Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок
Одержано нерівність типу Корна для теорії оболонок типу Тимошенка. Для безмоментної теорії оболонок розглянуто частковий випадок нерівності типу Корна, коли геометрія серединної поверхні визначається декартовими координатами на площині....
Збережено в:
| Дата: | 2008 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7702 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок / Л.І. Винницька, Н.Я. Савула // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 132-138. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7702 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-77022010-04-09T12:00:53Z Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок Винницька, Л.І. Савула, Н.Я. Одержано нерівність типу Корна для теорії оболонок типу Тимошенка. Для безмоментної теорії оболонок розглянуто частковий випадок нерівності типу Корна, коли геометрія серединної поверхні визначається декартовими координатами на площині. Получено неравенство типа Корна для теории оболочек Тимошенко. Для безмоментной теории рассмотрен частный случай неравенства типа Корна, когда геометрия срединной поверхности определяется декартовыми координатами на плоскости. The inequality of Korn’s type is obtained in Timoshenko shell theory. A particular case of the inequality of Korn’s type is obtained in membrane shell theory, when geometry of the middle surface is defined by plane Cartesian coordinates. 2008 Article Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок / Л.І. Винницька, Н.Я. Савула // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 132-138. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7702 539.3: 519.6 uk Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Одержано нерівність типу Корна для теорії оболонок типу Тимошенка. Для безмоментної теорії оболонок розглянуто частковий випадок нерівності типу Корна, коли геометрія серединної поверхні визначається декартовими координатами на площині. |
| format |
Article |
| author |
Винницька, Л.І. Савула, Н.Я. |
| spellingShingle |
Винницька, Л.І. Савула, Н.Я. Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок |
| author_facet |
Винницька, Л.І. Савула, Н.Я. |
| author_sort |
Винницька, Л.І. |
| title |
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок |
| title_short |
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок |
| title_full |
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок |
| title_fullStr |
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок |
| title_full_unstemmed |
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок |
| title_sort |
деякі нерівності типу корна в лінійній теорії оболонок |
| publisher |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7702 |
| citation_txt |
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок / Л.І. Винницька, Н.Я. Савула // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 132-138. — Бібліогр.: 6 назв. — укp. |
| work_keys_str_mv |
AT vinnicʹkalí deâkínerívnostítipukornavlíníjníjteorííobolonok AT savulanâ deâkínerívnostítipukornavlíníjníjteorííobolonok |
| first_indexed |
2025-07-02T10:29:12Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:29:12Z |
| _version_ |
1836530692666687488 |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 132–138.
ÓÄÊ 539.3: 519.6
Л. І. Винницька, Н. Я. Савула
ДЕЯКІ НЕРІВНОСТІ ТИПУ КОРНА В ЛІНІЙНІЙ ТЕОРІЇ ОБОЛОНОК
Îòðèìàíî íåð³âí³ñòü òèïó Êîðíà äëÿ òåî𳿠îáîëîíîê òèïó Òèìîøåíêà.
Äëÿ áåçìîìåíòíî¿ òåî𳿠îáîëîíîê ðîçãëÿíóòî ÷àñòêîâèé âèïàäîê íåð³âíîñò³
òèïó Êîðíà, êîëè ãåîìåòð³ÿ ñåðåäèííî¿ ïîâåðõí³ âèçíà÷àºòüñÿ äåêàðòîâèìè
êîîðäèíàòàìè íà ïëîùèí³.
Ó äîñë³äæåíí³ âàð³àö³éíèõ çàäà÷ êëàñè÷íî¿ òåî𳿠ïðóæíîñò³ âàæëèâó
ðîëü â³ä³ãðຠíåð³âí³ñòü Êîðíà, ÿêà çàñòîñîâóºòüñÿ äëÿ äîâåäåííÿ äîäàòíî¿
âèçíà÷åíîñò³ â³äïîâ³äíèõ îïåðàòîð³â. Ïðè îá´ðóíòóâàíí³ êîðåêòíîñò³ âàð³à-
ö³éíèõ çàäà÷, ÿê³ âèíèêàþòü â òåî𳿠îáîëîíîê, âèêîðèñòîâóþòü òàê çâàí³
íåð³âíîñò³ òèïó Êîðíà, ÿê³ äîâîäÿòü åë³ïòè÷í³ñòü á³ë³í³éíî¿ ôîðìè, à ó âè-
ïàäêó ñèìåòðè÷íîãî îïåðàòîðà – éîãî äîäàòíó âèçíà÷åí³ñòü. Çíà÷íèé âíå-
ñîê â îá´ðóíòóâàííÿ ë³í³éíèõ ³ íåë³í³éíèõ òåîð³é îáîëîíîê çðîáèâ Ô. Ñüÿð-
ëå òà éîãî ó÷í³, îñíîâí³ ðåçóëüòàòè äîñë³äæåíü ïîäàíî ó ïðàö³ [5]. Ñòàòòÿ
[6] ì³ñòèòü âèâåäåííÿ íåð³âíîñò³ òèïó Êîðíà äëÿ ìîäåë³ Ê³ðõãîâà – Ëÿâà ÿê
íàñë³äîê íåð³âíîñò³ Êîðíà â ïðîñòîð³.
Øèðîêå ïðèêëàäíå çàñòîñóâàííÿ ìàþòü ìîäåë³ áåçìîìåíòíî¿ òåî𳿠³
òåî𳿠îáîëîíîê òèïó Òèìîøåíêà, äëÿ äîñë³äæåííÿ ÿêèõ ÷àñòî çàñòîñîâóþòü
÷èñëîâ³ ìåòîäè. Òîìó âàæëèâèì çàâäàííÿì º îá´ðóíòóâàííÿ êîðåêòíîñò³
â³äïîâ³äíèõ âàð³àö³éíèõ çàäà÷. Ó ö³é ðîáîò³ äîâåäåíî íåð³âíîñò³ òèïó Êîðíà
äëÿ òåî𳿠îáîëîíîê òèïó Òèìîøåíêà òà äëÿ ÷àñòêîâîãî âèïàäêó áåçìîìåíò-
íî¿ òåî𳿠îáîëîíîê, ÿê³ ìîæóòü áóòè âèêîðèñòàí³ ó äîâåäåíí³ äîäàòíî¿ âè-
çíà÷åíîñò³ îïåðàòîð³â êðàéîâèõ çàäà÷.
Êðèâîë³í³éíà ñèñòåìà êîîðäèíàò íà ïîâåðõí³ Íåõàé 2s ⊂ – äåÿêà
îáëàñòü íà ïëîùèí³, à 3S ⊂ – ïîâåðõíÿ, ÿêà º îáðàçîì s ïðè â³äîáðà-
æåíí³ . ×åðåç 1 2( , )ξ ξ ïîçíà÷èìî êîîðäèíàòè äîâ³ëüíî¿ òî÷êè ç îáëàñò³ s .
Òîä³ â³äîáðàæåííÿ ïîäàìî ó âèãëÿä³
2 3
1 2 1 2: ( , ) ( , )s Sξ ξ ∈ ⊂ → ξ ξ ∈ ⊂ . (1)
Òóò s òà S ïîçíà÷àþòü çàìèêàííÿ s ³ S â³äïîâ³äíî. ³äîáðàæåííÿ º
ðàä³óñîì-âåêòîðîì ïîâåðõí³ S , ÿêà â³äíåñåíà äî êðèâîë³í³éíî¿ ñèñòåìè êî-
îðäèíàò, 1ξ - òà 2ξ -ë³í³¿ º êîîðäèíàòíèìè ë³í³ÿìè íà ïîâåðõí³.
Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ äëÿ ïîõ³äíèõ â³ä çà 1ξ ³ 2ξ :
α
α
∂=
∂ξ
.
Ö³ âåêòîðè º äîòè÷íèìè äî êîîðäèíàòíèõ ë³í³é ³ âèçíà÷àþòü ïëîùèíó,
äîòè÷íó äî ïîâåðõí³ S ó äîâ³ëüí³é òî÷ö³ 1 2( , )ξ ξ . Áóäåìî ââàæàòè, ùî âåê-
òîðè 1 òà 2 º ë³í³éíî íåçàëåæíèìè. Îçíà÷èìî îäèíè÷íèé âåêòîð íîðìàë³
äî äîòè÷íî¿ ïëîùèíè ôîðìóëîþ
1 2
3
1 2
×
=
×
a
θ θ
θ θ
.
Ïîçíà÷èìî ÷åðåç Aα êîåô³ö³ºíòè Ëÿìå, à ÷åðåç kα – ãîëîâí³ êðèâèíè
ïîâåðõí³. Ââåäåìî îäèíè÷í³ âåêòîðè
A
α
α
α
=a
.
ϳä ëîêàëüíîþ áàçîþ, ùî âèçíà÷åíà â äåÿê³é òî÷ö³ ïîâåðõí³ S , áóäåìî
ðîçóì³òè òð³éêó îäèíè÷íèõ âåêòîð³â 1 2 3, ,a a a . Íàäàë³ ââàæàºìî, ùî ïîâåðõ-
íþ â³äíåñåíî äî ë³í³é êðèâèíè. Òîä³ òð³éêà 1 2 3, ,a a a º òðèîðòîãîíàëüíîþ.
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок 133
Êðèâîë³í³éíà ñèñòåìà êîîðäèíàò ó ïðîñòîð³. Íåõàé çàäàíî â³äîáðà-
æåííÿ
3 3
1 2 3 1 2 3: ( , , ) ( , , )ξ ξ ξ ∈ Ω ⊂ → ξ ξ ξ ⊂ .
Âèêîðèñòîâóþ÷è â³äîáðàæåííÿ (1), ïîäàìî ó âèãëÿä³
1 2 3 3 1 2( , ) ( , )= ξ ξ + ξ ξ ξa ,
äå 1 2( , )ξ ξ – ðàä³óñ-âåêòîð äåÿêî¿ ïîâåðõí³, ÿêó áóäåìî íàçèâàòè ñåðåäèí-
íîþ, 3 3 1 2( , )= ξ ξa a – âåêòîð íîðìàë³ äî ñåðåäèííî¿ ïîâåðõí³.
Âèçíà÷èìî òð³éêó âåêòîð³â
3
3 3 3, α α
α α
∂∂= = + ξ =
∂ξ ∂ξ
a
a ,
ÿêà º òðèîðòîãîíàëüíîþ, ÿêùî ñåðåäèííó ïîâåðõíþ â³äíåñòè äî ë³í³é êðè-
âèíè. Êîåô³ö³ºíòè Ëÿìå iH âèçíà÷àþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè
3 3(1 ), 1H A k Hα α α= + ξ = .
Ââåäåìî îäèíè÷í³ âåêòîðè
i
i
iH
=g
.
³äîìî, ùî ì³æ ia òà ig âèêîíóþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿ
i i=a g . (2)
Íåð³âí³ñòü òèïó Êîðíà äëÿ òåî𳿠îáîëîíîê òèïó Òèìîøåíêà. Äëÿ
çðó÷íîñò³ ââàæàºìî, ùî ëàòèíñüê³ ³íäåêñè íàáóâàþòü çíà÷åíü ç ìíîæèíè
1,2,3{ } , à ãðåöüê³ – ç ìíîæèíè 1,2{ } . Ëàòèíñüêèìè ë³òåðàìè ïîçíà÷àºìî
ïåðåì³ùåííÿ òà äåôîðìàö³¿ â êëàñè÷í³é òåî𳿠ïðóæíîñò³, à ãðåöüêèìè – â
òåî𳿠îáîëîíîê.
Íåð³âí³ñòü Êîðíà â ïðîñòîð³, ÿêó çàñòîñîâóþòü ïðè äîñë³äæåíí³ âàð³à-
ö³éíèõ çàäà÷ òåî𳿠ïðóæíîñò³, ó äîâ³ëüí³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò ïðè â³äïîâ³ä-
íîìó âèáîð³ â³äîáðàæåííÿ ³ ñï³ââ³äíîøåíü, ùî âèçíà÷àþòü äåôîðìàö³¿,
âñòàíîâëåíà ó òâåðäæåíí³ òàêî¿ òåîðåìè [6].
Òåîðåìà 1. Íåõàé Ω – äåÿêà îáëàñòü â 3 ç ãðàíèöåþ Γ , 0Γ – âèì³ð-
íà ï³äìíîæèíà Γ ç ì³ðîþ, â³äì³ííîþ â³ä íóëÿ. Îçíà÷èìî ïðîñò³ð
(1)
1 2 3 2 0( ) ( , , ) : ( ), 0 iU u u u u W íàΩ = = ∈ Ω = Γu u{ } .
Íåõàé º 2C -äèôåîìîðô³çì ç Ω íà ¿¿ â³äîáðàæåííÿ ( )Ω . Òîä³ ³ñíóº
ñòàëà 0( , , ) 0µ = µ Ω Γ > òàêà, ùî
(1)
2 22
22 2
( ) ( )( )
, ,
( ) ( ) ( )ii ij iL WL
i i j i j i
e e u UΩ ΩΩ
≠
+ ≥ µ ∀ ∈ Ω
∑ ∑ ∑u u u ,
äå ( )ije u – êîìïîíåíòè òåíçîðà äåôîðìàö³é.
Ïîêàæåìî, ùî íåð³âí³ñòü òèïó Êîðíà äëÿ òåî𳿠îáîëîíîê òèïó Òèìî-
øåíêà [3] ìîæíà îòðèìàòè ÿê íàñë³äîê íåð³âíîñò³ Êîðíà â ïðîñòîð³. Ïðè
öüîìó ñêîðèñòàºìîñü òàêîþ òåîðåìîþ [4].
Òåîðåìà 2 (ïðî îáåðíåíå â³äîáðàæåííÿ). Íåïåðåðâíå ᳺêòèâíå â³äî-
áðàæåííÿ ç îäíîãî áàíàõîâîãî ïðîñòîðó íà ³íøèé ìຠíåïåðåðâíå îáåðíåíå
â³äîáðàæåííÿ.
Äîâåäåííÿ íåð³âíîñò³ òèïó Êîðíà äëÿ òåî𳿠îáîëîíîê òèïó Òèìîøåíêà
çä³éñíèìî â äåê³ëüêà åòàï³â. Ñïî÷àòêó ïîáóäóºìî â³äîáðàæåííÿ ç ìíîæèíè
ïåðåì³ùåíü ³ êóò³â ïîâîðîòó òåî𳿠îáîëîíîê Òèìîøåíêà â ìíîæèíó ïåðåì³-
ùåíü òåî𳿠ïðóæíîñò³. Çàäàìî íîðìè â îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ òà îáëàñò³ çíà-
134 Л. І. Винницька, Н. Я. Савула
÷åíü ³ äîâåäåìî, ùî òàêèé îïåðàòîð º íåïåðåðâíèì. Ïîêàæåìî, ùî ïðè â³ä-
ïîâ³äíîìó âèáîð³ îáëàñò³ çíà÷åíü ïîáóäîâàíå â³äîáðàæåííÿ º ᳺêòèâíèì.
Ñêîðèñòàâøèñü òåîðåìîþ ïðî îáåðíåíå â³äîáðàæåííÿ, îòðèìàºìî íåð³âí³ñòü
òèïó Êîðíà äëÿ òåî𳿠îáîëîíîê òèïó Òèìîøåíêà ç íåð³âíîñò³ Êîðíà â ïðîñ-
òîð³.
Áóäåìî ââàæàòè, ùî 1 2 3, ,a a a º áàçîâèìè âåêòîðàìè äëÿ ñåðåäèííî¿
ïîâåðõí³ îáîëîíêè, à 1 2 3, ,g g g – áàçîâèìè âåêòîðàìè â ïðîñòîð³, äëÿ ÿêèõ
âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü (2), ïðè÷îìó 3 2, 2h hξ ∈ − / /[ ] , äå h – òîâùèíà îáî-
ëîíêè.
Ëåìà 1. Íåõàé çàäàíî â³äîáðàæåííÿ , . Áóäü-ÿêîìó âåêòîðó
1 2 1 2 3 1 2( , ) ( , , , , )v v v= ξ ξ = γ γv v
ç ïðîñòîðó
(1)
2 0( ) : , ( ), 0 iV S v W S íàα= γ ∈ = Γv v{ }
ïîñòàâèìî ó â³äïîâ³äí³ñòü âåêòîð
1 2 3 1 2 3( , , ) ( , , )u u u= ξ ξ ξ =u u ,
ÿêèé âèçíà÷àºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿì
3 3 3( )i i
i
u v vα α α
α
= + ξ γ +∑ ∑g a a . (3)
Òîä³
1°) (1)
2 0( ) : ( ), 0 2, 2iU u W íà h h∈ Ω = ∈ Ω = Γ × −u u u { }/ /[ ] ;
2°) ñï³ââ³äíîøåííÿ (3) âèçíà÷ຠë³í³éíå â³äîáðàæåííÿ
: ( ) ( ) ( )V S U∈ → = ∈ ΩF v F v u ;
3°) âèðàçè äëÿ äåôîðìàö³é ìàþòü âèãëÿä
3 33 33, 0e eαα αα αα= ε + ξ χ = ε = ,
12 12 3 12 3 3, e eα α= ε + ξ τ = ε ,
3
1 uv A
k v
A A A
βα α
αα α
α α α β β
∂ ∂
ε = + +
∂ξ ∂ξ
,
1 ,
A
A A A
βα α
αα
α α α β β
γ∂γ ∂
χ = + α ≠ β
∂ξ ∂ξ
,
1 1 2 2
12
2 2 1 1 1 2
A v A v
A A A A
∂ ∂ ε = + ∂ξ ∂ξ
, 3
3
1 v
k v
Aα α α α
α α
∂
ε = γ + −
∂ξ
,
2 2 1 1
12 2 1
1 1 1 2 2 2
1 1v v
k k
A A
∂γ ∂ ∂γ ∂ τ = + + + − ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 2 1
1 ( ) ( )
A A
k v k v
A A
∂ ∂ − γ + + γ + ∂ξ ∂ξ
.
Ä î â å ä å í í ÿ. Îñê³ëüêè i i=g a , òî
3u vα α α= + ξ γ ,
3 3u v= . (4)
Îòæå, (1)
2 ( )iu W∈ Ω , 0=u íà 0 2, 2h hΓ × − / /[ ] .
³äîáðàæåííÿ F º ë³í³éíèì, òîìó ùî ( ), ( )V S U Ω – ë³í³éí³ ïðîñòîðè òà
âèêîíóºòüñÿ
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок 135
1 1 1 2( ) ( ) ( ), ,α + β = α + β α β ∈F v v F v F v .
Âåêòîð u ïîäàìî ÿê ñóìó âåêòîð³â, çàäàíèõ íà ïîâåðõí³:
3 1 2 3 1 2, ( , , ), ( , ,0)v v v= + ξ = = γ γu v v .
Òîä³ âèðàçè äëÿ äåôîðìàö³é îòðèìóºìî ïðè äèôåðåíö³þâàíí³ âåêòîð³â,
çàäàíèõ íà ïîâåðõí³, ³ç çàñòîñóâàííÿì ôîðìóë ¥àóññà – Âåéíãàðòåíà òà ç
óðàõóâàííÿì òðèîðòîãîíàëüíîñò³ áàçîâèõ âåêòîð³â. ◊
Ëåìà 2. Ó ïðîñòîðàõ ( )V S òà ( )U Ω îçíà÷èìî íîðìè
(1) (1)
2 2
1 2
22
( ) ( ) ( )iV S W S W S
i
v α
α
= + γ
∑ ∑v
/
, (5)
(1)
2
1 2
2
( ) ( )iU W
i
uΩ Ω
=
∑u
/
. (6)
Òîä³ ë³í³éíå â³äîáðàæåííÿ : ( ) ( )V S U→ ΩF º íåïåðåðâíèì.
Ä î â å ä å í í ÿ. Ïðîñòîðè ( )V S òà ( )U Ω º ìåòðè÷íèìè ç ìåòðèêàìè,
âèçíà÷åíèìè íîðìàìè (5) ³ (6). Âèáåðåìî äîâ³ëüíå 0ε > . Ïîêàæåìî, ùî
0∃ δ > òàêå, ùî 1 2,∀ ∀v v ç ïðîñòîðó ( )V S òàêèõ, ùî 1 2
( )V S
− < δv v
âèêîíóºòüñÿ 1 2
( )U Ω
− < εu u äëÿ â³äïîâ³äíèõ 1 2,u u . Äëÿ öüîãî ñêîðèñòàº-
ìîñü ïîäàííÿì (4) òà î÷åâèäíîþ íåð³âí³ñòþ
2 2 2( ) 2( )a b a b+ ≤ + .
Òîä³ îòðèìóºìî
(1) (1)
2 2
2 2 21 2 1 2 1 2 1 2
3 3 3( ) ( ) ( )
( ) ( )
U W W
v v v vα α α αΩ Ω Ω
α
− = − + ξ γ − γ + − ≤∑u u
221 2 2
( )
, min 2 , 1
6V S
hh h
≤ ε − < ε ε = +
v v ,
Îòæå, δ = ε ε/ . ³äîáðàæåííÿ F º íåïåðåðâíèì çà îçíà÷åííÿì. ◊
Ëåìà 3. ³äîáðàæåííÿ : ( ) ( )V S U→ ΩF , äå
3
1 2
3 3
( ) ( ) : ( , ), 0
u u
U U α
α
∂ ∂ Ω = ∈ Ω = ϕ ξ ξ = ∂ξ ∂ξ
u ,
º ᳺêòèâíèì.
Ä î â å ä å í í ÿ. ²í’ºêòèâí³ñòü. Íåõàé 1 2=u u . Ïîêàæåìî, ùî äëÿ
â³äïîâ³äíèõ 1 2,v v âèêîíóºòüñÿ ð³âí³ñòü 1 2=v v . dz ñï³ââ³äíîøåíü (4) ìàºìî
1 2 1 2 1 2
3 3 3 3 3 30 u u v v v v= − = − ⇒ = ,
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
3 30 ( ) ( ) ( ) ( )u u v v v vα α α α α α α α α α= − = − + ξ γ − γ ⇒ − = ξ γ − γ .
Îñê³ëüêè ôóíêö³¿ 1 2( )v vα α− òà 2 1( )α αγ − γ çàëåæàòü ò³ëüêè â³ä 1 2,ξ ξ , à 3ξ
íàáóâຠäîâ³ëüíèõ çíà÷åíü, òî îñòàííÿ ð³âí³ñòü âèêîíóºòüñÿ ëèøå ó âè-
ïàäêó, êîëè
1 2 1 2( ) 0 v v v vα α α α− = ⇒ = ,
2 1 1 2( ) 0 α α α αγ − γ = ⇒ γ = γ .
Ñþð’ºêòèâí³ñòü. Ïîêàæåìî, ùî
( ) ( ) : ( )U V S∀ ∈ Ω ∃ ∈ =u v F v u .
136 Л. І. Винницька, Н. Я. Савула
Îñê³ëüêè 3
3
0
u∂
=
∂ξ
³ âðàõîâóþ÷è âèãëÿä â³äîáðàæåííÿ F îòðèìóºìî, ùî
3 3v u= .
Ñêîðèñòàºìîñü òèì, ùî 1 2
3
( , )
uα
α
∂
= ϕ ξ ξ
∂ξ
. Òîä³ ,vα αγ ìîæíà ïîäàòè ó
âèãëÿä³
3
3
,
u
v uα
α α α α α
∂
γ = ϕ = = − ξ ϕ
∂ξ
,
ïðè÷îìó 1 2( , )v vα α= ξ ξ , îñê³ëüêè 3
3
( ) 0uα α
∂ − ξ ϕ =
∂ξ
. ◊
Òåîðåìà 3. Íåð³âí³ñòü òèïó Êîðíà äëÿ òåî𳿠îáîëîíîê òèïó Òèìî-
øåíêà º íàñë³äêîì íåð³âíîñò³ Êîðíà â ïðîñòîð³ òà ëåì 1, 2, 3.
Ä î â å ä å í í ÿ. ³äîáðàæåííÿ : ( ) ( )V S U→ ΩF º íåïåðåðâíèì ³ ᳺê-
òèâíèì, ïðîñòîðè ( )V S , ( )U Ω – áàíàõîâ³, áî (1)
2W – ã³ëüáåðò³â ïðîñò³ð, à,
îòæå, ( ), ( )U VΩ Ω – òàêîæ ã³ëüáåðòîâ³ ïðîñòîðè, ( )U Ω – çàìêíåíèé ï³ä-
ïðîñò³ð ïðîñòîðó ( )U Ω . Òîä³, çã³äíî ç òåîðåìîþ ïðî îáåðíåíå â³äîáðàæåííÿ,
-1F º íåïåðåðâíèì, à, îòæå, ³ îáìåæåíèì. Çà îçíà÷åííÿì îáìåæåíîñò³ ³ñíóº
ñòàëà 1 0C > òàêà, ùî
(1)
21 1( ) ( ) ( )V S U WC CΩ Ω≤ =v u u .
Âèêîðèñòîâóþ÷è íåð³âí³ñòü Êîðíà â ïðîñòîð³, îòðèìóºìî
(1) (1)
2 2
22
( ) ( )i W S W S
i
v α
α
+ γ ≤
∑ ∑
2
21
( )
,
( ) ( )ij L
i j
C
e U
Ω
≤ ∀ ∈ Ω µ
∑ u u . ◊
×àñòêîâèé âèïàäîê íåð³âíîñò³ òèïó Êîðíà äëÿ áåçìîìåíòíî¿ òåîð³¿
îáîëîíîê. Íåõàé 0kα = . Ñåðåäèííó ïîâåðõíþ S îáîëîíêè â³äíåñåìî äî äå-
êàðòîâî¿ ñèñòåìè êîîðäèíàò ( 1Aα = ). Íåõàé Ã – ãðàíèöÿ ñåðåäèííî¿ ïî-
âåðõí³. Òîä³ ð³âíÿííÿ ð³âíîâàãè äëÿ áåçìîìåíòíî¿ îáîëîíêè [1] íàáóäóòü âè-
ãëÿäó
11 12
1
1 2
T T
f
∂ ∂
− − =
∂ξ ∂ξ
,
12 22
2 1 2
1 2
( , )
T T
f S
∂ ∂
− − = ∀ ξ ξ ∈
∂ξ ∂ξ
. (7)
Çóñèëëÿ âèçíà÷àþòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè
2
( ), ,
2(1 )1
Eh EhT Tαα αα ββ αβ αβ= ε + νε = ε α ≠ β
+ ν− ν
, (8)
äå E – ìîäóëü Þíãà, ν – êîåô³ö³ºíò Ïóàññîíà ìàòåð³àëó îáîëîíêè.
Âèðàçè äëÿ äåôîðìàö³é ìàþòü âèãëÿä
, ,
vv v βα α
αα αβ
α β α
∂∂ ∂
ε = ε = + α ≠ β
∂ξ ∂ξ ∂ξ
. (9)
Áóäåìî ââàæàòè, ùî
1 2( , ) 0v v= =v íà Γ . (10)
Деякі нерівності типу Корна в лінійній теорії оболонок 137
Çàïèøåìî ñèñòåìó ð³âíÿíü (7) â îïåðàòîðíîìó âèãëÿä³:
1 2, ( , )A f f= =v f f .
Âðàõîâóþ÷è ãðàíè÷íó óìîâó (10), à òàêîæ ïîäàííÿ (8), (9), äëÿ ñêàëÿð-
íîãî äîáóòêó ( , )Av v â ïðîñòîð³ 2L , äå v – äîâ³ëüíà ôóíêö³ÿ ç îáëàñò³ âè-
çíà÷åííÿ îïåðàòîðà A , îòðèìóºìî òàêèé âèðàç:
11 11 22 22 12 12( , )
S
A T T T dS= ε + ε + ε =∫v v ( )
11 11 22 22 11 22 11 22 12 122
1( )
21 S
Eh dS− ν = ε ε + ε ε + ν ε ε + ε ε + ε ε
− ν ∫ .
Ñêîðèñòàºìîñü î÷åâèäíîþ íåð³âí³ñòþ
2 22ab a b≥ − − .
Òîä³ äëÿ âèðàçó ( , )Av v îòðèìóºìî
2 2 2
11 22 12( , ) 2
4(1 )
S
EhA dS≥ ε + ε + ε
+ ν ∫v v ( ) . (11)
³äîìî, ùî äëÿ äîâ³ëüíîãî âåêòîðà ïåðåì³ùåíü 1 2( , ) ( , )x y u u= =u u ç
îáëàñò³ âèçíà÷åííÿ îïåðàòîðà ïëîñêî¿ çàäà÷³ òåî𳿠ïðóæíîñò³ òà â³äïîâ³ä-
íèõ äåôîðìàö³é eαβ âèêîíóºòüñÿ íåð³âí³ñòü Êîðíà [2]
(1)
2 22
22 2
( ) ( )( )
, ,
L WL
e e uαα αβ αΩ ΩΩ
α α β α≠β α
+ ≥ µ
∑ ∑ ∑ , (12)
äå 1 2 1 2
11 22 12 21, , , const, 0
u u u u
e e e e
x y y x
∂ ∂ ∂ ∂
= = = = + µ = µ >
∂ ∂ ∂ ∂
.
Îñê³ëüêè âèðàçè äëÿ äåôîðìàö³é eαβ òà αβε ñï³âïàäàþòü, òî âèêîðèñ-
òàºìî íåð³âí³ñòü (12) äëÿ îö³íêè ñï³ââ³äíîøåííÿ (11):
2 2 2
11 22 12( , ) 2
4(1 )
S
EhA dS≥ ε + ε + ε ≥
+ ν ∫v v ( )
2 2 2
2 2 1 1 2
1 24(1 )
S
v v vEh
v v
x y x
∂ ∂ ∂µ ≥ + + + + + + ν ∂ ∂ ∂ ∫
(1)
2
2
22
( )4(1 ) W S
v Eh
dS v
y α
α
∂ µ + = ∂ + ν ∑ .
Îòæå, äîâåäåíî òàêó òåîðåìó.
Òåîðåìà 4. Íåõàé S – ñåðåäèííà ïîâåðõíÿ îáîëîíêè òîâùèíè h , Γ –
ãðàíèöÿ ñåðåäèííî¿ ïîâåðõí³. Íåõàé 0kα = , 1Aα = , ð³âíÿííÿ ð³âíîâàãè ìà-
þòü âèãëÿä (7), âèêîíóºòüñÿ ãðàíè÷íà óìîâà (10) òà ñï³ââ³äíîøåííÿ (8),
(9). Òîä³ ìຠì³ñöå íåð³âí³ñòü
(1)
2 22
22 2
( ) ( )( )
, ,
L S W SL S
vαα αβ α
α α β α≠β α
ε + ε ≥ µ
∑ ∑ ∑ .
Âèñíîâêè. Îòðèìàíî íåð³âí³ñòü òèïó Êîðíà äëÿ òåî𳿠îáîëîíîê òèïó
Òèìîøåíêà ÿê íàñë³äîê íåð³âíîñò³ Êîðíà â ïðîñòîð³, çàïèñàíî¿ â êðèâîë³-
í³éí³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò. Äëÿ áåçìîìåíòíî¿ òåî𳿠îáîëîíîê ðîçãëÿíóòî
÷àñòêîâèé âèïàäîê, êîëè ñåðåäèííà ïîâåðõíÿ º îáëàñòþ íà ïëîùèí³, ãåîìåò-
ð³ÿ ÿêî¿ âèçíà÷àºòüñÿ â äåêàðòîâ³é ñèñòåì³ êîîðäèíàò. Òîä³ íåð³âí³ñòü òèïó
Êîðíà äëÿ áåçìîìåíòíî¿ òåî𳿠îáîëîíîê îòðèìóºòüñÿ ÿê íàñë³äîê íåð³âíîñò³
Êîðíà íà ïëîùèí³. Ö³ ðåçóëüòàòè äîâîäÿòü òàêîæ åë³ïòè÷í³ñòü â³äïîâ³äíèõ
á³ë³í³éíèõ ôîðì ³ äàþòü çìîãó îá´ðóíòóâàòè êîðåêòí³ñòü âàð³àö³éíèõ çàäà÷.
138 Л. І. Винницька, Н. Я. Савула
1. Ãîëüäåíâåéçåð À. Ë. Òåîðèÿ óïðóãèõ òîíêèõ îáîëî÷åê. – Ìîñêâà: Ãîñòåõòåîðåò-
èçäàò, 1953. – 544 ñ.
2. Ìèõëèí Ñ. Ã. Ïðîáëåìà ìèíèìóìà êâàäðàòè÷íîãî ôóíêöèîíàëà. – Ìîñêâà – Ëå-
íèíãðàä: Ãîñòåõèçäàò, 1952. – 216 ñ.
3. Ïåëåõ Á. Ë. Îáîáùåííàÿ òåîðèÿ îáîëî÷åê. – Ëüâîâ: Èçä-âî ïðè Ëüâîâ. ãîñ. óí-òå,
1978. – 159 ñ.
4. Ðèä Ì., Ñàéìîí Á. Ìåòîäû ñîâðåìåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè. Ò. 1: Ôóíêöèî-
íàëüíûé àíàëèç. – Ìîñêâà: Ìèð, 1977. – 357 ñ.
5. Ciarlet P. G. Mathematical elasticity. – Vol. III: Theory of Shells. – Amsterdam:
North-Holland, 2000. – 666 p. – (Series «Studies in Mathematics and its Applica-
tions».)
6. Ciarlet P. G., Mardare S. On Korn’s inequalities in curvilinear coordinates // Math.
Models Appl. Sci. – 2001. – 11. – P. 1379–1391.
НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА КОРНА В ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК
Ïîëó÷åíî íåðàâåíñòâî òèïà Êîðíà äëÿ òåîðèè îáîëî÷åê Òèìîøåíêî. Äëÿ áåçìî-
ìåíòíîé òåîðèè ðàññìîòðåí ÷àñòíûé ñëó÷àé íåðàâåíñòâà òèïà Êîðíà, êîãäà
ãåîìåòðèÿ ñðåäèííîé ïîâåðõíîñòè îïðåäåëÿåòñÿ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè íà
ïëîñêîñòè.
SOME INEQUALITIES OF KORN’S TYPE IN LINEAR SHELL THEORY
The inequality of Korn’s type is obtained in Timoshenko shell theory. A particular case
of the inequality of Korn’s type is obtained in membrane shell theory, when geometry of
the middle surface is defined by plane Cartesian coordinates.
Ëüâ³â. íàö. óí-ò ³ìåí³ ²âàíà Ôðàíêà, Ëüâ³â Îäåðæàíî
11.06.08
|