Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы
Рассмотрена трехмерная задача упругого равновесия ортотропных пластин. Плоские грани пластины покрыты диафрагмой. Для данного класса задач получены однородные решения. Проведены численные исследования напряженного состояния бесконечной пластины с эллиптическим отверстием, на боковой поверхности кото...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7703 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы / Е.В. Алтухов, Н.М. Нескородев, Р.Н. Нескородев // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 139-145. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7703 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-77032010-04-09T12:00:57Z Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы Алтухов, Е.В. Нескородев, H.M. Нескородев, Р.Н. Рассмотрена трехмерная задача упругого равновесия ортотропных пластин. Плоские грани пластины покрыты диафрагмой. Для данного класса задач получены однородные решения. Проведены численные исследования напряженного состояния бесконечной пластины с эллиптическим отверстием, на боковой поверхности которой заданы внешние усилия. Розглядається тривимірна задача пружної рівноваги ортотропних пластин. Плоскі грані пластини покриті діафрагмою. Для цього класу задач одержано однорідні розв’язки. Проведено чисельні дослідження напруженого стану нескінченної ластини з еліптичним отвором, на бічній поверхні якої задано зовнішні зусилля. The three-dimensional problem of an elastic equilibrium of orthotropic plates is considered. Flat edges of a plate are covered with a diaphragm. For the given class of problems homogeneous solutions are obtained. Numerical researches of an strain state of an infinite plate with an elliptic hole on which lateral surface exterior effort are set are carried out. 2008 Article Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы / Е.В. Алтухов, Н.М. Нескородев, Р.Н. Нескородев // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 139-145. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7703 539.3 ru Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена трехмерная задача упругого равновесия ортотропных пластин. Плоские грани пластины покрыты диафрагмой. Для данного класса задач получены однородные решения. Проведены численные исследования напряженного состояния бесконечной пластины с эллиптическим отверстием, на боковой поверхности которой заданы внешние усилия. |
| format |
Article |
| author |
Алтухов, Е.В. Нескородев, H.M. Нескородев, Р.Н. |
| spellingShingle |
Алтухов, Е.В. Нескородев, H.M. Нескородев, Р.Н. Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы |
| author_facet |
Алтухов, Е.В. Нескородев, H.M. Нескородев, Р.Н. |
| author_sort |
Алтухов, Е.В. |
| title |
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы |
| title_short |
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы |
| title_full |
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы |
| title_fullStr |
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы |
| title_full_unstemmed |
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы |
| title_sort |
однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы |
| publisher |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7703 |
| citation_txt |
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин с граничными условиями на торцах типа диафрагмы / Е.В. Алтухов, Н.М. Нескородев, Р.Н. Нескородев // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 139-145. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT altuhovev odnorodnyerešeniâtrehmernyhzadačravnovesiâortotropnyhplastinsgraničnymiusloviâminatorcahtipadiafragmy AT neskorodevhm odnorodnyerešeniâtrehmernyhzadačravnovesiâortotropnyhplastinsgraničnymiusloviâminatorcahtipadiafragmy AT neskorodevrn odnorodnyerešeniâtrehmernyhzadačravnovesiâortotropnyhplastinsgraničnymiusloviâminatorcahtipadiafragmy |
| first_indexed |
2025-07-02T10:29:15Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:29:15Z |
| _version_ |
1836530695418150912 |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Прикл. проблеми мех. і мат. – 2008. – Вип. 6. – С. 139–145.
ÓÄÊ 539.3
Е. В. Алтухов, H. M. Нескородев, Р. Н. Нескородев
ОДНОРОДНЫЕ РЕШЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ ЗАДАЧ
РАВНОВЕСИЯ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С ГРАНИЧНЫМИ
УСЛОВИЯМИ НА ТОРЦАХ ТИПА ДИАФРАГМЫ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ òðåõìåðíàÿ çàäà÷à óïðóãîãî ðàâíîâåñèÿ îðòîòðîïíûõ
ïëàñòèí. Ïëîñêèå ãðàíè ïëàñòèíû ïîêðûòû äèàôðàãìîé. Äëÿ äàííîãî êëàññà
çàäà÷ ïîëó÷åíû îäíîðîäíûå ðåøåíèÿ. Ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ íà-
ïðÿæåííîãî ñîñòîÿíèÿ áåñêîíå÷íîé ïëàñòèíû ñ ýëëèïòè÷åñêèì îòâåðñòèåì,
íà áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîòîðîé çàäàíû âíåøíèå óñèëèÿ.
Ââåäåíèå. Â ðàáîòàõ [5, 6, 11] ñèñòåìàòèçèðîâàíû è èçëîæåíû ðåçóëü-
òàòû íàó÷íûõ èññëåäîâàíèé, îòíîñÿùèåñÿ ê ïðîáëåìàì ðåøåíèÿ êðàåâûõ
çàäà÷ òðåõìåðíîé òåîðèè óïðóãîñòè îðòîòðîïíîãî òåëà. Ñòðóêòóðíûé ìåòîä
ïîñòðîåíèÿ òî÷íîãî àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ óðàâíåíèé óïðó-
ãîãî ðàâíîâåñèÿ îðòîòðîïíûõ ïëèò â ïðÿìîóãîëüíûõ êîîðäèíàòàõ ïðåäëî-
æåí â ñòàòüå [11]. Ïðèìåíåíèþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòíîãî ïîäõîäà äëÿ ïîñòðî-
åíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèé òåîðèè óïðóãîñòè îðòîòðîïíîãî
òåëà ïîñâÿùåíà ðàáîòà [3]. Ìåòîä íà÷àëüíûõ ôóíêöèé [4] ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ
ðåøåíèÿ ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè àíèçîòðîïíîãî òåëà.
Ðåøåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíîãî òèïà è ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ óñòàíîâèâ-
øèõñÿ êîëåáàíèé àíèçîòðîïíûõ ïëàñòèí èçëàãàþòñÿ â ðàáîòå [7]. Õàðàêòåð-
íûì äëÿ óêàçàííûõ âûøå ìåòîäîâ ÿâëÿåòñÿ àïïðîêñèìàöèÿ èñêîìûõ âåëè-
÷èí òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè.
Äëÿ ðåøåíèÿ øèðîêîãî êëàññà òðåõìåðíûõ çàäà÷ ñòàòèêè è äèíàìèêè
óïðóãèõ òðàíñâåðñàëüíî-èçîòðîïíûõ òåë ýôôåêòèâíûì ÿâëÿåòñÿ ìåòîä îä-
íîðîäíûõ ðåøåíèé [1, 7, 8]. Çäåñü ïîñòðîåíû îäíîðîäíûå ðåøåíèÿ óðàâíå-
íèé ðàâíîâåñèÿ îðòîòðîïíûõ ïëàñòèí, íà ïëîñêèõ ãðàíÿõ êîòîðûõ íîðìàëü-
íàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ òåíçîðà íàïðÿæåíèé è êàñàòåëüíûå ïåðåìåùåíèÿ ðàâíû
íóëþ (ñìåøàííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ òèïà äèàôðàãìû).
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è ïîñòðîåíèå îäíîðîäíûõ ðåøåíèé. Ðàññìîòðèì
îðòîòðîïíóþ ïëàñòèíó òîëùèíîé 2h , îòíåñåííóþ ê äåêàðòîâîé ñèñòåìå êî-
îðäèíàò 1 2 3Ox x x . Íà ïëîñêèõ ãðàíÿõ ïëàñòèíû (òîðöàõ) çàäàíû îäíîðîä-
íûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ñìåøàííîãî òèïà
33 1 2 1 2( , , ) 0, ( , , ) 0, 1,2ix x h u x x h iσ ± = ± = = . (1)
Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â ïåðåìåùåíèÿõ è îáîáùåííîãî çàêîíà Ãóêà â
äàííîì ñëó÷àå èìåþò âèä [9]
2
11 55 3 1 12 2 13 3 3 0L A u L u L u+ ∂ + + ∂ =( ) ,
2
21 1 22 44 3 2 23 3 3 0L u L A u L u+ + ∂ + ∂ =( ) ,
2
31 3 1 32 3 2 33 33 3 3 0L u L u L A u∂ + ∂ + + ∂ =( ) , (2)
1 1 1 2 2 2 3 3 3 , 1,2,3i i i iA u A u A u iσ = ∂ + ∂ + ∂ = ,
4 44 3 2 2 3 5 55 3 1 1 3, A u u A u uσ = ∂ + ∂ σ = ∂ + ∂( ) ( ) ,
6 66 1 2 2 1A u uσ = ∂ + ∂( ) . (3)
Çäåñü ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ
2 2
11 11 1 66 2L A A= ∂ + ∂ , 2 2
22 66 1 22 2L A A= ∂ + ∂ , 2 2
33 55 1 44 2L A A= ∂ + ∂ ,
12 12 1 2L = α ∂ ∂ , 13 13 1L = α ∂ , 23 23 2L = α ∂ ,
21 12L L= , 31 13L L= , 32 23L L= ,
140 Е. В. Алтухов, H. M. Нескородев, Р. Н. Нескородев
i
ix
∂∂ =
∂
, ijA – ìîäóëè óïðóãîñòè,
12 12 66A Aα = + , 13 13 55A Aα = + , 23 23 44A Aα = + ,
1 11σ = σ , 2 22σ = σ , 3 33σ = σ ,
4 23σ = σ , 5 13σ = σ , 6 12σ = σ .
Ñëåäóÿ À. È. Ëóðüå [10], ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2), óäîâëåòâîðÿþùèå ãðà-
íè÷íûì óñëîâèÿì (1), áóäåì íàçûâàòü îäíîðîäíûìè. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ îäíî-
ðîäíûõ ðåøåíèé â ñëó÷àå çàäà÷è Á (êîñîñèììåòðè÷åñêàÿ äåôîðìàöèÿ îòíî-
ñèòåëüíî ñðåäèííîé ïëîñêîñòè 3 0x = ) ïðåäñòàâèì êîìïîíåíòû âåêòîðà ïå-
ðåìåùåíèé â âèäå
1 2 3
1
( , ) sin ( ), 1,2i ik k
k
u u x x x i
∞
=
= δ =∑ ,
1
3 3 1 2 3
0
( , ) cos ( ), k k k
k
u u x x x k h
∞
−
=
= δ δ = π∑ .
Ïðè ýòîì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (1) áóäóò óäîâëåòâîðåíû, à óðàâíåíèÿ (2)
ïðèìóò âèä
33 30 0, 0L u k= = , (4)
3
( )
1
0, 1,2,3, 1k
in nk
n
D u i k
=
= = ≥∑ . (5)
Çäåñü ( )k
inD – äèôôåðåíöèàëüíûå îïåðàòîðû
( ) 2 ( ) 2 ( )
11 55 11 12 12 13 13, , k k k
k k kD A L D L D L= − λ = − λ = λ ,
( ) 2 ( ) 2 ( )
21 21 22 44 22 23 23 , , k k k
k k kD L D A L D L= − λ = − λ = λ ,
( ) ( ) ( ) 2
31 31 32 32 33 33 33
1, , , k k k
k k k k
k
D L D L D L A= λ = λ = λ − λ =
δ
. (6)
Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé (4) íàõîäèì â âèäå
30 3 3
44 3
12Re ( )u z
A
= ϕ µ
. (7)
Çäåñü 3 3( )zϕ – ïðîèçâîëüíàÿ àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ îáîáùåííîé êîìï-
ëåêñíîé ïåðåìåííîé 3 1 3 2z x x= + µ ; 3µ – êîðåíü õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâ-
íåíèÿ 2
55 44 0A A+ µ = .
Âûðàæåíèÿ (3) äëÿ íàïðÿæåíèé â ýòîì ñëó÷àå ïðèìóò âèä
3
40 3 3 50 3 3 3 3 3
3
2Re ( ), 2Re ( ) , ( )
d
z z z
dz
ϕ′ ′ ′σ = ϕ σ = − µ ϕ ϕ =[ ] ,
10 20 30 60 0σ = σ = σ = σ = . (8)
Ïðåäñòàâëåíèÿ (7) è (8) ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû ïðè ðåøåíèè çàäà÷
òèïà àíòèïëîñêîé äåôîðìàöèè äëÿ ïëàñòèíû ñ ïîëîñòÿìè, êîãäà âíåøíèå
óñèëèÿ ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè âåëè÷èíàìè ïî ïåðåìåííîé 3x . Ñ ýòîé öå-
ëüþ ðàññìîòðèì íàïðÿæåííî-äåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå áåñêîíå÷íîé
ïëàñòèíû, îñëàáëåííîé n ïîëîñòÿìè, áîêîâûå ïîâåðõíîñòè rL ( 1, , )r n=
êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé öèëèíäðû ñ îáðàçóþùèìè, íîðìàëüíûìè
ïëîñêèì ãðàíÿì. Óêàçàííàÿ ïëàñòèíà äåôîðìèðóåòñÿ ïîñòîÿííûìè ïî ïåðå-
ìåííîé 3x âíåøíèìè óñèëèÿìè, ïðèëîæåííûìè ïî áîêîâûì ïîâåðõíîñòÿì
ïîëîñòåé. Êðîìå òîãî, âíåøíèå óñèëèÿ 5 5t
∞σ = , 4 4t
∞σ = ìîãóò áûòü çàäàíû
íà áåñêîíå÷íîñòè. Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîìïëåêñíîé ôóíê-
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин … 141
öèè ( )j jzϕ íà ïîâåðõíîñòè r -é ïîëîñòè â ýòîì ñëó÷àå ïðèíèìàþò âèä
50 1 40 2 1 5 2 4 ( )r r r r rn n n t n t N sσ + σ = − − + , (9)
ãäå ( )rN s – êàñàòåëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ âíåøíèõ óñèëèé, ïðèëîæåííûõ ê
áîêîâîé ïîâåðõíîñòè; 1 1cos ( , )r rn n x= , 2 2cos ( , )r rn n x= , rn – íîðìàëü ê
êîíòóðó rL .
Ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (9) ìîæíî ïðîèíòåãðèðîâàòü, ïðèíèìàÿ âî âíèìà-
íèå, ÷òî ïðè ïàðàìåòðè÷åñêîì çàäàíèè êîíòóðà
2 1
1 1 2 2cos ( , ) , cos ( , )r r r r
dx dx
n n x n n x
ds ds
= = = = − ,
2 2
1 2ds dx dx= + . (10)
Èç âûðàæåíèé (8) ñ ó÷åòîì (10) ñëåäóåò
3 3 5 2 4 1 3
0
2Re ( ) ( )
s
rz N s ds t x t x cϕ = − + − +∫ . (11)
Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé (5) âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ìàëîãî ïà-
ðàìåòðà.  êà÷åñòâå òàêîâîãî ïðèíÿòà âåëè÷èíà ( )k h kλ = π/ . Ðàçðåøàþùèå
óðàâíåíèÿ ïðè ýòîì çàâèñÿò îò âèäà ðàçëîæåíèé èñêîìûõ ôóíêöèé ïî ïà-
ðàìåòðó kλ . Ïðåäñòàâèì ôóíêöèè nku ðÿäàìè ïî ïàðàìåòðó kλ â ôîðìå
0
pnk
nk k nkp
k p
u u
∞
=
ϕ
= + λ
λ ∑ . (12)
Ïîäñòàâèì ïðåäñòàâëåíèÿ (12) â óðàâíåíèÿ (5).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â âèäå ðàçëîæåíèé â ðÿäû ïî ïàðàìåòðó kλ :
1
55 1 55 1 0 13 3 55 1 1 11 1 12 2 13 3 0k k k k k k k k kA A u L A u L L L u−λ ϕ + + ϕ + λ − ϕ − ϕ + +[ ]
55 1 11 1 , 2 12 2 , 2 13 3 , 1
2
0p
k kp k p k p k p
p
A u L u L u L u
∞
− − −
=
+ λ − − + =∑ [ ] , (13)
1
44 2 44 2 0 23 3 44 2 1 21 1 22 2 23 3 0k k k k k k k k kA A u L A u L L L u−λ ϕ + + ϕ + λ − ϕ − ϕ + +[ ]
44 2 21 1 , 2 22 2 , 2 23 3 , 1
2
0p
k kp k p k p k p
p
A u L u L u L u
∞
− − −
=
+ λ − − + =∑ [ ] , (14)
1
33 3 33 3 0 31 1 32 2 33 3 1 31 1 0 32 2 0k k k k k k k k kA A u L L A u L u L u−λ ϕ + − ϕ − ϕ + λ − − −[
33 3 33 3 31 1 , 1 32 2 , 1 33 3 , 2
2
0p
k k kp k p k p k p
p
L A u L u L u L u
∞
− − −
=
− ϕ + λ − − − =∑] [ ] . (15)
Ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé (13)–(15) ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå âà-
ðèàíòû.
Âàðèàíò 1. Ïîëàãàåì 1 2kϕ = ∂ ϕ , 2 1kϕ = − ∂ ϕ , 3 0kϕ = . Òîãäà óðàâíåíèÿ
(13)–(15) ïðèìóò âèä
1 0 2 0 3 1 3 0 13 23 1 2
33
10, ( )k k k ku u u u
A
= = = = α − α ∂ ∂ ϕ ,
2 2 2
55 2 55 1 1 11 1 66 2 2 0k kA A u B A∂ ϕ + λ − ∂ + ∂ ∂ ϕ =( )[ ] , (16)
2 2 2
44 1 44 2 1 66 1 22 2 1 0k kA A u A B∂ ϕ − λ + ∂ + ∂ ∂ ϕ =( )[ ] , (17)
1 11 1 , 2 12 2 , 2 13 3 , 1
55
1
kp k p k p k pu L u L u L u
A− − −= + −( ) , (18)
142 Е. В. Алтухов, H. M. Нескородев, Р. Н. Нескородев
2 21 1 , 2 22 2 , 2 23 3 , 1
44
1
kp k p k p k pu L u L u L u
A− − −= + −( ) , (19)
3 31 1 , 1 32 2 , 1 33 3 , 2
33
1 , 2kp k p k p k pu L u L u L u p
A− − −= + + ≥( ) , (20)
ãäå 11 11 12 13 13 23
33
( )B A
A
= − α − α α − α 1 , 22 22 12 23 13 23
33
1( )B A
A
= − α + α α − α .
Äëÿ ñëó÷àÿ èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà âåëè÷èíû 11 22 66B B A= = . Òîãäà
óðàâíåíèÿ (16) è (17) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè ϕ ñîâïàäàþò, åñëè ïîëî-
æèòü 1 1 2 1 0k ku u= = . Äëÿ îðòîòðîïíîãî ìàòåðèàëà óðàâíåíèÿ (16) è (17) áó-
äóò ðàçíûìè. Ïîýòîìó ðàññìîòðèì äâà ñëó÷àÿ íàõîæäåíèÿ ðàçðåøàþùèõ
óðàâíåíèé äëÿ ôóíêöèè ϕ .
1°. Ïóñòü ôóíêöèÿ 1 1 0ku = . Òîãäà èç (16) ñëåäóåò
2 2 2 66 11
1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
55 66
0, , k
A B
A A
ϕ − λ α ∂ + µ µ ∂ ϕ = α = µ µ =( ) . (21)
Óðàâíåíèå (17) òàêæå ïðèìåò âèä (21), åñëè
2 211 66 66 22
2 1 1 2 1 1
55 44 55 44
k
B A A B
u
A A A A
= − ∂ + − ∂ ∂ ϕ
. (22)
2°. Ïîëàãàÿ ôóíêöèþ 2 1 0ku = , èç óðàâíåíèÿ (17) ïîëó÷èì
2 2 2 22 66
2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
44 22
0, , k
B A
A B
ϕ − λ α ∂ + µ µ ∂ ϕ = α = µ µ =( ) . (23)
Óðàâíåíèå (16) òàêæå ïðèìåò âèä (23), åñëè
2 211 66 66 22
1 1 1 2 2 2
55 44 55 44
k
B A A B
u
A A A A
= − ∂ + − ∂ ∂ ϕ
. (24)
Çàìåòèì, ÷òî äëÿ èçîòðîïíîãî ìàòåðèàëà óðàâíåíèÿ (21) è (23) ñîâïà-
äàþò, à ôóíêöèè (22) è (24) ðàâíû íóëþ.
Âàðèàíò 2. Ïóñòü 1 2 0k kϕ = ϕ = , 3 3kϕ = ϕ , 1 0 1 3ku = ∂ ϕ , 2 0 2 3ku = ∂ ϕ .
Òîãäà óðàâíåíèÿ (13)–(15) ïðèâîäÿòñÿ ê âèäó
2 2 2
13 55 1 3 55 1 2 11 1 12 66 2 1 3( ) ( ) 0k kA A u A Aα + ∂ ϕ + λ − ∂ + α + ∂ ∂ ϕ =( )[ ] , (25)
23 44 2 3 23 44 2 3( ) ( )A Aα + ∂ ϕ + α + ∂ ϕ +
2 2 2
44 2 2 12 66 1 22 2 2 3( ) 0k kA u A A+ λ − α + ∂ + ∂ ∂ ϕ =( )[ ] , (26)
2 2 2
3 3 2 3 3 1 3 0kϕ − λ α ∂ + µ µ ∂ ϕ =( ) , (27)
ãäå
1 1 2 1 3 0 3 1 0k k k ku u u u= = = = ,
23 44 13 55
3 3 3
33 23 44
,
A A
A A
α + α +
α = µ µ =
α +
,
1 11 1 , 2 12 2 , 2 13 3 , 1
55
1
kp k p k p k pu L u L u L u
A− − −= + −( ) ,
2 21 1 , 2 22 2 , 2 23 3 , 1
44
1
kp k p k p k pu L u L u L u
A− − −= + −( ) ,
3 31 1 , 1 32 2 , 1 33 3 , 2
33
1 , 3kp k p k p k pu L u L u L u p
A− − −= + + ≥( ) .
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин … 143
Óðàâíåíèÿ (25) è (26) ïðèâîäÿòñÿ ê óðàâíåíèþ (27), åñëè
2 2
1 2 11 13 55 1
33
1( )ku A A
A
= − α + ∂ +
2
12 66 13 55 23 44 2 1 3
33
1( )( )A A A
A
+ α + − α + α + ∂ ∂ ϕ
,
2
2 2 12 66 13 55 23 44 1
33
1( )( )ku A A A
A
= α + − α + α + ∂ +
2 2
22 23 44 2 2 3
33
1( )A A
A
+ − α + ∂ ∂ ϕ
.
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâåëàñü ê èíòåãðèðîâàíèþ îáîáùåííûõ ìåòà-
ãàðìîíè÷åñêèõ óðàâíåíèé (21), (23) è (27). Ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò îäèíàêî-
âóþ ñòðóêòóðó
2 2 2
2 11 0F− λ α ∂ + µ µ ∂ =( )[ ] . (28)
Îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (28) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóïåðïîçèöèè
ôóíêöèé Áåññåëÿ ìíèìîãî àðãóìåíòà:
2
1 2
0
( , ) 2 2
! !
n n
n
n n n n
n
z zF z z C I q C K q
n n
∞
−
=
= + ρ ρ + ρ
∑ / [ ]( ) ( ) ,
ãäå 1 2z x x= + µ , zzρ = , 2
2 2
1
( )
q =
λ α µ − µ
.
×èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ. Ðàññìîòðèì áåñêîíå÷íóþ ïëàñòèíó ïðîèç-
âîëüíîé òîëùèíû 2h , îñëàáëåííóþ ýëëèïòè÷åñêîé ïîëîñòüþ, êîíòóð L êî-
òîðîé çàäàí óðàâíåíèÿìè â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå
1 2cos , sinx a x b= θ = θ ,
ãäå a è b – ïîëóîñè ýëëèïñà; 0 2≤ θ ≤ π .
Ïëàñòèíà äåôîðìèðóåòñÿ ïîñòîÿííûìè ïî ïåðåìåííîé 3x âíåøíèìè
óñèëèÿìè, êîòîðûå îïèñàíû âûøå. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåííî-äåôîðìè-
ðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ïëàñòèíû âáëèçè ïîëîñòè âîçìîæíû äâà ñïîñîáà îïðå-
äåëåíèÿ ôóíêöèè 3 3( )zϕ : ñ èñïîëüçîâàíèåì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé (9) èëè (11).
Ïðè ïðîâåäåíèè ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ âûáèðàëèñü â
ôîðìå (11), êîãäà íà êîíòóðå çàäàâàëàñü âåëè÷èíà ( ) ( )rN s Pf= θ . Ïîäûíòåã-
ðàëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿëàñü íà êîíòóðå â âèäå ðÿäà ïî ñòåïåíÿì âå-
ëè÷èíû exp ( )iσ = θ :
2 2 2 2
0
1
( ) ( ) sin cos
n
k k
k k
k
F f a b a a a−
=
θ = θ θ + θ = + σ + σ∑ ( ) ,
ãäå
0
1 1
1 1( ), ( ) exp ( ) ( 2 1)
N N
p k p p
p p
a F a F i k N n
N N
= =
= θ = θ θ ≥ +∑ ∑ .
Çäåñü ðàâíîîòñòîÿùèå óçëû pθ ðàñïîëîæåíû íà îòðåçêå ( ]0, 2π :
1 20 2N< θ < θ < < θ ≤ π .
Èíòåãðàë, âõîäÿùèé â ïðàâóþ ÷àñòü óñëîâèé (11), ïðèìåò âèä
0
10 0
( ) ( )
s n
k kk k
r
k
a a
N s ds P F d P a i
k k
θ
−
=
− = − θ θ = − θ + σ − σ
∑∫ ∫ .
Ôóíêöèÿ 3 3( )zϕ îïðåäåëåíà â îáëàñòè 3S , êîòîðàÿ ïîëó÷àåòñÿ èç îñ-
íîâíîé îáëàñòè S àôôèííûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè [9]
144 Е. В. Алтухов, H. M. Нескородев, Р. Н. Нескородев
13 1 3 2x x x= + α , 23 3 2x x= β , 3 3 3iµ = α + β .
Ïðè ýòîì ýëëèïòè÷åñêîìó êîíòóðó L â îáëàñòè 3S ñîîòâåòñòâóåò ýëëèïòè-
÷åñêèé êîíòóð 3L , óðàâíåíèå êîòîðîãî çàïèøåòñÿ òàê:
3 1 3 2 3 3
1t x x R m= + µ = σ +
σ
, (29)
3 3
1 ( )
2
R a i b= − µ , 3 3
1 ( )
2
m a i b= + µ , cos sinie iθσ = = θ + θ .
Ôóíêöèÿ, îòîáðàæàþùàÿ âíåøíîñòü åäèíè÷íîãî êðóãà íà âíåøíîñòü
ýëëèïòè÷åñêîãî êîíòóðà â îáëàñòè 3S , íà îñíîâàíèè óðàâíåíèÿ (29) ïðèìåò
âèä
3
3 3 3
3
m
z R= ζ +
ζ
, 3 3rζ = σ , 3 1r ≥ . (30)
Ïðåäñòàâèì ôóíêöèþ 3 3( )zϕ â âèäå ðÿäà
3 3 3
1 3
( ) ln k
k
k
z
∞
=
α
ϕ = α ζ +
ζ
∑ , (31)
ãäå ïåðåìåííàÿ 3ζ ñâÿçàíà ñ 3z çàâèñèìîñòÿìè (30).
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî íà êîíòóðå 3 1r = , à ïåðåìåííàÿ 3ζ = σ , ìåòîäîì ðÿäîâ
èç óñëîâèé (11) ïîëó÷èì ñèñòåìó àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî
êîýôôèöèåíòîâ ðàçëîæåíèÿ ôóíêöèè (31). Èç ýòîé ñèñòåìû íàéäåì
0i i Paα − α = − , (32)
1 , 1k kPia k
k
α = − ≥ .
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà α ê óðàâíåíèþ (32) äîáàâèì óñëîâèå îäíî-
çíà÷íîñòè ïåðåìåùåíèé
44 3 44 3
0
A A
α α− =
µ µ
.
Íà ðèñ. 1 èçîáðàæåíû ãðàôèêè ðàñïðåäåëåíèÿ íàïðÿæåíèé z
P
θσ
=
40 1 50 2cos , cos ,n x n x
P
= σ − σ 1( ) îêîëî êðóãîâîé ïîëîñòè, äëÿ ñëó÷àÿ, êîã-
äà ( ) constN s p= = äëÿ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà 3 3 0.2 , 0.8 , , 1.25 , 5i i i i i iµ = β = .
Íàïðÿæåíèÿ ÿâëÿþòñÿ çíàêîïåðåìåííûìè è ïðè ñòðåìëåíèè ïàðàìåòðà 3β
ê çíà÷åíèþ, ðàâíîìó åäèíèöå ñ îáåèõ ñòîðîí, îíè ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ.
-2
-1
0
1
2
0 1 2 3 4 5 6 θ
θσz
P µ =3 5i
0 2. i
i1 25. i
0 8. i
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5 6 θ
θσz
P = =1 0 1, .a b
0 1 1. ,
1 1,
Рис. 1 Рис. 2
Однородные решения трехмерных задач равновесия ортотропных пластин … 145
Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåíû ãðàôèêè äëÿ òåõ æå íàïðÿæåíèé z
P
θσ
, ÷òî è íà
ðèñ. 1, îêîëî ýëëèïòè÷åñêèõ ( ( , ) (0.1, 1)a b = è ( , ) (1, 0.1)a b = ) è êðóãîâîãî
( ( , ) (1,1)a b = ) êîíòóðîâ. Ïðè ýòîì ñ÷èòàëîñü, ÷òî ïëàñòèíà èçãîòîâëåíà èç
ñòåêëîïëàñòèêà ñî ñëåäóþùèìè òåõíè÷åñêèìè ïîñòîÿííûìè [2]:
4.76xE
E
= , 2.07
yE
E
= , 1.45zE
E
= , 0.531
xyG
E
= , 0.434
yzG
E
= , 0.501zxG
E
= ,
0.149xyµ = , 0.325yzµ = , 0.099zxµ = , 3 1.0744β = , 410E = ÌÏà.
Àíàëèç ðåçóëüòàòîâ ðàñ÷åòà ïîêàçûâàåò, ÷òî ìîäóëè íàïðÿæåíèé âîç-
ðàñòàþò ïðè îòêëîíåíèè ïàðàìåòðà 3β îò åäèíèöû êàê â ñòîðîíó óìåíüøå-
íèÿ, òàê è â ñòîðîíó óâåëè÷åíèÿ. Ðîñò àáñîëþòíûõ çíà÷åíèé íàïðÿæåíèé
íàáëþäàåòñÿ òàêæå è ïðè îòêëîíåíèè êîíòóðà îò êðóãîâîãî.
1. Àëòóõîâ Å. Â. Ñòàòè÷åñêèå òðåõìåðíûå çàäà÷è äëÿ òðàíñâåðñàëüíî-èçîòðîïíûõ
ïëàñòèí // Ìåõàíèêà êîìïîçèòîâ: Â 12 ò.; Ò. 7: Êîíöåíòðàöèÿ íàïðÿæåíèé /
Ïîä ðåä. À. Í. Ãóçÿ, À. Ñ. Êîñìîäàìèàíñêîãî, Â. Ï. Øåâ÷åíêî. – Êèåâ: ÏÒÎÎ
«À.Ñ.Ê.», 1998. – Ñ. 114–137.
2. Àøêåíàçè Å. Ê., Ãàíîâ Ý. Â. Àíèçîòðîïèÿ êîíñòðóêöèîííûõ ìàòåðèàëîâ: Ñïðà-
âî÷íèê. – Ëåíèíãðàä: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1980. – 247 ñ.
3. Áóðàê ß. È., Ñóõîðîëüñêèé Ì. À. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòíûé ïîäõîä ê ïîñòðîåíèþ
îáîáùåííûõ ðåøåíèé êðàåâûõ çàäà÷ òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ îðòîòðîïíîãî òåëà
// Ìàò. ìåòîäè òà ô³ç.-ìåõ. ïîëÿ. – 2005. – 48, ¹ 3. – Ñ. 68–74.
4. Ãàëèëååâ Ñ. Í., Ìàòðîñîâ À. Â. Ìåòîä íà÷àëüíûõ ôóíêöèé â ðàñ÷åòå ñëîèñòûõ
ïëèò // Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 1995. – 31, ¹ 6. – Ñ. 64–71.
5. Êîñìîäàìèàíñêèé À. Ñ. Êîíöåíòðàöèÿ âíóòðåííåé ýíåðãèè â ìíîãîñâÿçíûõ òå-
ëàõ // Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 2002. – 38, ¹ 4. – Ñ. 21–48.
6. Êîñìîäàìèàíñêèé À. Ñ. Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè äëÿ ìíîãî-
ñâÿçíûõ ïëàñòèí: Îáçîð // Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 1983. – 19, ¹ 12. – Ñ. 3–21.
7. Êîñìîäàìèàíñêèé À. Ñ., Ñòîðîæåâ Â. È. Äèíàìè÷åñêèå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñ-
òè àíèçîòðîïíûõ ñðåä. – Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1985. – 176 ñ.
8. Êîñìîäàìèàíñêèé À. Ñ., Øàëäûðâàí Â. À. Òîëñòûå ìíîãîñâÿçíûå ïëàñòèíû. –
Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1978. – 240 ñ.
9. Ëåõíèöêèé Ñ. Ã. Òåîðèÿ óïðóãîñòè àíèçîòðîïíîãî òåëà. – Ìîñêâà: Íàóêà, 1977.
– 415 ñ.
10. Ëóðüå À. È. Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è òåîðèè óïðóãîñòè. – Ìîñêâà: Ãîñòåõèç-
äàò, 1955. – 491 ñ.
11. Íåìèø Þ. Í. Ðàçâèòèå àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ â òðåõìåðíûõ çàäà÷àõ ñòàòèêè
àíèçîòðîïíûõ òåë (îáçîð) // Ïðèêë. ìåõàíèêà. – 2000. – 36, ¹ 2. – Ñ. 3–38.
ОДНОРІДНІ РОЗВ’ЯЗКИ ТРИВИМІРНИХ ЗАДАЧ РІВНОВАГИ ОРТОТРОПНИХ
ПЛАСТИН З ГРАНИЧНИМИ УМОВАМИ НА ТОРЦЯХ ТИПУ ДІАФРАГМИ
Ðîçãëÿäàºòüñÿ òðèâèì³ðíà çàäà÷à ïðóæíî¿ ð³âíîâàãè îðòîòðîïíèõ ïëàñòèí.
Ïëîñê³ ãðàí³ ïëàñòèíè ïîêðèò³ ä³àôðàãìîþ. Äëÿ öüîãî êëàñó çàäà÷ îäåðæàíî îäíî-
ð³äí³ ðîçâ’ÿçêè. Ïðîâåäåíî ÷èñåëüí³ äîñë³äæåííÿ íàïðóæåíîãî ñòàíó íåñê³í÷åííî¿
ïëàñòèíè ç åë³ïòè÷íèì îòâîðîì, íà á³÷í³é ïîâåðõí³ ÿêî¿ çàäàíî çîâí³øí³ çóñèëëÿ.
HOMOGENEOUS SOLUTIONS OF THREE-DIMENSIONAL PROBLEMS
OF THE EQUILIBRIUM OF ORTHOTROPIC PLATES WITH BOUNDARY CONDITIONS
AT END FACES SUCH AS THE DIAPHRAGM
The three-dimensional problem of an elastic equilibrium of orthotropic plates is consi-
dered. Flat edges of a plate are covered with a diaphragm. For the given class of prob-
lems homogeneous solutions are obtained. Numerical researches of an strain state of an
infinite plate with an elliptic hole on which lateral surface exterior effort are set are
carried out.
Äîíåöê. íàö. óí-ò, Äîíåöê Ïîëó÷åíî
16.10.07
|