Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ

Досліджено геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ. Знайдено основну систему рівнянь таких деформацій, вивчено випадок афінних деформацій. Показано, що поверхні обертання допускають лише афінні деформації....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
1. Verfasser:	Федченко, Ю.С.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7689
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ / Ю.С. Федченко // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 66-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-7689
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-76892010-04-09T12:00:46Z Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ Федченко, Ю.С. Досліджено геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ. Знайдено основну систему рівнянь таких деформацій, вивчено випадок афінних деформацій. Показано, що поверхні обертання допускають лише афінні деформації. Исследуются геодезические деформации поверхностей, которые сохраняют грассманов образ. Найдена основная система уравнений таких деформаций, изучен случай аффинных деформаций. Показано, что поверхности вращения допускают лишь аффинные деформации. Geodesic deformations of surfaces which save Grassmanian image are studied. The basic system of equations for this deformations is found. The case of affine deformations is studied. It is proved that the surfaces of rotation permit affine deformations only. 2008 Article Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ / Ю.С. Федченко // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 66-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7689 514.75 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Досліджено геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ. Знайдено основну систему рівнянь таких деформацій, вивчено випадок афінних деформацій. Показано, що поверхні обертання допускають лише афінні деформації.
format	Article
author	Федченко, Ю.С.
spellingShingle	Федченко, Ю.С. Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ
author_facet	Федченко, Ю.С.
author_sort	Федченко, Ю.С.
title	Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ
title_short	Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ
title_full	Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ
title_fullStr	Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ
title_full_unstemmed	Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ
title_sort	геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7689
citation_txt	Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ / Ю.С. Федченко // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 66-71. — Бібліогр.: 8 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT fedčenkoûs geodezičnídeformacíípoverhonʹŝozberígaûtʹgrasmanívobraz
first_indexed	2025-07-02T10:28:29Z
last_indexed	2025-07-02T10:28:29Z
_version_	1836530647580016640
fulltext	ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 66–71. ÓÄÊ 514.75 Ю. С. Федченко ГЕОДЕЗИЧНІ ДЕФОРМАЦІЇ ПОВЕРХОНЬ, ЩО ЗБЕРІГАЮТЬ ҐРАСМАНІВ ОБРАЗ Äîñë³äæóþòüñÿ ãåîäåçè÷í³ äåôîðìàö³¿ ïîâåðõîíü, ùî çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç. Çíàéäåíî îñíîâíó ñèñòåìó ð³âíÿíü òàêèõ äåôîðìàö³é, âèâ÷åíî âèïàäîê àô³ííèõ äåôîðìàö³é. Ïîêàçàíî, ùî ïîâåðõí³ îáåðòàííÿ äîïóñêàþòü ëèøå àô³íí³ äåôîðìàö³¿. Ñåðåä áàãàòüîõ â³äîìèõ âèä³â ³íô³í³òåçèìàëüíèõ äåôîðìàö³é, òàêèõ ÿê çãèíàííÿ [2], êîíôîðìí³ [7], àðåàëüí³ [1], ïîâîðîòí³ [3], íîðìàëüí³, òàíãåíö³- àëüí³ [6] òà ³íøèõ, âåëèêó ðîëü â³ä³ãðàþòü ãåîäåçè÷í³ äåôîðìàö³¿. Òàê³ äå- ôîðìàö³¿ áóëè ââåäåí³ â ñâ³é ÷àñ Ì. Ñ. Ñèíþêîâèì ³ Ì. Ë. Ãàâðèëü÷åíêîì [5]. Äåòàë³ ìîæíà çíàéòè â ìîíîãðàô³¿ [4], àëå çàãàëîì íàçâàíà çàäà÷à ùå ìàëî äîñë³äæåíà. Â îñòàíí³ ðîêè Â. Ò. Ôîìåíêî [8] òà ³íø³ âèâ÷àþòü äå- ôîðìàö³¿, ùî çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç. Ñàìå ãåîäåçè÷í³ äåôîðìàö³¿ ïî- âåðõîíü, ÿê³ çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç, äîñë³äèìî â ö³é ñòàòò³. Ó ï. 1.1 âèâåäåíî îñíîâí³ ð³âíÿííÿ äëÿ ãåîäåçè÷íèõ äåôîðìàö³é, ùî çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç, ó ï. 1.2 ïðîâîäÿòüñÿ äîñë³äæåííÿ îñíîâíèõ ð³â- íÿíü, ÿê³ âèêîðèñòîâóþòüñÿ íàäàë³. Ó ï. 2 ðîçãëÿäàþòüñÿ àô³íí³ ãåîäåçè÷í³ äåôîðìàö³¿, ùî çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç, ó ï. 3 – ãåîäåçè÷í³ äåôîðìàö³¿ ïîâåðõîíü, ùî çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç äëÿ ïîâåðõîíü ñòàëî¿ ´àóññîâî¿ êðèâèíè òà äëÿ ïîâåðõîíü îáåðòàííÿ. Ðîçãëÿíåìî ïîâåðõíþ S â åâêë³äîâîìó ïðîñòîð³ 3E ç âåêòîðíî-ïàðà- ìåòðè÷íèì ð³âíÿííÿì 1 2( , )r r x x= ³ ¿¿ äåôîðìàö³þ Sε : 1 2( , )r r x xε = + 1 2( , )U x x+ ε , äå 0 1 2( , ) i iU x x u r u n= + – âåêòîð çì³ùåííÿ, ε – ìàëèé ïàðà- ìåòð, à 1 2( , )iu x x , 0 1 2( , )u x x – â³äïîâ³äíî äîòè÷í³ òà íîðìàëüíà êîìïîíåíòè âåêòîðà çì³ùåííÿ. 1.1. Îñíîâí³ ð³âíÿííÿ äëÿ ãåîäåçè÷íèõ äåôîðìàö³¿, ùî çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç. Îçíà÷åííÿ 1 [5]. Äåôîðìàö³¿ ïîâåðõí³ S , ïðè ÿêèõ êîæíà ¿¿ ãåîäåçè÷- íà êðèâà ïåðåõîäèòü, â ãîëîâíîìó (âêëþ÷àþ÷è äîäàíêè, íå âèùå ïåðøîãî ñòåïåíÿ â³äíîñíî ε ), â ãåîäåçè÷íó êðèâó ïîâåðõí³ Sε , íàçèâàþòü ãåîäåçè÷- íèìè àáî ïðîåêòèâíèìè (P-äåôîðìàö³¿). Òàê³ äåôîðìàö³¿ äîïóñêàþòü ëèøå ïîâåðõí³ Ë³óâ³ëëÿ [4, ñ. 75]. Îçíà÷åííÿ 2 [8]. Äåôîðìàö³ÿ çáåð³ãàº ´ðàñìàí³â îáðàç, ÿêùî ó êîæí³é òî÷ö³ ïîâåðõí³ çáåð³ãàºòüñÿ íàïðÿì îðòà íîðìàë³ (G-äåôîðìàö³¿). Òåîðåìà 1. Äëÿ òîãî ùîá ïîâåðõíÿ S äîïóñêàëà ëîêàëüí³ ÐG-äåôîð- ìàö³¿, íåîáõ³äíî òà äîñòàòíüî, ùîá êîìïîíåíòè âåêòîðà çì³ùåííÿ U çàäîâîëüíÿëè ñèñòåìó ð³âíÿíü a a i aj j aib u b u= , i k kiu u∇ = , 0 a j ki i jk a j ik i jk j iku u b u b b g g∇ = ∇ − + ψ + ψ , 0 a i i au b u= − , , , , 1,2i j k a = . (1) (Òóò ijb – êîåô³ö³ºíòè äðóãî¿ êâàäðàòè÷íî¿ ôîðìè, ijg – òåíçîð, âçà- ºìíèé ç ìåòðè÷íèì, ïîâåðõí³ S , k kj i ijb g b= , i∇ – êîâàð³àíòíà ïîõ³äíà, iψ – ´ðàä³ºíòíèé âåêòîð.) Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають ґрасманів образ 67 Ä î â å ä å í í ÿ. Íà îñíîâ³ äåðèâàö³éíèõ ð³âíÿíü ïîâåðõí³ k ij ij k ijr r b n= Γ + , i in b rα α= − ìàòèìåìî k i i k iU P r P n= + , (2) äå 0 k k k i i iP u b u= ∇ − , (3) 0 k i i ikP u b u= ∂ + . (4) Óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ ð³âíÿíü (2) äàþòü íàñòóïí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ: h h h h j i i j i j j iP P Pb P b∇ − ∇ = − , (5) j i i j j i i jP P P b P bα α α α∇ − ∇ = − . (6) Âàð³àö³¿ ìåòðèêè ³ çâ’ÿçíîñò³ â³äïîâ³äíî ìàþòü âèãëÿä 0 2 2ij ij j i i j ijg u u u bδ ≡ ε = ∇ + ∇ − , (7) ( )h h ah ij ij j ia i ja a ijP gδΓ ≡ = ∇ ε + ∇ ε − ∇ ε . (8) Óìîâîþ òîãî, ùî äåôîðìàö³ÿ çáåð³ãàº ´ðàñìàí³â îáðàç, º 0iP = , (9) à óìîâîþ òîãî, ùî äåôîðìàö³ÿ ãåîäåçè÷íà, º h h h ij i j j iP = ψ δ + ψ δ . (10) Ç ð³âíÿíü (8) ³ (10) îòðèìóºìî j ik i ka k ij i kj j kig g∇ ε + ∇ ε − ∇ ε = ψ + ψ . (11) Ó ñâîþ ÷åðãó, ç³ ñï³ââ³äíîøåíü (9) ³ (4) ìàºìî 0 0k i iku b u∂ + = , 0 0 a i i i au u b u≡ ∂ = − . (12) Ïðîäèôåðåíö³þºìî (7) êîâàð³àíòíî çà k : 0 0 2 2 2kk ij ij i ir j ij k iju u u b u b∇ ε = ∇ + ∇ − − ∇ , (13) (òóò jk k j∇ = ∇ ∇ ). Âðàõîâóþ÷è (11), ð³âíÿííÿ ¥àóññà ( )ijk ik j i jkR K g g g g= −   , òîòîæí³ñòü Ð³÷÷³ ( ) ( )kj jk i k ij j iku K u g u g∇ − ∇ = − , ç (13) îòðèìàºìî, ùî ( )i kj j ki ij k k ij i jkg g u K u g u gψ + ψ = ∇ + − + 0 0 0 0 k i jij jk ik i jku b u b u b u b+ − − − ∇ . (14) Ðîçãëÿíåìî óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ (5) ³ (6). Íà îñíîâ³ (9), (3) ð³âíÿííÿ (5) äàº 0 0 ( )k k k k i j j i i j j iK u u b u b uδ − δ = − . (15) Çãîðíóâøè (15) çà ,k j , ìàòèìåìî 0 0 a a ii iKu b u H u= − . (16) Ð³âíÿííÿ (6) çà óìîâ (9) ³ (3) íàáóäå âèãëÿäó 0 0 a a a a i i aj j j aiu b u b u b u b   ∇ − = ∇ −        . (17) Óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ äëÿ (12): 0 0 a a a a ij ij j i a i j a i j a j i au u b u b u b u b u∇ = ∇ = − ∇ − ∇ = − ∇ − ∇ . 68 Ю. С. Федченко Çâ³äñè ÿê íàñë³äîê îòðèìàºìî a a i j a j i ab u b u∇ = ∇ . Íà îñíîâ³ òîòîæíîñò³ 0a a k a akb b b b− =  óìîâè (17) íàáóâàþòü âèãëÿäó a a ai j aj ib u b u∇ = ∇ , (18) ³ âîíè ñï³âïàäàþòü ç óìîâàìè ³íòåãðîâíîñò³ äëÿ ð³âíÿíü (12). Ëåãêî ïîêàçàòè, ùî (15) º íàñë³äêîì (12) ³ (17), à óìîâà (17) º óìîâîþ ³íòåãðîâíîñò³ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü (12). Îòæå, ñóòòºâèìè óìîâàìè ´ðàñ- ìàíîâîñò³ òà ãåîäåçè÷íîñò³ äåôîðìàö³¿ çàëèøàþòüñÿ (12), (14), (18). Öå é òðåáà áóëî äîâåñòè. ◊ 1. 2. Äîñë³äæåííÿ îñíîâíèõ ð³âíÿíü. Çà óìîâè 0K ≠ ìîæíà ââåñòè òåíçîð 1 (2 )ij ij ijd Hg b K = − , ÿêèé ìàº âàæëèâó âëàñòèâ³ñòü i i j jd bα α = δ . Òîä³ íà îñíîâ³ ö³º¿ ð³âíîñò³ ç ð³âíÿííÿ (14) çíàéäåìî âèðàç 0 i is su u d= − . (19) Ï³äñòàâèâøè âèðàç (19) â (11), ï³ñëÿ ñïðîùåííÿ ìàòèìåìî 0 ( ) 0s s s j i i ju d b d bα α α α∇ − ∇ = . Ïîêàæåìî, ùî âèðàç ó äóæêàõ º òîòîæíèì íóëåì. Îñê³ëüêè 1 (2 )s s sd H b Kα α α= δ − , 2s s s i i ib b Hb Kα α = − δ , òî 2 1(2 ) (2 ) js s s s s s j i i j j j i K d b d b H b H b b KK α α α α α α α α α  ∇ − ∇ = − δ − + δ − ∇ −    2 1(2 ) (2 )s s s si i i j K H b H b b KK α α α α α  − − δ − + δ − ∇ =    2 1(2 2 ) (2 )j s s s s s i i i j i j i K Hb Hb K H b b b KK α α= − − + δ + − ∇ + 2 1(2 2 ) (2 )s s s s si j j j i j i j K Hb Hb K H b b b KK α α+ − + δ − − ∇ = 1 (2 2 ) j s s s s s si i j j i i j j i i j K K H b H b b b b b K K K α α α α= − δ + δ + − − ∇ + ∇ = 1 ( ( )) j s s s s s si i j j i i j i j j i K K b b b b b b b b K K K α α α α α α α α= − δ + δ + ∇ + ∇ − ∇ + ∇ = 0 j js s s si i i j i j K KK K K K K K = − δ + δ + δ − δ = . Îòæå, ð³âíÿííÿ (11) âèêîíóþòüñÿ ç îãëÿäó íà (14). Çíàéäåìî óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ äëÿ (12). Ïðîäèôåðåíö³þºìî éîãî êîâàð³- àíòíî çà j : ij k j kiu u∇ = ∇ , ³ ñêîðèñòàºìîñÿ òîòîæí³ñòþ Ð³÷÷³ s s kij j ki i kju R u u= ∇ − ∇ , çâ³äêè ( )i kj j ki j ki i kjK u g u g u u− = ∇ − ∇ . Íà îñíîâ³ (13) ìàºìî ( ) ( )i kj j ki i jk j ikK u g u g u b b b bα α α− = − . Îñê³ëüêè ( )i jk j ik i jk j ikb b b b K g gα α α α− = δ − δ , òî î÷åâèäíî, ùî îñòàííº ð³âíÿííÿ âèêîíóºòüñÿ òîòîæíüî. Îòæå, ð³âíÿííÿ (12) âèêîíóþòüñÿ ç îãëÿäó íà (13). Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають ґрасманів образ 69 Ðîçãëÿíåìî óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ ð³âíÿííÿ (14): 0 ( )ij j iu b uα α∇ = ∇ − , çâ³äêè îòðèìàºìî 0j i i j i j j i j i i jb u b u b u b u b u b uα α α α α α α α α α α α− ∇ − ∇ + ∇ + ∇ = − = . Îòæå, óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ ð³âíÿííÿ (14) âèêîíóþòüñÿ íà ï³äñòàâ³ (11). Ïîêàæåìî, ùî óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ (13) ìàþòü âèãëÿä ( )i jk j i k ji k i kj kj i k ijg g K u g u g u g u g∇ ψ − ∇ ψ = − + − −      0 ( )ji k i kj kj i k iju K b g b g b g b g− − + −    . Ä³éñíî, ñïî÷àòêó ïðîäèôåðåíö³þâàâøè (13) êîâàð³àíòíî çà  : 0 0 a a j ki i jk i jk a j ik a j iku u b u b u b b u b b∇ = ∇ + ∇ − − ∇ −     a a j ik i jk j iku b b g g− ∇ + ∇ ψ + ∇ ψ   , à ïîò³ì, âèêîðèñòàâøè ð³âíÿííÿ Ïåòåðñîíà – Êîäàöö³ òà (11), îòðèìàºìî ( ) ( )j j ki i kj k ij i j k kju u R u R u K g gα α α α α α α∇ − ∇ = + = δ − δ +      ( ) ( )k j i ij ji k i kj kj i k iju K g g K u g u g u g u gα α α+ δ − δ = − + − =      0 0 0 0 a a i jk j i k i jk ij k a j ik aj iku b u b u b u b u b b u b b= ∇ − ∇ + ∇ − ∇ − + −      a a a a a j ik a j ik a j ik a j ik i jk j i ku b b u b b u b b u b b g g− ∇ + ∇ − ∇ + ∇ + ∇ ψ − ∇ ψ      . Çâ³äñè ( )ji k i kj kj i k ijK u g u g u g u g− + − =    0 ( )j ik j ik i jk j i ku b b g g= ∇ − ∇ + ∇ ψ − ∇ ψ    . Îñê³ëüêè ( )j ik j ik jk i k ij ij k i kjb b K b g b g b g b g∇ − ∇ = − + −      , òî ( )i jk j i k ji k i kj kj i k ijg g K u g u g u g u g∇ ψ − ∇ ψ = − + − −      0 ( )jk i k ij ij k i kju K b g b g b g b g− − + −    . (20) Îòæå, (20) º óìîâàìè ³íòåãðîâíîñò³ äëÿ (13). Óòâîðèìî çãîðòêó (20) ç kg : 0 ( ) (2 2 ) , k j i ij ij ji ij ij kK ag u u u b Hg a u g ∇ ψ = − − + − =     . (21) Çíàéäåìî óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ äëÿ (21). Ñïî÷àòêó êîâàð³àíòíî ïðîäèôåðåí- ö³þºìî (21): ( ) ( )jk i k ij ij ji k ij k ij k jiK ag u u K a g u u∇ ψ = − − + − ∇ − ∇ + 0 0 0 (2 2 ) (2 2 ) (2 2 )k ij ij k ij ij k ij k iju K b Hg u K b Hg u K b H g+ − + − + ∇ − , à ïîò³ì çðîáèìî àëüòåðíóâàííÿ: ( ) ( ) ( )j ik k ij k ij ij ji j ik ik kiK g g K ag u u K ag u uψ − ψ = − − − − − + 0 0 0 (2 2 ) (2 2 ) (2 2 )k ij ij j ik ik k ij iju K b Hg u K b Hg u K b Hg+ − − − + − −( 0 (2 2 ) (2 2 )j ik ik j ik k ij k ij j ikK b Hg u K H g H g K a g a g− − + − + − −  ) 0 0 j ki k ji j ki k ij i kj k iju b u b b g g u b u b bα α α α   − ∇ − + ψ + ψ − ∇ − +      0 0 i kj k ji k ji j ki k ji j ik i jkg g u b u b b g g u bα α + ψ + ψ + ∇ − + ψ + ψ + ∇ −  j ik i jk j kiu b b g gα α − + ψ + ψ   . 70 Ю. С. Федченко Çâàæàþ÷è íà (14), ï³ñëÿ ñïðîùåííÿ ìàòèìåìî ( ) ( ) ( )k ij ij ji j ik ik ki k ij j ikK ag u u K ag u u K a g a g− − − − − + − − 0 0 0 0 2 2 (2 2 ) (2k ij j ik k ij ij j ikKH u g KH u g u K b Hg u K b− + + − − − 0 2 ) (2 2 ) 0ik j ik k ijHg u K H g H g− + − = . (22) 2. Àô³íí³ äåôîðìàö³¿, ùî çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç. Òåîðåìà 2. Ïîâåðõí³, äëÿ ÿêèõ 0K ≠ , äîïóñêàþòü ëèøå òðèâ³àëüí³ àô³íí³ PG-äåôîðìàö³¿. Ä î â å ä å í í ÿ. Çà óìîâè 0iψ = ç (21) ìàºìî 0 (2 2 ) 0i i i i iag u u u b Hg− − + − =     . (23) Ç ð³âíÿííÿ (22) çà óìîâè (23) îòðèìàºìî 0 0 0 ( 2 ) ( 2 ) (2 2 ) 0k jij ik j ik k ij k ij j ikK u Hg u Hg u H g H g a g a g − − − + − + − =    . Çãîðíåìî öå ð³âíÿííÿ ç òåíçîðîì ijg ³ âðàõóºìî, ùî 0K ≠ : 0 0 2 2 0kk ka H u H u− − = . Ïðî³íòåãðóâàâøè öåé âèðàç, îòðèìàºìî, ùî 0 2a H u C= + (äå constC = ). Íà ï³äñòàâ³ îñòàííüî¿ ð³âíîñò³ ð³âíÿííÿ (23) çâîäèòüñÿ äî ð³âíÿííÿ 0 2ki ik ik iku u u b Cg+ = + . (24) Çàóâàæèìî, ùî ïðè 0C = ìàºìî çãèíàííÿ [2, ñ. 318]. Òåíçîð kiu çàâæäè ìîæíà ïîäàòè ÿê ñóìó ñèìåòðè÷íîãî ³ êîñîñèìåò- ðè÷íîãî òåíçîð³â: ki ki iku v C= + µ . (25) Òîä³ íà ï³äñòàâ³ (24) òà (25) çàïèøåìî 0 2ik ik ik Cv u b g= + . (26) Ï³äñòàâèìî (26) â (13): 0 0 0 0 jj ki i jk ik j ki j ki i jk j ik j kiu u b u b v C u b u b C∇ = ∇ + = ∇ + µ = ∇ + + µ . Ìàºìî, ùî 0jµ = , òîáòî 1const Cµ = = . Îòæå, 0 12ki ik ik ik Cu u b g C C= + + . (27) Ïåðåâ³ðêîþ ìîæíà ïåðåêîíàòèñÿ, ùî (27) çàäîâîëüíÿº (20) ³ (16) çà óìîâ 0H = àáî 1 0C = , à óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ (27) âèêîíóþòüñÿ ç îãëÿäó íà (12) òà (14). Ìàºìî çì³øàíó ñèñòåìó òèïó ñèñòåìè Êîø³, ÿêà ïðè ïåâíèõ ïî÷àòêî- âèõ çíà÷åííÿõ ìàº ºäèíèé ðîçâ’ÿçîê. Çà óìîâè 0iψ = â³äïîâ³äíî äî [5] ìàºìî 0k ijg∇ δ = , ùî äàº ij ijg Cgδ = , òîáòî îòðèìàëè ãîìîòåò³þ. Öå é ïîòð³áíî áóëî äîâåñòè. ◊ 3. PG-äåôîðìàö³¿ ïîâåðõîíü ñòàëî¿ ´àóññîâî¿ êðèâèíè òà ïîâåðõîíü îáåðòàííÿ. Òåîðåìà 3. Ïîâåðõí³ ñòàëî¿ íåíóëüîâî¿ ãàóññîâî¿ êðèâèíè äîïóñêàþòü ëèøå òðèâ³àëüí³ ãåîäåçè÷í³ äåôîðìàö³¿, ùî çáåð³ãàþòü ´ðàñìàí³â îáðàç, ³ âîíè º ãîìîòåòè÷íèìè. Ä î â å ä å í í ÿ. Çãîðíåìî (13) ç kig . Ìàòèìåìî, ùî 0 0 2 2 3jj j ja H u H u= + + ψ , (28) äå kj kja u g= . Ïðî³íòåãðóâàâøè (28), îòðèìàºìî, ùî 0 2 3a H u C= + ψ + . Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають ґрасманів образ 71 Òîä³ äëÿ òàêèõ ïîâåðõîíü ç ð³âíÿíü (22) òà çà óìîâ òåîðåìè íà ï³äñòàâ³ (28) ìàºìî, ùî 0iψ = . Ùî é ïîòð³áíî áóëî äîâåñòè. ◊ Òåîðåìà 4. ßêùî ïîâåðõíÿ îáåðòàííÿ ( cos , sin , ( ))r = ρ θ ρ θ ϕ ρ ( 0K ≠ ) äîïóñêàº ãåîäåçè÷íó äåôîðìàö³þ, òî âîíà ìîæå áóòè ëèøå ãîìîòåòè÷íîþ äåôîðìàö³ºþ. Ä î â å ä å í í ÿ. Äîñë³äèìî ñèñòåìó (1) äëÿ ïîâåðõîíü îáåðòàííÿ. Äëÿ òà- êî¿ ïàðàìåòðèçàö³¿ ïîâåðõí³ ìàºìî 12 12 0g b= = , 2 11 1 21 1 12 2 22 0b b b b∇ = ∇ = ∇ = ∇ = . Ó ðîçãîðíóòîìó âèãëÿä³ (11) äàº îäíå ñóòòºâå ð³âíÿííÿ 1 2 1 12 2 21b u b u= , (29) à (14) – äâà ð³âíÿííÿ: 0 1 1 1 1u b u= − , 0 2 2 2 2u b u= − . (30) Óìîâè ³íòåãðîâíîñò³ ð³âíÿíü (30) çà óìîâ (29) ³ 2 1 2 0b∇ ≠ äàþòü, ùî 2 0u = . Òîä³ ç (30) ëåãêî ïîáà÷èòè, ùî 0 0 ( )u u= ρ , 1 1( )u u= ρ . (31) Îñê³ëüêè k i k i iku u uα α∇ = ∂ − Γ , k ij k ij ik j jk iu u u uα α α α∇ = ∂ − Γ − Γ , òî íà ï³äñòàâ³ (31) îòðèìóºìî, ùî 2 1 1 2 0u u∇ = ∇ = , 1 12 1 21 0u u∇ = ∇ = , 2 12 2 21u u∇ = ∇ . Ç ð³âíÿíü (13) íà îñíîâ³ ïîïåðåäí³õ ð³âíîñòåé ìàºìî, ùî 1 0ψ = , 2 0ψ = . ßê çàçíà÷àëîñü âèùå, âñÿêà àô³ííà äåôîðìàö³ÿ º ãîìîòåòè÷íîþ. Öå é ïî- òð³áíî áóëî äîâåñòè. ◊ 1. Áåçêîðîâàéíà Ë. Ë. Àðåàëüí³ íåñê³í÷åííî ìàë³ äåôîðìàö³¿ ³ âð³âíîâàæåí³ ñòàíè ïðóæíî¿ îáîëîíêè: Íàâ÷. ïîñ³áí. – Îäåñà: Àñòðîïðèíò, 1999. – 168 ñ. 2. Âåêóà È. Í. Îáîáùåííûå àíàëèòè÷åñêèå ôóíêöèè. – Ìîñêâà: Íàóêà, 1988. – 509 ñ. 3. Ëåéêî Ñ. Ã. Èíôèíèòåçèìàëüíûå ïîâîðîòíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ è äåôîðìàöèè ïî- âåðõíîñòåé åâêëèäîâîãî ïðîñòðàíñòâà // Äîêë. ÐÀÍ. – 1994. – 344, ¹ 2. – Ñ. 162–164. 4. Ðàäóëîâè÷ Æ,. Ìèêåø É., Ãàâðèëü÷åíêî Ì. Ë. Ãåîäåçè÷åñêèå îòîáðàæåíèÿ è äåôîðìàöèè ðèìàíîâûõ ïðîñòðàíñòâ. – Îäåññà: Îëîìîóö, 1997. – 127 c. 5. Ñèíþêîâ Í. Ñ., Ãàâðèëü÷åíêî Ì. Ë. Áåñêîíå÷íî ìàëûå ãåîäåçè÷åñêèå äåôîðìà- öèè ïîâåðõíîñòåé // III ðåñï. êîíô. ìàòåìàòèêîâ Áåëîðóññèè, Ìèíñê, 1971. 6. Ôåä÷åíêî Þ. Ñ. Ñïåöèàëüíûå àôôèííûå äåôîðìàöèè ïîâåðõíîñòåé // Òåç. äîêë. Ìåæäóíàð. êîíô. «Ãåîìåòðèÿ â Îäåññå-2006». – Ñ. 156–157. 7. Ôåñåíêî Å. Ä. Áåñêîíå÷íî ìàëûå êîíôîðìíûå äåôîðìàöèè çàìêíóòûõ ïîâåðõ- íîñòåé ïîëîæèòåëüíîé ãàóññîâîé êðèâèçíû // Èçâ. âóçîâ. Ìàòåìàòèêà. – 1969. – ¹ 3. – Ñ. 72–77. 8. Fomenko V. T. ARG-deformations of a hypersurfaces // Tensor. – 1993. – 54. – P. 28–34. ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ, КОТОРЫЕ СОХРАНЯЮТ ГРАССМАНОВ ОБРАЗ Èññëåäóþòñÿ ãåîäåçè÷åñêèå äåôîðìàöèè ïîâåðõíîñòåé, êîòîðûå ñîõðàíÿþò ãðàñ- ñìàíîâ îáðàç. Íàéäåíà îñíîâíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé òàêèõ äåôîðìàöèé, èçó÷åí ñëó÷àé àôôèííûõ äåôîðìàöèé. Ïîêàçàíî, ÷òî ïîâåðõíîñòè âðàùåíèÿ äîïóñêàþò ëèøü àôôèííûå äåôîðìàöèè. GEODESIC DEFORMATIONS OF SURFACES WHICH SAVE GRASSMANIAN IMAGE Geodesic deformations of surfaces which save Grassmanian image are studied. The ba- sic system of equations for this deformations is found. The case of affine deformations is studied. It is proved that the surfaces of rotation permit affine deformations only. Îäåñüêà íàö. àêàä. õàð÷. òåõíîëîã³é, Îäåñà Îäåðæàíî 20.05.08

Геодезичні деформації поверхонь, що зберігають грасманів образ

Institution

Ähnliche Einträge