О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы
Пусть σk - сумма всех главных миноров k-го порядка гессиана (zij) для функции z(x^1,…,x^n). Если функция φ от (n-1)-го положительного переменного принадлежит классу С^3,α, 0 < α < 1, и достаточно близка к тождесвенно единичной функции, то всякое полное выпуклое решение z(x^1,…,x^n) уравнения...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | English |
| Опубліковано: |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України
2007
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7618 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы / В.Н. Кокарев // Журн. мат. физики, анализа, геометрии. — 2007. — Т. 3, № 4. — С. 448-467. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7618 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-76182010-04-07T12:01:03Z О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы Кокарев, В.Н. Пусть σk - сумма всех главных миноров k-го порядка гессиана (zij) для функции z(x^1,…,x^n). Если функция φ от (n-1)-го положительного переменного принадлежит классу С^3,α, 0 < α < 1, и достаточно близка к тождесвенно единичной функции, то всякое полное выпуклое решение z(x^1,…,x^n) уравнения σn=φ(σ1,...,σn-1) является квадратичным полиномом. Let σk - the sum of all k-order Hessian principal minors (zij ) for the function z(x^1,…,x^n). If function φ of the (n-1) positive variable belongs to the С^3,α class, 0 < α < 1, and if it is sufficiently close to the identically single function, then any complete convex solution z(x^1,…,x^n) of the equation σn=φ(σ1,...,σn-1) is a quadratic polynomial. 2007 Article О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы / В.Н. Кокарев // Журн. мат. физики, анализа, геометрии. — 2007. — Т. 3, № 4. — С. 448-467. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1812-9471 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7618 en Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
English |
| description |
Пусть σk - сумма всех главных миноров k-го порядка гессиана (zij) для функции z(x^1,…,x^n). Если функция φ от (n-1)-го положительного переменного принадлежит классу С^3,α, 0 < α < 1, и достаточно близка к тождесвенно единичной функции, то всякое полное выпуклое решение z(x^1,…,x^n) уравнения σn=φ(σ1,...,σn-1) является квадратичным полиномом. |
| format |
Article |
| author |
Кокарев, В.Н. |
| spellingShingle |
Кокарев, В.Н. О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы |
| author_facet |
Кокарев, В.Н. |
| author_sort |
Кокарев, В.Н. |
| title |
О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы |
| title_short |
О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы |
| title_full |
О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы |
| title_fullStr |
О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы |
| title_full_unstemmed |
О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы |
| title_sort |
о полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы |
| publisher |
Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України |
| publishDate |
2007 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7618 |
| citation_txt |
О полных выпуклых решениях уравнений, близких к уравнению несобственной аффинной сферы / В.Н. Кокарев // Журн. мат. физики, анализа, геометрии. — 2007. — Т. 3, № 4. — С. 448-467. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT kokarevvn opolnyhvypuklyhrešeniâhuravnenijblizkihkuravneniûnesobstvennojaffinnojsfery |
| first_indexed |
2025-07-02T10:25:56Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:25:56Z |
| _version_ |
1836530486682320896 |
| fulltext |
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè
2007, ò. 3, � 4, c. 448�467
Î ïîëíûõ âûïóêëûõ ðåøåíèÿõ óðàâíåíèé, áëèçêèõ
ê óðàâíåíèþ íåñîáñòâåííîé àôôèííîé ñôåðû
Â.Í. Êîêàðåâ
Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò
óë. Àêàä. Ïàâëîâà, 1, Ñàìàðà, 443011, Ðîññèÿ
E-mail:ko1949@yandex.ru
Ñòàòüÿ ïîñòóïèëà â ðåäàêöèþ 22 àïðåëÿ 2007 ã.
Ïóñòü �k � ñóììà âñåõ ãëàâíûõ ìèíîðîâ k-ãî ïîðÿäêà ãåññèàíà (zij)
äëÿ ôóíêöèè z(x1; : : : ; xn). Åñëè ôóíêöèÿ ' îò (n � 1)-ãî ïîëîæèòåëü-
íîãî ïåðåìåííîãî ïðèíàäëåæèò êëàññó C
3;�, 0 < � < 1, è äîñòàòî÷íî
áëèçêà ê òîæäåñòâåííî åäèíè÷íîé ôóíêöèè, òî âñÿêîå ïîëíîå âûïóêëîå
ðåøåíèå z(x1; : : : ; xn) óðàâíåíèÿ
�n = '(�1; : : : ; �n�1)
ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íûì ïîëèíîìîì.
Íåõàé �k � ñóìà âñiõ ãîëîâíèõ ìiíîðiâ k-ãî ïîðÿäêó ãåññiàíó (zij) äëÿ
ôóíêöi¨ z(x1; : : : ; xn). Êîëè ôóíêöiÿ ' âiä (n� 1)-ãî äîäàòíîãî çìiííîãî
íàëåæèòü äî êëàñó C
3;�, 0 < � < 1, i äîñòàòíüî áëèçüêà äî òîòîæíüî
îäèíè÷íî¨ ôóíêöi¨, òî êîæíèé ïîâíèé îïóêëèé ðîçâ'ÿçîê z(x1; : : : ; xn)
ðiâíÿííÿ
�n = '(�1; : : : ; �n�1)
¹ êâàäðàòè÷íèì ïîëiíîìîì.
Êëþ÷åâûå ñëîâà: íåñîáñòâåííàÿ àôôèííàÿ ñôåðà.
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 58J05.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå äîêàçûâàåòñÿ ðåçóëüòàò, àíîíñèðîâàííûé â [1].  ðà-
áîòàõ [2�4] äîêàçàíî, ÷òî âñå ïîëíûå âûïóêëûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ Ìîíæà�
Àìïåðà det (zij) = 1, çàäàííîãî íà âñåé ïëîñêîñòè, ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè
ïîëèíîìàìè. Ýòî óðàâíåíèå âîçíèêëî ïðè èçó÷åíèè î÷åíü èíòåðåñíîãî êëàññà
ïîâåðõíîñòåé � íåñîáñòâåííûõ àôôèííûõ ñôåð, îòêðûòûõ Ã. ×è÷åéêîé [5].
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå Ðîññèéñêîãî ôîíäà ôóíäàìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé.
Ãðàíò � 05-01-00313.
c
Â.Í. Êîêàðåâ, 2007
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
Îäíàêî èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿþò è íåëèíåéíûå ýëëèïòè÷åñêèå óðàâíåíèÿ áîëåå
îáùåãî âèäà, çàäàííûå íà âñåé ïëîñêîñòè. Íåêîòîðûå èç íèõ ìû ðàññìàòðè-
âàåì â äàííîé ñòàòüå.
Óðàâíåíèå det (zij) = 1 ìîæíî çàïèñàòü â âèäå �1; : : : ; �n = 1, ãäå �i �
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ãåññèàíà (zij). Åñòåñòâåííî ïîñòàâèòü âîïðîñ:
÷òî ìîæíî ñêàçàòü î ïîëíûõ âûïóêëûõ ðåøåíèÿõ z(x1; : : : ; xn) "âîçìóùåííî-
ãî"óðàâíåíèÿ
�n = '(�1; : : : ; �n�1); (1)
ãäå �1; : : : ; �n � ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îò ñîáñòâåííûõ çíà-
÷åíèé �1; : : : ; �n ìàòðèöû (zij), ò.å. �k åñòü ñóììà âñåõ ãëàâíûõ ìèíîðîâ k-ãî
ïîðÿäêà ìàòðèöû (zij), à ' � ðåãóëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ïîëîæèòåëüíûõ ïåðåìåí-
íûõ. Â ñòàòüå áóäåò äîêàçàíà
Òåîðåìà. Ïóñòü ôóíêöèÿ '(�1; : : : ; �n�1) çàäàíà â îáëàñòè �k > C
k
n(1 �
")k=n, k = 1; : : : ; n�1, ïðèíàäëåæèò êëàññó C3;�, 0 < � < 1, è óäîâëåòâîðÿåò
â ýòîé îáëàñòè óñëîâèÿì:
1� " 6 ' 6 1 + "; (2)���� @'@�i
���� 6 "
'
�i
; (3)
���� @
2
'
@�i@�j
���� 6 "
'
�i�j
; (4)
���� @
3
'
@�i@�j@�k
���� 6 "
'
�i�j�k
; (5)
ãäå i; j; k = 1; : : : ; n � 1, à " <
1
1210(n � 1)2(n+ 3)n6
. Òîãäà âñÿêîå ïîëíîå
âûïóêëîå ðåøåíèå z(x1; : : : ; xn) óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íûì ïîëè-
íîìîì.
1. Îáîáùåíèå óðàâíåíèÿ (1)
Ïðè èçó÷åíèè óðàâíåíèÿ (1) íàì ïðèäåòñÿ âûïîëíÿòü àôôèííûå ïðåîáðà-
çîâàíèÿ êîîðäèíàò. Ïðè òàêèõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò âåëè÷èíà det (zij)
= �n óìíîæàåòñÿ íà ÷èñëî, ÷òî æå êàñàåòñÿ ôóíêöèé �1; : : : ; �n�1, òî îíè äà-
æå îòíîñèòåëüíûìè èíâàðèàíòàìè íå ÿâëÿþòñÿ. Â ñâÿçè ñ ýòèì ðàññìîòðèì
íåñêîëüêî áîëåå îáùóþ ñèòóàöèþ.
Ïóñòü ïîëíàÿ âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü � è ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä �
çàäàíû â åâêëèäîâîì ïðîñòðàíñòâå En+1 óðàâíåíèÿìè x
n+1 = z(x1; : : : ; xn) è
x
n+1 = z
0(x1; : : : ; xn) = 1
2
cijx
i
x
j, ñîîòâåòñòâåííî. Ïðè ñóììèðîâàíèè èíäåêñû
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 449
Â.Í. Êîêàðåâ
âñþäó ïðîáåãàþò çíà÷åíèÿ 1; : : : ; n. Îáîçíà÷èì
@z
@xi
= zi;
@
2
z
@xi@xj
= zij è ò.ä.
×åðåç ~�1; : : : ; ~�n îáîçíà÷èì òåïåðü ýêñòðåìóìû ôîðìû zij�
i
�
j îòíîñèòåëüíî
ôîðìû cij�
i
�
j. Îíè ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ
det (zij � ~�cij) = 0: (6)
Ýòî óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî ïðè àôôèííûõ çàìåíàõ êîîðäèíàò x
1
; : : : ; x
n.
Ñëåäîâàòåëüíî, è óðàâíåíèå
~�n = '(~�1; : : : ; ~�n�1); (7)
ãäå ~�1; : : : ; ~�n � ýëåìåíòàðíûå ñèììåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îò ~�1; : : : ; ~�n, èíâà-
ðèàíòíî ïðè àôôèííûõ çàìåíàõ êîîðäèíàò. Êðîìå òîãî, åñëè ïîâåðõíîñòè � è
� îäíîâðåìåííî ïîäâåðãíóòü àôôèííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ âèäà (x1; : : : ; xn+1)
! (a1i x
i
; : : : ; a
n
i x
i
; x
n+1), òî ~�1; : : : ; ~�n â ñîîòâåòñòâåííûõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòè
� è åå îáðàçà áóäóò îäèíàêîâû. ×òîáû íå óñëîæíÿòü âû÷èñëåíèé, ñ÷èòàåì,
÷òî det (cij) = 1, à óêàçàííûå àôôèííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è àôôèííûå çà-
ìåíû êîîðäèíàò x
1
; : : : ; x
n áóäåì ðàññìàòðèâàòü òîëüêî óíèìîäóëÿðíûå, ò.å.
ñ îïðåäåëèòåëåì, ðàâíûì 1. Ñ ó÷åòîì ýòîãî ïîëó÷àåì
�k = C
k
nD(zij ; : : : ; zij| {z }
k
; cij ; : : : ; cij);
ãäå D � ñèìâîë ñìåøàííîãî äèñêðèìèíàíòà [6], ò.å.
�k =
X
16i1<:::<ik6k
16j1<:::<jk6k
Z
j1:::jk
i1:::ik
C
j1:::jk
i1:::ik
:
Çäåñü Z
j1:::jk
i1:::ik
� ìèíîð ìàòðèöû (zij), ñòîÿùèé â ñòðîêàõ ñ íîìåðàìè i1; : : : ; ik
è ñòîëáöàõ ñ íîìåðàìè j1; : : : ; jk, à C
j1:::jk
i1:::ik
� àëãåáðàè÷åñêîå äîïîëíåíèå òî-
ãî ìèíîðà ìàòðèöû (cij), êîòîðûé ñòîèò â ñòðîêàõ è ñòîëáöàõ ñ òåìè æå
íîìåðàìè. Äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷èì C
k
nD(zij ; : : : ; zij| {z }
k
; cij ; : : : ; cij) = D
k. Ïóñòü
âûïóêëàÿ ïîâåðõíîñòü �, ÿâëÿþùàÿñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè z(x1; : : : ; xn), óäîâ-
ëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (7). Ñíà÷àëà äëÿ ôóíêöèè z(x1; : : : ; xn) ïîëó÷èì îöåíêè
ïåðâûõ è âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ.
2. C2 � îöåíêè ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7)
â îãðàíè÷åííîé îáëàñòè
Òàê êàê ê ôóíêöèè z(x1; : : : ; xn) ìîæíî ïðèáàâëÿòü ñëàãàåìûå âèäà cix
i+
c, òî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ïîâåðõíîñòü � êàñàåòñÿ
450 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
ïëîñêîñòè x
n+1 = 0. ×åðåç Gh îáîçíà÷èì îáëàñòü íà ïëîñêîñòè x
n+1 = 0,
ãäå z(x1; : : : ; xn) 6 h. Â ñèëó óñëîâèÿ (2) ìàòðèöà (zij) èìååò ïîëîæèòåëüíûå
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó ïîâåðõíîñòü � íå ìîæåò áûòü öèëèíäðîì.
Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî Gh êîìïàêòíî. Ïóñòü dh � äèàìåòð ýòîãî ìíî-
æåñòâà.. Îöåíèì ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè z(x1; : : : ; xn) â îáëàñòè G1,
èñïîëüçóÿ ìåòîä ðàáîòû [4].
Âîçüìåì òî÷êó (x1; : : : ; xn) 2 G1 è ïîñòðîèì êîíóñ C ñ âåðøèíîé â òî÷-
êå S(x1; : : : ; xn; z(x1; : : : ; xn)), êîòîðûé ïðîåêòèðóåò ïåðåñå÷åíèå ïëîñêîñòè
x
n+1 = 2 ñ ïîâåðõíîñòüþ �. ×åðåç �h îáîçíà÷èì ÷àñòü ïîâåðõíîñòè �, äëÿ
êîòîðîé z(x1; : : : ; xn) 6 h, à ÷åðåç ��
h è C
� � íîðìàëüíûå èçîáðàæåíèÿ �h
è C, ñîîòâåòñòâåííî, íà ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ p1; : : : ; pn (ñì. [4; �5, ï. 1]). Â
ñèëó âûïóêëîñòè �2 èìååì C
� � ��
2, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îáúåìîâ ïîëó÷àåì
íåðàâåíñòâî Vol(C�) 6 Vol(��
2).
Òàê êàê âûñîòà êîíóñà C íå ìåíåå 1, à äèàìåòð îñíîâàíèÿ ðàâåí d2, òî øàð
p
2
1 + � � �+ p
2
n 6 1=d22 ïðèíàäëåæèò C
�. Òî÷êà (p1; : : : ; pn) = (z1(x
1
; : : : ; x
n); : : : ;
zn(x
1
; : : : ; x
n)) òîæå ïðèíàäëåæèò C�. Çíà÷èò, â C� ëåæèò êîíóñ âðàùåíèÿ ñ
ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ 1=d2, âûñîòîé jzi(x1; : : : ; xn)j, îáúåìîì
jzi(x1; : : : ; xn)j{n�1
nd
n�1
2
,
ãäå {n�1 � îáúåì (n�1)-ìåðíîãî åäèíè÷íîãî øàðà. Ñëåäîâàòåëüíî, Vol(C�) >
jzi(x1; : : : ; xn)j{n�1
nd
n�1
2
. Äàëåå
Vol(��
2) =
Z
��
2
dp1 � � � dpn =
Z
G2
@(p1; : : : ; pn)
@(x1; : : : ; xn)
dx
1 � � � dxn =
Z
G2
det (zij)dx
1 � � � dxn
=
Z
G2
'dx
1 � � � dxn 6
(1 + ")dn2{n
2n
;
ãäå {n � îáúåì n-ìåðíîãî åäèíè÷íîãî øàðà. Èç Vol(C�) 6 Vol(��
2) ïîëó÷àåì
îöåíêó ñâåðõó íàjzi(x1; : : : ; xn)j äëÿ âñåõ òî÷åê îáëàñòè G1. Îöåíêà çàâèñèò
îò " è d2 � äèàìåòðà ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè � íà âûñîòå 2.
Òåïåðü îöåíèì âòîðûå ïðîèçâîäíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (7) â îáëàñòè
G1=2. Ìîäèôèöèðóÿ ïðèåì À.Â. Ïîãîðåëîâà [7, �5, ï. 2, äîê-âî òåîðåìû 5.1],
ââåäåì â G1 ôóíêöèþ òî÷êè è íàïðàâëåíèÿ
w = (1� z)se(z
2
1
+���z2n)=2z��;
ãäå èíäåêñ � îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå â íàïðàâëåíèè �, à ïîñòîÿííàÿ
s > 0 áóäåò âûáðàíà ïîçæå. Ôóíêöèÿ w îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ãðàíèöå îá-
ëàñòè G1, à âî âíóòðåííèõ åå òî÷êàõ äëÿ âñåõ íàïðàâëåíèé w > 0.  ñèëó
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 451
Â.Í. Êîêàðåâ
êîìïàêòíîñòè ìíîæåñòâà G1 ôóíêöèÿ w äîñòèãàåò ïîëîæèòåëüíîãî ìàêñè-
ìóìà, ðàâíîãî w0, âî âíóòðåííåé òî÷êå O îáëàñòè G1 äëÿ íåêîòîðîãî íàïðàâ-
ëåíèÿ �0. Ýòî íàïðàâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì êâàäðàòè÷íîé
ôîðìû d
2
z â òî÷êå O. Íàïðàâèì îñè x
1
; : : : ; x
n ïî ãëàâíûì íàïðàâëåíèÿì
ôîðìû d
2
z â òî÷êå O, ïðè÷åì îñü x
1 ïóñòü èìååò íàïðàâëåíèå �0. Òîãäà â
òî÷êå O zij = 0(i 6= j).  íîâûõ êîîðäèíàòàõ óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè � áóäåò
ïî-ïðåæíåìó èìåòü âèä (7), íî, âîîáùå ãîâîðÿ, ñ äðóãèìè cij . Îñòàâèì çà
ýòèìè êîýôôèöèåíòàìè ñòàðûå îáîçíà÷åíèÿ. Ïî-ïðåæíåìó, det cij = 1.
Èòàê, â òî÷êå O ôóíêöèÿ w = (1�z)se(z
2
1
+���+z2n)=2z11 äîñòèãàåò ìàêñèìóìà.
Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîé òî÷êå d(lnw) = 0; d2(lnw) 6 0. Âû÷èñëèâ, ïîëó÷èì â
òî÷êå O
@ lnw
@xi
=
szi
z � 1
+ zizii +
z11i
z11
= 0; (8)
@
2 lnw
@xi@xj
=
szij
z � 1
�
szizj
(z � 1)2
+
X
�
z�z�ij +
X
�
z�iz�j +
z11ij
z11
�
z11iz11j
z
2
11
: (9)
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì (7) â òî÷êå O ïî x� è äâàæäû ïî x1. Ïîäåëèâ ðåçóëüòàòû
ïî÷ëåííî íà (7) è îáîçíà÷èâ
@'
@�k
= 'k;
@
2
'
@�k@�l
= 'kl, ïîëó÷èì
X
i
zii�
zii
=
X
k;p;q
'k
'
@D
k
@zpq
zpq�; (10)
X
i
zii11
zii
+
X
i6=j
zii1zjj1
ziizjj
�
X
i6=j
z
2
ij1
ziizjj
=
X
k;p;q
'k
'
@D
k
@zpq
zpq11
+
X
k;p;q;r;s
'k
'
@
2
D
k
@zpq@zrs
zpq1zrs1 +
X
k;l;p;q;r;s
'kl
'
@D
k
@zpq
@D
l
@zrs
zpq1zrs1: (11)
Ïðè ýòîì ñ ïîìîùüþ (3) ïîëó÷àåì�����
X
k
'k
'
@D
k
@zii
����� 6
X
k
"'
'�k
�k
zii
=
"1
zii
; "1 = (n� 1)";
�����
X
k
'k
'
@D
k
@zij
�����
6
X
k
���� "''�k �ijk�1cij
���� 6X
k
���� "�k�ijk�1pciicjj
���� 6X
k
"
�k
r
�k
zii
�k
zjj
6
"1
p
ziizjj
:
Çäåñü �
ij
k�1 � ýëåìåíòàðíàÿ ñèììåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ (k � 1)-ãî ïîðÿäêà îò
~�1; : : : ; ~�n êðîìå ~�i; ~�j .
Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåì ñ ïîìîùüþ (3) è (4)�����
X
k
'k
'
@
2
D
k
@zpq@zrs
����� 6 "1
p
zppzqqzrrzss
;
452 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
������
X
k;l
'kl
'
@D
k
@zpq
@D
l
@zrs
������ 6
"2
p
zppzqqzrrzss
; "2 = "(n� 1)2:
Óìíîæèì (10) íà z� è ïðîñóììèðóåì ïî �. Ïîëó÷èì
X
�;i
z�zii�
zii
�
X
�;i;j;k
'k
'
@D
k
@zij
zij�z� = 0: (12)
Äëÿ ýëåìåíòîâ ìàòðèöû (Aij), ãäå Aii =
1
zii
�
P
k
'k
'
@D
k
@zii
;
Aij =
P
k
'k
'
@D
k
@zij
, i 6= j, èìååì
1� "1
zii
6 jAiij 6
1 + "1
zii
; jAijj 6
"1
p
ziizjj
; i 6= j:
Ïîýòîìó âñå åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïîëîæèòåëüíû. Çíà÷èò,
z11
X
i;j
Aij
@
2 lnw
@xi@xj
6 0:
Ñ ó÷åòîì (9) è (12) ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî äàåò
�
snz11(1 + "1)
1� z
�
X
i;j
z11Aij
szizj
(z � 1)2
+
X
i
z11z
2
iiAii
+
X
i;j
z11ijAij �
X
i;j
Aijz11iz11j
z11
6 0: (13)
Òðåòüå ñëàãàåìîå â ëåâîé ÷àñòè (11) ïðåîáðàçóåì
X
i6=j
z
2
ij1
ziizjj
=
X
(i6=j)>1
z
2
ij1
ziizjj
+
2
s
X
i>1
z
2
i11
ziiz11
+ (2�
2
s
)
X
j>1
z
2
1j1
z11zjj
(14)
è, èñïîëüçóÿ (8), ïîëó÷èì
2
s
zi11
ziiz11
=
2
s
z11
zii
�
szi
z � 1
+ zizii
�2
>
2sz2i z11
(z � 1)2zii
+
4z2i z11
z � 1
: (15)
Âîçâåäåì (10) ïî÷ëåííî â êâàäðàò, ïîëîæèâ � = 1, óìíîæèì íà(1 + 1=n2)
è ñëîæèì ñ (13). Çàòåì èç ðåçóëüòàòà âû÷òåì (11). Òàê êàê
P
i z11z
2
iiAii >
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 453
Â.Í. Êîêàðåâ
z
2
11(1� "
2
1), òî ñ ó÷åòîì (14),(15) è îöåíîê íà êîýôôèöèåíòû â ïðàâûõ ÷àñòÿõ
(10) è (11) ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî âèäà
�
snz11(1 + "1)
1� z
�
2sz21
(z � 1)2
+
sz11
(z � 1)2
X
i;j
(
2Æij
zii
�Aij)zizj
+z211(1� "1) +
4z11
z � 1
X
i>1
z
2
i +
X
i;j;k;l
Bij;kl
zij1zkl1
p
ziizjjzkkzll
6 0: (16)
Ìàòðèöà (
2Æij
zii
� Aij) èìååò ïîëîæèòåëüíûå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó
òðåòüå ñëàãàåìîå â (16) íåîòðèöàòåëüíî. Äëÿ êîýôôèöèåíòîâ (n2 � n
2) ìàò-
ðèöû (Bij;kl) ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå îöåíêè:
B11;11 >
1
n2
� 2"2; Bi1;i1 = B1i;1i > 1�
1
s
� 2"2; (i > 1);
Bij;ij > 1� 2"2; (i; j > 1); 0 < Bii;jj 6
1
n2
+ 2"2; (i 6= j);
jBij;klj 6 2"2; åñëè óïîðÿäî÷åííûå ïàðû(ij); (kl)ðàçëè÷íû:
Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì s, íàïðèìåð, s > n
2, ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
Bij;kl ïîëîæèòåëüíû (ñì.[8], òåîðåìà 7.2.1) è, çíà÷èò, ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå â
(16) íåîòðèöàòåëüíî. Óñèëèâàÿ (16), ïîëó÷àåì
�
snz11(1 + "1)
1� z
�
2sz21
(z � 1)2
+ z
2
11(1� "1) +
4z11
z � 1
X
i>1
z
2
i 6 0:
Óìíîæèâ ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî íà (1 � z)2sez
2
1
+���+z2n è ïîëîæèâ s = n
2, ïî-
ëó÷èì â òî÷êå O íåðàâåíñòâî âèäà
(1� "1)w
2
0 +Qw0 +R 6 0;
ãäå Q è R ñîäåðæàò (1 � z) â íåîòðèöàòåëüíûõ ñòåïåíÿõ è çàâèñÿò òàêæå îò
" è ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèè z. Òàê êàê â îáëàñòè G1 0 6 1� z 6 1, òî
èç îöåíîê íà ïåðâûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè z â îáëàñòè G1 ïîëó÷àåì, ÷òî Q
è R îöåíèâàþòñÿ ÷åðåç d2 è ". Ñëåäîâàòåëüíî, w0 îöåíèâàåòñÿ ÷åðåç ýòè æå
âåëè÷èíû. Îáîçíà÷èâ ýòó îöåíêó ÷åðåç w0(d2; "), ïîëó÷àåì äëÿ âñåõ òî÷åê è
âñåõ íàïðàâëåíèé � â îáëàñòè G1
(1� z)n
2
e
(z2
1
+���+z2n)=2z�� 6 w0(d2; "):
Îòñþäà äëÿ âñåõ òî÷åê è âñåõ íàïðàâëåíèé â îáëàñòè G1=2 ïîëó÷àåì
z�� 6 2n
2
w0(d2; "):
Î÷åíü âàæíî, ÷òî îöåíêà ìîæåò áûòü âûðàæåíà òîëüêî ÷åðåç d2 è " âíå
çàâèñèìîñòè îò êîýôôèöèåíòîâ cij . Ýòî ïîçâîëèò â ñëåäóþùåì ðàçäåëå ïî-
ëó÷èòü ãëîáàëüíóþ îöåíêó íà âòîðûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè z.
454 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
3. Ãëîáàëüíàÿ îöåíêà äëÿ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (7)
Çäåñü ìû èñïîëüçóåì ìåòîä À.Â. Ïîãîðåëîâà èç [4].
×åðåç Th îáîçíà÷èì ïåðåñå÷åíèå ïëîñêîñòè x
n+1 = h ñ âûïóêëûì òåëîì,
îãðàíè÷åííûì ïîâåðõíîñòüþ �. Íå îãðàíè÷èâàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü,
÷òî ïëîñêîñòü xn+1 = 0 êàñàåòñÿ ïîâåðõíîñòè � â òî÷êå S, à îñü xn+1 ïðîõîäèò
÷åðåç öåíòð òÿæåñòè ñå÷åíèÿ Th. Ïóñòü E� n-ìåðíûé ýëëèïñîèä ìèíèìàëü-
íîãî îáúåìà, ñîäåðæàùèé Th, öåíòð êîòîðîãî ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì òÿæåñòè
Th. Ïîäâåðãíåì ïîâåðõíîñòè � è � óíèìîäóëÿðíîìó àôôèííîìó ïðåîáðàçî-
âàíèþ � âèäà (x1; : : : ; xn; xn+1) ! (�1i x
i
; : : : ; �
n
i x
i
; x
n+1), ïåðåâîäÿùåìó ýë-
ëèïñîèä E â øàð E
0ðàäèóñà r, à ïîâåðõíîñòè � è �� â ïîâåðõíîñòè �0 è �0.
Îñè x
1
; : : : ; x
n ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî ýòî ïðåîáðàçîâàíèå áóäåò èìåòü âèä
� : (x1; : : : ; xn; xn+1) ! (�1x
1
; : : : ; �nx
n
; x
n+1). Ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòè �0 è �0
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (7) ñ òîé æå ôóíêöèåé ' è äëÿ íîâûõ êîýôôèöè-
åíòîâ c0ij òàêæå det (c
0
ij) = 1. Äîêàæåì, ÷òî âåëè÷èíà h=r2 îãðàíè÷åíà ñâåðõó
è ñíèçó íåêîòîðûìè ïîëîæèòåëüíûìè êîíñòàíòàìè, çàâèñÿùèìè òîëüêî îò ".
Äëÿ ïîâåðõíîñòè �0 ââåäåì �0
h; G
0
h;�
0�
h òàê æå, êàê ââîäèëèñü �h; Gh;�
�
h
äëÿ ïîâåðõíîñòè � â ðàçä. 2. Òîãäà, êàê è â ðàçä. 2,
Vol(�0�
h ) =
Z
�0�
h
dp1 : : : dpn =
Z
G0
h
det (zij)dx
1
: : : dx
n =
Z
G0
h
'dx
1
: : : dx
n
6 (1 + ")rn{n:
Îáúåì íîðìàëüíîãî èçîáðàæåíèÿ êîíóñà, ïðîåêòèðóþùåãî øàð E
0 èç òî÷-
êè s
0 = �(S) íå ìåíåå, ÷åì (h=2r)n{n. Ñðàâíèâàÿ åãî ñ Vol(�0�
h ), ïîëó÷àåì
(h=2r)n{n 6 (1 + ")rn{n èëè h=r
2 6 2(1 + ")1=n.
Ïîäâåðãíåì øàð E0 ãîìîòåòèè ñ êîýôôèöèåíòîì k = 1=n3=2 îòíîñèòåëüíî
åãî öåíòðà. Ïîëó÷åííûé øàð E
00 áóäåò ñîäåðæàòüñÿ â T
0
h = �(Th) [9]. Ñïðî-
åêòèðóåì øàð E
0 êîíóñîì V èç òî÷êè B(0; : : : ; 0;�h). ×àñòü ïîâåðõíîñòè �0
h,
ëåæàùóþ âíóòðè ýòîãî êîíóñà, îáîçíà÷èì �V . Îáîçíà÷èì íîðìàëüíûå èçî-
áðàæåíèÿ �V è V ÷åðåç ��
V è V
�. Äëÿ íèõ èìååì ��
V � V
�, äëÿ îáúåìà V
�
ïîëó÷àåì Vol(V �) = (2hn3=2=r)n{n. Ïîäâåðãíåì øàð E00 ãîìîòåòèè H
1=2
B ñ êî-
ýôôèöèåíòîì 1=2 îòíîñèòåëüíî òî÷êè B. Ïîëó÷åííûé øàð H
1=2
B (E00) ëåæèò
â ïëîñêîñòè x
n+1 = 0 è ñîäåðæèò ïðîåêöèþ ïîâåðõíîñòè �V . Ïîýòîìó
Vol(��
V ) >
Z
H
1=2
B (E00)
det (zij)dx
1
: : : dx
n =
Z
H
1=2
B (E00)
'dx
1
: : : dx
n
> (1� ")(
r
2n3=2
)n{n:
Èç Vol(��
V ) 6 Vol(V �) ïîëó÷àåì îöåíêó ñíèçó íà h=r2: h=r2 > (1� ")1=n=4n3.
Ïîäâåðãíåì ïîâåðõíîñòè �0 è �0 àôôèííîìó ïðåîáðàçîâàíèþ
� : (x1; : : : ; xn; xn+1) ! (
p
2x1=
p
h; : : : ;
p
2xn=
p
h; 2xn+1=h). Â ðåçóëüòàòå ïî-
ëó÷èì ïîâåðõíîñòè � è � = �0, ïðè ýòîì ïîâåðõíîñòü � áóäåò óäîâëåòâîðÿòü
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 455
Â.Í. Êîêàðåâ
óðàâíåíèþ (7). Êîìïîçèöèÿ �Æ� íàøèõ äâóõ àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïëîñ-
êîñòü xn+1 = h ïåðåâåäåò â ïëîñêîñòü xn+1 = 2, ïðè ýòîì ñå÷åíèå ïîâåðõíîñòè
� ïëîñêîñòüþ x
n+1 = 2 áóäåò ñîäåðæàòüñÿ â øàðå ðàäèóñà
p
2r=
p
h. Èç îöåíêè
ñíèçó íà h=r2 ïîëó÷àåì äëÿ äèàìåòðà ýòîãî ñå÷åíèÿ d2 îöåíêó
d2 6
4
p
2n3=2
(1� ")1=2n
; (17)
çàâèñÿùóþ òîëüêî îò ".
Ïóñòü ïîâåðõíîñòü � çàäàåòñÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè z(x1; : : : ; xn). Â ñîîò-
âåòñòâóþùèõ òî÷êàõ ïîâåðõíîñòåé � è � äëÿ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíêöèé
z(x1; : : : ; xn) è z(x1; : : : ; xn) èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ
�
2
i zii = zii; i = 1; : : : ; n: (18)
Çàïèøåì ýòè ñîîòíîøåíèÿ äëÿ òî÷êè S íà ïîâåðõíîñòè � è ñîîòâåòñòâóþùåé
åé òî÷êè S íà ïîâåðõíîñòè �
�
2
i zii(S) = zii(S); i = 1; : : : ; n: (19)
Èç ðàçäåëà 2 ïîëó÷àåì îöåíêó ñâåðõó íà zii(S) ÷åðåç d2 è ", à ñ ó÷åòîì (17) ýòà
îöåíêà âûðàæàåòñÿ òîëüêî ÷åðåç ". Òàê êàê z11 : : : znn > det (zij) = ' > 1� "
([10], òåîðåìà 8.6.5), òî ïîëó÷àåì äëÿ zii(S) ïîëîæèòåëüíóþ îöåíêó ñíèçó,
çàâèñÿùóþ òîëüêî îò ". Òîãäà ñîîòíîøåíèå (19) ïîçâîëÿåò îöåíèòü êîýôôè-
öèåíòû �i ñíèçó è ñâåðõó ÷åðåç " è zii(S).
Ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè x
n+1 = 0, äëÿ êîòîðûõ z(x1; : : : ; xn) 6 1=2,
îáîçíà÷èì G1=2. Èç ðåçóëüòàòîâ ðàçä. 2 ñëåäóåò ñóùåñòâîâàíèå îöåíêè, çàâè-
ñÿùåé îò d2 (çíà÷èò òîëüêî îò "), íà zii â îáëàñòè G1=2. Ýòà îáëàñòü ÿâëÿ-
åòñÿ îáðàçîì îáëàñòè Gh=4 ïðè àôôèííîì ïðåîáðàçîâàíèè � Æ �. Âîçâðàùà-
ÿñü ê ñîîòíîøåíèþ (18), ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ zii ðåøåíèÿ
z(x1; : : : ; xn) óðàâíåíèÿ (7) âñþäó â îáëàñòè Gh=4 ñóùåñòâóåò îöåíêà ñâåðõó.
Ïðè ôèêñèðîâàííîì " îíà, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, ìîæåò áûòü âûðàæåíà òîëüêî
÷åðåç âòîðûå ïðîèçâîäíûå zii(S). Òàê êàê h > 0 ïðîèçâîëüíî, òî òàêàÿ îöåíêà
èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ òî÷åê ïîâåðõíîñòè �. Îòñþäà, êàê è ðàíåå, ïîëó÷àåòñÿ
òàêæå ïîëîæèòåëüíàÿ îöåíêà íà zii ñíèçó.
 ñèëó ïîëíîòû ïîâåðõíîñòè � è îãðàíè÷åííîñòè zii ñâåðõó èìååì, ÷òî
ïðîåêöèåé ïîâåðõíîñòè � ÿâëÿåòñÿ âñÿ ïëîñêîñòü x
n+1 = 0. Ýòî ïîçâîëèò â
ñëåäóþùåì ðàçäåëå ââåñòè íà âñåé ïëîñêîñòè xn+1 = 0 ñïåöèàëüíóþ ìåòðèêó.
456 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
4. Äèôôåðåíöèàëüíîå íåðàâåíñòâî äëÿ ðåøåíèÿ
óðàâíåíèÿ (7)
Çàïèøåì óðàâíåíèå (7) â âèäå ~�n � '(~�1; : : : ; ~�n�1) = 0. Ðàññìàòðèâàÿ
ëåâóþ ÷àñòü êàê ôóíêöèþ îò ïðîèçâîäíûõ zij , îáîçíà÷èì
@(~�n � ')
@zij
= g
ij
: (20)
Åñëè äîïóñêàòü òîëüêî àôôèííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ïåðåìåííûõ x1; : : : ; xn, òî
âåëè÷èíû g
ij áóäóò êîîðäèíàòàìè ñèììåòðè÷íîãî òåíçîðà òèïà (0; 2). Ââåäåì
ìåòðèêó íà ïëîñêîñòè x
n+1 = 0, âçÿâ g
ij â êà÷åñòâå êîîðäèíàò êîíòðàâà-
ðèàíòíîãî ìåòðè÷åñêîãî òåíçîðà. Äîêàæåì, ÷òî ýòà ìåòðèêà ïîëîæèòåëüíî
îïðåäåëåííàÿ. Äëÿ ýòîãî ïîâîðîòîì îñåé äîáüåìñÿ, ÷òîáû â ðàññìàòðèâàåìîé
òî÷êå áûëî zij = 0 ïðè i 6= j. Òîãäà â ýòîé òî÷êå gij = �nAij , ãäå ìàòðèöà (Aij)
áûëà ââåäåíà â ðàçä. 2. Ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü ìåòðèêè ñëåäóåò èç
ïîëîæèòåëüíîñòè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû (Aij).
Òàê êàê ìû äîïóñêàåì òîëüêî àôôèííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ êîîðäèíàò, òî
ïðîèçâîäíûå zij ; zijk; zijkl ÿâëÿþòñÿ êîîðäèíàòàìè ñèììåòðè÷íûõ êîâàðèàíò-
íûõ òåíçîðîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàíãîâ. Áóäåì ïîäíèìàòü è îïóñêàòü èíäåêñû
ó òåíçîðîâ ñ ïîìîùüþ ââåäåííîé ìåòðèêè, â ÷àñòíîñòè,
z
i
ij = g
ia
zaij ; z
ijk = g
ia
g
jb
g
kc
zabc:
Ðàññìîòðèì èíâàðèàíò P = zijkz
ijk. Î÷åâèäíî, P > 0. Ðàâåíñòâî P (x) = 0
âîçìîæíî ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà âñå ïðîèçâîäíûå zijk â òî÷êå x îáðàùà-
þòñÿ â íóëü.
Ïóñòü � � îïåðàòîð Ëàïëàñà�Áåëüòðàìè îòíîñèòåëüíî ââåäåííîé ìåòðè-
êè, êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå áóäåì îáîçíà÷àòü ñ ïîìîùüþ çàïÿòîé.  ýòîì
ðàçäåëå ïîëó÷èì èíâàðèàíòíóþ îöåíêó äëÿ �(
p
P ).
Èìååì (ñì. [3])
�(
p
P ) =
�P
2P 1=2
�
g
ij
P;iP;j
4P 3=2
; (21)
�P
2
= z
ijk�zijk + z
ijk;l
zijk;l: (22)
Îáîçíà÷èâ Babcijkl =
1
2
(zabc;izjkl � zabczjkl;i), ïîëó÷èì
2BabcijklB
abcijkl
P 3=2
=
zabc;iz
abc;i
P 1=2
�
g
ij
P;iP;j
4P 3=2
> 0:
Èç ñîîòíîøåíèé (21), (22) è ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ñëåäóåò
�(
p
P ) >
z
ijk�zijk
P 1=2
(23)
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 457
Â.Í. Êîêàðåâ
Äèôôåðåíöèðóÿ óðàâíåíèå ~�n � '(~�1; : : : ; ~�n�1) = 0 ïî xk, ñ ó÷åòîì (20) ïî-
ëó÷èì
zijkg
ij = 0: (24)
Ñëåäîâàòåëüíî, glqziql;jk = 0. Òîãäà
�zijk = g
lq
zijk;lq = g
lq(zijl;kq � zijl;qk) + g
lq(zijl;q � ziql;j);k + g
lq(zijk;l � zijl;k);q:
Âû÷èñëÿÿ, ïîëó÷àåì
z
ijk�zijk = z
ijk
g
lq
�
�5zijh�hqp�
p
kl + 6zihl�
h
kp�
p
qj � zijh�
h
kp�
p
ql � 2zhjl�
h
qp�
p
ki
+ 4zhqp�
h
ij�
p
ik � 4zphk�
h
jl�
p
iq � 2zhjlk�
h
iq � zijhk�
h
lq + 3zhqlk�
h
ij
�3zhjk
�
1
2
@lqgih � �ail@qgah
�
+ 2zhjl
�
1
2
@ikgqh � �aqi@kgah
��
: (25)
Çäåñü �kij � ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ äëÿ ââåäåííîé ìåòðèêè. Òàê êàê P �
èíâàðèàíò, òî äëÿ îöåíêè �(
p
P ) ìîæíî ñäåëàòü óíèìîäóëÿðíóþ çàìåíó êî-
îðäèíàò x1; : : : ; xn, ÷òîáû ñòàëî cij = Æij è â ðàññìàòðèâàåìîé òî÷êå x zij = 0
ïðè i 6= j.  ðåçóëüòàòå â òî÷êå x ïîëó÷èì ~�i = zii, i = 1; : : : ; n, ñëåäîâàòåëüíî,
g
ii =
�n
zii
�
X
k
'k�
i
k�1;
ãäå �ik�1 � (k � 1)-ÿ ýëåìåíòàðíàÿ ñèììåòðè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îò z11; : : : ; znn,
çà èñêëþ÷åíèåì zii, �
i
0 = 1,
g
ij = 0; i 6= j:
Òîãäà â òî÷êå x ïîëó÷àåì
(1� ")(1� "1)
zii
6 g
ii
6
(1 + ")(1 + "1)
zii
: (26)
 ñèëó äèàãîíàëüíîñòè ìåòðèêè â òî÷êå x äëÿ âñåõ i; j; k
P > z
2
ijkg
ii
g
jj
g
kk
; P > (zkij)
2
g
ii
g
jj
gkk; P > (zijk)2giigjjgkk
(áåç ñóììèðîâàíèÿ). Ïîýòîìó
jzijkj 6
�
P
giigjjgkk
�1=2
; jzkij j 6
�
P
giigjjgkk
�1=2
; jzijkj 6
�
P
giigjjgkk
�1=2
: (27)
Èç òîæäåñòâà @rglj = �@rgikgijgkl â ñèëó äèàãîíàëüíîñòè ìåòðèêè â òî÷êå
x ïîëó÷èì ïðè l 6= j
@rglj =
�nzljr
zllzjj
�
X
k
'kzljr�
lj
k�2
!
gjjgll:
458 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
Ýòî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
@rglj = "ljrzljr; j"ljr � 1j 6 6"1; (28)
çäåñü âåëè÷èíû "ljr íå çàâèñÿò îò r.
Äàëåå
@rg
jj =
1
zjj
X
i6=j
�nziir
zii
�
X
k;i
ziir'k�
ij
k�2 �
X
k;l;i
ziir'kl�
j
k�1�
i
l�1: (29)
Èç (24) â òî÷êå x ïîëó÷àåì 1
zjj
ziirg
ii = 0, ò.å.
1
zjj
0
@X
i
�nziir
zii
�
X
k;i
'k�
i
k�1ziir
1
A = 0:
Ñêëàäûâàÿ ýòî ðàâåíñòâî ïî÷ëåííî ñ (28), ñ ó÷åòîì òîãî ÷òî @rgjj =
� @rg
jj
g
2
jj (áåç ñóììèðîâàíèÿ), ïîñëå âûêëàäîê ïîëó÷èì
@rgjj = "jjrzjjr + ~"jjr; j~"jjrj 6 "2(n+ 1)
�
P
gjjgjjgrr
�1=2
; (30)
ãäå "jjr òàêîå æå, êàê â (28).
Ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèÿ (29) @rgjj òàêæå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
@rgjj = �
X
i
@
2(�n � ')
@�i@�j
ziirg
2
jj: (31)
Äèôôåðåíöèðóÿ (24) ïî xr â òî÷êå x, ïîëó÷àåì g
ii
ziikr = �zljk@rglj : À òàê
êàê
j@rglj j 6 (1 + 6"1 + (n+ 1)"2)
�
P
gllgjjg
rr
�1=2
;
òî èç n2(1 + 6"1 + (n+ 1)"2) < 2n2 èìååì
jgiiziikrj 6 2n2
P
(gkkgrr)1=2
: (32)
 ñèëó äèàãîíàëüíîñòè ìåòðèêè â òî÷êå x
@rpgjl = gjjgll(�@rpgjl + @rg
il
@pg
ij
gii + @rg
ij
@pg
il
gii): (33)
Òàê êàê ïðè i 6= k
@rpg
ik = �
@
2(�n � ')
@�i@�k
zikrp �
X
s
@
3(�n � ')
@�i@�k@�s
(zikrzssp + zikpzssr);
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 459
Â.Í. Êîêàðåâ
à ïðè " = 0 âñå òðåòüè ïðîèçâîäíûå â âûðàæåíèè @rpgjl èñ÷åçàþò, òî âñå îíè
îöåíèâàþòñÿ âåëè÷èíîé
(n� 1)"2(1 + ")3(1 + "1)
3
P
(gjjgllgrrgpp)1=2
. Èñïîëüçîâàâ ñîîòíîøå-
íèå (n� 1)(1 + ")3(1 + "1)
3
< n, ïðè i 6= k ïîëó÷èì
@rpgik = "ikrpzikrp + ~"ikrp; j~"ikrpj 6
n"2P
(grrgppgjjgll)1=2
: (34)
Çäåñü "ikrp = "ikr èç ôîðìóëû (28). Äàëåå
@rpg
jj =
X
i
@
2(�n � ')
@�i@�j
ziirp �
X
s;t
@
3(�n � ')
@�j@�s@�t
zstpzstr:
Îòñþäà è èç (33), èñïîëüçóÿ òå æå ñîîáðàæåíèÿ, ïîëó÷àåì
@rpgjj = �g2jj
X
i
@
2(�n � ')
@�i@�j
ziirp + ~"jjrp; (35)
ãäå ~"jjrp îöåíèâàåòñÿ òàê æå, êàê â (34). Òåïåðü áóäåì îöåíèâàòü ñëàãàåìûå â
ïðàâîé ÷àñòè (25), ñîäåðæàùèå ÷åòâåðòûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè z. Èç (28),
(31), (34), (35) ïîëó÷àåì
z
ijk
g
lq(�2zhjlk�hiq + z
h
jl@ikgqh) = z
ijk
g
ll
g
hh
zilh~"lhjk;
à èñïîëüçîâàâ åùå (27) �
jzijkglq(�2zhjlk�hiq + z
h
jl@ikgqh)j 6 n
6
"2P
2
: (36)
Äàëåå
g
lq(3zhqlk�
h
ij �
3
2
z
h
ji@lqgkh) =
3
2
g
ll
g
hh
zijh (zllhk(2"ihj � "ijh � "ihll)� ~"khll) :
Îòñþäà, èñïîëüçóÿ (27), (28), (32) è òî, ÷òî ~"khll íå çàâèñèò îò l, ïîëó÷àåì
îöåíêó
jzijkglq(3zhqlk�hij �
3
2
z
h
jk@lqgih)j 6 72n7"1P
2 +
3
2
n
6
"2P
2
: (37)
Òàê êàê P;h = 2zijkzijk;h = 2zijk(zijkh � 3zpjk�
p
ih), òî â òî÷êå x
z
ijk
g
lq
zijkh�
h
lq = (
1
4
P;h +
3
2
zpjk�
p
ihz
ijk)ghhgllzllh(2"lhl � "llh):
Êàê è ðàíåå, ïîëó÷àåì
zpjk�
p
ihz
ijk
g
hh
g
ll
zllh(2"lhl � "llh)j 6 18n6P 2
"1:
460 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Êîøè äëÿ êàæäîé ïàðû èíäåêñîâ h; l = 1; : : : ; n, ïî-
ëó÷èì
jP;hghhgllzllh(2"lhl � "llh)j 6
nP
2
;hg
hh
ÆP
+ 182Æn2"21P
2
;
ãäå Æ � ëþáîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Çàìåòèâ, ÷òî â ñèëó äèàãîíàëüíîñòè
ìåòðèêè â òî÷êå x
P
2
;hg
hh
4P
= jgrad
p
P j2, çàïèøåì îöåíêó
jzijkglqzijkh�hlqj 6 27n6"1P
2 + 81Æn2"21P
2 +
njgrad
p
P j2
Æ
: (38)
Òåïåðü ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî â ïðàâîé ÷àñòè (25) îñòàëîñü 57n6 ñëàãàåìûõ
òèïà z
ijk
g
ll
zijh@hglp@pgklg
hh
g
pp, êàæäîå èç êîòîðûõ ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå
ôóíêöèè z íå âûøå òðåòüåãî ïîðÿäêà. Èñïîëüçóÿ (24), (27)�(29), ïîëó÷àåì
ñîîòíîøåíèå
z
ijk
g
lq(�5zijh�hqp�
p
kl + 6zihl�
h
kp�
p
qj � zijh�
h
kp�
p
ql � 2zhjl�
h
qp�
p
ki
+4hqp�
h
ij�
p
lk � 4zphk�
h
jl�
p
iq + 3zhjk�
a
il@qgah � 2zhjl�
a
qi@kgah)
>
1
4
(3zijkzsijzlsqz
lq
k � 2zijkz
sq
i zlskz
l
qj)� 57(20n6"1 + 4n6"2)P
2
: (39)
Ââåäåì äâóõâàëåíòíûé è ÷åòûðåõâàëåíòíûé òåíçîðû ñ êîîðäèíàòàìè Pik
è Pijkl ôîðìóëàìè
Pik = z
j
hiz
h
jk; Pijkl = z
a
ilzajk � z
a
ikzajl:
Èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ (ñì. [3]):
g
ik
Pik = P; PikP
ik
>
P
2
n
; PijklP
ijkl
>
4
n� 2
PikP
ik �
2P 2
(n� 1)(n� 2)
;
PijklP
ijkl + PikP
ik = 3zijkzsijzlsqz
lq
k � 2zijkz
sq
i zlskz
l
qj :
Ñëåäîâàòåëüíî,
3zijkzsijzlsqz
lq
k � 2zijkz
sq
i zlskz
l
qj >
n+ 1
n(n� 1)
P
2
: (40):
Îáîçíà÷èâ äëÿ êðàòêîñòè
A =
n+ 1
4n(n� 1)
� (72n7 + 1167n6 + 81Æn2)"1 � 230; 5n6"2; (41)
èç (23), (25), (36)�(41) ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî
�
p
P > AP
3=2 �
njgrad
p
P j2
ÆP 1=2
: (42)
Ýòî íåðàâåíñòâî âûïîëíÿåòñÿ â ëþáîé òî÷êå x, ãäå P (x) 6= 0, ñ ëþáûì Æ > 0 è
ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíûì ïðè àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ êîîðäèíàò x1; : : : ; xn.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 461
Â.Í. Êîêàðåâ
5. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû î ïîëíûõ âûïóêëûõ ðåøåíèÿõ
óðàâíåíèÿ (7)
Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àé cij 6= Æij íå ÿâëÿåòñÿ áîëåå îáùèì ïî ñðàâíåíèþ
ñ cij = Æij , ò.ê. ñâîäèòñÿ ê íåìó àôôèííûì ïðåîáðàçîâàíèåì êîîðäè-
íàò x1; : : : ; xn. Íàì ïîòðåáîâàëîñü ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà cij�
i
�
j � ïðîèç-
âîëüíàÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííàÿ ôîðìà, äëÿ òîãî, ÷òîáû ïîëó÷èòü ãëî-
áàëüíûå îöåíêè íà âòîðûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè z(x). Ïðîèçâîëüíîñòü êî-
ýôôèöèåíòîâ cij èñïîëüçîâàëàñü äëÿ îöåíîê êîýôôèöèåíòîâ �i èç (19). Äàëåå
ñ÷èòàåì, ÷òî x1; : : : ; xn � ïðÿìîóãîëüíûå äåêàðòîâû êîîðäèíàòû.
Ïóñòü z(x) � ïîëíîå âûïóêëîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (1). Åñëè ââåäåííûé â
ðàçä. 4 èíâàðèàíò P âî âñåõ òî÷êàõ ðàâåí íóëþ, òî âñå òðåòüè ïðîèçâîäíûå
ôóíêöèè z(x) òîæäåñòâåííî ðàâíû íóëþ è z(x) � êâàäðàòè÷íûé ïîëèíîì.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òî÷êà O, ãäå P (O) 6= 0. Äîêàæåì, ÷òî âìåñòå
ñ íåðàâåíñòâîì (42) ýòî ïðèâåäåò ê ïðîòèâîðå÷èþ.
Îáîçíà÷èì
p
P (O) = 2a è ïîñòðîèì ïîëîæèòåëüíóþ ôóíêöèþ v(x) ñî
ñâîéñòâàìè:
1) ôóíêöèÿ v îïðåäåëåíà â îòêðûòîé, ñîäåðæàùåé òî÷êó O îáëàñòè �
ñ êîìïàêòíûì çàìûêàíèåì;
2) v(O) = a;
3) �v 6 (A �H)v3 +HP
3=2 � 2njgradvj2=(Æv) + njgradvj2=(Æ
p
P ), ãäå A; Æ
òå æå, ÷òî â íåðàâåíñòâå (42), ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà Æ è H òàêîâû, ÷òî
A � H > 0, à åñëè P (x) = 0, òî ñ÷èòàåì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî
äèôôåðåíöèàëüíîãî íåðàâåíñòâà â òî÷êå x ïðèíèìàåò çíà÷åíèå +1;
4) v(x)! +1 ïðè x! @�.
Åñëè ôóíêöèÿ v(x) ñ óêàçàííûìè ñâîéñòâàìè ñóùåñòâóåò, òî ôóíêöèÿp
P (x)�v(x) äîñòèãàåò ìàêñèìóìà â òî÷êå ~x 2 �.  ýòîé òî÷êå grad(
p
P�v)
= 0, çíà÷èò, grad
p
P (~x) = gradv(~x). Êðîìå òîãî,
p
P (~x) � v(~x) > a, ïîýòîìóp
P ~x) > v(~x) > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå ~x
�v 6 (A�H)v3 +HP
3=2 �
njgrad
p
P j2
Æ
p
P
:
Âû÷èòàÿ èç (42) ïîñëåäíåå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì â òî÷êå ~x
�(
p
P � v) > (A�H)(P 3=2 � v
3) > 0:
Ïðîòèâîðå÷èå ñ òåì, ÷òî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ
p
P (x)� v(x) äîñòèãàåò ìàê-
ñèìóìà.
Ïðèñòóïèì ê ïîñòðîåíèþ ôóíêöèè v(x) ñî ñâîéñòâàìè 1)�4).
462 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
Ïóñòü B > 0, "0 > 0, c0 > 0 � íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Ðàññìîòðèì íà
ïîëîæèòåëüíîé ïîëóîñè t îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
y
00 +
B
t
y
0 +
y
02
"0y
= c0y
3 (43)
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
y(0) = a; y
0(0) = 0: (44)
 ðàáîòå [11] äîêàçàíî, ÷òî åñëè y(t) � ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (43) äëÿ t > 0
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè (44), òî ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî d > 0, çàâèñÿùåå
îò a;B; "0; c0, ÷òî limt!d y(t) = +1. Êðîìå òîãî, y0(t) > 0 ïðè t 2 (0; d).
Âîçüìåì íà÷àëî ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè z = 0
â òî÷êå O. Ïóñòü s(x) =
p
x1
2
+ � � � + xn2 � åâêëèäîâî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè
O äî òî÷êè x = (x1; : : : ; xn), à y(t) � ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (43) ñ íà÷àëüíûìè
óñëîâèÿìè (44) ïðè t > 0. Òîãäà ôóíêöèÿ v(x) = y(s(x)), î÷åâèäíî, îáëà-
äàåò ñâîéñòâàìè 1), 2), 4). Ïîäáåðåì ïîñòîÿííûå B; "0; c0 òàê, ÷òîáû âûïîë-
íÿëîñü ñâîéñòâî 3). Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèÿ v(x) ïðèíàäëåæèò òîëüêî êëàññó
C
1, ïîýòîìó äèôôåðåíöèàëüíûå íåðàâåíñòâà ñ ó÷àñòèåì v(x) ìû ïîíèìàåì â
ðàñøèðåííîì ñìûñëå, êàê ýòî äåëàåòñÿ â ðàáîòå [12]. Òàì äàíî îïðåäåëåíèå,
êîòîðîå â íàøåì ñëó÷àå ïðèìåò ñëåäóþùèé âèä.
Îïðåäåëåíèå. Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî �v(ñëàáî) 6 u íà ìíîæåñòâå �,
åñëè äëÿ êàæäîé òî÷êè x0 2 � è êàæäîãî ÷èñëà � > 0 ñóùåñòâóþò îêðåñò-
íîñòü V�;x0 òî÷êè x0 è ôóíêöèÿ v�;x0(x) 2 C
2 â V�;x0, êîòîðàÿ óäîâëåòâî-
ðÿåò ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:
a) v(x)�v�;x0(x) äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ íà V�;x0 â òî÷êå x0;
b) �v�;x0(x0) < u(x0) + �.
�v(ñëàáî) > u íà ìíîæåñòâå �, åñëè �(�v)(ñëàáî) 6 �u íà ìíîæåñòâå �.
Ïðè ýòîì (ñì. [12]) ïðèíöèï ìàêñèìóìà èìååò ìåñòî â îáû÷íîé ôîðìóëè-
ðîâêå.
Äëÿ êàæäîé òî÷êè x â îáëàñòè �, çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè O, èìååì
�v = g
ij
v;ij = g
ij @s
@xi
@s
@xj
y
00 + y
0�s: (45)
Âûáåðåì òàêèå íàïðàâëåíèÿ îñåé x
1
; : : : ; x
n ïðÿìîóãîëüíîé ñèñòåìû êîîðäè-
íàò, ÷òîáû ìàòðèöà (zij) ñòàëà äèàãîíàëüíîé â òî÷êå x. Èç ðåçóëüòàòîâ ðàçä. 3
ñëåäóåò, ÷òî âñå âòîðûå ïðîèçâîäíûå zii(x) îöåíèâàþòñÿ ñâåðõó è ñíèçó:
0 < M2 6 zii(x) 6M1;
ãäå âåëè÷èíû M1 è M2 çàâèñÿò òîëüêî îò " è âòîðûõ ïðîèçâîäíûõ ôóíê-
öèè z(x) â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå, íàïðèìåð â òî÷êå O. Ìåòðèêà, ââåäåííàÿ
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 463
Â.Í. Êîêàðåâ
â ðàçä. 4, áóäåò äèàãîíàëüíîé â òî÷êå x, ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ (24), ïîëó÷èì â
ýòîé òî÷êå
�s 6
n� 1
s
max
i
g
ii + j
1
2
g
ii
g
gg(2"iqi � "iiq)j:
À âîñïîëüçîâàâøèñü åùå (26)�(28), (31), ïîëó÷èì
�s 6
(n� 1)(1 + ")(1 + "1)
sM2
+
(18"1 + (n+ 2)"2)(1 + "1)n
2
P
1=2
2M
1=2
2
: (46)
Çàìåòèì, ÷òî
jgradvj2 = y
02
g
ij @s
@xi
@s
@xj
;
min
i
g
ii
6 g
ij @s
@xi
@s
@xj
6 max
i
g
ii
:
Ñëåäîâàòåëüíî,
(1� ")(1 � "1)
M1
6 g
ij @s
@xi
@s
@xj
6
(1 + ")(1 + "1)
M2
: (47)
Ïîýòîìó
jgradvj2M2
(1 + ")(1 + "1)
6 y
02
6
jgradvj2M1
(1� ")(1 � "1)
: (48)
Òåïåðü ïîäñòàâèì â (45) âûðàæåíèå äëÿ y
00(s), ïîëó÷åííîå èç (43), âîñ-
ïîëüçóåìñÿ (46)�(48), ó÷òåì, ÷òî y0(s) > 0, è âîçüìåì
B =
(n� 1)(1 + ")(1 + "1)M1
(1� ")(1 � "1)M2
; c0 =
(A�H)M2
(1 + ")(1 + "1)
; "0 =
(1� ")(1� "1)ÆM2
2n(1 + ")(1 + "1)M1)
;
ãäå H > 0 ÷óòü ïîçæå âûáåðåì òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå A �H > 0.
Òîãäà ïîëó÷èì â òî÷êå x
�v 6 (A�H)v3 �
2njgradvj2
Æv
+
(18"1 + (n+ 2)"2)(1 + "1)n
2
P
1=2
y
0
2M
1=2
2
: (49)
Èñïîëüçóÿ íåðàâåíñòâî Êîøè ñ ïîñòîÿííîé {, ïîëó÷àåì
(18"1 + (n+ 2)"2)(1 + "1)n
2
P
1=2
y
0
2M
1=2
2
6
1
2
�
y
02
{
+
{(18"1 + (n+ 2)"2)
2(1 + "1)
2
n
4
P
4M2
�
:
464 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
Îòñþäà, âçÿâ
{ =
M1Æ
p
P
2(1 � ")(1� "1)n
è ïîëîæèâ H =
(18"1 + (n+ 2)"2)
2(1 + "1)
2
n
4
ÆM1
16(1 � ")(1 � "1)nM2
;
èç (49)è (48) ïîëó÷àåì
�v 6 (A�H)v3 +HP
3=2 �
2njgradvj2
Æv
+
njgradvj2
Æ
p
P
:
Èç îïðåäåëåíèÿ H è A, ââåäåííîãî ñîîòíîøåíèåì (41), âèäíî, ÷òî ïðè
n+ 1
4n(n� 1)
� (72n7 + 1167n6)"1 � 230; 5n6"2 > 0 (50)
ìîæíî âûáðàòü òàêîå Æ > 0, ÷òî A � H > 0. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå 3)
äëÿ ôóíêöèè v(x) áóäåò âûïîëíÿòüñÿ âî âñåé åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, çà
èñêëþ÷åíèåì, áûòü ìîæåò, òî÷êè O. Òàê êàê "1 = (n� 1)"; "2 = (n� 1)2", òî
ïðè
" <
1
1210n6(n� 1)2(n+ 3)
óñëîâèå (50) âûïîëíÿåòñÿ.
Òåïåðü ïðîâåðèì, ÷òî ôóíêöèÿ v(x) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 3) è â òî÷êå
O. Çàìåòèì, ÷òî â òî÷êå O ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà â 3) ðàâíà a3(A+ 7H).
Âîçüìåì
v�;O(x
1
; : : : ; x
n) = a+
1
2
a
3(A+ 7H) + �
g11(O) + � � �+ gnn(O)
(x1
2
+ � � � + x
n2):
Òîãäà óñëîâèå b) îïðåäåëåíèÿ âûïîëíÿåòñÿ. Èç óðàâíåíèÿ (43) ïîëó-
÷àåì, ÷òî y
00(0) = c0a
3
=(1 + B). Ñ ïîìîùüþ (26) è îöåíêè zii > M2 ëåãêî
ïðîâåðèòü, ÷òî c0a
3
=(1 + B) < (a3(A + 7H) + �)=(g11(O) + � � � + g
nn(O)). Òå-
ïåðü âûïîëíèìîñòü óñëîâèÿ a) îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò èç ðàçëîæåíèÿ Òåéëîðà
y(s) = a+ 1
2
y
00(0)s2 + � � � . Ôóíêöèÿ v(x) ïîñòðîåíà.
Ïðè äîêàçàòåëüñòâå òåîðåìû íàì ïîòðåáîâàëàñü ïÿòèêðàòíàÿ äèôôåðåí-
öèðóåìîñòü ôóíêöèè z(x1; : : : ; xn).Ïî òåîðåìå 11.3 èç [13] î ãëàäêîñòè ðåøå-
íèé ýëëèïòè÷åñêèõ óðàâíåíèé äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ äîñòàòî÷íî ïî-
òðåáîâàòü ïðèíàäëåæíîñòè ôóíêöèè ' êëàññó C
3;�.
Èç (1), (2) è íåðàâåíñòâà
�
�k
Ck
n
�1=k
> �
1=n
n âûòåêàåò, ÷òî óñëîâèÿ íà ôóíê-
öèþ ' äîñòàòî÷íî íàëàãàòü â îáëàñòè �k > C
k
n(1 � ")k=n, k = 1; : : : ; n � 1.
Òåîðåìà äîêàçàíà.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 465
Â.Í. Êîêàðåâ
Òîò ôàêò, ÷òî âûïîëíèìîñòü óñëîâèé (2)�(5) äîñòàòî÷íî òðåáîâàòü â îá-
ëàñòè �k > C
k
n(1�")
k=n, k = 1; : : : ; n�1, ñèëüíî îáëåã÷àåò ïîñòðîåíèå áîëüøî-
ãî ÷èñëà ôóíêöèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì òåîðåìû. Ìîæíî, íàïðèìåð,
âçÿòü
'(�1; : : : ; �n�1) = 1 +
n�1X
k=1
Ak sin
1
�k
;
ãäå êîýôôèöèåíòû Ak ëåãêî ïîäáèðàþòñÿ.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû
[1] Â.Í. Êîêàðåâ, Îáîáùåíèå òåîðåìû Êàëàáè�Ïîãîðåëîâà. � Òð. Ìåæäóíàð.
øêîëû-ñåìèíàðà ïî ãåîìåòðèè è àíàëèçó ïàìÿòè Í.Â. Åôèìîâà, Ðîñòîâ-íà-
Äîíó (2002), 33�34.
[2] K. J�orgens, �Uber die L�osungen der Di�erentialgleichung rt�s
2 = 1. � Math. Ann.
127 (1954), 130�134.
[3] E. Calabi, Improper a�ne hyperspheres of convex type and a generalizations of
a theorem by K. J�orgens. � Michigan Math. J. 5 (1958), � 2, 105�126.
[4] À.Â. Ïîãîðåëîâ, Ìíîãîìåðíàÿ ïðîáëåìà Ìèíêîâñêîãî. Íàóêà, Ìîñêâà, 1975.
[5] G. Tzitzeika, Sur une Nouvelle Classe de Surfaces. � Comtes Rendus Acad. Sci.
Paris 145 (1907), 132�133; 146 (1908), 165�166.
[6] À.Ä. Àëåêñàíäðîâ, Ñìåøàííûå äèñêðèìèíàíòû è ñìåøàííûå îáúåìû. � Ìà-
òåì. ñá. (1938), � 2, 227�251.
[7] À.Â. Ïîãîðåëîâ, Ìíîãîìåðíîå óðàâíåíèå Ìîíæà-Àìïåðà det (zij) = '(z1; : : : ;
zn; z; x1; : : : ; xn). Íàóêà, Ìîñêâà, 1988.
[8] Ï. Ëàíêàñòåð, Òåîðèÿ ìàòðèö. Íàóêà, Ìîñêâà, 1978.
[9] Â.Ë. Çàãóñêèí, Îá îïèñàííûõ è âïèñàííûõ ýëëèïñîèäàõ ýêñòðåìàëüíîãî
îáúåìà. � Óñïåõè ìàò. íàóê 13 (1958), � 6, 89�92.
[10] Ð. Áåëëìàí, Ââåäåíèå â òåîðèþ ìàòðèö. Íàóêà, Ìîñêâà, 1976.
[11] Â.Í. Êîêàðåâ, Î ïîëíûõ âûïóêëûõ ðåøåíèÿõ óðàâíåíèÿ spurm(zij) = 1. �
Ìàò. ôèçèêà, àíàëèç, ãåîì. 3 (1996), 102�117.
[12] E. Calabi, An Extension of E. Hopf`s Maximum Principle with an Application to
Riemannian Geometry. � Duce Math. J. 25 (1958), 45�56.
[13] Ñ. Àãìîí, À. Äóãëèñ, Ë. Íèðåíáåðã, Îöåíêè âáëèçè ãðàíèöû ðåøåíèé ýëëèïòè-
÷åñêèõ óðàâíåíèé â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ ïðè îáùèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ. 1.
Èçä-âî èíîñòð. ëèò., Ìîñêâà, 1962.
466 Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4
Óðàâíåíèÿ, áëèçêèå ê óðàâíåíèþ àôôèííîé ñôåðû
On Complete Convex Solutions of Equations Similar
to the Improper A�ne Sphere Equation
V.N. Kokarev
Samara State University
1 Acad. Pavlov Str., Samara, 443011, Russia
E-mail:ko1949@yandex.ru
Received April 22, 2007
Let �k � the sum of all k-order Hessian principal minors (zij) for the
function z(x1; : : : ; xn). If ' of the n � 1 positive variable belongs to the
C
3;� class, 0 < � < 1, and if it is su�ciently close to the identically single
function, then any complete convex solution z(x1; : : : ; xn) of the equation
�n = '(�1; : : : ; �n�1)
is a quadratic polynomial.
Key words: improper a�ne sphere.
Mathematics Subject Classi�cation 2000: 58J05.
Æóðíàë ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè, àíàëèçà, ãåîìåòðèè, 2007, ò. 3, � 4 467
|