О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения
Розглянуто явище миттєвої компактифiкацiї носiя розв’язку в задачi Кошi для параболiчного рiвняння з анiзотропним виродженням, подвiйною нелiнiйнiстю та сильною абсорбцiєю. У термiнах локальної поведiнки iнтегрованих початкових даних сформульовано необхiдну та достатню умову присутностi миттєвої ком...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України
2009
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7724 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 7-13. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-7724 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-77242010-04-13T12:00:37Z О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения Дегтярев, С.П. Математика Розглянуто явище миттєвої компактифiкацiї носiя розв’язку в задачi Кошi для параболiчного рiвняння з анiзотропним виродженням, подвiйною нелiнiйнiстю та сильною абсорбцiєю. У термiнах локальної поведiнки iнтегрованих початкових даних сформульовано необхiдну та достатню умову присутностi миттєвої компактифiкацiї та одержано точнi за порядком двостороннi оцiнки розмiрiв носiя розв’язку. We study the instantaneous support shrinking phenomenon in a Cauchy problem for a doubly nonlinear parabolic equation with anisotropic degeneration and with strong absorption. In terms of the local behavior of locally integrable initial data, we formulate the necessary and sufficient condition for the instantaneous support shrinking phenomenon to take place and, in the same terms, establish the bilateral estimates of the solution support size which are sharp with respect to order. 2009 Article О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 7-13. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1025-6415 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7724 517.956.45 ru Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| topic |
Математика Математика |
| spellingShingle |
Математика Математика Дегтярев, С.П. О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения |
| description |
Розглянуто явище миттєвої компактифiкацiї носiя розв’язку в задачi Кошi для параболiчного рiвняння з анiзотропним виродженням, подвiйною нелiнiйнiстю та сильною абсорбцiєю. У термiнах локальної поведiнки iнтегрованих початкових даних сформульовано необхiдну та достатню умову присутностi миттєвої компактифiкацiї та одержано точнi за порядком двостороннi оцiнки розмiрiв носiя розв’язку. |
| format |
Article |
| author |
Дегтярев, С.П. |
| author_facet |
Дегтярев, С.П. |
| author_sort |
Дегтярев, С.П. |
| title |
О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения |
| title_short |
О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения |
| title_full |
О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения |
| title_fullStr |
О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения |
| title_full_unstemmed |
О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения |
| title_sort |
о мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения |
| publisher |
Видавничий дім "Академперіодика" НАН України |
| publishDate |
2009 |
| topic_facet |
Математика |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7724 |
| citation_txt |
О мгновенном возникновении интерфейса и двусторонних его оценках в задаче Коши для нелинейного анизотропного параболического уравнения / С.П. Дегтярев // Доп. НАН України. — 2009. — № 1. — С. 7-13. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| work_keys_str_mv |
AT degtârevsp omgnovennomvozniknoveniiinterfejsaidvustoronnihegoocenkahvzadačekošidlânelinejnogoanizotropnogoparaboličeskogouravneniâ |
| first_indexed |
2025-07-02T10:30:07Z |
| last_indexed |
2025-07-02T10:30:07Z |
| _version_ |
1836530750446370816 |
| fulltext |
оповiдi
НАЦIОНАЛЬНОЇ
АКАДЕМIЇ НАУК
УКРАЇНИ
1 • 2009
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956.45
© 2009
С.П. Дегтярев
О мгновенном возникновении интерфейса
и двусторонних его оценках в задаче Коши
для нелинейного анизотропного параболического
уравнения
(Представлено членом-корреспондентом НАН Украины А.М. Ковалевым)
Розглянуто явище миттєвої компактифiкацiї носiя розв’язку в задачi Кошi для пара-
болiчного рiвняння з анiзотропним виродженням, подвiйною нелiнiйнiстю та сильною
абсорбцiєю. У термiнах локальної поведiнки iнтегрованих початкових даних сформульо-
вано необхiдну та достатню умову присутностi миттєвої компактифiкацiї та одер-
жано точнi за порядком двостороннi оцiнки розмiрiв носiя розв’язку.
Постановка задачи и основной результат. В области R
N × [0, T ], N — размерность
пространства R
N , T > 0, рассмотрим следующую задачу Коши для неизвестной функции
u(x, t):
∂
∂t
(|u|β−1u) −
N
∑
i=1
∂
∂xi
(
∣
∣
∣
∣
∂u
∂xi
∣
∣
∣
∣
pi−2 ∂u
∂xi
)
+ |u|λ−1u = 0, (x, t) ∈ R
N × (0, T ), (1)
|u|β−1u(x, 0) = |u0|
β−1u0(x), x ∈ R
N , (2)
где N — размерность пространства R
N , β > 0, pi > 0, i = 1, N , λ > 0 — заданные посто-
янные, |u0|
β−1u0(x) — заданная начальная локально интегрируемая функция. Мы будем
рассматривать случай медленной диффузии по всем направлениям и сильной абсорбции,
что выражается в следующем ограничении на параметры задачи:
β > 0, pi > 1 + β, i = 1, N, 0 < λ < β. (3)
В случае изотропного уравнения, т. е. когда pi = p, i = 1, N , известно, что при опреде-
ленных условиях на начальную функцию |u0|
β−1u0(x) задача (1), (2) разрешима в слабом
смысле и наблюдается явление мгновенной компактификации носителя (см. [1–10]). Суть
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 7
этого явления состоит в том, что носитель решения становится компактным в любой сколь
угодно малый момент времени t > 0 и сжимается при малых t, несмотря на то, что носитель
начальной функции совпадает со всем R
N . Не останавливаясь подробно на истории вопроса
(см. [1–10]), отметим, что, в частности, в [10] в случае изотропного уравнения была получена
точная по порядку двусторонняя оценка размера D(t) носителя решения задачи (1), (2)
ψ−1
Mt(γ1t
β/(β−λ)) 6 D(t) 6 (1 + ε)ψ−1
t (γ0t
β/(β−λ)), (4)
где
D(t) = inf{r : u(x, t) ≡ 0, |x| > r},
ε, γ0, γ1, M — некоторые положительные постоянные и для ρ > 0
ψt(ρ) ≡ sup
|x0|=ρ
1
|Btκ (x0)|
∫
Btκ (x0)
|u0(x)|
βdx ≡ sup
|x0|=ρ
∮
Btκ (x0)
|u0|
βdx,
причем κ = (p − 1 − λ)/p(β − λ), Btκ — шар с центром в точке x0 радиуса tκ и при
немонотонной ψt(ρ)
ψ−1
t (s) = inf
ρ
{ρ : ψt(k) < s, k > ρ}.
Таким образом, было, в частности, показано, что мгновенная компактификация носи-
теля имеет место тогда и только тогда, когда ψt(ρ) → 0 при ρ → ∞.
Целью данной работы является выяснение условий наличия мгновенной компактифи-
кации носителя в случае анизотропного уравнения (1) и получение точных по порядку
двусторонних оценок размеров носителя решения задачи (1), (2). При этом, как следует,
например, из результатов работы [10], обращение решения в ноль в окрестности какой-либо
точки пространства с течением малого времени определяется локальным поведением ре-
шения в окрестности этой точки. Поэтому следует ожидать, что оценка размеров носителя
решения для анизотропного уравнения (1) в случае изотропного и однородного во всех на-
правлениях поведения начальных данных на бесконечности также будет носить изотропный
характер, аналогичный (4), несмотря на анизотропию уравнения. В случае же различного
поведения начальных данных на бесконечности в различных направлениях размер носителя
решения также будет зависеть от направления (см. замечание 1 после теоремы 1).
Чтобы сформулировать основной результат, нам понадобятся несколько определений
и обозначений. Всюду ниже мы обозначаем
p =
(
1
N
N
∑
i=1
1
pi
)−1
— (5)
среднее гармоническое показателей pi. Обозначим также
d = p− 1 − β, dλ = p− 1 − λ, di = pi − 1 − β, diλ = pi − 1 − λ,
k = N(p − 1 − β) + βp = Nd+ βp > 0.
(6)
Под слабым решением задачи (1), (2) на интервале времени [0, T ] мы понимаем измери-
мую функцию u(x, t), обладающую следующими свойствами:
8 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
1) для любой функции ζ(x) ∈ C∞
0 (RN ) отображение
t ∈ [0, T ] →
∫
RN
|u|β−1u(x, t)ζ(x) dx
непрерывно;
2) для любой финитной по x достаточно регулярной функции η(x, t) выполнено инте-
гральное тождество
∫
RN
|u|β−1u(x, t)ηdx+
N
∑
i=1
t
∫
0
∫
RN
|uxi
|pi−2uxi
ηxi
dxdτ +
t
∫
0
∫
RN
|u|λ−1uηdxdτ =
=
∫
RN
|u0|
β−1u0(x)η(x, 0) dx +
t
∫
0
∫
RN
|u|β−1u(x, t)ητdxdτ. (7)
Отметим, что из результатов работ [11, 12] следует, что задача (1), (2) при заданном
соотношении параметров (3) разрешима для локально интегрируемых начальных данных,
не слишком быстро растущих на бесконечности, и при определенном ограничении на раз-
брос значений показателей pi. Поэтому, следуя [11, 12], мы предполагаем выполненным
следующее ограничение на разброс показателей pi:
pi <
p(N + β)
N
. (8)
Начальные же данные |u0|
β−1u0(x) мы предполагаем неотрицательными (а, следова-
тельно, рассматриваем неотрицательные решения u(x, t)) и удовлетворяющими условию
(ср. [11, 12]) для некоторого r > 0
|||uβ
0 (x)||| ≡ sup
x0∈RN
sup
ρ>r
ρ−k/d
∫
Pρ(x0)
uβ
0 (x) dx <∞, (9)
где Pρ(x0) = {x : |xi − x0i| < ραi}, αi = pdi/pid — параллелепипед с центром в точке x0.
Из результатов работ [11, 12] следует, что при этом условии для решения рассматриваемой
задачи (1), (2) конечна такая же норма по переменной x, причем на некотором интервале
времени [0, T ] справедлива оценка
|||uβ(x, t)||| ≡ sup
x0∈RN
sup
ρ>r
ρ−k/d
∫
Pρ(x0)
uβ(x, t) dx 6 C|||uβ
0 (x)|||, (10)
где здесь и всюду ниже мы обозначаем через C, γ, b, ν все абсолютные константы либо
константы, зависящие только от раз и навсегда зафиксированных параметров задачи.
Отметим, что, как можно проверить, условие (9) следует из необходимого условия мгно-
венной компактификации (16), приведенного ниже, поэтому на самом деле в рассматрива-
емой ситуации условие (9) не является ограничением. Отметим также, что, как и в ра-
ботах [11, 12], в данной работе мы используем метод локальных интегральных оценок
из [13–15].
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 9
Введем следующие показатели, являющиеся анизотропными аналогами изотропному
случаю (ср. [10]):
κi =
pi − 1 − λ
pi(β − λ)
=
diλ
pi(β − λ)
, κ =
p− 1 − λ
p(β − λ)
=
dλ
p(β − λ)
, (11)
и обозначим
Ptκ ≡ Ptκ (x0) = {x : |xi − x0i| 6 tκi} — (12)
параллелепипед с центром в x0 и со сторонами 2tκi , заметив при этом, что объем данного
параллелепипеда равен |Ptκ | = Ctκ1+...+κN = CtNκ. Пусть
ϕt(x0) =
1
|Ptκ (x0)|
∫
Ptκ (x0)
uβ
0 (x) dx ≡
∮
Ptκ (x0)
uβ
0 (x) dx, (13)
ϕt(ρ) = sup
|x0|=ρ
ϕt(x0), (14)
ϕ−1
t (s) = inf
ρ
{ρ : ϕt(k) < s, k > ρ}. (15)
Сформулируем теперь основной результат.
Теорема 1. Если начальная функция в (2) неотрицательна, то неотрицательное ре-
шение задачи (1), (2) обладает свойством мгновенной компактификации носителя тогда
и только тогда, когда
ϕt(ρ) → 0, ρ→ ∞ (16)
при каком-либо t > 0 (можно проверить, что при этом условие (16) выполнено при любом
t > 0). Кроме того, для любого ε > 0 существуют константы t0 = t0(ε), γ0, γ1, M , зави-
сящие от u0(x), такие, что на интервале времени (0, t0] справедливы следующие оценки
сверху и снизу размеров носителя решения:
D(t) 6 (1 + ε)ϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ)), (17)
D(t) > ϕ−1
Mt(γ1t
β/(β−λ)). (18)
Замечание 1. Оценки размеров носителя (17), (18), несмотря на анизотропию уравне-
ния (1), носят изотропный характер, что вызвано определением функции ϕt(ρ), которое
не учитывает возможное анизотропное поведение начальных данных. Непосредственно из
доказательства теоремы 1 следует, что если определить для ρ > 0, ω ∈ Sn−1 = {x : |x| = 1}
функцию
ϕt(ρ, ω) = ϕt(x0), ρ = |x0|, ω =
x0
|x0|
,
ϕ−1
t (s, ω) = inf
ρ
{ρ : ϕt(k, ω) < s, k > ρ},
и определить функцию
D(t, ω) = inf{ρ : u(rω, t) ≡ 0, r > ρ},
10 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
то справедлива оценка
ϕ−1
Mt(γ1t
β/(β−λ), ω) 6 D(t, ω) 6 Cϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ), ω), (19)
т. е. размер носителя решения может быть различен в различных направлениях в зависи-
мости от поведения начальной функции.
Доказательство теоремы 1. Доказательство теоремы 1 состоит из трех основных
этапов.
На первом этапе мы получаем условие на локальную энергию решения, при котором
решение локально обращается в ноль, что сформулировано в нижеследующей лемме.
Лемма 1. Пусть x0 = (x01, x02, . . . , x0N ) ∈ R
N , t > 0, R ∈ (1, 2), σ ∈ (1/8, 7/8), ρ2i =
= Rtκi, ρ1i = (1 − σ)ρ2i, ∆ρi = ρ2i − ρ1i, i = 1, N , Pm = Pm(x0) = {x = (x1, x2, . . . , xN ) ∈
∈ R
N : |xi − x0i| 6 ρmi, i = 1, N}, m = 1, 2. Тогда существует такая достаточно малая
константа γ2 = γ2(R,σ), что если
Y (t/2, P2) ≡ sup
t/2<τ<t
∫
P2
u1+β(x, τ) dx+
N
∑
i=1
t
∫
0
∫
P2
|uxi
|pidxdτ +
t
∫
0
∫
P2
u1+λdxdτ 6
6 γ2t
(Ndλ+p(1+β))/(p(β−λ)),
то u(x, t) ≡ 0 на множестве P1(x0) × [3t/4, t]. (Локальной энергией мы называем левую
часть последнего неравенства.)
На втором этапе, чтобы выразить условие локального обращения решения в ноль в тер-
минах поведения массы решения, мы оцениваем локальную энергию решения через массу
решения и, таким образом, получаем условие обращения решения в ноль в терминах оценок
массы. А именно, справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Пусть σ, ρ1i,ρ2i, параллелепипеды P1, P2 такие же, как в лемме 1. Пусть
еще ρi = ρ2i(1 + σ), i = 1, N , Pρ = {x : |xi − x0i| 6 ρi, i = 1, N}. Существует такое γ3 > 0,
что условия леммы 1 выполнены, т. е.
Y
(
t
2
, P1
)
6 γ2t
(Ndλ+p(1+β))/(p(β−λ)), (20)
если
E(t/4, Pρ) ≡ sup
t/46τ6t
∫
Pρ
uβ(x, τ) dx 6 γ3t
β/(β−λ)+Ndλ/(p(β−λ)) = γ3t
β/(β−λ)+Nκ. (21)
Отметим, что из леммы 2 и леммы 1 следует, что при выполнении условия (21) решение
u(x, t) обращается в ноль в окрестности точки (x0, t). Таким образом, следующей задачей
является оценить локальную массу решения E(t/4, Pρ) через локальную массу начальной
функции, и это составляет третий этап доказательства теоремы 1, что сформулировано
в следующей лемме.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 11
Лемма 3. Пусть σ ∈ (0, 1) зафиксировано, x0 ∈ R
N , числа r, αi — из соотношения (9),
параллелепипед Ptκ определен в (12). Существуют такие константы t0 = t0(u0), γ5 =
= γ5(u0), что для t 6 t0, если при всех y ∈ Pr = {y : |yi − x0i| 6 rαi(1 + σ)2} выполнено
∮
Ptκ (y)
uβ
0 (x) dx ≡
1
|Ptκ (y)|
∫
Ptκ (y)
uβ
0 (x) dx 6 γ5t
β/(β−λ), (22)
то выполнено
Etκ ,x0 ≡ sup
06τ6t
∫
Ptκ (x0)
uβ(x, τ) dx 6 2
∫
Ptκ (1+σ)(x0)
uβ
0 (x) dx, (23)
где Ptκ (1+σ)(x0) = {x : |xi − x0i| 6 tκi(1 + σ)}.
Доказательство теоремы 1 следует теперь из приведенных выше лемм. Покажем оцен-
ку (17). Зафиксируем какое-либо одно σ ∈ (0, 1) во всех оценках, данных в доказательстве
теоремы 1. Тем самым оказываются зафиксированными все малые константы γi в леммах 1,
2 и 3. Пусть выполнено условие (16) и пусть γ0 достаточно мало. Пусть, далее, x0 ∈ R
N ,
|x0| > ϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ)) + 2(1 + σ)2 max rαi . Тогда, в силу определения функции ϕ−1
t , для та-
кого x0 выполнены условия леммы 3, если γ0 достаточно мало, γ0 6 γ5. Но тогда, в силу
леммы 3, для такого x0 выполнены условия леммы 2 с ρi = tκi(1 + σ), если γ0 достаточно
мало. Но тогда выполнены условия леммы 1 и из этой леммы следует, что u(x, τ) ≡ 0 на
множестве {x : |xi − x0i| 6 tκi(1 − σ), i = 1, N} × [3t/4, t]. Таким образом, u(x, τ) ≡ 0 на
множестве {x : |x0| > ϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ)) + 2(1 + σ)2 max rαi}, откуда следует оценка (17), так
как, в силу (1.16), ϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ)) → ∞ при t → 0.
Что же касается оценки (18) размеров носителя решения снизу, то ее доказательство пол-
ностью идентично доказательству соответствующей оценки снизу для изотропного уравне-
ния в работе [10] с использованием параллелепипеда Ptκ вместо шара, поэтому мы отсылаем
читателя к этой работе.
1. Kersner R., Shishkov A. Instantaneous shrinking of the support of energy solutions // J. Math. Anal. and
Appl. – 1996. – 198. – P. 729–750.
2. Шишков А.Е. Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений
квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка // Мат. сб. – 1999. – 190, № 12. –
С. 129–156.
3. Antontsev S.N., Diaz J. I., Shmarev S. I. The support shrinking properties for solutions of quasilinear
parabolic equations with strong absorption terms // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. – 1995. – 6, 4: 1. –
P. 5–30.
4. Antontsev S.N., Diaz J. I., Shmarev S. I. Energy methods for the free boundary problems. Applications to
nonlinear PDEs and fluid mechanics. – Basel: Birkhäuser, 2002. – 334 p.
5. Абдуллаев У.Г. О мгновенном сжатии носителя решения нелинейного вырождающегося параболиче-
ского уравнения // Мат. заметки. – 1998. – 63, № 3. – С. 323–331.
6. Abdullaev U.G. Exact local estimates for the supports of solutions in problems for nonlinear parabolic
equations // Mat. Sb. – 1995. – 186, No 8. – P. 3–24.
7. Ughi M. Initial behavior of the free boundary for a porous media equation with strong absorption // Adv.
Math. Sci. and Appl. Gakkotosho, Tokyo. – 2001. – 11, No 1. – P. 333–345.
8. Kalashnikov A. S. On the dependence of properties of solutions of parabolic equations in unbounded domai-
ns on the behavior of the coefficients at infinity // Math. USSR Sb. – 1986. – 53. – P. 399–410.
9. Kalashnikov A. S. On the behavior of solutions of the Cauchy problem for parabolic systems with nonlinear
dissipation near the initial hyperplane // Trudy Sem. Petrovsk. – 1992. – 16. – P. 106–117.
12 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2009, №1
10. Дегтярев С.П. Об условиях мгновенной компактификации носителя решения и о точных оценках
носителя в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией //
Мат. сб. – 2008. – 199, № 4. – С. 37–64.
11. Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. L1–L∞ оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождаю-
щегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными //
Там же. – 2007. – 198, № 5. – С. 45–66.
12. Дегтярев С.П., Тедеев А.Ф. Оценки решения задачи Коши с растущими начальными данными для
параболического уравнения с анизотропным вырождением и двойной нелинейностью // Докл. АН. –
2007. – 417, № 2. – С. 156–159.
13. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations // Adv.
Different. Equat. – 2005. – 10, No 1. – P. 89–120.
14. Andreucci D., Tedeev A.F. Finite speed of propagation for the thin film equation and other higher order
parabolic equations with general nonlinearity // Interfaces and Free Boundaries. – 2001. – 3, No 3. –
P. 233–264.
15. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for a degenerate Neumann problem in domains with non
compact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543–567.
Поступило в редакцию 16.06.2008Институт прикладной математики
и механики НАН Украины, Донецк
S. P. Degtyarev
On the instantaneous interface rising and its bilateral estimates for the
Cauchy problem for a nonlinear anisotropic parabolic equation
We study the instantaneous support shrinking phenomenon in a Cauchy problem for a doubly
nonlinear parabolic equation with anisotropic degeneration and with strong absorption. In terms
of the local behavior of locally integrable initial data, we formulate the necessary and sufficient
condition for the instantaneous support shrinking phenomenon to take place and, in the same
terms, establish the bilateral estimates of the solution support size which are sharp with respect
to order.
ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2009, №1 13
|