Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями
Получено выражение для двухчастичной функции Грина (электропроводности) магнитных кристаллов с сильными электронными корреляциями. Учитываются процессы рассеяния электронов на флуктуациях спиновой и электронной плотностей. Электронные состояния описываются в рамках многозонной модели сильной связи....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76804 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями / C.П. Репецкий, А.Г. Наконечный, Б.В. Стащук // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2009. — Т. 7, № 4. — С. 963-985. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-76804 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-768042015-02-13T03:01:58Z Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями Репецкий, C.П. Наконечный, А.Г. Стащук, Б.В. Получено выражение для двухчастичной функции Грина (электропроводности) магнитных кристаллов с сильными электронными корреляциями. Учитываются процессы рассеяния электронов на флуктуациях спиновой и электронной плотностей. Электронные состояния описываются в рамках многозонной модели сильной связи. Расчеты базируются на диаграммной технике для температурных функций Грина. Получено кластерное разложение для двухчастичной функции Грина. За нулевое одноузельное приближение в кластерном разложении выбирается приближение когерентного потенциала. Показано, что вклады процессов рассеяния электронов на кластерах уменьшаются с увеличением числа узлов в кластере по некоторому малому параметру. На примере кристалла железа исследованы условия возникновения спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями. Одержано вираз для двочастинкової Ґрінової функції (електропровідности) магнетних кристалів із сильними електронними кореляціями. Враховуються процеси розсіяння електронів на флюктуаціях спінової й електронної густин. Електронні стани описуються в рамках багатозонного моделю сильного зв’язку. Розрахунки базуються на діяграмній техніці для температурних Ґрінових функцій. Одержано кластерне розвинення для двочастинкової Ґрінової функції. За нульове одновузельне наближення в кластерному розвиненні обирається наближення когерентного потенціялу. Показано, що внески процесів розсіяння електронів на кластерах зменшуються зі збільшенням числа вузлів у кластері за деяким малим параметром. На прикладі кристала заліза досліджено умови виникнення спін-залежного транспорту в системах із сильними електронними кореляціями. An expression for two-particle Green’s function (electroconductivity) of magnetic crystals with strong electron correlations is obtained. The processes of electron scattering by fluctuations of spin and electron densities are taken into consideration. The electron states of the system are described within thescope of the multiband tight-binding model. Calculations are based on the diagram technique for temperature Green’s functions. Cluster expansion for two-particle Green’s function is obtained. The coherent potential approximation (CPA) is chosen as a zero-order one-site approximation for this expansion. As shown, the contributions from the processes of scattering by clusters decrease as the number of atoms in a cluster increases, and this decrease can be parameterized by a certain small parameter. Conditions for appearance of spin-dependent transport in systems with strong electron correlations are studied as applied to the iron single crystal as an example. 2009 Article Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями / C.П. Репецкий, А.Г. Наконечный, Б.В. Стащук // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2009. — Т. 7, № 4. — С. 963-985. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. 1816-5230 PACS numbers: 71.10.Fd,71.20.Be,71.27.+a,72.10.Bg,72.15.Qm,72.25.Ba,75.10.-b http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76804 ru Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Получено выражение для двухчастичной функции Грина (электропроводности) магнитных кристаллов с сильными электронными корреляциями. Учитываются процессы рассеяния электронов на флуктуациях
спиновой и электронной плотностей. Электронные состояния описываются в рамках многозонной модели сильной связи. Расчеты базируются на
диаграммной технике для температурных функций Грина. Получено кластерное разложение для двухчастичной функции Грина. За нулевое одноузельное приближение в кластерном разложении выбирается приближение когерентного потенциала. Показано, что вклады процессов рассеяния
электронов на кластерах уменьшаются с увеличением числа узлов в кластере по некоторому малому параметру. На примере кристалла железа
исследованы условия возникновения спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями. |
| format |
Article |
| author |
Репецкий, C.П. Наконечный, А.Г. Стащук, Б.В. |
| spellingShingle |
Репецкий, C.П. Наконечный, А.Г. Стащук, Б.В. Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| author_facet |
Репецкий, C.П. Наконечный, А.Г. Стащук, Б.В. |
| author_sort |
Репецкий, C.П. |
| title |
Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями |
| title_short |
Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями |
| title_full |
Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями |
| title_fullStr |
Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями |
| title_full_unstemmed |
Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями |
| title_sort |
теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными электронными корреляциями |
| publisher |
Інститут металофізики ім. Г.В. Курдюмова НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/76804 |
| citation_txt |
Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными
электронными корреляциями / C.П. Репецкий, А.Г. Наконечный, Б.В. Стащук // Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології: Зб. наук. пр. — К.: РВВ ІМФ, 2009. — Т. 7, № 4. — С. 963-985. — Бібліогр.: 25 назв. — рос. |
| series |
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології |
| work_keys_str_mv |
AT repeckijcp teoriâspinzavisimogotransportavsistemahssilʹnymiélektronnymikorrelâciâmi AT nakonečnyjag teoriâspinzavisimogotransportavsistemahssilʹnymiélektronnymikorrelâciâmi AT staŝukbv teoriâspinzavisimogotransportavsistemahssilʹnymiélektronnymikorrelâciâmi |
| first_indexed |
2025-07-06T01:09:13Z |
| last_indexed |
2025-07-06T01:09:13Z |
| _version_ |
1836857848975327232 |
| fulltext |
963
PACS numbers: 71.10.Fd, 71.20.Be, 71.27.+a, 72.10.Bg, 72.15.Qm, 72.25.Ba, 75.10.-b
Теория спин-зависимого транспорта в системах с сильными
электронными корреляциями
C. П. Репецкий, А. Г. Наконечный, Б. В. Стащук
Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко,
ул. Владимирская, 64,
01033 Киев, Украина
Получено выражение для двухчастичной функции Грина (электропро-
водности) магнитных кристаллов с сильными электронными корреля-
циями. Учитываются процессы рассеяния электронов на флуктуациях
спиновой и электронной плотностей. Электронные состояния описывают-
ся в рамках многозонной модели сильной связи. Расчеты базируются на
диаграммной технике для температурных функций Грина. Получено кла-
стерное разложение для двухчастичной функции Грина. За нулевое одно-
узельное приближение в кластерном разложении выбирается приближе-
ние когерентного потенциала. Показано, что вклады процессов рассеяния
электронов на кластерах уменьшаются с увеличением числа узлов в кла-
стере по некоторому малому параметру. На примере кристалла железа
исследованы условия возникновения спин-зависимого транспорта в сис-
темах с сильными электронными корреляциями.
Одержано вираз для двочастинкової Ґрінової функції (електропровідности)
магнетних кристалів із сильними електронними кореляціями. Врахову-
ються процеси розсіяння електронів на флюктуаціях спінової й електро-
нної густин. Електронні стани описуються в рамках багатозонного моделю
сильного зв’язку. Розрахунки базуються на діяграмній техніці для темпе-
ратурних Ґрінових функцій. Одержано кластерне розвинення для двочас-
тинкової Ґрінової функції. За нульове одновузельне наближення в класте-
рному розвиненні обирається наближення когерентного потенціялу. Пока-
зано, що внески процесів розсіяння електронів на кластерах зменшуються
зі збільшенням числа вузлів у кластері за деяким малим параметром. На
прикладі кристала заліза досліджено умови виникнення спін-залежного
транспорту в системах із сильними електронними кореляціями.
An expression for two-particle Green’s function (electroconductivity) of
magnetic crystals with strong electron correlations is obtained. The processes
of electron scattering by fluctuations of spin and electron densities are taken
into consideration. The electron states of the system are described within the
Наносистеми, наноматеріали, нанотехнології
Nanosystems, Nanomaterials, Nanotechnologies
2009, т. 7, № 4, сс. 963—985
© 2009 ІМФ (Інститут металофізики
ім. Г. В. Курдюмова НАН України)
Надруковано в Україні.
Фотокопіювання дозволено
тільки відповідно до ліцензії
964 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
scope of the multiband tight-binding model. Calculations are based on the
diagram technique for temperature Green’s functions. Cluster expansion for
two-particle Green’s function is obtained. The coherent potential approxima-
tion (CPA) is chosen as a zero-order one-site approximation for this expan-
sion. As shown, the contributions from the processes of scattering by clusters
decrease as the number of atoms in a cluster increases, and this decrease can
be parameterized by a certain small parameter. Conditions for appearance of
spin-dependent transport in systems with strong electron correlations are
studied as applied to the iron single crystal as an example.
Ключевые слова: двухчастичная функция Грина, приближение коге-
рентного потенциала, кристаллы с сильными электронными корреля-
циями, модель Хаббарда электронной структуры, электропроводность
систем с узкими энергетическими зонами.
(Получено 12 апреля 2009 г.)
1. ВСТУПЛЕНИЕ
Успехи в исследовании свойств неупорядоченных систем (спла-
вов, неупорядоченных полупроводников, магнитных материалов)
связаны с развитием их электронной теории.
Традиционные представления о свойствах неупорядоченных сис-
тем, основанные на борновском приближении, заведомо непримени-
мы в случае большого потенциала примесного рассеяния, который
имеет место, например, при описании сплавов переходных металлов.
Значительные успехи в описании таких систем обусловлены приме-
нением методов многократного рассеяния, в том числе приближения
когерентного потенциала (ПКП) [1], которое является лучшим одно-
узельным приближением при описании свойств сплавов. Однако для
того, чтобы учесть межатомные корреляции, от которых существен-
но зависят свойства неупорядоченных систем, необходимо выйти за
рамки одноузельного приближения, т.е. учесть рассеяние на класте-
рах. Этой проблеме в литературе посвящено множество работ. Кла-
стерные обобщения ПКП, основанные на рассмотрении единичного
кластера в эффективной среде, не гарантируют аналитичности и
трансляционной инвариантности усредненной по различным распо-
ложениям атомов функции Грина [1]. Среди кластерных обобщений
ПКП следует выделить метод присоединенного пространства [2—4] и
приближение «блуждающего кластера» [5], в которых решена зада-
ча построения самосогласованной аппроксимации, учитывающей
рассеяние на кластерах при сохранении аналитичности и трансля-
ционной инвариантности усредненной по конфигурациям функции
Грина системы. Эквивалентность приближения «блуждающего кла-
стера» [5] и метода присоединенного пространства [2—4] доказана в
работе [6]. Обобщение метода присоединенного пространства на слу-
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ965
чай систем с ближним порядком выполнено в работах [7—10]. Однако
в упомянутых подходах не вводился какой-либо малый параметр,
поэтому трудно оценить точность сделанных приближений.
В работах [11, 12] развит метод учета статистических корреля-
ций, основанный на кластерном разложении для одно- и двухчас-
тичной функций Грина, определяющих соответственно энергетиче-
ский спектр электронов и электропроводность сплавов. В качестве
нулевого приближения в этом методе выбирается ПКП. Затем нахо-
дятся поправки к ПКП путем суммирования вкладов процессов рас-
сеяния на кластерах из двух, трех и т.д. атомов. Показано, что
вклады соответствующих процессов рассеяния убывают с увеличе-
нием числа частиц в кластере. Это убывание определяется малым
параметром, который аналогичен параметру, введенному ранее в
работе [13]. Исследование этого параметра [11, 12, 14, 15] показы-
вает, что он может быть малым в широкой области изменений ха-
рактеристик сплава (включая концентрацию компонентов), за ис-
ключением узкого интервала значений энергии на краю спектра.
Однако во всех указанных выше работах не учитывались электрон-
ные корреляции, которые могут существенно влиять на свойства
систем на основе переходных и редкоземельных элементов.
В работе [16] получено кластерное разложение для функций Гри-
на и термодинамического потенциала системы электронов и фоно-
нов неупорядоченного сплава. Электронные состояния системы
описаны в многозонной модели сильной связи. За нулевое одно-
узельное приближение в данном разложении выбрано ПКП. Пока-
зано, что вклады процессов рассеяния элементарных возбуждений
на кластерах убывают с увеличением числа атомов в кластере по
некоторому малому параметру. Полученные результаты указывают
на возможные пути обобщения известной в теории магнетизма од-
нозонной модели Хаббарда для описания влияния сильных элек-
тронных корреляций на электронную структуру и свойства неупо-
рядоченных систем с узкими энергетическими зонами.
Применимость развитого в работе [16] метода для описания
структурных и магнитных фазовых превращений в сплавах про-
демонстрирована в работе [17].
Однако теория электропроводности неупорядоченных систем с
сильными электронными корреляциями находится на стадии раз-
вития.
Развитие подходов к описанию электропроводности систем с
сильными электронными корреляциями стало особенно актуаль-
ным после открытия явления спин-зависимого транспорта, которое
имеет широкие перспективы применения в микроэлектронике [18].
В настоящей работе с использованием предложенного ранее в ра-
боте [16] метода развита теория электропроводности кристаллов с
сильными электронными корреляциями.
Учитываются процессы рассеяния электронов на флуктуациях
966 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
спиновой и электронной плотности. Получено выражение для
двухчастичной функции Грина (электропроводности) магнитного
кристалла.
Электронные состояния в данном методе описываются в рамках
многозонной модели сильной связи. Расчеты базируются на диа-
граммной технике для температурных функций Грина.
Демонстрируется применение развитого здесь подхода к описа-
нию спин-зависимого транспорта в кристаллах переходных метал-
лов. Определены условия возникновения эффекта спин-зависимого
транспорта в кристаллах при наличии внешнего магнитного поля.
2. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ
Гамильтониан системы электронов и фононов кристалла в пред-
ставлении Ванье имеет вид [16]
0 intH H H= + , (1)
где гамильтониан нулевого приближения H0 представляет собой
гамильтониан подсистемы невзаимодействующих электронов:
1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1
2 2 2
(0)
0 ,e n i n i n i n i
n i
n i
H h a a+
γ γ γ γ
γ
γ
= ∑ . (2)
Гамильтониан возмущения Hint в формуле (1) описывает парное
электрон-электронное взаимодействие:
1 1 1 2 2 2
3 3 3 4 4 4 1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
1 1 1
2 2 2
3 3 3
4 4 4
(2) ,
,
1
2
n i n i
ee n i n i n i n i n i n i
n i
n i
n i
n i
H a a a aγ γ + +
γ γ γ γ γ γ
γ
γ
γ
γ
= ν∑ , (3)
где nia+
γ , nia γ – операторы рождения и уничтожения электрона в со-
стоянии, которое описывается функцией Ванье ( )ni niγφ ξ = ξ γ ,
( , )sξ = r ; индекс состояния γ определяется номером энергетической
зоны и проекцией спина s на ось z; n – номер элементарной ячейки
кристалла; i – номер узла подрешетки в элементарной ячейке;
1 1 1 2 2 2
(0)
,n i n ih γ γ – матричные элементы одноэлектронного гамильтониана
кристалла.
Оператор потенциальной энергии электрона в поле ионных ос-
товов кристалла V(r) можно представить в виде
( ) ( )
ni
ni
ni
V v= −∑r r r ,
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ967
где r – радиус-вектор электрона; ni n i= +r r ρ – радиус-вектор рав-
новесного положения атома в узле (ni) кристаллической решетки.
Для расчета энергетического спектра и электропроводности не-
упорядоченного кристалла введем двухчасовые функции Грина.
Обозначим двухчасовые запаздывающую ( , )AB
rG t t′ и опережаю-
щую ( , )AB
aG t t′ функции Грина системы [19, 20]:
( , ) ( ) | ( ) ( ) [ ( ), ( )]AB
r
r
i
G t t A t B t t t A t B t′ ′ ′ ′≡ = − θ −% % % %
h
,
( , ) ( ) | ( ) ( ) [ ( ), ( )]AB
a
a
i
G t t A t B t t t A t B t′ ′ ′ ′≡ = θ −% % % %
h
. (4)
Оператор в изображении Гейзенберга
/ /( ) iHt iHtA t e Ae−= h h% ,
где e eH H N= − μ ; μe, Ne – соответственно химический потенциал
и оператор числа электронов; ( )tθ – функция Хевисайда. Скобки
... в (4) означают операцию усреднения:
= ρSp( )A A , ( )/He Ω− Θρ = ,
где Ω – термодинамический потенциал системы; bk TΘ = , T –
температура.
Усреднение в формуле (4) проводится по состояниям системы
электронов и фононов в реальном кристалле при заданном распо-
ложении атомов.
Расчет двухчасовых запаздывающих и опережающих функций
Грина (4) базируется на расчете температурных функций Грина.
При этом используется известное соотношение между спектраль-
ными представлениями для запаздывающей, опережающей и
температурной функции Грина [19].
Определим температурную функцию Грина соотношением
( , ) ( ) ( )ABG T A Bτ′ ′τ τ = − τ τ% % , (5)
где оператор ( )A τ%
получается из оператора ( )A t% путем замены
t i= − τh :
( ) H HA e Aeτ − ττ =% ,
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T A B A B B Aτ ′ ′ ′ ′ ′τ τ = θ τ − τ τ τ + ηθ τ − τ τ τ% % % % % % ;
η = 1 для Бозе-операторов А, B и η = −1 для Ферми-операторов.
Введем оператор
968 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
0( ) H He eτ − τσ τ = , (6)
где 0 intH H H= + , 0 0 e eH H N= − μ . Оператор σ(τ) удовлетворяет
уравнению
int
( )
( ) ( )H
∂σ τ = − τ σ τ
∂τ
,
где 0 0
int int( ) H HH e H eτ − ττ = .
Решение последнего уравнения при условии (0) 1σ = , которое
следует из определения (6), имеет вид:
int
0
( ) exp ( )T H d
τ
τ
⎡ ⎤
′ ′σ τ = − τ τ⎢ ⎥
⎣ ⎦
∫ . (7)
Учитывая выражение (6), для оператора A в изображении Гей-
зенберга можно написать:
1( ) ( ) ( ) ( )A A−τ = σ τ τ σ τ% . (8)
Выражение (5) для температурной функции Грина с учетом (6),
(8) можно привести к виду:
0 0
( , ) ( ) ( ) (1 / ) / (1 / )ABG T A Bτ′ ′τ τ = − τ τ σ Θ σ Θ , (9)
где = ρ00
Sp( )A A , 0 0( )/
0
He Ω − Θρ = .
Раскладывая экспоненту в выражении (7) для ( )σ τ в ряд по сте-
пеням int ( )H τ , подставляя результат в (9) и используя теорему Вика
[19, 20], для расчета температурных функций Грина неупорядочен-
ного кристалла можно построить диаграммную технику, аналогич-
ную диаграммной технике для однородной системы [19].
Используя известные соотношения между спектральными
представлениями температурной и временной функций Грина
[19], путем аналитического продолжения на действительную ось
получим систему уравнений для запаздывающих функций Грина
(индекс r здесь и в дальнейшем будем опускать) [16]:
+ + + +
ε = ε + ε Σ ε ε0 0( ) ( ) ( ) ( ) ( )aa aa aa aa
eeG G G G , (10)
где ( )aaG
+
ε – одночастичная запаздывающая функция Грина
системы электронов.
Из уравнений движения для функций Грина нулевого прибли-
жения 0 ( )aaG
+
ε можно получить:
1(1)
0 0( )aaG H
+ −
⎡ ⎤ε = ε −⎣ ⎦ , (1) (0)
0 ,ni n iH h ′ ′ ′γ γ= . (11)
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ969
Представим решение уравнения (10) в виде:
1
1
0( ) [ ( )] ( )aa aa
eeG G
+ + −
−⎡ ⎤ε = ε − Σ ε⎣ ⎦ . (12)
Явное выражение для массового оператора функций Грина, ко-
торое описывает многочастичные взаимодействия в системе, можно
найти, воспользовавшись диаграммной техникой [19]. В результате
имеем [16]:
(1) (2)
, , ,( ) ( )ee ni n i ee ni n i ee ni n i′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′γ γ γ γ γ γΣ ε = Σ + Σ ε , (13)
где
( ) 2
1 1 2 2 1
(2) ,(1) *
, , , ,
1
( ) ( )
4
n n aa aa
een n n n n n n nd f v G G
i
+ +
∞
′ ′
−∞
⎡ ⎤′ ′ ′ ′Σ = − ε ε ε − ε⎣ ⎦π ∫ % ,
3
2 1
2
(2) ,(2)
, 1 2 ,
1
( )
2
n n
ee n n n nd d v
i
∞ ∞
′
−∞ −∞
⎛ ⎞Σ ε = − ε ε ×⎜ ⎟π⎝ ⎠ ∫ ∫ %
{ 5 2 1 4 2 5 4 1
* *
1 2 , 1 2 , 1 , 1 2 , 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aa aa aa aa
n n n n n n n nf f G G G G
+ + + +⎡ ⎤× ε ε ε − ε + ε ε − ε − ε + ε ε ×⎣ ⎦
6 3 3 6 2 5 5 2
* *
, 2 , 2 1 1 2 , 2 , 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )aa aa aa aa
n n n n n n n nG G f f G G
+ + + +⎡ ⎤ ⎡ ⎤× ε − ε + ε ε + ε − ε ε − ε ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦
} 4 5
1 4 6 3 4 1 3 6 6
(2) , * *
, 1 , 1 2 , 1 , 1 2 , '( ) ( ) ( ) ( ) n naa aa aa aa
n n n n n n n n n nG G G G v
+ + + +⎡ ⎤× ε ε + ε − ε − ε ε + ε − ε⎢ ⎦⎣
% ,
2 2 2
1 1 1
(2) , (2) , (2) ,
, , ,
n n n n n n
n n n n n nv v v′ ′ ′= −% (n ni≡ γ ). (14)
При получении выражений (13), (14) для массового оператора
вершинная часть бралась для простоты в нулевом приближении.
Для получения плотностей состояний системы электронов не-
обходимо усреднить выражения (12) по расположениям атомов в
узлах решетки. В результате для плотности электронных состоя-
ний на один атом можно написать:
+
ε = − ε
πν
1
( ) ImSp ( )aa
c
g G
N
. (15)
В кристаллах с сильными электронными корреляциями на узлах
кристаллической решетки возникают локализованные магнитные
моменты. В выражении (15) скобки ...
c означают усреднение по
разным ориентациям локализованных магнитных моментов на уз-
лах кристаллической решетки (конфигурационное усреднение); N
– число элементарных ячеек; ν – число атомов в элементарной
ячейке. Для сокращения записи в дальнейшем индекс с возле скоб-
ки ...
c будет опускаться.
970 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
Выражение (12) отличается от соответствующего выражения для
функции Грина одночастичных гамильтонианов неупорядоченной
системы лишь видом массового оператора. В связи с этим для вы-
полнения конфигурационного усреднения в формуле (15) восполь-
зуемся хорошо известными методами теории неупорядоченных
систем [11, 12].
Выполним кластерное разложение для функций Грина ( )aaG
+
ε в
выражениях (12), (13), представив массовый оператор в виде суммы
одноузельных операторов и выбрав как нулевое одноузельное при-
ближение функции Грина эффективной среды. Указанное разло-
жение является обобщением кластерного разложения для функции
Грина ( )aaG
+
ε одночастичного гамильтониана [11, 12]. Функцию
Грина эффективной среды для системы электронов определим вы-
ражением
( )
11
0( ) ( ) ( ) ( )aa aa
eeG G
+ +
−−⎡ ⎤⎡ ⎤ε = ε − Σ ε + σ ε⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
% % . (16)
В выражении (16) ( )σ ε – потенциалы эффективной среды (коге-
рентные потенциалы), значения которых будут отмечены ниже.
Функции Грина (12) удовлетворяют известному уравнению Дай-
сона:
ε = ε + ε Σ ε ε% % %( ) ( ) ( ) ( ) ( )G G G G , (17)
где для системы электронов
( ) ( ) ( ) ( )ee ee eΣ ε = Σ ε − Σ ε − σ ε% % . (18)
Оператор Т-матрицы рассеяния определяется соотношением:
ε = ε + ε ε ε% % %( ) ( ) ( ) ( ) ( )G G G T G (19)
и удовлетворяет уравнению
ε = Σ ε + Σ ε ε ε%% %( ) ( ) ( ) ( ) ( )T G T ,
которое следует из уравнений (17) и (19). Представим массовые
операторы в виде суммы одноузельных операторов:
1 1
1 1( )
( ) ( )n i
n i
Σ ε = Σ ε∑% % ; (20)
получим для оператора Т-матрицы рассеяния выражение:
1 1
1 1( )
( ) ( )n i
n i
T Tε = ε∑ , (21)
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ971
где
1 1 1 1 1 1 2 2
2 2 1 1( ) ( )
n i n i n i n i
n i n i
T t t G T
≠
= + ∑% , (22)
1 1n it – оператор рассеяния на одном узле, определяемый выра-
жением:
1 1 1 1 1 1
1n i n i n it I G
−
⎡ ⎤= − Σ Σ⎣ ⎦
%% % . (23)
Решая систему уравнений (22) относительно оператора 1 1n iT и
подставляя результат в (35), T-матрицу рассеяния можно пред-
ставить в виде ряда, члены которого описывают рассеяние на
кластерах с разным числом узлов (см., например, [11]):
1 1 1 1 2 2
1 1 1 1 2 2
(2) ,
( ) ( ) ( )
...n i n i n i
n i n i n i
T t T
≠
= + +∑ ∑ . (24)
Здесь 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1
1(2) ,n i n i n i n i n i n i n iT I t Gt G t Gt I Gt
−
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
% % % % .
Согласно выражению (19), конфигурационное среднее от функ-
ции Грина ( )G ε выражается через среднее от Т-матрицы рассеяния.
В работе [16] установлено, что вклады в усредненную функцию
Грина ( )G ε процессов рассеяния элементарных возбуждений на
кластерах уменьшаются с увеличением числа узлов в кластере за
некоторыми малыми параметрами. Исследование этих параметров
показывает, что они являются малыми в широкой области измене-
ния характеристик неупорядоченной системы, включая концен-
трацию компонентов, за исключением узких интервалов значений
энергии на краях энергетических зон.
Когерентный потенциал определяется из условия
10 0it = и
удовлетворяет уравнению
1 1 1
1 1 1
11
0 0 0
1
0 0 0
( ) 1 ( ( ) ( ))
1 ( ( ) ( )) ( ) .
i i i aa
i i iaa
G
G
+
+
−−
−
⎡ ⎤σ ε = − Σ ε − σ ε ×⎣ ⎦
⎡ ⎤× − Σ ε − σ ε Σ ε⎣ ⎦
%
%
(25)
Функция Грина эффективной среды ( )G ε% определяется из выра-
жения
⋅ +ρ − −ρ−
′ ′ ′ ′ ′γ γ γ γε = ε∑
r r r r
% % ' '( )1
, ,( ) ( , ) n i n ii r r
ni n i i iG N G e k
k
k , (26)
где величины , ( , )i iG ′ ′γ γ εk%
определяют функцию Грина в k-изображе-
нии.
Для системы электронов функции , ( , )i iG ′ ′γ γ εk% являются элемен-
972 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
тами матрицы
( ) 1(0)
, , ,( , ) ( ) , ( , )aa
ii i i eei i e i iG h
+ −
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′γγ γ γ γ γ γ γε = εδ δ − − Σ ε − σ εk k k k% % , (27)
где
⋅ + − −
′ ′ ′ ′ ′γ γ γ γ
′
σ ε = σ ε∑∑ 1
1
0 ( )
, ,
,
( , ) ( ) n i n ii i
i i ni n i
i n n
e k r rk ρ ρ .
Термодинамический потенциал системы определяется выраже-
нием (см. (4))
− ΘΩ = −Θ /ln Sp( )He . (28)
Воспользовавшись формулой (6), из (28) получим:
0
′Ω = Ω + Ω , (29)
где
0
ln (1 / )′Ω = −Θ σ Θ .
Термодинамический потенциал 0Ω в формуле (29) в отсутствие
взаимодействия можно записать в виде
0 0c eΩ = Ω + Ω . (30)
Термодинамический потенциал электронной подсистемы
( )( )/
0 0ln 1 ( )e
e N e g d
∞
μ −ε Θ
−∞
Ω = −ν Θ + ε ε∫ . (31)
В выражении (31) плотность состояний электронов 0 ( )g ε дается
формулой (15), в которой ( )aaG
+
ε заменена функцией Грина нуле-
вого приближения 0 ( )aaG
+
ε .
Конфигурационная составляющая термодинамического потен-
циала cΩ в формуле (30), зависящая от распределения локализован-
ных магнитных моментов на узлах кристаллической решетки, есть
0c cSΩ = Φ − Θ , (32)
где Sc – конфигурационная энтропия; Φ0 – энергия электроста-
тического взаимодействия ионных остовов.
Добавка к термодинамическому потенциалу, обусловленная
вкладами процессов рассеяния электронов и фононов, равна [16]
+
∞
−∞
λ ⎡ ⎤′Ω = − ε ε Σ ε λ ε λ⎢ ⎦⎣π λ∫ ∫
1
0
1
Im ( )Sp ( , ) ( , ) ,aa
ee
d
d f G (33)
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ973
где f(ε) – функция Ферми.
Свободная энергия F связана с термодинамическим потенциа-
лом Ω соотношением
e eF N= Ω + μ , (34)
где eN – среднее число электронов.
Уровень Ферми μe системы определяется из уравнения
( , ) ( )e eZ f g d
∞
−∞
= ε μ ε ε∫ , (35)
где ( )eg ε дается формулой (15); eZ N N= ν – среднее число
электронов, приходящихся на один атом.
Для расчета тензора электропроводности воспользуемся фор-
мулой Кубо [21]:
( ) ( )
1
0 0
( ) 0i t te J J t i d dt
−Θ ∞
ω −ε
αβ β ασ ω = + τ τ∫ ∫ h , (36)
где Jα – оператор α-проекции плотности тока.
Из выражения (36) получаем:
( ) ( ) ( )Re
2
J J J J
r a
i
G Gα β α β
αβ
⎡ ⎤σ ω = ω − ω⎣ ⎦ω
h
h
. (37)
Выражение (37) получено в предположении отсутствия магнитно-
го поля.
Для расчета спектральных представлений запаздывающей и
опережающей функций Грина ( )J J
rG α β ω , ( )J J
aG α β ω воспользуемся
выражением для оператора плотности тока:
( ) ( ) ( ) ξξΨξΨ= ∫ α
+
α dtvtetJ ,, ,
где ( , )t+Ψ ξ , ( , )tΨ ξ – полевые операторы рождения и уничтоже-
ния электрона; vα – оператор α -проекции скорости; e – заряд
электрона; под интегрированием по ξ имеется в виду интегриро-
вание по объему кристалла и суммирование по проекции спина s
на ось z; объем кристалла считается равным единице.
Расчет двухчастичных запаздывающей и опережающей функций
Грина (электропроводности) (37) неупорядоченного кристалла ба-
зируется на методе температурных функций Грина. При этом ис-
пользуется известное соотношение между спектральными пред-
ставлениями запаздывающей, опережающей и температурной
функций Грина. Температурная функция Грина (9) в этом случае –
974 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
( )
4 2 3 1
1 2 3 4
2
1 2 3 4
1
( , ) , , ,J J
n n n n
n n n n
e
G v v G n n n n
NV
α β
α β′ ′′ ′ ′τ τ = τ τ τ τ∑ , (38)
где двухчастичная функция Грина
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )−+ +
θ θτ
′′ ′ ′τ τ τ τ =
′ ′= τ τ τ τ σ σ = γ
1 2 3 4
1 2 3 4
1
1 1
00
, , ,
,n n n n
G n n n n
Ta a a a n ni
(39)
V1 – объем элементарной ячейки.
Раскладывая экспоненту в выражении (7) для )(τσ в ряд по сте-
пеням int ( )H τ , подставляя результат в (39) и используя теорему Ви-
ка [19, 20], для расчета двухчастичной температурной функции
Грина неупорядоченного кристалла можно построить диаграммную
технику, аналогичную диаграммной технике для однородной сис-
темы [19]. Знаменатель в формуле (39) сократится с таким же мно-
жителем в числителе. При этом функции Грина системы выразятся
в виде ряда только по связным диаграммам. Выполняя дальше пре-
образование Фурье и используя известные соотношения между
спектральными представлениями температурной и временной
функций Грина [19], путем аналитического продолжения на дейст-
вительную ось получим с учетом (37) следующее выражение для
действительной части тензора электропроводности системы:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
αβ
∞
′
′ β α
′=+ −−∞
∞ ∞
αβ
−∞ −∞
σ ω =
⎡
⎡ ⎤= ε ε + ε − ε δ − ε ε + ε +⎢ ⎣ ⎦π ε ⎣
⎤
+ ε ε ε ε Γ ε ε ε ⎥
⎦
∑∫
∫ ∫
h2
1 1 1 1 , 1
, ,1
1 2 1 2 1 2
Re
Sp 2 1 ,
4
, ; , (40)
s s
ss
s s
e
d f f v K v
NV
d d f f
где
( ) ( ) ( )1 1 1 1, ,s s aa s sK v G v G
+′ ′ ′
α αε ε + ε = ε ε + ε ,
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1
aa aa aa
a rG G G
+ + + +
−ε = ε = ε . (41)
Вершинная часть двухчастичной функции Грина ( )1 2, ;αβΓ ε ε ε в
формуле (40) в первом порядке по потенциалу парного электрон-
электронного взаимодействия ( ) 1 2
3 4
2 n n
n nv% имеет вид:
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ){ + + + +α β
αβ
⎡⎡ ⎤ ⎤Γ ε ε ε = ε − ε ε − ε ×⎣ ⎦ ⎦⎣π
% 5 6
4 2 3 1 7 8
1 6 1 6 2 5 2 5
2
1 2 1 1 2 2, ;
2
n n
n n n n n n aa aa aa aa
rn n an n rn n an n
iv v v
G G G G
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ975
( ) ( ) ( ) ( )
7 4 8 3 7 4 8 32 1 2 1
aa aa aa aa
an n rn n rn n an nG G G G
+ + + +⎡ ⎤× ε − ε ε + ε − ε − ε ε + ε +⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + +⎡ ⎡⎤ ⎤+ ε − ε ε − ε ε − ε ε − ε −⎦ ⎦⎣ ⎣1 6 2 5 2 5 7 4 8 3 8 31 2 2 2 1 1
aa aa aa aa aa aa
an n rn n an n an n rn n an nG G G G G G
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + +⎡ ⎡⎤ ⎤− ε − ε ε − ε ε − ε ε − ε +⎦ ⎦⎣ ⎣1 6 2 5 2 5 7 4 8 3 8 31 2 2 2 1 1
aa aa aa aa aa aa
rn n rn n an n rn n rn n an nG G G G G G
( ) ( ) ( ) ( )
1 6 2 5 1 6 2 51 2 1 2
aa aa aa aa
an n rn n rn n an nG G G G
+ + + +⎡ ⎤+ ε − ε ε + ε − ε − ε ε + ε ×⎣ ⎦
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
7 4 7 4 8 3 8 3
1 6 1 6 2 5
2 2 1 1
1 1 2
aa aa aa aa
rn n an n rn n an n
aa aa aa
rn n an n rn n
G G G G
G G G
+ + + +
+ + +
⎡ ⎡⎤ ⎤× ε − ε ε − ε +⎦ ⎦⎣ ⎣
⎡ ⎤+ ε − ε ε + ε ×⎦⎣
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + + + +⎡ ⎡⎤ ⎤× ε − ε ε + ε − ε − ε ε + ε ×⎦ ⎦⎣ ⎣7 4 7 4 8 3 1 6 1 6 2 52 2 1 1 1 2
aa aa aa aa aa aa
rn n an n rn n rn n an n an nG G G G G G
( ) ( ) ( )}7 4 7 4 8 32 2 1
aa aa aa
rn n an n an nG G G
+ + +⎡ ⎤× ε − ε ε + ε⎦⎣
. (42)
Выражение (42) написано в пренебрежении перенормировкой вер-
шинной части массового оператора электрон-электронного взаимо-
действия.
Тензор электропроводности сплава σαβ(ω) зависит от случайной
ориентации локализованных магнитных моментов на узлах кри-
сталлической решетки. Для расчета σαβ(ω) воспользуемся свойством
самоусреднения тензора электропроводности, в соответствии с ко-
торым значение σαβ(ω) при бесконечном увеличении объема систе-
мы стремится к некоторой неслучайной величине, равной усред-
ненному по разным расположениям атомов значению σαβ(ω). Выра-
жения для функций Грина в формуле (41) для σαβ(ω) отличаются от
соответствующих выражений для функций Грина одночастичных
гамильтонианов неупорядоченной системы лишь видом массовых
операторов. В связи с этим, для расчета тензора электропроводно-
сти σαβ(ω) воспользуемся хорошо известными методами теории не-
упорядоченных систем [11]. В результате для тензора электропро-
водности σαβ(ω) получим:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
αβ
∞
′
′ β α
′=+ −−∞
∞ ∞
αβ
−∞ −∞
σ ω = ×
π ε
⎡
⎡ ⎤× ε ε + ε − ε δ − ε ε + ε +⎢ ⎣ ⎦
⎣
⎤
+ ε ε ε ε Γ ε ε ε ⎥
⎦
∑∫
∫ ∫
h2
1
1 1 1 1 , 1
, ,
1 2 1 2 1 2
Re
4
Sp 2 1 ,
, ; ,
s s
ss
s s
e
NV
d f f v K v
d d f f
(43)
976 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
где
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1
1 1 1 1 1 1
, ,
, , , ,
s s
s s s s s s
v K v
v K v K v v G T
′
β α
′ ′ ′ ′
β α β α
ε ε + ε =
= ε ε + ε + ε + ε ε ε + ε ε + ε +% % %
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
1 1 1 1
1 1 1 1 , 1 1
, ,
, , , ,
s s s s
s s s s s s
K v v G T
K v T K v T
′
α α
′ ′ ′
β α
+ ε ε + ε ε ε +
+ ε + ε ε ε ε ε + ε ε + ε
% %
% %
( ) ( ) ( )1 1 1 1, ,s s aa s aa sK v G v G
+ +′ ′
α αε ε + ε = ε ε + ε% % % .
Оператор α -проекции скорости электрона vα в формуле (43) дает-
ся выражением
( )0
,
,
( )1
( ) i i
i i
h
v
k
′ ′γ γ
′ ′α γ γ
α
∂
=
∂
k
k
h
.
В приближении когерентного потенциала
( ) ( )1 2 1 2, ; , ;αβ αβΓ ε ε ε ≈ Γ ε ε ε% , (44)
где ( )1 2, ;αβΓ ε ε ε%
получаем из выражения (42) путем замены ( )aa sG
+
ε
на ( )aa sG
+
ε% .
Приведенные результаты позволяют учесть влияние сильных
электронных корреляций на электронную структуру и свойства
сплавов переходных металлов с узкими энергетическими зонами.
Для этого учтем неоднородное распределение электронной плотно-
сти. В выражении для массового оператора электрон-электронного
взаимодействия (13) число электронов γ
im
ni sZ в состоянии ( )ni sγ , то
есть число электронов на атом в узле (ni) и энергетической зоне γ
для определенной проекции спина s, зависит от локализованного
магнитного момента mi в данном узле (ni). Значение
im
ni sZ γ определя-
ется выражением (35), в котором плотность электронных состояний
( )eg ε заменена условной парциальной плотностью состояний
γ ε ( )im
ni sg для энергетической зоны γ и проекции спина s. Плотность
состояний γ ε ( )im
ni sg дается выражением
+
γ γ γ
∈
ε = − < ε >
π ,
( )
1
( ) Im ( )i
i
m aa
ni s ni s ni s
ni m
g G , (45)
в котором усреднение проводится при условии, что в узле (ni)
проекция локализованного магнитного момента электрона равня-
ется mi. Обозначив вероятность указанного события через im
niP ,
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ977
можно написать =∑ 1i
i
m
ni
m
P .
Можно записать уравнения:
γ γ γ −= + ,
i i im m m
ni ni s ni sZ Z Z , γ γ γ −= − ,
i im m
i ni s ni sm Z Z , (46)
причем γ
γ
= ∑i im m
ni niZ Z , i im m γ
γ
= ∑ – соответственно число электро-
нов и значения проекции магнитного момента атома в узле (ni).
Из выражений (46) следует, что вместе с флуктуациями лока-
лизованного магнитного момента mi в системе могут возникать
флуктуации зарядовой плотности im
niZ относительно среднего зна-
чения Z . Из уравнений (46) получим:
γ γ
γ
+
=
2
i
i
m
ni im
ni s
Z m
Z , γ γ
γ −
−
=, 2
i
i
m
ni im
ni s
Z m
Z .
Флуктуации локализованного магнитного момента mi возникают
при достаточно больших значениях потенциала кулоновского от-
талкивания электронов с противоположными спинами на одном уз-
ле
(2) , ,
, ,
ni s ni s
ni s ni sv γ γ −
γ − γ% в выражении (13) для массового оператора электрон-
электронного взаимодействия ( )eeΣ ε , которые имеют место в случае
переходных металлов с узкими энергетическими зонами. В одно-
зонном приближении эти эффекты описываются известной в теории
магнетизма моделью Хаббарда, которая учитывает кулоновское от-
талкивание электронов с противоположными спинами на одном уз-
ле и взаимодействие электронов на соседних узлах.
Для расчета плотности электронных состояний (15) необходимо
провести конфигурационное усреднение по ориентациям локализо-
ванных магнитных моментов на узлах кристаллической решетки.
Как показано в работе [16], вклад процессов рассеяния в плотность
состояний на кластерах убывает с увеличением числа узлов в класте-
ре за некоторым малым параметром, который является малым в ши-
рокой области изменения характеристик системы (включая концен-
трацию компонентов), за исключением узких интервалов значений
энергии на краях энергетических зон. Подставляя в (15) выражения
(19), (24), для плотности электронных состояний в пренебрежении
процессами рассеяния на кластерах из трех и более узлов получим
0 0
, , ,
1
( ) ( )i i
i
m m
i i s
i s m
g P g
v γ
γ
ε = ε∑ ,
где условная парциальная плотность состояний равна
978 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
{
( ) ( )
/
0 0, 0 0, 0 0 0, 0 0
0
1
( ) Im j ii i
j
m mm m
i s i i i i i i i jl i
jl i
m
g G G t G Pγ
≠
ε = − + + ×
π ∑% % %
( )1
0, 0 0 0, , 0 0 0, , 0 , 0 0 0, 0[ ]j ji i i
m mm m m
i i i i jl jl jl i i i jl jl jl i jl i i i iG I t G t G t G t G G t G−⎡× − + +⎣
% % % % % % %
( )
,
1
0, , 0 0 0, , 0 0 0, 0 0, , 0[ ]j j ji i
s s
m m mm m
i jl jl jl i i i jl jl jl i i i i i jl jl jl iG I t G t G t G t G G t G
γ γ
− ⎫⎤+ − + ⎬⎦ ⎭
% % % % % % % .(47)
Величины, которые стоят в выражении (47), являются матрицами
по отношению к индексам энергетических зон 1 1 2 2,s sγ γ .
В выражении (47)
/
0
j im m
jl iP – условная вероятность найти в узле (lj)
атом с проекцией локализованного магнитного момента mj при ус-
ловии, что в узле (0i) находится атом с проекцией локализованного
магнитного момента mi, а
im
int – значение матричных элементов од-
ноцентровых операторов рассеяния для случая, когда в узле (ni) на-
ходится атом с проекцией локализованного магнитного момента mi.
Для упрощения допустим, что проекции локализованного маг-
нитного момента на ось z принимают значение ,i i im + −= μ μ . Связь
вероятности 0
im
iP с параметром дальнего магнитного порядка ηm оп-
ределяется выражениями:
2
0
i
i mP x
+
+
λ
μ
μ
ν
= − η
ν для ν1 подрешеток І ти-
па и
1
0
i
i mP x
+
+
μ
μ
ν
= + η
ν для ν2 подрешеток ІІ типа 0 01i i
i iP P
− +μ μ= − ; x +μ
,
1x x− +μ μ
= − равны соответственно относительному числу узлов
кристаллической решетки с проекциями локализованных магнит-
ных моментов i
+μ , i
−μ .
Условные вероятности
/
0
j im m
jl iP определяются выражениями
/
0 0 0 0
j i j i ji i
m m m m mm m
jl i i jl i jl iP P P c c= = и связаны с параметрами парных меж-
атомных корреляций и парных корреляций в ориентации локали-
зованных магнитных моментов 0
j i
jli
− −μ με соотношениями [16]:
( ) ( )/ 0
0 , , , ,
0
j i
j i j
i j j j j i i i i
m m m jl i
jl i jl m m m m m
i
P P
P
− −
− + − +
λ
μ μ
μ μ μ μ
ε
= + δ − δ δ − δ , (48)
где ,m + −μ
δ – символы Кронекера, ( ) ( )0 0
j i j j i i
jl i jl j i ic c c c
− − − − − −μ μ μ μ μ με = − − .
Таким образом, система описывается двумя параметрами корре-
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ979
ляции: ηm и 0
j i
jl i
− −μ με .
Функции Грина системы электронов и свободная энергия F (34)
зависят от числа электронов на атом с различными значениями
проекций спина электронов на выделенное направление, т.е. рас-
пределения локализованных магнитных моментов на узлах кри-
сталлической решетки.
Конфигурационная энтропия кристалла Sc в выражении (32) свя-
зана с вероятностями ориентации локализованных магнитных мо-
ментов на узлах решетки
νii
vv
mm
ininP ...
...
1
11 соотношением [22]
11 2
1 1 1 2 21 1 1 2
1 1 1 1 1 1 2 2 1 2
1 1 1 1 2 2
1 1 2 2
,
,
( ) ( ) ( )
1
ln ln ...
2
i i
i i i i
i i
m m
m m m m n i n i
c n i n i n i n i m m
n i n i n i n i n i
P
S P P P
P P≠
⎡ ⎤
⎢ ⎥= − + +
⎢ ⎥⎣ ⎦
∑ ∑ . (49)
Равновесные значения проекций локализованных магнитных
моментов i
+μ , i
−μ , параметров корреляции ηm, 0
j i
jl i
− −μ με , а также относи-
тельное число узлов кристаллической решетки x +μ с проекциями
локализованных магнитных моментов i
+μ находятся из условия
минимума свободной энергии. При отсутствии внешнего магнитно-
го поля значения проекций i
+μ , i i
− +μ = −μ отвечают ориентации ло-
кализованных магнитных моментов вдоль и против оси z, а
0,5x x+ −μ μ
= = .
Для расчета тензора электропроводности необходимо в выраже-
нии (43) провести конфигурационное усреднение по ориентации
локализованных магнитных моментов на узлах кристаллической
решетки.
В пренебрежении процессами рассеяния на кластерах из трех и
более узлов, вклады которых убывают с увеличением числа узлов в
кластере по отмеченному выше малому параметру [16], получим:
( ) ( ){
( ) ( ) ( )
( ) ( )
λ
′ ′
β α β α
γ
′ ′ ′
β α
≠
′ ′ ′
β α
⎡ ⎤ε ε + ε = ε ε + ε +⎣ ⎦
⎡⎡ ⎤+ ε + ε ε ε + ε ε + ε +⎣ ⎦⎣
⎡ ⎤+ ε + ε ε ε + ε ε + ε +⎣ ⎦
+ ε
∑
∑ ∑
%
%
%
%
1 1 1 1
0 0, ,
/ (2 )
0 0 1 1 1 ( 0, ) 1
0 00
(2 )
1 1 1 ( , 0) 1
0
1
Sp , , , ,
, ,
, , ( )
j i i ji
i
j
j i
s s s s
i is i
m m d m mm s s s s
i jl i i jl
i im jl i
m
n m ms s s s
jl i
i jl
v K v v K v
N
P P K v v G T
K v v G T
K ( ) ( ) ( )
( ) ( )
′
α β
′
α β
⎡ ⎤ε + ε ε ε +⎣ ⎦
⎡ ⎤+ ε ε + ε ε ×⎣ ⎦
%
'(2 )
1 1 1 ( , ) 1
0 0
1 1 1
0
, ,
, ,
i jd m ms s s s
io jl
i i
s s s
i jl
v v G T
K v v G
980 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
( ) ( )
( ) ( ) ( )(
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
′
β
′ ′
α
′ ′
α
′
α
′
× ε + ε + ε ε ×
× ε ε ε + ε ε + ε +
+ ε ε ε + ε ε + ε +
+ ε ε ε + ε ×
× ε + ε +
%
%
%
%
(2 )
( , 0) 1 0 1 1
1 0 1 1 0 1
(2 )
1 1 1 ( 0, ) 1
(2 )
( , 0) 1 0 1 1
(2 )
0 1 ( , 0)
, ,
, ,
, ,
, ,
j i
j i
j i j
j i
ji
n m m s s s
jl i i jl
m ms s s s
jl jli i
m d m ms s s s
jl jlio i jl
d m m s s s
jl i jli
d m mm s
i jl i
T K v
t K v t
t K v T
T K v
t T ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )) }
′ ′
α
γ γ
′ ′
α
ε ε ε + ε ε + ε +
⎤+ ε ε ε + ε ε + ε ⎦
%
%
(2 )
1 0 1 1 ( 0, ) 1
,
(2 ) (2 )
( , 0) 1 0 1 1 ( , 0) 1
, ,
, , , (50)
i i j
j i j i
d m ms s s s
jmi i jl
s s
n m m n m ms s s s
jl i i jl jl i
K v T
T K v T
где
1(2 )
( 0, ) 0 ( 0, ) ( , 0) 0 ( 0, ) ,i j j ji i
n m m m mm m
i jl i i jl jl jl i i i jl jlT I t G t G t G t
−
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
% % % (2 ) (2 )
( 0, ) ( 0, ) 0
i j i j i
d m m n m m m
i jl i jl iT T Gt= % .
Величины, которые стоят в выражениях (50), являются матрицами
по отношению к индексам энергетических зон 1 1 2 2,s sγ γ . Здесь s –
индекс проекции спина электрона на ось z.
Среднее число электронов на атом в уравнении (35) для уровня
Ферми дается выражением:
0 0
, , ,
1
i i
i
m m
i i s
i s m
Z P Z
v γ
γ
= ∑ .
В выражениях (43), (44), (50) для электропроводности учитыва-
ется рассеяние электронов на флуктуациях спиновой и электронной
плотностей. Статическая проводимость сплава получается из вы-
ражений (43), (44), (50) предельным переходом 0ω → . Таким обра-
зом, для статической проводимости имеем:
( ) ( ){2
1 1 1 0
0 0
, , , ,1 1
2 1 , ,
4
i
i
ms s
ss i
i i
s s s i m
e f
d v K v P
V
λ
∞
′
′αβ β α
′=+ − γ−∞
⎧ ∂⎪ ⎡ ⎤σ = ε δ − ε ε + ×⎨ ⎣ ⎦π ∂ε⎪⎩
∑ ∑ ∑∫
h %
( ) ( ) ( )
′λ
′ ′ ′
β α
≠
′λ
⎡⎡ ⎤× ε ε ε ε +⎣ ⎦⎢⎣∑ % %
0 0
/ (2 )
0 1 1 1 ( 0, ) 1
0
,
, ,j i i j
i i
j
m m d m ms s s s
jl i i jl
jl i
m
P K v v G T
( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′ ′
β α α β
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ε ε ε ε + ε ε ε ×⎣ ⎦ ⎣ ⎦
% % % %(2 )
1 1 1 ( , 0) 1 1 1 1
0 0 0
, , , ,j in m ms s s s s s s
jl i
i jl i i
K v v G T K v v G
( ) ( ) ( ) ( ) ( )λ ′ ′
α β β
⎡ ⎤× ε + ε ε ε ε + ε ε ×⎣ ⎦
% % %(2 ) (2 )
( 0, ) 1 1 1 1 ( , 0) 1 0 1 1
0
, , , ,i j j id m m n m ms s s s s s s
i jl jl i i jl
i jl
T K v v G T K v
( ) ( ) ( )( ( ) ( ) ( )′ ′ ′ ′
α α× ε ε ε ε + ε ε ε ε +% % (2 )
1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ( 0, ) 1, , , ,j j i ji
m m d m mms s s s s s s s
jl jli i jl jli i jlt K v t t K v T
( ) ( ) ( ) ( ) ( )′ ′ ′
α α+ ε ε ε ε + ε ε ε ×% %(2 ) (2 )
( , 0) 1 0 1 1 0 1 ( , 0) 1 0 1 1, , , ,j i j ii
d m m d m mms s s s s s s
jl i jli i jl i jliT K v t T K v
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ981
( ) ( ) ( ) ( )) } ,
(2 ) (2 ) (2 )
( 0, ) 1 ( , 0) 1 0 1 1 ( , 0) 1, ,j j i j ii
s s
d m m n m m n m ms s s s s
i jl jl i i jl jl iT T K v T
γ γ
′ ′ ′
α
⎤× ε + ε ε ε ε +
⎦
%
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 2, ;0d d f f
∞ ∞
αβ
−∞ −∞
⎫⎪+ ε ε ε ε Γ ε ε ⎬
⎪⎭
∫ ∫ % . (51)
Для описания электропроводности системы во внешнем магнит-
ном поле добавим в гамильтониане Н (1) слагаемое
+
γ γ
γ
γ
′ = μ δ∑ 1 2 1 1 1 2 2 2
1 1 1
2 2 2
Б 12 s s n i n i
n i
n i
H s H a a ,
где μБ, H, s – магнетон Бора, напряженность внешнего магнитного
поля и проекция спина электрона на направление магнитного поля
соответственно; индекс состояния γ включает индекс проекции
спина электрона s на ось z.
В качестве примера приведем расчет характеристик спин-
зависимого транспорта в кристалле железа. Матричные элементы
гамильтониана сплава Н (1) в многозонной s—p—d-модели сильной
связи вычислены с использованием волновых функций и потенциа-
лов изолированных атомов по методу Слэтера—Костера [23], [24].
Ортогонализация базиса выполнена по методу Лёвдина [25].
На рисунке 1 показана плотность электронных состояний, рас-
считанная по формуле (15), для кристалла Fe, который находится в
магнитном поле: а) = 0 A мH , б) = 5000 A мH .
Равновесные значения локализованных магнитных моментов
i
+μ , i
−μ , параметры корреляции в ориентации магнитных моментов
( )0, j i
m jl i
− −μ μη ε , а также относительное число узлов кристаллической
решетки x +μ с проекциями локализованных магнитных моментов
i
+μ определялись из условия минимума свободной энергии F (34).
Расчет проведен для температуры Т = 0 К. При этой температуре
кристалл находится в ферромагнитной фазе.
Зависимость статической проводимости кристалла от внешнего
магнитного поля, рассчитанная по формуле (51), показана на рис.
2, а. На рисунке 2, б представлена разность вкладов в электропро-
водность zz zz s zzs−Δσ = σ − σ электронов, спины которых направлены
против и вдоль внешнего магнитного поля.
Из рисунка 2, б видно, что при увеличении напряженности маг-
нитного поля величина zzΔσ , характеризующая спин-зависимый
транспорт, немонотонно возрастает. Это обусловлено зеемановским
сдвигом энергетических зон для электронов с разными проекциями
спина на направление внешнего магнитного поля, а также ориента-
982 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
цией локализованных магнитных моментов. При расчетах элек-
тропроводности последним интегралом в выражении (51) пренебре-
галось. Расчет проведен для Т = 0 К.
С целью объяснения полученных результатов на рис. 3, 4 приве-
дена зависимость параметров магнитного порядка от внешнего маг-
нитного поля. На рисунке 3 изображена зависимость концентрации
узлов x +μ с проекцией локализованного магнитного момента, на-
правленного вдоль внешнего магнитного поля, от величины поля.
0
5
10
15
20
25
−1 −0,5 0
g(
ε)
,
Ð
è
ä
−1
ε, Ðèä
H = 0
μ
e
0
5
10
15
20
25
−1 −0,5 0
g(
ε)
,
Ð
è
ä
−1
ε, Ðèä
H = 5000 À/ì μ
e
10,5
а б
Рис. 1. Плотность электронных состояний кристалла Fe при напряжен-
ности магнитного поля H: а) H = 0 А/м; б) H = 5000 А/м.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
а б
Рис. 2. Зависимость электропроводности zzσ (а) и разности вкладов в
электропроводность с различным направлением спинов zzΔσ (б) кри-
сталла Fe от величины напряженности H внешнего магнитного поля.
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ983
Как видно из рис. 3, 4, с увеличением магнитного поля Н степень
магнитного порядка уменьшается, что проявляется на рис. 2 в
уменьшении электропроводности кристалла. При последующем
повышении напряженности магнитного поля до Н = 8000 А/м сте-
пень магнитного порядка увеличивается благодаря увеличению от-
носительного числа магнитных доменов с магнитными моментами,
Рис. 3. Зависимость концентрации узлов x +μ
с проекцией локализован-
ного магнитного момента, направленного вдоль внешнего магнитного
поля, от величины поля Н для кристалла Fe.
а б
Рис. 4. Зависимость параметров корреляции /
0
j im m
jl iP в ориентации лока-
лизованных магнитных моментов на соседних узлах решетки от внеш-
него магнитного поля Н для кристалла Fe: а) магнитные моменты на-
правлены вдоль поля; б) магнитные моменты направлены против поля.
984 C. П. РЕПЕЦКИЙ, А. Г. НАКОНЕЧНЫЙ, Б. В. СТАЩУК
ориентированными вдоль поля (рис. 3), а также увеличению разме-
ров этих областей (рис. 4). В связи с этим при возрастании поля в
области выше Н = 8000 А/м электропроводность кристалла увели-
чивается.
3. ВЫВОДЫ
Установлено, что основной вклад в электропроводность дают элек-
троны, спины которых направлены против магнитного поля. Это
вызвано тем, что во внешнем магнитном поле собственные магнит-
ные моменты электронов сориентированы преимущественно вдоль
поля.
Показано, что величина спиновой поляризации электронов опре-
деляется величиной кулоновской квазищели в энергетическом
спектре электронов, обусловленной сильными электронными кор-
реляциями, а также значением напряженности внешнего магнит-
ного поля.
Получено выражение для удельной электропроводности магнит-
ных кристаллов, что характеризуются сильными электронными
корреляциями, как при отсутствии, так и при наличии внешнего
магнитного поля, которое учитывает как статические так, так и ди-
намические флуктуации зарядовой и спиновой плотностей с учетом
взаимодействия электронов на разных узлах.
ЦИТИРОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. R. J. Elliott, J. A. Krumhansl, and P. L. Leath, Rev. Mod. Phys., 46, No. 3:
465 (1974).
2. A. Mookerjee, J. Phys. C, 6, No. 10: L205 (1973).
3. S. S. A. Razee, A. Mookerjee, and R. Prasad, J. Phys.: Condens. Matter, 3,
No. 19: 3301 (1991).
4. S. S. A. Razee, S. S. Rajput, R. Prasad, and A. Mookerjee, Phys. Rev. B, 42,
No. 15: 9391 (1990).
5. R. Mills and P. Ratanavararaksa, Phys. Rev. B, 18, No. 10: 5291 (1978).
6. H. W. Diehl and P. L. Leath, Phys. Rev. B, 19, No. 2: 587 (1979).
7. Т. Kaplan and L. J. Gray, Phys. Rev. B, 15, No. 6: 3260 (1977).
8. L. J. Gray and T. Kaplan, Phys. Rev. B, 24, No. 4: 1872 (1981).
9. V. Kumar, A. Mookerjee, and V. K. Srivastava, J. Phys. C, 15, No. 9: 1939
(1982).
10. М. П. Фатеев, ЛГМФ, 90, № 1: 128 (1992).
11. V. F. Los’ and S. P. Repetsky, J. Phys.: Condens. Matter, 6: 1707 (1994).
12. S. P. Repetsky, Ye. G. Len, and N. V. Chubinsky, Met. Phys. Adv. Tech., 17:
867 (1999).
13. F. Ducastelle, J. Phys. C, 7, No. 10: 1795 (1974).
14. G. Treglia, F. Ducastelle, and F. Gautier, J. Phys. F, 8, No. 7: 437 (1978).
15. M. A. Иванов, Ю. В. Скрипник, ФТТ, 36, № 1: 94 (1994).
ТЕОРИЯ СПИН-ЗАВИСИМОГО ТРАНСПОРТА В СИСТЕМАХ С КОРРЕЛЯЦИЯМИ985
16. С. П. Репецкий, Т. Д. Шатний, ТМФ, 131, № 3: 456 (2002).
17. С. П. Репецкий, Т. Д. Шатний, ФММ, 96, № 1: 18 (2003).
18. R. Flederling, M. Kelm, G. Reuseher, W. Ossan, G. Schmidt, A. Waag, and
L. W. Molencamp, Nature, 402, No. 6763: 787 (1999).
19. А. А. Абрикосов, Л. П. Горьков, И. Е. Дзялошинский, Методы кванто-
вой теории поля в статистической физике (Москва: Физматгиз: 1962).
20. H. Böttger, Principles of the Theory of Lattice Dynamics (Berlin: Akademiс-
Verlag: 1983).
21. Д. Н. Зубарев, Неравновесная статистическая термодинамика (Москва:
Наука: 1971).
22. И. З. Фишер, Статистическая теория жидкостей (Москва: Физматгиз:
1961).
23. J. C. Slater and G. F. Koster, Phys. Rev., 94, No. 6: 1498 (1954).
24. R. R. Sharma, Phys. Rev. B, 19, No. 6: 2813 (1979).
25. P.O. Löwdin, J. Chem. Phys., 18, No. 3: 365(1950).
|