Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки
Предложен новый подход к активному демпфированию вынужденных резонансных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при помощи распределенных сенсоров и актуаторов. Механическая нагрузка считается неизвестной. Она определяется по экспериментальным показаниям сенсора. Рассмотрены задачи об активном де...
Gespeichert in:
| Datum: | 2008 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України
2008
|
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7705 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки / Т.В. Карнаухова // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 154-166. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7705 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-77052010-04-09T12:00:59Z Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки Карнаухова, Т.В. Предложен новый подход к активному демпфированию вынужденных резонансных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при помощи распределенных сенсоров и актуаторов. Механическая нагрузка считается неизвестной. Она определяется по экспериментальным показаниям сенсора. Рассмотрены задачи об активном демпфировании колебаний изотропных вязкоупругих прямоугольных пластин с шарнирно опертыми и жестко защемленными торцами, а также со смешанными граничными условиями. Задачи решаются методом Бубнова - Галеркина. Для всех случаев граничных условий получены формулы для разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для демпфирования вынужденных колебаний по первой моде. Исследовано влияние граничных условий, диссипативных свойств материалов, размеров сенсора и актуатора на эффективность активного демпфирования. Запропоновано новий підхід до дослідження активного демпфування вимушених резонансних коливань в’язкопружних ізотропних пластин за допомогою розподілених сенсорів та актуаторів для випадку, коли механічне навантаження невідо-ме. Воно визначається з експериментальних показників сенсора. Розглянуто задачі про активне демпфування коливань ізотропних в’язкопружних прямокутних пластин з шарнірно обпертими і жорстко защемленими торцями, а також зі змішаними граничними умовами. Задачі розв’язано методом Бубнова – Гальоркіна. Для всіх випадків граничних умов одержано формули для різниці потенціалів, яку потрібно підвести до актуатора для демпфування вимушених резонансних коливань по першій моді. Досліджено вплив механічних граничних умов, дисипативних ластивостей матеріалів, розмірів сенсора та актуатора на ефективність активного демпфування коливань пластин. A new approach to an active damping of forced resonant bending vibrations of viscoelastic isotropic plates by the distributed piezoelectric sensors and actuators is proposed. It is supposed that a mechanical load is unknown. It is found by an experimental dates of a sensor. The problems of the active damping vibrations of an isotropic viscoelastic rectangular plate with a simply supported, built-in supported edges and with mixed boundary conditions are considered. The problems are sovted by a Bubnov – Galerkin method. For all cases of boundary conditions the formulas for a potential difference to dampe the forced vibrations of plates on the first modes are obtained. Influence of mechanical boundary conditions, dissipative material properties, the dimensions of the sensors and actuators on the effectiveness of active damping of vibrations is investigated. 2008 Article Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки / Т.В. Карнаухова // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 154-166. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1810-3022 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7705 539.3 ru Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Предложен новый подход к активному демпфированию вынужденных резонансных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при помощи распределенных сенсоров и актуаторов. Механическая нагрузка считается неизвестной. Она определяется по экспериментальным показаниям сенсора. Рассмотрены задачи об активном демпфировании колебаний изотропных вязкоупругих прямоугольных пластин с шарнирно опертыми и жестко защемленными торцами, а также со смешанными граничными условиями. Задачи решаются методом Бубнова - Галеркина. Для всех случаев граничных условий получены формулы для разности потенциалов, которую необходимо подвести к актуатору для демпфирования вынужденных колебаний по первой моде. Исследовано влияние граничных условий, диссипативных свойств материалов, размеров сенсора и актуатора на эффективность активного демпфирования. |
| format |
Article |
| author |
Карнаухова, Т.В. |
| spellingShingle |
Карнаухова, Т.В. Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки |
| author_facet |
Карнаухова, Т.В. |
| author_sort |
Карнаухова, Т.В. |
| title |
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки |
| title_short |
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки |
| title_full |
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки |
| title_fullStr |
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки |
| title_full_unstemmed |
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки |
| title_sort |
активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки |
| publisher |
Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України |
| publishDate |
2008 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7705 |
| citation_txt |
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний изотропных вязкоупругих пластин при действии на них неизвестной механической нагрузки / Т.В. Карнаухова // Приклад. пробл. механіки і математики. — 2008. — Вип. 6. — С. 154-166. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT karnauhovatv aktivnoedempfirovanievynuždennyhrezonansnyhizgibnyhkolebanijizotropnyhvâzkouprugihplastinpridejstviinanihneizvestnojmehaničeskojnagruzki |
| first_indexed |
2025-07-02T10:29:20Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:29:20Z |
| _version_ |
1836530701126598656 |
| fulltext |
ISSN 1810-3022. Ïðèêë. ïðîáëåìè ìåõ. ³ ìàò. – 2008. – Âèï. 6. – Ñ. 154–166.
ÓÄÊ 539.3
Т. В. Карнаухова
АКТИВНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ РЕЗОНАНСНЫХ
ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ИЗОТРОПНЫХ ВЯЗКОУПРУГИХ ПЛАСТИН ПРИ
ДЕЙСТВИИ НА НИХ НЕИЗВЕСТНОЙ МЕХАНИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ
Ïðåäëîæåí íîâûé ïîäõîä ê àêòèâíîìó äåìïôèðîâàíèþ âûíóæäåííûõ ðåçî-
íàíñíûõ êîëåáàíèé èçîòðîïíûõ âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí ïðè ïîìîùè ðàñïðå-
äåëåííûõ ñåíñîðîâ è àêòóàòîðîâ. Ìåõàíè÷åñêàÿ íàãðóçêà ñ÷èòàåòñÿ íåèç-
âåñòíîé. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîêàçàíèÿì ñåíñîðà. Ðàñ-
ñìîòðåíû çàäà÷è îá àêòèâíîì äåìïôèðîâàíèè êîëåáàíèé èçîòðîïíûõ âÿçêî-
óïðóãèõ ïðÿìîóãîëüíûõ ïëàñòèí ñ øàðíèðíî îïåðòûìè è æåñòêî çàùåìëåí-
íûìè òîðöàìè, à òàêæå ñî ñìåøàííûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè. Çàäà÷è ðå-
øàþòñÿ ìåòîäîì Áóáíîâà – Ãàëåðêèíà. Äëÿ âñåõ ñëó÷àåâ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé
ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïîäâåñ-
òè ê àêòóàòîðó äëÿ äåìïôèðîâàíèÿ âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ïî ïåðâîé ìî-
äå. Èññëåäîâàíî âëèÿíèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, äèññèïàòèâíûõ ñâîéñòâ ìàòåðè-
àëîâ, ðàçìåðîâ ñåíñîðà è àêòóàòîðà íà ýôôåêòèâíîñòü àêòèâíîãî äåìïôèðî-
âàíèÿ.
Ââåäåíèå. Òîíêèå èçîòðîïíûå íåóïðóãèå ïëàñòèíû íàõîäÿò øèðîêîå
ïðèìåíåíèå âî ìíîãèõ îáëàñòÿõ ñîâðåìåííîé íàóêè è òåõíèêè: â êîñìè÷åñ-
êîé òåõíèêå, àâèà-, àâòîìîáèëå-, ñóäî-, ìàøèíîñòðîåíèè, ðàäèîýëåêòðîíèêå
è ò. ï. Î÷åíü ÷àñòî íà íèõ äåéñòâóþò íåñòàöèîíàðíûå è ãàðìîíè÷åñêèå âî
âðåìåíè ìåõàíè÷åñêèå íàãðóçêè. Îñîáåííî îïàñíûìè ÿâëÿþòñÿ ðåçîíàíñíûå
êîëåáàíèÿ, êîãäà ÷àñòîòà ãàðìîíè÷åñêîé âî âðåìåíè ñèëû ñîâïàäàåò ñ ñîá-
ñòâåííîé ÷àñòîòîé êîëåáàíèé ýëåìåíòà.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò çàäà÷à
äåìïôèðîâàíèÿ âûíóæäåííûõ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé òîíêèõ ïëàñòèí. Äëÿ
ýòîé öåëè øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ïàññèâíûå ìåòîäû äåìïôèðîâàíèÿ, êîãäà â
ñòðóêòóðó ýëåìåíòà âêëþ÷àþòñÿ êîìïîíåíòû ñ âûñîêèìè ãèñòåðåçèñíûìè
ïîòåðÿìè. Ïî âîïðîñàì ïàññèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèé òîíêîñòåííûõ
ýëåìåíòîâ îïóáëèêîâàíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ðàáîò êàê îòå÷åñòâåííûõ, òàê
çàðóáåæíûõ ó÷åíûõ-ìåõàíèêîâ, îáçîð êîòîðûõ ìîæíî íàéòè â ìîíîãðàôè-
ÿõ [6, 7].  ïîñëåäíèå ãîäû äëÿ óêàçàííîé öåëè íà÷àëè ïðèìåíÿòü àêòèâíûå
ìåòîäû, áàçèðóþùèåñÿ íà âêëþ÷åíèè â ñòðóêòóðó ïàññèâíîãî (áåç ïüåçîýô-
ôåêòà) òîíêîñòåííîãî ýëåìåíòà èç ìåòàëëè÷åñêîãî, ïîëèìåðíîãî èëè êîìïî-
çèòíîãî ìàòåðèàëà, ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ êîìïîíåíò [8–10]. Îäíè èç íèõ âû-
ïîëíÿþò ôóíêöèè ñåíñîðà, êîòîðûå äàþò èíôîðìàöèþ î ìåõàíè÷åñêîì ñî-
ñòîÿíèè òåëà, à äðóãèå – ôóíêöèè òàê íàçûâàåìûõ àêòóàòîðîâ. Ñóùåñòâó-
þò äâà îñíîâíûõ ìåòîäà àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèé. Ïðè èñïîëü-
çîâàíèè ïåðâîãî èç íèõ äëÿ äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèé ïðèìåíÿþòñÿ ïüåçî-
ýëåêòðè÷åñêèå âêëþ÷åíèÿ, âûïîëíÿþùèå ôóíêöèè àêòóàòîðà. Îñíîâíàÿ çà-
äà÷à ïðè ýòîì ñîñòîèò â ðàñ÷åòå òîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íåîá-
õîäèìî ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó äëÿ êîìïåíñàöèè ðåçîíàíñíîé ñîñòàâëÿþùåé
âíåøíåé ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè. Åñëè âåëè÷èíà íàãðóçêè èçâåñòíà, òî ñî-
îòâåòñòâóþùèì âûáîðîì ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ ìîæíî ïîëíîñòüþ çàäåìï-
ôèðîâàòü îïðåäåëåííóþ (íàïðèìåð, ïåðâóþ) ìîäó. Òîãäà àìïëèòóäà êîëå-
áàíèé íà ýòîé ìîäå áóäåò ðàâíà íóëþ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè âòîðîãî ìåòîäà
êðîìå àêòóàòîðîâ ïðèìåíÿþòñÿ åùå è ïüåçîýëåêòðè÷åñêèå ñåíñîðû. Ê àê-
òóàòîðàì ïîäâîäèòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ ïîêàçàòå-
ëÿì ñåíñîðà, – òîêó èëè ïåðâîé ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ðàçíîñòè ïî-
òåíöèàëîâ, ñíèìàåìîé ñ ñåíñîðîâ. Êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè íîñèò
íàçâàíèå êîýôôèöèåíòà îáðàòíîé ñâÿçè. Òîãäà èçìåíÿþòñÿ äèññèïàòèâíûå
õàðàêòåðèñòèêè ïëàñòèíû, â ðåçóëüòàòå ÷åãî óìåíüøàåòñÿ àìïëèòóäà êî-
ëåáàíèé. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòîãî ìåòîäà óðîâåíü êîëåáàíèé ìîæíî ñó-
ùåñòâåííî óìåíüøèòü çà ñ÷åò âûáîðà óêàçàííîãî êîýôôèöèåíòà îáðàòíîé
ñâÿçè. Â îáîèõ ìåòîäàõ íåîáõîäèìî çíàòü âíåøíþþ íàãðóçêó.
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний … 155
 äàííîé ñòàòüå ïðåäëàãàåòñÿ íîâûé ïîäõîä ê àêòèâíîìó äåìïôèðîâà-
íèþ âûíóæäåííûõ ðåçîíàíñíûõ èçãèáíûõ êîëåáàíèé èçîòðîïíûõ âÿçêîóï-
ðóãèõ ïëàñòèí ïðè ïîìîùè ñîâìåñòíîãî èñïîëüçîâàíèÿ ñåíñîðîâ è àêòóàòî-
ðîâ â ñëó÷àå, êîãäà âíåøíÿÿ ìåõàíè÷åñêàÿ íàãðóçêà íåèçâåñòíà. Ñóòü åãî
ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîêàçàíèÿì ñåíñîðà – çàðÿäó
èëè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ – âîññòàíàâëèâàåòñÿ âíåøíÿÿ ìåõàíè÷åñêàÿ íà-
ãðóçêà. Ïîñëå ýòîãî èñïîëüçóåòñÿ ïåðâûé èç óêàçàííûõ âûøå ïîäõîäîâ,
êîãäà ê àêòóàòîðó ïîäâîäèòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, êîòîðàÿ ðàññ÷èòûâà-
åòñÿ ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîêàçàíèÿì ñåíñîðà. Â äàëüíåéøåì áóäåì íà-
çûâàòü åãî òðåòüèì ïîäõîäîì. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòîãî ïîäõîäà ïîäâîäè-
ìàÿ ê àêòóàòîðó ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ äëÿ êîìïåíñàöèè ñîîòâåòñòâóþùåé
ìîäû êîëåáàíèé ðàññ÷èòûâàåòñÿ ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîêàçàòåëÿì ñåí-
ñîðà – òîêó èëè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ â çàâèñèìîñòè îò òèïà ýëåêòðè÷åñ-
êèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé.
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíóþ ïëàñòèíó ðàçìåðîì
a b× , íà êîòîðóþ äåéñòâóåò äàâëåíèå, èçìåíÿþùååñÿ âî âðåìåíè ïî ãàð-
ìîíè÷åñêîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé, áëèçêîé ê ðåçîíàíñíîé. Êîëåáàíèÿ ïëàñòè-
íû îïèñûâàþòñÿ íà îñíîâå ãèïîòåç Êèðõãîôà – Ëÿâà, äîïîëíåííûõ àäåê-
âàòíûìè èì ãèïîòåçàìè îòíîñèòåëüíî ðàñïðåäåëåíèÿ ýëåêòðè÷åñêèõ ïîëå-
âûõ âåëè÷èí [1–4]. Äëÿ ïðîñòîòû îãðàíè÷èìñÿ èññëåäîâàíèåì äåìïôèðîâà-
íèÿ òîëüêî èçãèáíûõ êîëåáàíèé. Ïàññèâíûå ñëîè ìîãóò áûòü ìåòàëëè÷åñêè-
ìè, ïîëèìåðíûìè ëèáî êîìïîçèòíûìè. Áóäåì ñ÷èòàòü èõ èçîòðîïíûìè.
Ïüåçîàêòèâíûå ñëîè ñ÷èòàþòñÿ òðàíñâåðñàëüíî-èçîòðîïíûìè è ïîëÿðèçî-
âàííûìè ïî òîëùèíå ïëàñòèíû. Åñëè ìåæäó ñëîÿìè ýëåêòðîäû îòñóòñòâó-
þò, òî íà ãðàíèöå èõ ðàçäåëà èìååò ìåñòî èäåàëüíûé ìåõàíè÷åñêèé è
ýëåêòðè÷åñêèé êîíòàêò. Äèññèïàòèâíûå ñâîéñòâà ìàòåðèàëîâ ïàññèâíûõ è
ïüåçîàêòèâíûõ ñëîåâ ó÷èòûâàþòñÿ íà îñíîâå êîíöåïöèè êîìïëåêñíûõ õà-
ðàêòåðèñòèê [5]. Îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ òåîðèè ïëàñòèí ñ ðàñïðåäåëåííûìè
ñåíñîðàìè è àêòóàòîðàìè ïðåäñòàâëåíû â ðàáîòàõ [5, 8, 10]. Ïðèâåäåì òå èç
íèõ, êîòîðûå èñïîëüçóþòñÿ â äàëüíåéøåì. Îãðàíè÷èìñÿ ñëó÷àåì òðåõñëîé-
íîé ïëàñòèíû, ñðåäíèé ñëîé òîëùèíîé 0h êîòîðîé èçãîòîâëåí èç ïàññèâíîãî
èçîòðîïíîãî âÿçêîóïðóãîãî ìàòåðèàëà, à äâà âíåøíèõ ñëîÿ îäèíàêîâîé òîë-
ùèíû 1h – èç ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ òðàíñâåðñàëüíî-èçîòðîïíûõ âÿçêîóïðó-
ãèõ ìàòåðèàëîâ ñ ïðîòèâîïîëîæíûì íàïðàâëåíèåì ïîëÿðèçàöèè. Òîãäà îï-
ðåäåëÿþùèå óðàâíåíèÿ äëÿ ìîìåíòîâ áóäóò èìåòü ñëåäóþùèé âèä [5]:
1 1 2 0( )M MM D M= + ν +æ æ ,
2 2 2 0( )M MM D M= + ν +æ æ ,
12
1
2
M
MH D
− ν
= æ . (1)
Îáùàÿ òîëùèíà ïëàñòèíû 0 12 .h h h= +
 ðàáîòå [5] ïðèâåäåíû âûðàæåíèÿ äëÿ æåñòêîñòíûõ õàðàêòåðèñòèê
óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ (1) äëÿ ñëó÷àåâ ñëîèñòûõ ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ òîíêî-
ñòåííûõ ýëåìåíòîâ ïðîèçâîëüíîé ñòðóêòóðû. Òàê, íàïðèìåð, åñëè ïüåçîàê-
òèâíûå ñëîè òðåõñëîéíîé ïüåçîïëàñòèíû èìåþò îäèíàêîâóþ òîëùèíó è
îäèíàêîâûå ñâîéñòâà, çà èñêëþ÷åíèåì òîãî, ÷òî îíè èìåþò ïðîòèâîïîëîæ-
íóþ ïîëÿðèçàöèþ
2 1
31 31d d= − , òî èìåþò ìåñòî òàêèå âûðàæåíèÿ äëÿ ýëåêò-
ðîìåõàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê â îïðåäåëÿþùèõ óðàâíåíèÿõ (1)
– â ïðèñóòñòâèè âíóòðåííèõ ýëåêòðîäîâ ìåæäó ïàññèâíûì è ïüåçî-
àêòèâíûìè ñëîÿìè, ê êîòîðûì ïîäâåäåíû ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ
1 2 0
0
1 , 0
2
V V V V= − = = :
156 Т. В. Карнаухова
3 20 1 1 1
20 0
11 11 11 12
1
1
2(1 )
2 31 1
12 3 4 2M p
pk
h h
D B B B k h
h−
= + + + ν − + −
2 12 3 3 3 3
0 0 0 0 0
1 12 2 2 2 2
h h h h h
h h
−
⋅
− + − ⋅ + −
,
3 20 1 1 1
20 0
12 12 12 12
1
1
2(1 )
2 31 1
12 3 4 2M p
pk
h h
B B B k h
h−
ν = + + + ν − + −
2 12 3 3 3 3
0 0 0 0 0
1 1
1
2 2 2 2 2 DM
h h h h h
h h
−
⋅
− + − ⋅ + −
,
1
310 1 0 0
1 ( )
2
M h h Vγ= + (2)
(èíäåêñ
0
( )⋅ îòíîñèòñÿ ê ïàññèâíîìó ñëîþ, à èíäåêñû
1 2
( ), ( )⋅ ⋅ – ê àêòèâíûì
ñëîÿì);
– â îòñóòñòâèå âíóòðåííèõ ýëåêòðîäîâ:
3 20 1 1 1
20 0
11 11 11 12
1
1
2(1 )
2 31 1
12 3 4 2M p
pk
h h
D B B B k h
h−
= + + + ν − + −
2 12 3 3
0 0 0
12 2 2
h h h
h
−
⋅
− + − ×
0
3 3
0 0 1 33
1 1 0
0 33 1 33
2
2 2
2
h h h
h
h h
γ × + − ⋅ γ + γ
,
3 20 1 1 1
20 0
12 12 12 12
1
1
2(1 )
2 31 1
12 3 4 2M p
pk
h h
B B B k h
h−
ν = + + + ν − + −
2 12 3 3
0 0 0
12 2 2
h h h
h
−
⋅
− + − ×
0
3 3
0 0 1 33
1 1 0
0 33 1 33
12
2 2
2
DM
h h h
h
h h
γ × + − ⋅ γ + γ
,
0 0
31 1 0 1 33
0 01 0
0 33 1 33
( )
2
h h h
M V
h h
γ + γ
=
γ + γ
. (3)
Óðàâíåíèÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé ïëàñòèíû èìåþò âèä [1, 2, 5]
2 22 2
1 2
2 2 2
2 ( , , ) 0
M MH wp x y t
x yx y t
∂ ∂∂ ∂+ + − − ρ =
∂ ∂∂ ∂ ∂
. (4)
Çäåñü ( , , )p x y t – ïîïåðå÷íàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ íàãðóçêà, ρ – ïðèâåäåííàÿ
ïëîòíîñòü.
Âåëè÷èíà 0M èãðàåò îñíîâíóþ ðîëü ïðè äåìïôèðîâàíèè ðåçîíàíñíûõ
êîëåáàíèé. Èìåííî çà ñ÷åò ñîîòâåòñòâóþùåãî âûáîðà ýòîé âåëè÷èíû è êîì-
ïåíñèðóåòñÿ ìåõàíè÷åñêàÿ íàãðóçêà ïðè èñïîëüçîâàíèè ïåðâîãî èç óêàçàí-
íûõ âûøå ìåòîäîâ. Îíà òàêæå íåîáõîäèìà è ïðè èñïîëüçîâàíèè âòîðîãî è
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний … 157
òðåòüåãî ïîäõîäîâ ê àêòèâíîìó äåìïôèðîâàíèþ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé
ïëàñòèí. Ïîäñòàâëÿÿ óðàâíåíèÿ ñîñòîÿíèÿ (1) â (4), ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñòà-
öèîíàðíûõ êîëåáàíèé ïëàñòèíû ñ ÷àñòîòîé ω îòíîñèòåëüíî w ïðè äåéñò-
âèè íà íåå ãàðìîíè÷åñêèõ ìåõàíè÷åñêîé 0( , , ) ( , ) exp ( )p x y t p x y i t= ω è ýëåêò-
ðè÷åñêîé 0( , , ) ( , ) exp ( )V x y t V x y i t= ω íàãðóçîê:
( )
2 2
0 0 2 2
, , Lw p x y M
x y
∂ ∂= + ∆ ∆ = +
∂ ∂
. (5)
Çäåñü äëÿ íåçàâèñÿùèõ îò êîîðäèíàò ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèõ ñâîéñòâ ìàòå-
ðèàëîâ
4 4 4
2
4 2 2 4
, M
w w wLw D w D D
x x y y
∂ ∂ ∂ = + + − ρω =
∂ ∂ ∂ ∂
, (6)
ãäå âñå æåñòêîñòíûå õàðàêòåðèñòèêè – êîìïëåêñíûå âåëè÷èíû.
Ê ïðåäñòàâëåííîìó âûøå óðàâíåíèþ íåîáõîäèìî äîáàâèòü ìåõàíè÷åñ-
êèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ.
Çàäà÷à ñîñòîèò â ðàñ÷åòå òîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íåîáõî-
äèìî ïîäâåñòè ê àêòóòîðó äëÿ êîìïåíñàöèè ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè.  ñâÿ-
çè ñ òåì, ÷òî íàãðóçêà ÿâëÿåòñÿ íåèçâåñòíîé, åå íàäî âîññòàíîâèòü ïî ýêñ-
ïåðèìåíòàëüíûì ïîêàçàíèÿì ñåíñîðà.
2. Ìåòîä ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìîäà ñîáñòâåííûõ êîëå-
áàíèé ( , )f x y (íàïðèìåð, ïåðâàÿ) ïðè íåêîòîðûõ ìåõàíè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèÿõ èçâåñòíà èç àíàëèòè÷åñêèõ ëèáî ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ñîîòâåòñòâó-
þùåé çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. Âûáèðàåì ðåøåíèå çàäà÷è îá àê-
òèâíîì äåìïôèðîâàíèè óêàçàííîé ìîäû â âèäå
( , ) ( , )w x y Af x y= , (7)
ãäå A – àìïëèòóäà êîëåáàíèé ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäå.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è èñïîëüçóåì âàðèàöèîííûå ìåòîäû ëèáî ìåòîä
Áóáíîâà – Ãàëåðêèíà. Â ñîîòâåòñòâèè ñ ïîñëåäíèì ïîäñòàâèì (7) â óðàâíå-
íèå (5), à ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò óìíîæèì íà ôóíêöèþ ôîðìû ( , )f x y è
ïðîèíòåãðèðóåì ïî ïëîùàäè ïëàñòèíû. Ïðè òàêîì èíòåãðèðîâàíèè ó÷òåì
èçâåñòíîå èç ìàòåìàòè÷åñêîé ôèçèêè ñîîòíîøåíèå
( ) ( )S S
f g ds g f ds∆ = ∆∫∫ ∫∫ . (8)
 ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñëåäóþùåå ñîîòíîøåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìï-
ëèòóäû èçãèáíûõ êîëåáàíèé:
1
2
A
∆
=
∆
, (9)
ãäå
1 1
1 0 0 2
( ) ( ) ( )
,
S S S
p f dS M f dS f L f dS∆ = − ∆ ∆ =∫∫ ∫ ∫∫ . (10)
Çäåñü 1S – ïëîùàäü ñåíñîðà è àêòóàòîðà, S – ïëîùàäü ïëàñòèíû.
Èç (9), (10) âèäíî, ÷òî ïðè íåçàâèñÿùèõ îò êîîðäèíàò æåñòêîñòíûõ õà-
ðàêòåðèñòèêàõ äëÿ êîìïåíñàöèè âíåøíåé ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè ê àêòóà-
òîðó íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, îïðåäåëÿåìóþ èç ñîîòíî-
øåíèÿ
1
0
( )
1
( )
S
A
S
p f dS
V
f f dS
=
∆
∫∫
∫∫
, (11)
158 Т. В. Карнаухова
ãäå ñîãëàñíî (2), (3)
1
1 31 1 0
1 ( )
2
f h h= γ + ëèáî
0 0
31 1 0 1 33
1 1 0
0 33 1 33
( )
2
h h h
f
h h
γ + γ
=
γ + γ
â çàâèñèìîñòè îò ïðèñóòñòâèÿ èëè îòñóòñòâèÿ âíóòðåííèõ ýëåêòðîäîâ.
Ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèÿ (11) àìïëèòóäà èçãèáíûõ êîëåáàíèé íà
ðàññìàòðèâàåìîé ìîäå áóäåò ðàâíà íóëþ.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè âàðèàöèîííîãî ìåòîäà èëè ìåòîäà Áóáíîâà – Ãà-
ëåðêèíà íåîáõîäèìî òàêæå èìåòü â âèäó ñëåäóþùåå îáñòîÿòåëüñòâî. Íà ýô-
ôåêòèâíîñòü àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèé ïëàñòèí ïðè ïîìîùè
ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ âêëþ÷åíèé ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå îêàçûâàþò ìåõàíè-
÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ, ðàçìåùåíèå è ðàçìåðû ïüåçîàêòèâíûõ âêëþ÷å-
íèé. Êàê ïîêàçàíî, íàïðèìåð, â [5], ïðè øàðíèðíîì îïèðàíèè òîðöîâ ïëàñ-
òèíû ýôôåêòèâíîñòü äåìïôèðîâàíèÿ áóäåò ñàìîé âûñîêîé ïðè ïîëíîì ïî-
êðûòèè ïîâåðõíîñòåé ïëàñòèíû ïüåçîýëåêòðè÷åñêèìè âêëþ÷åíèÿìè, à ïðè
æåñòêîì çàùåìëåíèè ñóùåñòâóþò îïòèìàëüíûå ðàçìåðû ýòèõ âêëþ÷åíèé
(ïÿòåí). Ýòîò âîïðîñ îáñóäèì íèæå ïðè èññëåäîâàíèè âëèÿíèÿ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé íà ýôôåêòèâíîñòü àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ ïðè ïîìîùè ïðåäëà-
ãàåìîãî ïîäõîäà. Âàæíî òàêæå îòìåòèòü, ÷òî âìåñòî ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ
ïÿòåí ìîæíî èñïîëüçîâàòü ðàçðåçíûå ýëåêòðîäû.
Ñîîòíîøåíèå (11) èìååò ìåñòî è â ñëó÷àå çàâèñèìîñòè ñâîéñòâ ìàòåðè-
àëà îò òåìïåðàòóðû, íàïðèìåð, òåìïåðàòóðû äèññèïàòèâíîãî ðàçîãðåâà è
äàæå ïðè ó÷åòå ôèçè÷åñêîé íåëèíåéíîñòè ìàòåðèàëîâ. Èç íåãî ñëåäóåò, ÷òî
åñëè ñâîéñòâà àêòèâíîãî ìàòåðèàëà íå çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû èëè îò àìï-
ëèòóäíûõ çíà÷åíèé äåôîðìàöèé, òî íåîáõîäèìàÿ äëÿ äåìïôèðîâàíèÿ îñ-
íîâíîé ìîäû êîëåáàíèé ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ íå çàâèñèò îò ñâîéñòâ ïàñ-
ñèâíîãî ìàòåðèàëà, òàê ÷òî â òàêîì ñëó÷àå íà ýòó âåëè÷èíó íå âëèÿåò íè
òåìïåðàòóðà, íè ôèçè÷åñêàÿ íåëèíåéíîñòü. Ýòî î÷åíü âàæíûé ôàêò, ïî-
ñêîëüêó îí ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòûâàòü óêàçàííóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ïî
ïðîñòåéøåé ëèíåéíîé òåîðèè âÿçêîóïðóãîñòè. Åñëè æå ñâîéñòâà ïüåçîìàòå-
ðèàëà çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû èëè îò àìïëèòóä äåôîðìàöèé, òî èç ôîðìó-
ëû (11) âèäíî, ÷òî ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìîæåò ñóùåñòâåííî èçìåíèòüñÿ â
çàâèñèìîñòè îò ÷óâñòâèòåëüíîñòè 31γ ê èçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû èëè ê àì-
ïëèòóäå êîëåáàíèé.
Îñíîâíûå íåäîñòàòêè ïîäõîäà, îñíîâàííîãî íà ôîðìóëå (11), ñîñòîÿò â
òîì, ÷òî 1) ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ íå äåìïôèðóþòñÿ è 2) íåîáõîäèìî çíàòü
âíåøíþþ ìåõàíè÷åñêóþ íàãðóçêó. Ïåðâûé íåäîñòàòîê óñòðàíÿåòñÿ äèññè-
ïàòèâíûìè ñâîéñòâàìè ìàòåðèàëîâ. Äëÿ óñòðàíåíèÿ âòîðîãî íåäîñòàòêà
ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèé ïîäõîä. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ âåëè÷èíû
ðåçîíàíñíîé ñîñòàâëÿþùåé ýòîé íàãðóçêè èñïîëüçóåì ïîêàçàíèÿ ñåíñîðà,
çàíèìàþùåãî ïëîùàäü 1 .S Äëÿ êîðîòêîçàìêíóòûõ ýëåêòðîäîâ âåëè÷èíà çà-
ðÿäà îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
1
31 0 1 1 2
( )
( ) ( )
S
Q h h dx dy= − γ + +∫∫ æ æ . (12)
Äëÿ ðàçîìêíóòûõ ýëåêòðîäîâ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
1
1 33
S
h Q
V
S
=
γ
. (13)
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïîêàçàíèé ñåíñîðà ïðè êîëåáàíèÿõ ïî îñíîâíîé ìîäå
íåîáõîäèìî çíàòü ïëîùàäü 1S è ïîñëå ïîäñòàíîâêè â âûðàæåíèÿ (12), (13)
ôîðìóëû (7) âû÷èñëèòü èíòåãðàëû ïî ýòîé ïëîùàäè. Äëÿ îñíîâíîé ìîäû èç
(12), (13) èìååì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ ïîêàçàíèé ñåíñîðà:
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний … 159
1
11 31 0 1
( )
( )
S
Q h h A f dS= γ + ∆∫∫ , (14)
1
1 0 1 31
11
1 33 ( )
( )
S
S
h h h
V A f dS
S
+ γ
= ∆
γ ∫∫ . (15)
Ðåøåíèå çàäà÷è î ðåçîíàíñíûõ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ ïëàñòèíû ïî
ïåðâîé ìîäå èìååò ñëåäóþùèé âèä:
11
2
p
A =
∆
, (16)
ãäå 11 0
( )S
p p f dS= ∫∫ – ðåçîíàíñíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè.
Ïîäñòàâëÿÿ (16) â (14) èëè (15), ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó ïîêàçàíèÿìè
ñåíñîðà è íàãðóçêîé:
1
11 2
11
31 0 1
( )
( )
S
Q
p
h h f dS
∆
=
γ + ∆∫∫
,
1
11 1 33 2
11
31 0 1 1
( )
( )
S
S
V S
p
h h h f dS
γ ∆
=
γ + ∆∫∫
. (17)
Ïîäñòàâèì òåïåðü íàéäåííóþ èç âûðàæåíèÿ (17) íàãðóçêó â ôîðìóëó
(11) äëÿ ïîòåíöèàëà, êîìïåíñèðóþùåãî äàííóþ íàãðóçêó. Â ðåçóëüòàòå ïî-
ëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ýòîãî ïîòåíöèàëà
1 1
2
11
1 31 0 1
( ) ( )
1
( )
S S
Q
V
f f dS h h f dS
∆
=
∆ γ + ∆∫∫ ∫∫
,
1 1
11 1 33 2
11
1 31 0 1 1
( ) ( )
1
( )
S
S
S S
V S
V
f f dS h h h f dS
γ ∆
=
∆ γ + ∆∫∫ ∫∫
. (18)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè èñïîëüçîâàíèè ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà ê àêòóàòîðó
ïîäâîäèòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, îïðåäåëÿåìàÿ ÷åðåç ýêñïåðèìåíòàëüíûå
ïîêàçàíèÿ ñåíñîðà ïî ôîðìóëàì (18). Ïðè òàêîì ïîäõîäå íåîáõîäèìî ëèøü
çíàòü ôîðìó êîëåáàíèé, ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëîâ ïëàñòè-
íû è ðàçìåðû ïëàñòèíû.
Ïðè ÷èñëåííîì ðåøåíèè çàäà÷è ïîñòóïàåì ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ðå-
øèì ýòàëîííóþ çàäà÷ó î ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèÿõ ïëàñòèíû ïðè äåéñòâèè
íà íåå åäèíè÷íîé íàãðóçêè 11 1p = Ïà. Ïî ôîðìóëàì (12), (13) îïðåäåëèì
ïîêàçàíèÿ ñåíñîðà (1)
SV èëè (1)
SQ . Òîãäà ïðè çàäàííîé, íî íåèçâåñòíîé íà-
ãðóçêå 11p ïîêàçàíèÿ ñåíñîðà áóäóò ðàâíû
(1)
11S SV p V= . (19)
Çäåñü îáå âåëè÷èíû SV è (1)
SV èçâåñòíû: ïåðâàÿ ðàâíà ýêñïåðèìåíòàëüíîìó
ïîêàçàíèþ ñåíñîðà ïðè íåèçâåñòíîé íàãðóçêå, à âòîðàÿ ðàâíà ïîêàçàíèþ
ñåíñîðà ïðè åäèíè÷íîé íàãðóçêå.
Èç (19) îïðåäåëÿåì íåèçâåñòíóþ íàãðóçêó
11 (1)
S
S
V
p
V
= . (20)
Äëÿ ðàñ÷åòà ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê àê-
òóàòîðó äëÿ êîìïåíñàöèè íåèçâåñòíîé íàçðóçêè, íàéäåì ðàçíîñòü ïîòåíöè-
160 Т. В. Карнаухова
àëîâ (1)
AV , êîòîðóþ ñëåäóåò ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó äëÿ êîìïåíñàöèè åäèíè÷-
íîé íàãðóçêè 0 1p = Ïà. Òîãäà äëÿ êîìïåíñàöèè íàãðóçêè 11p ê àêòóàòîðó
íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ
(1)
11A AV p V= . (21)
Ïîäñòàâëÿÿ (20) â (21), íàõîäèì
(1)
(1)
A
A S
S
V
V V
V
= − .
Çäåñü âñå âåëè÷èíû èçâåñòíû – äâå èç íèõ îïðåäåëÿþòñÿ èç ðåøåíèÿ ýòà-
ëîííûõ çàäà÷, à îäíà ðàâíà ýêñïåðèìåíòàëüíîìó ïîêàçàòåëþ ñåíñîðà.
Äëÿ êîðîòêîçàìêíóòûõ ýëåêòðîäîâ âñå ïðåäñòàâëåííûå âûøå ðàññóæ-
äåíèÿ îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ. Ïðè ýòîì â ïîëó÷åííûõ âûøå ôîðìóëàõ íå-
îáõîäèìî çàìåíèòü (1) ,S SV V íà (1) ,S SQ Q .
Ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå âåëè÷èíû (1)
AV ðåøàþòñÿ äâå îòäåëüíûå çàäà-
֏:
(1) íàõîäèòñÿ ïðîãèá Pw ïëàñòèíû â öåíòðå ïðè
0 1P = Ïà, 0AV = ;
(2) íàõîäèòñÿ ïðîãèá Ew ïëàñòèíû â öåíòðå ïðè
0 0P = , 1AV = Â/ìì2.
Òîãäà (1)
AV íàõîäèòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ
(1) P
A
E
w
V
w
= .
Òàêèì îáðàçîì, â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäëîæåí íîâûé ïîäõîä ê ðåàëè-
çàöèè àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ èçãèáíûõ êîëåáàíèé âÿçêîóïðóãèõ îðòî-
òðîïíûõ ïëàñòèí â ñëó÷àå, êîãäà âíåøíÿÿ ìåõàíè÷åñêàÿ íàãðóçêà íåèç-
âåñòíà. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîêàçàíèÿì ñåíñîðà. Â
ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ôîðìà êîëåáàíèé èçâåñòíà, ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ
ðàñ÷åòà ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó
äëÿ êîìïåíñàöèè íåèçâåñòíîé ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè ñ èñïîëüçîâàíèåì
òîëüêî ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ïîêàçàíèé ñåíñîðà. Èç ïðåäñòàâëåííûõ ôîðìóë
(18) âèäíî, ÷òî îáÿçàòåëüíûì óñëîâèåì ýôôåêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ âû-
íóæäåííûõ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé ïî ïðåäëàãàåìîìó ìåòîäó ÿâëÿåòñÿ íà-
ëè÷èå âÿçêîñòè â ìàòåðèàëå ïàññèâíîãî ñëîÿ. Ïðè åå îòñóòñòâèè ïîêàçàíèÿ
ñåíñîðà íà ðåçîíàíñå, îïðåäåëÿåìûå ïî ôîðìóëå (14), ïðè ïðèáëèæåíèè ê
ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå ñòðåìÿòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Ïðè ìàëîé âÿçêîñòè ìàòå-
ðèàëà óïðàâëåíèå êîëåáàíèÿìè ñòàíîâÿòñÿ î÷åíü ÷óâñòâèòåëüíûìè ê îøèá-
êàì èçìåðåíèé.
Ïðåäñòàâèì ðåøåíèÿ çàäà÷ äëÿ êîíêðåòíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ãðàíè÷íûõ
óñëîâèé.
3. Øàðíèðíîå îïèðàíèå òîðöîâ ïëàñòèíû. Àêòèâíîå äåìïôèðîâàíèå
øàðíèðíî îïåðòûõ ïëàñòèí ïðè ïîìîùè ïåðâîãî èç óêàçàííûõ âûøå ìåòî-
äîâ äåòàëüíî ðàññìîòðåíî â [5], ãäå èññëåäîâàíî âëèÿíèå ðàñïîëîæåíèÿ
ïüåçîâêëþ÷åíèé è èõ ðàçìåðîâ íà ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû ñåíñîðîâ è àêòóà-
òîðîâ äëÿ ðàçëè÷íûõ ìîä êîëåáàíèé. Ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ïåðâîé ìîäû ýô-
ôåêòèâíîñòü äåìïôèðîâàíèÿ áóäåò ñàìîé âûñîêîé ïðè ïîëíîì ïîêðûòèè
ïëàñòèíû ñåíñîðàìè è àêòóàòîðàìè. Ýòèì ñëó÷àåì îãðàíè÷èìñÿ â äàëüíåé-
øåì. Äëÿ ýòîãî òèïà ãðàíè÷íûõ óñëîâèé ïåðâàÿ ìîäà êîëåáàíèé èìååò ñëå-
äóþùèé âèä:
1 1 1 1( , ) sin sin , , f x y k x p y k p
a b
π π= = = .
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний … 161
Ñ èñïîëüçîâàíèåì óêàçàííîãî âûøå ïîäõîäà ïîëó÷èì òàêèå âûðàæåíèÿ
äëÿ ïîêàçàíèé ñåíñîðà (çàðÿäà èëè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ):
1 1
11 31 0 1 11
1 1
4 ( )
k p
Q h h w
p k
= γ + +
,
1 0 1 31 1 1
11 11
1 33 1 1
4 ( )
S
h h h k p
V w
S p k
+ γ = + γ
.
Ôèãóðèðóþùàÿ çäåñü àìïëèòóäà 11w íàõîäèòñÿ èç ðåøåíèÿ çàäà÷è î
âûíóæäåííûõ ðåçîíàíñíûõ ìåõàíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ ïëàñòèíû ñ øàðíèð-
íûì îïèðàíèåì òîðöîâ ïî ïåðâîé ìîäå:
11
11 4 2 2 4 2
1 1 1 1 11( 2 )
p
w
D k k p p
=
+ + − ρω
.
Ïðè ýòîì ïåðâàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
2 2
11 1 1( )D k p
′
ω = +
ρ .
Ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó äëÿ
êîìïåíñàöèè ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè, íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå
1
0 0
11 11 31 0 1 11 112 2
1 1 1 11 1
4 41 ( ), ,
p V
V p h h p V
k p k pk p
= γ + = =
+
. (22)
Çäåñü ðåçîíàíñíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ íàãðóçêè 11p âû÷èñëåíà äëÿ íåèçâåñòíî-
ãî ïîñòîÿííîãî äàâëåíèÿ 0p .
Èñïîëüçóÿ ïðåäñòàâëåííûå âûøå ðåçóëüòàòû, íàõîäèì ñâÿçü ìåæäó
ïîêàçàíèÿìè ñåíñîðà è íàãðóçêîé
4 2 2 4 2
11 1 1 1 1 11
11
1 1
31 0 1
1 1
( 2 )
4 ( )
Q D k k p p
p
k p
h h
p k
+ + − ρω
=
γ + +
[ ]
,
4 2 2 4 2
11 1 33 1 1 1 1 11
11
1 1
31 0 1
1 1
( 2 )
4 ( )
SV S D k k p p
p
k p
h h
p k
γ + + − ρω
=
γ + +
[ ]
. (23)
Ïîäñòàâëÿÿ (23) â ôîðìóëó (22), ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ ðàçíîñòåé
ïîòåíöèàëîâ, êîòîðûå íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó äëÿ êîìïåíñàöèè
íåèçâåñòíîé ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè:
4 2 2 4 2
11 1 1 1 1
11
2 2 2 21 1
31 0 1 1 1
1 1
( 2 )
4 ( ) ( )
Q D p p
V
k p
h h k p
p k
+ + − ρω
=
γ + + +
[ ]æ æ
,
4 2 2 4 2
11 1 33 1 1 1 1
11
2 2 2 21 1
31 0 1 1 1
1 1
( 2 )
4 ( ) ( )
SV S D p p
V
k p
h h k p
p k
γ + + − ρω
=
γ + + +
[ ]æ æ
. (24)
 ýòîé ôîðìóëå íàãðóçêà èñêëþ÷åíà, à ïîäâîäèìàÿ ê àêòóàòîðó ðàçíîñòü
ïîòåíöèàëîâ îïðåäåëÿåòñÿ ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîêàçàíèÿì ñåíñîðà –
çàðÿäó èëè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ôîðìóë (24) àìïëèòóäà êîëåáàíèé ïî ïåðâîé ìîäå
áóäåò ðàâíà íóëþ.
4. Æåñòêîå çàùåìëåíèå òîðöîâ ïëàñòèíû. Ïðèìåíèì ïðåäñòàâëåííûå
âûøå îáùèå ðåçóëüòàòû äëÿ èññëåäîâàíèÿ àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ îñ-
íîâíîé ìîäû âûíóæäåííûõ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé âÿçêîóïðóãîé ïëàñòèíû
äëÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, îòâå÷àþùèõ æåñòêîìó çàùåìëåíèþ òîðöîâ ïëàñ-
òèíû.
162 Т. В. Карнаухова
Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíóþ èçîòðîïíóþ ïëàñòèíó ñ ðàçìåðàìè 2 2a b× ,
íà êîòîðóþ äåéñòâóåò äàâëåíèå, èçìåíÿþùååñÿ âî âðåìåíè ïî ãàðìîíè÷åñ-
êîìó çàêîíó ñ ÷àñòîòîé, áëèçêîé ê ðåçîíàíñíîé ÷àñòîòå ïëàñòèíû.
Ïðè æåñòêîì çàùåìëåíèè òîðöîâ ïëàñòèíû ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ èìåþò
âèä
0ww
x
∂= =
∂
ïðè x a= ± , 0ww
y
∂= =
∂
ïðè y b± . (25)
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà ïëàñòèíó äåéñòâóåò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí-
íîå ïî åå ïîâåðõíîñòè íåèçâåñòíîå äàâëåíèå, èçìåíÿþùååñÿ âî âðåìåíè ïî
ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó. Âûðàæåíèå äëÿ ïîïåðå÷íîãî ïðîãèáà ïðåäñòàâëÿ-
åòñÿ â ñòàíäàðòíîì äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé âèäå:
2 2 2 2 2 2, ( ) ( )w Aw w x a y b= = − − .
Ïðè ýòîì àâòîìàòè÷åñêè óäîâëåòâîðÿþòñÿ ìåõàíè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëî-
âèÿ (25).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ äåìïôèðîâàíèÿ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé íà
ïëàñòèíó íàíåñåíî ïÿòíî ðàçìåðàìè 2 2c d× , ñ öåíòðîì, ðàñïîëîæåííûì â
öåíòðå ïëàñòèíû. Ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðåäñòàâëåííîãî âûøå ïîäõîäà, âûðà-
æåíèå äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïëàñòèíû âû÷èñëÿåòñÿ ïî
ôîðìóëå
1
2
A
∆
=
∆
,
ãäå
2 2 2 2
1 0 0
49 735 ( ) ( )
16 256
a b p M a b s∆ = − + ψ ,
2( ) (1 )(15 10 3 )s s s s sψ = − − + ,
2 2 4 2 2 4 2 4 4
2
18 , 7 4 7
9
a b D b a b a a b ∆ = ∆ ∆ = + + − ρω
. (26)
Çäåñü 2( )s L= / , , L – äèàãîíàëè ïüåçîàêòèâíûõ âêëþ÷åíèé è ïëàñòèíû
ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëàãàÿ 1 0∆ = , èç (26) ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ òîé ðàç-
íîñòè ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó äëÿ êîìïåí-
ñàöèè âíåøíåé íàãðóçêè:
2 2
02 2
31 0 1
32
15( ) ( ) ( )A
a bV q
a b s h h
=
+ ψ γ +
. (27)
Ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèÿ (27) àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé
ïî îñíîâíîé ìîäå ðàâíà íóëþ. Êàê ñëåäóåò èç ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ, ìåõàíè-
÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ýôôåêòèâ-
íîñòü àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèé ïðè ïîìîùè ïðåäëàãàåìîãî ïîä-
õîäà. Êàê óêàçàíî âûøå, ïðè øàðíèðíîì çàêðåïëåíèè òîðöîâ ïëàñòèíû íà-
èáîëåå ýôôåêòèâíûì ÿâëÿåòñÿ ïîëíîå ïîêðûòèå ïëàñòèíû ñåíñîðàìè è àê-
òóàòîðàìè [5]. Ïðè æåñòêîì çàùåìëåíèè òîðöîâ ðàáîòà àêòóàòîðà áóäåò íà-
èáîëåå ýôôåêòèâíîé ïðè äîñòèæåíèè ôóíêöèåé ( )sψ ìàêñèìóìà. Îí äîñòè-
ãàåòñÿ ïðè maxs , ÿâëÿþùåìñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ
3 212 39 50 15 0s s s− + − = .
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óêàçàííûé âûøå ìåòîä àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ
áóäåò íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì ïðè äëèíå äèàãîíàëè àêòóàòîðà maxL s= .
Èç (27) ñëåäóåò òàêæå, ÷òî ïðè 0s → è ïðè 1s → ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ
ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïîëíîì ïîêðûòèè ïëàñòèíû
àêòóàòîðîì è ïðè î÷åíü ìàëûõ ðàçìåðàõ àêòóàòîðà óïðàâëÿòü êîëåáàíèÿìè
ïëàñòèíû íåâîçìîæíî. Àíàëîãè÷íûå âûâîäû èìåþò ìåñòî è äëÿ ñåíñîðà.
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний … 163
Ïîêàçàíèÿ ñåíñîðà îïðåäåëÿþòñÿ âûðàæåíèåì
3 3 2 2
31 0 1
16 ( ) ( ) ( )
15
Q h h Aa b a b s= γ + + ψ . (28)
Âåëè÷èíó SV íàõîäèì èç ñîîòíîøåíèÿ (13).
Àìïëèòóäó êîëåáàíèé îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëå
1
2
A
Π
=
Π
. (29)
Çäåñü ââåäåíû òàêèå îáîçíà÷åíèÿ:
1 0
49
64
pΠ = ,
2Π = ∆ .
Ïðè ýòîì ïåðâàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà
4 2 2 4
1 4 4
(63 36 63 )b a b a D
a b
′+ +ω =
ρ
.
Ïîäñòàâëÿÿ (29) â âûðàæåíèå äëÿ ïîêàçàíèé ñåíñîðà (28), ïîëó÷èì ñî-
îòíîøåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè ïî ïîêàçàíèÿì ñåíñî-
ðà:
0 3 3 2 2
31 0 1
120
49 ( ) ( ) ( )
Q
p
h h a b a b s
∆= −
γ + + ψ
. (30)
Ïîäñòàâëÿÿ (30) â (27), ïîëó÷èì ñâÿçü ìåæäó ïîêàçàíèÿìè ñåíñîðà è
ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó äëÿ
êîìïåíñàöèè íåèçâåñòíîé ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè:
2 2 2 2 2 2
0 1 31
256
49 ( ) ( ) ( )
A
Q
V
ab a b h h s
∆= −
+ + γ ψ
.
Àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷èì è ïðè ñíÿòèè ñ ñåíñîðà ðàçíîñòè
ïîòåíöèàëîâ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ïðåäñòàâëåííîå âûøå ñî-
îòíîøåíèå (13).
Êàê è â ñëó÷àå øàðíèðíîãî çàêðåïëåíèÿ òîðöîâ ïëàñòèíû, âÿçêîñòü
ïðè èñïîëüçîâàíèè óêàçàííîãî ïîäõîäà îêàçûâàåò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà
ýôôåêòèâíîñòü ïðåäëàãàåìîãî ïîäõîäà.
5. Ñìåøàííûå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ. Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé ñìå-
øàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, êîãäà îäíè ïðîòèâîïîëîæíûå òîðöû øàðíèðíî
îïåðòû, à äðóãèå – æåñòêî çàùåìëåíû. Ïðè ýòîì ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ ïðè-
íèìàþò âèä
0xw M= = ïðè 0,x a= ,
0ww
y
∂= =
∂
ïðè y b= ± .
Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà ïëàñòèíó äåéñòâóåò ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí-
íàÿ ïî åå ïîâåðõíîñòè íåèçâåñòíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ íàãðóçêà, èçìåíÿþùàÿñÿ
âî âðåìåíè ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó. Âûðàæåíèå äëÿ ïåðâîé ìîäû êîëå-
áàíèé âûáèðàåòñÿ â âèäå
2 2 2
1, (sin ) ( )w Aw w k x b y= = − .
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî äëÿ äåìïôèðîâàíèÿ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé íà ïëàñòè-
íó íàíåñåíî ïÿòíî ðàçìåðàìè 2c d× ñ öåíòðîì, ðàñïîëîæåííûì â öåíòðå
ïëàñòèíû.
Èñïîëüçóÿ îïèñàííûé âûøå ïîäõîä, ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå
äëÿ êîìïëåêñíîé àìïëèòóäû êîëåáàíèé ïëàñòèíû:
1
2
A
∆
=
∆
.
164 Т. В. Карнаухова
Çäåñü äëÿ íåèçâåñòíîé ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè
2
2 40
1 0 1 2
1 1
1 sin (15 10 3 )
2
p cM k s s s
ak ak a
π ∆ = − + − + −
2
2
160 (1 )s s
b
− −
,
2 2 4 4 2
2 1 1
4 22 3 ( )
7 21
D Db k b Dk ∆ = − + − ρω
.
Ïîëàãàÿ 1 0∆ = , ïîëó÷èì âûðàæåíèå äëÿ òîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ,
êîòîðóþ íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó äëÿ êîìïåíñàöèè âíåøíåé íà-
ãðóçêè:
2
0
0 1 31 1
2
( ) sin ( )
2
A
p b
V
ch h k s
=
+ γ ψ
, (31)
ãäå
2 2
2 4 2
2
( ) (15 10 3 ) 60 (1 )bs s s s s s
a
πψ = − + + − , (32)
à ( )s d b= / .
Ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèé (31), (32) àìïëèòóäà âûíóæäåííûõ êîëå-
áàíèé ïî îñíîâíîé ìîäå ðàâíà íóëþ è ïëàñòèíà ìîæåò ñîâåðøàòü òîëüêî
ñâîáîäíûå êîëåáàíèÿ.
Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (31), (32), ìåõàíè÷åñêèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ
îêàçûâàþò ñóùåñòâåííîå âëèÿíèå íà ýôôåêòèâíîñòü àêòèâíîãî äåìïôèðî-
âàíèÿ êîëåáàíèé. Ïðè ñìåøàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèÿõ àêòèâíîå äåìïôèðî-
âàíèå áóäåò íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì ïðè c a= è ïðè îäíîâðåìåííîì äîñòè-
æåíèè ôóíêöèåé ( )sψ ìàêñèìóìà. Îí äîñòèãàåòñÿ ïðè maxs , ÿâëÿþùåìñÿ
êîðíåì óðàâíåíèÿ
2 2
4 2
2 2 2 2
6 42 1 1 0a as s
b b
− + + + =
π π
.
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óêàçàííûé âûøå ìåòîä àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ áó-
äåò íàèáîëåå ýôôåêòèâíûì ïðè max .d bs= Èç (31), (32) ñëåäóåò òàêæå, ÷òî
ïðè 0s → è ïðè ks s→ , ãäå ks – êîðåíü óðàâíåíèÿ
2 2
2 4 2
2
(15 10 3 ) 60(1 ) 0b s s s
a
π − + + − = ,
ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïî-
êðûòèè ïëàñòèíû àêòóàòîðîì ðàçìåðîì d b= è ïðè î÷åíü ìàëûõ ðàçìåðàõ
àêòóàòîðà óïðàâëÿòü êîëåáàíèÿìè ïëàñòèíû íåâîçìîæíî.
Âûðàæåíèÿ äëÿ ïîêàçàíèé ñåíñîðà ÷åðåç àìïëèòóäó êîëåáàíèé âû÷èñ-
ëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå
3
31 0 1
2 ( ) ( )
15
Q h h Ab s= − γ + ψ .
Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ âèäíî, ÷òî ðàçìåðû ñåíñîðà, ïðè êîòîðûõ åãî ðà-
áîòà íàèáîëåå ýôôåêòèâíà, îïðåäåëÿþòñÿ ïî ïðåäñòàâëåííûì âûøå ôîðìó-
ëàì äëÿ àêòóàòîðà.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ íàãðóçêè 0p âîñïîëüçóåìñÿ âûðàæåíèåì äëÿ àìïëè-
òóäû êîëåáàíèé ïëàñòèíû íà ÷àñòîòå, áëèçêîé ê îñíîâíîé ðåçîíàíñíîé ÷àñ-
òîòå:
1
2
A
Π
=
Π
.
Активное демпфирование вынужденных резонансных изгибных колебаний … 165
Çäåñü ââåäåíû òàêèå îáîçíà÷åíèÿ:
0
1 56
p
b
Π =
π
,
2 2 4 4 2
2 1 1
2 2 ( )
21 63
D Dk b b DkΠ = − + − ρω .
Ïðè ýòîì ïåðâàÿ ðåçîíàíñíàÿ ÷àñòîòà
2 2 4 4
1 1 1
1 63 6
2
D b k b k ′ω = − + ρ
.
Ñâÿçü ìåæäó ïîêàçàíèÿìè ñåíñîðà è ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ, êîòîðóþ
íåîáõîäèìî ïîäâåñòè ê àêòóàòîðó äëÿ êîìïåíñàöèè íåèçâåñòíîé âíåøíåé
íàãðóçêè, èìååò âèä
4
2
2 2 2
0 1 31
615
2 ( ) ( )
A
b Q
V
h h s
π Π
= −
+ γ ψ
.
Àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷èì è ïðè ñíÿòèè ñ ñåíñîðà ðàçíîñòè
ïîòåíöèàëîâ. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü ïðåäñòàâëåííîå âûøå ñî-
îòíîøåíèå (13).
6. Çàêëþ÷åíèå.  ñòàòüå ïðåäëîæåí íîâûé ïîäõîä ê èññëåäîâàíèþ àê-
òèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ âûíóæäåííûõ ðåçîíàíñíûõ êîëåáàíèé èçîòðîïíûõ
âÿçêîóïðóãèõ ïëàñòèí ïðè ïîìîùè ïüåçîýëåêòðè÷åñêèõ âêëþ÷åíèé äëÿ
ñëó÷àÿ, êîãäà âíåøíÿÿ ìåõàíè÷åñêàÿ íàãðóçêà íåèçâåñòíà. Äëÿ ðåøåíèÿ
çàäà÷è èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä Áóáíîâà – Ãàëåðêèíà. Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ
âîññòàíîâëåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé íàãðóçêè ïî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïîêàçàíèÿì
ñåíñîðà – çàðÿäó ëèáî ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ. Ïîñëå îïðåäåëåíèÿ íàãðóçêè
äëÿ äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèé ê àêòóàòîðó ïîäâîäèòñÿ ðàçíîñòü ïîòåíöèà-
ëîâ, êîòîðàÿ êîìïåíñèðóåò äåéñòâèå âíåøíåé íàãðóçêè. Ïðè ýòîì àìïëèòó-
äà êîëåáàíèé ïî ñîîòâåòñòâóþùåé ìîäå ñòàíîâèòñÿ ðàâíîé íóëþ. Â ôîðìó-
ëó äëÿ óêàçàííîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ âõîäÿò ýêñïåðèìåíòàëüíûå ïîêàçà-
íèÿ ñåíñîðà. Îáùàÿ ìåòîäèêà ðàñ÷åòà óêàçàííîé ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ
ïðèìåíåíà äëÿ ñëó÷àåâ øàðíèðíîãî îïèðàíèÿ òîðöîâ ïëàñòèíû, æåñòêîãî
èõ çàùåìëåíèÿ è äëÿ ñëó÷àÿ ñìåøàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, êîãäà íà îä-
íîé ïàðå ïðîòèâîïîëîæíûõ òîðöîâ çàäàíî øàðíèðíîå îïèðàíèå, à íà äðó-
ãîé – æåñòêîå çàùåìëåíèå. Èññëåäîâàíî âëèÿíèå òèïà ìåõàíè÷åñêèõ ãðà-
íè÷íûõ óñëîâèé íà ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû ñåíñîðîâ è àêòóàòîðîâ è íà ýô-
ôåêòèâíîñòü àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ ñ èõ ïîìîùüþ. Òàê, ïðè øàðíèðíîì
îïèðàíèè òîðöîâ ðàáîòà àêòóòîðîâ è ñåíñîðîâ äëÿ îñíîâíîé ìîäû êîëåáà-
íèé ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå ýôôåêòèâíîé ïðè ïîëíîì ïîêðûòèè ïîâåðõíîñòè
ïëàñòèíû ñåíñîðàìè è àêòóàòîðàìè. Ïðè æåñòêîì çàùåìëåíèè òîðöîâ
ïëàñòèíû ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû ñåíñîðîâ è àêòóàòîðîâ íàèáîëüøàÿ ïðè
âûáîðå ñåíñîðîâ è àêòóàòîðîâ â âèäå íåêîòîðîãî ïÿòíà. Ïðåäñòàâëåíû ôîð-
ìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ðàçìåðîâ ýòîãî ïÿòíà. Ïðè ñìåøàííûõ ãðàíè÷íûõ óñëî-
âèÿõ óêàçàííàÿ ýôôåêòèâíîñòü áóäåò ñàìîé âûñîêîé ïðè âûáîðå ñåíñîðîâ
è àêòóàòîðîâ â âèäå ïîëîñû, ïàðàëëåëüíîé æåñòêî çàùåìëåííûì òîðöàì.
Ïîëó÷åíû ôîðìóëû äëÿ ðàñ÷åòà ðàçìåðîâ ýòîé ïîëîñû. Èññëåäîâàíî âëèÿ-
íèå ãðàíè÷íûõ óñëîâèé, äèññèïàöèè, ðàçìåðîâ ñåíñîðîâ è àêòóàòîðîâ íà
ýôôåêòèâíîñòü àêòèâíîãî äåìïôèðîâàíèÿ êîëåáàíèé ïðè èñïîëüçîâàíèè
ïðåäëîæåííîãî ïîäõîäà.
1. Àìáàðöóìÿí Ñ. À. Òåîðèÿ àíèçîòðîïíûõ ïëàñòèí. – Ìîñêâà: Íàóêà, 1967. –
266 ñ.
2. Ãðèí÷åíêî Â. Ò., Óëèòêî À. Ô., Øóëüãà Í. À. Ýëåêòðîóïðóãîñòü. – Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1989. – 280 ñ. – (Ìåõàíèêà ñâÿçàííûõ ïîëåé â ýëåìåíòàõ êîíñòðóêöèé:
 5 ò. – Ò. 5.)
3. Êàðíàóõîâ Â. Ã., Êèðè÷îê È. Ô. Âûíóæäåííûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ è äèñ-
ñèïàòèâíûé ðàçîãðåâ âÿçêîóïðóãèõ òîíêîñòåííûõ ýëåìåíòîâ // Â êí.: Óñïåõè
ìåõàíèêè: Â 6 ò. / Ïîä ðåä. À. Í. Ãóçÿ. – Ò. 1. – Êèåâ: ÀÑÊ., 2005. – Ñ. 107–130.
166 Т. В. Карнаухова
4. Êàðíàóõîâ Â. Ã., Êèðè÷îê È. Ô. Ýëåêòðîòåðìîâÿçêîóïðóãîñòü. – Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1988. – 328 c. – (Ìåõàíèêà ñâÿçàííûõ ïîëåé â ýëåìåíòàõ êîíñòðóêöèé:
 5 ò. – Ò. 4.)
5. Êàðíàóõîâ Â. Ã., Ìèõàéëåíêî Â. Â. Íåëèíåéíàÿ òåðìîìåõàíèêà ïüåçîýëåêòðè-
÷åñêèõ íåóïðóãèõ òåë ïðè ìîíîãàðìîíè÷åñêîì íàãðóæåíèè. – Æèòîìèð: Æèòî-
ìèð. ³íæ.-òåõíîëîã. ³í-ò, 2005. – 426 ñ.
6. Ìàòâååâ Â. Â. Äåìïôèðîâàíèå êîëåáàíèé äåôîðìèðóåìûõ òåë. – Êèåâ: Íàóê.
äóìêà, 1985. – 264 ñ.
7. Íàøèô À., Äæîóíñ Ä., Õåíäåðñîí Äæ. Äåìïôèðîâàíèå êîëåáàíèé. – Ìîñêâà:
Ìèð, 1988. – 448 ñ.
8. Gabbert U., Tzou H. S. Smart structures and structronic systems. – Dordrecht:
Kluver Acad. Publ., 2001. – 384 p.
9. Tani J., Takagi T., Qiu J. Intelligent material systems: Applications of functional
materials // Appl. Mech. Rev. – 1998. – 51, No. 8. – P. 505–521.
10. Tzou H. S., Bergman L. A. Dynamics and control of distributed systems. – Camb-
ridge: Cambridge Univ. Press, 1998. – 400 p.
АКТИВНЕ ДЕМПФУВАННЯ ВИМУШЕНИХ РЕЗОНАНСНИХ ЗГИННИХ КОЛИВАНЬ ІЗОТРОПНИХ
В’ЯЗКОПРУЖНИХ ПЛАСТИН ПРИ НЕВІДОМОМУ МЕХАНІЧНОМУ НАВАНТАЖЕННІ
Çàïðîïîíîâàíî íîâèé ï³äõ³ä äî äîñë³äæåííÿ àêòèâíîãî äåìïôóâàííÿ âèìóøåíèõ
ðåçîíàíñíèõ êîëèâàíü â’ÿçêîïðóæíèõ ³çîòðîïíèõ ïëàñòèí çà äîïîìîãîþ ðîçïîä³-
ëåíèõ ñåíñîð³â òà àêòóàòîð³â äëÿ âèïàäêó, êîëè ìåõàí³÷íå íàâàíòàæåííÿ íåâ³äî-
ìå. Âîíî âèçíà÷àºòüñÿ ç åêñïåðèìåíòàëüíèõ ïîêàçíèê³â ñåíñîðà. Ðîçãëÿíóòî çàäà-
÷³ ïðî àêòèâíå äåìïôóâàííÿ êîëèâàíü ³çîòðîïíèõ â’ÿçêîïðóæíèõ ïðÿìîêóòíèõ
ïëàñòèí ç øàðí³ðíî îáïåðòèìè ³ æîðñòêî çàùåìëåíèìè òîðöÿìè, à òàêîæ ç³
çì³øàíèìè ãðàíè÷íèìè óìîâàìè. Çàäà÷³ ðîçâ’ÿçàíî ìåòîäîì Áóáíîâà – Ãàëüîðê³íà.
Äëÿ âñ³õ âèïàäê³â ãðàíè÷íèõ óìîâ îäåðæàíî ôîðìóëè äëÿ ð³çíèö³ ïîòåíö³àë³â, ÿêó
ïîòð³áíî ï³äâåñòè äî àêòóàòîðà äëÿ äåìïôóâàííÿ âèìóøåíèõ ðåçîíàíñíèõ êîëè-
âàíü ïî ïåðø³é ìîä³. Äîñë³äæåíî âïëèâ ìåõàí³÷íèõ ãðàíè÷íèõ óìîâ, äèñèïàòèâíèõ
âëàñòèâîñòåé ìàòåð³àë³â, ðîçì³ð³â ñåíñîðà òà àêòóàòîðà íà åôåêòèâí³ñòü àê-
òèâíîãî äåìïôóâàííÿ êîëèâàíü ïëàñòèí.
ACTIVE DAMPING OF FORCED RESONANT BENDING VIBRATIONS OF ISOTROPIC
VISCOELASTIC PLATES UNDER UNKNOWN MECHANICAL LOADING
A new approach to an active damping of forced resonant bending vibrations of visco-
elastic isotropic plates by the distributed piezoelectric sensors and actuators is proposed.
It is supposed that a mechanical load is unknown. It is found by an experimental dates
of a sensor. The problems of the active damping vibrations of an isotropic viscoelastic
rectangular plate with a simply supported, built-in supported edges and with mixed
boundary conditions are considered. The problems are sovted by a Bubnov – Galerkin
method. For all cases of boundary conditions the formulas for a potential difference to
dampe the forced vibrations of plates on the first modes are obtained. Influence of me-
chanical boundary conditions, dissipative material properties, the dimensions of the
sensors and actuators on the effectiveness of active damping of vibrations is investiga-
ted.
Íàö. òåõí. óí-ò Óêðàèíû «ÊÏÈ», Êèåâ Ïîëó÷åíî
01.09.08
|