Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку
Побудовано асимптотичне розвинення розв'язку періодичної задачі для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку.
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7699 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку / М.Г. Хмельовський // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 111-114. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7699 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-76992010-04-09T12:00:54Z Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку Хмельовський, М.Г. Побудовано асимптотичне розвинення розв'язку періодичної задачі для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку. Построено асимптотическое разложение решения периодической задачи для сингулярно возмущенного параболического уравнения второго порядка. Asymptotic expansion of the solution to the singularly perturbed parabolic periodic problem of the second order equation is constructed. 2008 Article Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку / М.Г. Хмельовський // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 111-114. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7699 517.946 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Побудовано асимптотичне розвинення розв'язку періодичної задачі для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку. |
| format |
Article |
| author |
Хмельовський, М.Г. |
| spellingShingle |
Хмельовський, М.Г. Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку |
| author_facet |
Хмельовський, М.Г. |
| author_sort |
Хмельовський, М.Г. |
| title |
Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку |
| title_short |
Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку |
| title_full |
Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку |
| title_fullStr |
Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку |
| title_full_unstemmed |
Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку |
| title_sort |
періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку |
| publisher |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7699 |
| citation_txt |
Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку / М.Г. Хмельовський // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 111-114. — Бібліогр.: 11 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT hmelʹovsʹkijmg períodičnazadačadlâsingulârnozburenogoparabolíčnogorívnânnâdrugogoporâdku |
| first_indexed |
2025-07-02T10:29:04Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:29:04Z |
| _version_ |
1836530683987623936 |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 111–114.
ÓÄÊ 517.946
М. Г. Хмельовський
ПЕРІОДИЧНА ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОГО
ПАРАБОЛІЧНОГО РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ
Ïîáóäîâàíî àñèìïòîòè÷íå ðîçâèíåííÿ ðîçâ’ÿçêó ïåð³îäè÷íî¿ çàäà÷³ äëÿ ñèí-
ãóëÿðíî çáóðåíîãî ïàðàáîë³÷íîãî ð³âíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó.
Âñòóï. Ñèíãóëÿðíî çáóðåíèì êëàñè÷íèì çàäà÷àì ÿê äëÿ çâè÷àéíèõ äè-
ôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü, òàê ³ äëÿ ð³âíÿíü ó ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ ð³çíèõ òè-
ï³â ïðèñâÿ÷åíà îáøèðíà ë³òåðàòóðà [7, 9].
Âåëèêà óâàãà îñòàíí³ì ÷àñîì ïðèä³ëÿºòüñÿ âèâ÷åííþ íåëîêàëüíèõ çà-
äà÷, ùî ïîâ’ÿçàíî ç ð³çíîìàí³òíèìè ïðàêòè÷íèìè çàñòîñóâàííÿìè [5].
Î÷åâèäíî, àêòóàëüíèì º âèâ÷åííÿ íåëîêàëüíèõ ñèíãóëÿðíî çáóðåíèõ çà-
äà÷ ÿê ìàëî äîñë³äæåíèõ. Öÿ ïóáë³êàö³ÿ ïðîäîâæóº äîñë³äæåííÿ Â. Ì. Öèì-
áàëà òà éîãî ó÷í³â [10, 11].
1. Ôîðìóëþâàííÿ çàäà÷³. Â îáëàñò³ ( , ) : 0 1, 0D x t x t T= ≤ ≤ ≤ ≤{ }
ðîçãëÿäàºìî òàêó çàäà÷ó:
∂ ∂ε − + =
∂ ∂
2
2
( , ) ( , )u u a x t u f x t
t x
, (1)
(0, ) (1, )
(0, ) (1, ), , 0
u t u t
u t u t t T
x x
∂ ∂= = ≤ ≤
∂ ∂
, (2)
( ,0) 0, 0 1u x x= ≤ ≤ , (3)
äå 0ε > – ìàëèé ïàðàìåòð.
Ïðèïóñòèìî, ùî âèêîíóþòüñÿ íàñòóïí³ óìîâè:
1) ôóíêö³¿ ( , )a x t òà ( , )f x t , ùî âõîäÿòü â ð³âíÿííÿ (1), º + 1N ðàç³â íå-
ïåðåðâíî äèôåðåíö³éîâíèìè çà âñ³ìà ñâî¿ìè àðãóìåíòàìè â îáëàñò³ D ,
äå N – ïîðÿäîê àñèìïòîòèêè (äèâèñü íèæ÷å).
2) ( , ) 0a x t ≥ α > â îáëàñò³ D .
Çà öèõ óìîâ, î÷åâèäíî, ³ñíóº ºäèíèé êëàñè÷íèé ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1)–(3).
Ìåòîþ ðîáîòè º ïîáóäîâà àñèìïòîòèêè öüîãî ðîçâ’ÿçêó çà ìàëèì ïàðà-
ìåòðîì ε .
2. Ïîáóäîâà ôîðìàëüíî¿ àñèìïòîòèêè. Ìåòîäîì ïðèìåæîâîãî øàðó [1,
2] ïîáóäóºìî àñèìïòîòè÷íå ðîçâèíåííÿ ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ (1)–(3) çà ñòåïåíÿ-
ìè ε .
Ôîðìàëüíó àñèìïòîòèêó ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ (1)–(3) øóêàºìî ó âèãëÿä³
1
0 0
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
N N
i i N
i i N
i i
u x t u x t x R x t+
= =
= ε + ε Π τ + ε∑ ∑ , (4)
äå N – íàòóðàëüíå ÷èñëî – ïîðÿäîê àñèìïòîòèêè; ( , ), 0, ,iu x t i N= , –
ôóíêö³¿ ðåãóëÿðíî¿ ÷àñòèíè àñèìïòîòèêè; ( , ), 0, ,i x i NΠ τ = , – ôóíêö³¿
ïðèìåæîâîãî øàðó; +ε 1 ( , )N
NR x t – çàëèøêîâèé ÷ëåí; tτ =
ε
– ïàðàìåòð
ðåãóëÿðèçóþ÷îãî ïåðåòâîðåííÿ.
Âèïèøåìî çàäà÷³, ç ÿêèõ âèçíà÷àþòüñÿ ôóíêö³¿, ùî âõîäÿòü ó (4). Âîíè
âèçíà÷àþòüñÿ ñòàíäàðòíî.
Ôóíêö³¿ ðåãóëÿðíî¿ ÷àñòèíè àñèìïòîòèêè ( , ), 0, ,iu x t i N= , º ðîç-
â’ÿçêàìè çàäà÷
2
2
( , ) ( , ), 0, ,i
i i
u
a x t u f x t i N
x
∂
− + = =
∂
, (5)
112 М. Г. Хмельовський
(0, ) (1, )
(0, ) (1, ), , 0, ,i i
i i
u t u t
u t u t i N
x x
∂ ∂
= = =
∂ ∂
, (6)
äå ≡0 ( , ) ( , ),f x t f x t 1( , ) , 1, ,i
i
u
f x t i N
t
−∂
≡ =
∂
.
Çàäà÷³ (5), (6) º ïåð³îäè÷íèìè çàäà÷àìè äëÿ çâè÷àéíîãî äèôåðåíö³àëü-
íîãî ð³âíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó ( t âõîäèòü ÿê ïàðàìåòð).
Ôóíêö³¿ ( , ), 0, , ,iu x t i N= îòðèìóþòüñÿ ðåêóðåíòíî. Îäíîçíà÷íà ðîç-
â’ÿçí³ñòü çàäà÷ (5), (6) çà òàêèõ óìîâ äîâåäåíà ó [3].
Ôóíêö³¿ ïðèìåæîâîãî øàðó ( , ), 0, ,i x i NΠ τ = , â îêîë³ = 0t âèçíà÷à-
ºìî ÿê ðîçâ’ÿçêè òàêèõ çàäà÷:
2
2
( ,0) ( , )i i
i ia x x
x
∂Π ∂ Π
− + Π = ϕ τ
∂τ ∂
,
0, , , (0 1) (0 )i N x= ≤ ≤ × ≤ τ < ∞ , (7)
(0, ) (1, )i iΠ τ = Π τ ,
(0, ) (1, )
, 0, , , 0i i i N
x x
∂Π τ ∂Π τ
= = ≤ τ < ∞
∂ ∂
, (8)
( ,0) ( , 0), 0, , , 0 1i ix u x i N xΠ = − = ≤ ≤ , (9)
Π τ →( , ) 0i x ïðè τ → ∞ , (10)
äå
0 ( , ) 0xϕ τ ≡ ,
1
( ,0)1( , ) ( , ), 1, ,
!
i j
j
i i jj
j
a x
x x i N
j t
−
=
∂ϕ τ = τ Π τ =
∂
∑ .
ßê áà÷èìî, ôóíêö³¿ ( , ), 0, ,i x i NΠ τ = , º ðîçâ’ÿçêàìè ïåð³îäè÷íèõ çà-
äà÷ äëÿ ïàðàáîë³÷íîãî ð³âíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó (7)–(9) ³ âèçíà÷àþòüñÿ ðå-
êóðåíòíî. Óìîâè (10) – öå äîäàòêîâ³ óìîâè, ùî çàáåçïå÷óþòü ïðèìåæîâèé
õàðàêòåð ôóíêö³é ( , ), 0, ,i x i NΠ τ = .
Ïîêàæåìî îäíîçíà÷íó ðîçâ’ÿçí³ñòü çàäà÷ (7)–(9), à òàêîæ âèêîíàííÿ
óìîâè (10).
Äëÿ = 0i ìàºìî îäíîð³äíå ð³âíÿííÿ 0(7 ) ç óìîâàìè 0(8 ), 0(9 ). Áóäåìî
ðîçâ’ÿçóâàòè öþ çàäà÷ó ìåòîäîì Ôóð’º [6]. Ðîçâ’ÿçîê øóêàºìî ó âèãëÿä³
0
1
( , ) ( )k
k k
k
x A e V x
∞
− λ τ
=
Π τ = ∑ , (11)
äå λk – õàðàêòåðèñòè÷í³ ÷èñëà, à ( )kV x – â³äïîâ³äí³ ¿ì ôóíêö³¿, ÿê³, î÷å-
âèäíî, º ðîçâ’ÿçêàìè çàäà÷
( ) ( ,0) ( ) 0k k kV x a x V x′′ + λ − =[ ] ,
(0) (1), (0) (1), 1,2,k k k kV V V V k′ ′= = = . (12)
Ïîêàæåìî, ùî λk , 1, 2,k = , äîäàòí³. Äëÿ öüîãî äîìíîæèâøè ð³âíÿííÿ
ó (12) íà ( )kV x ³ ïðî³íòåãðóâàâøè ðåçóëüòàò ó ìåæàõ â³ä 0 äî 1, îòðèìàºìî
1 1 1
2 2
0 0 0
( ) ( ,0) ( ) ( ) ( )k k k k kV x dx a x V x dx V x V x dx′′λ = −∫ ∫ ∫ . (13)
²íòåãðóâàííÿ îñòàííüîãî äîäàíêó ó (13) ÷àñòèíàìè ç âðàõóâàííÿì ãðà-
íè÷íèõ óìîâ ç (12), à òàêîæ óìîâè 2) äຠλ > 0k , 1, 2,k = .
Періодична задача для сингулярно збуреного параболічного рівняння другого порядку 113
Ïîâíå îá´ðóíòóâàííÿ ìåòîäó Ôóð’º ïîäàíî ó [6]. Îòæå, çíàõîäèìî
Π τ0( , )x ó âèãëÿä³ (11), çâ³äêè, î÷åâèäíî, àâòîìàòè÷íî âèêîíóºòüñÿ óìîâà
(10). Á³ëüøå òîãî, ç (11) î÷åâèäíå åêñïîíåíö³àëüíå ñïàäàííÿ ôóíêö³¿
Π τ0( , )x , òîáòî Π τ0( , )x – ôóíêö³ÿ åêñïîíåíö³àëüíîãî ïðèìåæîâîãî øàðó.
Ñòîñîâíî ðåøòè ôóíêö³é ( , ), 1, ,i x i NΠ τ = , òî âñ³ âîíè òàêîæ ìîæóòü
áóòè ðåêóðåíòíî îòðèìàí³ ìåòîäîì Ôóð’º ÿê ðîçâ’ÿçêè àíàëîã³÷íèõ çàäà÷,
àëå âæå äëÿ íåîäíîð³äíèõ ð³âíÿíü ç ïðàâèìè ÷àñòèíàìè ϕ τ( , )i x , i =
1, ,N= , ùî åêñïîíåíö³àëüíî ñïàäàþòü ïðè τ → ∞ . Ñòàíäàðòíèìè ì³ðêó-
âàííÿìè ìîæíà ïîêàçàòè, ùî âñ³ ôóíêö³¿ ( , ), 1, ,i x i NΠ τ = , – ôóíêö³¿
åêñïîíåíö³àëüíîãî ïðèìåæîâîãî øàðó.
3. Îö³íêà çàëèøêîâîãî ÷ëåíà. Çàäà÷à äëÿ çàëèøêîâîãî ÷ëåíà àñèìïòî-
òèêè îòðèìóºòüñÿ ñòàíäàðòíî [1, 2] ï³äñòàíîâêîþ (4) ó (1)–(3) ç óðàõóâàí-
íÿì ñï³ââ³äíîøåíü (5)–(10), ùî äຠçàäà÷ó, ïîä³áíó äî âèõ³äíî¿:
2
2
( , ) ( , )N N
N
R R
a x t R x t
t x
∂ ∂
ε − + = ψ
∂ ∂
, (14)
(0, ) (1, )
(0, ) (1, ), , 0N N
N N
R t R t
R t R t t T
x x
∂ ∂
= = ≤ ≤
∂ ∂
, (15)
( ,0) 0, 0 1NR x x= ≤ ≤ , (16)
äå ôóíêö³ÿ ψ( , )x t ëåãêî ìîæå áóòè çàïèñàíà â ÿâíîìó âèãëÿä³ òà º îáìå-
æåíîþ â îáëàñò³ D â 2L -íîðì³.
Îö³íêó ( , )NR x t îòðèìàºìî ìåòîäîì ³íòåãðàë³â åíåð㳿 [4]. Äëÿ öüîãî äî-
ìíîæèìî (14) íà 2 NR ³, çâîäÿ÷è äî äèâåðãåíòíîãî âèãëÿäó, îòðèìàºìî
2
2 22 2 2 ( , ) 2 ( , )N N
N N N N
R R
R R a x t R x t R
t x x x
∂ ∂∂ ∂ ε − + + ψ = ∂ ∂ ∂ ∂
( ) . (17)
²íòåãðóþ÷è (17) ïî îáëàñò³ D ç âèêîðèñòàííÿì ôîðìóëè ¥àóññà – Îñò-
ðîãðàäñüêîãî òà óìîâ (15), (16), ï³ñëÿ ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü îòðèìàºìî
2 ( , )N N
D D
R dx dt x t R dx dtα ≤ ψ∫∫ ∫∫ . (18)
Îö³íèìî ïðàâó ÷àñòèíó (18) çà äîïîìîãîþ íåð³âíîñò³ Êîø³ ç ïàðàìåò-
ðîì, âèáèðàþ÷è ïàðàìåòð òàê, ùîá 2η < α :
22 ( )( )N L DL D
R C≤ ψ ,
äå =
αη
1C ³, î÷åâèäíî, íå çàëåæèòü â³ä ìàëîãî ïàðàìåòðà ε .
Ðåçóëüòàò ðîáîòè ìîæíà ñôîðìóëþâàòè ó âèãëÿä³ òåîðåìè.
Òåîðåìà. Íåõàé âèêîíóþòüñÿ óìîâè 1), 2). Òîä³ ðîçâ’ÿçîê çàäà÷³ (1)–(3)
äîïóñêຠàñèìïòîòè÷íå ðîçâèíåííÿ (4) äîâ³ëüíîãî ïîðÿäêó N . Ôóíêö³¿ ðå-
ãóëÿðíî¿ ÷àñòèíè àñèìïòîòèêè ðåêóðåíòíî âèçíà÷àþòüñÿ ³ç çàäà÷ (5), (6),
ï³ñëÿ ÷îãî ôóíêö³¿ ïðèìåæîâîãî øàðó ðåêóðåíòíî âèçíà÷àþòüñÿ ÿê ðîç-
â’ÿçêè çàäà÷ (7)–(9), çàëèøêîâèé ÷ëåí ìຠïîðÿäîê 1NO +ε( ) ó íîðì³ 2( )L D .
Îòðèìàíèé ðåçóëüòàò äຠíàáëèæåíèé ðîçâ’ÿçîê âèõ³äíî¿ çàäà÷³, à òà-
êîæ ìîæå áóòè âèêîðèñòàíèé äëÿ ïîáóäîâè åôåêòèâíèõ îá÷èñëþâàëüíèõ
àëãîðèòì³â ðîçâ’ÿçêó çàäà÷³ (1)–(3).
Çàóâàæåííÿ. Ðåçóëüòàò ðîáîòè àíîíñîâàíî ó [8].
114 М. Г. Хмельовський
1. Âàñèëüåâà À. Á, Áóòóçîâ Â. Ô. Àñèìïòîòè÷åñêèå ðàçëîæåíèÿ ðåøåíèé ñèíãó-
ëÿðíî âîçìóùåííûõ óðàâíåíèé. – Ìîñêâà: Íàóêà, 1973. – 272 ñ.
2. Âèøèê Ì. È., Ëþñòåðíèê Ë. À. Ðåãóëÿðíîå âûðîæäåíèå è ïîãðàíè÷íûé ñëîé
äëÿ ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ìàëûì ïàðàìåòðîì // Óñïåõè
ìàò. íàóê. – 1957. – 12, ¹ 5. – Ñ. 3–122.
3. Êîëîáîâ À. Ì. Î ïåðèîäè÷åñêîé êðàåâîé çàäà÷å äëÿ ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëü-
íîãî óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. – 1965. – 1, ¹ 6.
– Ñ. 758–763.
4. Êóðàíò Ð. Óðàâíåíèÿ ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè. – Ìîñêâà: Ìèð, 1964. – 832 ñ.
5. Ïòàøíèê Á. É., ²ëüê³â Â. Ñ., Êì³òü ². ß., Ïîë³ùóê Â. Ì. Íåëîêàëüí³ êðàéîâ³ çà-
äà÷³ äëÿ ð³âíÿíü ³ç ÷àñòèííèìè ïîõ³äíèìè. – Êè¿â: Íàóê. äóìêà, 2002. – 416 ñ.
6. Ñòåêëîâ Â. À. Îñíîâíûå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. – Ìîñêâà: Íàóêà, 1983.
– 432 ñ.
7. Òðåíîãèí Â. À. Ðàçâèòèå è ïðèëîæåíèå àñèìïòîòè÷åñêîãî ìåòîäà Ëþñòåðíèêà –
Âèøèêà // Óñïåõè ìàò. íàóê. – 1970. – 25, ¹. 4. – Ñ. 123–156.
8. Õìåëüîâñüêèé Ì. Ã. Ïåð³îäè÷íà çàäà÷à äëÿ ñèíãóëÿðíî çáóðåíîãî ïåð³îäè÷íîãî
ð³âíÿííÿ äðóãîãî ïîðÿäêó // Òåçè äîï. êîíô. ìîëîäèõ ó÷åíèõ ç ñó÷àñíèõ ïðîá-
ëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè ³ì. àêàä. ß. Ñ. ϳäñòðèãà÷à. Ëüâ³â, 24–27 òðàâíÿ
2005 ð. – Ñ. 325.
9. Lions J.-L. Perturbations singulières dans les problémes aux limites åt en contrôle
optimal // Lect. Notes Math. – 1973. – 323. – 540 p.
10. Tsymbal V., Flud V. Pewne nielokalne zagadnienie dla silnie zaburzonego równania
róźniczkowego zwyczajnego // Zeszyty Nauk. Politechniki Opolskiej. Ser. Matema-
tyka. – 2002. – 18. – S. 27–35.
11. Tsymbal V., Flud V. O pewnym nielokalnym zagadnieniu dla równania róźniczko-
wego zwyczajnego // Zeszyty Nauk. Politechniki Opolskiej. Ser. Matematyka. –
2002. – 18. – S. 21–26.
ПЕРИОДИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОГО
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Ïîñòðîåíî àñèìïòîòè÷åñêîå ðàçëîæåíèå ðåøåíèÿ ïåðèîäè÷åñêîé çàäà÷è äëÿ ñèí-
ãóëÿðíî âîçìóùåííîãî ïàðàáîëè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà.
PERIODIС PROBLEM FOR SINGULARLY PERTURBED PARABOLIC
EQUATION OF THE SECOND ORDER
Asymptotic expansion of the solution to the singularly perturbed parabolic periodic
problem of the second order equation is constructed.
²í-ò ï³äïðèºìíèöòâà òà ïåðñïåêò. òåõíîë., Îäåðæàíî
Íàö. óí-ò «Ëüâ³â. ïîë³òåõí³êà», Ëüâ³â 15.10.08
|