Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках

В довгохвильовому наближенні розглянуто задачу виникнення додаткових поверхневих плазмонних резонансів у шаруватих наночастинках еліпсоїдної та кулястої форми під дією електромагнетного випромінення. Детально досліджено випадки двошарових частинок з металевим ядром та металевою оболонкою. Для куля...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Лерман, Л.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України 2009
Назва видання:	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76336
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках / Л.Б. Лерман // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2009. — Т. 7, № 1. — С. 37-47. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-76336
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-763362015-10-29T11:36:48Z Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках Лерман, Л.Б. В довгохвильовому наближенні розглянуто задачу виникнення додаткових поверхневих плазмонних резонансів у шаруватих наночастинках еліпсоїдної та кулястої форми під дією електромагнетного випромінення. Детально досліджено випадки двошарових частинок з металевим ядром та металевою оболонкою. Для кулястої частинки із срібним ядром і золотою оболонкою досліджено вплив об’ємної частини ядра на спектри вбирання електромагнетного випромінення в оптичнім діяпазоні. Within the long-wave approach, the problem of occurrence of additional surface plasmon resonances in layered nanoparticles of the ellipsoidal and spherical shape under electromagnetic irradiation is considered. The cases of two-layer particles with a metal kernel and a metal shell are thoroughly investigated. In an optical range, the influence of kernel bulk fraction on the absorption spectra of electromagnetic radiation is investigated for a spherical particle with a silver kernel and gold shell. В длинноволновом приближении рассмотрена задача возникновения дополнительных поверхностных плазмонных резонансов в слоистых наночастицах эллипсоидальной и сферической формы под действием электромагнитного излучения. Подробно исследованы случаи двухслойных частиц с металлическим ядром и металлической оболочкой. Для сферической частицы с серебряным ядром и золотой оболочкой исследовано влияние объемной доли ядра на спектры поглощения электромагнитного излучения в оптическом диапазоне. 2009 Article Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках / Л.Б. Лерман // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2009. — Т. 7, № 1. — С. 37-47. — Бібліогр.: 9 назв. — укр. 1816-5230 PACS numbers: 41.20.Cv,42.25.-p,73.20.Mf,73.21.Ac,73.22.Lp,78.67.Bf,78.67.Pt http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76336 uk Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	В довгохвильовому наближенні розглянуто задачу виникнення додаткових поверхневих плазмонних резонансів у шаруватих наночастинках еліпсоїдної та кулястої форми під дією електромагнетного випромінення. Детально досліджено випадки двошарових частинок з металевим ядром та металевою оболонкою. Для кулястої частинки із срібним ядром і золотою оболонкою досліджено вплив об’ємної частини ядра на спектри вбирання електромагнетного випромінення в оптичнім діяпазоні.
format	Article
author	Лерман, Л.Б.
spellingShingle	Лерман, Л.Б. Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
author_facet	Лерман, Л.Б.
author_sort	Лерман, Л.Б.
title	Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках
title_short	Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках
title_full	Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках
title_fullStr	Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках
title_full_unstemmed	Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках
title_sort	виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках
publisher	Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76336
citation_txt	Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках / Л.Б. Лерман // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2009. — Т. 7, № 1. — С. 37-47. — Бібліогр.: 9 назв. — укр.
series	Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
work_keys_str_mv	AT lermanlb viniknennâdodatkovihplazmovihrezonansívušaruvatihmalihčastinkah
first_indexed	2025-07-06T00:47:39Z
last_indexed	2025-07-06T00:47:39Z
_version_	1836856492603473920
fulltext	37 PACS numbers: 41.20.Cv, 42.25.-p, 73.20.Mf, 73.21.Ac, 73.22.Lp, 78.67.Bf, 78.67.Pt Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках Л. Б. Лерман Інститут хімії поверхні НАН України, вул. Генерала Наумова, 17, 03164 Київ, Україна В довгохвильовому наближенні розглянуто задачу виникнення додатко- вих поверхневих плазмонних резонансів у шаруватих наночастинках елі- псоїдної та кулястої форми під дією електромагнетного випромінення. Детально досліджено випадки двошарових частинок з металевим ядром та металевою оболонкою. Для кулястої частинки із срібним ядром і золо- тою оболонкою досліджено вплив об’ємної частини ядра на спектри вби- рання електромагнетного випромінення в оптичнім діяпазоні. Within the long-wave approach, the problem of occurrence of additional sur- face plasmon resonances in layered nanoparticles of the ellipsoidal and spherical shape under electromagnetic irradiation is considered. The cases of two-layer particles with a metal kernel and a metal shell are thoroughly in- vestigated. In an optical range, the influence of kernel bulk fraction on the absorption spectra of electromagnetic radiation is investigated for a spheri- cal particle with a silver kernel and gold shell. В длинноволновом приближении рассмотрена задача возникновения до- полнительных поверхностных плазмонных резонансов в слоистых нано- частицах эллипсоидальной и сферической формы под действием электро- магнитного излучения. Подробно исследованы случаи двухслойных час- тиц с металлическим ядром и металлической оболочкой. Для сфериче- ской частицы с серебряным ядром и золотой оболочкой исследовано влия- ние объемной доли ядра на спектры поглощения электромагнитного из- лучения в оптическом диапазоне. Ключові слова: електростатика, плазмонні резонанси, еліпсоїдні нано- частинки, шарові наночастинки. (Отримано 23 листопада 2008 р.) Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies 2009, т. 7, № 1, сс. 37—47 © 2009 ІМФ (Інститут металофізики ім. Г. В. Курдюмова НАН України) Надруковано в Україні. Фотокопіювання дозволено тільки відповідно до ліцензії 38 Л. Б. ЛЕРМАН 1. ВСТУП Визначення поляризовности частинок шаруватої будови дозволяє теоретично досліджувати взаємодію електромагнетних хвиль з та- кими частинками і визначати потрібні характеристики розсіяння і вбирання. Розв’язання цієї задачі складається з розгляду деякої задачі електростатики [1]. Гладкою частинкою найбільш загально- го вигляду – без ребер і зломів є еліпсоїд з довільними значеннями півосей, що дозволяє в рамках єдиного моделю описувати і кулі, і пласкі, і лінійні частинки. Ця задача розглядалася багатьма авто- рами, і замкнені формули для обчислення поляризовности суціль- ного еліпсоїда і еліпсоїда з покриттям (двошаровий еліпсоїд) добре відомі [1], але задача для багатошарового еліпсоїда значно усклад- нюється. В [2—6] було запропоновано один з можливих підходів до визначення поляризовности еліпсоїдних частинок з довільним чис- лом шарів, а зокрема кулі [3, 6] з діелектрично анізотропними ша- рами із застосуванням так званих трансляційних матриць, які до- зволяють переносити граничні умови з шару на шар. В роботі [4] до- сягнуто добре узгодження розрахункових спектрів ослаблення сві- тла у водяних суспензіях наночастинок срібла з оболонкою з оксиду срібла з даними експериментальних досліджень. В цій роботі на основі загальних співвідношень, одержаних раніш [2—6], докладно розглянуто випадок двошарових частинок з метале- вим ядром та металевою оболонкою, так звані біметалеві частинки. Проаналізовано можливість виникнення додаткових поверхневих плазмонів. Для шаруватої частинки із срібним ядром і золотою обо- лонкою досліджено вплив об’ємної частини ядра на спектри вбиран- ня електромагнетного випромінення в оптичному діяпазоні. 2. ОСНОВНІ РОЗРАХУНКОВІ СПІВВІДНОШЕННЯ Повний розв’язок задачі електростатики для еліпсоїдних і сферич- них шаруватих частинок із застосуванням трансляційних матриць було одержано раніш в роботах [2, 5, 6]. Наведемо основні результа- ти цих досліджень. Отже, розглянемо багатошарову частинку, яка складається із довільного числа конфокальних еліпсоїдів (рис. 1) з комплексними діелектричними проникностями шарів εj (j = 1, 2, ..., n). Головні півосі еліпсоїдів позначимо через aj, bj, cj. Вважається, що еліпсоїд знаходиться в зовнішньому електростатичному полі з напруженістю E0. Згідно з [1], розв’язки будуються окремо для випадків, коли на- прямок вектора напружености співпадає з напрямками головних осей еліпсоїда x, y, z. Тоді, наприклад, поляризовність α3 шарувато- го еліпсоїда у напрямі прикладеного зовнішнього поля, що діє у на- прямі однієї з головних осей еліпсоїда (індекси 1, 2, 3), визначаєть- ся за формулою [5]: ДОДАТКОВІ ПЛАЗМОВІ РЕЗОНАНСИ У ШАРУВАТИХ МАЛИХ ЧАСТИНКАХ 39 ( ) 11 3 21 3 ( ) ( ) ( ) 3 11 3 3 21 ( )( ) 2( )( )4 , 3 [( ) ]( ) 2( ) ( 1) n n m n n n n m nn n n n n n n m m n n n n m a b c t L ta b c L a b c t L L t ε − ε + ε − ε − επ α = ε − ε + ε + ε − ε − (1) де t11, t21 – елементи трансляційної матриці ξ ξ1( , )n nT при переході від 1-го до n-го шару ( т j – координати границь поділу еліпсоїдів вздовж осі z). Трансляційна матриця визначається виразом − − = ξ ξ = ∏ 1 1 1 ( , ) n n n n j j T T . (2) При цьому матриці Tj при переході j-ої межі поділу визначають- ся співвідношенням ( ) ( ) ( ) 3 3 3 1 1 ( ) 3 1 1 1 1 1 ( 1) (1 )(1 ) (1 ) 1 (1 ) j jj j j j j j j j j jj j j j j L L L T L + + + + + + ε ε⎡ ⎤ + − − −⎢ ⎥ε ε⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎡ ⎤ν ε ν ε⎢ ⎥− + −⎢ ⎥⎢ ⎥ν ε ν ε⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ , (3) де використано геометричні фактори (фактори деполяризації) еліпсоїдів [1] ∞ = +∫( ) 3 2 02 ( ) ( ) j j jj j j a b c dq L c q f q , = + + +2 2 2( ) ( )( )( )j j j jf q a q b q c q . (4) Якщо n = 1, то формула (1) переходить у відому формулу для по- ляризовности суцільного еліпсоїда [1], а для двошарового еліпсо- їда (еліпсоїда в оболонці) слід прийняти n = 2, і після деяких пе- ретворень матимемо: z y x b c a ε 1 ε 2 ε n Рис. 1. Багатошарова частинка у вигляді конфокальних еліпсоїдів. 40 Л. Б. ЛЕРМАН (1) (2) 2 2 1 2 3 3 2 1 2 3 (1) (1) (2) (2) 2 1 2 3 3 2 3 3 2 1 2 ( )[ ( )( )] ( ) [ ( )( )][ ( ) ] ( ) m m m L L V L L L L ε − ε ε + ε − ε − ν + νε ε − ε α = ε + ε − ε − ν ε + ε − ε + ν ε ε − ε , (5) де V – об’єм еліпсоїда; ν – частина повного об’єму, який займає внутрішній еліпсоїд (ядро частинки). Формула (5) збігається з результатами, наведеними в [1]. Аналогічні вирази матимуть місце і для поляризовности α1 і α2 в напрямках ,x y інших головних осей відповідно. Для цього до- сить замінити індекси у всіх розрахункових формулах для геоме- тричних факторів, тобто замість ( ) 3 jL використовувати формули ( ) 1 2 02 ( ) ( ) j j jj j j a b c dq L a q f q ∞ = +∫ і ( ) 2 2 02 ( ) ( ) j j jj j j a b c dq L b q f q ∞ = +∫ . (6) Зауважимо, що завжди ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1j j jL L L+ + = і ( ) 1j kL < . Із загальних формул для еліпсоїда можна одержати розрахункові формули для багатошарової кулі, якщо покласти ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 / 3j j jL L L= = = , але зручніше використовувати безпосередньо розв’язок задачі елект- ростатики для багатошарової кулі [6]. При вивченні світлорозсіяння на малих металевих частинках треба враховувати, що діелектричні проникності шарів залежать від частоти щ (довжини хвилі л ), тобто ( ) ( )j j jε = ε λ = ε ω . Тоді ко- рені рівнання { }( ) ( ) ( ) 3 11 3 3 21[( ) ]( ) 2( ) ( 1) 0n n n f n m m n n n n mL a b c t L L tΔ = ε − ε + ε + ε − ε − = (10) будуть визначати частоти поверхневих мод, тобто максимуми вби- рання і світлорозсіяння. Для еліпсоїда загального вигляду в оболо- нці після підставляння елементів трансляційної матриці для дво- шарового еліпсоїда будемо мати три незалежних рівнання вигляду (1) (2) 2 1 2 (2) (2) 2 2 1 2 [ ( )( )] [ ( ) ] ( ) 0 ( 1,2,3). k k m m k k L L L L k ε + ε − ε − ν × × ε + ε − ε + ν ε ε − ε = = (11) Для кулястої частинки в оболонці всі три рівнання (11) спів- падають і приймають більш простий вигляд 2 1 2 2 1 2( 2 )( 2 ) 2 ( )( ) 0m mε + ε ε + ε + ν ε − ε ε − ε = . (12) Отже задача полягає в знаходженні дійсних коренів нелінійних рівнань з комплексними коефіцієнтами. Аналітичне дослідження цих рівнань практично неможливе за випадком суцільного еліпсої- да, яке виконано в [5], та еліпсоїда в оболонці; тому його доводиться розв’язувати чисельно. В цій роботі ми детально дослідимо останній випадок. ДОДАТКОВІ ПЛАЗМОВІ РЕЗОНАНСИ У ШАРУВАТИХ МАЛИХ ЧАСТИНКАХ 41 3. ПОВЕРХНЕВІ ПЛАЗМОНИ В ЕЛІПСОЇДІ І КУЛІ З ОБОЛОНКОЮ Запишемо рівнання (11) у вигляді квадратного рівнання відносно діелектричної проникности оболонки ε2: 2 2 22 0k kp qε + ε + = ( 1,2,3)k = , (13) де коефіцієнти рівнання pk, qk визначаються за формулами 1( ) (1 )(1 ) 2 (1 ) k k k k m k k k p β α + ν ε + − α − β ε = β − α − ν , 1 (1 ) (1 ) k k k m k k q α − β = ε ε β − α − ν , (14) і для скорочення запису введено параметри (1) (2) k k kL Lα = − ν , (2) k kLβ = . Корені рівнання (13) ζ1, ζ2 визначаться формулами: ( ) 2 1,2 k k k kp p qξ = − ± − . (15) У випадку двошарової кулі (рівнання (12)) вирази (14) спро- щуються і набувають вигляд: 1(1 2 ) 2(2 ) 4(1 ) m kp p + ν ε + + ν ε = = − ν , 1k mq q= = ε ε , (16) а для визначення коренів лишається вираз (11). Можливі три випадки будови частинок з оболонкою. В першому випадку маємо металеве ядро і діелектричну оболонку. Прямі роз- рахунки оптичних спектрів таких частинок, наприклад, для нано- частинок срібла з оболонкою з оксиду срібла [4, 7] показують, що при цьому виникає лише одна плазмова частота за рахунок метале- вого ядра. Вплив діелектричної оболонки виявляється у зсуві плаз- монної частоти, і цей зсув залежить від товщини оболонки. В другому випадку для діелектричного ядра і металевої оболонки в спектрах спостерігається два максимуми вбирання, наприклад, ядро з сірчаного золота або кремнію і золота оболонка [8, 9]. Нарешті, в третьому випадку і ядро і оболонка вважаються мета- левими (біметалеві частинки). Цей випадок останнім часом викли- кає велику увагу у зв’язку з розробленням технології створення на- ночастинок із золотим ядром і срібною оболонкою. Дослідження показують, що в останніх двох випадках виникають дві плазмонні частоти. Розглянемо докладніше біметалеву частинку. В цьому випадку матимемо рівнання (13) другого степеня від- носно ε2 з комплексними коефіцієнтами. Для аналізи рівнання покладемо: 1 1 1i′ ′′ε = ε + ε , 2 2 2i′ ′′ε = ε + ε , k k kp p ip′ ′′= + , k k kq q iq′ ′′= + , 42 Л. Б. ЛЕРМАН де у випадку еліпсоїда 1 1 ( ) (1 )(1 ) ( ) , 2 (1 ) 2 (1 ) 2 (1 ) k k k k k k k m k k k k k k k p p β α + ν − α − β β α + ν′ ′ ′′ ′′= ε + ε = ε β − α − ν β − α − ν β − α − ν , (17) 1 (1 ) (1 ) k k k m k k q α − β′ ′= ε ε β − α − ν , 1 (1 ) (1 ) k k k m k k q α − β′′ ′′= ε ε β − α − ν . (18) Підставляємо ці вирази до рівнання (13) і, відокремлюючи дійсну та уявну частини, одержуємо наступну систему рівнань ( 1,2,3)k = : 2 2 2 2 2( ) 2 (1 2 ) 0k k kp q p′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′′ε + ε + − ε + ε = , 2 2 2 22 2( ) 0k kp p′ ′′ ′′ ′ ′ ′′ε ε + ε + ε = . (19) Якщо знехтувати втратами, то друге рівнання задовольняється тотожньо, а перше набуває вигляд 2 2 2( ) 2 0k kp q′ ′ ′ ′ε + ε + = . (20) Формально рівнання (29) не відрізняється від рівнання для випа- дку, коли ядро – це ідеальний діелектрик, а оболонка – метал. Суттєва відміна полягає в тому, що цього разу коефіцієнти рівнан- ня залежать від частоти, тобто ( )k kp p′ ′= ω , ( )k kq q′ ′= ω , і це суттєво ускладнює його аналізу. Для скорочення запису введемо додаткові позначення: 1 1 2 3 1,k m kp c c p c′ ′ ′′ ′′= ε + ε = ε , 4 1kq c′ ′= ε , 4 1kq c′′ ′′= ε , (21) де 1 ( ) , 2 (1 ) k k k k c β α + ν = β − α − ν 2 (1 )(1 ) , 2 (1 ) k k k k c − α − β = β − α − ν 2 2 3 ( ) 2 (1 ) k k k k c a b β α + ν = + β − α − ν , 4 (1 ) (1 ) k k m k k c α − β = ε β − α − ν . Приймемо, що діелектрична проникність обох металів опису- ється модельом Друде: 2 2 2 , , 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) pj pj pj j j j j j j j i i∞ ∞ ω ω ω γ ε ω = ε − = ε − + ω ω + γ ω + γ ω ω + γ ( 1,2j = ), (22) де 2 /cω = π λ – частота; c – швидкість світла; εi∞ – граничні значення діелектричної проникности, коли ω → ∞, ωpi – плазмон- ні частоти; γi – частоти вбирання. Тоді для дійсних частин діелектричних функцій ядра і оболон- ки при γ1 → 0, γ2 → 0 будемо мати: ДОДАТКОВІ ПЛАЗМОВІ РЕЗОНАНСИ У ШАРУВАТИХ МАЛИХ ЧАСТИНКАХ 43 2 2 1 1, 1( ) /p∞ ′ε ω ≈ ε − ω ω , 2 2 2 2, 2( ) /p∞ ′ε ω ≈ ε − ω ω . (23) Введемо нову змінну 2 2 2, 2 /pz ∞= ε − ω ω і позначимо відношення пла- змових частот через 2 2 1 2/p pξ = ω ω . Тоді квадратне рівнання для ви- значення нової невідомої при 1 1, 2,( ) ( )z∞ ∞ ′ε ω = ε − ξ ε + набуває вигляду 2 2 2 1 1 12 1 1 1, 2, 2 42 2 2 2 2 2 2 1 1, 2, 42 2 1 1 2 2 2 0. p p p m p p p p p c z c c c z c ∞ ∞ ∞ ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω ω ω + + ε − ε + ε + +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ω ω ω⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎛ ⎞ω + ε − ε =⎜ ⎟⎜ ⎟ω⎝ ⎠ (24) Позначимо корені рівнання (24) через z1,2. Тоді для існування резонансних частот вони повинні бути дійсними і задовольняти нерівності z1,2 < ε2,∞. Самі резонансні частоти при цьому визнача- тимуться за формулами ( ) ( ) 1 2 2, 1/k k r p z∞ω = ω ε − , ( ) ( ) 2 2 2, 2/k k r p z∞ω = ω ε − ( 1,2,3)k = . (25) Для кулі будемо мати: 1 2 1 2 2 , 4(1 ) 2(1 ) c c + ν + ν= = − ν − ν , 4 mc = ε , і рівнання (24) набуває вигляду: 2 1 2 2 2 1 2 1 2(1 ) p p z ⎛ ⎞ω+ ν+ +⎜ ⎟⎜ ⎟− ν ω⎝ ⎠ 2 2 1 1 1, 2,2 2 2 2 1 2 2 2 4(1 ) 2(1 ) 2 p p m m p p z∞ ∞ ⎡ ⎤⎛ ⎞ω ω+ ν + νε − ε + ε + ε +⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟− ν − νω ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 1 1, 2,2 2 0p m p ∞ ∞ ⎛ ⎞ω + ε − ε ε =⎜ ⎟⎜ ⎟ω⎝ ⎠ . (26) Коефіцієнти, а тому і розв’язки рівнання (26), залежать від об’ємної частини ядра v і параметрів 1, 2, 1 2, , , ,m p p∞ ∞ε ε ε ω ω матері- ялів. Зауважимо, що до рівнання входить тільки відношення квадратів плазмових частот 2 2 1 2/p pf = ω ω . В деяких випадках плазмові частоти суцільних матеріялів до- 44 Л. Б. ЛЕРМАН сить близькі, і тоді відношення частот f ≈ 1 (наприклад, для срібла Ar 161,46 10pω = ⋅ 1/с, для золота Au 161,37 10pω = ⋅ 1/с), а відношення частот Ar Au/ 1,066p pω ω = ). Якщо прийняти додатково 1, 2, 1∞ ∞ε = ε = , то рівнання (25) матиме один корінь z ≈ 0, який не залежить від об’ємної частини ядра в частинці. Це означає, що завжди одна з ре- зонансних частот 1 2r pω ≈ ω , тобто приблизно дорівнює плазмовій частоті матеріялу оболонки. При цьому оцінку другого кореня мо- жна знайти безпосередньо з рівнання за Вієттовою теоремою: ( ) 2 (1 2 ) 1 2(2 ) 2 (1 ) 2(1 ) (1 2 ) m mf f z f + ν − + + ν ε + − ν ε ≈ − − ν + + ν , (27) і, отже, друга частота залежить від об’ємного наповнення. Одержані формули проілюструємо на рис. 2 графіками залежно- сти безрозмірних резонансних частот від об’ємного наповнення для кулі із срібним ядром і золотою оболонкою, яку розташуємо у ваку- умі. При розрахунках приймалось, що 1, 2, 1∞ ∞ε = ε = , але врахову- валась ріжниця між плазмонними частотами золота і срібла, тобто f = 1,066. З наведених графіків випливає, що, дійсно, одна з резонансних частот майже не залежить від об’ємної частини ядра і співпадає з частотою плазмонної частоти оболонки (в даному випадку золота). Зауважимо, що при граничних значеннях об’ємного наповнення (при ν = 0 або ν = 1) одна з цих частот не буде мати фізичного змісту. 0,50,5 0,60,6 0,70,7 0,80,8 0,90,9 1 1,11,1 00 0,250,25 0,50,5 0,750,75 1 ν ω ri /ω p2 ω r2 /ω p2 ω r1 /ω p2 Рис. 2. Залежність безрозмірних резонансних частот від об’ємної части- ни ν срібного ядра для кулі з золотою оболонкою. ДОДАТКОВІ ПЛАЗМОВІ РЕЗОНАНСИ У ШАРУВАТИХ МАЛИХ ЧАСТИНКАХ 45 4. ВБИРАННЯ ЕЛЕКТРОМАГНЕТНОГО ВИПРОМІНЕННЯ МАЛОЮ БІМЕТАЛЕВОЮ ЧАСТИНКОЮ Для малих частинок в електростатичному наближенні ефектив- ність вбирання ЕМВ Qabc визначається уявною частиною поляризо- вности. Наприклад, згідно з [1], для системи еліпсоїдів, що орієнто- вані вздовж вісі z, характеристики світлорозсіяння можна обчис- лити за формулами 32 Im 3abs k Q R = α π , (28) де 2 /k = π λ – хвильове число; λ – довжина хвилі; R – радіюс сфери з об’ємом, що дорівнює об’єму зовнішнього еліпсоїда. Отже, для системи двошарових куль будемо мати формулу: 8 Imabs a Q ∗π= α λ , (29) де α* обчислюється за формулою (1), у якій слід покласти 1 2 3 1 / 3L L L= = = , а α* = α/V (V – об’єм частинки). Наведемо деякі результати розрахунків для біметалевої кулястої частинки із срібним ядром і золотою оболонкою для різних значень розмірів ядра і оболонки. Оскільки вбирання пропорційно уявній частині поляризовности частинки, то спектральні залежності вби- рання і поляризовности матимуть екстремуми в тих самих точках. Тому достатньо обмежитись спектральною залежністю ефективнос- ти вбирання. Такі залежності від об’ємної частини ν, яку складає срібне ядро в біметалевій частинці, показано на рис. 3. Розрахунки 00 5050 100100 150150 200200 250250 300300 350350 350350 400400 450450 500500 550550 Q abs λ, íì ν = 1 ν = 0,25 ν = 0,5 ν = 0,75 ν = 0 Рис. 3. Спектри ефективности вбирання біметалевої кулястої частинки для різних значень об’ємного співвідношення срібного ядра і золотої оболонки. 46 Л. Б. ЛЕРМАН виконані для частинки із зовнішнім радіюсом 10 нм, який зберігав- ся сталим, а змінювався тільки розмір ядра. Для опису діелектрич- них функцій ядра і оболонки використано модель Друде із парамет- рами, вказаними вище, але в розрахунках прийнято, що 1, 4,5∞ε = , 2, 10∞ε = . Вважалося, що частинки розташовані у воді ( 1,77mε = ). Ці результати підтверджують теоретичні міркування, викладені в розділі 3. З графіків випливає, що початкова довжина хвилі пове- рхневого плазмону срібного ядра 1pλ = 366 нм із збільшенням роз- мірів оболонки розщеплюється на дві і прямує до довжини хвилі поверхневого плазмону суцільної золотої частинки 2pλ = 506 нм. 6. ВИСНОВКИ На підставі проведеного аналітичного дослідження рівнання для визначення резонансних частот еліпсоїдної частинки (в окремому випадку кулі) з оболонкою встановлено, що у частинках з метале- вим ядром і металевою оболонкою виникають дві резонансні часто- ти. При цьому якщо плазмонні частоти для суцільних матеріялів близькі між собою, одна з частот поверхневих плазмонів двошаро- вої частинки приблизно збігається з плазмонною частотою матерія- лу оболонки. Результати аналізи підтверджені розрахунками спектрів вби- рання в таких частинках. Отже, виникає можливість керування зсувом частот поверхневих плазмонів у потрібному напрямку. Роботу виконано при частковому фінансуванні договору № 28 в рамках спільного проєкту НАН України и Фонду фундаментальних досліджень РАН. Автор висловлює щиру подяку професору Л. Г. Гречку за цінні поради, висловлені в процесі роботи над статтею та обговоренні оде- ржаних результатів. ЦИТОВАНА ЛІТЕРАТУРА 1. К. Борен, Д. Хафмен, Поглощение и рассеяние света маленькими части- цами (Москва: Мир: 1986). 2. Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман, Н. Г. Шкода, Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат., № 1: 386 (2004). 3. Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман, Н. Г. Шкода, Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат., № 3: 376 (2004). 4. Л. Г. Гречко, А. М. Єременко, Г. В. Крилова, Л. Б. Лерман, Н. П. Смірнова, Н. Г. Шкода, Вісник Київського університету. Сер. фіз.-мат., № 4: 450 (2004). 5. Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман, Л. М. Білокриницька, С. В. Шостак, Вісник Ки- ДОДАТКОВІ ПЛАЗМОВІ РЕЗОНАНСИ У ШАРУВАТИХ МАЛИХ ЧАСТИНКАХ 47 ївського університету. Сер. фіз.-мат., № 4: 416 (2006). 6. Л. Г. Гречко, Л. Б. Лерман, Д. Л. Водоп’янов, С. В. Шостак, Вісник Київсь- кого університету. Сер. фіз.-мат., № 1: 416 (2007). 7. K. Chatterjee, S. Banerjee, and D. Chakravorty, Phys. Rev. B, 66: 085421-1 (2002). 8. R. D. Averitt, D. Sarkar, and N. J. Halas, Phys. Rev. Lett., 78, No. 22: 4217 (1997). 9. P. K. Jain, I. H. El-Sayed, and M. A. El. Sayed, Nanotoday, 2, No. 1: 18 (2007).

Виникнення додаткових плазмових резонансів у шаруватих малих частинках

Репозитарії

Схожі ресурси