Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі
Розглянуто співвідношення уточненої теорії динамічного деформування циліндричних оболонок, яка враховує явно податливість матеріалу до трансверсального зсуву та неявно - до стиснення. На цій підставі одержано систему розв'язувальних рівнянь, яка описує малі вільні коливання видовжених циліндрич...
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7680 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі / В.С. Пакош // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 171-174. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7680 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-76802010-04-09T12:01:01Z Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі Пакош, В.С. Розглянуто співвідношення уточненої теорії динамічного деформування циліндричних оболонок, яка враховує явно податливість матеріалу до трансверсального зсуву та неявно - до стиснення. На цій підставі одержано систему розв'язувальних рівнянь, яка описує малі вільні коливання видовжених циліндричних панелей. Знайдено аналітичний вираз для спектра власних частот і досліджено вплив параметрів зсуву та стиснення на їх значення. Рассмотрены соотношения уточненной теории динамического деформирования цилиндрических оболочек, которая учитывает явно податливость материала трансверсальным сдвигу и неявно – сжатию. На этом основании получена система разрешающих уравнений, которая описывает малые свободные колебания удлиненных цилиндрических панелей. Найдено аналитическое выражение для спектра собственных частот и исследовано влияние параметров сдвига и сжатия на их значения. The relation of refined theory for dynamic strain of cylindrical shells, considering explicitly the material pliability to transversal shear and implicitly – to compression, is examined. On this basis a system of equations solved describing small free vibrations of elongated cylindrical panels is obtained. Analytical expression for spectrum of fundamental frequencies is found and the influence of shear and compression parameters on their values is studied. 2008 Article Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі / В.С. Пакош // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 171-174. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7680 539.3 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто співвідношення уточненої теорії динамічного деформування циліндричних оболонок, яка враховує явно податливість матеріалу до трансверсального зсуву та неявно - до стиснення. На цій підставі одержано систему розв'язувальних рівнянь, яка описує малі вільні коливання видовжених циліндричних панелей. Знайдено аналітичний вираз для спектра власних частот і досліджено вплив параметрів зсуву та стиснення на їх значення. |
| format |
Article |
| author |
Пакош, В.С. |
| spellingShingle |
Пакош, В.С. Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі |
| author_facet |
Пакош, В.С. |
| author_sort |
Пакош, В.С. |
| title |
Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі |
| title_short |
Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі |
| title_full |
Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі |
| title_fullStr |
Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі |
| title_full_unstemmed |
Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі |
| title_sort |
вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі |
| publisher |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7680 |
| citation_txt |
Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти видовженої циліндричної панелі / В.С. Пакош // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 171-174. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT pakošvs vplivpodatlivostídotransversalʹnihzsuvutastisnennânavlasníčastotividovženoícilíndričnoípanelí |
| first_indexed |
2025-07-02T10:28:03Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:28:03Z |
| _version_ |
1836530620360032256 |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 171–174.
ÓÄÊ 539.3
В. С. Пакош
ВПЛИВ ПОДАТЛИВОСТІ ДО ТРАНСВЕРСАЛЬНИХ
ЗСУВУ ТА СТИСНЕННЯ НА ВЛАСНІ ЧАСТОТИ ВИДОВЖЕНОЇ
ЦИЛІНДРИЧНОЇ ПАНЕЛІ
Ðîçãëÿíóòî ñï³ââ³äíîøåííÿ óòî÷íåíî¿ òåî𳿠äèíàì³÷íîãî äåôîðìóâàííÿ öè-
ë³íäðè÷íèõ îáîëîíîê, ÿêà âðàõîâóº ÿâíî ïîäàòëèâ³ñòü ìàòåð³àëó äî òðàíñ-
âåðñàëüíîãî çñóâó òà íåÿâíî – äî ñòèñíåííÿ. Íà ö³é îñíîâ³ îòðèìàíî ñèñòå-
ìó ðîçâ’ÿçóâàëüíèõ ð³âíÿíü, ÿêà îïèñóº ìàë³ â³ëüí³ êîëèâàííÿ âèäîâæåíèõ
öèë³íäðè÷íèõ ïàíåëåé. Çíàéäåíî àíàë³òè÷íèé âèðàç äëÿ ñïåêòðà âëàñíèõ
÷àñòîò ³ äîñë³äæåíî âïëèâ ïàðàìåòð³â çñóâó òà ñòèñíåííÿ íà ¿õ çíà÷åííÿ.
Êîìïîçèòí³ öèë³íäðè÷í³ ïàíåë³ çíàõîäÿòü øèðîêå çàñòîñóâàííÿ â êîí-
ñòðóêö³ÿõ ³ òåõí³÷íèõ çàñîáàõ ð³çíîìàí³òíîãî ö³ëüîâîãî ïðèçíà÷åííÿ [1].
Íàéá³ëüø õàðàêòåðíîþ îñîáëèâ³ñòþ äåôîðìóâàííÿ òîíêîñò³ííèõ îáîëîíîê ³ç
êîìïîçèò³â ïîðÿä ³ç àí³çîòðîﳺþ ïðóæíèõ âëàñòèâîñòåé º ïîäàòëèâ³ñòü äî
òðàíñâåðñàëüíèõ çñóâó òà ñòèñíåííÿ [2, 3, 4]. Íàÿâí³ â ë³òåðàòóð³ äîñë³ä-
æåííÿ ïðîâîäèëèñü àáî ³ç çàñòîñóâàííÿì ÷èñëîâèõ ìåòîä³â [5], àáî ëèøå ç
óðàõóâàííÿì ïîäàòëèâîñò³ äî òðàíñâåðñàëüíîãî çñóâó [6]. Ïðîïîíîâàíà æ
ðîáîòà ïðèñâÿ÷åíà ïîáóäîâ³ àíàë³òè÷íîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ ïðî ìàë³ ïîïå-
ðå÷í³ âëàñí³ êîëèâàííÿ âèäîâæåíî¿ êîìïîçèò-
íî¿ öèë³íäðè÷íî¿ ïàíåë³.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷³. Ðîçãëÿíåìî âèäîâæå-
íó êîìïîçèòíó öèë³íäðè÷íó ïàíåëü òîâùèíè
2h ç ðàä³óñîì ñåðåäèííî¿ ïîâåðõí³ R ³ êóòîì
ðîçõèëó 02ϕ (ðèñ. 1). Äèíàì³÷íèé íàïðóæåíî-
äåôîðìîâàíèé ñòàí âêàçàíîãî òîíêîñò³ííîãî
åëåìåíòà çà â³äñóòíîñò³ ìàñîâèõ òà ïîâåðõíå-
âèõ çóñèëü îïèñóºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè, ùî
âêëþ÷àþòü [3]
– ð³âíÿííÿ ðóõó (ð³âíîâàãè):
2
2
1 2N uQ h
y R t
∂ ∂+ = ρ
∂ ∂
,
2
2
1 2
Q wN h
y R t
∂ ∂− = ρ
∂ ∂
,
2
3
2
2
3
M Q h
y t
∂ γ∂ − = ρ
∂ ∂
, (1)
– ñï³ââ³äíîøåííÿ ïðóæíîñò³:
0
1N B= ε , 1
1M D= ε , 0
13Q = Λ ε , (2)
– äåôîðìàö³éí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ:
0
1
u w
y R
∂ε = +
∂
, 1
1 y
∂γε =
∂
, 0
13
w u
y R
∂ε = γ + −
∂
. (3)
Ó ð³âíîñòÿõ (1)–(3) ïðèéíÿòî ïîçíà÷åííÿ: y R= ϕ , ϕ – êóòîâà êîîðäè-
íàòà íà ñåðåäèíí³é ïîâåðõí³ ïàíåë³; N – ðîçòÿãóâàëüíå (ñòèñêóâàëüíå) çó-
ñèëëÿ âçäîâæ êóòîâî¿ êîîðäèíàòè; M – çãèííèé ìîìåíò; Q – ïåðåð³çó-
âàëüíå çóñèëëÿ; u – ïåðåì³ùåííÿ òî÷îê ñåðåäèííî¿ ïîâåðõí³ âçäîâæ òàí-
ãåíö³àëüíî¿ êîîðäèíàòè y (ðèñ. 1); γ – êóò ïîâîðîòó íîðìàëüíîãî äî ñåðå-
äèííî¿ ïîâåðõí³ åëåìåíòà ïåðåä äåôîðìóâàííÿì; w – ïåðåì³ùåííÿ òî÷îê
ñåðåäèííî¿ ïîâåðõí³ âçäîâæ ðàä³àëüíî¿ êîîðäèíàòè; 22 1 / 1( ) ( )B Eh= + α − ν
– óçàãàëüíåíà æîðñòê³ñòü ïàíåë³ íà ðîçòÿã; 2 /3D h B= – óçàãàëüíåíà çãèí-
Рис. 1
172 В. С. Пакош
íà æîðñòê³ñòü ïàíåë³; 2k hG′ ′Λ = – çñóâíà æîðñòê³ñòü ïàíåë³; α =
21
1 2
E
E
′+ ν ν= ′ ′− ν − νν
( )( )
; ,E ν – ìîäóëü Þíãà òà êîåô³ö³ºíò Ïóàññîíà â ñåðåäèíí³é
òà åêâ³äèñòàíòíèõ äî íå¿ ïîâåðõíÿõ; ,E′ ′ν – ò³ æ âåëè÷èíè â ïëîùèíàõ,
ïåðïåíäèêóëÿðíèõ äî ñåðåäèííî¿ ïîâåðõí³; G′ – òðàíñâåðñàëüíèé ìîäóëü
çñóâó; ρ – ãóñòèíà ìàòåð³àëó ïàíåë³; 14/15k′ = .
Ãðàíè÷í³ óìîâè íà âèäîâæåíèõ òîðöÿõ ïàíåë³ 0 0y b R= ± = ± ϕ ó âèïàä-
êó ¿õ øàðí³ðíîãî çàêð³ïëåííÿ íà íèæí³é ëèöåâ³é ïîâåðõí³ (ðèñ. 1) ìàþòü
âèãëÿä
0 0N b± =( ) , 0 0M b± =( ) , 0 0w b± =( ) . (4)
гâíÿííÿ (1) ðàçîì ³ç ñï³ââ³äíîøåííÿìè (2), (3) ³ ãðàíè÷íèìè óìîâàìè
(4) ñêëàäàþòü ìàòåìàòè÷íó ìîäåëü, ùî îïèñóº ïðîöåñ ìàëèõ â³ëüíèõ êîëè-
âàíü ðîçãëÿíóòî¿ âèäîâæåíî¿ öèë³íäðè÷íî¿ ïàíåë³. Ïîäàòëèâ³ñòü ìàòåð³àëó
ïàíåë³ äî ïîïåðå÷íîãî ñòèñíåííÿ â ö³é ìîäåë³ âðàõîâóºòüñÿ íàÿâí³ñòþ ó âè-
ðàçàõ äëÿ æîðñòê³ñíèõ õàðàêòåðèñòèê êîåô³ö³ºíòà α , ùî çàëåæèòü â³ä
òðàíñâåðñàëüíèõ ïðóæíèõ ñòàëèõ E′ òà ′ν .
2. Ïîáóäîâà ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³. Ïî÷åðãîâà ï³äñòàíîâêà (3) → (2) → (1) òà
íåõòóâàííÿ ³íåðö³ºþ ïîâîðîòó γ [4] ïðèâîäèòü äî ñèñòåìè ð³âíÿíü ðóõó â
óçàãàëüíåíèõ ïåðåì³ùåííÿõ
2w uB u w hu
R R R
′ Λ ′′ ′+ + γ + − = ρ
, (5)
2u B ww u w
R R R
′ ′ ′′ ′Λ γ + − − + = ρ
, (6)
0uD w
R
′′ ′γ − Λ γ + − =
. (7)
Тут і надалі штрихом позначено похідну за y , а крапкою – за t .
З рівняння (7) отримуємо вираз для тангенціального переміщення u :
2
u R w
′′γ ′= γ + −
æ
, (8)
де 2 /D= Λæ .
Підстановка рівності (8) у рівняння (5) і (6) дозволяє отримати систему
розв’язувальних рівнянь задачі про малі власні коливання розглянутої па-
нелі:
2 2 2 2
1
1 3 2
II
IV II w
R c h
γ γ + γ = − γ −
æ
,
2 2 2 2 2 2
1
1 6 1 3
IV II
IV II II IIIw w
RR h c h
γ γ γ − γ − γ − + + = − γ
æ æ
. (9)
У рівняннях (9) 1 2 /c h B= ρ – швидкість поширення хвиль уздовж
кільцевої координати.
Для задоволення двох останніх граничних умов з (4) розв’язок системи
рівнянь (9) шукаємо у вигляді
0
cos i t
n n
n
w w y e
∞
ω
=
= λ
∑ ,
0
sin i t
n n
n
y e
∞
ω
=
γ = γ λ
∑ , (10)
де n
n
k
R
λ = ,
0
2 1
2n
nk + π=
ϕ
, ω – шукана частота коливань.
Вплив податливості до трансверсальних зсуву та стиснення на власні частоти … 173
Îñê³ëüêè ç óðàõóâàííÿì âèðàçó äëÿ N òà ð³âíîñò³ (8) ìàºìî
2
wN B R w
R
′′′γ ′ ′′= γ + − + æ
,
то перша рівність із (4) задовольняється автоматично. Для інших типів гра-
ничних умов необхідно використовувати більш складні розклади для функ-
цій w та γ за координатою y , як і у випадку задач про мале поперечне
деформування.
Після підстановки (10) в (9) та прирівнювання до нуля визначника для
кожної незалежної підсистеми для визначення величини 1/n n cµ = ω отри-
маємо біквадратне рівняння
2 2 2 2 2 2 2
4 2
2 2 2 2 4 2 2 2
1 11 11 0
3 31 1
n n n n
n n
n n
k k k k
R k R k− −
+ ε ε − µ − + µ + = + ε ⋅ + ε ⋅
( )
æ æ
.
Тут 2 2 2h=æ æ .
Звідси для спектра безрозмірних частот / 0 1 2, , , ,n nh E nω = ω ρ = ,
отримуємо вираз
21
n
n
a
ω = ε
− ν
, (11)
де
2
2 2 2 4 21
1 1 1
2
( ) ( )n
n n n n n
k
a k
+ = + α + η + + α + η + + α η
,
2 1
2 2 2 2 2 2
2
1 1 1
3 1
n
n n n n
Ek k
G k
−β η = ε + β = ε ′ ′+ α δ
, ,
2 23 1( )δ = − ν ,
2
2 4 2
1 1 12 6 1 1n
n n n
k
k k k
−
= − − ⋅ +
.
3. Аналіз числових результатів та висновки. За формулою (11) прове-
дено визначення спектра безрозмірних частот власних коливань видовже-
ної циліндричної панелі з кутом розхилу 02 /2ϕ = π . На рис. 2 і рис. 3 (від-
повідно при / 0E E′ = і / 1E E′ = ) наведено залежності безрозмірних частот
nω для 0 1 2, ,n = . Для всіх цих випадків розрахунки проводились при
/ 0 1.h R = та 0 375.ν = .
0.2414
0.2416
0.2418
0.2420
0 20 40 60 80E/G′
a)
ωn n = 0
0.656
0.657
0.658
0.659
0 20 40 60 80E/G′
á)
ωn n = 1
1.084
1.085
1.086
1.087
0 20 40 60 80E/G′
â)
ωn n = 2
Рис. 2
0.3018
0.3020
0.3022
0.3024
0.3026
0 20 40 60 80E/G′
a)
ωn n = 0
0.820
0.821
0.822
0.823
0 20 40 60 80E/G′
á)
ωn n = 1
1.355
1.356
1.357
1.358
0 20 40 60 80E/G′
â)
ωn n = 2
Рис. 3
174 В. С. Пакош
³äì³÷àºòüñÿ ï³äâèùåííÿ æîðñòêîñò³ ïàíåë³, à â³äïîâ³äíî ³ çá³ëüøåííÿ
çíà÷åíü âëàñíèõ ÷àñòîò ïðè / 1E E′ = ïîð³âíÿíî ç âèïàäêîì / 0E E′ = . Çìåí-
øåííÿ çñóâíî¿ æîðñòêîñò³, òîáòî çá³ëüøåííÿ ïàðàìåòðà /E G′ , íàâïàêè,
ïðèâîäèòü äî çìåíøåííÿ æîðñòêîñò³ ïàíåë³ òà â³äïîâ³äíî äî çíèæåííÿ çíà-
÷åíü âëàñíèõ ÷àñòîò êîëèâàíü.
У подальшому відповідні дослідження доцільно проводити для інших
класів оболонок, де можна отримати аналітичні розв’язки, які становлять
певний практичний інтерес і можуть бути тестовими для апробації число-
вих методів.
1. Âîëüìèð À. Ñ., Êóðàíîâ Á. À., Òóðáàèâñêèé À. Ò. Ñòàòèêà è äèíàìèêà ñëîæíûõ
ñòðóêòóð. – Ìîñêâà: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1989. – 248 ñ.
2. Êóáåíêî Â. Ä., Êîâàëü÷óê Ï. Ñ. Íåëèíåéíûå çàäà÷è êîëåáàíèé òîíêèõ îáîëî÷åê
(îáçîð) // Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 1998. – 34, ¹ 8. – Ñ. 3–31.
3. Ìàð÷óê Ì. Â. Íåë³í³éíå äåôîðìóâàííÿ ³ êîëèâàííÿ ïîäàòëèâèõ òðàíñâåðñàëü-
íèì äåôîðìàö³ÿì çñóâó òà ñòèñíåííÿ ïëàñòèí ³ îáîëîíîê // Ìàøèíîçíàâñòâî. –
2005. – ¹ 10. – Ñ. 9–14.
4. Îñàä÷óê Â. À., Ìàð÷óê Ì. Â. Ìàòåìàòè÷íà ìîäåëü äèíàì³÷íîãî äåôîðìóâàííÿ
ïîäàòëèâèõ äî çñóâó òà ñòèñêó êîìïîçèòíèõ ïëàñòèí // Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõà-
í³êè ³ ìàòåìàòèêè. – 2005. – Âèï. 3. – Ñ. 43–50.
5. Haldar S. Free vibration of composite skewed cylindrical shell and panel by finite
element method // J. Sound and Vibr. – 2008. – 311. – P. 9–19.
6. Kurpa L. V., Timchenko G. N. Studying the free vibrations of multilayer plates
with a complex planform // Int. Appl. Mech. – 2006. – 42, No 1. – P. 103–109.
ВЛИЯНИЕ ПОДАТЛИВОСТИ ТРАНСВЕРСАЛЬНЫМ СДВИГУ И СЖАТИЮ
НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ УДЛИНЕННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ
Ðàññìîòðåíû ñîîòíîøåíèÿ óòî÷íåííîé òåîðèè äèíàìè÷åñêîãî äåôîðìèðîâàíèÿ
öèëèíäðè÷åñêèõ îáîëî÷åê, êîòîðàÿ ó÷èòûâàåò ÿâíî ïîäàòëèâîñòü ìàòåðèàëà
òðàíñâåðñàëüíûì ñäâèãó è íåÿâíî – ñæàòèþ. Íà ýòîì îñíîâàíèè ïîëó÷åíà ñèñòå-
ìà ðàçðåøàþùèõ óðàâíåíèé, êîòîðàÿ îïèñûâàåò ìàëûå ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ
óäëèíåííûõ öèëèíäðè÷åñêèõ ïàíåëåé. Íàéäåíî àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ
ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò è èññëåäîâàíî âëèÿíèå ïàðàìåòðîâ ñäâèãà è ñæà-
òèÿ íà èõ çíà÷åíèÿ.
INFLUENCE OF TRANSVERSAL SHEAR AND COMPRESSION PLIABILITY
ON FUNDAMENTAL FREQUENCY OF ELONGATED CYLINDRICAL PANEL
The relation of refined theory for dynamic strain of cylindrical shells, considering ex-
plicitly the material pliability to transversal shear and implicitly – to compression, is
examined. On this basis a system of equations solved describing small free vibrations of
elongated cylindrical panels is obtained. Analytical expression for spectrum of funda-
mental frequencies is found and the influence of shear and compression parameters on
their values is studied.
²í-ò ïðèêë. ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè Îäåðæàíî
³ì. ß. Ñ. ϳäñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â 12.11.08
|