Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами
Розглянуто двовимірні неперервні дроби, елементи яких лежать у кутовій області правої півплощини. Встановлено достатні умови збіжності та фігурної збіжності. Одержано оцінку похибки наближення....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7700 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами / О.М. Сусь // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 115-123. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7700 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-77002010-04-09T12:00:54Z Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами Сусь, О.М. Розглянуто двовимірні неперервні дроби, елементи яких лежать у кутовій області правої півплощини. Встановлено достатні умови збіжності та фігурної збіжності. Одержано оцінку похибки наближення. Рассматриваются двумерные непрерывные дроби, элементы которых принадлежат угловой области правой полуплоскости. Установлены достаточные условия сходимости и фигурной сходимости. Получена оценка погрешности приближения. The paper deals with two-dimensional continued fractions whose elements are belonging to angular region of right half-plane. Sufficient conditions of the convergence and of the figured convergence for these two-dimensional continued fractions are established. Estimate of truncation error is obtained. 2008 Article Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами / О.М. Сусь // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 115-123. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7700 517.526 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Розглянуто двовимірні неперервні дроби, елементи яких лежать у кутовій області правої півплощини. Встановлено достатні умови збіжності та фігурної збіжності. Одержано оцінку похибки наближення. |
| format |
Article |
| author |
Сусь, О.М. |
| spellingShingle |
Сусь, О.М. Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами |
| author_facet |
Сусь, О.М. |
| author_sort |
Сусь, О.М. |
| title |
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами |
| title_short |
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами |
| title_full |
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами |
| title_fullStr |
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами |
| title_full_unstemmed |
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами |
| title_sort |
про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами |
| publisher |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7700 |
| citation_txt |
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів з комплексними елементами / О.М. Сусь // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 115-123. — Бібліогр.: 14 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT susʹom proocínkušvidkostízbížnostídvovimírnihneperervnihdrobívzkompleksnimielementami |
| first_indexed |
2025-07-02T10:29:06Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:29:06Z |
| _version_ |
1836530686566072320 |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 115–123.
ÓÄÊ 517.526
О. М. Сусь
ПРО ОЦІНКУ ШВИДКОСТІ ЗБІЖНОСТІ ДВОВИМІРНИХ НЕПЕРЕРВНИХ
ДРОБІВ З КОМПЛЕКСНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ
Ðîçãëÿäàþòüñÿ äâîâèì³ðí³ íåïåðåðâí³ äðîáè, åëåìåíòè ÿêèõ ëåæàòü ó êóòî-
â³é îáëàñò³ ïðàâî¿ ï³âïëîùèíè. Âñòàíîâëåíî äîñòàòí³ óìîâè çá³æíîñò³ òà
ô³ãóðíî¿ çá³æíîñò³. Îäåðæàíî îö³íêó ïîõèáêè íàáëèæåííÿ.
 àíàë³òè÷í³é òåî𳿠íåïåðåðâíèõ äðîá³â ïîðÿä ç êðóãîâèìè, ïàðíèìè,
ïàðàáîë³÷íèìè îáëàñòÿìè çá³æíîñò³ âèâ÷àþòüñÿ é êóòîâ³ îáëàñò³ çá³æíîñò³
[9]. Îäí³ºþ ç ïåðøèõ òåîðåì, ÿêà ðîçãëÿäຠçá³æí³ñòü íåïåðåðâíèõ äðîá³â ó
êóòîâ³é îáëàñò³, º òåîðåìà Âàí Ôëåêà (áåç îö³íêè øâèäêîñò³ çá³æíîñò³),
âñòàíîâëåíà â 1901 ðîö³ [14].
Íåïåðåðâíèé äð³á
1
1K
kk b
∞
=
íàçèâàºòüñÿ äðîáîì Âàí Ôëåêà, ÿêùî äëÿ
åëåìåíò³â , 1,2,kb k = , âèêîíóþòüñÿ óìîâè Re 0, 1,2,kb k> = , ³ ïðà-
âèëüíèì äðîáîì Âàí Ôëåêà ç êóòîì
2
πθ < , ÿêùî ñïðàâäæóþòüñÿ íåð³âíîñò³
Re 0, arg , 1,2,k kb b k> < θ = [12].
Ó 1909 ðîö³ J. L. W. V. Jensen [13] äëÿ ïðàâèëüíèõ äðîá³â Âàí Ôëåêà
âñòàíîâèâ îö³íêó ïîõèáêè íàáëèæåííÿ íåïåðåðâíîãî äðîáó éîãî n -ì ï³äõ³ä-
íèì äðîáîì. Ó ðîáîò³ [12] áóëà çàïðîïîíîâàíà ìåòîäèêà âñòàíîâëåííÿ îö³í-
êè øâèäêîñò³ çá³æíîñò³ äëÿ äðîá³â çàãàëüíîãî âèãëÿäó
1
K k
kk
a
b
∞
=
, äå 0,ka k> =
1,2, ,= à åëåìåíòè , 1,2, ,kb k = çàäîâîëüíÿþòü óìîâè òåîðåìè Âàí Ôëåêà.
Äëÿ áàãàòîâèì³ðíèõ óçàãàëüíåíü íåïåðåðâíèõ äðîá³â, çîêðåìà, ã³ëëÿñ-
òèõ ëàíöþãîâèõ äðîá³â (ÃËÄ), ÃËÄ ñïåö³àëüíîãî âèãëÿäó òà äâîâèì³ðíèõ íå-
ïåðåðâíèõ äðîá³â (ÄÍÄ), àíàëîãè òåîðåìè Âàí Ôëåêà âñòàíîâëåíî â ðîáîòàõ
[3, 6, 8, 10] (áåç îö³íêè øâèäêîñò³ çá³æíîñò³). Ó ðîáîòàõ Ò. Ì Àíòîíîâî¿ [1, 2]
çà äîïîìîãîþ âñòàíîâëåíèõ íåþ ôîðìóë äëÿ ä³éñíèõ òà óÿâíèõ ÷àñòèí çà-
ëèøê³â ÃËÄ çíàéäåíî îö³íêè çíà÷åíü çàëèøê³â ïðàâèëüíèõ ÃËÄ Âàí Ôëåêà
³ ìåòîäîì ôóíäàìåíòàëüíèõ íåð³âíîñòåé âñòàíîâëåíî îö³íêó ïîõèáêè íà-
áëèæåííÿ òàêèõ ÃËÄ éîãî n -ìè ï³äõ³äíèìè äðîáàìè.
Ó ö³é ðîáîò³ âèâ÷àþòüñÿ ïðàâèëüí³ äâîâèì³ðí³ íåïåðåðâí³ äðîáè Âàí
Ôëåêà, òîáòî ÄÍÄ, åëåìåíòè ÿêèõ çàäîâîëüíÿþòü óìîâè òåîðåìè Âàí Ôëå-
êà, òà çà äîïîìîãîþ ìåòîäèêè, çàïðîïîíîâàíî¿ â ðîáîòàõ [4, 7], äîñë³äæóºòü-
ñÿ øâèäê³ñòü ¿õ çá³æíîñò³.
Ðîçãëÿíåìî íåñê³í÷åííèé äâîâèì³ðíèé íåïåðåðâíèé äð³á (ÄÍÄ) âèãëÿäó
, ,0 1 1
1 1 1, , 0,1,D D Dk
kk k k j k k k jk j j
k
b b b
∞ ∞ ∞
+ += = =
Φ = + =
+ Φ
. (1)
Îçíà÷åííÿ 1 [10]. Ñê³í÷åíí³ ÄÍÄ
1
( 1)
0 ,
1 , 1,2,D
n
n n k
k k k k
f n
b
−
− −
=
= =
+ Φ
, (2)
äå
(0) ( )
, ,1 1
1 10, , 0,1, , 1,2,D D
p p
p
k k
k j k k k jj j
k p
b b+ += =
Φ = Φ = + = = , (3)
íàçèâàþòüñÿ çâè÷àéíèìè n -ìè íàáëèæåííÿì ÄÍÄ (1) .
116 О. М. Сусь
Îçíà÷åííÿ 2 [10]. Íàçâåìî n -ìè ô³ãóðíèìè íàáëèæåííÿìè àáî n -ìè
ô³ãóðíèìè ï³äõ³äíèìè äðîáàìè ÄÍÄ (1) ñê³í÷åíí³ ÄÍÄ âèãëÿäó
1
2
( 2 1)
0 ,
1 , 1,2,D
n
n n k
k k k k
f n
b
−
− −
=
= =
+ Φ
[ ]
, (4)
äå ( )
, 0,1, , 1,2,p
k k pΦ = = , âèçíà÷àþòüñÿ çà ôîðìóëàìè (3).
Îçíà÷åííÿ 3 [10]. ÄÍÄ (1) íàçèâàþòü çá³æíèì (ô³ãóðíî çá³æíèì), ÿê-
ùî ³ñíóº ñê³í÷åííà ãðàíèöÿ ïîñë³äîâíîñò³ éîãî íàáëèæåíü nf{ } ( nf
{ } ). Âå-
ëè÷èíó ö³º¿ ãðàíèö³ íàçèâàþòü çíà÷åííÿì íåñê³í÷åííîãî ÄÍÄ (1).
Âèðàçè âèãëÿäó
(0) ( 1) ( 1)
, , ( )
1
1, p p
j j j j j j j p
j
Q b Q b
Q
+ +
+
= = + Φ + ,
0,1, , 0,1,2,p j= = , (5)
(0) (1) (1) ( 2) ( 2)
, , , ( )
1
1, , p p
j j j j j j j j j j j p
j
Q b Q b Q b
Q
+ +
+
= = + Φ = + Φ +
,
0,1, , 0,1,j p= = , (6)
íàçèâàþòü äâîâèì³ðíèìè çàëèøêàìè çâè÷àéíèõ íàáëèæåíü (2) ³ ô³ãóðíèõ
íàáëèæåíü (4) â³äïîâ³äíî, à íåïåðåðâí³ äðîáè
( 1) ( 1)
, , , ,( ) ( )
1, , 1
1 1, p p
k j k k j k k k j k k jp p
k j k k k j
Q b Q b
Q Q
+ +
+ + + +
+ + + +
= + = + ,
(0) (0)
, , , ,, k j k k j k k k j k k jQ b Q b+ + + += = ,
0,1, , 0,1, , 1,2,k p j= = = , (7)
íàçèâàþòü ¿õ îäíîâèì³ðíèìè çàëèøêàìè.
Âðàõîâóþ÷è ôîðìóëè (3) òà ïîçíà÷åííÿ (7), ìàºìî
( )
( 1) ( 1)
1, , 1
1 1 , 0,1, , 1,2,p
k p p
k k k k
k p
Q Q− −
+ +
Φ = + = = . (8)
Äëÿ äîñë³äæåííÿ âëàñòèâîñòåé ïîñë³äîâíîñòåé ï³äõ³äíèõ äðîá³â ÄÍÄ
(1) âèêîðèñòîâóþòüñÿ ôîðìóëè ð³çíèö³ (äâîõ çâè÷àéíèõ àáî äâîõ ô³ãóðíèõ),
çîêðåìà, äëÿ 1n m> + :
n mf f− =
1 1
1 ( 2 1) ( 2 1)2 2
1 1( 2 1) ( 2 1)0 2 2
( 2 1) ( 2 1)
0
0 0
( 1) ( 1)
m m
k n k m k
k k
k m mm j n jk
j j m j n j
j j j
j j
Q Q
Q Q
− + + − − − −
− + − − − −=
− − − −
=
= =
− Φ − Φ −= +∑
∏
∏ ∏
. (9)
Ó [5] ç âèêîðèñòàííÿì ìåòîäèêè âñòàíîâëåííÿ ôîðìóëè (9) îäåðæàíî
òàêó ôîðìóëó ð³çíèö³ ì³æ çâè÷àéíèìè òà ô³ãóðíèìè íàáëèæåííÿìè äëÿ
1n m> + :
n mf f− =
1 1
1 ( 1) ( 2 1)2 2
1 1( 2 1) ( 1)0 2 2
( 2 1) ( 1)
0
0 0
( 1) ( 1)
m m
k n k m k
k k
k m mm j n jk
j j m j n j
j j j
j j
Q Q
Q Q
− + + − − − −
− + − − − −=
− − − −
=
= =
− Φ − Φ −= +∑
∏
∏ ∏
. (10)
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів … 117
Òåîðåìà. Íåõàé åëåìåíòè ÄÍÄ (1) çàäîâîëüíÿþòü íåð³âíîñò³
, , ,Re 0, Re 0, Re 0, 0,1, , 1,2,i i i j i i i jb b b i j+ +> > > = = , (11)
, , ,arg , arg , arg ,
2i i i j i i i jb b b+ +
π< θ < θ < θ θ < ,
0,1, , 1,2,i j= = . (12)
ßêùî ³ñíóþòü òàê³ ïîñë³äîâíîñò³ , , 2,3, , j
′ ′′µ µ = µ{ } { } { } , 1,2,j = , äî-
äàòíèõ ÷èñåë, ùî
1, ,Re , 2,3, , 0,1,i i i ib b i+ − +
′µ ≤ = = ,
, 1 , Re , 2,3, , 0,1,i i i ib b i+ − +
′′µ ≤ = = ,
1, 1 ,Re , 2,3,j j j j jb b j− −µ ≤ = ,
³ âèêîíóþòüñÿ óìîâè
2 2
1 11 1
1 1 1 1lim 0, lim 0
cos cos1 1
r rr r
r r
→∞ →∞+ += =
= =′ ′′θ θ+ µ + µ∏ ∏
,
3
1
1 1lim 0
cos 1
rr
r jj
→∞ =
=
θ + µ∏ , (13)
òî ÄÍÄ (1) º çá³æíèì ³ ô³ãóðíî çá³æíèì, ïðè÷îìó lim limn n
n n
f f
→∞ →∞
= ³ ñïðàâ-
äæóºòüñÿ íåð³âí³ñòü
2 2 2 24 2
4 1
0,0 1 11 1
1 1 1 1 1
1 cos Re cos 1 1
p pp
pf f
b
+ ++
+
+ += =
− ≤ ⋅ + +′ ′′− θ θ + µ + µ∏ ∏
13 1
0,0 1
1 1 1 12
Re 1 cos cos 1
pp
jj
b
++
=
+ ⋅ +
− θ θ + µ∏
22 1
0,0 1
1 1 1
Re cos 1
pp
jj
b
+
=
+
θ + µ∏ . (13′)
Ä î â å ä å í í ÿ. Ó ðîáîò³ [11] äîâåäåíî ëåìó, â ÿê³é äëÿ îäíîâèì³ðíèõ çà-
ëèøê³â (7) ÄÍÄ (1) çà óìîâ (11), (12) äëÿ 0,1, , 1,2, , 0,1,i k p= = = âñòà-
íîâëåíî íåð³âíîñò³
(0) (0)
, , ,Re Rei k i i k i i k iQ Q b+ + +≥ = ,
( 1) ( 1)
, , , ,( )
1,
cosRe Re Rep p
i k i i k i i k i i k ip
i k i
Q b bQ
Q
+ +
+ + + +
+ +
θ≥ ≥ + ≥ , (14)
(0)(0)
, , ,Re Rei i k i i k i i kQ bQ + + +≥ = ,
( 1) ( 1)
, , , ,( )
, 1
cosRe Re Rep p
i i k i i k i i k i i kp
i i k
Q b bQ
Q
+ +
+ + + +
+ +
θ≥ ≥ + ≥ . (15)
Äâîâèì³ðí³ çàëèøêè (5) ÄÍÄ (1) çà óìîâ òåîðåìè (11), (12) çàäîâîëüíÿ-
þòü íåð³âíîñò³
(0)(0)
,Re Re , 0,1,i i i iQ b iQ ≥ = = ,
( 1) ( 1)
, ,( ) ( ) ( )
1, , 1
cos cos cosRe Re Rep p
i i i i i ip p p
i i i i i
b bQ Q
Q Q Q
+ +
+ +
θ θ θ≥ ≥ + + + ≥ ,
0,1, , 0,1,i p= = . (16)
118 О. М. Сусь
Âèêîðèñòîâóþ÷è ñõåìó âñòàíîâëåííÿ íåð³âíîñò³ (16), íåâàæêî ïîêàçàòè,
ùî äëÿ äâîâèì³ðíèõ çàëèøê³â (6) ô³ãóðíèõ íàáëèæåíü (4) ÄÍÄ (1) ñïðàâä-
æóþòüñÿ îö³íêè
(0) (0) (1) (1)
, , (0) (0)
1, , 1
cos cosRe Re , Re Rei i i i i i i i
i i i i
Q Q b Q Q b
Q Q+ +
θ θ≥ = ≥ ≥ + +
,
( 2) ( 2)
, ,( 1) ( 1) ( )
1, , 1
cos cos cosRe Re Rep p
i i i i i ip p p
i i i i i
Q Q b b
Q Q Q
+ +
+ +
+ +
θ θ θ≥ ≥ + + + ≥
,
0,1, , 0,1,i p= = . (17)
Ç ôîðìóë (17) âèïëèâàþòü íåð³âíîñò³
( 2) ( 2)
, ,( )
cosRe Re Rep p
i i i i i ip
i
Q Q b b
Q
+ + θ≥ ≥ + ≥ , (17′)
( 2) ( 2)
, ,( 1)
1,
cosRe Re Rep p
i i i i i ip
i i
Q Q b b
Q
+ +
+
+
θ≥ ≥ + ≥ , (17″)
( 2) ( 2)
, ,( 2)
, 1
cosRe Re Rep p
i i i i i ip
i i
Q Q b b
Q
+ +
+
+
θ≥ ≥ + ≥ . (17′″)
Äîâåäåìî ô³ãóðíó çá³æí³ñòü ÄÍÄ (1). Äëÿ öüîãî îö³íèìî çà ìîäóëåì
ð³çíèöþ (9) äëÿ 4 1m p= + , 0,1,p = . Ç ôîðìóëè (9) âèïëèâàº, ùî
( 4 1)( 2 1) (4 2 )2 1
2
4 1 2 2
(4 2 ) ( 2 1) (4 2 ) ( 2 1)0
0 0 0
n pn k p kp
pk k
n p k p p
p j n j p j n jk
j j j j
j j j
f f
Q Q Q Q
− −− − −−
+
− − − − − −=
= = =
Φ − Φ Φ
− ≤ + +∑
∏ ∏ ∏
2 2 1
(4 2 ) ( 2 1)
0 0
1 , 4 1
p p
p j n j
j j
j j
n p
Q Q
+
− − −
= =
+ ≥ +
∏ ∏
. (18)
Îö³íèìî âèðàç ( 2 1) (4 2 ) , 0 2 1, 1,2,n i p i
i i i p p− − −Φ − Φ ≤ ≤ − = :
( 2 1) (4 2 )
4 2 1 4 2
( 2 1) (4 2 )
, ,
1 1
1n i p i
i i p i p i
n i p i
i i i iQ Q
− − −
− + −
− − − − −
+ +
= =
Φ − Φ ≤ +
∏ ∏
4 2 1 4 2
( 2 1) (4 2 )
, ,
1 1
1
p i p i
n i p i
i i i iQ Q
− + −
− − − − −
+ +
= =
+
∏ ∏
.
Äîáóòêè
4 2 1 4 2
( 2 1) (4 2 )
, ,
1 1
p i p i
n i p i
i i i iQ Q
− + −
− − − − −
+ +
= =
∏ ∏
, ùî ñòîÿòü ó çíàìåííèêó ïåðøîãî
äîäàíêà, ïîäàìî ó âèãëÿä³
2 2
( 2 2) (4 2 2 1) (4 2 2 ) ( 2 2 ) ( 2 2 1)
1, 2 1, 2 , 2 , 2 1,
1 1
p i p i
n i p i p i n i n i
i i i i i i i i i iQ Q Q Q Q
− −
− − − − − − − − − − − −
+ + − + + + +
= =
∏ ∏
.
Îö³íèìî ( ) ( 1)
1, , , 0,1, , 2,3, , 1,2,s s
i i i iQ Q i s−
+ − + = = = . Âèêîðèñòîâóþ÷è íå-
ð³âí³ñòü
,
,
Re
cos , , 0,1,
i j i
i j i
b
i j
b
+
+
≥ θ = , (19)
ÿêà ñïðàâäæóºòüñÿ äëÿ ïðàâèëüíèõ äðîá³â Âàí Ôëåêà [12], óìîâè òåîðåìè
(11), (12) òà íåð³âíîñò³ (14), îäåðæèìî äëÿ 0,1, , 2,3, , 1i s= = ≥ :
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів … 119
( ) ( 1) ( ) ( 1) ( 1)
1, , 1, , 1, ,( 1)
,
cosRe Res s s s s
i i i i i i i i i i i is
i i
Q Q Q Q b Q
Q
− − −
+ − + + − + + − +−
+
θ≥ ≥ + =
( 1)
1, , 1, ,Re cos Re Re coss
i i i i i i i ib Q b b−
+ − + + − += + θ ≥ + θ ≥
1, ,cos 1 Rei i i ib b+ − +≥ θ +( ) .
Íåõàé 1, ,Re , 2,3,i i i ib b+ − +
′µ ≤ = . Òîä³
4 2 1 4 2( 2 2)
( 2 1) (4 2 )1,
, ,
2 1
1 1
p i p in i
n i p ii i
i i i i
Q
Q Q
− + −− −
− − − − −+
+ +
= =
≤
∏ ∏
4 2
( 2 2)
111,
1 1 1
cos 1
p i
n i
i iQ
−
− −
+=+
≤ ⋅ ′θ + µ∏
.
Àíàëîã³÷íî îö³íþºìî ³ äðóãèé äîäàíîê. Íåõàé , 1 ,Rei i i ib b+ − +
′′µ ≤ ,
2,3,= . Òîä³
4 2 1 4 2( 2 2)
( 2 1) (4 2 ), 1
, ,
2 1
1 1
p i p in i
n i p ii i
i i i i
Q
Q Q
− + −− −
− − − − −+
+ +
= =
≤
∏ ∏
4 2
( 2 2)
11, 1
1 1 1
cos 1
p i
n i
i iQ
−
− −
+=+
≤ ⋅ ′′θ + µ∏
.
Îòæå,
4 2
( 2 1) (4 2 )
( 2 2)
111,
1 1 1
cos 1
p i
n i p i
i i n i
i iQ
−
− − −
− −
+=+
Φ − Φ ≤ ⋅ +′θ + µ∏
4 2
( 2 2)
11, 1
1 1 1
cos 1
p i
n i
i iQ
−
− −
+=+
+ ⋅ ′′θ + µ∏
. (20)
Îö³íèìî
( 2 1) (4 2 )
0
1
i
n j p j
j j jQ Q− − −
=
∏ . Íåõàé 2 , 1,2,i = = . Òîä³
2 2 1 2
( 2 1) (4 2 ) (4 ) ( 4 1) ( 2 1) (4 2 )
0 0 10 2
1 1 1 1 1
n j p j p n n j p j
j j jj j j jQ Q Q Q Q Q
−
− − − − − − − −
= = =
= ⋅ =∏ ∏ ∏
1
(4 ) ( 4 1) ( 4 1) ( 4 3) (4 4 2) (4 4 )
0 10 2 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1
p n n j n j p j p j
j jj j j jQ Q Q Q Q Q
−
− − − − − − − + −
= =+ −
= ⋅ ∏ ∏
.
ßêùî 2 1, 1,2,i = − = , òî
2 1 2 2 2 1
( 2 1) (4 2 ) ( 1) ( 4 1) ( 2 1) (4 2 )
0 1 00 2 1
1 1 1 1 1
n j p j n n n j p j
j j jj j j jQ Q Q Q Q Q
− − −
− − − − − + − − −
= = =−
= ⋅ =∏ ∏ ∏
1 1
( 1) ( 4 1) ( 4 1) ( 4 1) (4 4 ) (4 4 2)
1 00 2 1 2 1 2 2 2 1
1 1 1 1
n n n j n j p j p j
j jj j j jQ Q Q Q Q Q
− −
− − + − + − − − − −
= =− − +
= ⋅ ∏ ∏
.
Âèêîðèñòîâóþ÷è íåð³âíîñò³ (17), (19), îö³íèìî
( ) ( 2)
1
1
s s
j jQ Q −
−
äëÿ 1,2,j = ,
2,3,s = :
( ) ( 2) ( ) ( 2)
1 1
1 1
Res s s s
j j j jQ Q Q Q− −
− −
≤ ≤
120 О. М. Сусь
( 2)
1, 1 ( 1) ( 1) ( 2)
, 1 1,
1
cos cos cosRe s
j j js s s
j j j j j
b Q
Q Q Q
−
− − − − −
− −
≤ ≤
θ θ θ + + +
( 2)
1, 1 1, 1 ,
1 1 1
cosRe cos 1 Res
j j j j j j jb Q b b−
− − − −
≤ ≤ ⋅
θ+ θ + .
Îòæå,
( ) ( 2)
1
1 1 1
cos 1s s
jj jQ Q −
−
≤ ⋅
θ + µ ,
äå 1, 1 ,Re , 1,2,j j j j jb b j− −µ ≤ = . Òàêèì ÷èíîì,
( 2 1) (4 2 ) ( 2 1)
0,00 1
1 1 1 1 1
Re cos 1
i i
n j p j n i
jj jj j i
bQ Q Q− − − − −
= =
≤ ⋅ ⋅
θ + µ∏ ∏ . (21)
Àíàëîã³÷íî, ç âèêîðèñòàííÿì ñõåìè äîâåäåííÿ íåð³âíîñò³ (21), ìîæíà
ïîêàçàòè, ùî
( 1) (4 2 ) ( 1)
0,00 1
1 1 1 1 1
Re cos 1
i i
n j p j n i
jj jj j i
bQ Q Q− − − − −
= =
≤ ⋅ ⋅
θ + µ∏ ∏ . (21′)
Ðîçãëÿíåìî âèðàç
( 4 1)
2
2 2 2 2 1
(4 2 ) ( 2 1) (4 2 ) ( 2 1)
0 0 0 0
1
n p
p
p p p p
p j n j p j n j
j j j j
j j j j
Q Q Q Q
− −
+
− − − − − −
= = = =
Φ
+
∏ ∏ ∏ ∏
³ ïîäàìî éîãî ó âèãëÿä³
( 4 1)
2 2 2( 4 3)
(4 2 ) ( 2 1)2 1
0 0
1 1n p
p p pn p
p j n jp
j j
j j
Q
Q Q
− −
− −
− − −+
= =
Φ + =
∏ ∏
( 4 1)
2 ( 4 3) ( 4 1) (4 )
2 1 2 0
1 1 1n p
p n p n p p
p pQ Q Q
− −
− − − −
+
= Φ + ⋅ ⋅ ×
2 1 2
( 2 1) (4 2 )
0 1
1 1
p p
n j p j
j jj jQ Q
−
− − −
= =
× ∏ ∏ .
Âèêîðèñòîâóþ÷è ôîðìóëè (8), íåð³âíîñò³ (17), (19), îäåðæèìî
( 4 1)
2 ( 4 3)
2 1
( 4 1)
2
1n p
p n p
p
n p
p
Q
Q
− −
− −
+
− −
Φ +
≤
( 4 2) ( 4 2) ( 4 3)
2 1,2 2 ,2 1 2 1
2 ,2 ( 4 2) ( 4 2) ( 4 3)
2 1,2 2 ,2 1 2 1
1 1 1
1 1 1Re cos
n p n p n p
p p p p p
p p n p n p n p
p p p p p
Q Q Q
b
Q Q Q
− − − − − −
+ + +
− − − − − −
+ + +
+ +
≤ ≤
+ θ ⋅ + +
( 4 2) ( 4 2) ( 4 3)
2 1,2 2 ,2 1 2 1
2 ,2 ( 4 2) ( 4 2) ( 4 3)
2 1,2 2 ,2 1 2 1
1 1 1
1 1
cos 1 1 1 cos
n p n p n p
p p p p p
p p n p n p n p
p p p p p
Q Q Q
b
Q Q Q
− − − − − −
+ + +
− − − − − −
+ + +
+ +
≤ ⋅ ≤
θ θ+ + +
.
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів … 121
Âðàõîâóþ÷è íåð³âí³ñòü (21) äëÿ 2 , 1,2i p p= = , îäåðæèìî
2 1 2
( 4 1)
2 ( 4 3) ( 4 1) (4 ) ( 2 1) (4 2 )
0 12 1 2 0
1 1 1 1 1
p p
n p
p n p n p p n j p j
j jp p j jQ Q Q Q Q
−
− −
− − − − − − −
= =+
Φ + ⋅ ⋅ ≤
∏ ∏
2
0,0 1
1 1 1 1
cos Re cos 1
p
jj
b
=
≤ ⋅ ⋅
θ θ + µ∏ . (22)
Àíàëîã³÷íî ìîæíà ïîêàçàòè, ùî
2 1 2
( 2 1)
2 ( 2 2) ( 2 1) (4 ) ( 1) (4 2 )
0 12 1 2 0
1 1 1 1 1
p p
n p
p n p n p p n j p j
j jp p j jQ Q Q Q Q
−
− −
− − − − − − −
= =+
Φ + ⋅ ⋅ ≤
∏ ∏
2
0,0 1
1 1 1 1
cos Re cos 1
p
jj
b
=
≤ ⋅ ⋅
θ θ + µ∏ . (22′)
Äàë³ ðîçãëÿíåìî
( 2 1) ( 2 2)
1,
1 1 , 0,1,
n i n i
i i i
i
Q Q− − − −
+
⋅ = , ³ îö³íèìî öåé äîáóòîê,
âèêîðèñòîâóþ÷è ïîçíà÷åííÿ (6) ³ íåð³âíîñò³ (17″):
( 2 1)( 2 1) ( 2 2) ( 2 2)
1, 1,
1 1 1 1
Re n in i n i n i
ii i i i iQQ Q Q− −− − − − − −
+ +
⋅ ≤ ⋅ ≤
( 2 2)
, 1,( 2 2)
1,
1
cosRe n i
i i i in i
i i
b Q
Q
− −
+− −
+
≤ ≤
θ+
, 1,
1 1 1
cos cos1 Rei i i ib b +
≤ ⋅ ≤
θ θ+
. (23)
Ç ïîçíà÷åíü (6) ³ íåð³âíîñòåé (17″′) âèïëèâàº, ùî
( 2 1) ( 2 2)
, 1
1 1 1
cosn i n i
i i iQ Q− − − −
+
⋅ ≤
θ . (24)
Àíàëîã³÷íî, âèêîðèñòîâóþ÷è ïîçíà÷åííÿ (5), íåð³âíîñò³ (16) ³ ñõåìó
äîâåäåííÿ îö³íîê (23), (24), âñòàíîâëþºìî íåð³âíîñò³
( 1) ( 2) ( 1) ( 2)
1, , 1
1 1 1 1 1 1,
cos cosn i n i n i n i
i i i i i iQ Q Q Q− − − − − − − −
+ +
⋅ ≤ ⋅ ≤
θ θ
. (24′)
ϳäñòàâëÿþ÷è îäåðæàí³ íåð³âíîñò³ (20)–(24) ó ôîðìóëó ð³çíèö³ (18),
îäåðæèìî
2 1
4 1
0,0 10 0
1 1 1 1
cos Re cos 1
p k
n p
jk j
f f
b
−
+
+= =
− ≤ ⋅ ⋅ ×
θ θ + µ∑ ∏
4 2 4 2
1 11 1
1 1 1 1
cos cos1 1
p k p k− −
+ += =
× ⋅ + ⋅ + ′ ′′θ θ+ µ + µ
∏ ∏
2
0,0 1
1 1 1 1
cos Re cos 1
p
jj
b
=
+ ⋅ ⋅ =
θ θ + µ∏
1 4 2
0,0 1 10 0 1
1 1 1 1 1 1
cos Re cos 1 cos 1
p p kk
jk j
b
− −
+ += = =
= ⋅ ⋅ ⋅ + ′θ θ + µ θ + µ
∑ ∏ ∏
122 О. М. Сусь
4 2 2 1
0,0 111 0
1 1 1 1 1 1
cos cos Re cos 11
p k p k
jk p j
b
− −
++= = =
+ ⋅ + ⋅ ⋅ ×′′θ θ θ + µ+ µ
∏ ∑ ∏
4 2 4 2
1 11 1
1 1 1 1
cos cos1 1
p k p k− −
+ += =
× ⋅ + ⋅ + ′ ′′θ θ+ µ + µ
∏ ∏
2
0,0 1
1 1 1 1
cos Re cos 1
p
jj
b
=
+ ⋅ ⋅ ≤
θ θ + µ∏
1 2 2 2 24 1
0,0 1 10 1 1
1 1 1 1 1
cos Re cos 1 1
p p pp k
k
b
− + ++ −
+ += = =
≤ ⋅ + + ′ ′′θ θ + µ + µ
∑ ∏ ∏
2 1 24 1
0,0 10 1
2 1 1 1 1 1
cos Re cos 1 cos 1
p p pp k
j jk p j j
b
− + −
+= = =
+ + ⋅ ≤
θ θ + µ θ + µ∑ ∏ ∏
2 2 2 24 2
0,0 1 11 1
1 1 1 1 1
Re 1 cos cos 1 1
p pp
b
+ ++
+ += =
≤ ⋅ + + ′ ′′− θ θ + µ + µ
∏ ∏
13 1
0,0 1
1 1 1 12
Re 1 cos cos 1
pp
jj
b
++
=
+ ⋅ +
− θ θ + µ∏
22 1
0,0 1
1 1 1
Re cos 1
pp
jj
b
+
=
+
θ + µ∏ . (25)
Ïåðåõîäÿ÷è äî ãðàíèö³ ïðè → ∞p â íåð³âíîñò³ (25) ³ âðàõîâóþ÷è óìî-
âè (13) òåîðåìè, äîõîäèìî âèñíîâêó ïðî ô³ãóðíó çá³æí³ñòü ÄÍÄ (1).
Íåð³âí³ñòü (13′) òåîðåìè îäåðæèìî, ïåðåõîäÿ÷è â íåð³âíîñò³ (25) äî ãðà-
íèö³ ïðè → ∞n .
Ïîêàæåìî ùî lim limn n
n n
f f
→∞ →∞
= . Äëÿ öüîãî ðîçãëÿíåìî ð³çíèöþ (10) äëÿ
4 1, 0,1,m p p= + = ³ îö³íèìî ¿¿ çà ìîäóëåì. Îòæå,
( 1) (4 2 ) ( 2 1)2 1
2
4 1 2 2
(4 2 ) ( 1) (4 2 ) ( 1)0
0 0 0
n k p k n pp
k k p
n p k p p
p j n j p j n jk
j j j j
j j j
f f
Q Q Q Q
− − − − −−
+
− − − − − −=
= = =
Φ − Φ Φ
− ≤ + +∑
∏ ∏ ∏
2 2 1
( 2 1) ( 1)
1 1
1 , 4 1
p p
m j n j
j j
j j
n p
Q Q
+
− − − −
= =
+ > +
∏ ∏
,
ï³äñòàâëÿþ÷è â ÿêó íåð³âíîñò³ (20), (21′), (22′) ³ (24′), îäåðæèìî
4 1n pf f +− ≤
2 2 2 24 2
0,0 1 11 1
1 1 1 1 1
Re 1 cos cos 1 1
p pp
b
+ ++
+ += =
≤ ⋅ ⋅ + + ′ ′′− θ θ + µ + µ
∏ ∏
13 1
0,0 1
1 1 1 12
Re 1 cos cos 1
pp
jj
b
++
=
+ ⋅ +
− θ θ + µ∏
22 1
0,0 1
1 1 1
Re cos 1
pp
jj
b
+
=
+
θ + µ∏ .
Про оцінку швидкості збіжності двовимірних неперервних дробів … 123
Òàêèì ÷èíîì, çà óìîâ òåîðåìè (11)–(13) ³ç ô³ãóðíî¿ çá³æíîñò³ ÄÍÄ (1)
âèïëèâຠçâè÷àéíà çá³æí³ñòü ÄÍÄ (1) ³ çá³ãàþòüñÿ âîíè äî îäí³º¿ ãðàíèö³,
òîáòî lim limn n
n n
f f
→∞ →∞
= .
Òåîðåìó äîâåäåíî. ◊
1. Àíòîíîâà Ò. Ì. Ïðî øâèäê³ñòü çá³æíîñò³ îäíîãî êëàñó ã³ëëÿñòèõ ëàíöþãîâèõ
äðîá³â ç êîìïëåêñíèìè åëåìåíòàìè // ³ñí. äåðæ. óí-òó «Ëüâ³â. ïîë³òåõí³êà».
Ïðèêë. ìàòåìàòèêà. – 1998. – ¹ 337. – Ñ. 8–10.
2. Àíòîíîâà Ò. Ì. Øâèäê³ñòü çá³æíîñò³ ã³ëëÿñòèõ ëàíöþãîâèõ äðîá³â ñïåö³àëüíîãî
âèãëÿäó // Âîëèí. ìàò. â³ñí. – 1999. – Âèï. 6. – Ñ. 5–11.
3. Àíòîíîâà Ò. Ì., Áîäíàð Ä. ². Îáëàñò³ çá³æíîñò³ ã³ëëÿñòèõ ëàíöþãîâèõ äðîá³â
ñïåö³àëüíîãî âèãëÿäó // Òåîð³ÿ íàáëèæåííÿ ôóíêö³é òà ¿¿ çàñòîñóâàííÿ: Ïðàö³
²í-òó ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè. – 2000. – Âèï. 31. – Ñ. 19–32.
4. Àíòîíîâà Ò. Ì., Ñóñü Î. Ì. Äåÿê³ äîñòàòí³ óìîâè çá³æíîñò³ äâîâèì³ðíèõ íåïå-
ðåðâíèõ äðîá³â ç ä³éñíèìè åëåìåíòàìè // Íàóê. â³ñí. Óæãîðîä. óí-òó. – 2008. –
Âèï. 16. – Ñ. 5–15.
5. Àíòîíîâà Ò. Ì., Ñóñü Î. Ì. Ïðî âëàñòèâîñò³ äåÿêèõ ïîñë³äîâíîñòåé íàáëèæåíü
ïàðíîãî ïîðÿäêó äëÿ äâîâèì³ðíèõ íåïåðåðâíèõ äðîá³â // Íàóê. â³ñí. Óæãîðîä.
óí-òó. – 2006. – Âèï. 12–13. – Ñ. 4–9.
6. Áîäíàð Ä. È. Âåòâÿùèåñÿ öåïíûå äðîáè. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1986. – 176 ñ.
7. Áîäíàð Ä. È., Êó÷ìèíñêàÿ Õ. È. Î ñõîäèìîñòè ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè äâóõ ïåðå-
ìåííûõ â ñîîòâåòñòâóþùóþ âåòâÿùóþñÿ öåïíóþ äðîáü // Ìàò. ìåòîäû è ôèç.-
ìåõ. ïîëÿ. – 1980. – Âûï. 11. – Ñ. 3–6.
8. Áîäíàð Ä. ²., Êó÷ì³íñüêà Õ. É. Àíàëîã òåîðåìè Âàí Ôëåêà äëÿ äâîâèì³ð-
íèõ íåïåðåðâíèõ äðîá³â // Ìàò. ìåòîäè òà ô³ç.-ìåõ. ïîëÿ. – 1999. – 42, ¹ 4. –
Ñ. 21–25.
9. Äæîóíñ Ó., Òðîí Â. Íåïðåðûâíûå äðîáè. Àíàëèòè÷åñêàÿ òåîðèÿ è ïðèëîæåíèÿ.
– Ìîñêâà: Ìèð, 1985. – 414 ñ.
10. Êó÷ì³íñüêà Õ. É., Ñóñü Î. Ì., Âîçíà Ñ. Ì. Àïðîêñèìàòèâí³ âëàñòèâîñò³ äâîâè-
ì³ðíèõ íåïåðåðâíèõ äðîá³â // Óêð. ìàò. æóðí. – 2003. – 55, ¹ 1. – Ñ. 30–44.
11. Ñóñü Î. Ì. Ïðî îäèí ³ç àíàëîã³â ìåòîäó ôóíäàìåíòàëüíèõ íåð³âíîñòåé äëÿ äâî-
âèì³ðíèõ íåïåðåðâíèõ äðîá³â // Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè. –
2007. – Âèï. 5. – Ñ. 71–76.
12. Gragg W. B., Warner D. D. Two constructive results in continued fractions //
SIAM J. Numer. Anal. – 1983. – 20, No. 3. – P. 1187–1197.
13. Jensen J. L. W. V. Bindrag til Kjaedebrökers Theorie. – Festsckrift till H. G.Zeu-
then, 1909.
14. Van Vlec E. B. On the convergence of continued fractions with complex elements
// Trans. Amer. Math. Soc. – 1901. – 2. – C. 215–233.
ОБ ОЦЕНКЕ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ДВУМЕРНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ ДРОБЕЙ
С КОМПЛЕКСНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
Ðàññìàòðèâàþòñÿ äâóìåðíûå íåïðåðûâíûå äðîáè, ýëåìåíòû êîòîðûõ ïðèíàäëå-
æàò óãëîâîé îáëàñòè ïðàâîé ïîëóïëîñêîñòè. Óñòàíîâëåíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ
ñõîäèìîñòè è ôèãóðíîé ñõîäèìîñòè. Ïîëó÷åíà îöåíêà ïîãðåøíîñòè ïðèáëèæå-
íèÿ.
ON TRUNCATION ERROR OF TWO-DIMENSIONAL CONTINUED FRACTIONS
WITH COMPLEX ELEMENTS
The paper deals with two-dimensional continued fractions whose elements are belonging
to angular region of right half-plane. Sufficient conditions of the convergence and of
the figured convergence for these two-dimensional continued fractions are established.
Estimate of truncation error is obtained.
²í-ò ïðèêë. ïðîáëåì ìåõàí³êè ³ ìàòåìàòèêè Îäåðæàíî
³ì. ß. Ñ. ϳäñòðèãà÷à ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â 28.07.08
|