Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп

Досліджуються напівгрупові топологізації розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп. Показано, що для кожної топологічної напівгрупи S така топологізація існує, а у випадку, коли S – топологічна інверсна напівгрупа з мінімальним ідеалом або S містить H -замкнений правий (лівий, двосторонній) ід...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Павлик, К.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7684
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Топологічні розширення Брака - Рейлі топологічних напівгруп / К.П. Павлик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 38-47. — Бібліогр.: 19 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-7684
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-76842010-04-09T12:00:45Z Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп Павлик, К.П. Досліджуються напівгрупові топологізації розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп. Показано, що для кожної топологічної напівгрупи S така топологізація існує, а у випадку, коли S – топологічна інверсна напівгрупа з мінімальним ідеалом або S містить H -замкнений правий (лівий, двосторонній) ідеал, то така топологізація напівгрупи BR(S,θ) єдина, а саме, є так ваною топологією прямої суми. Исследуются полугрупповые топологизации расширения Брака – Рейли топологических полугрупп. Показано, что для каждой топологической полугруппы S такая топологизация существует, а в случае, когда S – топологическая инверсная полугруппа с минимальным идеалом или S содержит H -замкнутый правый (левый двусторонний) идеал, то такая топологизация полугруппы BR(S,θ) единственная, а именно, является так называемой топологией прямой суммы. Semigroup topologizations of Bruck – Reilly extensions of topological semigroups are investigated. It is shoved that for every topological semigroup S there exists such topologization, and in case of topological inverse semigroup S with minimal ideal or with H -closed right (left, two-sided) ideal, such topologization of semigroup BR(S,θ) is unique, exactly, it is so called the directed sum topology. 2008 Article Топологічні розширення Брака - Рейлі топологічних напівгруп / К.П. Павлик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 38-47. — Бібліогр.: 19 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7684 512.536 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Досліджуються напівгрупові топологізації розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп. Показано, що для кожної топологічної напівгрупи S така топологізація існує, а у випадку, коли S – топологічна інверсна напівгрупа з мінімальним ідеалом або S містить H -замкнений правий (лівий, двосторонній) ідеал, то така топологізація напівгрупи BR(S,θ) єдина, а саме, є так ваною топологією прямої суми.
format	Article
author	Павлик, К.П.
spellingShingle	Павлик, К.П. Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп
author_facet	Павлик, К.П.
author_sort	Павлик, К.П.
title	Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп
title_short	Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп
title_full	Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп
title_fullStr	Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп
title_full_unstemmed	Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп
title_sort	топологічні розширення брака – рейлі топологічних напівгруп
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7684
citation_txt	Топологічні розширення Брака - Рейлі топологічних напівгруп / К.П. Павлик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 38-47. — Бібліогр.: 19 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT pavlikkp topologíčnírozširennâbrakarejlítopologíčnihnapívgrup
first_indexed	2025-07-02T10:28:14Z
last_indexed	2025-07-02T10:28:14Z
_version_	1836530631387906048
fulltext	ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 38–47. ÓÄÊ 512.536 К. П. Павлик ТОПОЛОГІЧНІ РОЗШИРЕННЯ БРАКА – РЕЙЛІ ТОПОЛОГІЧНИХ НАПІВГРУП Äîñë³äæóþòüñÿ íàï³âãðóïîâ³ òîïîëîã³çàö³¿ ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåéë³ òîïîëî- ã³÷íèõ íàï³âãðóï. Ïîêàçàíî, ùî äëÿ êîæíî¿ òîïîëîã³÷íî¿ íàï³âãðóïè S òàêà òîïîëîã³çàö³ÿ ³ñíóº, à ó âèïàäêó, êîëè S – òîïîëîã³÷íà ³íâåðñíà íàï³âãðóïà ç ì³í³ìàëüíèì ³äåàëîì àáî S ì³ñòèòü H -çàìêíåíèé ïðàâèé (ë³âèé, äâîñòîðîí- í³é) ³äåàë, òî òàêà òîïîëîã³çàö³ÿ íàï³âãðóïè ( , )BR S θ ºäèíà, à ñàìå, º òàê çâàíîþ òîïîëîã³ºþ ïðÿìî¿ ñóìè. Òåðì³íîëîã³ÿ, îçíà÷åííÿ ³ ïîçíà÷åííÿ òàê³, ÿê ó ìîíîãðàô³ÿõ [5, 7, 11]. Óñ³ òîïîëîã³÷í³ ïðîñòîðè, ùî ðîçãëÿäàþòüñÿ äàë³, ââàæàºìî ãàóñäîðôîâèìè. ×åðåç N ïîçíà÷èìî ìíîæèíó âñ³õ íåâ³ä’ºìíèõ ö³ëèõ ÷èñåë, à ÷åðåç  – ìíîæèíó íàòóðàëüíèõ ÷èñåë. ßêùî S – íàï³âãðóïà, òî ÷åðåç ( )E S ïîçíà÷à- òèìåìî ï³äìíîæèíó ³äåìïîòåíò³â S , à ÷åðåç 1S – íàï³âãðóïó S ç ïðèºäíà- íîþ îäèíèöåþ. Â àëãåáðà¿÷í³é òåîð³¿ íàï³âãðóï âàæëèâó ðîëü â³ä³ãðàþòü ïðîñò³ íàï³â- ãðóïè. Â³äîì³ ð³çí³ êîíñòðóêö³¿ çàíóðåííÿ íàï³âãðóï ó ïðîñò³, çîêðåìà, êîí- ñòðóêö³ÿ Áðàêà çàíóðåííÿ äîâ³ëüíî¿ íàï³âãðóïè ó ïðîñòó íàï³âãðóïó ç îäè- íèöåþ [10]. Ïî÷èíàþ÷è ç 60-õ ðîê³â ÕÕ ñò. Ð. Óîðí òà ³íø³ ïî÷àëè âèêîðèñ- òîâóâàòè á³öèêë³÷íó íàï³âãðóïó òà ¿¿ óçàãàëüíåííÿ äëÿ âèâ÷åííÿ òàêèõ êëà- ñ³â íàï³âãðóï. Ó 1997 ðîö³ Ð. Óîðí ïîáóäóâàâ á³öèêë³÷íå ðîçøèðåííÿ íàï³â- ãðóïè ³ äîâ³â, ùî íàï³âãðóïà S ³çîìîðôíà á³öèêë³÷íîìó ðîçøèðåííþ ñê³í- ÷åííîãî ëàíöþãà ãðóï òîä³ é ò³ëüêè òîä³, êîëè âîíà º ïðîñòîþ ïðàâîþ ω -íà- ï³âãðóïîþ [19]. ×àñòêîâèì âèïàäêîì á³öèêë³÷íîãî ðîçøèðåííÿ º ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåéë³, çà äîïîìîãîþ ÿêîãî îïèñàíî êëàñè ïðîñòèõ ³ á³ïðîñòèõ ω -íà- ï³âãðóï [6, 14]. Òîïîëîã³÷í³ âëàñòèâîñò³ á³öèêë³÷íî¿ íàï³âãðóïè, ÿê òîïîëîã³÷- íî¿ àáî íàï³âòîïîëîã³÷íî¿, äîñë³äæóâàëè Ê. Åáåðãàðä ³ Äæ. Ñåëäåí [12], à òà- êîæ Ì. Î. Áåðòìàí òà Ò. Ò. Âåñò [9]. À. Ñåëäåí äîñë³äæóâàëà á³ïðîñò³ ω -íà- ï³âãðóïè ó ëîêàëüíî êîìïàêòíèõ íàï³âãðóïàõ ³ âèâ÷àëà ¿õ çàìèêàííÿ ó öèõ ïðîñòîðàõ [15–18]. Íàï³âãðóïîþ íàçèâàþòü íåïîðîæíþ ìíîæèíó ³ç çàäàíîþ íà í³é á³íàð- íîþ àñîö³àòèâíîþ îïåðàö³ºþ. Íàï³âãðóïîâó îïåðàö³þ íàçèâàòèìåìî «ìíî- æåííÿì». Íàï³âãðóïó S íàçèâàþòü ³íâåðñíîþ, ÿêùî äëÿ äîâ³ëüíîãî x S∈ ³ñíóº ºäèíèé åëåìåíò y â S òàêèé, ùî xyx x= ³ yxy y= . Ó öüîìó âèïàä- êó åëåìåíò y íàï³âãðóïè S íàçèâàþòü ³íâåðñíèì äî x ³ ïîçíà÷àþòü 1x− . ßêùî S – ³íâåðñíà íàï³âãðóïà, òî â³äîáðàæåííÿ, ÿêå ñòàâèòü ó â³äïîâ³ä- í³ñòü åëåìåíòó x ç S ³íâåðñíèé äî x åëåìåíò, íàçèâàþòü ³íâåðñ³ºþ. Òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà – öå ãàóñäîðôîâèé òîïîëîã³÷íèé ïðîñò³ð ³ç çà- äàíîþ íà íüîìó íåïåðåðâíîþ íàï³âãðóïîâîþ îïåðàö³ºþ. Òîïîëîã³÷íà ³íâåðñ- íà íàï³âãðóïà – öå òîïîëîã³÷íèé ïðîñò³ð ³ç çàäàíîþ íà íüîìó íåïåðåðâíîþ íàï³âãðóïîâîþ îïåðàö³ºþ òà íåïåðåðâíîþ ³íâåðñ³ºþ. Îçíà÷åííÿ 1. Íåõàé S – ìîíî¿ä, : ( )S G Sθ → – ãîìîìîðô³çì ç S ó ãðóïó îäèíèöü ( )G S ìîíî¿äà S . Ìíîæèíà N S N× × ³ç íàï³âãðóïîâîþ îïå- ðàö³ºþ ( , , ) ( , , ) ( , , )t n t pm a n p b q m n t a b q p t− −∗ = − + θ ⋅ θ − + , äå max ( , )t n p= , 0θ – òîòîæíå â³äîáðàæåííÿ íà S , óòâîðþº íàï³âãðóïó, ùî íàçèâàºòüñÿ ðîçøèðåííÿì Áðàêà – Ðåéë³ ìîíî¿äà S ³ç âèçíà÷àëüíèì ãîìî- ìîðô³çìîì θ ³ ïîçíà÷àºòüñÿ ( , )BR S θ . Á³ëüø äåòàëüíî, íàï³âãðóïîâà îïåðà- ö³ÿ íà ( , )BR S θ îçíà÷óºòüñÿ òàê: Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп 39 ( , , ), , ( , , ) ( , , ) ( , , ), , ( , , ), . n p p n m a b q n p m a n p b q m a b q n p n p m p n a b q n p − − ⋅ = ∗ = ⋅ θ + − >  + − θ ⋅ < Öÿ êîíñòðóêö³ÿ º óçàãàëüíåííÿì êîíñòðóêö³é Áðàêà [10], Ðåéë³ [14] ³ Ìàííà [13], ÿê³ âèêîðèñòîâóâàëè ¿õ äëÿ ïîáóäîâè çàíóðåííÿ äîâ³ëüíî¿ íà- ï³âãðóïè ó ïðîñòèé ìîíî¿ä òà îïèñó ïåâíèõ êëàñ³â ³íâåðñíèõ íàï³âãðóï. Ó âèðîäæåíîìó âèïàäêó, êîëè S e= { } , ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåéë³ ( , )BR S θ º á³öèêë³÷íîþ íàï³âãðóïîþ ( , )p q . Ó á³ëüø çàãàëüíîìó âèïàäêó, êîëè G – ãðóïà ³ θ – äîâ³ëüíèé åíäîìîðô³çì ãðóïè G , íàï³âãðóïà ( , )BR G θ º á³ïðîñ- òîþ ω -ðåãóëÿðíîþ íàï³âãðóïîþ. ßêùî : S eθ → { } – àíóëþþ÷èé ãîìîìîð- ô³çì, òî ( , )BR S θ – íàï³âãðóïà Áðàêà. Íàï³âãðóïà ( , )BR S θ º ïðîñòèì ìîíî¿äîì ç îäèíèöåþ (0,1,0) , äå 1 – îäè- íèöÿ ìîíî¿äà S . Â³äîáðàæåííÿ, îçíà÷åíå (0, ,0)a a , º âêëàäåííÿì íàï³â- ãðóïè S ó ( , )BR S θ . ßêùî σ – åíäîìîðô³çì ìîíî¿äà S , ùî â³äîáðàæàº S íà e{ } , òî ìîíî¿ä ( , )BR S θ – ïðîñòèé. Òàêèì ÷èíîì, äîâ³ëüíà íàï³âãðóïà S çàíóðþºòüñÿ ó ïðîñòèé ìîíî¿ä ( , )BR S θ . Íàï³âãðóïà ( , )BR S θ ðåãóëÿðíà (³í- âåðñíà) òîä³ é ò³ëüêè òîä³, êîëè íàï³âãðóïà S ðåãóëÿðíà (³íâåðñíà). ßêùî S – ³íâåðñíà íàï³âãðóïà, òî 1 1( , , ) ( , , )m a n n a m− −= äëÿ äîâ³ëüíèõ ,m n N∈ , a S∈ . ²äåìïîòåíòàìè íàï³âãðóïè ( , )BR S θ º åëåìåíòè âèãëÿäó ( , , )m a m , äå ( )a E S∈ , m N∈ . Çàäà÷à òîïîëîã³çàö³¿ íàï³âãðóïè Áðàêà äîñë³äæóâàëàñü ó ðîáîòàõ [1–4]. Çîêðåìà, â [1] áóëî âêàçàíî óìîâè, êîëè íà íàï³âãðóï³ Áðàêà ³ñíóº ëèøå òî- ïîëîã³ÿ ïðÿìî¿ ñóìè. Ç âèêîðèñòàííÿì êîíñòðóêö³¿ Áðàêà â [1–4] áóëî çà- ïðîïîíîâàíî êîíñòðóêö³¿ çàíóðåííÿ òîïîëîã³÷íèõ íàï³âãðóï ó ïðîñò³, ïðîñò³ çâ’ÿçí³ òà ïðîñò³ ë³í³éíî çâ’ÿçí³ òîïîëîã³÷í³ íàï³âãðóïè. Ó ö³é ðîáîò³ äîñë³ä- æóºìî íàï³âãðóïîâó òîïîëîã³çàö³þ ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåéë³ òîïîëîã³÷íèõ íàï³âãðóï. Ïîêàæåìî, ùî äëÿ êîæíî¿ òîïîëîã³÷íî¿ íàï³âãðóïè S òàêà òîïî- ëîã³çàö³ÿ ³ñíóº, à ó âèïàäêó, êîëè S – òîïîëîã³÷íà ³íâåðñíà íàï³âãðóïà ç ì³í³ìàëüíèì ³äåàëîì àáî S ì³ñòèòü H -çàìêíåíèé ïðàâèé (ë³âèé, äâîñòî- ðîíí³é) ³äåàë, òî òàêà òîïîëîã³çàö³ÿ íàï³âãðóïè ( , )BR S θ ºäèíà, à ñàìå, º òàê çâàíîþ òîïîëîã³ºþ ïðÿìî¿ ñóìè. Íåõàé ( , )S τ – äîâ³ëüíà òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà,  – áàçà òîïîëîã³¿ τ íà S , 1S – îäèíèöÿ íàï³âãðóïè S . ßêùî S íå ì³ñòèòü îäèíèö³, òî áóäåìî ââàæàòè, ùî äî S îäèíèöÿ ïðèºäíàíà ÿê ³çîëüîâàíà òî÷êà. Íà íàï³âãðóï³ ( , )BR S θ îçíà÷èìî òîïîëîã³þ ∗τ òàêèì ÷èíîì. Ñ³ì’ÿ ( , , ) \| , ,BR m U n U m n N= ∈ ∈ { } ï³äìíîæèí â ( , )BR S θ çàäîâîëüíÿº óìîâè (Â1)–(Â2) [7], à, îòæå, BR – áàçà òîïîëîã³¿ ∗τ íà íàï³âãðóï³ ( , )BR S θ . Ïîêàæåìî, ùî ∗τ – íàï³âãðóïîâà òîïîëîã³ÿ íà ( , )BR G θ . Íåõàé ,a b – äîâ³ëüí³ åëåìåíòè ç S . Ç íåïåðåðâíîñò³ ìíîæåííÿ íà ( , )S τ âèïëèâàº, ùî äëÿ äîâ³ëüíîãî â³äêðèòîãî îêîëó ( )U ab åëåìåíòà ab â S ³ñíóþòü â³äêðèò³ îêîëè 1 ( )U a , 2 ( )U b åëåìåíò³â ,a b â S â³äïîâ³äíî òàê³, ùî 1 2 ( ) ( ) ( )U a U b U ab⋅ ⊆ . Íåõàé ( , , )m a n , ( , , )p b q – äîâ³ëüí³ åëåìåíòè íàï³âãðóïè ( , )BR S θ . Ðîç- ãëÿíåìî ìîæëèâ³ âèïàäêè. 1°. ßêùî n p= , òî ( , , ) ( , , ) ( , , )m a n p b q m ab q∗ = . Òîä³ 1 2 1 2( , ( ), ) ( , ( ), ) ( , ( ) ( ), ) ( , ( ), )m U a n p U b q m U a U b q m U ab q∗ = ⋅ ⊆ . 40 К. П. Павлик 2°. ßêùî n p> , òî ( , , ) ( , , ) ( , , )n pm a n p b q m ab q n p−∗ = θ + − . Íåõàé 2 ( )n pU b −θ – äîâ³ëüíèé â³äêðèòèé îê³ë òî÷êè n pb −θ . Òîä³ ç íåïåðåðâíîñò³ ãî- ìîìîðô³çìó θ âèïëèâàº, ùî äëÿ äîâ³ëüíîãî â³äêðèòîãî îêîëó 2 ( )n pU b −θ òî÷- êè n pb −θ ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë 2 ( )U b∗ òî÷êè b òàêèé, ùî 2 ( ( )) n pU b∗ −θ ⊆ 2 ( )n pU b −⊆ θ . Òîìó 1 12 2 ( , ( ), ) ( , ( ), ) ( , ( ) ( ( )) , )n pm U a n p U b q m U a U b q n p∗ ∗ −∗ ⊆ ⋅ θ + − ⊆ 1 2( , ( ) ( ), ) ( , ( ), )n p n pm U a U b q n p m U a b q n p− −⊆ ⋅ θ + − ⊆ ⋅ θ + − . 3°. ßêùî n p< , òî ( , , ) ( , , ) ( , , )p nm a n p b q m p n a b q−∗ = + − θ ⋅ . ßêùî 1 ( )p nU a −θ – äîâ³ëüíèé â³äêðèòèé îê³ë òî÷êè p na −θ , òî ç íåïåðåðâíîñò³ ãî- ìîìîðô³çìó θ âèïëèâàº, ùî äëÿ äîâ³ëüíîãî â³äêðèòîãî îêîëó 1 ( )p nU a −θ òî÷- êè p na −θ ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë 1 ( )U a∗ òî÷êè a òàêèé, ùî 1 ( ) p nU a∗ −θ ⊆ 1 ( )p nU a −⊆ θ . Òîìó 1 2 21 ( , ( ), ) ( , ( ), ) ( , ( ( )) ( ), )p nm U a n p U b q m p n U a U b q∗ −∗ ⊆ + − θ ⋅ ⊆ 21 ( , ( ) ( ), ) ( , ( ), )p n p nm p n U a U b q m p n U a b q− −⊆ + − θ ⋅ ⊆ + − θ . Îòæå, ( ( , ), )BR S ∗θ τ – òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà. Íåõàé ( , )S τ – òîïîëîã³÷íà ³íâåðñíà íàï³âãðóïà. Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíîãî åëåìåíòà a ç S òà äîâ³ëüíîãî â³äêðèòîãî îêîëà 1( )U a− åëåìåíòà 1a− ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë ( )V a åëåìåíòà a â S òàêèé, ùî 1 1( ( )) ( )V a U a− −⊆ . Òîìó äëÿ äîâ³ëüíîãî â³äêðèòîãî îêîëó 1( , ( ), )m U a n− ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë ( , ( ), )n V a m òàêèé, ùî 1 1 1( , ( ), ) ( , ( ) , ) ( , ( ) , )n V a m m V a n m U a n− − −= ⊆ . Òàêèì ÷èíîì, äîâåäåíî Òâåðäæåííÿ 1. ßêùî ( , )S τ – òîïîëîã³÷íà (³íâåðñíà) íàï³âãðóïà, òî ( ( , ), )BR S ∗θ τ – òîïîëîã³÷íà (³íâåðñíà) íàï³âãðóïà. Íåõàé ( , )S d – ìåòðèçîâíà òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà ³ ìåòðèêà d ïî- ðîäæóº òîïîëîã³þ τ íà S . Îçíà÷èìî íà ( , )BR S θ ìåòðèêó d∗ òàê: (( , , ), ( , , )) ( , )d m a n p b q d a b m p n q∗ = + − + − . Öÿ ìåòðèêà, î÷åâèäíî, ïîðîäæóº ðàí³øå ïîáóäîâàíó òîïîëîã³þ ∗τ íà íàï³âãðóï³ ( , )BR S θ . Òàêèì ÷èíîì, âèêîíóºòüñÿ Íàñë³äîê 1. ßêùî ( , )S d – ìåòðèçîâíà òîïîëîã³÷íà (³íâåðñíà) íàï³â- ãðóïà, òî ( ( , ), )BR S d∗θ – ìåòðèçîâíà òîïîëîã³÷íà (³íâåðñíà) íàï³âãðóïà. Çàóâàæèìî, ùî òâåðäæåííÿ 1 òà íàñë³äîê 1 º óçàãàëüíåííÿì òåîðåìè 1 òà òâåðäæåííÿ ç ðîáîòè [1]. Íàñë³äîê 2. Íàï³âãðóïà ( , )S τ º â³äêðèòî-çàìêíåíîþ ï³äíàï³âãðóïîþ òîïîëîã³÷íî¿ íàï³âãðóïè ( ( , ), )BR S ∗θ τ , ïðè÷îìó ïðîñò³ð ( ( , ), )BR S ∗θ τ – ãî- ìåîìîðôíèé äåêàðòîâîìó äîáóòêó N S N× × , äå N – çë³÷åííèé äèñêðåò- íèé ïðîñò³ð. Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп 41 Ãîìåîìîðô³çì : ( , )BR S N S Nϕ θ → × × îçíà÷èìî òàê: (( , , )) ( , , )m a n m a nϕ = . Íåõàé AXα α∈{ } – ñ³ì’ÿ äèç’þíêòíèõ òîïîëîã³÷íèõ ïðîñòîð³â. Ìíîæèíó \|X X Aα= α ∈{ } ç òîïîëîã³ºþ \|U X U Xατ = ⊂ { – â³äêðèòà â Xα äëÿ êîæíîãî Aα ∈ } íàçèâàþòü ñóìîþ ïðîñòîð³â \|X Aα α ∈{ } ³ ïîçíà÷àþòü \|X Aα⊕ α ∈{ } . Òîïîëîã³þ τ íàçèâàþòü òîïîëîã³ºþ ïðÿìî¿ ñóìè íà X [7]. Çàóâàæèìî, ùî òîïîëîã³ÿ ∗τ íà ( , )BR S θ çàäîâîëüíÿº îçíà÷åííÿ òîïî- ëîã³¿ ïðÿìî¿ ñóìè ³ òîìó ∗τ íàäàë³ áóäåìî íàçèâàòè òîïîëîã³ºþ ïðÿìî¿ ñóìè íà ( , )BR S θ . Íåõàé S – íàï³âãðóïà. Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíèõ ,m n N∈ ³ A S⊆ ïîçíà÷è- ìî , ( , , ) \|m nS m a n a S= ∈{ } ³ , ( , , ) \|m nA m a n a A S= ∈ ⊆{ } . Îçíà÷åííÿ 2. Íåõàé  – êëàñ òîïîëîã³÷íèõ íàï³âãðóï ³ ( , )S τ ∈  . ßêùî BRτ – òîïîëîã³ÿ íà ( , )BR S θ òàêà, ùî (³) ( ( , ), )BRBR S θ τ ∈  , (³³) , \| m mBR Sτ = τ äëÿ äåÿêîãî m N∈ , òî ( ( , ), )BRBR S θ τ íàçèâàºìî òîïîëîã³÷íèì ðîçøèðåííÿì Áðàêà – Ðåéë³ òî- ïîëîã³÷íî¿ íàï³âãðóïè ( , )S τ ó êëàñ³  . ßêùî  ñï³âïàäàº ç êëàñîì óñ³õ òî- ïîëîã³÷íèõ íàï³âãðóï, òî ( ( , ), )BRBR S θ τ íàçèâàºìî òîïîëîã³÷íèì ðîçøèðåí- íÿì Áðàêà – Ðåéë³ íàï³âãðóïè ( , )S τ . Çàóâàæèìî, ùî ç òâåðäæåííÿ 1 âèïëèâàº, ùî äëÿ äîâ³ëüíî¿ òîïîëîã³÷- íî¿ (³íâåðñíî¿) íàï³âãðóïè ( , )S τ ³ñíóº òîïîëîã³÷íå ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåé- ë³ íàï³âãðóïè ( , )S τ (ó êëàñ³ òîïîëîã³÷íèõ ³íâåðñíèõ íàï³âãðóï), à ñàìå ( ( , ), )BR S ∗θ τ , äå ∗τ – òîïîëîã³ÿ ïðÿìî¿ ñóìè íà ( , )BR S θ . Íàäàë³ ( , )S τ – òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà ³ ( ( , ), )BRBR S θ τ – òîïîëîã³÷íå ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåéë³ íàï³âãðóïè ( , )S τ . Òâåðäæåííÿ 2. Äëÿ äîâ³ëüíèõ , , ,i j m n N∈ òîïîëîã³÷í³ ï³äïðîñòîðè ,i jS òà ,m nS ãîìåîìîðôí³, à ,i iS òà ,m mS – òîïîëîã³÷íî ³çîìîðôí³ ï³äíà- ï³âãðóïè â ( ( , ), )BRBR S θ τ . Ä î â å ä å í í ÿ. Çàô³êñóºìî , , ,i j m n N∈ . Îçíà÷èìî â³äîáðàæåííÿ , , : ( , ) ( , )m n i j BR S BR Sϕ θ → θ òà , , : ( , ) ( , )i j m n BR S BR Sψ θ → θ ôîðìóëàìè: , , ( ) ( ,1 , ) ( ,1 , )m n i j S S s m i s j nϕ = ∗ ∗ òà , , ( ) ( ,1 , ) ( ,1 , )i j m n S S s i m s n jψ = ∗ ∗ , äå ( , )s BR S∈ θ . Â³äîáðàæåííÿ , , m n i j ϕ òà , , i j m n ψ º íåïåðåðâíèìè ÿê êîìïîçèö³¿ çñóâ³â ó òîïîëîã³÷í³é íàï³âãðóï³ ( ( , ), )BRBR S θ τ . Ïîêàæåìî, ùî çâóæåííÿ , , , i j m n Si j ϕ òà , , , m n i j Sm n ψ º ãîìåîìîðô³çìàìè. Î÷åâèäíî, ùî , , , , ( ( ))i j m n m n i j s sψ ϕ = ³ , , , , ( ( ))m n i j i j m n s sϕ ψ = äëÿ äîâ³ëüíèõ , , ,i j m n N∈ ³ ( , )s BR S∈ θ , à îòæå, , , , , , , 1\| ( ) \| i j i j m n i j S Si j m n −ϕ = ψ . Îñê³ëüêè â³äîáðàæåííÿ , , m n i j ϕ ³ , , i j m n ψ º íåïåðåðâíèìè íà ( , )BR S θ , òî , , , \| i j m n Si j ϕ – ãîìåîìîðô³çì, ùî ïåðåâîäèòü åëåìåíòè ìíîæè- íè ,i jS â åëåìåíòè ìíîæèíè ,m nS . Ó âèïàäêó ï³äíàï³âãðóï ,i iS òà ,m mS â³äîáðàæåííÿ , , , \| i i m n Si i ϕ º ³çîìîðô³çìîì, à îòæå, ,i iS òà ,m mS – òîïîëîã³÷íî ³çîìîðôí³ ï³äíàï³âãðóïè â ( ( , ), )BRBR S θ τ . ◊ 42 К. П. Павлик Òâåðäæåííÿ 3. Íåõàé ,( ( ))k mG S – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà â ( , )BR S θ äëÿ äåÿêèõ ,k m N∈ . Òîä³ ,( ( ))i jG S – çàìêíåí³ ï³äïðîñòîðè â ( , )BR S θ äëÿ âñ³õ i k≤ , j m≤ , ,i j N∈ . Ä î â å ä å í í ÿ. Îçíà÷èìî â³äîáðàæåííÿ , , ( ) ( ,1 , ) ( ,1 , )k m i j S S x k i x j mϕ = ∗ ∗ . Öå â³äîáðàæåííÿ º íåïåðåðâíèì ÿê êîìïîçèö³ÿ çñóâ³â ó òîïîëîã³÷í³é íàï³â- ãðóï³ ( ( , ), )BRBR S θ τ ³ ïåðåâîäèòü ëèøå åëåìåíòè ìíîæèíè ,i jS â åëåìåíòè ìíîæèíè ,k mS . Òîìó , 1 , ,, ( ) (( ( )) ) ( ( ))k m k m i ji j G S G S−ϕ = , äå i k≤ , j m≤ , ,i j N∈ . Îñê³ëüêè ,( ( ))k mG S – çàìêíåíà ìíîæèíà, òî ,( ( ))i jG S – çàìêíåíèé ï³äïðî- ñò³ð äëÿ âñ³õ i k≤ , j m≤ , ,i j N∈ . ◊ Ëåìà 1. Äëÿ äîâ³ëüíîãî åëåìåíòà , ( , )i is S BR S∈ ⊂ θ , i N∈ , ³ñíóº â³ä- êðèòèé îê³ë ( )U s òàêèé, ùî , , 1 ( ) i j k j k U s S = ⊂  . Ä î â å ä å í í ÿ. Ðîçãëÿíåìî â³äîáðàæåííÿ ( ) : ( , ) ( , )h x BR S BR Sθ → θ òà ( ) : ( , ) ( , )g x BR S BR Sθ → θ îçíà÷åí³ ôîðìóëàìè: ( )h x x e= ∗ òà ( )g x = f x= ∗ , äå ( 1;1 ; 1) S e j j= + + , ( 1;1 ; 1) S f i i= + + . Çà òâåðäæåííÿì 1.7 ç [11] äëÿ äîâ³ëüíîãî ( )e E S∈ ìíîæèíè eS òà Se çàìêíåí³, òîìó ( ) ( )h S g S – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà íàï³âãðóïè ( , )BR S θ . ßêùî ( )W s – â³äêðèòèé îê³ë åëåìåíòà s , òî îê³ë ( ) ( ) \ ( ( ) ( ))U s W s h S g S=   – øóêàíèé. ◊ Ëåìà 2. Íåõàé , ( ( )) i j G S – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà â ( , )BR S θ äëÿ äåÿêèõ ,i j N∈ . Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíîãî åëåìåíòà , ( , )i is S BR S∈ ⊂ θ ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë ( )U s òàêèé, ùî , 0 ( ) i k k k U s S = ⊂  . Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ( )O s – îê³ë åëåìåíòà s òàêèé, ùî , ( ) m n O s S ≠ ≠ ∅ äëÿ äåÿêèõ ,m n N∈ , m n≠ . Ðîçãëÿíåìî â³äîáðàæåííÿ : ( , )BR Sϕ θ → ( , )BR S→ θ îçíà÷åíå ( ) ( ,1 , ) S x m n m n xϕ = + + ∗ . ßêùî , ( ) m n t O s S∈  , òî 1( , , )t m t n= , äå 1t S∈ , ³ 1 1 ( ) ( ,1 , ) ( , , ) ( , ,2 )n S t m n m n m t n m n t nϕ = + + ∗ = + θ . Ìíîæèíà 1 , 1 (( , ,2 ))n m n m n t n−Φ = ϕ + θ çàìêíåíà â ( , )BR S θ , ÿê ïîâíèé ïðîîáðàç çàìêíåíî¿ ìíîæèíè , ( ( )) m n G S ïðè íåïåðåðâíîìó â³äîáðàæåíí³. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç A ñê³í÷åííó ñ³ì’þ ìíîæèí âèãëÿäó ,m nΦ , , ,m n N m∈ ≠ n≠ , òàêèõ, ùî , ( ) m n O s S ≠ ∅ . Òîä³ ( ) ( ) \V s O s A=  – â³äêðèòèé îê³ë òî÷- êè ,i i s S∈ , ùî ïåðåòèíàº ëèøå ìíîæèíè âèãëÿäó ,k k S , k N∈ . ◊ Ëåìà 3. Íåõàé , ( ( )) i j G S – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà â ( , )BR S θ äëÿ äåÿêèõ ,i j N∈ . Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíèõ i N∈ òà ,i i x S∈ ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë (( , , ))U i x i òàêèé, ùî , 1, 1 (( , , )) i i i i U i x i S S − − ⊂  . Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé (( , , ))V i x i – â³äêðèòèé îê³ë åëåìåíòà ( , , )i x i , ùî çàäîâîëüíÿº óìîâè ëåìè 2. Îçíà÷èìî íåïåðåðâíå â³äîáðàæåííÿ Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп 43 : ( , ) ( , )h BR S BR Sθ → θ íàñòóïíèì ÷èíîì: ( ) ( 1,1 , 1) S h t t i i= ∗ − − . Îñê³ëüêè çà òâåðäæåííÿì 3, , ( ( )) i i G S – çàìêíåíèé ï³äïðîñò³ð äëÿ äîâ³ëüíîãî i N∈ , òî 1 , (( , , )) (( , , )) \ (( 1, ( ( )) , 1)) i i U i x i V i x i h i G S i−= − − – øóêàíèé îê³ë. ◊ Ëåìà 4. Íåõàé , ( ( )) i j G S – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà â ( , )BR S θ äëÿ äåÿêèõ ,i j N∈ . Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíèõ ,k p ∈  ³ äëÿ êîæíîãî , , \ ( ( )) k p k p s S G S∈ ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë , ( ) k p U s S⊂ . Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ( )V s – â³äêðèòèé îê³ë, ùî çàäîâîëüíÿº óìîâè ëåìè 2. Îçíà÷èìî íåïåðåðâíå â³äîáðàæåííÿ : ( , ) ( , )BR S BR Sθ → θ òàêèì ÷èíîì: ( ) ( ,1 , ) S x x i i= ∗ . Îñê³ëüêè çà òâåðäæåííÿì 3 ìíîæèíà , ( ( )) i i G S – çàìêíåíà, òî â³äêðèòèé îê³ë 1 ,( ) ( ) \ (( , ( ( )) , ))i iU s V s i G S i−=  – øóêàíèé. ◊ Ëåìà 5. Íåõàé , ( ( )) i j G S – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà â ( , )BR S θ äëÿ äåÿêèõ ,i j N∈ . Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíèõ ,k p ∈  ³ äëÿ êîæíîãî , , \ ( ( )) k p k p s S G S∈ ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë , 1, 1 ( ) k p k p U s S S − − ⊂  . Ä î â å ä å í í ÿ. Ïðèïóñòèìî, ùî k p> . Ó âèïàäêó k p< äîâåäåííÿ àíàëîã³÷íå. Çà ëåìîþ 3 äëÿ òî÷êè ( , , )k s k ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë (( , , ))U k s k ⊂ , 1, 1k k k k S S − − ⊂  . Ðîçãëÿíåìî â³äîáðàæåííÿ : ( , ) ( , )h BR S BR Sθ → θ îçíà÷åíå ( ) (0,1 , ) S h x x k p= ∗ − . Îê³ë 1( )W h U−= – øóêàíèé. ◊ Ëåìà 6. Íåõàé , ( ( )) i j G S çàìêíåíà ìíîæèíà â ( , )BR S θ äëÿ äåÿêèõ ,i j ∈ N∈ . Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíîãî åëåìåíòà , , \ ( ( )) k p k p s S G S∈ íàï³âãðóïè ( , )BR S θ ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë , ( ) k p U s S⊂ . Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ( )V s – â³äêðèòèé îê³ë òî÷êè ,ks S∈  , ùî çàäî- âîëüíÿº óìîâè ëåìè 2. Îñê³ëüêè ìíîæèíà ,( ( ))i jG S – çàìêíåíà, òî çà òâåð- äæåííÿì 3, 0,0 ( ( ))G S – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà ó ( , )BR S θ . Â³äîáðàæåííÿ : ( , ) ( , ) k r BR S BR Sθ → θ , îçíà÷åíå ôîðìóëîþ ( ) ( ,1 ,0) k S r x x k= ∗ , º íåïåðåðâ- íèì, à îòæå, ìíîæèíà 1 1 0,0 0, (( ( )) ) (0, , ) \| ; 0,1, , 1 ( ( ))kA r G S s s S p G S−= = ∈ = −   { } { } çàìêíåíà, ÿê ïîâíèé ïðîîáðàç çàìêíåíî¿ ìíîæèíè ïðè íåïåðåðâíîìó â³äîá- ðàæåíí³. Àíàëîã³÷íî, îñê³ëüêè â³äîáðàæåííÿ : ( , ) ( , )BR S BR Sλ θ → θ îçíà- ÷åíå ÿê ( ) (0;1 ; ) S x xλ = ∗  º íåïåðåðâíèì, òî ï³äìíîæèíà 1 1( ) ( , , ) \| , 0,1, ,B A m s n s S m k−= λ = ∈ =  ({ ; , ,0,1, , \ ( ( ))k kn S G S=   } ) { } çàìêíåíà â ( , )BR S θ . Òîä³ îê³ë ( ) ( ) \U s V s B= – øóêàíèé. ◊ Ç ëåì 5 ³ 6 âèïëèâàº Òåîðåìà 1. Íåõàé ( , )S τ – òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà, ( ( , ), )BR S θ τ – òî- ïîëîã³÷íå ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåéë³ íàï³âãðóïè ( , )S τ òàêå, ùî ìíîæèíà , ( ( )) i j G S çàìêíåíà â ( ( , ), )BR S θ τ äëÿ äåÿêèõ ,i j N∈ . Òîä³ äëÿ äîâ³ëüíîãî åëåìåíòà s â ,, ( , ) \ ( ( ))i ji j BR S G S ∈ θ  áàçà òîïîëîã³¿ τ â òî÷ö³ s ñï³âïà- äàº ç áàçîþ òîïîëîã³¿ ïðÿìî¿ ñóìè ∗τ íà íàï³âãðóï³ ( , )BR S θ . 44 К. П. Павлик Òåîðåìà 2. Íåõàé ( , )S τ – òîïîëîã³÷íèé ³íâåðñíèé ìîíî¿ä, ( ( , ), ) BR BR S θ τ – òîïîëîã³÷íå ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåéë³ íàï³âãðóïè ( , )S τ â êëàñ³ òîïîëî- ã³÷íèõ ³íâåðñíèõ íàï³âãðóï ³ ìîíî¿ä S ì³ñòèòü ì³í³ìàëüíèé ³äåìïîòåíò. Òîä³ BRτ – òîïîëîã³ÿ ïðÿìî¿ ñóìè íà ( , )BR S θ . Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ( , , )s i s j= – äîâ³ëüíèé åëåìåíò íàï³âãðóïè ( , )BR S θ ³ 0 e – ì³í³ìàëüíèé ³äåìïîòåíò íàï³âãðóïè S . Îçíà÷èìî 0, 1ie − = 0( 1, , 1)i e i= − − ³ 0, 1 0( 1, , 1)je j e j− = − − . Òîä³ 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1( ( , )) \|i i i ie f E BR S fe e f e− − − −↑ = ∈ θ = ={ } , 0, 1 0, 1 0, 1 0, 1( ( , )) \|j j j je f E BR S fe e f e− − − −↑ = ∈ θ = ={ } º çàìêíåíèìè ï³äìíîæèíàìè â ( ( , ))E BR S θ ç ³íäóêîâàíîþ òîïîëîã³ºþ ç ( ( , ), ) BR BR S θ τ . Îñê³ëüêè ( ( , ), ) BR BR S θ τ – òîïîëîã³÷íà ³íâåðñíà íàï³âãðóïà, òî â³äîáðà- æåííÿ , : ( , ) ( ( , ))BR S E BR Sϕ ψ θ → θ , îçíà÷åí³ ÿê 1( )x xx−ϕ = ³ 1( )x x x−ψ = º íåïåðåðâíèìè. À îòæå, 1 1 , 0, 1 0, 1( ) ( )i j i jA e e− − − −= ϕ ↑ ψ ↑ – çàìêíåíà ï³äìíî- æèíà â ( ( , ), ) BR BR S θ τ . Îñê³ëüêè â³äîáðàæåííÿ ϕ òà ψ – íåïåðåðâí³, òî êîæíà ìàêñèìàëüíà ï³äãðóïà â òîïîëîã³÷í³é ³íâåðñí³é íàï³âãðóï³ º çàìêíåíîþ ï³äìíîæèíîþ. Îò- æå, ³ñíóº ( )U s – îê³ë åëåìåíòà s , ùî çàäîâîëüíÿº óìîâè ëåìè 5. Îçíà÷èìî , ( ) ( ) \ i j V s U s A=  . Î÷åâèäíî, ùî , ( ) i j V s S⊆ , à îòæå, çà òâåðäæåííÿì 2, BRτ – òîïîëîã³ÿ ïðÿìî¿ ñóìè íà ( , )BR S θ . ◊ Òîïîëîã³÷íèé ïðîñò³ð X íàçèâàþòü H -çàìêíåíèì, ÿêùî äîâ³ëüíèé ãàóñäîðôîâèé ïðîñò³ð, ùî ì³ñòèòü X , ì³ñòèòü X ÿê çàìêíåíèé ï³äïðî- ñò³ð [7, 8]. Òåîðåìà 3. Íåõàé ( , )S τ – òîïîëîã³÷íèé ìîíî¿ä, ( ( , ), ) BR BR S θ τ – òîïî- ëîã³÷íå ðîçøèðåííÿ Áðàêà – Ðåéë³ íàï³âãðóïè S . Òîä³, ÿêùî âèêîíóºòüñÿ îäíà ç óìîâ: (³) S ì³ñòèòü H -çàìêíåíèé ïðàâèé (ë³âèé, äâîñòîðîíí³é) ³äåàë; (³³) S ì³ñòèòü êîìïàêòíèé ïðàâèé (ë³âèé, äâîñòîðîíí³é) ³äåàë; (³³³) S – êîìïàêòíà òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà, òî BRτ – òîïîëîã³ÿ ïðÿìî¿ ñóìè íà ( , )BR S θ . Ä î â å ä å í í ÿ. Ïðèïóñòèìî, ùî òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà S ì³ñòèòü H -çàìêíåíèé ïðàâèé ³äåàë I . Ì³ðêóâàííÿ ó âñ³õ ³íøèõ âèïàäêàõ º àíàëî- ã³÷íèìè. Ñïî÷àòêó ïîêàæåìî, ùî äëÿ äîâ³ëüíî¿ òî÷êè ( , , ) ( , )s i s i BR S= ∈ θ , i ∈  , 1s S∈ , ³ñíóº â³äêðèòèé îê³ë ( )U s òàêèé, ùî , ( ) i i U s S⊆ . Íåõàé ( )V s – äî- â³ëüíèé â³äêðèòèé îê³ë òî÷êè s . Îñê³ëüêè ( 1,1 , 1) ( , )Si i BR S+ + θ òà ( , )( 1,1 , 1)SBR S i iθ + + – çàìêíåí³ ï³äìíîæèíè â ( ( , ), )BRBR S θ τ , òî, íå çìåíøóþ÷è çàãàëüíîñò³, ìî- æåìî ââàæàòè, ùî ( ) ( , )( 1,1 , 1) ( 1,1 , 1) ( , )( )SS V s BR S i i i i BR Sθ + + + + θ = ∅   . Íåõàé 1, 1i it I − −∈ . Îçíà÷èìî íåïåðåðâíå â³äîáðàæåííÿ : ( , )BR Sα θ → ( , )BR S→ θ ôîðìóëîþ ( )x t xα = ∗ . Òîä³ 1 1, 1 1, 1( )i i i iA I I− − − − −= α = 1,1 1, 1i iS S − −=  – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà â ( ( , ), )BRBR S θ τ . Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп 45 Äàë³ äëÿ äîâ³ëüíîãî k N∈ îçíà÷èìî â³äîáðàæåííÿ : ( , ) k BR S θ → ( , )BR S→ θ ³ : ( , ) ( , ) k r BR S BR Sθ → θ ôîðìóëàìè ( ) (0;1 ; ) k S x k x= ∗ ³ ( ) ( ;1 ;0) k S r x x k= ∗ . Îñê³ëüêè â³äîáðàæåííÿ , k k r º íåïåðåðâíèìè, òî 1 1 1 ( ( ) ( )) i k kk B r A A− − = =    – çàìêíåíà ï³äìíîæèíà â ( ( , ), )BRBR S θ τ , à îòæå, , ( ) ( ) \ i i U s V s B S= ⊂  . Òà- êèì ÷èíîì, ,i i S – â³äêðèòà ìíîæèíà â ( ( , ), )BRBR S θ τ äëÿ äîâ³ëüíîãî i N∈ . Äàë³ ïîêàæåìî, ùî ,i j S – â³äêðèòà ï³äìíîæèíà â ( ( , ), )BRBR S θ τ äëÿ âñ³õ ,i j N∈ . ßêùî i j< , òî 1 , , , ( ) i j j i i i S r S−= – â³äêðèòà ï³äìíîæèíà â ( ( , ), )BRBR S θ τ , à ÿêùî i j> , òî , , ( ) i j i j j j S S − =  – â³äêðèòà ï³äìíîæèíà â ( ( , ), )BRBR S θ τ . Ç òâåðäæåííÿ 2 òà ç îçíà÷åííÿ 2 âèïëèâàº, ùî BRτ – òîïî- ëîã³ÿ ïðÿìî¿ ñóìè íà ( ( , ), )BRBR S θ τ . Äîâåäåííÿ äëÿ âèïàäêó óìîâè (³³) âèïëèâàº ç ï. (³). Äîâåäåííÿ äëÿ âèïàäêó óìîâè (³³³) âèïëèâàº ç ï. (³³). ◊ Çàóâàæåííÿ 1. Ç òåîðåìè 2 âèïëèâàº, ùî íà á³öèêë³÷í³é íàï³âãðóï³ ³ñíóº ò³ëüêè äèñêðåòíà íàï³âãðóïîâà òîïîëîã³ÿ (äèâ. [12]). Çàóâàæåííÿ 2. Çàóâàæèìî òàêîæ, ùî ó âèïàäêó, êîëè I – ë³âèé, ïðà- âèé ÷è äâîñòîðîíí³é ³äåàë òîïîëîã³÷íî¿ íàï³âãðóïè S , ùî º H -çàìêíåíîþ íàï³âãðóïîþ, òî âèêîíóþòüñÿ òâåðäæåííÿ òåîðåìè 3. Íàñòóïíèé ïðèêëàä ïîêàçóº, ùî ³ñíóâàííÿ ì³í³ìàëüíîãî ³äåìïîòåíòà â òîïîëîã³÷í³é ³íâåðñí³é íàï³âãðóï³ S – ñóòòºâà óìîâà. Ïðèêëàä 1 [1]. Íåõàé ([0;1),max)S = – íàï³âãðóïà ç ïðèðîäíîþ òîïî- ëîã³ºþ τ áåç ì³í³ìàëüíîãî ³äåìïîòåíòà. Ó òî÷êàõ âèãëÿäó ( ,1 , ) S m n , ,m n ∈ ∈  , íàï³âãðóïè ( , )BR S θ ïîñëàáèìî òîïîëîã³þ ∗τ äî íàï³âãðóïîâî¿ òàêèì ÷èíîì. Äëÿ âñ³õ ,m n ∈  íåõàé (( ,1 , )) ( , , ) ( 1, , 1) \| (1 ,1) \| S m n U m U n m x n xε= = − − ∈ − ε { }{ U – åëåìåíò áàçè òîïîëîã³¿ â òî÷ö³ 0 ³ (0,1)ε ∈ } – áàçà òîïîëîã³¿ 1τ íà ( , )BR S θ â òî÷êàõ ( ,1 , ) S m n , à â ³íøèõ òî÷êàõ áàçè òî- ïîëîã³é 1τ òà ∗τ ñï³âïàäàþòü. Î÷åâèäíî, ùî òîïîëîã³ÿ 1τ íà ( , )BR S θ º ñëàá- øîþ â³ä ∗τ .  Òàêîæ ç ïðèêëàäó 1 âèïëèâàº, ùî òåîðåìà 2 íå âèêîíóºòüñÿ äëÿ çàìê- íåíîãî ³äåàëó. Ïðèêëàä 2. Íåõàé + – äèñêðåòíà àäèòèâíà ãðóïà ö³ëèõ ÷èñåë. Íåõàé e +∉  . Íà S e+=   { } ïðîäîâæèìî íàï³âãðóïîâó îïåðàö³þ ç + òàê: ee = e= ³ ex xe x= = äëÿ âñ³õ x +∈  , ³ ââàæàòèìåìî, ùî e – ³çîëüîâàíà òî÷êà â S . Îòæå, S – äèñêðåòíà íàï³âãðóïà. Ó òî÷êàõ ( , , )m e n , ,m n ∈  , íàï³â- ãðóïè ( , )BR S θ ïîñëàáèìî òîïîëîã³þ ïðÿìî¿ ñóìè ∗τ äî íàï³âãðóïîâî¿ òîïî- ëîã³¿ τ òàêèì ÷èíîì. Äëÿ âñ³õ ,m n ∈  , ïîêëàäåìî ,( , , ) ( ) \|m nm e n U k k= ∈  { } , äå , ( ) ( , , ) ( 1, , 1) \|m nU k m e n m s n s k= − − ≥{ } . Íåõàé ( , , )m e n – áàçà òîïîëîã³¿ â òî÷êàõ âèãëÿäó ( , , )m e n , à òî÷êè âèãëÿäó ( , , )m x n , äå x +∈  , º ³çîëüîâàíèìè. 46 К. П. Павлик Ïîêàæåìî, ùî òîïîëîã³ÿ τ íà ( , )BR S θ º íàï³âãðóïîâîþ. Î÷åâèäíî, ùî äîñèòü äîâåñòè, ùî ìíîæåííÿ íà ( ( , ), )BR S θ τ íåïåðåðâíå ó òàêèõ òðüîõ âè- ïàäêàõ: 1°) ( , , )( , , )m e n p e q , , , , , m n p q e S∈ ∈ ; 2°) ( , , )( , , )m e n p x q , , , , , ,m n p q e x S∈ ∈ ; 3°) ( , , )( , , )m x n p e q , , , , , ,m n p q e x S∈ ∈ . Çàóâàæèìî, ùî s eθ = , äëÿ âñ³õ s S∈ . Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê 1°) : ( , , ), , ( , , )( , , ) ( , , ), , ( , , ), . m e q n p m e n p e q m e q n p n p m p n e q n p == + − >  + − < Òîä³ ÿêùî n p= , òî , , ,1 2 ( ) ( ) ( )m n p q m qU k U k U k⊆ , ÿêùî n p> , òî , , ,1 2 ( ) ( ) ( )m n p q m q n pU k U k U k+ −⊆ , ÿêùî n p< , òî , , ,1 2 ( ) ( ) ( )m n p q m p n qU k U k U k+ −⊆ . Ó âèïàäêó 2°) : ( , , ), , ( , , )( , , ) ( , , ), , ( , , ), . m x q n p m e n p x q m e q n p n p m p n e q n p == + − >  + − < Îòæå, ìàºìî, ÿêùî n p= , òî , ( ) ( , , ) ( , , )m nU k p x q m x q⊆{ } { } , ÿêùî n p> , òî , ,( ) ( , , ) ( )m n m q n pU k p x q U k+ −⊆{ } ÿêùî n p< , òî , ,( ) ( , , ) ( )m n m p n qU k p x q U k+ −⊆{ } . Ó âèïàäêó 3°) : ( , , ), , ( , , )( , , ) ( , , ), , ( , , ), . m x q n p m x n p e q m e q n p n p m p n e q n p == + − >  + − < Îòæå, ÿêùî n p= , òî ,( , , ) ( ) ( , , )p qm x n U k m x q⊆{ } { } , ÿêùî n p> , òî , ,( , , ) ( ) ( )p q m q n pm x n U k U k+ −⊆{ } , ÿêùî n p< , òî , ,( , , ) ( ) ( )p q m p n qm x n U k U k+ −⊆{ } . Îòæå, ( ( , ), )BR S ∗θ τ – ³íâåðñíà òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà.  Çàóâàæåííÿ 3. Ç ïðèêëàäó 2 âèïëèâàº, ùî àíàëîãà òåîðåìè 2 äëÿ ³í- âåðñíèõ òîïîëîã³÷íèõ íàï³âãðóï íåìàº. 1. Ãóòèê Î. Â. Âëîæåíèÿ òîïîëîãè÷åñêèõ ïîëóãðóïï // Ìàò. ñòóä³¿. – 1994. – Âèï. 3. – Ñ. 10–14. 2. Ãóò³ê Î. Â. Âêëàäåííÿ çë³÷åííèõ òîïîëîã³÷íèõ íàï³âãðóï ó ïðîñò³ çë³÷åíí³ çâ’ÿçí³ òîïîëîã³÷í³ íàï³âãðóïè // Ìàò. ìåòîäè òà ô³ç.-ìåõ. ïîëÿ. – 1998. – 41, ¹ 3. – Ñ. 16–21. 3. Ãóò³ê Î. Â. Äîâ³ëüíà òîïîëîã³÷íà íàï³âãðóïà òîïîëîã³÷íî ³çîìîðôíî âêëàäàºòüñÿ â ïðîñòó ë³í³éíî çâ’ÿçíó òîïîëîã³÷íó íàï³âãðóïó // Àëãåáðà ³ òîïîëîã³ÿ: Çá. òåìàò. ïðàöü. – Ëüâ³â: ËÄÓ, 1996. – Ñ. 65–73. 4. Ãóò³ê Î. Â. Ïðî îñëàáëåííÿ òîïîëîã³¿ ïðÿìî¿ ñóìè íà íàï³âãðóï³ Áðàêà // Â³ñí. Ëüâ³â. óí-òó. Ñåð. ìåõ.-ìàò. – 1997. – Âèï. 47. – Ñ. 17–21. 5. Êëèôôîðä À., Ïðåñòîí Ã. Àëãåáðàè÷åñêàÿ òåîðèÿ ïîëóãðóïï: Â 2 ò. – Ìîñêâà: Ìèð, 1961. – Ò. 1. – 288 ñ.; Ìîñêâà: Ìèð, 1972. – Ò. 2. – 424 ñ. 6. Ko÷èí Á. Ï. Ñòðîåíèå èíâåðñíûõ ïðîñòûõ ω -ïîëóãðóïï // Âåñò. Ëåíèíãð. óí-òà. – 1968. – 23. – Ñ. 41–50. 7. Ýíãåëüêèíã Ð. Îáùàÿ òîïîëîãèÿ. – Mîñêâà: Ìèð, 1986. – 752 ñ. Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп 47 8. Alexandroff P. S., Urysohn P. S. Sur les espaces topologiques compacts // Bull. Int. Acad. Pol. Sci. Sér. A. – 1923. – P. 5–8. 9. Bertman M. O., West T. T. Conditionally compact bicyclic semitopological semigroups // Proc. Roy. Irish Acad. – 1976. – A76, No. 21–23. – P. 219–226. 10. Bruck R. H. A survey of binary systems. – Berlin: Springer, 1958. – 185 S. – (Ergebnisseder Math. – Heft 20.) 11. Carruth J. H., Hildebrant J. A., Koch R. J. The theory of topological semigroups. – New York: Marcell Dekker, Inc., 1983. – Vol. 1. – 244 p.; 1986. – Vol. 2. – 196 p. 12. Eberhart C., Selden J. On the closure of the bicyclic semigroup // Trans. Amer. Math. Soc. – 1969. – 119. – P. 115–126. 13. Munn W. D. On simple inverse semigroups // Semigroup Forum. – 1970. – 1. – P. 63–74. 14. Reilly N. R. Bisimple ω -semigroups // Proc. Glasgow Math. Assoc. – 1966. – 7. – P. 160–169. 15. Selden A. A. A non locally compact nondiscrete topology for the α -bicyclic semi- group // Semigroup Forum. – 1985. – 31, No. 3. – P. 372–374. 16. Selden A. A., Bisimple ω -semigroups in the locally compact setting // Bogazici Univ. J. Sci. Math. – 1975. – 3. – P. 15–77. 17. Selden A. A., On the closure of bisimple ω -semigroup // Semigroup Forum. – 1976. – 12. – P. 373–379. 18. Selden A. A., The kernel of the determining endomorphism of a bisimple ω - semigroup // Semigroup Forum. – 1977. – 14, No. 3. – P. 265–271. 19. Warne R. J. Bicyclic extensions // Acta Math. Hung. – 1997. – 76, No. 3. – P. 213– 233. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ РАСШИРЕНИЯ БРАКА – РЕЙЛИ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПОЛУГРУПП Èññëåäóþòñÿ ïîëóãðóïïîâûå òîïîëîãèçàöèè ðàñøèðåíèÿ Áðàêà – Ðåéëè òîïîëîãè- ÷åñêèõ ïîëóãðóïï. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ êàæäîé òîïîëîãè÷åñêîé ïîëóãðóïïû S òà- êàÿ òîïîëîãèçàöèÿ ñóùåñòâóåò, à â ñëó÷àå, êîãäà S – òîïîëîãè÷åñêàÿ èíâåðñíàÿ ïîëóãðóïïà ñ ìèíèìàëüíûì èäåàëîì èëè S ñîäåðæèò H -çàìêíóòûé ïðàâûé (ëå- âûé, äâóñòîðîííèé) èäåàë, òî òàêàÿ òîïîëîãèçàöèÿ ïîëóãðóïïû BR( , )S θ åäèí- ñòâåííàÿ, à èìåííî, ÿâëÿåòñÿ òàê íàçûâàåìîé òîïîëîãèåé ïðÿìîé ñóììû. TOPOLOGICAL BRUCK – REILLY EXTENSIONS OF TOPOLOGICAL SEMIGROUPS Semigroup topologizations of Bruck – Reilly extensions of topological semigroups are investigated. It is shoved that for every topological semigroup S there exists such topo- logization, and in case of topological inverse semigroup S with minimal ideal or with H -closed right (left, two-sided) ideal, such topologization of semigroup BR( , )S θ is unique, exactly, it is so called the directed sum topology. ²í-ò ïðèêë. ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè Îäåðæàíî ³ì. ß. Ñ. Ï³äñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â 31.03.08

Топологічні розширення Брака – Рейлі топологічних напівгруп

Institution

Ähnliche Einträge