Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць

Для неособливої многочленної матриці A(x) над нескінченним полем побудовано певну множину її дільників, яка містить всі неасоційовні дільники із на-перед заданою канонічною діагональною формою. При деяких обмеженнях на матрицю A(x) вказано критерій існування унітального множника цієї матриці....

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2008
Hauptverfasser:	Романів, А.М., Щедрик, В.П.
Format:	Artikel
Sprache:	Ukrainian
Veröffentlicht:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7691
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць / А.М. Романів, В.П. Щедрик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 72-79. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-7691
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-76912010-04-09T12:00:47Z Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць Романів, А.М. Щедрик, В.П. Для неособливої многочленної матриці A(x) над нескінченним полем побудовано певну множину її дільників, яка містить всі неасоційовні дільники із на-перед заданою канонічною діагональною формою. При деяких обмеженнях на матрицю A(x) вказано критерій існування унітального множника цієї матриці. Для неособенной многочленной матрицы A(x) над бесконечным полем построено некоторое множество ее делителей, которое содержит все неассоциируемые дели-тели с наперед заданной канонической диагональной формой. При некоторых ограничениях на матрицу A(x) указан критерий существования унитального множителя этой матрицы. For a nonsingular polynomial matrix A(x) over an infinite field we have constructed some set of its divisors containing all nonassociated divisors with prescribed canonical diagonal form. With some restrictions on matrix A(x) the existence criterion of monic multiplier of this matrix has been suggested. 2008 Article Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць / А.М. Романів, В.П. Щедрик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 72-79. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7691 512.64 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Для неособливої многочленної матриці A(x) над нескінченним полем побудовано певну множину її дільників, яка містить всі неасоційовні дільники із на-перед заданою канонічною діагональною формою. При деяких обмеженнях на матрицю A(x) вказано критерій існування унітального множника цієї матриці.
format	Article
author	Романів, А.М. Щедрик, В.П.
spellingShingle	Романів, А.М. Щедрик, В.П. Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць
author_facet	Романів, А.М. Щедрик, В.П.
author_sort	Романів, А.М.
title	Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць
title_short	Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць
title_full	Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць
title_fullStr	Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць
title_full_unstemmed	Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць
title_sort	про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7691
citation_txt	Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць / А.М. Романів, В.П. Щедрик // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 72-79. — Бібліогр.: 11 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT romanívam proneasocíjovnítaunítalʹnídílʹnikimnogočlennihmatricʹ AT ŝedrikvp proneasocíjovnítaunítalʹnídílʹnikimnogočlennihmatricʹ
first_indexed	2025-07-02T10:28:38Z
last_indexed	2025-07-02T10:28:38Z
_version_	1836530657632714752
fulltext	ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 72–79. ÓÄÊ 512.64 А. М. Романів, В. П. Щедрик ПРО НЕАСОЦІЙОВНІ ТА УНІТАЛЬНІ ДІЛЬНИКИ МНОГОЧЛЕННИХ МАТРИЦЬ Äëÿ íåîñîáëèâî¿ ìíîãî÷ëåííî¿ ìàòðèö³ ( )A x íàä íåñê³í÷åííèì ïîëåì ïîáóäî- âàíî ïåâíó ìíîæèíó ¿¿ ä³ëüíèê³â, ÿêà ì³ñòèòü âñ³ íåàñîö³éîâí³ ä³ëüíèêè ³ç íà- ïåðåä çàäàíîþ êàíîí³÷íîþ ä³àãîíàëüíîþ ôîðìîþ. Ïðè äåÿêèõ îáìåæåííÿõ íà ìàòðèöþ ( )A x âêàçàíî êðèòåð³é ³ñíóâàííÿ óí³òàëüíîãî ìíîæíèêà ö³º¿ ìàò- ðèö³. Íåõàé F – íåñê³í÷åííå ïîëå, ( )A x – íåîñîáëèâà ( )n n× -ìàòðèöÿ íàä [ ]F x , ùî çàïèñàíà ó âèãëÿä³ ìàòðè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà íàä F : ( ) k kA x A x= + 1 1 0 k kA x A− −+ + + . Ìàòðèöÿ ( )A x íàçèâàºòüñÿ ðåãóëÿðíîþ, ÿêùî det kA ≠ 0≠ , òà óí³òàëüíîþ, ÿêùî kA E= – îäèíè÷íà ìàòðèöÿ. Áóäåìî ãîâîðèòè, ùî ìàòðèöÿ ( )A x ðåãóëÿðèçóºòüñÿ ñïðàâà, ÿêùî ³ñíóº òàêà îáîðîòíà ìàò- ðèöÿ ( )U x , ùî 1 1 0 1( ) ( ) ( )s s sA x U x Ex D x D A x− −= + + + = . Ìàòðèö³ ( )A x òà 1( )A x íàçèâàþòüñÿ àñîö³éîâíèìè ñïðàâà. Äëÿ ìàòðèö³ ( )A x ³ñíóþòü òàê³ îáîðîòí³ ìàòðèö³ ( )P x òà ( )Q x , ùî 1( ) ( ) ( ) diag ( ), , ( ) ( )nP x A x Q x x x x= ε ε = Ψ( ) , 1( ) \| ( ), 1, , 1i ix x i n+ε ε = − . Ïðè öüîìó ìàòðèöÿ ( )xΨ íàçèâàºòüñÿ êàíîí³÷íîþ ä³àãîíàëüíîþ ôîðìîþ (ê. ä. ô.) àáî æ ôîðìîþ Ñì³òà ìàòðèö³ ( )A x . Â³äîìî [10], ùî ìàòðèöÿ ( )A x ìàº ä³ëüíèê ç ê. ä. ô. 1( ) diag ( ( ), , ( ))nx x xΦ = ϕ ϕ òîä³ é ò³ëüêè òîä³, êîëè ( )xΦ º ä³ëüíèêîì ( )xΨ . Îòæå, çàäà÷à îïèñó ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x çâî- äèòüñÿ äî ïîñë³äîâíîãî çíàõîäæåííÿ ¿¿ ä³ëüíèê³â ç íàïåðåä çàäàíèìè êàíî- í³÷íèìè ä³àãîíàëüíèìè ôîðìàìè. Ç îãëÿäó íà ïðèêëàäíèé àñïåêò çàäà÷³ ôàêòîðèçàö³¿ ìàòðèöü â òåîð³¿ ñèñòåì äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ç³ ñòàëèìè êîåô³ö³ºíòàìè, òåîð³¿ îïåðà- òîðíèõ ïó÷ê³â, îïòèìàëüíîãî êåðóâàííÿ òà ³í., îñîáëèâå ì³ñöå ñåðåä ä³ëüíè- ê³â ìíîãî÷ëåííèõ ìàòðèöü çàéìàþòü óí³òàëüí³ ä³ëüíèêè. Ó êîëåêòèâí³é ìî- íîãðàô³¿ [9] (1982 ð.) ó âèïàäêó, êîëè F =  áóëî âñòàíîâëåíî âçàºìíî îä- íîçíà÷íèé çâ’ÿçîê ì³æ óí³òàëüíèìè ä³ëüíèêàìè òà áàçàìè ïåâíèõ ³íâàð³- àíòíèõ ï³äïðîñòîð³â ë³í³éíîãî ïðîñòîðó n . Ïðîòå ïð³îðèòåò ðîçâ’ÿçàííÿ ïðîáëåìè âèä³ëåííÿ ðåãóëÿðíîãî ìíîæíèêà íàëåæèòü Ï. Ñ. Êàç³ì³ðñüêîìó [2, 3], ÿêèé ó 1980 ð. çà óìîâè, ùî ïîëå F º àëãåáðà¿÷íî çàìêíåíå õàðàêòå- ðèñòèêè íóëü çàïðîïîíóâàâ êðèòåð³é ³ñíóâàííÿ ðåãóëÿðíîãî (óí³òàëüíîãî) ä³ëüíèêà òà âêàçàâ êîíñòðóêòèâíèé ìåòîä éîãî ïîáóäîâè. Öåé êðèòåð³é áà- çóºòüñÿ íà ñïåöèô³÷íèõ âëàñòèâîñòÿõ ïîëÿ F , à òîìó â îðèã³íàëüíîìó âè- ãëÿä³ íå ìîæå áóòè óçàãàëüíåíèì. Ó ðîáîò³ [1] öåé êðèòåð³é áóëî ïåðåôîð- ìóëüîâàíî òàêèì ÷èíîì. Ðîçãëÿíåìî íèæíþ óí³òðèêóòíó ìàòðèöþ , 2 21 2 1 1 2 1 1 2 1 1 0 0 0 1 0 0 ( , ) ( , ) 1 ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n n n n k V k k k − − ϕ ϕ εΨ Φ = ϕ ϕ ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ ε         , Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць 73 äå 0 1 ( , ) 0, 1, ( , ) ( , ) , 1, deg ,ij ij i j j ij h i j i j ij ij ijh ij j j k k k x k x h ϕ ε = ϕ≡  ϕ ε ϕ ε + + + ≠ = ϕ ϕ  òóò ijk  – ïàðàìåòðè, 2, , , 1, , 1, i n j n i j= = − >  . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ( )F k òðàíñöåäåíòíå ðîçøèðåííÿ ïîëÿ F çà ðàõóíîê ïðèºäíàííÿ âñ³õ ijk  . Òåîðåìà 1. Äëÿ òîãî ùîá ³ç ìàòðè÷íîãî ìíîãî÷ëåííà ( )A x ìîæíà áóëî âèä³ëèòè ë³âèé óí³òàëüíèé ä³ëüíèê ç ê. ä. ô. ( ), deg det ( )x x nrΦ Φ = , íåîáõ³äíî òà äîñòàòíüî, ùîá ìàòðèöÿ 1( ( , ) ( )) ( )V P x x−Ψ Φ Φ ðåãóëÿðèçóâà- ëàñÿ ñïðàâà íàä ( )[ ]F k x . Çàóâàæèìî, ùî óìîâà deg det ( )x nrΦ = º íåîáõ³äíîþ óìîâîþ ³ñíóâàí- íÿ óí³òàëüíîãî ä³ëüíèêà ñòåïåíÿ r . Ç ìåòîäàìè ðåãóëÿðèçàö³¿ ìíîãî÷ëåí- íèõ ìàòðèöü ìîæíà îçíàéîìèòèñü â ðîáîòàõ [1, 2, 6]. Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ( , )Ψ ΦV ìíîæèíó íèæí³õ óí³òðèêóòíèõ ìàòðèöü, ÿê³ îòðèìóþòüñÿ ³ç ìàòðèö³ ( , )V Ψ Φ , êîëè ïàðàìåòðè ijk  íåçàëåæíî îäèí â³ä îäíîãî ïðîá³ãàþòü óñ³ çíà÷åííÿ ³ç ïîëÿ F . Òàêîæ ïîçíà÷èìî ÷åðåç 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦV ìíîæèíó âñ³õ ìàòðèöü âèãëÿäó 1( ( ) ( )) ( )V x P x x− Φ , äå ( ) ( , )V x ∈ Ψ ΦV . Òîä³ òåîðåìó 1 ìîæíà ñôîðìóëþâàòè ùå òàê. Òåîðåìà 2. Äëÿ òîãî ùîá ³ç ìàòðè÷íîãî ìíîãî÷ëåííà ( )A x ìîæíà áó- ëî âèä³ëèòè ë³âèé óí³òàëüíèé ä³ëüíèê ç ê. ä. ô. ( )xΦ , deg det ( )x nrΦ = , íåîáõ³äíî òà äîñòàòíüî, ùîá ó ìíîæèí³ 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦV ³ñíóâàëà ìàòðèöÿ, ùî ðåãóëÿðèçóºòüñÿ ñïðàâà íàä [ ]F x . Ó ö³é ðîáîò³ ïîêàçàíî, ùî òåîðåìè 1 òà 2 çà ïåâíèõ îáìåæåíü âèêîíó- þòüñÿ ³ ó âèïàäêó äîâ³ëüíîãî íåñê³í÷åííîãî ïîëÿ. ²íøèé ï³äõ³ä äî ïîøóêó óí³òàëüíèõ ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x áàçóºòüñÿ íà òîìó ôàêò³, ùî àñîö³éîâí³ ì³æ ñîáîþ óí³òàëüí³ ä³ëüíèêè çá³ãàþòüñÿ. Îò- æå, âîíè ì³ñòÿòüñÿ ó ìíîæèí³ âñ³õ íåàñîö³éîâíèõ ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x . Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî äëÿ îïèñó óí³òàëüíèõ ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x ç ê. ä. ô. ( )xΦ äîñòàòíüî çíàéòè ìíîæèíó íåàñîö³éîâíèõ ä³ëüíèê³â ö³º¿ ìàòðèö³ ç³ âêàçàíîþ ê. ä. ô. òà âèáðàòè ç íå¿ ò³ ä³ëüíèêè, ÿê³ ðåãóëÿðèçóþòüñÿ. Çã³äíî ç ðåçóëüòàòàìè ðîáîòè [8] ìíîæèíà 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦV º ìíî- æèíîþ óñ³õ ë³âèõ íåàñîö³éîâíèõ ñïðàâà ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x ç ê. ä. ô. ( )xΦ òîä³ é ò³ëüêè òîä³, êîëè ñòåï³íü âñ³õ ïðîñòèõ ä³ëüíèê³â, ÿê³ âõîäÿòü â ðîçêëàä ìíîãî÷ëåíà 1 ( ) ( ) i i x x− ϕ ϕ íà ìíîæíèêè, º á³ëüøèì â³ä ñòåïåí³â â³äïîâ³ä- íèõ ä³ëüíèê³â åëåìåíòà 1 1 ( ) ( ) i i x x − − ε ϕ , 2, ,i n=  . Â ³íøîìó âèïàäêó ìíîæèíà 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦV º âëàñíîþ ï³äìíîæèíîþ ìíîæèíè âñ³õ ë³âèõ íåàñîö³- éîâíèõ ñïðàâà ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x ç ê. ä. ô. ( )xΦ . Îòæå, çàäà÷à ïîëÿãàº â òîìó, ùîá ðîçøèðèòè ìíîæèíó ( , )Ψ ΦV òàê, ùîá îòðèìàíà íà ¿¿ îñíîâ³ ìíîæèíà ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x ì³ñòèëà âñ³ ë³â³ íåàñîö³éîâí³ ñïðàâà ä³ëü- íèêè ç ê. ä. ô. ( )xΦ . Äëÿ öüîãî ðîçãëÿíåìî âåðõíþ óí³òðèêóòíó ìàòðèöþ S âèãëÿäó 74 А. М. Романів, В. П. Щедрик 12 1, 1 1 2, 1 2 1, 1 0 1 1 0 0 0 1 n n n n n n s s s s s S s − − − =    , äå pqs – ïàðàìåòðè, 1, , 1, 2, , , p n q n p q= − = <  . Ðîçãëÿíåìî äîáóòîê ìàòðèöü ( , )V SΨ Φ . Íàäàìî ïàðàìåòðàì ijk  , pqs , ùî ô³ãóðóþòü â ìàòðèö³ ( , )V SΨ Φ , óñ³õ çíà÷åíü ³ç ïîëÿ F . Îòðèìàíó ìíîæèíó ìíîãî÷ëåííèõ ìàò- ðèöü ïîçíà÷èìî ÷åðåç ( , )Ψ ΦLD . Òåîðåìà 3. Ìíîæèíà 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦLD º ìíîæèíîþ ë³âèõ ä³ëüíè- ê³â ìàòðèö³ ( )A x , ÿêà ì³ñòèòü ó ñîá³ âñ³ ë³â³ íåàñîö³éîâí³ ñïðàâà ä³ëüíè- êè ìàòðèö³ ( )A x ç ê. ä. ô. ( )xΦ . Ïåðåä äîâåäåííÿì ö³º¿ òåîðåìè âñòàíîâèìî äîïîì³æíå òâåðäæåííÿ. Ðîçãëÿíåìî òàê³ ìíîæèíè ìàòðèöü: 1( ) ( [ ]) \| ( ) ( ) ( ) ( )nH x GL F x H x x x H xΦ = ∈ Φ = ΦG { äëÿ äåÿêî¿ ìàòðèö³ 1( ) ( [ ])nH x GL F x∈ } , 1( , ) ( ) ( [ ]) \| ( ) ( ) ( ) ( )nL x GL F x L x x x L xΨ Φ = ∈ Ψ = ΦL { äëÿ äåÿêî¿ ìàòðèö³ 1( ) ( [ ])nL x M F x∈ } , ÿê³ çã³äíî ç ðåçóëüòàòàìè ðîáîòè [8] ñêëàäàþòüñÿ ç îáîðîòíèõ ìàòðèöü âè- ãëÿäó 11 12 1, 1 1 2 21 22 2, 1 2 1 1 2 , 1 1 2 1 n n n n n n n n n n n nn n h h h h h h h h h h h h − − − − ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ         , 11 12 1, 1 1 2 21 22 2, 1 2 2 1 1 2 , 1 1 2 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n n n n nn n n n n g g g g g g g g g g g g − − − − ϕ ϕ ε ϕ ϕ ϕ ϕ ε ϕ ε ϕ ε         (1) â³äïîâ³äíî. Ïðè öüîìó ìíîæèíà ΦG º ìóëüòèïë³êàòèâíîþ ãðóïîþ, ÿêà çà- äîâîëüíÿº óìîâó ( , ) ( , )Φ Ψ Φ = Ψ ΦG L L . Ëåìà. ( )nGU F – ãðóïà âåðõí³õ óí³òðèêóòíèõ ìàòðèöü íàä ïîëåì F çàäàâîëüíÿº ð³âí³ñòü ( , )Ψ ΦL ( )nGU F = ( , )Ψ ΦL . Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ( ) ( , )L x ∈ Ψ ΦL , òîáòî 1 ( ) ( ) ( ) ( )L x x x L xΨ = Φ , äå 1( ) ( [ ])nL x M F x∈ . Íåõàé òàêîæ ( )nR GU F∈ . ²ç âèãëÿäó ö³º¿ ìàòðèö³ âèïëè- âàº, ùî R Ψ∈ G . Òîáòî 1( ) ( ) ( )R x x R xΨ = Ψ , äå 1( ) ( [ ])nR x GL F x∈ . Òîä³ 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )L x R x L x x R x x L x R xΨ = Ψ = Φ , òîáòî ( ) ( , )L x R ∈ Ψ ΦL . Îòæå, ( , ) ( ) ( , )nGU FΨ Φ ⊆ Ψ ΦL L . Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць 75 Îñê³ëüêè ( )nE GU F∈ , òî ( , ) ( , )EΨ Φ = Ψ ΦL L . Òàêèì ÷èíîì, ( , )Ψ Φ ⊆L ( , ) ( )nGU F⊆ Ψ ΦL . Îòæå, ( , ) ( ) ( , )nGU FΨ Φ = Ψ ΦL L . Ëåìó äîâåäåíî. ◊ Ä î â å ä å í í ÿ òåîðåìè 3. Íà ï³äñòàâ³ òâåðäæåííÿ ³ç [8] ìíîæèíà 1( ( , ) ( )) ( ) ( )P x x K x−Ψ Φ ΦL , äå ( ) ( [ ])nK x GL F x∈ , º ìíîæèíîþ âñ³õ ë³âèõ ä³ëü- íèê³â ìàòðèö³ ( )A x ç ê. ä. ô. ( )xΦ . Îñê³ëüêè ( , ) ( ) ( , )nGU FΨ Φ = Ψ ΦL L , òî êîæíà ìàòðèöÿ âèãëÿäó 1( ( ) ( )) ( )L x RP x x− Φ , äå ( ) ( , )L x ∈ Ψ ΦL , ( )nR GU F∈ , áóäå ä³ëüíèêîì ìàòðèö³ ( )A x . Òîáòî ìíîæèíà 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦLD º ìíî- æèíîþ ë³âèõ ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x . Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ( , )Ψ ΦW ìíîæèíó ïðåäñòàâíèê³â ë³âèõ êëàñ³â ñóì³æ- íîñò³ ìíîæèíè ( , )Ψ ΦL ïî ãðóï³ ΦG . Òîä³ çã³äíî ç òåîðåìîþ 2 ç [8] ìíîæèíà 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦW º ìíîæèíîþ âñ³õ ë³âèõ íåàñîö³éîâíèõ ñïðàâà ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x ç ê. ä. ô. ( )xΦ . Òàêèì ÷èíîì, äëÿ äîâåäåííÿ òåîðåìè äîñòàò- íüî ïîêàçàòè, ùî äëÿ êîæíî¿ ìàòðèö³ ³ç 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦW ó ìíîæèí³ 1( ( , ) ( )) ( )P x x−Ψ Φ ΦLD ³ñíóº àñîö³éîâíà ñïðàâà äî íå¿ ìàòðèöÿ. Íåõàé 1( ) ( ( ) ( )) ( )B x W x P x x−= Φ , äå ( ) ( , )W x ∈ Ψ ΦW . ²ç íàñë³äêó 1 ç [8] âèïëèâàº, ùî ìàòðèöÿ ( )B x àñîö³éîâíà ñïðàâà äî ìàòðèö³ 1( )B x = 1( ( ) ( )) ( )U x P x x−= Φ , äå ( ) ( , )U x ∈ Ψ ΦLD , òîä³ é ò³ëüêè òîä³, êîëè ( )U x = ( ) ( )H x W x= , äå ( )H x Φ∈ G . Îòæå, ïîòð³áíî ïîêàçàòè, ùî äëÿ êîæíî¿ ìàòðè- ö³ ( ) ( , )W x ∈ Ψ ΦW ³ñíóþòü ( )H x Φ∈ G ³ ( )nR GU F∈ òàê³, ùî ( ) ( )H x W x R = ( )V x= , äå ( ) ( , )V x ∈ Ψ ΦV , îñê³ëüêè â öüîìó âèïàäêó ìàòðèöÿ 1( ( ) ( )) ( )W x P x x− Φ áóäå àñîö³éîâíà ñïðàâà äî ìàòðèö³ 1 1( ( ) ( )) ( )V x R P x x− − Φ , ïðè÷îìó 1( ) ( , )V x R− ∈ Ψ ΦLD . Äëÿ äîâåäåííÿ âèêîðèñòàºìî ìåòîä ìàòåìàòè÷íî¿ ³íäóêö³¿. Íåõàé ìàò- ðèöÿ ( )H x ìàº âèãëÿä (1) ³ 1 ( ) n ijW x =  . Ïîêëàäåìî 2n = . Ðîçãëÿíåìî âèïàäîê 1′) 2 12 22 1 ( ) ( ), ( ) 1 ( ) x x x x ϕ  = ϕ    . Òîä³ ³ñíóþòü òàê³ 21( )h x òà 22 ( )h x , ùî 2 21 12 22 22 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) x h x x h x x x ϕ + = ϕ   . Îòæå, ìàòðèöÿ 22 12 2 1 21 22 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x H h x h x x − ϕ = ϕ   íàëåæèòü ãðóï³ ΦG . Òîä³ 11 1 21 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 x x g x H W g x = . Îñê³ëüêè îòðèìàíà ìàòðèöÿ º îáîðîòíîþ, òî 11 11( )g x g= – â³äì³ííèé â³ä íóëÿ åëåìåíò ïîëÿ F . Òîìó 1 1111 2 1 2121 0 1 00 ( ) ( ) ( ) ( ) 1( ) 10 1 gg H x H x W x g xg x − ⋅ = = . 76 А. М. Романів, В. П. Щедрик Íà ï³äñòàâ³ ëåìè 3 ³ç [7] ó ãðóï³ ΦG ³ñíóº òàêà ìàòðèöÿ 3 ( )H x , ùî 3 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( , )H x H x H x W x ∈ Ψ ΦV . Íåõàé òåïåð 1″) 2 12 22 1 ( ) ( ), ( ) ( ) const ( ) x x x x x ϕ  = α ≠ ϕ    . Ç îáîðîòíîñò³ ìàòðèö³ ( )W x âèïëèâàº, ùî 21 22( ( ), ( )) 1x x = , à, îòæå, 2 12 22 1 ( ) ( ), ( ), 1 ( ) x x x x ϕ  = ϕ    . Çã³äíî ç ëåìîþ 1 ³ç [5] ³ñíóº òàêèé åëåìåíò r F∈ , ùî 2 12 22 1 ( ) ( ) ( ), 1 ( ) x x r x x ϕ + = ϕ    . Òîä³ â ìàòðèö³ 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 ij r W x W x R W x x′= = =  åëåìåíò 22 ( )x′ çàäîâîëüíÿº óìîâè 2 22 21 22 1 ( ) , ( ) 1, ( ( ), ( )) 1 ( ) x x x x x ϕ ′ ′ ′= = ϕ     . Îòæå, 2 12 22 1 ( ) ( ), ( ) 1 ( ) x x x x ϕ ′ ′ = ϕ    . Òîáòî ïîâåðíóëèñü äî âèïàäêó 1′). Òîìó â ãðóï³ ΦG ³ñíóº òàêà ìàòðèöÿ ( )H x , ùî 1( ) ( ) ( ) ( ) ( , )H x W x H x W x R= ∈ Ψ ΦV . Òîáòî òâåðäæåííÿ º ïðàâèëü- íèì äëÿ ìàòðèöü ïîðÿäêó 2. Ïðèïóñòèìî ùî òâåðäæåííÿ ñïðàâäæóºòüñÿ äëÿ ìàòðèöü ïîðÿäêó 1n − . Íåõàé 2′) 1 2 1, 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), , ( ), ( ) 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x − − ϕ ϕ ϕ  = ϕ ϕ ϕ      . Òîä³ ³ñíóþòü òàê³ 1 2 , 1( ), ( ), , ( ), ( )n n n n nnh x h x h x h x− , ùî 1 1 2 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) n n n n n n nn nn x x h x x h x x h x x x x ϕ ϕ + + + = ϕ ϕ    . Çâ³äñè âèïëèâàº, ùî 1 2 , 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), , ( ), ( ) 1 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n x x x h x h x h x h x x x x − − ϕ ϕ ϕ  = ϕ ϕ ϕ   . Íà ï³äñòàâ³ òåîðåìè ç [10, ñ. 13] ðÿäîê 1 2 , 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n x x x h x h x h x h x x x x − − ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ  ìîæíà äîïîâíèòè äî ìàòðèö³ ³ç ãðóïè ΦG âèãëÿäó 1 1 2 , 1 1 2 1 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n H x x x x h x h x h x h x x x x − − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ = ∗ ∗ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ      . Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць 77 Òîä³ 11 1, 1 1 1 1 1,1 1, 1 1, 1 , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 n n n n n n n n n n g x g x g x H x W x W xg x g x g x g x g x − − − − − − = =        . Îòæå, 1 1 2 1 1, 1 0 ( ) ( ) ( ) ( )0 1 ( ) 0 0 1 n n n g x W x H x W xg x− − = =−    11 1, 1 2 1,1 1, 1 1 , 1 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( )( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) ( ) 1 n n n n n n n c x c x C x W xc x c x g x g x g x − − − − − = = =        . Îñê³ëüêè 2det ( ) det ( )W x C x= , òî ( )C x – îáîðîòíà ìàòðèöÿ. Çã³äíî ç ïðèïó- ùåííÿì ³íäóêö³¿ â ãðóï³ ΦG ³ñíóº òàêà ìàòðèöÿ 1 13 diag( ( ), , ( ))( ) nx xH x −ϕ ϕ∈ G  òà ÷èñëîâà ìàòðèöÿ 3R , ùî 3 3( ) ( )H x C x R º íèæíüîþ óí³òðèêóòíîþ ìàòðè- öåþ. Òîä³ 3 3( ) 0 ( ) ( ) 0( ) 0 0 ( ) 1 0 10 1 ( ) 1 H x H x C x RC x R g x g x R ⋅ ⋅ = = 3 1 0 0 ( ) 1 0 * 1 W x= =   . Ïðè öüîìó ( )3 0 0 1 H x Φ∈ G . Íà ï³äñòàâ³ ëåìè 3 ³ç [7] â ãðóï³ ΦG ³ñíóº òàêà ìàòðèöÿ 4 ( )H x , ùî 4 3( ) ( ) ( , )H x W x ∈ Ψ ΦV . Íåõàé òåïåð 2″) 1 2 1, 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), , ( ), ( ) ( ) const ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x x − − ϕ ϕ ϕ  = α ≠ ϕ ϕ ϕ      . ²ç îáîðîòíîñò³ ìàòðèö³ ( )W x âèïëèâàº, ùî 1 2( ( ), ( ), , ( )) 1n n nnx x x =   . Îò- æå, 1 2 1 ( ) ( ), ( ), , ( ), 1 ( ) n n n nn x x x x x ϕ  = ϕ     . Çã³äíî ç ëåìîþ 1 ³ç [5] â ïîë³ F ³ñíóþòü òàê³ åëåìåíòè 1 1, , nr r − , ùî 1 1 2 2 1, 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), 1 ( ) n n n n n n nn x x r x r x r x x− − − ϕ + + + + = ϕ      . Òîä³ â ìàòðèö³ 1 11 1 0 ( ) ( ) ( ) 1 0 1 n ij n r W x W x R xr − ′⋅ = =    åëåìåíò ( )nn x′ çàäîâîëüíÿº óìîâó 78 А. М. Романів, В. П. Щедрик 1 ( ) , ( ) 1 ( ) n nn x x x ϕ ′ = ϕ   . Âèêîðèñòàâøè âëàñòèâ³ñòü 4 ³ç [11], îòðèìàºìî 1 2 1, 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ), , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n nn n x x x x x x x x x x − − ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′ ′ = ϕ ϕ ϕ      2 1, 1 2 1 ( ) ( ) ( ) , ( ), , ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n nn n x x x x x x x x x − − ϕ ϕ ϕ ′ ′ ′= = ϕ ϕ ϕ     2 1, 1 2 1 ( ) ( ) ( ) , ( ) , ( ), , ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nn n n n n x x x x x x x x x − − ϕ ϕ ϕ  ′ ′ ′= =  ϕ ϕ ϕ      2 1, 2 1 ( ) ( ) 1, ( ), , ( ) 1 ( ) ( ) n n n n n n x x x x x x − − ϕ ϕ ′ ′= = ϕ ϕ    . Òîáòî ïîâåðíóëèñÿ äî âèïàäêó 2′). Òåîðåìó äîâåäåíî. ◊ Ïîçíà÷èìî ÷åðåç ( , )F k s òðàíñöåäåíòíå ðîçøèðåííÿ ïîëÿ F çà ðàõóíîê ïðèºäíàííÿ âñ³õ , ij pqk s . Íàñë³äîê. Äëÿ òîãî ùîá ³ç ìàòðè÷íîãî ìíîãî÷ëåííà ( )A x ìîæíà áóëî âèä³ëèòè óí³òàëüíèé ä³ëüíèê ç ê. ä. ô. ( )xΦ , ( )degdet x nrΦ = , íåîáõ³äíî òà äîñòàòíüî, ùîá ìàòðèöÿ 1( ( , ) ( )) ( )V SP x x−Ψ Φ Φ ðåãóëÿðèçóâàëàñÿ ñïðà- âà íàä ( , )F k s . Òåîðåìà 4. Íåõàé ( )A x – ìàòðè÷íèé ìíîãî÷ëåí, ÿêèé ìîæå áóòè çâå- äåíèé äî ê. ä. ô. ëèøå ïðàâîñòîðîíí³ìè ïåðåòâîðåííÿìè, òîáòî ( ) ( )A x Q x = ( )x= Ψ . Òîä³ äëÿ òîãî ùîá ³ç ìàòðè÷íîãî ìíîãî÷ëåííà ( )A x ìîæíà áóëî âèä³ëèòè óí³òàëüíèé ä³ëüíèê ç ê. ä. ô. ( )xΦ , ( )degdet x nrΦ = , íåîáõ³äíî òà äîñòàòíüî, ùîá ìàòðèöÿ 1( , ) ( )V x− Ψ Φ Φ ðåãóëÿðèçóâàëàñÿ ñïðàâà íàä ( , )F k s . Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé ìàòðè÷íèé ìíîãî÷ëåí ( )A x ðåãóëÿðèçóºòüñÿ ñïðà- âà, òîáòî äëÿ íüîãî ³ñíóº òàêà îáîðîòíà ìàòðèöÿ ( )xU , ùî 1 1 0( ) ( ) r r r rA x U x A x A x A− −= + + + . ² íåõàé ( ) ( ) ( )1A x CA x V x= , äå ( )nC GL F∈ , ( ) ( [ ])nV x GL F x∈ – íàï³âñêà- ëÿðíî åêâ³âàëåíòíà äî íå¿ ìàòðèöÿ. Òîä³ 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A x V x U x C CA x V x V x U x C CA x U x C− − − − −= = =( ) ( ) 1 1 1 0r r rC Ex B x B C− − −= + + + =( ) 1 1 1 1 1 0 r r rCEx C CB x C CB C− − − − −= + + + = 1 1 0 r r rEx D x D− −= + + + , äå 1 i iD CB C−= , ,0, 1i r= − . Òàêèì ÷èíîì, ÿêùî ìàòðèöÿ ( )A x ðåãóëÿðèçóºòüñÿ, òî ðåãóëÿðèçóþòü- ñÿ ³ âñ³ ìàòðèö³, íàï³âñêàëÿðíî åêâ³âàëåíòí³ äî íå¿. Ðîç³á’ºìî ìíîæèíó âñ³õ ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x ç ê. ä. ô. ( )xΦ íà êëàñè íàï³âñêàëÿðíî åêâ³âàëåíòíèõ ì³æ ñîáîþ ìàòðèöü. Çã³äíî ç òåîðåìîþ ³ç [4] êëàñ íàï³âñêàëÿðíî åêâ³âàëåíòíèõ ì³æ ñîáîþ ìàòðèöü ìàº âèãëÿä 1( ( ) ( )) ( ) ( )nL x GL P x K x− Φ ΦG , äå ( ) ( , )L x ∈ Ψ ΦL , ( ) ( [ ])nK x GL F x∈ . ²ç äîâåäåííÿ òåîðåìè 3 âèïëèâàº, ùî â Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць 79 ìíîæèí³ ( ) ( )nL x GL FΦG ³ñíóº ìàòðèöÿ ( ) ( , )V x ∈ Ψ ΦV . Òîáòî êîæíèé êëàñ íàï³âñêàëÿðíî åêâ³âàëåíòíèõ ì³æ ñîáîþ ìàòðèöü ì³ñòèòü ìàòðèöþ âèãëÿäó 1( ) ( )V x x− Φ . Îòæå, äëÿ ïåðåâ³ðêè ³ñíóâàííÿ óí³òàëüíèõ ä³ëüíèê³â ìàòðèö³ ( )A x äîñòàòíüî ïåðåâ³ðèòè ðåãóëÿðèçîâí³ñòü ñïðàâà ìàòðèöü ³ç ìíîæèíè 1( , ) ( )x− Ψ Φ ΦV . Òåîðåìó äîâåäåíî. ◊ 1. Çåë³ñêî Â. Ð., Ùåäðèê Â. Ï. Ìàòðèöÿ çíà÷åíü íà ñèñòåì³ êîðåí³â ä³àãîíàëüíèõ åëåìåíò³â ìàòðèö³ òà ¿¿ çàñòîñóâàííÿ // Ìàò. ìåòîäè òà ô³ç.-ìåõ. ïîëÿ. – 2005. – 48, ¹ 4. – Ñ. 20–29. 2. Êàçèìèðñêèé Ï. Ñ. Ðåøåíèå ïðîáëåìû âûäåëåíèÿ ðåãóëÿðíîãî ìíîæèòåëÿ èç ìàòðè÷íîãî ìíîãî÷ëåíà // Óêð. ìàò. æóðí. – 1980. – 32, ¹ 4. – Ñ. 483–498. 3. Êàç³ì³ðñüêèé Ï. Ñ. Ðîçêëàä ìàòðè÷íèõ ìíîãî÷ëåí³â íà ìíîæíèêè // Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 1981. – 224 ñ. 4. Ìåëüíèê Î. Ì. Îá èíâàðèàíòàõ ïðåîáðàçóþùèõ ìàòðèö // Ìåòîäû èññëåäîâà- íèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ è èíòåãðàëüíûõ îïåðàòîðîâ. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà. – 1989. – Ñ. 160–164. 5. Ïåòðè÷êîâè÷ Â. Ì. Î ïîëóñêàëÿðíîé ýêâèâàëåíòíîñòè è íîðìàëüíîé ôîðìå Ñìèòà ìíîãî÷ëåííûõ ìàòðèö // Ìàò. ìåòîäû è ôèç.-ìåõ. ïîëÿ. – 1987. – Âûï. 26. – Ñ. 13–16. 6. Ïðîêèï Â. Ì. Î äåëèìîñòè è îäíîñòîðîííåé ýêâèâàëåíòíîñòè ìàòðè÷íûõ ìíîãî- ÷ëåíîâ // Óêð. ìàò. æóðí. – 1990. – 42, ¹ 9. – Ñ. 1213–1219. 7. Ùåäðèê Â. Ï. Îäèí êëàñ ä³ëüíèê³â ìàòðèöü íàä êîìóòàòèâíîþ îáëàñòþ åëåìåí- òàðíèõ ä³ëüíèê³â // Ìàò. ñòóä³¿. – 2002. – 17, ¹ 1. – Ñ. 23–28. 8. Ùåäðèê Â. Ï. Ñòðóêòóðà òà âëàñòèâîñò³ ä³ëüíèê³â ìàòðèöü íàä êîìóòàòèâíîþ îáëàñòþ åëåìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â // Ìàò. ñòóä³¿. – 1998. – 10, ¹ 2. – Ñ. 115–120. 9. Gohberg I., Lancaster P., Rodman L. Matrix polynomials. – New York: Acad. Press, 1982. – 409 ð. 10. Newman M. Integral matrices. – New York: Acad. Press, 1972. – 224 ð. 11. Shchedryk V. P. Some determinant properties of primitive matrices over Bezout B-domain // Algebra and Discrete Mathematics. – 2005. – No. 2. – Ð. 46–57. О НЕАССОЦИИРУЕМЫХ И УНИТАЛЬНЫХ ДЕЛИТЕЛЯХ МНОГОЧЛЕННЫХ МАТРИЦ Äëÿ íåîñîáåííîé ìíîãî÷ëåííîé ìàòðèöû ( )A x íàä áåñêîíå÷íûì ïîëåì ïîñòðîåíî íåêîòîðîå ìíîæåñòâî åå äåëèòåëåé, êîòîðîå ñîäåðæèò âñå íåàññîöèèðóåìûå äåëè- òåëè ñ íàïåðåä çàäàííîé êàíîíè÷åñêîé äèàãîíàëüíîé ôîðìîé. Ïðè íåêîòîðûõ îãðàíè÷åíèÿõ íà ìàòðèöó ( )A x óêàçàí êðèòåðèé ñóùåñòâîâàíèÿ óíèòàëüíîãî ìíîæèòåëÿ ýòîé ìàòðèöû. ON NONASSOCIATED AND MONIC DIVISORS OF POLYNOMIAL MATRICES For a nonsingular polynomial matrix ( )A x over an infinite field we have constructed some set of its divisors containing all nonassociated divisors with prescribed canonical diagonal form. With some restrictions on matrix ( )A x the existence criterion of monic multiplier of this matrix has been suggested. ²í-ò ïðèêë. ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè Îäåðæàíî ³ì. ß. Ñ. Ï³äñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â 04.11.08

Про неасоційовні та унітальні дільники многочленних матриць

Institution

Ähnliche Einträge