32] (суцільна лінія – густи-
на НРК у напрямку незбуреного директора, пунктирна – в перпенди-
кулярнім напрямку; b – довжина малої вісі молекулі НРК).
648 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
розміром домішка, тим такі відхилення густини простягаються у
більший об’єм. Найбільші відхилення спостерігаються на поверхні
домішки, а потім, осцилюючи, вони спадають зі збільшенням від-
далі від поверхні. Зазначимо, що на немалих віддалях від поверхні
домішки, які власне й цікавлять нас при побудові феноменологіч-
ної теорії взаємодії домішок у НРК, такі відхилення густини мо-
жуть бути значними, складаючи, наприклад, як і у [32], до 30% гу-
стини однорідного незбуреного нематика. Це проілюстровано на
рис. 2.12, де зображено залежність профілю густини нематика від
віддалі до поверхні частинки домішки заданих радіюсів.
Автори [31] пояснили характер взаємодії домішка—домішка на
близьких віддалях зміною відносного розташування і внутрішньої
будови топологічних дефектів, що виникають при втіленні доміш-
кових частинок, у НРК.
Зазначимо, що дослідження кольоїдних систем стикається з до-
сить загальними фізичними проблемами, а методи дослідження на-
повнених рідких кристалів є спільними для багатьох фізичних сис-
тем з домішками [37—42].
3. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧІ
Розглянемо дисперсну систему, що займає об’єм V і складається із
взаємодіючих підсистем – нематичного носія і сукупности доміш-
кових кулястих частинок. В якости домішкових шарових частинок
можуть виступати макромолекулі або, наприклад, частинки аеро-
силу чи аероґелю з порівняно великою молекулярною масою та ді-
яметром порядку 10—103
нм, що є значно більшим, ніж характер-
ний розмір молекуль рідкокристалічного середовища.
При втіленні в носій таких шарових частинок відбувається спо-
творення рідкокристалічної структури завдяки наявности зчеплен-
ня (з ненульовою енергією) оточуючих молекуль рідкого кристалу з
частинками домішок. Такі спотворення поля директора РК можуть
простягатися в об’ємі, що суттєво перевищує розміри самих доміш-
кових частинок і навіть середній питомий об’єм системи, що при-
падає на одну домішкову частинку. Оскільки області спотворень,
наведених ріжними домішковими частинками, перекриваються, то
кожна з тих частинок буде реаґувати на ці спотворення поля дирек-
тора, тобто ефективно взаємодіяти з іншими. Це схематично про-
ілюстровано на рис. 3.1.
Завдяки далекосяжному характеру непрямої взаємодії між до-
мішковими частинками через їх взаємодію з молекулями рідкого
кристалу енергія взаємодії між домішковими частинками значно
перевищує їхню пряму Ван дер Ваальсову взаємодію (причому, на-
віть на характерних віддалях порядку їхнього діяметра).
Поведінка леґованого зразка залежить від структурно-фазового
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 649
стану рідкокристалічного носія. Нехай вище деякої температури
ізотропізації 1T рідкий кристал перебуває в ізотропній фазі. Таким
обставинам відповідає група просторової симетрії ( )3
1 3S R O≡ ∧
(напівпрямий добуток групи тривимірних неперервних трансляцій
на групу симетрії сфери, що включає в себе тривимірні ортогональ-
ні повороти та операцію інверсії).
Вважатимемо, що нижче температури 1T має місце нематична
(Н) мезофаза, яка характеризується наявністю вісі переважної орі-
єнтації молекуль та просторово однорідним розподілом шарових
домішок. На відміну від ізотропної рідини, у мезоморфній фазі мо-
жливі далекосяжні кореляції між орієнтаціями видовжених моле-
куль. Такому стану відповідає група симетрії
3
N hS R D∞≡ ∧ [43]
( hD∞ – група циліндра з віссю обертання C∞ , що є направленою
вздовж вісі переважної орієнтації молекуль рідкого кристала).
При подальшім охолодженні за певної температури T0c (для якої
1 0c MT T T≥ ≥ , де MT – температура розтоплення РК) однорідний
розподіл (взаємодіючих) домішок може зникати, і з’являтиметься
так називана фокальна конічна структура завдяки наявности шарів
постійної товщини, що можуть вільно «ковзати» один щодо іншого.
Переважна орієнтація молекуль РК збережеться. Той факт, що ша-
ри вільно «ковзатимуть» один відносно іншого, вказує на відсут-
ність далекого порядку вздовж їх площини. Така фаза нагадує сме-
ктик А і відріжняється від нематичної порушенням трансляційної
симетрії вздовж вісі, яка є перпендикулярною до площини шару.
Цьому стану відповідає група симетрії ( )2
A hS R Z D∞≡ × ∧ , де Z –
група дискретних трансляцій вздовж вісі переважної орієнтації мо-
лекуль РК, наприклад (задля визначености), вісі Oz,
2R – група
двовимірних неперервних трансляцій. Таким чином, фазове пере-
творення, що відбуватиметься з появою (модульованих) періодич-
них структур, з точки зору теорії симетрії нагадує фазовий пере-
хід нематик—смектик А.
Рис. 3.1. Схема взаємодії між домішковими частинками через поля ви-
кривлення директора.
650 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
Густина носія (кількість молекуль на одиницю об’єму) системи
описується функцією розподілу ( )ρ r по «вузлах» { }r уявної ґрат-
ниці, причому ( ) m1 Vρ <<r , де mV – власний об’єм молекулі НРК.
Усереднена густина носія визначається формулою:
( )1
0
V
V d−ρ ≡ ρ∫ r r ; 0 m1 Vρ << .
Для опису розподілу частинок домішки використовуватимемо
представлення типу квазиґратницевого газу. Центри шарових до-
мішкових частинок знаходяться у деяких «міжвузлях» тієї ж уяв-
ної ґратниці, розподілених випадково по сітці { }R , яка є вкладеною
у сітку { }r рідкокристалічного носія і має таку ж кількість пози-
цій. Відносну долю c0 «міжвузлів» { }R , зайнятих домішковими ча-
стинками, визначимо за формулою ( ) ( )1 1
0
V V
c N C N c− −
∈ ∈
≡ =∑ ∑
R R
R R
( <<0 1c ), де функція C(R) дорівнює 1, якщо радіюс-вектор R вказує
на зайняте «міжвузля» (із сукупности { }1 2 3, , , R R R K ), і дорівнює
0, якщо R вказує на «міжвузля», яке вільне від домішки:
( ) ( )
( ){ 1 2
1 2
1 , , .... ,
0 , , .... ;C =
≠= R R R
R R RR ( )c R – одночастинкова функція розподілу
частинок домішки, яка визначається за формулою ( ) ( )c C≡R R
[44, 45], де усереднення здійснюється за канонічним ансамблем до-
мішкових частинок за додаткової умови сталости їх числа. N ≅ V/Vm
– повна кількість «вузлів», де можливе розташування молекуль
НРК. Такою ж є кількість «міжвузлів» у сітці, по якій можливе
розташування частинок домішки; але фактично з них буде зайнято
лише частину, а саме, ( ) im im2 6 0,7405V V V V Nπ ≈ << , де imV –
власний об’єм однієї домішкової частинки, тобто більша частина
«міжвузлів» вкладеної квазиґратниці залишається «забльокова-
ною» і незайнятою домішками: ( ) << 1c R .
Нематичний носій описуватимемо й векторним полем директора
( )n r , направленим вздовж льокальних осей преважної орієнтації
молекуль РК у околах точок { }r . Первісну орієнтацію директора 0n
вибрано вздовж вісі Oz: ( )0 0,0,1=n . Геометрію задачі відображено
на рис. 3.2.
Пружню частину вільної енергії НРК-континууму запишемо на-
ступним чином [7]:
( ) ( ) [ ]{ }22 2
el 1 2 3
1
div rot rot
2 V
F K K K dΔ = + ⋅ + ×∫ n n n n n r , (3.1)
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 651
де коефіцієнти 1 2 3, , K K K характеризують орієнтаційну пружність
щодо основних типів орієнтаційних спотворень: поперечного виги-
ну (splay), кручення (twist) і повздовжнього вигину (bend), відпові-
дно. Ці коефіцієнти неявно залежать від температури T через їх за-
лежність від розподілу густини ( )ρ r і, насамперед, від скалярної
величини ( )( )0, ,Q T cρ r , що докладно описує далекий орієнтацій-
ний порядок системи. Вважатимемо jK (j = 1, 2, 3) незалежними від
r і виражатимемо їх через усереднений параметер порядку
( ) ( )( )1
0 0 0, , , ,
V
S T c V Q T c d−ρ ≡ ρ∫ r r :
( ) ( )( )( ) ( )( )0 0 0 0; , , ; , ,j jK Q T c K S T cρ ρ ≅ ρ ρ +r r K.
Інша частина вільної енергії системи характеризує внесок від
взаємодії молекуль нематика з домішковими частинками:
( ) ( )( )rel 0, , ; , ,
V V
F c g Q T c d
∈
Δ = − ρ ρ∑ ∫
R
R r R n r , (3.2)
де ( )( )0, , ; , ,g Q T c− ρ ρr R n – густина енергії такої взаємодії.
У повній вільній енергії системи має місце внесок, що не зале-
жить явно від орієнтації директора і у наближені середнього само-
узгодженого поля має наступний вигляд [46]:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
pos unfloc
0
ln 1 ln 1
1
; ln .
2
B B
R V R V
B
V V
F F k T c c k T c c
E S d d k T d
∈ ∈
= Δ + + − − +
⎛ ⎞ρ′ ′ ′+ ρ ρ − + ρ ⎜ ⎟ρ⎝ ⎠
∑ ∑
∫∫ ∫
R R R R
r
r r r r r r r r
uur uur
(3.3)
Рис. 3.2. Геометрія задачі.
652 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
Тут ( ) ( ) ( )unfloc
,
1
2 V
F c c U
′∈
′ ′Δ = −∑
R R
R R R R – внесок, що обумовлений
безпосередніми парними взаємодіями між домішковими частинка-
ми з потенціяльною енергією (Ван дер Ваальсового типу) ( )U ′−R R .
Наступні два доданки описують ентропійний внесок конфіґурацій-
ної випадковости у просторовім розподілі домішки у вільну енер-
гію. ( );E S′−r r характеризує енергію взаємодії між мікрочастина-
ми рідкокристалічного носія. Нарешті останній член – ентропійно-
конфіґураційний внесок нематика.
Таким чином, повна вільна енергія досліджуваної системи:
0 el rel posF F F F F= + Δ + Δ + Δ . (3.4)
Вона описується трьома варіаційними змінними ( )n r – векторним
полем директора, ( )ρ r – функцією розподілу густини нематичного
носія, ( )c R – функцією розподілу частинок домішки; тут 0F –
конфіґураційно-незалежна частина вільної енергії.
Якщо систему розташовано у магнетнім полі, то потрібно врахо-
вувати, що молекулі типових нематиків (МББА, ПАА, 5СВ) є дія-
магнетними, і для опису їх властивостей в магнетнім полі до
об’ємної густини вільної енергії додають член:
( )2
2a− χ ⋅n H ; (3.5)
тут χa – анізотропна частина діямагнетної сприйнятливости
⊥χ = χ − χ||a (яка для більшости нематиків є додатньою), H – век-
тор напружености зовнішнього магнетного поля.
4. РІВНАННЯ РІВНОВАГИ І УМОВИ НЕСТАБІЛЬНОСТИ
ОДНОРІДНОГО СТАНУ СИСТЕМИ
Задля знаходження рівнань стану термодинамічно рівноважної си-
стеми і умов втрати нею стабільности розглядатимемо невеликі від-
хилення від початкового однорідного стану системи, за яких
( ) ( )0c c c≡ + δR R , ( ) ( )0≡ + δn r n n r , ( ) ( )0ρ ≡ ρ + δρr r . Спочатку
розглянемо рівнання стану системи в умовах термодинамічної рів-
новаги в прямому просторі. Для цього застосуємо рівнання Ойлера—
Ляґранжа (див. також [47]):
( ) ( ) ( )( ){ }
[ ] [ ]{ } ( )
1 2
3
2 grad div rot rot rot rot
rot rot rot rot ,
V
K K
g
K c
∈
Λ = − + ⋅ + ⋅ −
δ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− × × + × × +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ δ∑
R
n n n n n n n n
n n n n n n R
n
(4.1)
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 653
( )
( ) ( ) ( ) ( )ln , , ; ,
1B
V V
c
k T c U g Q d
c ′∈
⎛ ⎞
′ ′μ = + − + − ρ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠
∑ ∫
R
R
R R R r R n r
R
(4.2)
( )( ){ } ( ) ( ) ( )
∈
δ′ ′= + ρ ρ + ρ − +
δρ∑∫01 ln ;B
VV
g
M k T E S d c
R
r r r r r R . (4.3)
Параметри Λ , μ , M у рівнаннях (4.1)—(4.3) є невизначеними Ляґ-
ранжовими множниками і враховують умови нормування директо-
ра, сталости числа домішкових частинок й кількости молекуль РК-
носія, відповідно. В загальнім випадку ( )0 0, , ;c SΛ ρr є функцією r ,
але надалі розглядатимемо випадок, коли ( )0 0, ;c SΛ = Λ ρ .
Розвинемо густину енергії взаємодії молекуль нематика з доміш-
ковими частинками в ряд по варіаційним змінним ( )δn r , ( )δρ r ,
( )cδ R з точністю до доданків другого порядку малости:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )( )
δ − ρ
− ρ ≈ − ρ + − +
δ
δ − ρ
+ − − +
δ δ
0 0 0 0
0
2
0 0
0
; ,
; , ; ,
; ,1
2
j
j i
j
j
j i
j i
g
g g n n
n
g
n n n n
n n
r R n
r R n r r r R n r
r R n
r r
( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
δ − ρ
+ − ρ − ρ +
δ δρ
δ − ρ δ − ρ
+ ρ − ρ + ρ − ρ
δρ δρ
2
0 0
0
2
2
0 02
0 0
; ,
; , ; ,1
,
2
jj
j
g
n n
n
g g
r R n
r r
r R n r R n
r r
(4.4)
де ( )( )0 0 0 0 0, , ; , ,g g Q T c≡ − ρ ρr R n ; похідні від g в «нулі» означають,
що використовуються значення 0=n n , 0c c= , 0ρ = ρ їх арґументів
в умовах вихідної однорідности. Похідні типу
( )2
0
; ,
j
g
n
δ − ρ
δ δρ
r R n
по-
значатимемо як ( )
jng ρ′′ r . Значення Ляґранжових множників знай-
демо, спираючись на їх залежності від термодинамічних парамет-
рів, що визначаються умовами рівноваги саме однорідного стану:
( )
0 0
0
; ,
2
V j
g
c
n∈
δ − ρ
Λ =
δ∑
R
r R n
n , (4.5)
( )( ) ( )
0 0 0 0
0
; ,
; , ,B
VV
g
M k T E S T c d c
∈
δ − ρ
′= + ρ − ρ +
δρ∑∫
R
r R n
r r r , (4.6)
654 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
( )0
0 0
0
ln
1B
V V
c
k T c U g d
c ′∈
′μ = + − +
− ∑ ∫
R
R R r . (4.7)
Задля подальшого розгляду умови нестабільности системи засто-
суємо методу статичних флюктуаційних хвиль [48] за правилами:
( ) ( ) ( )i
V
f f e− ⋅
∈
= ∑ k r
r
k r% і ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
3
1
2
i i
BZ BZ
V d
f f e f e
N N
⋅ ⋅
∈ ∈
= ≅
π
∑ ∫k r k r
k k
k
r k k% %
з хвильовим вектором k – параметром Фур’є-перетвору, де маємо
відповідне сумування і інтеґрування за векторами першої Бріллюе-
нової зони BZ , а V N v= – об’єм примітивної елементарної комі-
рки m( )v V≅ . Дійсність деякої функції ( )f r , що розглядається, на-
кладає додаткову умову на Фур’є-компоненти: ( ) ( )f f ∗= −k k% % .
Нагадаємо, що для зручности обрано ( )0 0,0,1=n , і з умови нор-
мування директора одержуємо:
( ) ( )( ) ( )( )02∗δ ⋅ δ = − ⋅ δ∑
k
n k n k n n 0% % % . (4.8)
Врахуємо умову (4.8) при мінімізації функціоналу F (3.4) також
за допомогою методи невизначених Ляґранжових множників. А з
умов ( ) 0
V
c
∈
δ =∑
R
R , ( ) 0
V
dδρ =∫ r r , що відповідають умовам сталости
числа домішкових частинок і кількости молекуль РК-носія, одер-
жуємо наступні значення Фур’є-компонент: ( ) 0δρ =0% , ( ) 0cδ =0% .
Знайдемо з точністю до другого порядку за ( )cδ k% , ( )δn k% і ( )δρ k%
відповідні частини функціоналу вільної енергії F (3.4):
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
el 1
2
3
1
2
,
x x y y z z x x y y z z
x y y x x y y x
x z z x x z z x y z z y y z z y
F V K k n k n k n k n k n k n
K k n k n k n k n
K k n k n k n k n k n k n k n k n
∗ ∗ ∗
≠
∗ ∗
≠
∗ ∗ ∗ ∗
≠
⎧Δ ≈ δ + δ + δ δ + δ + δ +⎨
⎩
+ δ − δ δ − δ +
⎫⎡ ⎤+ δ − δ δ − δ + δ − δ δ − δ ⎬⎣ ⎦⎭
∑
∑
∑
k 0
k 0
k 0
% % % % % %
% % % %
% % % % % % % %
(4.9)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0
rel 0 0
0
0
0
2
2
,
j j i
j
j
n j n n j i
n j
n j
k
c
F V g c g n g n n
c
g c g n
g c n g c
∗
∗ ∗
ρρ ρ
≠ ≠
∗ ∗
ρ
≠ ≠
⎡ ′ ′′Δ ≈ + δ + δ δ +⎣
′′ ′′+ δρ δρ + δ δρ
⎤′ ′+ δ δ + δ δρ ⎥
⎦
∑
∑ ∑
∑ ∑
k
k 0 k 0
k 0
0 0 0 0 k k
0 k k 0 k k
k k k k k k
r r
% % %% % %
% % % %
% %% % %
(4.10)
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 655
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
pos 0 0
0
0 0 0 0
0 0
1 1
2 2 2
1
2 2
1
ln 1 ln 1 ,
2 1
B
B
Vv
F c NU E N U c c
Vv
E k TV
k T c c c c c c
c c
∗
≠
∗ ∗
≠ ≠
∗
≠
Δ ≈ + ρ + δ δ +
+ δρ δρ + δρ δρ
ρ
⎡ ⎤
+ + − − + δ δ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎣ ⎦
∑
∑ ∑
∑
k 0
k 0 k 0
k 0
0 0 k k k
k k k k k
k k
% % % % %
% % % % %
% %
(4.11)
( ) ( ) ( )el rel pos 2j j zF F F F V n n n∗⎛ ⎞= Δ + Δ + Δ − λ δ δ + δ⎜ ⎟
⎝ ⎠
∑
k
k k 0% % % (4.12)
де в останньому доданку (4.12) λ – невизначений Ляґранжів мно-
жник, яким враховується умова нормування (4.8).
У випадку ≠k 0 , застосовуючи рівнання Ойлера—Ляґранжа (у
вигляді типу ( )( )( ) ( )( )( ) 0
Re Imx x
F F
i
n n
∂ ∂+ =
∂ δ ∂ δk k% %
) для кожної варі-
яційної змінної задачі, одержуємо наступну систему рівнань, де
02 cλ = λ% :
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 0
1 2 0
1 3 0 0 0,
x x
x y x
x z x
x y z n n x
x y n n y n
x z n n z n
K k K k K k c g n
K K k k c g n g c
K K k k c g n c g ρ
⎡ ⎤′′+ + + − λ δ +⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′+ − + δ + δ +⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′′+ − + δ + δρ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 k
0 k k k
0 k 0 k
%% %
% %% %
% %% %
(4.13)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 0
2 2 2
1 2 3 0
1 3 0 0 0,
x y y
y y
y z y
x y n n x n
y x z n n y
y z n n z n
K K k k c g n g c
K k K k K k c g n
K K k k c g n c g ρ
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′− + δ + δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤′′+ + + + − λ δ +⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′′+ − + δ + δρ =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
0 k k k
0 k
0 k 0 k
% %% %
%% %
% %% %
(4.14)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
1 3 0 0
1 3 0
2 2 2
1 3 0 0,
x z z
y z z
z z
x z n n x n
y z n n y n
z x y n n z
K K k k c g n c g
K K k k c g n g c
K k K k k c g n
ρ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′′− + δ + δρ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′+ − + δ + δ +⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤′′+ + + + − λ δ =⎣ ⎦
0 k 0 k
0 k k k
0 k
% %% %
% %% %
%% %
(4.15)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0 0
0
0
0,
x y zn x n y n z
B
c g n c g n c g n
k T
g c c g vE
ρ ρ ρ
ρ ρρ
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤′′ ′′ ′′δ + δ + δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤
′ ′′⎡ ⎤+ δ + + + δρ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ρ⎣ ⎦
0 k 0 k 0 k
k k 0 k k
% % %% % %
%% %% %
(4.16)
656 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
1 1
0.
1
x y zn x n y n z
B
g n g n g n
k T
U c g
v v c c
∗ ∗ ∗
∗
ρ
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′δ + δ + δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤
⎡ ′ ⎤+ + δ + δρ =⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎢ ⎥⎣ ⎦
k k k k k k
k k k k
% % %% % %
%% %
(4.17)
Одержану систему рівнань (4.14)—(4.17) записано для загального
випадку без додаткових припущень стосовно енергії взаємодії між
молекулями НРК і домішками, що дозволить у подальшім застосу-
вати її для ріжних умов зчеплення на поверхні домішки. Система
(4.14)—(4.17) враховує можливий відхил від початкового однорід-
ного стану векторного поля директора, розподілу густини нематич-
ного носія і розподілу частинок домішки. Застосовуючи рівнання
Ойлера—Ляґранжа ( ) ( ) ( ) 0
x y z
F F F
n n n
∂ ∂ ∂= = =
∂δ ∂δ ∂δ0 0 0% % %
для =k 0 , ма-
тимемо систему рівнань для визначення Ляґранжового множника:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x x x y x z xn n x n n y n n z ng n g n g n g⎡ ⎤′′ ′′ ′′ ′− λ δ + δ + δ = −⎣ ⎦0 0 0 0 0 0 0%% % % %% % % , (4.18)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x y y y y z yn n x n n y n n z ng n g n g n g⎡ ⎤′′ ′′ ′′ ′δ + − λ δ + δ = −⎣ ⎦0 0 0 0 0 0 0%% % % %% % % ,(4.19)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
x z y z z z zn n x n n y n n z ng n g n g n g⎡ ⎤′′ ′′ ′′ ′δ + δ + − λ δ = λ −⎣ ⎦0 0 0 0 0 0 0% %% % % %% % % . (4.20)
Розглянемо випадок, коли взаємодія матриці з частинками до-
мішки є інваріантною щодо обертання системи як цілого. Тоді вва-
жатимемо, що
( ) ( ) ( )( ) ( )2 2
; ;g − = − ⋅ − β − ρ −r R n n r r R r R r R , (4.21)
( ) ( ) ( ) 2
2 ;
in i z
g′ = − β − ρ − − −r R r R r R r R , (4.22)
для imd− >r R , де β – функція, що характеризує радіяльну зале-
жність густини взаємодії системи НРК—домішка. Для imd− ≤r R
вважатимемо, що 0g ≡ . Вираз (4.21) відповідає гомеотропним
умовам зчеплення на поверхні частинок домішки (тобто дефектів
векторного поля директора типу «радіяльний їжак»), що реалізу-
ється у більшости експериментів.
Застосуємо розвинення
( ) ( ) ( ) ( )
0
4
p
i p
p pq pq
p q p
e i I s Y Y
∞
− ⋅ ∗
= =−
= π∑ ∑k s k k s ,
де pI визначається циліндричною Бесселевою функцією p -го по-
рядку, а ( )pqY k – сферична функція кутів орієнтації ≠k 0 щодо
xe , ye , 0z =e n ) [49]:
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 657
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
im
21 21
0 21 212
0 2
0 20
4
15 2
42 4
3 15 2
4
5
x
y
d
Y Y
I ks Y Y
ds s s I ks
v i
Y
∗
∗∞
⎧ ⎫⎡ ⎤+π +⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎢ ⎥
⎪ ⎪⎢ ⎥π −π⎪ ⎪′ ⎢ ⎥≈ − β + + +⎨ ⎬
⎢ ⎥⎪ ⎪
⎢ ⎥⎪ ⎪π⎢ ⎥+⎪ ⎪
⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭
∫n
k k
e
k k
g n e
n k
% .
(4.23)
З виразу (4.23) видно, що ( ) 2
0 0, ,′ ρng k n% залежить лише від кута між
k і незбуреним директором 0n , і, насамперед, слід перевірити: чи
з’являється при зменшенні температури першою та надструктура,
хвильовий вектор якої 0k є паралельним до 0n ( 0k визначає прос-
торовий період утвореної модульованої структури 02a = π k )?
Знайдемо Фур’є-компоненти, що входять у (4.13)—(4.17) і (4.18)—
(4.20):
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
im
2
2 3 2
8 3 3 1
sin cos sin ,
x
x z
n
d
k k
g ds s s ks ks ks
v ksk ks ks
∞ ⎡ ⎤π′ ⎢ ⎥= β − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫k%
(4.24)
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
im
2
2 3 2
8 3 3 1
sin cos sin ,
y
y z
n
d
k k
g ds s s ks ks ks
v ksk ks ks
∞ ⎡ ⎤π′ ⎢ ⎥= β − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫k%
(4.25)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
im
im
2
2 2
2
2 3 2
sin8
3
38 3 3 1
sin cos sin ,
3
zn
d
z
d
ks
g ds s s
v ks
k k
ds s s ks ks ks
v ksk ks ks
∞
∞
π′ = − β +
⎡ ⎤−π
⎢ ⎥+ β − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
k%
(4.26)
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
im
im
2
2 2
2
2 3 2
sin4
3
34 3 3 1
sin cos sin ,
3
d
z
d
ks
g ds s s
v ks
k k
ds s s ks ks ks
v ksk ks ks
∞
ρ ρ
∞
ρ
π′ ′= − β +
⎡ ⎤−π ′ ⎢ ⎥+ β − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
∫
k%
(4.27)
де
22 2 2 2
x y zk k k k= = + +k , s = −r R , а dim – радіюс домішкової час-
658 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
тинки.
У випадку =k 0 маємо:
( ) ( )
im
2
0
4
3 d
g ds s s
v
∞π= − β∫0% , (4.28)
( ) ( ) 0
x yn ng g′ ′= =0 0% % , ( ) ( )02
zng g′ =0 0% % , (4.29)
( ) ( )0g g
ρρ′ ′=0 0% % , ( ) ( )0g g
ρρρρ′′ ′′=0 0% % , ( ) ( )02
zng g
ρρ′′ ′=0 0% % , (4.30)
( ) ( ) ( ) ( )02
x x y y z zn n n n n ng g g g′′ ′′ ′′= = =0 0 0 0% % % % , (4.31)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
x y x z y z x yn n n n n n n ng g g g gρ ρ′′ ′′ ′′ ′′ ′′= = = = =0 0 0 0 0% % % % % . (4.32)
Якщо вважати прямі взаємодії між частинками домішки та між
мікрочастинами рідкокристалічного носія центральними, то їх
Фур’є-компоненти матимуть вигляд:
( ) ( ) ( )2
0
sin4 ks
U dsU s s
v ks
∞π= ∫k , (4.33)
( ) ( ) ( )2
0
sin4 ks
E dsE s s
v ks
∞π= ∫k . (4.34)
Підставляючи вирази (4.28)—(4.32) в систему (4.18)—(4.20) одер-
жимо спрощену систему рівнань для конкретного вигляду взаємодії
(4.21), з якої можна одержати значення Ляґранжового множника:
( )0 0c gλ = 0 . (4.35)
Розглянемо умови, коли уможливлюватиметься виникнення мо-
дульованої структури.
Підставляючи вирази (4.24)—(4.34) у систему (4.13)—(4.17), вра-
ховуючи вираз для Ляґранжового множника (4.35), одержимо мо-
дельну систему однорідних альґебричних рівнань стосовно ( )inδ k%
(i = x, y, z), ( )δρ k% , ( )cδ k% :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 3 1 2
1 3 ,
x
x y z x x y y
x z z n
K k K k K k n K K k k n
K K k k n g c
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + δ + − δ +⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤′⎡ ⎤+ − δ = − δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
k k
k k k
% %
%% %
(4.36)
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 2 3
1 3 ,
y
x y x y x z y
y z z n
K K k k n K k K k K k n
K K k k n g c
⎡ ⎤⎡ ⎤− δ + + + δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤′⎡ ⎤+ − δ = − δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
k k
k k k
% %
%% %
(4.37)
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 659
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 3 1 3
2 2 2
1 3 0 ,
z z
x z x y z y
z x y z n n
K K k k n K K k k n
K k K k k n g c c g ρ
⎡ ⎤⎡ ⎤− δ + − δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′′+ + + δ = − δ − δρ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
k k
k k k 0 k
% %
% %% % %
(4.38)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0
0
0,
z
B
n z
k T
c g n g c c g vEρ ρ ρρ
⎡ ⎤
⎡ ⎤′′ ′ ′′⎡ ⎤δ + δ + + + δρ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ρ⎣ ⎦
0 k k k 0 k k%% % %% % %
(4.39)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )0 01 0.
x y zn x n y n z
B
g n g n g n
U v k T vc c c g
∗ ∗ ∗
∗
ρ
⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤′ ′ ′δ + δ + δ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ′ ⎤+ + − δ + δρ =⎣ ⎦⎣ ⎦
k k k k k k
k k k k
% % %% % %
%% %
(4.40)
Для існування нетривіяльного розв’язку системи (4.36)—(4.40)
необхідне виконання умови рівности нулю її детермінанта, що, в
свою чергу, визначає точку ( )bif 0 0,T cρ розгалуження (біфуркації)
розв’язку, за якої втрачається стійкість однорідного стану щодо пе-
ретворення у неоднорідний.
Таким чином знаходиться профіль викривлення директора і роз-
поділ густини рідкокристалічного носія ( izδ – Кронекерів симболь):
( ) ( ) ( )( ) ( ){ ( )
( ) ( ) ( ) ( )}
2
3 1 14
1 3
2
0 3 1 0 1
1
,
i
z z
i i n
z n i n iz
n K K k K k g c
K K k
c K K k g k c K k gρ ρ
⎡ ⎤′ ′δ = − − ⋅ + δ +⎣ ⎦
⎡ ⎤′′ ′′+ − + δ δρ⎣ ⎦
nk k g k k k
0 0 k
% %% %
% % %
(4.41)
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
20
3 1 14
1 3
2
22 20
0 3 1 14
0 1 3
.
z z
z
z n n
B
z n
c
g K K k K k g g
K K k
c
ck T
vE c g K K k K k g
K K k
ρ ρ
ρρ ρ
δρ =
⎡ ⎤′ ′ ′ ′′− − ⋅ +⎣ ⎦
= − δ
⎡ ⎤′′ ⎡ ⎤ ′′+ + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ρ
n
k
k k g k k 0
k
k 0 0
%
% % % %
%
% % %
(4.42)
З умови нетривіяльности розв’язку рівнань (4.36)—(4.40) у вигляді
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22bif
3 1 14
0 0 1 3
2
20
3 1 14
1 3
2
22 2bif 0
0 3 1 14
0 1 3
1 1 1
1
0
z z
z
B
z n n
B
z n
k T
U K K K k
v c c v K K k
c
g K K k K k g g
K K k
k T c
vE c g K K k K k g
K K k
ρ ρ
ρρ ρ
⎡ ⎤′ ′+ − − ⋅ + −⎢ ⎥⎣ ⎦−
⎡ ⎤′ ′ ′ ′′− − ⋅ +⎣ ⎦
− =
⎡ ⎤′′ ⎡ ⎤ ′′+ + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ρ
n n
n
k k g k g k
k k g k k 0
k 0 0
% % %
% % % %
% % %
(4.43)
660 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
знайдемо умову втрати стійкости.
Взагалі ж Фур’є-компоненту енергії ефективної, –прямої разом
з непрямою, – парної взаємодії між домішковими частинками, що
виступає колективним механізмом формування (модульованих) пе-
ріодичних структур, визначатимемо наступним чином:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 22
eff 3 1 14
1 3
2
20
3 1 14
1 3
2
22 20
0 3 1 14
0 1 3
( )
.
z z
z
z n n
B
z n
v
V U K K K k
K K k
c
g K K k K k g g
K K k
v
ck T
vE c g K K k K k g
K K k
ρ ρ
ρρ ρ
⎡ ⎤′ ′= − − ⋅ + −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤′ ′ ′ ′′− − ⋅ +⎣ ⎦
−
⎡ ⎤′′ ⎡ ⎤ ′′+ + − − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦ρ
n n
n
k k k g k g k
k k g k k 0
k 0 0
% % % %
% % % %
% % %
(4.44)
Зазначимо, що у співвідношення (4.41)—(4.44) і надалі не входить
параметер пружности 2K , що відповідає за спротив крученню НРК.
Припускаючи, що першою з’являється структура, хвильовий ве-
ктор якої є паралельним до 0n , тобто 0 0(0,0, )zk=k , спростимо рів-
нання (4.43):
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
20 0
bif 0 02
1 0
2
0
0 02
1 0
2
2
bif 0
0 0 2
0 1 0
1
.
z
z z
z
z n z
B z
z n z n
z
B
z n
z
c c v
T U k g k
k K k
c
g k g k g
K k
v
k T c
vE k c g g
K k
ρ ρ
ρρ ρ
− ⎡
′= − − −⎢
⎣
⎤
′ ′ ′′ ⎥−
⎥− ⎥
⎥⎡ ⎤′′ ′′+ + − ⎣ ⎦ρ ⎥⎦
0
0 0
% %
% % %
% % %
(4.45)
При цьому Фур’є-компонента енергії ефективної парної взаємодії
між домішковими частинками для вектора 0 0(0,0, )zk=k вигляда-
тиме наступним чином:
eff 0 0
2
0
0 02
2 1 0
02 2
2
1 0 0
0 0 2
0 1 0
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) .
( ) ( ) ( )
z z
z
z
z z
z n z n
z
n z
z B
z n
z
V k U k
c
g k g k g
K kv
g k v
K k ck T
vE k c g g
K k
ρ ρ
ρρ ρ
≡ −
′ ′ ′′−
′− −
⎡ ⎤′′ ′′+ + − ⎣ ⎦ρ
0
0 0
% %
% % %
%
% % %
(4.46)
Енергія ефективної парної взаємодії eff ( )V ′−R R у координатнім
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 661
просторі має далекосяжний характер залежности від | |′−R R , що
на якіснім рівні співпадає з висновком, одержаним іншими автора-
ми (див. бібліографію у розд. 2).
Крім того, нагадаємо, що eff ( )V k%
не залежить від макропарамет-
рів системи (що є методично важливим для чисельних розрахун-
ків), проте є залежність від v – об’єму примітивної елементарної
комірки уявної ґратниці.
В загальнім випадку енергія взаємодії між домішковими частин-
ками залежить від температури, густини нематичного носія та й
концентрації домішки. Коректне врахування таких залежностей
уможливлює цілеспрямоване керування структурою й властивос-
тями системи «НРК—домішка».
Розглянемо випадок, коли досліджувану систему розміщено у
магнетнім полі з компонентами (0,0, )H=H , паралельнім до незбу-
реного директора 0n . В такому разі до густини вільної енергії для
опису властивостей системи «НРК—домішка» в магнетнім полі до-
дамо член (3.5).
Надалі дослідимо випадок наявности лише однієї компоненти у
модулювального вектора: 0 0(0,0, )zk=k .
З врахуванням наявности магнетного поля Ляґранжів множник
(4.35) подамо у вигляді:
( )
2
0 0 2
aHc g
χ′λ = −0 . (4.47)
Вираз для температури втрати стійкости системи за умов, обго-
ворених при одержанні формули (4.45), матиме вигляд:
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
bif
2
0 02 2
1 0
2
0
0 02 2
1 0
2
2
bif 0
0 0 2 2
0 1 0
1
.
z
z z
z
B
z n z
z a
z n z n
z a
B
z n
z a
c c
T
k
v
U k g k
K k H
c
g k g k g
K k H
v
k T c
vE k c g g
K k H
ρ ρ
ρρ ρ
−
= − ×
⎡
′× − −⎢ + χ⎣
⎤
′ ′ ′′ ⎥−
+ χ ⎥− ⎥
⎥⎡ ⎤′′ ′′+ + − ⎣ ⎦ρ + χ ⎥⎦
0
0 0
% %
% % %
% % %
(4.48)
Таким чином, у виразі для температури втрати стійкости системи
(4.48), поряд із залежністю від температури, густини нематичного
носія та концентрації домішки, маємо її залежність від прикладе-
ного магнетного поля, що забезпечує додаткові можливості керу-
вання структурою й властивостями системи.
662 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
5. ЧИСЕЛЬНІ РОЗРАХУНКИ
Для чисельного оцінювання за одержаними формулами (4.43)—
(4.46) знехтуємо енергетичними параметрами прямої взаємодії,
( )U k% , які, в основному, відповідають парній взаємодії Ван дер Ва-
альсового типу між домішковими частинками. Це можна зробити,
тому що на характерних віддалях (навіть порядку розміру доміш-
ки) така взаємодія виявляються на декілька порядків меншою за
енергією, ніж непряма (тобто за рахунок викривлення поля дирек-
тора НРК). Енергію ж ( )E k% , що описує взаємодію між мікрочасти-
нами НРК-носія, враховуватимемо за допомогою потенціялу типу
потенціялу Леннард-Джонса.
Параметризуємо радіяльний фактор у виразі густини енергії вза-
ємодії РК-матриці з частинками домішки (4.21) наступним чином:
( ) ( )im im; exp ( )A d dβ − ρ ≅ ρ −κ − −r R r R , (5.1)
де ρ – об’ємна густина носія; A і κ – параметри, що характеризу-
ють величину енергії взаємодії між домішковою частинкою та мо-
лекульою НРК і мають ріжні значення в залежности від розміру до-
мішки та сорту і концентрації сурфактанту, яким оброблено повер-
хню домішки. Такий вибір параметризації залежности (5.1) випли-
ває з явного вигляду функціоналу вільної енергії (3.4) і з тієї умови,
що за відсутности НРК-носія внесок у енергію взаємодії між доміш-
ками, пов’язаний з викривленням поля директора, має зникати.
В якости матриці досліджувались ріжні типи рідких кристалів
(ПАА, МББА, 5СВ, 8СВ), але оскільки результати подібні у всіх ви-
падках наведемо їх лише для 8СВ. Типові значення характеристик
складу системи, що входять до виразів (4.45), (4.46) і які викорис-
товувалися нами в розрахунках, становлять 0 0,0424c = [27], [29]
та
7
0 2,9 10−ρ = ⋅ моль/см
3
[50]. Значення параметрів пружности 1K
та 3K будемо вважати залежними від температури у відповідности
до експериментальних даних, яких наведено в статті [50]. Розраху-
нки виконано для частинок домішок двох розмірів, які найчастіше
зустрічаються в наявних експериментах (див. [22—36]):
3
im 5 10d = ⋅
нм та im 50d = нм.
Зупинімось на аналізі формули (4.44) для Фур’є-компонент (з до-
вільним k) енергій міждомішкової взаємодії. Варто зазначити, що
помітний внесок у значення Фур’є-компонент енергій взаємодії
вносить і останній член у (4.44), який враховує можливість неодно-
рідних збурень розподілу густини рідкокристалічного носія. Важ-
ливість врахування такої залежности можна пояснити тим, що, як
показують модельні чисельні розрахунки [32], найбільші відхили
густини НРК від середнього значення спостерігаються саме на по-
верхні домішок, причому, в напрямку незбуреного директора. То-
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 663
му, навіть із радіюсом «екранування» радіяльно-залежної частини
(5.1) густини взаємодії домішка—НРК порядку довжини декількох
молекуль НРК сукупність молекуль, що знаходяться біля поверхні
домішки, все ж суттєво впливає на енергетику взаємодії домішка—
домішка. Цей внесок зазвичай не враховували в літературі при по-
будові феноменологічних теорій, проте нерідко досліджували чисе-
льно [32]. Таким чином, ми можемо розрахувати Фур’є-компоненти
енергій взаємодії (4.44) в оберненім просторі. У випадку обраної па-
раметризації енергії взаємодії РК-матриці з частинками домішки
(4.21), (5.1) вираз (4.44) виявляється залежним від модуля k і
компоненти kz вектора k, причому є симетричним щодо площини
0zk = . Побудовані поверхні (4.44) в оберненім просторі для енергій
взаємодії між домішками з радіюсами
3
im 5 10d = ⋅ нм або im 50d =
нм див. на рис. 5.1. В розрахунках використовувалися значення
параметру κ такі, щоб радіюс екранування дорівнював довжині од-
нієї молекулі НРК. Параметер A вибирався з міркувань про те, щоб
одержана температура втрати стійкости щодо утворення модульо-
ваних структур потрапляла в інтервал температур існування НРК-
фази. Одержати значення температури втрати стійкости, а за нею й
визначити параметер теорії A можна з експериментальних даних.
Оцінимо компоненти вектора 0k , який відповідає мінімуму Фу-
р’є-компоненти енергії ефективної міждомішкової взаємодії (або
максимальній температурі втрати стійкости) та періоду утвореної
(модульованої) структури. Розв’язавши чисельно рівнання (4.43)
щодо Tbif, одержуємо декілька гілок розв’язку, з яких, з врахуван-
ням обмеження на шукане значення ( )0 im2 2
z
k d≤ π , коли період
(модульованої) структури не може бути меншим, ніж діяметер до-
мішки, виберемо те одне значення, за якого вільна енергія системи
є мінімальною. Для частинок домішки з радіюсом
3
im 5 10d = ⋅ нм
одержуємо значення 0 3474
z
k = см
—1, 0 0 1815x yk k= = см
−1, які від-
повідають періоду im3,62za d= , im6,92x ya a d= = , а для частинок з
im 50d = нм –
5
0 3,409 10
z
k = ⋅ см
−1,
5
0 0 1,664 10x yk k= = ⋅ см
−1, що
відповідають періоду im3,69za d= і im7,55x ya a d= = . Ці значення
якісно збігаються з наявними даними експерименту [22] і слабко
змінюються в усьому інтервалі температур існування НРК. Крім
того, значення хвильового вектора, що відповідає мінімуму Фур’є-
компоненти енергії eff ( )V k%
залежить від параметру κ «екрануван-
ня» при сталім А: при зменшенні κ (збільшенні радіюса дії потен-
ціялу ( ; )g −r R n ) хвильовий вектор зменшується (період модульо-
ваних структур зростає). Це можна пояснити тим, що більша кіль-
кість молекуль НРК бере участь у ефективній міждомішковій взає-
664 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
модії, а значить домішки «відчувають» одна одну на більших відда-
лях. (Параметер А підбирався для домішок обох розмірів так, щоб
забезпечити Tbif ≅ 309 К.)
6. ВИСНОВКИ
В роботі побудовано наближену теорію нестабільности наповнених
рідких кристалів щодо утворення (модульованих) періодичних
структур.
Одержано систему рівнань, що враховує можливі відхили від по-
а
б
Рис. 5.1. Залежність Фур’є-компоненти енергій ефективної парної взає-
модії між домішковими частинками від хвильового вектора для части-
нок з радіюсами 3
im 5 10d = ⋅ нм (а) або im 50d = нм (б).
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 665
чаткового однорідного стану як векторного поля директора, так і
розподілу густини нематичного носія та просторового розподілу ча-
стинок домішки; вона також описує анізотропію будови і властиво-
стей досліджуваної системи «НРК—домішка».
Вперше одержано необхідну умову втрати стійкости системи що-
до утворення (модульованих) періодичних структур, яка дозволяє
розрахувати температуру втрати стійкости системи, а в спрощенім
варіянті – оцінити й період утвореної структури в напрямку незбу-
реного директора.
Одержано вираз для Фур’є-компонент енергії взаємодії між час-
тинками домішки, яким передбачається далекосяжний й квазиос-
циляційний характер такої взаємодії у прямому просторі (зокрема,
завдяки пружній взаємодії через середовище). В загальному випад-
ку енергія цієї взаємодії залежить від температури, густини нема-
тичного носія та й концентрації домішки; врахування цього умож-
ливлює керування структурою й властивостями системи через змі-
ну зовнішніх термодинамічних умов. (Останнє твердження є дока-
зом гіпотези, яку було сформульовано у [51, 52].)
Аналітично передбачено і чисельно підтверджено, що істотний
внесок у повну енергію міждомішкової взаємодії вносять просторо-
ві неоднорідності густини самого рідкокристалічного носія, спри-
чинені частинками домішки. Саме ця взаємодія, поряд з непрямою
міждомішковою взаємодією через поля індукованих спотворень
поля директора НРК, може виступати колективним механізмом
формування модульованих періодичних структур.
ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА
1. P. Poulin, H. Stark, T. C. Lubensky, and D. A. Weitz, Science, 275: 1770
(1997).
2. W. B. Russel, D. A. Saville, and W. R. Schowalter, Colloidal Dispersions
(Cambridge: Cambridge University Press: 1989).
3. A. P. Ruhwandl and E. M. Zukoski, Adv. Colloid Interface Sci., 30: 153
(1989).
4. B. I. Lev and P. M. Tomchuk, Phys. Rev. E, 59: 591 (1999).
5. S. B. Chernyshuk, B. I. Lev, and H. Yokoyama, Sov. Phys. JETP, 93, No. 4:
760 (2001).
6. С. Л. Лопатников, В. А. Намиот, ЖЭТФ, 75, вып. 1(7): 361 (1978).
7. П. Де Жен, Физика жидких кристаллов (Москва: Мир: 1977) (пер. з
англ.).
8. A. Glushchenko et al., Liquid Crystals, 23, No. 2: 241 (1997).
9. J.-C. P. Gabriel and P. Davidson, Adv. Mater., 12, No. 1: 9, (2000).
10. Е. М. Терентьев, Кристаллография, 33, вып. 5: 1077 (1988).
11. В. А. Намиот, ЖЭТФ, 40, вып. 4: 1212 (1986).
12. W. B. Russel, D. A. Saville, and W. R. Schowalter, Colloidal Dispersions
(Cambridge, MA: Cambridge University Press: 1995) (paperback edition).
666 А. В. КЛЕЩОНОК, В. Ю. РЕШЕТНЯК, В. А. ТАТАРЕНКО
13. T. C. Lubensky, D. Pettey, N. Currier, and H. Stark, Phys. Rev. E, 57: 610
(1998).
14. O. W. Kuksenok, R. W. Ruhwandl, S. V. Shiyanovskii, and E. M. Terentjev,
Phys. Rev. E, 54: 5199 (1996).
15. H. Stark, Physics Reports, 351: 387 (2001).
16. S. Grollau, N. L. Abbott, and J. J. de Pablo, Phys. Rev. E, 67: 051703
(2003).
17. A. Abd el Kader and J. C. Earnshaw, Phys. Rev. E, 56: 3251 (1997).
18. A. Mertelj and M. Copic, Phys. Rev. E, 55: 504 (1997).
19. P. Poulin and D. A. Weitz, Phys. Rev. E, 57: 626 (1998).
20. T. G. Sokolovska, R. O. Sokolovskii, and G. N. Patey, Phys. Rev. E, 77:
041701 (2008).
21. J. C. Loudet, Liquid Crystals Today, 14, No. 1: 1 (2005).
22. I. Musevic, M. Skarabot, M. Ravnik, U. Tkalec, and S. Zumer, Science, 313:
954 (2006).
23. H. Stark, Phys. Rev. E, 66: 041705 (2002).
24. P. Poulin, V. Cabuil, and D. A. Weitz, Phys. Rev. Lett., 79: 4862 (1997).
25. I. I. Smalyukh et al., Appl. Phys. Lett., 86: 021913 (2005).
26. K. Takahashi, M. Ichikawa, and Y. Kimura, Phys. Rev. E, 77: 020703
(2008).
27. G. S. Iannacchione, S. Park, C. W. Garland, R. J. Birgeneau, and R. L. Le-
heny, arXiv:cond-mat/0208287v1 (2002).
28. B. Zhou, G. S. Iannacchinoe, C. W. Garland, and T. Bellini, Phys. Rev. E,
55: 2962 (1997).
29. H. Haga and C. W. Garland, Phys. Rev. E, 56: 3044 (1997).
30. P. G. Petrov and E. M. Terentjev, Langmuir, 17: 2942 (2001).
31. A. Andrienko et al., Phys. Rev. E, 68: 051702 (2003).
32. D. L. Cheung and M. P. Allen, Phys. Rev. E, 74: 021701 (2006).
33. N. M. Silvestre, P. Patrico, and M. M. Telo Da Gama, Pramana—J. Phys.,
64, No. 6: 991 (2005).
34. D. Andrienko et al., arXiv:cond-mat/0203018v2 (2008).
35. D. Andrienko, M. Tasinkevych, P. Patrricio, and M. M. Telo da Gama,
arXiv:cond-mat/0312203v1 (2003).
36. M. Tasinkevych and D. Andrienko, arXiv:cond-mat/0701716v1 (2007).
37. C. Buzano, L. R. Evangelista, and A. Pelizzola, Phys. Rev. E, 56: 770
(1997).
38. K.-Q. Xia, Y.-B. Zhang, P. Tong, and C. Wu, Phys. Rev. E, 55: 5792 (1997).
39. J. H. E. Promislow and A. P. Gast, Phys. Rev. E, 56: 642 (1997).
40. W. Wen, Sh. Men, and K. Lu, Phys. Rev. E, 55: 3015 (1997).
41. R. R. Netz, D. Andelman, and M. Schick, Phys. Rev. E, 79: 1058 (1997).
42. S. Komura and H. Kodama, Phys. Rev. E, 55: 1722 (1997).
43. Ж.-К. Толедано, П. Толедано, Теория Ландау фазовых переходов (Москва:
Мир: 1994) (пер. з англ.).
44. Цянь Сюэ-Сень, Физическая механика (Москва: Мир: 1965) (пер. з кит.).
45. Sh. Singh, Liquid Crystals: Fundamentals (New Jersey: World Scientific:
2002).
46. Н. А. Смирнова, Молекулярные теории растворов (Ленинград: Химия.
Ленинград. отд.: 1987).
НЕСТАБІЛЬНІСТЬ ДОМІШКОВИХ МЕЗОФАЗ ЩОДО МОДУЛЬОВАНИХ СТРУКТУР 667
47. Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Теоретическая физика. Т. VII. Теория уп-
ругости (Москва: Наука: 1987).
48. А. Г. Хачатурян, Теория фазовых превращений и структура твердых
растворов (Москва: Наука: 1974).
49. М. Абрамовиц, И. Стиган, Справочник по специальным функциям (Моск-
ва: Наука: 1979) (пер. з англ.).
50. S. Faetti, M. Gatti, and V. Palleschi, J. de Physique. Lettres, 46, No. 18:
L881 (1985).
51. V. Yu. Reshetnyak and V. A. Tatarenko, Phase Transitions, 43, No. 1—4:
221—222 (1993).
52. V. Yu. Reshetnyak and V. A. Tatarenko, Symmetry and Structural Proper-
ties of Condensed Matter: Proc. of the Intern. School ... (6—12 Sept., 1990,
Zajaçzkowo near Poznan) (Eds. W. Florek, T. Lulek, and M. Mucha) (Singa-
pore: World Scientific: 1991), p. 421.
|