Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом

Досліджено розв'язність задачі Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням у класах неперервних та обмежених функцій. Такі рівняння є узагальненнями рівняння Колмогорова дифузії з інерцією у певних напрямках. Розглянуто випадки, коли запізнення є сталим або кусково-сталим на одиничних ін...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Процах, Н.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7683
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом / Н.П. Процах // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 27-37. — Бібліогр.: 15 назв. — укp.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-7683
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-76832010-04-09T12:00:38Z Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом Процах, Н.П. Досліджено розв'язність задачі Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням у класах неперервних та обмежених функцій. Такі рівняння є узагальненнями рівняння Колмогорова дифузії з інерцією у певних напрямках. Розглянуто випадки, коли запізнення є сталим або кусково-сталим на одиничних інтервалах, рівняння може бути лінійним або ж містити нелінійності ліпшицевого чи степеневого типу. Исследована разрешимость задачи Коши для ультрапараболических уравнений с запаздыванием в классах непрерывных и ограниченных функций. Такие уравнения обобщают уравнения Колмогорова диффузии с инерцией. Рассмотрены случаи, когда запаздывание является постоянным или кусочно-постоянным на единичных интервалах, уравнения могут быть линейными или содержать степенные нелинейности или нелинейности типа Липшица. The solvability of the Cauchy problem for ultraparabolic equations with delay is investigated in the classes of continuous and bounded functions. Such types of equations generalize the Kolmogorov equation of the difussion with inertia. The cases of constant or piecewise continuous time delay when the equations are linear or can have nonlinearities of the Lipschitz or power type are considered. 2008 Article Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом / Н.П. Процах // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 27-37. — Бібліогр.: 15 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7683 517.95 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Досліджено розв'язність задачі Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням у класах неперервних та обмежених функцій. Такі рівняння є узагальненнями рівняння Колмогорова дифузії з інерцією у певних напрямках. Розглянуто випадки, коли запізнення є сталим або кусково-сталим на одиничних інтервалах, рівняння може бути лінійним або ж містити нелінійності ліпшицевого чи степеневого типу.
format	Article
author	Процах, Н.П.
spellingShingle	Процах, Н.П. Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом
author_facet	Процах, Н.П.
author_sort	Процах, Н.П.
title	Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом
title_short	Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом
title_full	Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом
title_fullStr	Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом
title_full_unstemmed	Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом
title_sort	задача коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7683
citation_txt	Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом / Н.П. Процах // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 27-37. — Бібліогр.: 15 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT procahnp zadačakošídlâulʹtraparabolíčnihrívnânʹízzapíznennâmzačasom
first_indexed	2025-07-02T10:28:11Z
last_indexed	2025-07-02T10:28:11Z
_version_	1836530628795826176
fulltext	ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 27–37. ÓÄÊ 517.95 Н. П. Процах ЗАДАЧА КОШІ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛІЧНИХ РІВНЯНЬ ІЗ ЗАПІЗНЕННЯМ ЗА ЧАСОМ Äîñë³äæåíî ðîçâ’ÿçí³ñòü çàäà÷³ Êîø³ äëÿ óëüòðàïàðàáîë³÷íèõ ð³âíÿíü ³ç çà- ï³çíåííÿì ó êëàñàõ íåïåðåðâíèõ òà îáìåæåíèõ ôóíêö³é. Òàê³ ð³âíÿííÿ º óçà- ãàëüíåííÿìè ð³âíÿííÿ Êîëìîãîðîâà äèôóç³¿ ç ³íåðö³ºþ ó ïåâíèõ íàïðÿìêàõ. Ðîçãëÿíóòî âèïàäêè, êîëè çàï³çíåííÿ º ñòàëèì àáî êóñêîâî-ñòàëèì íà îäè- íè÷íèõ ³íòåðâàëàõ, ð³âíÿííÿ ìîæå áóòè ë³í³éíèì àáî æ ì³ñòèòè íåë³í³é- íîñò³ ë³ïøèöåâîãî ÷è ñòåïåíåâîãî òèïó. Áàãàòî ÿâèù, ó ÿêèõ â³äáóâàºòüñÿ ïðîöåñ ïåðåäà÷³ ìàñè, åíåðã³¿ ÷è ³í- ôîðìàö³¿, ñóïðîâîäæóþòüñÿ çàï³çíåííÿì. Öå çàï³çíåííÿ ìîæå áóòè çóìîâ- ëåíå ð³çíèìè ïðè÷èíàìè – îáìåæåí³ñòþ øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ âçàºìîçâ’ÿç- êó, íàÿâí³ñòþ ³íåðòíîñò³ äåÿêèõ åëåìåíò³â, îáìåæåí³ñòþ øâèäêîñò³ ïðîò³- êàííÿ òåõíîëîã³÷íèõ ïðîöåñ³â. Òàê³ ÿâèùà ìîæíà îïèñàòè çà äîïîìîãîþ çà- äà÷ äëÿ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ³ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè òà ç çàï³çíåí- íÿì â îäíîìó ç àðãóìåíò³â (äèâ. [11, 15]). Âëàñòèâîñò³ ôóíäàìåíòàëüíîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ Êîø³ äëÿ óëüòðàïàðà- áîë³÷íèõ ð³âíÿíü áåç çàï³çíåííÿ âèâ÷àëèñÿ ó ïðàöÿõ À. Ì. Êîëìîãîðîâà [12], À. Ì. ²ëü¿íà [4], ². Ì. Ñîí³íà [8], ß. ². Øàòèðî [7], Ñ. Ä. Åéäåëüìàíà [3, 8, 9], Ñ. Ä. ²âàñèøåíà [2, 3, 10], Ã. Ï. Ìàëèöüêî¿ [8, 9], Ñ. Ïîë³äîðî [13, 14], Ì. Ì. Ëàâ- ðåíòüºâà [5] òà ³í. Ó ö³é ïðàö³ äîñë³äèìî ðîçâ’ÿçí³ñòü çàäà÷³ Êîø³ äëÿ óëüòðàïàðàáîë³÷- íèõ ð³âíÿíü ³ç çàï³çíåííÿì ó êëàñàõ íåïåðåðâíèõ òà îáìåæåíèõ ôóíêö³é. ßêùî ð³âíÿííÿ º ë³í³éíèì, çàï³çíåííÿ â³äñóòíº, òîä³ öå ð³âíÿííÿ º óçàãàëü- íåííÿì ð³âíÿííÿ Êîëìîãîðîâà äèôóç³¿ ç ³íåðö³ºþ ó ïåâíèõ íàïðÿìêàõ, ³ çà- äà÷ó Êîø³ äëÿ òàêîãî ð³âíÿííÿ âèâ÷åíî ó ïðàöÿõ [1, 2], äå çíàéäåíî ôóíäà- ìåíòàëüíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ òà âñòàíîâëåíî îö³íêè éîãî ïîõ³äíèõ. Ðîçãëÿ- íóòî âèïàäêè, êîëè çàï³çíåííÿ º ñòàëèì, àáî êóñêîâî-ñòàëèì íà îäèíè÷íèõ ³íòåðâàëàõ, ð³âíÿííÿ ìîæå áóòè ë³í³éíèì, àáî æ ì³ñòèòè íåë³í³éíîñò³ ë³ï- øèöåâîãî ÷è ñòåïåíåâîãî òèïó. Çàóâàæèìî, ùî òàê³ ð³âíÿííÿ ïîºäíóþòü âëàñòèâîñò³ äèôåðåíö³àëüíèõ ³ ð³çíèöåâèõ ð³âíÿíü ³ ì³ñòÿòü ÿê ÷àñòêîâ³ âè- ïàäêè ïåâí³ íàâàíòàæåí³ òà ³ìïóëüñí³ ð³âíÿííÿ. Íåõàé T – çàäàíå äîäàòíå ÷èñëî; 1 2 3, ,n n n – çàäàí³ íàòóðàëüí³ ÷èñëà òàê³, ùî 3 2 11 n n n≤ ≤ ≤ . Ïîçíà÷èìî 1 2 3 1 1 2 3; 3 5N n n n N n n n= + + = + + ; 1 2 3( , , )X x x x= ; ξ = 1 2 3( , , )= ξ ξ ξ ; 1 2 3 1 2 3, ,n n nx x x∈ ∈ ∈   . Òîä³ NX∈ ( 1 2( , , , ) ii i i inx x x x=  , 1 2( , , , ), 1,2,3 ii i i in iξ = ξ ξ ξ = ); 1 2 3 1 2( , , ), ( , , , ) i i n i i i inX x x x x x x x= = ∈  , 1 1 1 2 2 1 2, 1 , ( ) , 1j j j j jx x j n x x t x j n= ≤ ≤ = + − τ ≤ ≤ , 2 3 3 2 1 3 1( ) ( ) , 1 2j j j jx x t x t x j n= + − τ + − τ ≤ ≤ . Íåõàé (0, ) N T TΠ = ×  . 1. Â îáëàñò³ TΠ ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó Êîø³ 2 3 1 2 3 1 11 2 1 1 1 ( )( , ) j j j j n n n t j x j x x x j j j Lu X t u x u x u u = = = ≡ − − − −∑ ∑ ∑ ( , ) ( ,[ ]) ( , )c X t u X t f X t− = , (1) ( ,0) ( ), Nu X X X= ϕ ∈  , (2) äå [ ]t – ö³ëà ÷àñòèíà â³ä àðãóìåíòó t . 28 Н. П. Процах Ó öüîìó âèïàäêó çàï³çíåííÿ º ñòàëèì íà îäèíè÷íèõ ³íòåðâàëàõ ³ ìàº ñòðèáêè íà ¿õ ê³íöÿõ. Íà êîæíîìó ç öèõ ³íòåðâàë³â ð³âíÿííÿ îïèñóºòüñÿ óëüòðàïàðàáîë³÷íèì ð³âíÿííÿì áåç çàï³çíåííÿ. Íåïåðåðâí³ñòü ðîçâ’ÿçêó íà ê³íöÿõ äâîõ ïîñë³äîâíèõ ³íòåðâàë³â ïðèâîäèòü äî ð³çíèöåâîãî ð³âíÿííÿ ö³- ëîãî àðãóìåíòó äëÿ çíà÷åíü ðîçâ’ÿçêó íà ê³íöÿõ. Òîìó ð³âíÿííÿ ç êóñêîâî- ñòàëèì çàï³çíåííÿì ïîºäíóþòü âëàñòèâîñò³ äèôåðåíö³àëüíèõ ³ ð³çíèöåâèõ ð³âíÿíü. Âîíè ì³ñòÿòü, íàïðèêëàä, âèïàäêè íàâàíòàæåíèõ òà ³ìïóëüñíèõ ð³âíÿíü òåîð³¿ êîíòðîëþ. Äîñë³äèìî îáìåæåí³ ðîçâ’ÿçêè çàäà÷³ (1), (2). Îçíà÷åííÿ 1. Ôóíêö³þ ( , )u X t íàçâåìî ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ (1), (2), ÿêùî âèêîíóþòüñÿ óìîâè (³) ( , )u X t – íåïåðåðâíà â TΠ ; (³³) 1 1 1 1, , 1, , i i ix x xu u i n=  , 2 2, 1, , ixu i n=  , 3 3, 1, , ixu i n=  , – íåïåðåðâí³ â TΠ , çà ìîæëèâèì âèíÿòêîì òî÷îê ( , [ ])X t , äå ³ñíóþòü îäíîñòîðîíí³ ïîõ³äí³; (³³³) ( , )u X t çàäîâîëüíÿº ð³âíÿííÿ (1) â TΠ , çà ìîæëèâèì âèíÿòêîì òî÷îê ( , [ ])X t , òà ïî÷àòêîâó óìîâó (2). Äîâåäåìî ³ñíóâàííÿ òà ºäèí³ñòü ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ (1), (2). Ó ïðàö³ [2] äîâåäåíî, ùî ôóíäàìåíòàëüíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ 2 3 1 2 3 1 11 1 2 1 1 1 ( )( , ) ( , ) j j j j n n n t j x j x x x j j j L u X t u x u x u u F X t = = = ≡ − − − =∑ ∑ ∑ (3) ç ïî÷àòêîâîþ óìîâîþ (2) çàäàºòüñÿ ôîðìóëîþ 2 32 2( , ; , ) 12 720n nZ X t ξ τ = ⋅ ×/ / 1 1 22 2 1 1 1 1(4 ) ( ) exp ( ) ( ) 4 n NN j j j t t x−− = × π − τ − − τ − ξ −  ∑// 2 2 2 2 1 12 1 3 1 ( )( ) 2( ) n j j j j j x t x t = − − ξ + − τ + ξ − − τ ∑( ) 3 2 2 3 3 1 15 1 180 1 ( ) ( ) 12( ) n j j j j j x t x t =  − − ξ + − τ − ξ   − τ  ∑ , , , Nt Xτ < ξ ⊂ { } . (4) Ïîçíà÷èìî 1 1 2 1 1 1 ( , ; , ) ( ) ( ) n j j j X t t t x− = ρ ξ − τ = − τ − ξ +∑ 2 3 3 2 5 2 2 2 3 3 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n j j j j j j t x t x− − = = + − τ − ξ + − τ − ξ∑ ∑ . Ó ïðàö³ [1] íàâåäåíî òàê³ âëàñòèâîñò³: 1 2 2exp ( , , ) ( ) N N Nt X t d− − δρ ξ ξ = πδ∫  / /{ } , ( , ; , ) 1, 0 , N NZ X t d t Xξ τ ξ = ≤ τ < ⊂∫   . Àíàëîã³÷íî äî òåîðåìè 3.10 [10, c. 197] ìîæíà îòðèìàòè òàêå Òâåðäæåííÿ. Íåõàé ôóíêö³ÿ u º ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ (3), (2) â îáëàñò³ TΠ , F – îáìåæåíà ³ íåïåðåðâíà â TΠ ôóíêö³ÿ, 1 1 1, , 1, , j jx x j nϕ ϕ ∈ { } , , 1,2,3 , 1, , ijx ii j nϕ ∈ ∈ { } { } , íàëåæàòü äî ïðîñòîðó ( )NC  òà º îáìåæå- Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом 29 íèìè â N . Òîä³ âèêîíóºòüñÿ ôîðìóëà ( , ) ( , ; ,0) ( ) N u X t Z X t d= ξ ϕ ξ ξ +∫  0 ( , ; , ) ( , ) , ( , ) N t TZ X t F d d X t+ ξ τ ξ τ ξ τ ∈ Π∫ ∫  . Òåîðåìà 1. Íåõàé 1 1 1, , 1, , j jx x j nϕ ϕ ∈ { } , , 1,2,3 , 1, , ijx ii j nϕ ∈ ∈ { } { } , íàëåæàòü äî ïðîñòîðó ( )NC  òà º îáìåæåíèìè â N , ôóíêö³¿ ,c f º íåïåðåðâíèìè òà îáìåæåíèìè â TΠ ³ ìàþòü îáìåæåíèé íîñ³é. Òîä³ ³ñíóº ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1), (2), îáìåæåíèé â TΠ . Ä î â å ä å í í ÿ. Ìåòîä äîâåäåííÿ òåîðåìè áàçóºòüñÿ íà çâåäåíí³ çà- äà÷³ (1), (2) äî ³íòåãðàëüíîãî ð³âíÿííÿ ³ âèêîðèñòàííÿ ìåòîäó ïîñë³äîâíèõ íàáëèæåíü. Ïîçíà÷èìî 1( , , ) ( , ) ( , [ ]) ( , )f X t u c X t u X t f X t= + . Òîä³ äëÿ ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ (1), (2) âèêîíóºòüñÿ ïîäàííÿ ( , ) ( , ; ,0) ( ) N u X t Z X t d= ξ ϕ ξ ξ +∫  1 0 ( , ; , ) ( , , ) , ( , ) N t TZ X t f u d d X t+ ξ τ ξ τ ξ τ ∈ Π∫ ∫  . (5) Íà ³íòåðâàë³ 0 1t≤ < ôóíêö³ÿ 1( , , ) ( , ) ( ) ( , )f X t u c X t X f X t= ϕ + . Îñê³ëüêè íà TΠ ìàºìî îö³íêè ( ) , ( , ) ( ) ( , )X M c X t X f X t Mϕ ≤ ϕ + ≤ (äå ,M M – ñòà- ë³), òî 0 ( , ) ( , ; ,0) ( , ; , ) ( , ) ( ) ( , ) N N t u X t M Z X t d Z X t c f d d≤ ξ ξ + ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ ξ τ ≤∫ ∫ ∫   0 , 0 1 t M M d M Mt t≤ + τ = + ≤ <∫ . Íà ³íòåðâàë³ 1 2t≤ < ïîçíà÷èìî 1( ) ( ,1)X u Xϕ = . Òîä³ äëÿ âñ³õ NX ∈  1 1( )X M M Mϕ ≤ = + , à òàêîæ çàóâàæèìî, ùî íà öüîìó ïðîì³æêó 0 1t≤ − < 1< . Òîä³, çàì³íèâøè t íà 1t − , îòðèìóºìî 1 1 1 0 ( , ) ( , 1; ,0) ( ) ( , 1; , ) ( , ) ( ) N N t u X t M Z X t d Z X t c − ≤ − ξ ϕ ξ ξ + − ξ τ ξ τ ϕ ξ +∫ ∫ ∫   ( 1 1 1 1 1 0 ( , ) 1 ( 1) t f d d M M d M M t − + ξ τ ξ τ ≤ ⋅ + τ = + −∫) , 1 2, Nt X≤ < ∈  . Éäó÷è äàë³, ( , ) ( ), 1n nu X t M M t n n t n≤ + − ≤ < + , äå ñòàë³ ,n nM M – îá- ìåæåí³. Îòæå, ( , ) T Tu X t M M≤ + äëÿ âñ³õ ( , ) TX t ∈ Π . Òàê ïîáóäîâàíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1), (2) º îáìåæåíèì. ◊ Çàóâàæåííÿ 1. ßêùî â óìîâàõ òåîðåìè 1 çàï³çíåííÿ º ñòàëèì ³ äîð³â- íþº h , òî 1( )( , ) ( , ) ( , ) ( , )L u X t c X t u X t h f X t= − + , (6) òà âèêîíóºòüñÿ ïî÷àòêîâà óìîâà ( , ) ( )u X t X= ϕ äëÿ 0, Nh t X− ≤ ≤ ∈  . (7) Òîä³ ³ñíóº îáìåæåíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (6), (7). 30 Н. П. Процах Ä î â å ä å í í ÿ. Äîâåäåìî ³ñíóâàííÿ îáìåæåíîãî ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ (6), (7). Íà ³íòåðâàë³ 0 t h≤ < ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ (6) º òàêîþ 1( , , )f X t u = ( , ) ( ) ( , )c X t X f X t= ϕ + . Îñê³ëüêè ( ) , ( , ) ( ) ( , )X M c X t X f X t Mϕ ≤ ϕ + ≤ , òî 0 ( , ) ( , ; ,0) ( , ; , ) ( , ) ( )( N N t u X t M Z X t d Z X t c≤ ξ ξ + ξ τ ξ τ ϕ ξ +∫ ∫ ∫   1 0 ( , ) , 0) t f d d M M d M Mt M t h+ ξ τ ξ τ ≤ + τ = + ≡ ≤ <∫ . Íà ³íòåðâàë³ 2h t h≤ < ìàºìî, ùî 0 t h h≤ − < . Òîä³, çàì³íèâøè t íà t h− , îòðèìóºìî 1 1( , ) ( ), 2u X t M M t h h t h≤ + − ≤ < . Éäó÷è äàë³, ( , ) ( ), ( 1)n nu X t M M t nh nh t n h≤ + − ≤ < + , äå ñòàë³ ,n nM M – îáìåæåí³. Òàêó ñàìó îö³íêó îòðèìóºìî äëÿ âñ³õ (0, ]( , ) TX t ∈ Π . Òàê ïîáóäî- âàíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (6), (7) º îáìåæåíèì. ◊ Ðîçãëÿíåìî ñëàáêî íåë³í³éí³ âèïàäêè. Íåõàé ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ (1) ìîæå ì³ñòèòè íåë³í³éíîñò³. 2. Â îáëàñò³ TΠ ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó Êîø³ 2 3 2 31 2 1 1 ( )( , ) j j n n t j x j x j j Lu X t u x u x u = = ≡ − − −∑ ∑ 1 1 1 1 ( , ) ( , [ ]) , , ( , ) j j n x x j u c X t u X t f X t u X t = − − =∑ ( ) (8) ç ïî÷àòêîâîþ óìîâîþ (2), äå çíîâó [ ]t – ö³ëà ÷àñòèíà â³ä àðãóìåíòó t . Òåîðåìà 2. Íåõàé 1 1 1, , 1, , j jx x j nϕ ϕ ∈ { } , , 1,2,3 , 1, , ijx ii j nϕ ∈ ∈ { } { } , íàëåæàòü äî ïðîñòîðó ( )NC  òà º îáìåæåíèìè â N , ôóíêö³¿ ,c f º íå- ïåðåðâíèìè òà îáìåæåíèìè â TΠ ³ ìàþòü îáìåæåíèé íîñ³é, êð³ì òîãî, ôóíêö³ÿ f çàäîâîëüíÿº óìîâó Ë³ïøèöÿ ð³âíîì³ðíî çà ,X t , òîáòî äëÿ âñ³õ , 0,NX t T∈ ∈ [ ] ³ñíóº òàêà ñòàëà L , ùî äëÿ âñ³õ 1,ξ η ∈  âèêîíóºòüñÿ îö³íêà ( , , ) ( , , )f X t f X t Lξ − η ≤ ξ − η . Òîä³ ³ñíóº ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (8), (2), ÿêèé º îáìåæåíèì â TΠ . Ä î â å ä å í í ÿ. Îñê³ëüêè ( ) , ( , ) ( ) ( , )X M c X t X f X t Mϕ ≤ ϕ + ≤ äëÿ âñ³õ ( , ) TX t ∈ Π , òî çã³äíî ç ìåòîäîì ïîñë³äîâíèõ íàáëèæåíü 0 ( , ) ( , ; ,0) ( ) N u X t Z X t d M= ξ ϕ ξ ξ ≤∫  äëÿ âñ³õ NX ∈  . Íà ³íòåðâàë³ 0 1t≤ < ôóíêö³ÿ 1( , , ) ( , ) ( ) ( , )f X t u c X t X f X t= ϕ + . Òîä³ äëÿ âñ³õ NX ∈  1 0 0 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) ( , , ) N t u u Z X t c f u d d− = ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ ξ τ ≤∫ ∫  ( ) 0 1 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) N t Z X t c M u d d M t≤ ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ ≤ ⋅∫ ∫  ( ) , Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом 31 2 1 1 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( ) N t u u Z X t c X t X f X t u c X t X− = ξ τ ϕ + − ϕ −∫ ∫  ( 0 1 0 0 ( , , ) ( , ; , ) N t f X t u d d L Z X t u u d d− ξ τ ≤ ξ τ − ξ τ ≤∫ ∫  ) 2 1 1 0 ( , ; , ) 2 N t tLM Z X t d d LM≤ ξ τ τ ξ τ =∫ ∫  , 3 2 2 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( ) N t u u Z X t c f u c− = ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ − ξ τ ϕ ξ −∫ ∫  ( 1 2 1 0 ( , , ) ( , ; , ) N t f u d d L Z X t u u d d− ξ τ ξ τ ≤ ξ τ − ξ τ ≤∫ ∫  ) 3 3 2 2 21 1 1 0 ( , ; , ) 2 2 3 3! N tM M t tL Z X t d d L L M≤ ξ τ τ ξ τ = =∫ ∫  ,  , 1 1 ( ) ! n n n M Lt u u L n−− ≤ . Îñê³ëüêè 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i i u X t u X t u X t u X t ∞ − = = + −∑( ) , òî 1 1 1 ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ! i Lt i i i i Lt u X t M u X t u X t M M M Me i ∞ ∞ − = = ≤ + − = + = +∑ ∑ , 0 1t≤ < . Íà ³íòåðâàë³ 2 3t≤ < çàóâàæèâøè, ùî 0 1 1t≤ − < òà âèêîíàâøè çàì³íó t íà 1t − , îòðèìóºìî ( 1) 1 1( , ) , 1 2, L t Nu X t M M e t X−≤ + ≤ < ∈  . Éäó÷è äàë³, ( )( , ) , 1, L t n N n nu X t M M e n t n X−≤ + ≤ < + ∈  , äå ñòàë³ ,n nM M – îáìåæåí³. Îö³íêè ïðîäîâæóºìî äî äîñÿãíåííÿ 1n T+ ≥ . Òàê ïîáóäîâàíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (8), (2) ç íåë³í³éí³ñòþ ë³ïøèöåâîãî òèïó â ïðàâ³é ÷àñòèí³ ð³âíÿííÿ (8) º îáìåæåíèì. ◊ Çàóâàæåííÿ 2. Òåîðåìà 2 âèêîíóºòüñÿ òàêîæ äëÿ âèïàäêó, êîëè çàï³ç- íåííÿ º ñòàëèì. 3. Â îáëàñò³ TΠ ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ 2 3 1 2 3 1 12 1 2 1 1 1 ( )( , ) j j j j n n n t j x j x x x j j j L u X t u x u x u u = = = ≡ − − − =∑ ∑ ∑ , , ( , ), ( , [ ])f X t u X t u X t= ( ) (9) ç ïî÷àòêîâèìè óìîâàìè (2), äå [ ]t – ö³ëà ÷àñòèíà â³ä àðãóìåíòó t . 32 Н. П. Процах Òåîðåìà 3. Íåõàé 1 1 1, , 1, , j jx x j nϕ ϕ ∈ { } , , 1,2,3 , 1, , ijx ii j nϕ ∈ ∈ { } { } , íàëåæàòü äî ïðîñòîðó ( )NC  òà º îáìåæåíèìè â N , ôóíêö³ÿ f º íåïå- ðåðâíîþ òà îáìåæåíîþ â TΠ ³ ìàº îáìåæåíèé íîñ³é, êð³ì òîãî, ( , , , )f X t ζ η çàäîâîëüíÿº óìîâó Ë³ïøèöÿ ð³âíîì³ðíî çà , ,X t η , òîáòî ³ñíóº òàêà ñòà- ëà L , ùî äëÿ âñ³õ 1 1 2,ζ ζ ∈  âèêîíóºòüñÿ îö³íêà 1 2 1 2( , , , ) ( , , , )f X t f X t Lζ η − ζ η ≤ ζ − ζ . Òîä³ ³ñíóº ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (9), (2), îáìåæåíèé â TΠ . Ä î â å ä å í í ÿ. Çã³äíî ç ìåòîäîì ïîñë³äîâíèõ íàáëèæåíü, îñê³ëüêè ( ) , X M f Mϕ ≤ ≤ äëÿ âñ³õ ( , ) TX t ∈ Π , òî 0 ( , ) ( , ; ,0) ( ) N u X t Z X t d M= ξ ϕ ξ ξ ≤∫  äëÿ âñ³õ NX ∈  . Íà ³íòåðâàë³ 0 1t≤ < ôóíêö³ÿ , , ( , ), ( ,[ ]) , , ( , ), ( )f X t u X t u X t f X t u X t X= ϕ( ) ( ) . Òîä³ äëÿ âñ³õ NX ∈  1 0 0 0 ( , ; , ) , , , ( ) N t u u Z X t f X t u X d d− = ξ τ ϕ ξ τ ≤∫ ∫  ( ) 0 1 0 ( , ; , ) N t Z X t M u d d M t≤ ξ τ ξ τ ≤ ⋅∫ ∫  , 2 1 1 0 0 ( , ; , ) ( , , , ( )) ( , , , ( )) N t u u Z X t f X t u X f X t u X d d− = ξ τ ϕ − ϕ ξ τ ≤∫ ∫  ( ) 1 0 0 ( , ; , ) N t L Z X t u u d d≤ ξ τ − ξ τ ≤∫ ∫  2 1 1 0 ( , ; , ) 2 N t tLM Z X t d d LM≤ ξ τ τ ξ τ =∫ ∫  , 3 2 2 1 0 ( , ; , ) ( , , , ( )) ( , , , ( ))) N t u u Z X t f u X f u X d d− = ξ τ ξ τ ϕ − ξ τ ϕ ξ τ ≤∫ ∫  ( 2 1 0 ( , ; , ) N t L Z X t u u d d≤ ξ τ − ξ τ ≤∫ ∫  2 3 3 2 2 21 1 1 0 ( , ; , ) 2 2 3 3! N tM L M t tL Z X t d d M L≤ ξ τ τ ξ τ = =∫ ∫  ,  , 1 1 ( ) ! n n n M Lt u u L n−− ≤ . Îñê³ëüêè 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i i u X t u X t u X t u X t ∞ − = = + −∑( ) , òî 1 1 ( , ) ( , ) ( , )i i i u X t M u X t u X t ∞ − = ≤ + − =∑ 1 ( ) , 0 1 ! i Lt i Lt M M M Me t i ∞ = = + = + ≤ <∑ . Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом 33 Íà ³íòåðâàë³ 2 3t≤ < çàóâàæèâøè, ùî 0 1 1t≤ − < òà âèêîíàâøè çàì³- íó t íà 1t − , îòðèìóºìî ( 1) 1 1( , ) , 1 2, L t Nu X t M M e t X−≤ + ≤ < ∈  . Éäó÷è äàë³, ( )( , ) , 1, L t n N n nu X t M M e n t n X−≤ + ≤ < + ∈  , äå ñòàë³ ,n nM M – îáìåæåí³. Ïðîäîâæóºìî îö³íêè äî äîñÿãíåííÿ 1n T+ ≥ . Òàê ïîáóäîâàíèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (9), (2) º îáìåæåíèì. ◊ Çàóâàæåííÿ 3. Òåîðåìà 3 âèêîíóºòüñÿ òàêîæ äëÿ âèïàäêó, êîëè çàï³ç- íåííÿ º ñòàëèì. 4. Â îáëàñò³ TΠ ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó Êîø³ äëÿ ð³âíÿííÿ 2 3 1 2 3 1 12 1 2 1 1 1 ( )( , ) j j j j n n n t j x j x x x j j j L u X t u x u x u u = = = ≡ − − − =∑ ∑ ∑ 1 , , ( , ), ( ,[ ]), ( , [ ])( )xf X t u X t u X t u X t= ∇ (10) ç ïî÷àòêîâîþ óìîâîþ (2), äå [ ]t – ö³ëà ÷àñòèíà â³ä àðãóìåíòó t . Òåîðåìà 4. Íåõàé 1 1 1, , 1, , j jx x j nϕ ϕ ∈ { } , , 1,2,3 , 1, , ijx ii j nϕ ∈ ∈ { } { } , íàëåæàòü äî ïðîñòîðó ( )NC  ³ º îáìåæåíèìè â ,N ôóíêö³ÿ f º íåïåðåðâ- íîþ òà îáìåæåíîþ â TΠ ³ ìàº îáìåæåíèé íîñ³é, êð³ì òîãî, ( , , , , )f X t ζ η θ çàäîâîëüíÿº óìîâó Ë³ïøèöÿ ð³âíîì³ðíî çà , , ,X t η θ , òîáòî ³ñíóº òàêà ñòàëà L , ùî äëÿ âñ³õ 1 1 2,ζ ζ ∈  âèêîíóºòüñÿ îö³íêà 1 2 1 2( , , , , ) ( , , , , )f X t f X t Lζ η θ − ζ η θ ≤ ζ − ζ . Òîä³ ³ñíóº ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (10), (2), ÿêèé º îáìåæåíèì â TΠ . Ä î â å ä å í í ÿ ö³º¿ òåîðåìè ïîâòîðþº äîâåäåííÿ òåîðåìè 3. ◊ 5. Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê, êîëè ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ (8) ì³ñòèòü íåë³- í³éíîñò³ ñòåïåíåâîãî âèãëÿäó, òîáòî ôóíêö³ÿ f çàäîâîëüíÿº óìîâó (F) ³ñíóº òàêà ñòàëà 0f , ùî äëÿ âñ³õ 1,ξ η ∈  âèêîíóºòüñÿ îö³íêà 10( , , ) ( , , ) pf X t f X t f −ξ − η ≤ ξ − η äëÿ ìàéæå âñ³õ ( , ) TX t ∈ Π . Çàóâàæèìî, ùî ïðèêëàäîì ôóíêö³¿ f ìîæå áóòè ôóíêö³ÿ 2 0( , , ) ( , ) ( , ) pf X t u f X t g X t u u−≡ + , äå 1 2p< < . Òåîðåìà 5. Íåõàé 1 1 1, , 1, , j jx x j nϕ ϕ ∈ { } , , 1,2,3 , 1, , ijx ii j nϕ ∈ ∈ { } { } , íàëåæàòü äî ïðîñòîðó ( )NC  òà º îáìåæåíèìè â N , ôóíêö³ÿ f º íåïå- ðåðâíîþ òà îáìåæåíîþ â TΠ , ìàº îáìåæåíèé íîñ³é òà çàäîâîëüíÿº óìîâó (F). Òîä³ ³ñíóº ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (8), (2), ÿêèé º îáìåæåíèì â TΠ . Ä î â å ä å í í ÿ. Îñê³ëüêè ( ) , ( , ) ( ) ( , )X M c X t X f X t Mϕ ≤ ϕ + ≤ , òî çã³äíî ç ìåòîäîì ïîñë³äîâíèõ íàáëèæåíü 0 ( , ) ( , ; ,0) ( ) N u X t Z X t X d M= ξ ϕ ξ ≤∫  . Íà ³íòåðâàë³ 0 1t≤ < ïðàâà ÷àñòèíà ð³âíÿííÿ (8) 1( , , ) ( , ) ( ) ( , )f X t u c X t X f X t= ϕ + . 34 Н. П. Процах Òîä³ 1 0 0 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) ( , , ) N t u u Z X t c f u d d− = ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ ξ τ ≤∫ ∫ ( )  1 0 1 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) N t pZ X t c M u d d M t−≤ ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ ≤ ⋅∫ ∫ ( )  , 2 1 1 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( ) N t u u Z X t c f u c− = ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ − ξ τ ϕ ξ −∫ ∫ (  10 0 1 0 0 ( , , ) ( , ; , ) N t pf u d d f Z X t u u d d−− ξ τ ξ τ ≤ ξ τ − ξ τ ≤∫ ∫)  ( 1) 1 0 1 1 1 2 0 ( , ; , ) ( 1) 1 N t p p p tf M Z X t d d M p − + − −≤ ξ τ τ ξ τ = − +∫ ∫  , 3 2 2 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) ( , , ) ( , ) ( ) N t u u Z X t c f u c− = ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ − ξ τ ϕ ξ −∫ ∫ (  10 1 2 1 0 ( , , ) ( , ; , ) N t pf u d d f Z X t u u d d−− ξ τ ξ τ ≤ ξ τ − ξ τ ≤∫ ∫)  1( 1) 1 0 2 0 ( ) ( , ; , ) ( 1) 1 N t pp pf M Z X t d d p −− +τ ≤ ξ τ ξ τ ≤ − + ∫ ∫  2 1( 1) ( 1) 1 1 2 3 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1p p pM t p p p −− + − + −≤ − + − + − +( ) ( )[ ] , 4 3 2 0 ( , ; , ) ( , ) ( ) ( , , ) N t u u Z X t c f u− = ξ τ ξ τ ϕ ξ + ξ τ −∫ ∫ (  1( , ) ( ) ( , , )c f u d d− ξ τ ϕ ξ − ξ τ ξ τ ≤) 3 2 2( 1) ( 1) ( 1) 1 ( 1) 2 3 ( 1) 1 ( 1)p p p pM t p p− + − + − + −≤ − + − +( ) ([ 11 3 2( 1) 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1pp p p p −−+ − + − + − + − +) ( )] ,  . Çâ³äñè äëÿ 2k ≥ îòðèìóºìî ìàæîðàíòó 1 2( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 ( 1) 2 1 ( 1) ( 1) k k k i p p p k k k k i p i tu u M p p − − − − + − + + − + − − − = − ≤ + − + + −∏  ( ) . Îñê³ëüêè 0 1 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , )i i i u X t u X t u X t u X t ∞ − = = + −∑( ) , òî 1 1 ( , ) ( , ) ( , )i i i u X t M u X t u X t ∞ − = = + − =∑ 1 2( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 ( 1)2 2 1 ( 1) ( 1) k k k i p p p k i pk i tM M t M p p − − − ∞ − + − + + − + − −= = = + + + − + + − ∑ ∏  ( ) , 0 1t≤ < . Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом 35 Ïåðåâ³ðèìî, ÷è º çá³æíèì ðÿä 1 2( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1)2 2 1 ( 1) ( 1) k k k i p p p k i pk i t p p − − − ∞ − + − + + − + − −= = + − + + − ∑ ∏  ( ) . Çà îçíàêîþ Äàëàìáåðà 1 1 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 1 ( 1) 2 1 ( 1) ( 1) k k k i p p p k k k i p i a t a p p − − + − + − + + − + + + − − = = × + − + + −∏  ( ) 1 2 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) 1 1 ( 1) ( 1) k i k k k i p i p p p p p t − − − − − = − + − + + − +   + − + + −   × =    ∏  ( ) ( 1) 1 1 ( 1) ( 2) 2 1 ( 1) ( 1) k k i p k i p p i t p p − − + − − − = = ∼ + − + + −∏ ( ) 1 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) 2( 1) k k p p p k p t p − − − − − − − − ∼ − [ ] . ßêùî 1 2p< < , òî ïðè k → ∞ öåé âèðàç ïðÿìóº äî 0, îòæå, ðÿä çá³æíèé. Íà ïðîì³æêó 1n t n< < + ìàºìî îö³íêó ( , )u X t = 1 2( 1) ( 1) ( 1) 1 1 1 ( 1)2 2 ( ) ( ) 1 ( 1) ( 1) k k k i p p p k i pk i t n M M t n M p p − − − ∞ − + − + + − + − −= = −= + − + + − + + − ∑ ∏  ( ) . ◊ Äîâåäåìî ºäèí³ñòü ðîçâ’ÿçêó ðîçãëÿíóòèõ çàäà÷. Òåîðåìà 6. Îáìåæåí³ ðîçâ’ÿçêè çàäà÷ (1), (2); (6), (7); (8), (2); (9), (2); (10), (2) º ºäèíèìè. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ³ñíóº äâà ðîçâ’ÿçêè çàäà÷³ (8), (2) 1u òà 2u . ¯õ ð³çíèöÿ 1 2u u u= − º ðîçâ’ÿçêîì çàäà÷³ 2 3 1 2 3 1 11 2 1 1 1 ( )( , ) j j j j n n n t j x j x x x j j j Lu X t u x u x u u = = = ≡ − − − =∑ ∑ ∑ 2 1( , , ) ( , , ) ( , ) ( ,[ ])f X t u f X t u c X t u X t= − + , (11) ( ,0) 0, Nu X X= ∈  . (12) Ðîçãëÿíåìî òàê³ âèïàäêè. 1°. ( , , ) ( , )f X t u f X t= – çàäà÷à (1), (2). Ðîçâ’ÿçîê çàäàºìî ÿê 0 ( , ) ( , ; , ) ( , ) ( , [ ]) , , (0, ] N t Nu X t Z X t c u d d X t T= ξ τ ξ τ ξ τ ξ τ ∈ ∈∫ ∫   . (13) Îñê³ëüêè ôóíêö³ÿ ( , )u X t º îáìåæåíîþ, òî ³ñíóº ñòàëà M òàêà, ùî äëÿ âñ³õ ( , ) TX t ∈ Π ôóíêö³ÿ ( , )u X t M≤ . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç C ñòàëó, ÿêà îáìå- æóº çâåðõó ôóíêö³þ ( , )c X t . Òîä³ 0 ( , ) ( , ; , ) N t u X t MC Z X t d d M C t≤ ξ τ ξ τ = ⋅ ⋅∫ ∫  . 36 Н. П. Процах Ï³äñòàâèìî îòðèìàíó îö³íêó â (13). Òîä³ 2 2 2 0 ( , ) ( , ; , ) 2 N t MC tu X t MC Z X t d d≤ ξ τ τ ξ τ =∫ ∫  ,  , ( , ) ! k kMC tu X t k ≤ äëÿ âñ³õ NX ∈  . ßêùî ( , )u X t íå º òîòîæíèì íóëåì, òîä³ ³ñíóº òàêå 0 0( , )X t , ïðè ÿêîìó 0 0( , ) 0u X t ≠ . Ïðè âåëèêèõ k äëÿ äîâ³ëüíîãî 0ε > âèêîíóºòüñÿ 0 0( , ) ! k kMC tu X t k ≤ < ε . Òîä³ 0 0( , )u X t ≤ ε , äå ε – ÿê çàâãîäíî ìàëå ÷èñëî. Âèáðàâøè 0 0( , ) 0 , 2 u X t < ε < îòðèìàºìî ñóïåðå÷í³ñòü. Îòæå, ( , ) 0u X t ≡ , òîáòî ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1), (2) ºäèíèé. Àíàëîã³÷íî ïðîâîäèìî äîâåäåííÿ òåîðåìè äëÿ çàäà÷³ (6), (7). 2°. ( , , )f X t u º ë³ïøèöåâîþ ôóíêö³ºþ (çàäà÷à (8), (2)). Òîä³ 1 2 0 ( , ) ( , ; , ) ( , , ) ( , , )[ N t u X t Z X t f u f u= ξ τ ξ τ − ξ τ +∫ ∫  1 2 0 ( , ) ( ,[ ]) ( , ; , ) N t c u d d Z X t L u u+ ξ τ ξ τ ξ τ ≤ ξ τ − +∫ ∫] [  ( , ) ( ,[ ]) ( )c u d d L C M t+ ξ τ ξ τ ξ τ ≤ + ⋅ ⋅] . Ï³äñòàâèìî îòðèìàíó îö³íêó â (13). Òîä³ 2 2( ) ( , ) 2 L C Mt u X t +≤ . Íà k -ìó êðîö³ ( ) ( , ) ! k kL C Mt u X t k +≤ . Äîâåäåííÿ çàâåðøóºìî, ÿê ó ïîïåðåäíüîìó âèïàäêó. 3°. Ïîä³áíî äîâîäèìî ºäèí³ñòü ðîçâ’ÿçêó çàäà÷ (9), (2) ³ (10), (2), à òàêîæ ó âèïàäêó ñòåïåíåâèõ íåë³í³éíîñòåé. ◊ Äîñë³äæåííÿ ÷àñòêîâî ï³äòðèìàí³ ´ðàíòîì Ïðåçèäåíòà Óêðà¿íè äëÿ ï³äòðèìêè íàóêîâèõ äîñë³äæåíü ìîëîäèõ ó÷åíèõ (íîìåð äåðæðåºñòðà- ö³¿ 0108U009507). 1. Äðîíü Â. Ñ. Ïðî êîðåêòíó ðîçâ’ÿçíiñòü ó âàãîâèõ ïðîñòîðàõ Ãåëüäåðà çàäà÷i Êî- øi äëÿ îäíîãî êëàñó âèðîäæåíèõ ïàðàáîëi÷íèõ ðiâíÿíü òèïó Êîëìîãîðîâà // Íàóê. âiñí. ×åðíiâ. óí-òó. Ìàòåìàòèêà. – 2000. – Âèï. 76. – Ñ. 32–41. 2. Äðîíü Â. Ñ., Iâàñèøåí Ñ. Ä. Ïðî âëàñòèâîñòi îá’ºìíîãî ïîòåíöiàëó òà êîðåêòíó ðîçâ’ÿçíiñòü çàäà÷i Êîøi äëÿ îäíîãî ìîäåëüíîãî óëüòðàïàðàáîëi÷íîãî ðiâíÿííÿ // Íàóê. âiñí. ×åðíiâ. óí-òó. Ìàòåìàòèêà. – 1999. – Âèï. 46. – Ñ. 36–43. 3. Èâàñèøåí Ñ. Ä., Ýéäåëüìàí Ñ. Ä. Î çàäà÷å Êîøè äëÿ âûðîæäåííûõ óðàâíåíèé òèïà Êîëìîãîðîâà ñ 2b → -ïàðàáîëè÷åñêîé ÷àñòüþ ïî îñíîâíîé ãðóïïå ïåðåìåííûõ // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. – 2000. – 36, ¹ 4. – C. 527–536. 4. Èëüèí À. Ì. Îá îäíîì êëàññå óëüòðàïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. – 1964. – 159, ¹ 6. – C. 1214–1217. 5. Ëàâðåíòüåâ Ì. Ì. (ìë.), Ñïèãëåð Ð., Àõìåòîâ Ä. Ð. Ðåãóëÿðèçàöèÿ íåëèíåéíîãî èíòåãðîïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Ôîêêåðà – Ïëàíêà ñ ïðîñòðàíñòâåííî-ïåðè- îäè÷åñêèìè ðåøåíèÿìè. Ñóùåñòâîâàíèå ñèëüíûõ ðåøåíèé // Ñèá. ìàò. æóðí. – 2001. – 42, ¹ 4. – Ñ. 825–848. Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом 37 6. Ñîíèí È. Ì. Îá îäíîì êëàññå âèðîæäàþùèõñÿ äèôôóçèîííûõ ïðîöåññîâ // Òå- îðèÿ âåðîÿòíîñòåé è åå ïðèìåíåíèå. – 1967. – 12, ¹ 3. – Ñ. 540–547. 7. Øàòûðî ß. È. Î ãëàäêîñòè ðåøåíèé íåêîòîðûõ âûðîæäåííûõ óðàâíåíèé âòî- ðîãî ïîðÿäêà // Ìàò. çàìåòêè. – 1971. – 10, ¹ 1. – C. 101–111. 8. Ýéäåëüìàí Ñ. Ä., Ìàëèöêàÿ À. Ï. Îá óðàâíåíèÿõ äèôôóçèè ñ èíåðöèåé è ðàñ- òóùèìè êîýôôèöèåíòàìè // Äîï. ÀÍ ÓÐÑÐ. Ñåð. À. – 1974. – ¹ 2. – C. 106–110. 9. Ýéäåëüìàí Ñ. Ä., Ìàëèöêàÿ À. Ï. Î ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèÿõ è ñòàáèëèçà- öèè ðåøåíèÿ çàäà÷è Êîøè äëÿ îäíîãî êëàññà âûðîæäàþùèõñÿ ïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. – 1975. – 11, ¹ 7. – Ñ. 1316–1330. 10. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type. – Basel: Birkhäu- ser, 2004. – 390 p. – (Ser. Operator Theory: Adv. and Appl. – Vol. 152.) 11. Farkas G., Simon P. L. Stability properties of positive solutions to partial differen- tial equations with delay // Electr. J. Different. Equat. – 2001. – No. 64. – P. 1–8. 12. Kolmogorov A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. – 1934. – 35. – P. 116–117. 13. Polidoro S. A global lower bound for the fundamental solution of Kolmogorov – Fokker – Planck equations // Arch. Rat. Mech. Anal. – 1997. – 137. – P. 321–340. 14. Polidoro S. On a class of ultraparabolic operators of Kolmogorov – Fokker – Planck type // Le Matematiche. – 1994. – 49. – P. 53–105. 15. Poorkarimi H., Wiener J. Bounded solutions of nonlinear parabolic equations with time delay // Electr. J. Different. Equat. – 1999. – No. 2. – P. 87–91. ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УЛЬТРАПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО ВРЕМЕНИ Èññëåäîâàíà ðàçðåøèìîñòü çàäà÷è Êîøè äëÿ óëüòðàïàðàáîëè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì â êëàññàõ íåïðåðûâíûõ è îãðàíè÷åííûõ ôóíêöèé. Òàêèå óðàâíåíèÿ îáîáùàþò óðàâíåíèÿ Êîëìîãîðîâà äèôôóçèè ñ èíåðöèåé. Ðàññìîòðåíû ñëó÷àè, êîãäà çàïàçäûâàíèå ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííûì èëè êóñî÷íî-ïîñòîÿííûì íà åäèíè÷- íûõ èíòåðâàëàõ, óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ëèíåéíûìè èëè ñîäåðæàòü ñòåïåííûå íåëèíåéíîñòè èëè íåëèíåéíîñòè òèïà Ëèïøèöà. CAUCHY PROBLEM FOR ULTRAPARABOLIC EQUATIONS WITH TIME DELAY The solvability of the Cauchy problem for ultraparabolic equations with delay is inves- tigated in the classes of continuous and bounded functions. Such types of equations ge- neralize the Kolmogorov equation of the difussion with inertia. The cases of constant or piecewise continuous time delay when the equations are linear or can have nonlinearities of the Lipschitz or power type are considered. ²í-ò ïðèêë. ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè Îäåðæàíî ³ì. ß. Ñ. Ï³äñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â 31.01.08

Задача Коші для ультрапараболічних рівнянь із запізненням за часом

Репозитарії

Схожі ресурси