Узагальнений стабільний ранг кілець

Вводиться поняття узагальненого стабільного рангу кілець. Обчислено узагальнений стабільний ранг кільця матриць над кільцем елементарних дільників і кільця матриць над одинично регулярним кільцем. Доводиться, що над кільцем з елементарною редукцією матриць довільна квадратна матриця порядку n є сумо...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автор:	Білявська, С.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України 2008
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7694
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Узагальнений стабільний ранг кілець / С.І. Білявська // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 88-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укp.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-7694
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-76942010-04-09T12:00:49Z Узагальнений стабільний ранг кілець Білявська, С.І. Вводиться поняття узагальненого стабільного рангу кілець. Обчислено узагальнений стабільний ранг кільця матриць над кільцем елементарних дільників і кільця матриць над одинично регулярним кільцем. Доводиться, що над кільцем з елементарною редукцією матриць довільна квадратна матриця порядку n є сумою двох матриць з групи GEn(R). Вводится понятие обобщенного стабильного ранга колец. Вычислены обобщенный стабильный ранг кольца матриц над кольцом элементарных делителей и кольца матриц над единично регулярным кольцом. Доказано, что над кольцом с элементарной редукцией матриц произвольная квадратная матрица порядка n является сумой двух матриц из группы GEn(R). It is introduced the notion of generalized stable rank of rings. Also calculated generalized stable rank of matrice ring over an elementary divisor ring and matrice ring over unit regular ring. It is proved that over ring with elementary reduce of matrices every square n-th order matrice is a sum of two matrices, which belong to group GEn(R). 2008 Article Узагальнений стабільний ранг кілець / С.І. Білявська // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 88-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7694 512.552.12 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
description	Вводиться поняття узагальненого стабільного рангу кілець. Обчислено узагальнений стабільний ранг кільця матриць над кільцем елементарних дільників і кільця матриць над одинично регулярним кільцем. Доводиться, що над кільцем з елементарною редукцією матриць довільна квадратна матриця порядку n є сумою двох матриць з групи GEn(R).
format	Article
author	Білявська, С.І.
spellingShingle	Білявська, С.І. Узагальнений стабільний ранг кілець
author_facet	Білявська, С.І.
author_sort	Білявська, С.І.
title	Узагальнений стабільний ранг кілець
title_short	Узагальнений стабільний ранг кілець
title_full	Узагальнений стабільний ранг кілець
title_fullStr	Узагальнений стабільний ранг кілець
title_full_unstemmed	Узагальнений стабільний ранг кілець
title_sort	узагальнений стабільний ранг кілець
publisher	Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
publishDate	2008
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7694
citation_txt	Узагальнений стабільний ранг кілець / С.І. Білявська // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 88-90. — Бібліогр.: 8 назв. — укp.
work_keys_str_mv	AT bílâvsʹkasí uzagalʹnenijstabílʹnijrangkílecʹ
first_indexed	2025-07-02T10:28:49Z
last_indexed	2025-07-02T10:28:49Z
_version_	1836530669179633664
fulltext	ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 88–90. ÓÄÊ 512.552.12 С. І. Білявська УЗАГАЛЬНЕНИЙ СТАБІЛЬНИЙ РАНГ КІЛЕЦЬ Ââîäèòüñÿ ïîíÿòòÿ óçàãàëüíåíîãî ñòàá³ëüíîãî ðàíãó ê³ëåöü. Îá÷èñëåíî óçà- ãàëüíåíèé ñòàá³ëüíèé ðàíã ê³ëüöÿ ìàòðèöü íàä ê³ëüöåì åëåìåíòàðíèõ ä³ëü- íèê³â ³ ê³ëüöÿ ìàòðèöü íàä îäèíè÷íî ðåãóëÿðíèì ê³ëüöåì. Äîâîäèòüñÿ, ùî íàä ê³ëüöåì ç åëåìåíòàðíîþ ðåäóêö³ºþ ìàòðèöü äîâ³ëüíà êâàäðàòíà ìàòðè- öÿ ïîðÿäêó n º ñóìîþ äâîõ ìàòðèöü ç ãðóïè ( )nGE R . Ñòàá³ëüíèé ðàíã ê³ëåöü º îäíèì ç âàæëèâèõ ³íâàð³àíò³â òåîð³¿ ê³ëåöü. Öå ïîíÿòòÿ ïðèéøëî â òåîð³þ ê³ëåöü ç K-òåîð³¿ ³ âèÿâèëîñü íàäçâè÷àéíî êîðèñíèì ïðè ðîçâ’ÿçàíí³ ðÿäó â³äêðèòèõ ïðîáëåì òåîð³¿ ê³ëåöü, îñîáëèâî â ïèòàííÿõ ïðî ìîæëèâó ä³àãîíàëüíó ðåäóêö³þ ìàòðèöü [1, 2]. Ó òîé æå ÷àñ, ç’ÿâëÿºòüñÿ ðÿä óçàãàëüíåíèõ ïîíÿòü ñòàá³ëüíîãî ðàíãó [3, 4]. Â ö³é ðîáîò³ ïðîïîíóºòüñÿ îäíå ç òàêèõ óçàãàëüíåíü, à ñàìå: ââîäèòüñÿ ïîíÿòòÿ óçàãàëü- íåíîãî ñòàá³ëüíîãî ðàíãó. Òàêîæ ïîêàçàíî, ùî ê³ëüöå ìàòðèöü íàä ê³ëüöåì åëåìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â ìàº óçàãàëüíåíèé ñòàá³ëüíèé ðàíã (2,2) , à ê³ëüöå ìàòðèöü íàä îäèíè÷íî ðåãóëÿðíèì ê³ëüöåì – (2,1) . Ì. Ãåíð³êñåí ïîêàçàâ [5], ùî íàä ê³ëüöåì åëåìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â äî- â³ëüíà êâàäðàòíà ìàòðèöÿ º ñóìîþ äâîõ îáîðîòíèõ ìàòðèöü. Ó ö³é ðîáîò³ ïîêàçàíî, ùî íàä ê³ëüöåì ç åëåìåíòàðíîþ ðåäóêö³ºþ ìàò- ðèöü äîâ³ëüíà êâàäðàòíà ìàòðèöÿ º ñóìîþ äâîõ ìàòðèöü, ÿê³ íàëåæàòü ãðó- ï³ åëåìåíòàðíèõ ìàòðèöü. Ââåäåìî íåîáõ³äí³ îçíà÷åííÿ. Ï³ä ê³ëüöåì áóäåìî ðîçóì³òè àñîö³àòèâíå ê³ëüöå ç 1 0≠ . ×åðåç ( )U R ïîçíà÷èìî ãðóïó îáîðîòíèõ åëåìåíò³â ê³ëüöÿ R , à ÷åðåç ( )nGE R – ¿¿ ï³äãðóïó ïîðîäæåíó åëåìåíòàðíèìè ìàòðèöÿìè. Íàãàäàºìî, ùî ê³ëüöå R º ê³ëüöåì åëåìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â (çà Ãåíð³ê- ñåíîì), ÿêùî äëÿ äîâ³ëüíî¿ êâàäðàòíî¿ ìàòðèö³ A ïîðÿäêó n íàä ê³ëüöåì R ³ñíóþòü ìàòðèö³ , ( )nP Q GL R∈ , òàê³ ùî ìàòðèöÿ PAQ – ä³àãîíàëüíà. ßêùî æ äîâ³ëüíà ìàòðèöÿ A çâîäèòüñÿ äî ä³àãîíàëüíîãî âèãëÿäó ïåðåòâî- ðåííÿìè ç ( )nGE R , òî òàêå ê³ëüöå R íàçèâàþòü ê³ëüöåì ç åëåìåíòàðíîþ ðåäóêö³ºþ ìàòðèöü. Ðîçãëÿíåìî äåòàëüí³øå ïîíÿòòÿ ñòàá³ëüíîãî ðàíãó. Ðÿäîê 1 2( , , , )na a a åëåìåíò³â ê³ëüöÿ R íàçèâàþòü óí³ìîäóëÿðíèì, ÿêùî 1 2 na R a R a R+ + + = R= . Ê³ëüöå R ìàº ñòàá³ëüíèé ðàíã n (ó ïîçíà÷åííÿõ . . ( )cm p R n= ), ÿêùî äëÿ äîâ³ëüíîãî óí³ìîäóëÿðíîãî ðÿäêà 1 2 1( , , , , )n na a a a + äîâæèíè 1n + ³ñ- íóþòü òàê³ åëåìåíòè 1 2, , , nb b b R∈ , ùî ðÿäîê 1 1 1 2 1 2( , ,n na a b a a b+ ++ +  1, )n n na a b++ º óí³ìîäóëÿðíèì [7]. Íàäàë³ ÷åðåç ( )mU R ïîçíà÷àòèìåìî 1 2( ) \| ( ), 1,2, ,m m iU R x u u u u U R i m= = + + + ∈ = { } . Áóäåìî ãîâîðèòè, ùî ê³ëüöå R ìàº óçàãàëüíåíèé ñòàá³ëüíèé ðàíã ( , )m n (ó ïîçíà÷åííÿõ . . . ( ) ( , )óç cm p R m n= ), ÿêùî äëÿ äîâ³ëüíîãî óí³ìîäó- ëÿðíîãî ðÿäêà 1 2 1( , , , , )n na a a a + äîâæèíè 1n + ³ñíóþòü òàê³ åëåìåíòè ( )i mb U R∈ , 1, 2, ,i n=  , ùî ðÿäîê 1 1 1 2 1 2 1( , , , )n n n n na a b a a b a a b+ + ++ + + º óí³ìîäóëÿðíèì. Îá÷èñëèìî óçàãàëüíåíèé ñòàá³ëüíèé ðàíã äåÿêèõ êëàñ³â ê³ëåöü. Узагальнений стабільний ранг кілець 89 Òåîðåìà 1. Ê³ëüöå ìàòðèöü íàä ê³ëüöåì åëåìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â ìàº óçàãàëüíåíèé ñòàá³ëüíèé ðàíã (2, 2). Ä î â å ä å í í ÿ. Îñê³ëüêè ê³ëüöå åëåìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â ìàº ñòàá³ëüíèé ðàíã 2 [1, 2], òî çã³äíî ç [6] ñòàá³ëüíèé ðàíã ê³ëüöÿ ìàòðèöü íàä ê³ëüöåì åëå- ìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â äîð³âíþº 2. Çã³äíî ç [5] äîâ³ëüíà ìàòðèöÿ íàä ê³ëüöåì åëåìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â º ñóìîþ äâîõ îáîðîòíèõ ìàòðèöü. À òîìó òàêå ê³ëü- öå ìàº óçàãàëüíåíèé ñòàá³ëüíèé ðàíã (2, 2). ◊ Òåîðåìà 2. Ê³ëüöå ìàòðèöü íàä îäèíè÷íî ðåãóëÿðíèì ê³ëüöåì ìàº óçà- ãàëüíåíèé ñòàá³ëüíèé ðàíã (2, 1). Ä î â å ä å í í ÿ. Çã³äíî ç [8] îäèíè÷íî ðåãóëÿðíå ê³ëüöå R º ê³ëüöåì åëå- ìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â (çà Ãåíð³êñåíîì). Íà ï³äñòàâ³ [8] ñòàá³ëüíèé ðàíã îäè- íè÷íî ðåãóëÿðíîãî ê³ëüöÿ äîð³âíþº 1. Çã³äíî ç [6] ñòàá³ëüíèé ðàíã ê³ëüöÿ ìàòðèöü íàä îäèíè÷íî ðåãóëÿðíèì ê³ëüöåì äîð³âíþº 1. Ç [5] ìàºìî, ùî äî- â³ëüíà ìàòðèöÿ íàä îäèíè÷íî ðåãóëÿðíèì ê³ëüöåì º ñóìîþ äâîõ îáîðîòíèõ ìàòðèöü, à îòæå, óçàãàëüíåíèé ñòàá³ëüíèé ðàíã ê³ëüöÿ ìàòðèöü íàä îäèíè÷- íî ðåãóëÿðíèì ê³ëüöåì äîð³âíþº (2,1) . ◊ Âèÿâëÿºòüñÿ, ùî ìàº ì³ñöå á³ëüø çàãàëüíà âëàñòèâ³ñòü: Òåîðåìà 3. ßêùî R º ê³ëüöåì óçàãàëüíåíîãî ñòàá³ëüíîãî ðàíãó ( , 1)n , òî äîâ³ëüíèé åëåìåíò ç R º ñóìîþ 1n + îáîðîòíèõ åëåìåíò³â. Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé a – äîâ³ëüíèé íåíóëüîâèé ³ íåîáîðîòíèé åëåìåíò ³ç R . Òîä³ ( 1)aR R R+ − = . Çã³äíî ç îáìåæåííÿìè, íàêëàäåíèìè íà ê³ëüöå R , ìàºìî n îáîðîòíèõ åëåìåíò³â 1 2, , , ( )nu u u U R∈ òàêèõ, ùî 1(a u− + 2 1) ( )n nu u u U R++ + + = ∈ . Çâ³äñè îòðèìóºìî, ùî 1 2 1n na u u u u += + + + + . Òåîðåìó äîâåäåíî. ◊ Âèÿâëÿºòüñÿ, ùî ó âèïàäêó ê³ëåöü ç åëåìåíòàðíîþ ðåäóêö³ºþ ìàòðèöü, ö³ ðåçóëüòàòè ìîæíà óòî÷íèòè: Òåîðåìà 4. Íåõàé R – ê³ëüöå ç åëåìåíòàðíîþ ðåäóêö³ºþ ìàòðèöü. Òî- ä³ äîâ³ëüíà êâàäðàòíà ìàòðèöÿ A ïîðÿäêó n íàä R º ñóìîþ äâîõ îáî- ðîòíèõ ìàòðèöü, ÿê³ íàëåæàòü ãðóï³ ( )nGE R . Ä î â å ä å í í ÿ. Íåõàé A – êâàäðàòíà ìàòðèöÿ íàä R ïîðÿäêó n . Îñ- ê³ëüêè R – ê³ëüöå ç åëåìåíòàðíîþ ðåäóêö³ºþ ìàòðèöü, òî ³ñíóþòü òàê³ îáî- ðîòí³ ìàòðèö³ , ( )nP Q GE R∈ , ùî 1 2diag ( , , , )nPAQ = ε ε ε . Çàóâàæèìî, ùî ñåðåä åëåìåíò³â iε ìîæóòü áóòè é íóë³, ïðè÷îìó åëå- ìåíòè iε íåîáîâ’ÿçêîâî ìàþòü âëàñòèâ³ñòü ïîä³ëüíîñò³, òîáòî R º ê³ëüöåì åëåìåíòàðíèõ ä³ëüíèê³â (çà Ãåíð³êñåíîì). Ìîæåìî çàïèñàòè 1 1 2 2 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 n n S − εε ε ε = + εε                   0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 n T S T − − + = + − − ε               . 90 С. І. Білявська Ïðè÷îìó ìàòðèö³ S , T íàëåæàòü ãðóï³ ( )nGE R , îñê³ëüêè 1 2 1 0 0 01 0 0 00 1 0 0 0 1 0 01 0 00 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 S ε ε= ⋅ ⋅                         1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1n−ε          , 1 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 n T − ε − = ⋅ − −                    . Çâ³äñè îòðèìóºìî 1 1 1 1A P SQ P TQ− − − −= + , äå 1 1, , , ( )nP Q S T GE R− − ∈ . ◊ 1. Çàáàâñüêèé Á. Â. Ê³ëüöÿ, íàä ÿêèìè äîâ³ëüíà ìàòðèöÿ äîïóñêàº ä³àãîíàëüíó ðå- äóêö³þ åëåìåíòàðíèìè ïåðåòâîðåííÿìè // Ìàò. ñòóä³¿. – 1997. – 8, ¹ 2. – Ñ. 134–135. 2. Ñòåïàíîâ À. Â. Èäåàëüíûé ñòàáèëüíûé ðàíã êîëåö // Âåñòè Ëåíèíãð. óí-òà. – 1986. – ¹ 3. – Ñ. 45–51. 3. Chen H. Generalized stable exchange rings // Sout Asian. Bull. Math. – 2000. – 24. – P. 19–24. 4. Henriksen M. On a class of regular rings that are elementary divisior rings // Arch. Math. – 1973. – 24, No. 2. – P. 133–141. 5. Henriksen M. Two classes of rings generated by their units // J. Algebra. – 1974. – 31. – P. 182–193. 6. Vaserstein L. N. The stable rank of rings and dimensionality of topological spaces // Func. Anal. Appl. – 1971. – 5. – P. 102–110. 7. Zabavsky B. V. Digonalization of matrices over ring with finite stable rank // Â³ñí. Ëüâ³â. óí-òó. – 2003. – 61. – Ñ. 206–211. 8. Zabavsky B. V. Diagonalizability theorem for matrices over rings with finite stable range // Algebra and Discrete. Math. – 2005. – No. 1 – P. 134–148. ОБОБЩЕННЫЙ СТАБИЛЬНЫЙ РАНГ КОЛЕЦ Ââîäèòñÿ ïîíÿòèå îáîáùåííîãî ñòàáèëüíîãî ðàíãà êîëåö. Âû÷èñëåíû îáîáùåííûé ñòàáèëüíûé ðàíã êîëüöà ìàòðèö íàä êîëüöîì ýëåìåíòàðíûõ äåëèòåëåé è êîëüöà ìàòðèö íàä åäèíè÷íî ðåãóëÿðíûì êîëüöîì. Äîêàçàíî, ÷òî íàä êîëüöîì ñ ýëåìåí- òàðíîé ðåäóêöèåé ìàòðèö ïðîèçâîëüíàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà n ÿâëÿ- åòñÿ ñóìîé äâóõ ìàòðèö èç ãðóïïû ( )nGE R . GENERALIZED STABLE RANK OF RINGS It is introduced the notion of generalized stable rank of rings. Also calculated generali- zed stable rank of matrice ring over an elementary divisor ring and matrice ring over unit regular ring. It is proved that over ring with elementary reduce of matrices every square n-th order matrice is a sum of two matrices, which belong to group ( )nGE R . Ëüâ³â. íàö. óí-ò ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà, Ëüâ³â, Îäåðæàíî 13.11.08

Узагальнений стабільний ранг кілець

Репозитарії

Схожі ресурси