Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи
Доведено неперервну залежність від вихідних даних узагальненого неперервного розв'язку задачі з внутрішніми вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7679 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Стійкість узагальненого неперервного розв'язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи / В.М. Кирилич // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 7-16. — Бібліогр.: 1 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7679 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-76792010-04-09T12:00:34Z Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи Кирилич, В.М. Доведено неперервну залежність від вихідних даних узагальненого неперервного розв'язку задачі з внутрішніми вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку. Доказана непрерывная зависимость от исходных данных обобщенного непрерывного решения задачи с внутренними свободными границами для сингулярной квазилинейной гиперболической системы уравнений первого порядка. We proved continuous dependence on initial data of the generalized continuous solution to the problem with internal free boundary for singular quasilinear hyperbolic system of equations of the first order. 2008 Article Стійкість узагальненого неперервного розв'язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи / В.М. Кирилич // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 7-16. — Бібліогр.: 1 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7679 517.95 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Доведено неперервну залежність від вихідних даних узагальненого неперервного розв'язку задачі з внутрішніми вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Кирилич, В.М. |
| spellingShingle |
Кирилич, В.М. Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи |
| author_facet |
Кирилич, В.М. |
| author_sort |
Кирилич, В.М. |
| title |
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи |
| title_short |
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи |
| title_full |
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи |
| title_fullStr |
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи |
| title_full_unstemmed |
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи |
| title_sort |
стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи |
| publisher |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7679 |
| citation_txt |
Стійкість узагальненого неперервного розв'язку задачі з вільними межами для сингулярної квазілінійної гіперболічної системи / В.М. Кирилич // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 7-16. — Бібліогр.: 1 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT kiriličvm stíjkístʹuzagalʹnenogoneperervnogorozvâzkuzadačízvílʹnimimežamidlâsingulârnoíkvazílíníjnoígíperbolíčnoísistemi |
| first_indexed |
2025-07-02T10:28:01Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:28:01Z |
| _version_ |
1836530617591791616 |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 7–16.
ÓÄÊ 517.95
В. М. Кирилич
СТІЙКІСТЬ УЗАГАЛЬНЕНОГО НЕПЕРЕРВНОГО РОЗВ’ЯЗКУ
ЗАДАЧІ З ВІЛЬНИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОЇ КВАЗІЛІНІЙНОЇ
ГІПЕРБОЛІЧНОЇ СИСТЕМИ
Äîâåäåíî íåïåðåðâíó çàëåæí³ñòü â³ä âèõ³äíèõ äàíèõ óçàãàëüíåíîãî íåïåðåðâíî-
ãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ ç âíóòð³øí³ìè â³ëüíèìè ìåæàìè äëÿ ñèíãóëÿðíî¿ êâàç³ë³-
í³éíî¿ ã³ïåðáîë³÷íî¿ ñèñòåìè ð³âíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó.
Ðîáîòà º ïðîäîâæåííÿì äîñë³äæåíü [1] ùîäî íåïåðåðâíî¿ çàëåæíîñò³
óçàãàëüíåíîãî íåïåðåðâíîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ ç â³ëüíèìè ìåæàìè äëÿ ñèíãó-
ëÿðíî¿ ã³ïåðáîë³÷íî¿ ñèñòåìè êâàç³ë³í³éíèõ ð³âíÿíü ïåðøîãî ïîðÿäêó â³ä âè-
õ³äíèõ äàíèõ. Âñ³ íå íàâåäåí³ òóò ïîçíà÷åííÿ, ïðèïóùåííÿ òà íóìåðàö³ÿ
ôîðìóë âçÿòî ³ç [1].
Îòæå, ïîðÿä ç âèõ³äíîþ çàäà÷åþ (6)–(13) ³ç [1] ðîçãëÿíåìî ñèñòåìó
1i t i i x iu x t u v u f x t u v i m′ ′+ λ = = ˆˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( , , , )( ) ( , , , ), , , , (1)
1j x jv q x t u v j … n′ = =ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( , , , ), , , , (2)
1j t j j js r t s t u s t t v s t t i n′ = = …ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( , ( ), ( ( ), ), ( ( ), )), , , , (3)
äå 1 mu u u= ˆ ˆ ˆ( , , ) , 1 nv v … v=ˆ ˆ ˆ( , , ) , 1 ns s … s=ˆ ˆ ˆ( , , ) .
Ïî÷àòêîâ³ òà ãðàíè÷í³ óìîâè ìàþòü âèãëÿä
0 0u x x x= α ≤ ≤ ˆ ˆ( , ) ( ), , (4)
0 1 0j j js c j n c= = … ≤ ≤ ˆ ˆ ˆ( ) , , , , , (5)
0 00 0 0 0 0 0 1i i iu t t u t i I i+= γ ∈ = λ =ˆˆˆ ˆ ˆ( , ) ( , ( , )), | sgn ( ( , , , )){ } , (6)
0 0 0 1i i iu t t u t i I i−= γ ∈ = λ = − ˆˆˆ ˆ ˆ( , ) ( , ( , )), | sgn ( ( , , , )){ } , (7)
1j j jv s t t t j n= β = …ˆˆ ˆ( ( ), ) ( ), , , . (8)
Íàäàë³ ïðèïóñêàòèìåìî, ùî âèêîíóþòüñÿ òàê³ óìîâè:
1°. Ôóíêö³¿ i x t u vλ̂ ˆ ˆ( , , , ) , if x t u vˆ ˆ ˆ( , , , ) , i xα̂ ( ) 1i m= …( , , ) , 0
i t uγ̂ ˆ( , ) 0i I+∈ ˆ( ) ,
i t uγˆ ˆ( , ) i I−∈ ˆ( ) , jq x t u vˆ ˆ ˆ( , , , ) , jr x t u vˆ ˆ ˆ( , , , ) ,
j
tβ̂ ( ) 1j n= …( , , ) çàäàí³ â òèõ ñà-
ìèõ îáëàñòÿõ, ùî é ôóíêö³¿ i x t u vλ ( , , , ) , if x t u v( , , , ) , i xα ( ) 1i m= …( , , ) ,
0
i t uγ ( , ) 0i I+∈( ) , i t uγ , ( ) i I−∈ ( ) , jq x t u v( , , , ) , jr x t u v( , , , ) , j tβ ( ) 1j n= …( , , )
â³äïîâ³äíî. Êîíñòàíòè jĉ 1j n= …( , , ) çàäàí³.
2°. Ôóíêö³¿ 0ˆˆ ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ, , , , , , ,i ii i i j j jf q rλ α βγ γ ìàþòü òàê³ æ âëàñòèâîñò³, ùî é
ôóíêö³¿ 0, , , , , , ,i i i i i j j jf q rλ α γ γ β â³äïîâ³äíî (ç òèìè ñàìèìè êîíñòàíòàìè),
à 0w w P≤ˆmax ,{ } .
3°. 0 0 I I I I+ + − −= = ˆ ˆ, .
Íåõàé ôóíêö³¿ 1IEu v T L∈( , ) ( , ) ³ 1IEu v T L∈ ˆˆ ˆ( , ) ( , ) – íåïåðåðâí³ óçàãàëü-
íåí³ ðîçâ’ÿçêè â³äïîâ³äíî çàäà÷ (6)–(13), âèçíà÷åí³ â [1], òà (1)–(8). Òóò ÷å-
ðåç 1IE T L̂( , ) ïîçíà÷åíî ï³äïðîñò³ð ïðîñòîðó IE T( ) , óòâîðåíèé ôóíêö³ÿìè,
ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâó
8 В. М. Кирилич
0 w x t P x t T≤ ∈ Πˆ ( , ) , ( , ) ( ) ,
³ äëÿ ÿêèõ êîíñòàíòîþ ˳ïøèöÿ çà ,x t º ñòàëà L̂ . ²ñíóâàííÿ òàêèõ ðîç-
â’ÿçê³â äëÿ äåÿêîãî 00( , ]T T∈ îòðèìóºìî ³ç äîâåäåíî¿ â [1] òåîðåìè.
Çàóâàæåííÿ 1. Äàë³ áóäåìî ââàæàòè, ùî ˆL L= .
Çà àíàëî㳺þ ç ïîïåðåäí³ì ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³
0 0 ˆ ˆ( , , ( , )), ( )t ix x t w x t x t t′ = λ = (9)
ïîçíà÷àòèìåìî ÷åðåç 0 0
ˆˆ ( ; , , )i t x t wϕ , à ÷åðåç ˆ ˆ( , , )i x t wχ – ì³í³ìàëüíå çíà÷åí-
íÿ t , äëÿ ÿêîãî â ( )TΠ âèçíà÷åíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (9).
Çà îçíà÷åííÿì, ôóíêö³¿ ( )w x t, òà ˆ ( )w x t, çàäîâîëüíÿþòü ñï³ââ³äíîøåí-
íÿ: ˆˆ ˆ,w w w w= =S S , äå Ŝ – îïåðàòîð, àíàëîã³÷íèé äî S , ç â³äïîâ³äíèìè
çàì³íàìè 0, , , , , , ,i i i j j j i if q rα λ β γ γ íà 0ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , , , ,i i i j j j i if q rα λ β γ γ .
Ïîêëàäåìî
( )
ˆ( ) max ( , ) ( , )w x t w x t
Π τ
η τ = −
³ ïîçíà÷èìî
0
0 0
1
00
1 0
, [ ] ( )
ˆ ˆmax max max ( ) ( ) , max max ( , ) ( , ) ,ii i i
i m i I D T P
x x t w t w
+
= , , ∈ ,
Θ = α − α γ − γ
1
0 00 0
1
, , ( )( )
ˆˆmax max ( , ) ( , ) , max max ( , , ) ( , , ) ,ii i i
i m D T Pi I D T P
t w t w f x t w f x t w
−
= ,∈ ,
γ − −γ
0 0 0 01 1, ( , ) , ( , )
ˆ ˆmax max ( , , ) ( , , ) , max max ( , , ) ( , , ) ,i i j j
i m D T P j n D T P
x t w x t w q x t w q x t w
= , = ,
λ − λ −
2
0 0 0
1 0 1 1
j j j j j j
j n T j n j nD T P
t t r x t w r x t w c c
= =, , = ,,
β − β − −
, , , ,( )
ˆ ˆ ˆmax max ( ) ( ) , max max ( , , ) ( , , ) , max ;
[ ]
0 0
1 1 2 2 1 2
0 0
exp ( ( ) ( )) , exp ( ( ) ( ))
T T
E L d E R LR d
= Λ τ + Λ τ τ = τ + τ τ
∫ ∫ ,
0 0 0
0
3 2 1 2 2
0 0 0 0
T T T
E Q d F d F d d
= ξ ξ ν = τ τ τ τ Λ τ τ
∫ ∫ ∫ ∫
exp ( ) , max ( ) , ( ) , ( ) .
Ëåìà 1. Íåõàé 1 1IE IEˆ( , ), ( , ).w T L w T L∈ ∈ Òîä³ íà â³äð³çêó [max ( , , ),i x t wχ{
ˆ ˆ( , , ) , ]i x t w tχ } ñïðàâäæóºòüñÿ îö³íêà
ˆˆ( ; , , ) ( ; , , )ii x t w x t wϕ τ − τ ≤ϕ
2 1 2
0 0
exp ( ) ( ) ( ) exp ( ( ) ( ))
T T
T H d L d≤ Θ + η ξ Λ ξ ξ Λ ξ + Λ ξ ξ∫ ∫ . (10)
Ä î â å ä å í í ÿ. Çàïèøåìî
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ; , , ) ( ; , , ) ( , ( ), ) ( , ( ), )
t
i i i i i ix t w x t w w w w w d
τ
ϕ τ − ϕ τ ≤ λ ξ ϕ − λ ξ ϕ ξ ≤∫
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), , ( ( ), )) ( ( ), , ( ( ), ))
t
i i i i i iw w w w w w
τ
≤ λ ϕ ξ ϕ ξ − λ ϕ ξ ϕ ξ +∫
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), , ( ( ), )) ( , ( ), )i i i i iw w w w w d+ λ ϕ ξ ϕ ξ − λ ξ ϕ ξ ≤
1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ; , , ) ( ; , , ) ( ) ( ( ), ) ( ( ), )
t
i i i ix t w x t w w w w w d
τ
≤ Λ ξ ϕ ξ − ϕ ξ + Λ ξ ϕ ξ − ϕ ξ + Θ ξ ≤∫
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами … 9
1 2
t
i i ix t w x t w w w
τ
≤ Λ ξ ϕ ξ − ϕ ξ + Λ ξ ϕ ξ −∫ ˆ ˆ( ) ( ; , , ) ( ; , , ) ( ) ( ( ), ) (
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), ) ( ( ), ) ( ( ), )i i iw w w w w w d T− ϕ ξ + ϕ ξ − ϕ ξ ξ + Θ ≤)
1 2
ˆ ˆ( ( ) ( )) ( ; , , ) ( ; , , )
t
i iL x t w x t w d
τ
≤ Λ ξ + Λ ξ ϕ ξ − ϕ ξ ξ +∫
2
0
exp ( ) ( ) ( )
T
T H d+ Θ + η ξ Λ ξ ξ∫ .
Çâ³äñè íà ï³äñòàâ³ ëåìè ¥ðîíóîëëà îòðèìóºìî îö³íêó (10), ÿêà é çàâåðøóº
äîâåäåííÿ ëåìè. ◊
Ëåìà 2. Íåõàé 1IE ( , )w T L∈ , 1IEˆ ( , )w T L∈ . Òîä³ äëÿ âñ³õ
0i I+∈ àáî i I−∈
ˆ ˆ( , , ) ( , , )i ix t w x t wχ − χ ≤
1
0 2 1 2
0 0
exp ( ) ( ) ( ) exp ( ( ) ( ))
T T
T H d L d−≤ Λ Θ + η ξ Λ ξ ξ Λ ξ + Λ ξ ξ∫ ∫ . (11)
Ä î â å ä å í í ÿ. Âðàõîâóþ÷è ïðèïóùåííÿ äëÿ âèõ³äíèõ äàíèõ çàäà÷ (6)–
(13) ³ç [1] ³ (1)–(8), ìîæåìî ââàæàòè, ùî 0( , , )i x t wλ ≥ Λ , 0
ˆ ˆ( , , )i x t wλ ≥ Λ .
Õàðàêòåðèñòèêè ( ; , , )i x t wϕ τ òà ˆ ˆ( ; , , )i x t wϕ τ çíàõîäèìî ç ðîçâ’ÿçê³â çàäà÷
1
0 0 ( , , ( , )), ( )i w x t−
ξ
′τ = λ ξ τ ξ τ τ = ,
1
0 0 ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ( , , ( , )), ( )i w x t−
ξ
′τ = λ ξ τ ξ τ τ = .
Òîìó äëÿ 0 0 ˆ( , ) ( ) ( )i ix t w w∈ Π Π áóäóòü âèêîíóâàòèñÿ íåð³âíîñò³
1
0( , , )i x t w −τ − χ ≤ Λ ξ , (12)
1
0
ˆ ˆˆ ( , , )i x t w −τ − χ ≤ Λ ξ . (13)
Íåõàé äëÿ âèçíà÷åíîñò³ i ix t w x t wχ ≤ χ̂ ˆ( , , ) ( , , ) . Ïîêëàäåìî â (12) τ =
ˆ ˆ( , , )i x t w= χ , ˆ ˆ( ( , , ); , , )i i x t w x t wξ = ϕ χ . Îñê³ëüêè 0ˆ ˆ ˆ ˆ( ( , , ); , , )i i x t w x t wϕ χ = , òî,
âðàõîâóþ÷è òâåðäæåííÿ ëåìè 1, îòðèìàºìî îö³íêó
1
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( ( ( , , ); , , ) ( ( , , ); , , ))i i i i i ix t w x t w x t w x t w x t w x t w−χ − χ ≤ Λ ϕ χ − ϕ χ ≤
1
0 2 1 2
0 0
exp ( ) ( ) ( ) exp ( ( ) ( ))
T T
T H d L d−≤ Λ Θ + Λ ξ η ξ ξ Λ ξ + Λ ξ ξ∫ ∫ .
Àíàëîã³÷íî äîñë³äæóºòüñÿ âèïàäîê ˆ ˆ( , , ) ( , , )i ix t w x t wχ ≥ χ , à òàêîæ âèïà-
äîê ˆ( , ) ( ) ( )i ix t w w∈ Π Π . Òàêèì ÷èíîì, ìàòèìåìî îö³íêó (11). ◊
Ëåìà 3. Íåõàé 1IE ( , )w T L∈ , 1IEˆ ( , )w T L∈ . Òîä³
ˆ ˆmax ( ; ) ( ; )j j
j
s t w s t w− ≤
2 1 2
0 0
exp ( ) ( ) ( ) exp ( ( ) ( ))
T T
T H R d R LR d≤ Θ + Θ + τ η τ τ τ + τ τ∫ ∫ . (14)
Ä î â å ä å í í ÿ. Îñê³ëüêè
10 В. М. Кирилич
0
ˆ ˆ ˆ( ; ) ( ; ) ( , ( ), ( ( ), ))
t
j j j j j js t w s t w c c r s w s− ≤ − + τ τ τ τ −∫
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ( ), ( ( ), )) ( , ( ), ( ( ), ))
t
j j j j j jr s w s d c c r s w s− τ τ τ τ τ ≤ − + τ τ τ τ −∫ (
ˆ ˆ( , ( ), ( ( ), )) ( , ( ), ( ( ), ))j j j jr s w s r s w s− τ τ τ τ + τ τ τ τ −
1
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ( ), ( ( ), )) ( )max ( ; ) ( ; )
t
j j k k
k
r s w s d T R s w s w− τ τ τ τ τ ≤ Θ + Θ + τ τ − τ +∫) (
2
0
ˆ ˆ ˆ( ) ( ( ; ), ) ( ( ; ), ) max ( ; )
t
j j k
k
R w s w w s w d T s w+ τ τ τ − τ τ τ ≤ Θ + Θ + τ −∫) (
1 2 2
ˆ ˆ( ; ) ( ( ) ( )) ( ) exp ( ) ( )ks w R LR R H d T− τ τ + τ + τ η τ τ ≤ Θ + Θ + )
2 1 2
0 0
ˆ ˆexp ( ) ( ) ( ) max ( ; ) ( ; ) ( ( ) ( ))
T t
k k
k
H R d s w s w R LR d+ η τ τ τ + τ − τ τ + τ τ∫ ∫ ,
òî çâ³äñè, çã³äíî ç ëåìîþ ¥ðîíóîëëà, ìàòèìåìî îö³íêó (14), ÿêà é çàâåðøóº
äîâåäåííÿ ëåìè. ◊
Ëåìà 4. Íåõàé ˆ( , ) ( ) ( )i ix t w wα α∈ Π Π , 1IE ( , )w T L∈ , 1IEˆ ( , )w T L∈ . Òîä³
äëÿ 1, ,i m= … âèêîíóºòüñÿ îö³íêà
ˆ[ ]( , ) [ ]( , )i iw x t w x t− ≤A A
2 2 1 1
0
1exp ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
T
T H F d A L≤ Θ + Λ τ + τ η τ τ + + ρ + Θ∫ , (15)
äå 0
1 1 1 1E Eρ = ν +max ,{ } .
Ä î â å ä å í í ÿ. Ìàºìî
0 0ˆ ˆˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ( ; , , )) ( ( ; , , ))ˆ i ii i i iw x t w x t x t w x t w− ≤ α ϕ − +ϕαA A
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ; , , ), , ( ( ; , , ); )) ( ( ; , , ), , ( ( ; , , ); )) .
t
i i i i i if x t w w x t w f x t w w x t w d+ ϕ τ τ ϕ τ τ − ϕ τ τ ϕ τ τ τ∫
Òîä³
0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ; , , )) ( ( ; , , )) ( ( ; , , )) ( ( ; , , ))i i i i i i i ix t w x t w x t w x t wα ϕ − α ϕ ≤ α ϕ − α ϕ +
10 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ; , , )) ( ( ; , , )) ( ; , , ) ( ; , , )i i i i i ix t w x t w A x t w x t w+ α ϕ − α ϕ ≤ ϕ − ϕ + Θ ≤
1 2 1 2
0 0
exp ( ) ( ) ( ) exp ( ( ) ( ))
T T
A T H d L d≤ Θ + Λ τ η τ τ Λ τ + Λ τ τ + Θ ≤∫ ∫
1 1 2
0
exp ( ) ( ) ( )
T
A E T H d≤ Θ + Λ τ η τ τ + Θ∫ .
Êð³ì òîãî,
0 0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), , ( , )) ( ( ), , ( , )) ( , , ( , ))
t t
i i i i i i i i if w w f w w d f wϕ τ ϕ τ − ϕ τ ϕ τ τ ≤ ϕ τ ϕ τ −∫ ∫ (
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ( , )) ( , , ( , )) ( ( ), , ( , ))i i i i i i i i if w f w f w w d− ϕ τ ϕ τ + ϕ τ ϕ τ − ϕ τ ϕ τ τ ≤)
1 2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ( ) ( ; , , ) ( ; , , ) ( ) ( , ) ( , )
t
i i i iF x t w x t w F w w d≤ τ ϕ τ − ϕ τ + τ ϕ τ − ϕ τ + Θ τ ≤∫ ( )
1 2 2
0
ˆ ˆ( ( ) ( )) ( ; , , ) ( ; , , ) ( ) exp ( ) ( )
t
i iF LF x t w x t w F H d≤ τ + τ ϕ τ − ϕ τ + τ η τ + Θ τ ≤∫ ( )
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами … 11
2 1 2
0 0
exp ( ) ( ) ( ) (( ( ) ( ))
T T
T H F d F LF d T≤ Θ + τ η τ τ + τ + τ τ Θ +∫ ∫
0
2 1 2 1
0 0
1exp ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) ( )
T T
H d E T H d E L+ Λ τ η τ τ ≤ Θ + Λ τ η τ τ ν + +∫ ∫
2 2
0 0
exp( ) ( ) ( ) exp( ) ( ( )
T T
T H F d T H+ Θ + τ η τ τ ≤ Θ + Λ τ +∫ ∫
0
2 11 1( )) ( ) ( )( )F d L E+ τ η τ τ + ν + .
Òîìó
2 2 1 1
0
ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) exp( ) ( ( ) ( )) ( )
T
i iw x t w x t T H F d E A− ≤ Θ + Λ τ + τ η τ τ +∫ (A A
0 0
1 1 2
0
1 1( ) exp ( ) ( ( )
T
L E E T H+ ν + + ν + + Θ ≤ Θ + Λ τ +∫)
0
2 1 1 11 1( )) ( ) max ; ( )F d E E A L+ τ η τ τ ν + + + + Θ { } ,
ùî é çàâåðøóº äîâåäåííÿ ëåìè. ◊
Ëåìà 5. Íåõàé 0 0 ˆ ˆ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i ix t w w w w∈ Π Π Π Π ( ) ( ) . Òîä³
4 1 1ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( )i iw x t w x t A L T− ≤ ρ + + Θ +A A
2 2 2
0
1exp( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
T
H F d+ Λ τ + τ η τ τ + Θ Γ +∫ . (16)
Ä î â å ä å í í ÿ. Ìàºìî îö³íêè
0 00 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ( ), ( , ( ))) ( ( ), ( , ( )))i i i i i i i iw x t w x t w u w w u wℜ − ℜ ≤ γ χ χ − γ χ χ ≤
0 0 00 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), ( , ( ))) ( ( ), ( , ( ))) ( ( ), ( , ( )))i i i i i i i i iw u w w u w w u w≤ γ χ χ − γ χ χ + γ χ χ −
0
0
1 20 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), ( , ( ))) ( ) ( ) max ( , ( , , ))i i i i i k i
k I
w u w w w u x t w
+∉
− γ χ χ ≤ Γ χ − χ + Γ χ −
1 20ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ( , , )) ( ) ( ) ( )k i i iu x t w L w w− χ + Θ ≤ Γ + Γ χ − χ +
02 0 0ˆmax ( , ( , , )) ( , ( , , ))k i k i
k I
u x t w u x t w
+∉
+ Γ χ − χ + Θ .
Îñê³ëüêè ôóíêö³¿ ( , )w x t ³ ˆ ( , )w x t – íåïåðåðâí³ óçàãàëüíåí³ ðîçâ’ÿçêè â³ä-
ïîâ³äíèõ çì³øàíèõ çàäà÷, òî w w= S , w w= ˆˆ ˆS . Òîìó u w= [ ]A , u w=ˆ ˆ[ ]A .
Êð³ì òîãî, äëÿ 0k I+∉ òî÷êè ç êîîðäèíàòàìè 0 ˆ( , ) ( ) ( )k kt w wα α∈ Π Π . Îòæå,
çã³äíî ç ëåìîþ 4, ìîæåìî çàïèñàòè ñï³ââ³äíîøåííÿ
0 0
0 0 0ˆmax ( , ( , , )) ( , ( , , )) max [ ]( , ( , , ))k i k i k i
k I k I
u x t w u x t w w x t w
+ +∉ ∉
χ − χ = χ −A
1 10 1ˆ[ ]( , ( , , )) ( )k iw x t w A L T− χ ≤ ρ + + Θ +A
2 2
0
exp ( ) ( ( ) ( )) ( )
T
H F d+ Λ τ + τ η τ τ + Θ∫ .
Òîìó
12 В. М. Кирилич
1
1 2 0 1
ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( )i iw x t w x t L E T−ℜ − ℜ ≤ Γ + Γ Λ Θ +
2 2 1 1 2
0 0
1exp ( ) ( ) ( ) ( ) exp( ) ( ( )
T T
H d A L T H+ Λ τ η τ τ + Γ ρ + + Θ + Λ τ +∫ ∫
2 2 2 2
0
( )) ( ) exp ( ) ( ( ) ( )) ( )
T
F d T H F d+ τ η τ τ + ΘΓ + Θ ≤ Θ + Λ τ + τ η τ τ ×∫
1
1 2 0 1 2 1 1 2 2 11 1 1L E A L A L−× Γ + Γ Λ + Γ ρ + + + Θ Γ + ≤ ρ + + ×( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
0
1exp ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
T
T H F d× Θ + Λ τ + τ η τ τ + Θ Γ +∫ ,
äå 1
2 1 2 0 1 2 1max , E−ρ = Γ Γ Λ + Γ ρ{ } .
Íåõàé äëÿ âèçíà÷åíîñò³ ˆ ˆ( , , ) ( , , )i ix t w x t wχ ≥ χ . Âðàõîâóþ÷è öå, çàïèøå-
ìî îö³íêó
ˆ ˆ( , , )
ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ( ), , ( ( ), ))
i
t
i i i i i
x t w
w x t w x t f w w w
χ
ℑ − ℑ ≤ ϕ τ ϕ τ −∫
ˆ ˆ( , , )
( , , )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ), , ( ( ), )) ( ( ), , ( ( ), ))
i
i
x t w
i i i i i i
x t w
f w w w d f w w w d
χ
χ
− ϕ τ ϕ τ τ + ϕ τ ϕ τ τ ≤∫
1 2
ˆ ˆ( , , )
ˆ ˆ( ) ( ; , , ) ( ; , , ) ( ) ( ( ; , , ), )
i
t
i i i
x t w
F x t w x t w F w x t w
χ
≤ τ ϕ τ − ϕ τ + τ ϕ τ τ −∫
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( ; , , ), ) ( , , ) ( , , )i i iw x t w d F x t w x t w− ϕ τ τ + Θ τ + χ − χ ≤
1 2 2
i
t
i i
x t w
F LF x t w x t w F H
χ
≤ τ + τ ϕ τ − ϕ τ + τ η τ +∫
ˆ ˆ( , , )
ˆ ˆ( ( ) ( )) ( ; , , ) ( ; , , ) ( ) ( ) exp ( )
1
0 1 2 1 2 1
0 0
exp ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ))
T T
d F E T H d F LF E−+Θ τ + Λ Θ + Λ τ η τ τ ≤ τ + τ ×∫ ∫
1
2 2 0 1
0 0
exp ( ) ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( )
T T
T H d d H F d T F E−× Θ + Λ τ η τ τ τ + τ η τ τ + Θ + Λ ×∫ ∫
0
2 1
0
1
T
T H d E L T H× Θ + Λ τ η τ τ ≤ ν + Θ + ×∫ exp( ) ( ) ( ) ( ) exp( )
1
2 2 0 1
0 0
( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) ( exp ( )
T T
d T H F d F E T H−× Λ τ η τ τ + Θ + τ η τ τ + Λ Θ + ×∫ ∫
0
2 2 2 1
0 0
1( ) ( ) exp ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
T T
d T H F d E L× Λ τ η τ τ ≤ Θ + Λ τ + τ η τ τ ν + +∫ ∫
1
0 1 3 2 2
0
1 1( ) exp ( ) ( ( ) ( )) ( )
T
F E L T H F d−+ + Λ ≤ ρ + Θ + Λ τ + τ η τ τ∫ ,
äå 0 1
3 1 0 1 1E F E−ρ = ν + Λ + .
Òîä³
2 1 2
0
1ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ) exp ( ) ( ( )
T
i iw x t w x t A L T H− ≤ ρ + + Θ + Λ τ +∫A A
2 3 2 2
0
1( )) ( ) ( ) exp ( ) ( ( ) ( )) ( )
T
F d T L T H F d+ τ η τ τ + Θ + ρ + Θ + Λ τ + τ η τ τ ≤∫
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами … 13
4 1 2 2 2
0
1 1( ) exp ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
T
A L T H F d≤ ρ + + Θ + Λ τ + τ η τ τ + Θ Γ +∫ ,
äå 4 2 3ρ = ρ + ρ . Ëåìó äîâåäåíî. ◊
Ëåìà 6. Íåõàé 0 ˆ( , ) [ ] [ ]i ix t w wα∈ Π Π àáî ˆ( , ) [ ] [ ]i ix t w wα∈ Π Π , àáî
0 ˆ( , ) [ ] [ ]i ix t w wα∈ Π Π , àáî ˆ( , ) [ ] [ ]i ix t w wα∈ Π Π . Òîä³
ˆ[ ]( , ) [ ]( , )i iw x t w x t− ≤A A
6 1 2 2
0
1( ) exp ( ) ( ( ) ( )) ( )
T
L A T H F d≤ ρ + + Θ + Λ τ + τ η τ τ + Θ∫ . (17)
Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî äëÿ âèçíà÷åíîñò³ âèïàäîê ( , ) [ ]ix t wα∈ Π
0 ˆ[ ]i wΠ (³íø³ âèïàäêè ðîçãëÿäàþòüñÿ àíàëîã³÷íî). Îñê³ëüêè 0 ˆ( , ) [ ]ix t w∈ Π ,
òî x T≤ Λ ³, êð³ì òîãî, çà ïðèïóùåííÿì, 0TΛ ≤ ε , òî ñïðàâäæóþòüñÿ óìîâè
ëåìè 2 ïðè 0( , , )i x t wχ = . Îòæå,
1
0 1 2
0
0ˆ ˆ( , , ) exp ( ) ( ) ( )
T
i x t w E T H d−χ − ≤ Λ Θ + Λ τ η τ τ∫ .
Äàë³, îñê³ëüêè äëÿ 0
0 ˆˆ ˆ( , ) [ ] ( , , )i ix t w x t w∈ Π λ ≥ Λ ³ 0x ≤ ε , òî ³ 0( , , )i x t wλ ≥ Λ .
Îòæå, ôóíêö³ÿ ( ; , , )i x t wϕ τ çðîñòຠçà τ ïðè 0 t≤ τ ≤ . Òîìó
0 ˆ ˆ( ; , , ) ( ( , , ); , , )i i ix t w x t w x t wϕ ≤ ϕ χ . (18)
Çàçíà÷èìî, ùî 0ˆ ˆ ˆ ˆ( ( , , ); , , )i i x t w x t wϕ χ = , ³ òîä³ ç ëåìè 1 îòðèìóºìî îö³íêó
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( , , ); , , ) ( ( , , ); , , )i i i ix t w x t w x t w x t wϕ χ − ϕ χ ≤
1 2
0
exp ( ) ( ) ( )
T
E T H d≤ Θ + Λ τ η τ τ∫ .
Çâ³äñè íà ï³äñòàâ³ (18) ìàòèìåìî
1 2
0
0( ; , , ) exp ( ) ( ) ( )
T
i x t w E T H dϕ ≤ Θ + Λ τ η τ τ∫ .
Äàë³, âèêîðèñòîâóþ÷è óìîâè ïîãîäæåííÿ, îäåðæóºìî
0 0 0ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ( ; , , )) ( ) ( )i i i i i iw x t w x t x t wℜ − ℜ ≤ α ϕ − α + α −
0 0
10 0 0 0 0 0i i i i i ix t w u x t w A x t w u− γ χ χ ≤ ϕ + α − γ +ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( , , ), ( , ( , , ))) ( ; , , ) ( ) ( , ( , ))
0 0
10 0 0 0 0 0ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ( , , ), ( , ( , , ))) ( , ( , )) ( ; , , ) ( )i i i i i ix t w u x t w u A x t w+ γ χ χ − γ ≤ ϕ + α −
1 2 1 1 2
0
0
T
i iL x t w A E T H d− α + Γ + Γ χ ≤ Θ + Λ τ η τ τ + Θ +∫ˆ ˆ ˆ( ) ( ) ( , , ) exp ( ) ( ) ( )
1
1 2 0 1 2
0
( ) exp ( ) ( ) ( )
T
L E T H d T−+ Γ + Γ Λ Θ + Λ τ η τ τ ≤ Θ +∫
1
2 1 1 1 2 0 1
0
1exp ( ) ( ) ( ) max ; ( )
T
H d A E L E−+ Λ τ η τ τ + Γ Γ + Λ + Θ ≤∫ { }( )
5 1 2
0
1( ) exp ( ) ( ) ( )
T
A L T H d≤ ρ + + Θ + Λ τ η τ τ + Θ∫ ,
äå 1
5 1 1 2 0 1max ,E E−ρ = + Γ Γ Λ{ } .
Çàïèøåìî îö³íêè
14 В. М. Кирилич
1 2
ˆ ˆ( , , )
ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ( ) ( )) ( ; , , )
i
t
i i i
x t w
w x t w x t F LF x t w
χ
ℑ − ℑ ≤ τ + τ ϕ τ −∫ [
2
0
ˆ ˆ( , , )
ˆ ˆ( ; , , ) ( ) ( ) exp ( )
i x t w
i x t w F H d F d
χ
− ϕ τ + τ η τ + Θ τ + τ ≤∫ ]
3 2 2
0
1( ) exp ( ) ( ( ) ( )) ( )
T
L T H F d≤ ρ + Θ + Λ τ + τ η τ τ∫ .
Òîìó
ˆ[ ]( , ) [ ]( , )i iw x t w x t− ≤A A
6 1 2 2
0
1( ) exp ( ) ( ( ) ( )) ( )
T
L A T H F d≤ ρ + + Θ + Λ τ + τ η τ τ + Θ∫ ,
äå 6 3 5ρ = ρ + ρ .
Íàñë³äîê 1. Âèïàäêè, ðîçãëÿíóò³ â ëåìàõ 4–6, îõîïëþþòü âåñü ïðÿìî-
êóòíèê ( )TΠ , îñê³ëüêè 0 0ˆ ˆ[ ] [ ] [ ] [ ]i i i iw w w wΠ Π = Π Π = ∅ . Òîìó äëÿ âñ³õ
( , ) ( )x t T∈ Π âèêîíóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ
7 11ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( )i iw x t w x t L A− ≤ ρ + + ×A A
2 2 2
0
1exp ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( )
T
T H F d× Θ + Λ τ + τ η τ τ + Θ Γ +∫ , (19)
äå 7 1 4 6ρ = ρ ρ ρmax , ,{ } .
Ëåìà 7. Äëÿ ( , ) ( )x t T∈ Π , 1IE ( , )w T L∈ , 1IEˆ ( , )w T L∈ ñïðàâäæóºòüñÿ
îö³íêà
3 9 8 11ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( )w x t w x t E L A T− ≤ Θρ + ρ + + Θ + Θ + B B
2 2 2
0
exp ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )
T
H F R d+ Λ τ + τ + τ η τ τ∫ . (20)
Ä î â å ä å í í ÿ. Äëÿ âèçíà÷åíîñò³ ââàæàòèìåìî, ùî ˆ ˆ( ; ) ( ; )j js t w s t w≤ (ó
âèïàäêó ˆ ˆ( ; ) ( ; )j js t w s t w≥ äîâåäåííÿ àíàëîã³÷íå).
1°. Íåõàé ˆ ˆ( ; ) ( ; )j js t w s t w x≤ ≤ . Òîä³
ˆ ˆ( ; )
( ; )
ˆˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ) ( ) ( , , ( , ))
j
j
s t w
j j j j j
s t w
w x t w x t t t q t w t d− ≤ β − β + ξ ξ ξ +∫B B
ˆ ˆ( ; )
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ( , )) ( , , ( , )) ( ; ) ( ; )
j
x
j j j j
s t w
q t w t q t w t d Q s t w s t w+ ξ ξ − ξ ξ ξ ≤ Θ + − +∫
2
ˆ ˆ( ; )
ˆ( ) ( , ) ( , ) exp ( )
j
x
s t w
Q w t w t d Q T H+ ξ ξ − ξ + Θ ξ ≤ Θ + Θ + Θ + ×∫ ( )
2 2 2
0 0
ˆ ˆ( ) ( ) ( ) max ( , ) ( , ) ; ( , ) ( , )
T x
R d E Q u t u t v t v t d× τ η τ τ + ξ ξ − ξ ξ − ξ ξ +∫ ∫ { }
2 2
0
1 1( ) ( ) exp ( ) ( ) ( )
T
Q T H R d E+ Θ ≤ Θ + + Θ + + τ η τ τ +∫
2
0
ˆ ˆ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x
Q u t u t v t v t d+ ξ ξ − ξ + ξ − ξ ξ∫ ( ) .
Стійкість узагальненого неперервного розв’язку задачі з вільними межами … 15
Îñê³ëüêè ˆ,w w – ðîçâ’ÿçêè â³äïîâ³äíèõ çàäà÷, òî ˆˆ ˆ[ ], [ ]w w w w= =S S ,
òîìó
2 2
0
1ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ) exp ( ) ( ) ( )
T
j jw x t w x t Q T H R d E− ≤ Θ + + Θ + Θ + τ η τ τ +∫ B B
2
0
ˆ ˆ( ) [ ]( , ) [ ]( , ) [ ]( , ) [ ]( , )
x
Q w t w t w t w t d+ ξ ξ − ξ + ξ − ξ ξ ≤∫ A A B B( )
2 2 7 1
0
1 1( ) exp ( ) ( ) ( ) ( )
T
QE T H R d L A T≤ Θ + + Θ + Θ + τ η τ τ + ρ + + Θ +∫
0
2 2 2 2
0 0
1exp ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) [ ]( , )
T
H F d Q w t+ Λ τ + τ η τ τ + Θ Γ + ν + ξ ξ −∫ ∫
B
9 2 2
0
ˆ[ ]( , ) exp ( ) ( ) ( )
T
w t d T H F− ξ ξ ≤ Θρ + Θ + Θ + Λ τ + τ +∫B (
2 8 1 2
0
1 ˆ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( , ) [ ]( , )R d L A Q w t w t d+ τ η τ τ ρ + + + ξ ξ − ξ ξ∫
B B) , (21)
äå 0
8 2 7QEρ = + ν ρ , 0
9 2 1 1( )ρ = ν Γ + + + .
Î÷åâèäíî, ùî ïðè ˆ ˆ( ; ) ( ; )j jx s t w s t w≤ ≤ îö³íêà (21) òàêîæ âèêîíóºòüñÿ.
2°. Íåõàé òåïåð ˆ ˆ( ; ) ( ; )j js t w x s t w≤ ≤ . Òîä³
( ; )
ˆˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ) ( ) ( , , ( , ))
j
x
j j j j j
s t w
w x t w x t t t q t w t d− ≤ β − β + ξ ξ ξ +∫B B
ˆ ˆ( ; )
ˆ ˆ ˆ ˆ( , , ( , )) ( ; ) ( ; )
js t w
j j j
x
q t w t d Q s t w s t w+ ξ ξ ξ ≤ Θ + − ≤∫
2 2
0
exp ( ) ( ) ( )
T
QE T H R d≤ Θ + Θ + Θ + τ η τ τ∫ .
Îòæå, äëÿ ( , ) ( )x t T∈ Π ñïðàâäæóºòüñÿ îö³íêà
9 8 1 2
0
1ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( ) exp ( ) ( ( )
T
w x t w x t L A T H− ≤ Θρ + ρ + + Θ + Θ + Λ τ +∫B B
2 2 2
0
F R d Q w t w t d+ τ + τ η τ τ + ξ ξ − ξ ξ∫
ˆ( ) ( )) ( ) ( ) [ ]( , ) [ ]( , ) B B .
Äàë³, çàñòîñîâóþ÷è ëåìó ¥ðîíóîëëà, îòðèìóºìî íåð³âí³ñòü (20). Ëåìó äîâå-
äåíî. ◊
Íàñë³äîê 2. Çã³äíî ç íàñë³äêîì 1 òà ëåìîþ 7, âðàõîâóþ÷è íåð³âí³ñòü
( )
( , ) max ( , )
T
v x t v x t
Π
≤ ,
äëÿ ( , ) ( )x t T∈ Π ìàòèìåìî îö³íêó
10 11ˆ ˆ[ ]( , ) [ ]( , ) ( )w x t w x t L A T− ≤ ρ + + Θ + Θ +S S
2 2 2 11
0
T
H F R d+ Λ τ + τ + τ η τ τ + Θρ∫exp ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) , (22)
äå 0
10 2 3 21 1 1Eρ = Γ + ν Γ + + + max ( ), ( ( ) ){ } , 11 3 8 7Eρ = ρ ρmax ,{ } .
16 В. М. Кирилич
Òåîðåìà 1. Íåõàé 1 1IE IE ˆˆ( , ) ( , ), ( , )w x t T L w T L∈ ∈ – íåïåðåðâí³ óçàãàëü-
íåí³ ðîçâ’ÿçêè â³äïîâ³äíèõ çàäà÷ (6)–(13) ç [1] òà (1)–(8) ó ïðÿìîêóòíèêó
TΠ( ) . Êð³ì òîãî, íåõàé âèêîíóþòüñÿ âñ³ ïðèïóùåííÿ, ùî â³äïîâ³äàþòü
êîæí³é ç öèõ çàäà÷. Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíîãî 0ε > ³ñíóº òàêå 0 0Θ ε >( ) , ùî ïðè
0Θ < Θ ε( ) â ïðÿìîêóòíèêó TΠ( ) ìàºìî
ˆ( , ) ( , )w x t w x t− < ε . (23)
Ä î â å ä å í í ÿ. Ô³êñóºìî äîâ³ëüíå 0ε > . Òîä³ ç íàñë³äêó 2 îòðèìóºìî,
ùî äëÿ êîæíî¿ òî÷êè 0( , ) ( )x Tτ ≤ τ ≤ âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü
11 10 11ˆ( , ) ( , ) ( )w x w x L A Tτ − τ ≤ Θρ + ρ + + Θ + Θ +
2 2 2
0
exp ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )H F R d
τ
+ Λ ξ + ξ + ξ η ξ ξ∫ .
Òîìó
11 10 1 2 2 2
0
1( ) ( ) exp ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( )L A T H F R d
τ
η τ ≤ Θρ + ρ + + Θ + Θ + Λ ξ + ξ + ξ η ξ ξ∫ .
Çâ³äñè, çàñòîñîâóþ÷è ëåìó Ãðîíóîëëà, îòðèìóºìî
11 10 11 L A Tη τ ≤ Θρ + ρ + + Θ + Θ ×( ) ( ( )( ))
10 1 2 2 2
0
1exp ( ) exp ( ) ( ( ) ( ) ( ))
T
L A H F R d× ρ + + Λ ξ + ξ + ξ ξ∫ .
Ïîêëàâøè òåïåð
0 11 10 11 1( ) ( ( )( ))L A TΘ ε = ε ρ + ρ + + + ×
1
10 1 2 2 2
0
1exp ( ) exp ( ) ( ( ) ( ) ( ))
T
L A H F R d
−
× ρ + + Λ ξ + ξ + ξ ξ∫ ,
ìàºìî ïîòð³áíèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìó äîâåäåíî. ◊
Àâòîð âèñëîâëþº ïîäÿêó ïðîôåñîðó À. Ì. Ô³ë³ìîíîâó.
1. Êèðèëè÷ Â. Ì., Ôèëèìîíîâ À. Ì. Îáîáùåííàÿ íåïðåðûâíàÿ ðàçðåøèìîñòü çàäà-
÷è ñ íåèçâåñòíûìè ãðàíèöàìè äëÿ ñèíãóëÿðíûõ ãèïåðáîëè÷åñêèõ ñèñòåì êâàçè-
ëèíåéíûõ óðàâíåíèé // Ìàò. ñòó䳿. – 2008. – 30, ¹ 1. – Ñ. 42–60.
УСТОЙЧИВОСТЬ ОБОБЩЕННОГО НЕПРЕРЫВНОГО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ СО СВОБОДНЫМИ
ГРАНИЦАМИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОЙ КВАЗИЛИНЕЙНОЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Äîêàçàíà íåïðåðûâíàÿ çàâèñèìîñòü îò èñõîäíûõ äàííûõ îáîáùåííîãî íåïðåðûâ-
íîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ñ âíóòðåííèìè ñâîáîäíûìè ãðàíèöàìè äëÿ ñèíãóëÿðíîé êâà-
çèëèíåéíîé ãèïåðáîëè÷åñêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà.
STABILITY OF THE GENERALIZED CONTINUOUS SOLUTION OF THE FREE BOUNDARY
PROBLEM FOR SINGULAR QUASILINEAR HYPERBOLIC SYSTEM
We proved continuous dependence on initial data of the generalized continuous solution
to the problem with internal free boundary for singular quasilinear hyperbolic system of
equations of the first order.
Ëüâ³â. íàö. óí-ò ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà, Ëüâ³â Îäåðæàíî
13.11.08
|