Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки

Теоретически исследованы поверхностные электромагнитные состояния (ПЭС) на границе раздела фотонного кристалла и плазмоподобной среды. Предполагалось, что элементарная ячейка фотонного кристалла состоит из двух различных немагнитных диэлектриков. Изучено изменение частот ПЭС при изменении конфиг...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2011
Hauptverfasser:	Аверков, Ю.О., Белецкий, Н.Н., Яковенко, В.М.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України 2011
Schriftenreihe:	Радіофізика та електроніка
Schlagworte:	Радіофізика твердого тіла та плазми
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/78056
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки / Ю.О. Аверков, Н.Н. Белецкий, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 40-47. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-78056
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-780562015-03-11T03:02:03Z Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки Аверков, Ю.О. Белецкий, Н.Н. Яковенко, В.М. Радіофізика твердого тіла та плазми Теоретически исследованы поверхностные электромагнитные состояния (ПЭС) на границе раздела фотонного кристалла и плазмоподобной среды. Предполагалось, что элементарная ячейка фотонного кристалла состоит из двух различных немагнитных диэлектриков. Изучено изменение частот ПЭС при изменении конфигурации элементарной ячейки фотонного кристалла. Показано, что при определенных параметрах элементарной ячейки фотонного кристалла могут существовать несколько ПЭС, отличающихся частотами и степенью локализации электромагнитного поля в фотонном кристалле и плазмоподобной среде. Продемонстрирована возможность существования ПЭС в структурах типа металл−фотонный кристалл со слоями SiO₂ и Si, широко применяющихся в приложениях кремниевой нанофотоники. In this paper, we present the theoretical analysis of surface electromagnetic states (SES) at the interface between a photonic crystal and a plasma-like medium. It was assumed that an elementary cell of the photonic crystal is composed of two different non-magnetic dielectrics. The change of frequencies of SES with the configuration of the elementary cell has been studied. We have shown that at certain parameters of the elementary cell a number of SES can exist. These states differ in frequencies and their electromagnetic field localization in the photonic crystal and in the plasma-like medium. The possibility of existence of SES in metal-photonic crystal structures with layers of SiO₂ and Si has been demonstrated. These structures are widely used for up-to-date applications of silicon nanophotonics. Теоретично досліджено поверхневі електромагнітні стани (ПЕС) на межі розділу фотонного кристала і плазмоподібного середовища. Передбачалося, що елементарна комірка фотонного кристала складається з двох різних немагнітних діелектриків. Вивчено зміну частот ПЕС при зміні конфігурації елементарної комірки фотонного кристала. Показано, що при певних параметрах елементарної комірки фотонного кристала можуть існувати декілька поверхневих ПЕС, що розрізняються частотами і ступенем локалізації електромагнітного поля у фотонному кристалі та плазмоподібному середовищі. Продемонстровано можливість існування ПЕС у структурах типу метал-фотонний кристал із шарами SiO₂ і Si, які широко застосовуються в приладах кремнієвої нанофотоніки. 2011 Article Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки / Ю.О. Аверков, Н.Н. Белецкий, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 40-47. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 1028-821X http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/78056 537.811:539.2 ru Радіофізика та електроніка Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
topic	Радіофізика твердого тіла та плазми Радіофізика твердого тіла та плазми
spellingShingle	Радіофізика твердого тіла та плазми Радіофізика твердого тіла та плазми Аверков, Ю.О. Белецкий, Н.Н. Яковенко, В.М. Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки Радіофізика та електроніка
description	Теоретически исследованы поверхностные электромагнитные состояния (ПЭС) на границе раздела фотонного кристалла и плазмоподобной среды. Предполагалось, что элементарная ячейка фотонного кристалла состоит из двух различных немагнитных диэлектриков. Изучено изменение частот ПЭС при изменении конфигурации элементарной ячейки фотонного кристалла. Показано, что при определенных параметрах элементарной ячейки фотонного кристалла могут существовать несколько ПЭС, отличающихся частотами и степенью локализации электромагнитного поля в фотонном кристалле и плазмоподобной среде. Продемонстрирована возможность существования ПЭС в структурах типа металл−фотонный кристалл со слоями SiO₂ и Si, широко применяющихся в приложениях кремниевой нанофотоники.
format	Article
author	Аверков, Ю.О. Белецкий, Н.Н. Яковенко, В.М.
author_facet	Аверков, Ю.О. Белецкий, Н.Н. Яковенко, В.М.
author_sort	Аверков, Ю.О.
title	Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки
title_short	Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки
title_full	Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки
title_fullStr	Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки
title_full_unstemmed	Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки
title_sort	зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки
publisher	Інститут радіофізики і електроніки ім. А.Я. Усикова НАН України
publishDate	2011
topic_facet	Радіофізика твердого тіла та плазми
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/78056
citation_txt	Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки / Ю.О. Аверков, Н.Н. Белецкий, В.М. Яковенко // Радіофізика та електроніка. — 2011. — Т. 2(16), № 2. — С. 40-47. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Радіофізика та електроніка
work_keys_str_mv	AT averkovûo zavisimostʹčastotpoverhnostnyhélektromagnitnyhsostoânijvfotonnyhkristallahotparametrovdvuhslojnojdiélektričeskojélementarnojâčejki AT beleckijnn zavisimostʹčastotpoverhnostnyhélektromagnitnyhsostoânijvfotonnyhkristallahotparametrovdvuhslojnojdiélektričeskojélementarnojâčejki AT âkovenkovm zavisimostʹčastotpoverhnostnyhélektromagnitnyhsostoânijvfotonnyhkristallahotparametrovdvuhslojnojdiélektričeskojélementarnojâčejki
first_indexed	2025-07-06T02:14:28Z
last_indexed	2025-07-06T02:14:28Z
_version_	1836861954585526272
fulltext	РРААДДІІООФФІІЗЗИИККАА ТТВВЕЕРРДДООГГОО ТТІІЛЛАА ТТАА ППЛЛААЗЗММИИ _________________________________________________________________________________________________________________ __________ ISSN 1028−821X Радіофізика та електроніка, 2011, том 2(16), № 2 © ІРЕ НАН України, 2011 УДК 537.811:539.2 Ю. О. Аверков, Н. Н. Белецкий, В. М. Яковенко ЗАВИСИМОСТЬ ЧАСТОТ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ СОСТОЯНИЙ В ФОТОННЫХ КРИСТАЛЛАХ ОТ ПАРАМЕТРОВ ДВУХСЛОЙНОЙ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКИ Институт радиофизики и электроники им. А. Я. Усикова НАН Украины 12, ул. Ак. Проскуры, Харьков, 61085, Украина E-mail: yuriyaverkov@gmail.com Теоретически исследованы поверхностные электромагнитные состояния (ПЭС) на границе раздела фотонного кристалла и плазмоподобной среды. Предполагалось, что элементарная ячейка фотонного кристалла состоит из двух различных немагнитных диэлектриков. Изучено изменение частот ПЭС при изменении конфигурации элементарной ячейки фотонного кристалла. Показано, что при определенных параметрах элементарной ячейки фотонного кристалла могут существовать несколько ПЭС, отличающихся частотами и степенью локализации электромагнитного поля в фотонном кристалле и плазмоподобной среде. Продемонстрирована возможность существования ПЭС в структурах типа металл−фотонный кристалл со слоями SiO2 и Si, широко применяющихся в приложениях кремниевой нанофотоники. Ил. 9. Библиогр.: 17 назв. Ключевые слова: фотонный кристалл, плазмоподобная среда, поверхностное электромагнитное состояние, матрица распространения, блоховское волновое число. Фотонные кристаллы обладают уникаль- ным свойством поддерживать поверхностные электромагнитные состояния (ПЭС). Отличи- тельная особенность этих состояний заключается в том, что они не распространяются и не перено- сят энергию вдоль границы фотонного кристалла. ПЭС могут существовать как на границе двух фотонных кристаллов [1−4], так и на границе фо- тонного кристалла с однородной средой [1, 3, 5−9]. Во втором случае ПЭС на границе фотонного кри- сталла существуют лишь тогда, когда диэлект- рическая проницаемость однородной среды явля- ется отрицательной. В работе [1] теоретически была предска- зана возможность существования ПЭС на границе магнитного и немагнитного фотонных кристал- лов. Экспериментально такого рода электромаг- нитные состояния исследованы в работе [2]: рас- сматривался магнитный фотонный кристалл, со- стоящий из пяти элементарных ячеек Bi:YIG/SiO2. При этом немагнитный фотонный кристалл содержал 5 элементарных ячеек Ta2O5/SiO2. ПЭС в эксперименте соответствовал острый пик коэффициента прохождения в зоне непрозрачности исследуемой структуры. Полу- ченные результаты позволяют использовать такие структуры для создания резонансных оптических фильтров (например, [7, 8]) и других устройств современной нанофотоники [10]. В работе [3] был проведен обзор теорети- ческих и экспериментальных работ, посвященных изучению ПЭС в фотонных кристаллах; были теоретически изучены зависимости частот ПЭС на границе металл−фотонный кристалл от относи- тельной оптической толщины первого слоя эле- ментарной ячейки фотонного кристалла. Предпо- лагалось, что величина отрицательной диэлект- рической проницаемости плазмоподобной среды является постоянной. При этом основное внима- ние было уделено влиянию симметрии элемен- тарной ячейки на эволюцию ПЭС в фотонных кристаллах. Изменение частот ПЭС на границе металл−фотонный кристалл при изменении тол- щины первого слоя элементарной ячейки теоре- тически рассматривалась также в работе [6]. Однако в этой работе ПЭС были изучены лишь в первой запрещенной зоне фотонного кристалла, лежащей в области частот, намного меньших плазменной частоты металла. При этом в ней бы- ли получены аналитические выражения для час- тот ПЭС и коэффициента отражения внешней электромагнитной волны от структуры металл− фотонный кристалл−воздух. Предполагалось, что элементарная ячейка фотонного кристалла состо- ит из слоев s.GaAs/AlGaA Экспериментально возбуждение ПЭС в оптической области спектра на границе металл−фотонный кристалл было осу- ществлено в работах [7, 8]: исследованная струк- тура представляла собой фотонный кристалл с элементарной ячейкой GaAs/Ga0,1Al0,9As, ограни- ченный с одной стороны подложкой из GaAs, с другой стороны − пленками золота с различной толщиной. Найдены зависимости частот ПЭС от толщины металлической пленки и температуры образца. В терагерцевой области частот ПЭС на границе плазмоподобной проволочной среды и фо- тонного кристалла экспериментально исследованы в работе [9], в частности исследованы зависимости частот ПЭС от толщины слоя воздуха. При этом элементарная ячейка фотонного кристалла состояла из слоев феррита, кварца и воздуха. Ю. О. Аверков и др. / Зависимость частот поверхностных… _________________________________________________________________________________________________________________ 41 ПЭС в двумерных фотонных кристаллах теоретически исследовались в работах [11−13]. В работах [11, 12] фотонный кристалл представ- лял собой двумерный периодический массив ди- электрических стержней, помещенных в диэлект- рическую матрицу, причем диэлектрики проволок и матрицы были различными. ПЭС возникали, если какая-либо из линейных цепочек содержала ячейки с дефектными стержнями. В работе [13] исследовались поверхностные электромагнитные состояния, возникающие на концах цепочки ре- зонансных полостей. Такая цепочка может быть сформирована путем удаления определенных ди- электрических стержней в фотонных кристаллах, исследованных в работах [11, 12]. Настоящая работа посвящена дальней- шему развитию теории ПЭС на границе фотонно- го кристалла с плазмоподобными средами (напри- мер, металлами, полупроводниками, сверхпро- водниками). Предполагалось, что элементарная ячейка фотонного кристалла состоит из двух не- магнитных диэлектрических слоев. Для исследо- вания частот ПЭС нами был использован другой подход по сравнению с использованным в работе [3]. Мы учитывали частотную дисперсию плазмопо- добной среды, граничащей с фотонным кристаллом. Нами детально исследованы области су- ществования и частоты ПЭС в зависимости от типа, взаимного расположения и толщин диэлект- рических слоев элементарной ячейки фотонного кристалла. Большое внимание уделено изучению изменения частот ПЭС с изменением соотноше- ния между толщинами диэлектрических слоев при постоянном размере элементарной ячейки. Также в работе исследовано распределение элект- рического и магнитного полей поверхностных состояний в зависимости от конфигурации эле- ментарной ячейки фотонного кристалла. Мы об- наружили, что при изменении толщин диэлектри- ческих слоев ПЭС могут становиться делокализо- ванными. В зависимости от соотношения толщин диэлектрических слоев при фиксированном раз- мере элементарной ячейки меняются не только частоты ПЭС, но и число таких состояний. Учет частотной дисперсии плазмоподобной среды приводит к тому, что ПЭС могут становиться де- локализованными в плазмоподобной среде оста- ваясь при этом локализованными в фотонном кристалле. Частоты ПЭС зависят от порядка че- редования диэлектрических слоев в элементарной ячейке. Все численные расчеты частот ПЭС про- ведены нами в единицах плазменной частоты од- нородной среды, граничащей с фотонным кри- сталлом. При этом толщины диэлектрических слоев измерялись в единицах толщины скин-слоя в плазмоподобной среде. Следовательно, резуль- таты нашего исследования не зависят от конкрет- ного типа плазмоподобной среды и конкретных значений толщин диэлектрических слоев. Используемый подход был применен для расчета структуры металл−фотонный кристалл, элемен- тарная ячейка которого состоит из двух нано- слоев SiO2 и Si. Подобные структуры широко применяются в кремниевой нанофотонике [14]. 1. Постановка задачи и основные уравнения. Пусть граница раздела плазмоподоб- ной среды и фотонного кристалла расположена в плоскости .xy Плазмоподобная среда занимает полупространство ,0<z а фотонный кристалл − полупространство .0>z Фотонный кристалл представляет собой периодическую последова- тельность элементарных ячеек размером .d Каж- дая ячейка состоит из двух немагнитных диэлект- риков с диэлектрическими проницаемостями ,1ε 2ε и толщинами 1d и 2d соответственно (рис. 1, 21 ddd += ). Рис. 1. Геометрия системы Электромагнитные поля в плазмоподоб- ной среде и в каждом слое фотонного кристалла описываются уравнениями Максвелла ,1rot t D c H ∂ ∂ = ;1rot t H c E ∂ ∂ −= (1) 0,div =D 0.div =H (2) Будем полагать слои фотонного кристал- ла однородными вдоль оси y ( )0=∂∂ y . Зависи- мость полей от координаты x и времени t будем описывать экспоненциальным множителем ( )[ ]txki x ω−exp , который в дальнейшем будем опускать. Здесь xk − компонента волнового вектора вдоль оси ,x ω − частота электромагнитного поля. Рассмотрим электромагнитные поля TM-типа с компонентами ( )zx EE ,0, и ( ).0,,0 yH Из уравнений Максвелла получаем следующие 1-я ячейка 2-я ячейка Плазмо- подобная среда 0 d1 d ε1 ε2 ε1 ε2 Ю. О. Аверков и др. / Зависимость частот поверхностных… _________________________________________________________________________________________________________________ 42 выражения для тангенциальных компонент поля в плазмоподобной среде: ( ) ( );exp0 zikAzH pzpy = (3) ( ) ( ) ( ),exp0 zikA ck zE pz p pz px ωωε = (4) где ( ); 2 2 2 ωεω pxpz c kik −−= (5) ( ) ;1 2 2 0 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= ω ω εωε p p (6) ( )/4 0 2 mNe pp επω = − плазменная частота; 0ε − диэлектрическая постоянная кристалличе- ской решетки плазмоподобной среды; pN − кон- центрация электронов проводимости плазмопо- добной среды; m − эффективная масса электро- нов проводимости. В соответствии с теоремой Флоке [15] электромагнитная волна, распростра- няющаяся вдоль периодической среды, должна удовлетворять условию периодичности. Для рас- сматриваемой задачи это условие удобно запи- сать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 0 0 exp ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ x y B x y E H dik dE dH (7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . 0 0 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ x yTM x y E H dE dH M (8) Здесь Bk − блоховское волновое число; ( )TMM − матрица распространения TM-волны с коэффици- ентами [16]: ( ) ( ) ( ) ( ) ( );sinsin coscos 2211 21 12 221111 dkdk k k dkdkM zz z z zz TM ε ε − −= (9) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );sincos cossin 2211 2 2 2211 1 1 12 dkdk ck i dkdk ck iM zz z zz z TM ωε ωε + += (10) ( ) ( ) ( ) ( ) ( );sincos cossin 2211 2 2 2211 1 1 21 dkdkcki dkdkckiM zz z zz zTM ωε ωε + += (11) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),sinsin coscos 2211 12 21 221122 dkdk k k dkdkM zz z z zz TM ε ε − −= (12) где ,2 2 2 xjzj k c k −= εω .2 ,1=j (13) Блоховское волновое число Bk находит- ся из решения задачи на собственные значения матрицы ( )TMM и определяется следующим вы- ражением: ( ) ( ) ( ) . 2 cos 2211 TMTM B MM dk + = (14) Из уравнений (7) и (8) связь между ком- понентами электрического и магнитного полей в фотонном кристалле на границе 0=z находим в двух эквивалентных видах: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ;0 exp 0 12 22 y TM B TM x H M dikM E −− = (15) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).0 exp 0 11 21 y B TM TM x H dikM M E −− = (16) Дисперсионное уравнение поверхност- ных электромагнитных волн, распространяющих- ся вдоль границы раздела сред ,0=z может быть получено из условий непрерывности тангенци- альных компонент электрического и магнитного полей на этой границе. Воспользовавшись выра- жениями (3), (4) и (15), (16), получим диспер- сионное уравнение ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).1221 2211 TM p pzTM pz p TMTM M ck M ck MM ωωε ωωε −= =− (17) Для тангенциальных компонент поля в первом и втором слоях n-й ячейки фотонного кристалла (где ...3 ,2 ,1=n ) с учетом выше ука- занного условия периодичности электромагнит- ных полей получаем следующие выражения: ( ) ( ) ( )[ ]{ }( ( ) ( )[ ]{ }) ( )[ ];1exp1exp 1exp 1 1 2 1 1 11 dnikdnzikA dnzikAH Bz z n y −−−−+ +−−= (18) ( ) ( ) ( )[ ]{ }( ( ) ( )[ ]{ }) ( )[ ];1exp1exp 1exp 1 1 2 1 1 1 1 1 1 dnikdnzikA dnzikAckE Bz z zn x −−−−− −−−= ωε (19) ( ) ( ) ( )[ ]{ }( ( ) ( )[ ]{ }) ( )[ ];1exp 1exp 1exp 12 1 2 12 1 12 dnik dndzikB dndzikBH B z z n y −× ×−−−−+ +−−−= (20) ( ) ( ) ( )[ ]{ }( ( ) ( )[ ]{ }) ( )[ ].1exp 1exp 1exp 12 1 2 12 1 1 2 2 2 dnik dndzikB dndzikBckE B z z zn x −× ×−−−−− −−−−= ωε (21) Ю. О. Аверков и др. / Зависимость частот поверхностных… _________________________________________________________________________________________________________________ 43 Для того чтобы найти распределения по- лей в фотонном кристалле, необходимо найти амплитуды парциальных волн ( ) ( )2 1 1 1 , AA и ( ) ( )2 1 1 1 , BB , выразив их через амплитуду 0A поля в плазмоподобной среде. Подставив (3), (4) и (18), (19) в граничные условия ( ) ( ) ( ),00 1 1ypy HH = ( ) ( )( ),00 1 1xpx EE = (22) получим ( ) ( ) ,1 2 1 0 1 1 AaA p+= ( ) ( ) ,1 2 1 0 1 2 AaA p−= (23) где ( ) . 1 1 zp pz p k k a ωε ε = Из условий непрерывности компонент yH и xE на границе 1dz = находим ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )];exp1 exp1 2 1 11 1 2 1 11 1 1 11 1 dikAa dikAaB z z −−+ ++= − − (24) ( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )],exp1 exp1 2 1 11 1 2 1 11 1 1 11 2 dikAa dikAaB z z −++ +−= − − (25) где . 12 21 z z k k a ε ε = Подставив (23)−(25) в (18)−(21), оконча- тельно получаем: ( ) [ ] ( );expsincos 1101 Bp n y iiaAH ϕψψ += (26) ( ) [ ] ( );expsincos 11 1 1 01 Bp zn x iiackAE ϕψψ ωε += (27) ( ) ( ) ;exp cossin1sincos sinsin1coscos 1212 121202 B p n y i a ia a AH ϕ ϕψϕψ ϕψϕψ × ×⎥ ⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ++ ⎢⎣ ⎡ +−= (28) ___________________________________________ ( ) ( ),expcossinsincos1sinsincoscos1 12121212 2 2 02 Bp zn x i a i a ackAE ϕϕψϕψϕψϕψ ωε ×⎥⎦ ⎤ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +⎢⎣ ⎡ +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ −= (29) ___________________________________________ где ( )[ ];111 dnzkz −−=ψ (30) ( )[ ];1122 dndzkz −−−=ψ (31) ,jzjj dk=ϕ ;2 ,1=j (32) ( ) .1 dnkBB −=ϕ (33) В разд. 2 мы приведем распределения электромагнитных полей в фотонном кристалле для наиболее интересных случаев. 2. ПЭС в фотонных кристаллах. Рас- смотрим ПЭС в фотонных кристаллах, возни- кающие при условии .0=xk В этом случае раз- личие между TM- и TE-поляризациями исчезает и ПЭС являются вырожденными по поляризации [3]. Вначале мы исследуем зависимость час- тоты ПЭС от толщин диэлектрических слоев в том случае, когда lddd == 21 , 56,41 =ε (кварц) и 04,22 =ε (тефлон). На рис. 2 приведены зависи- мости безразмерной частоты ПЭС pωω от без- размерной толщины диэлектрических слоев cd plω , полученные в результате численного ре- шения дисперсионного уравнения (17) при .0=xk Это дисперсионное уравнение можно за- писать в виде ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).00 00 1221 2211 TM p TM p TMTM MiMi MM ωε ωε − −−−= =− (34) Штриховые кривые на рис. 2 определяют границы запрещенных зон фотонного кристалла. Сплошные кривые соответствуют зависимос- тям ( )ldω . Цифры возле кривых соответствуют номеру ПЭС. Отметим, что ПЭС могут существовать при частотах меньших плазменной pω ( 1<pωω ). 1 2 3 4 5 1 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 dlωp /c ω /ω p 2 3 4 Рис. 2. Зависимости частоты ПЭС от толщины диэлектриче- ских слоев dl (кривые 1−4) при ε1 = 4,56, ε2 = 2,04 Из рис. 2 видно, что с уменьшением тол- щин диэлектрических слоев ПЭС становятся де- локализованными. При этом кривые 1−4 оканчи- ваются на границах запрещенных зон. Точкам де- локализации соответствуют полые кружки на Ю. О. Аверков и др. / Зависимость частот поверхностных… _________________________________________________________________________________________________________________ 44 рис. 2. Таким образом, ПЭС в фотонных кристал- лах существуют только в том случае, когда тол- щины диэлектрических слоев превышают некото- рое минимальное значение. С увеличением тол- щины диэлектрических слоев увеличивается число ПЭС, причем их частоты уменьшаются. Первая запрещенная зона на рис. 2, т. е. зона, содержа- щая кривую 1, является π-зоной, так как в этой зоне ( ) π=dkBRe [17]. Вторая запрещенная зона является 0-зоной, так как в этой зоне ( ) .0Re =dkB Далее имеет место последовательное чередование π- и 0-запрещенных зон. На рис. 3 показано распределение элект- рического (кривая 1) и магнитного (кривая 2) по- лей в фотонном кристалле для первого ПЭС (кри- вая 1 на рис. 2) при pωω 17,0≈ и .5 pl cd ω= 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 E x, H y z/d 0,5 0,0 1,0 – 0,5 1 2 – Рис. 3. Распределения электрического (кривая 1) и магнит- ного (кривая 2) полей вблизи границы z = 0 для ПЭС в первой запрещенной зоне с dl = 5c/ωp Из этого рисунка видно, что электромаг- нитные поля являются осциллирующими и экс- поненциально убывающими при удалении от гра- ницы фотонного кристалла; в пределах одной элементарной ячейки находится один экстремум напряженности электрического поля, располо- женный в слое с большей диэлектрической про- ницаемостью. Положение экстремума напряжен- ности магнитного поля совпадает с нулем напря- женности электрического поля, что свидетельст- вует о равенстве нулю средней по времени плот- ности потока энергии в направлении нормали к структуре [6]. Отметим, что с увеличением номе- ра ПЭС растет число экстремумов напряженно- стей электрического и магнитного полей в преде- лах одной элементарной ячейки. При этом число экстремумов напряженности электрического поля в слое с большей диэлектрической проницаемо- стью превышает число экстремумов напряженно- сти электрического поля в слое с меньшей ди- электрической проницаемостью. Рассмотрим теперь зависимости частоты первого ПЭС от толщины второго диэлектрическо- го слоя 2d для ряда фиксированных значений .1d Эти зависимости приведены на рис. 4 при ,56,41 =ε .04,22 =ε Кривой 1 соответствует значение ,5,01 pcd ω= кривой 2 − ,1 pcd ω= кривой 3 − .21 pcd ω= Можно видеть, что с ростом 2d час- тоты ПЭС уменьшаются, а кривые ( )2dω сгуща- ются. Видно также, что с уменьшением 2d ПЭС делокализуются. Мы также исследовали зависи- мости ( )1dω при заданном значении .2d Эти кривые качественно соответствуют зависимо- стям, приведенным на рис. 4, поэтому в данной работе мы их не приводим. 0 2 4 6 8 10 d2 / d1 ω /ω p 2 1 3 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рис. 4. Зависимости частоты ПЭС от толщины d2 при ε1 = 4,56, ε2 = 2,04 для ряда значений d1 Наиболее интересным случаем, с нашей точки зрения, является исследование ПЭС при изменении соотношения между толщинами слоев 12 dd=η при фиксированном размере элемен- тарной ячейки фотонного кристалла. На рис. 5 показаны зависимости ( )ηω при .4 pcd ω= Цифры возле кривых соответствуют номе- рам ПЭС. Каждая кривая начинается на границе соответствующей запрещенной зоны. Частоты пер- вого и второго ПЭС увеличиваются с ростом .η При этом существуют минимальные значения параметра ,η начиная с которых возникают ПЭС. Отметим, что второе ПЭС обладает интересной особенностью: оно существует только в ограни- ченном диапазоне значений .η Верхняя граница области существования второго ПЭС находится в точке пересечения границ запрещенных зон при .5,1≈η Таким образом, при одном и том же зна- чении периода фотонного кристалла могут суще- ствовать как одно, так и два ПЭС в зависимости от соотношения толщин диэлектрических слоев. Ю. О. Аверков и др. / Зависимость частот поверхностных… _________________________________________________________________________________________________________________ 45 0 2 4 6 8 10 η ω /ω p 0,4 0,6 0,8 1,0 1 2 Рис. 5. Зависимости частоты ПЭС от соотношения толщин диэлектрических слоев η = d2 /d1 при неизменном периоде d = 4c/ωp для ε1 = 4,56, ε2 = 2,04 Мы обнаружили, что частоты ПЭС суще- ственно зависят от порядка чередования диэлект- рических слоев в элементарной ячейке фотонного кристалла. Так, например, при изменении поряд- ка чередования кварца и тефлона в элементарной ячейке ( ,04,21 =ε 56,42 =ε ) зависимости ( )ldω при 21 dddl == изменяются. Соответствующие зависимости приведены на рис. 6 сплошными кривыми 1−4. 1 2 3 4 ω /ω p dlωp /c 1 2 3 4 0,9 0,95 1,00 Рис. 6. Зависимости частоты ПЭС от толщины диэлектриче- ских слоев dl при ε1 = 2,04, ε2 = 4,56 Из рис. 6 видно, что зависимости ( )ldω для всех приведенных ПЭС начинаются на линии pωω = и оканчиваются на границах соответст- вующих запрещенных зон. Кривая 1 оканчивается при pωω 96,0≈ , кривая 2 − при ,6,0 pωω ≈ кри- вая 3 − при ,99,0 pωω ≈ кривая 4 − .86,0 pωω ≈ Видно, что бόльшая часть ПЭС в рассматриваемом случае существуют при частотах, близких к .pω Это качественно отличается от соответствующих зависимостей, показанных на рис. 2: при ,56,41 =ε 04,22 =ε могут существовать при час- тотах, много меньших .pω Это означает, что по- ля этих состояний более локализованы в области плазмоподобной среды, чем соответствующие состояния при ,04,21 =ε .56,42 =ε На рис. 7 приведены зависимости часто- ты ПЭС от соотношения толщин диэлектриче- ских слоев величин 12 dd=η при неизменном периоде d для ,04,21 =ε .56,42 =ε 1,0 η ω /ω p 1 2 3 1,0 0,8 0,6 0,4 0,0 0,5 1,5 2,0 Рис. 7. Зависимости частоты ПЭС от η = d2 /d1 для ε1 = 4,56, ε2 = 2,04 Кривая 1 соответствует первому ПЭС, а кривые 2 и 3 − второму ПЭС. Кривая 1 имеет точ- ки начала и окончания на границе запрещенной зоны. Кривая 2 начинается в точке пересечения границ запрещенных зон и оканчивается на гра- нице запрещенной зоны. Кривая 3 имеет точки начала и окончания на границе запрещенной зоны. Из рис. 7 видно, что в случае ,04,21 =ε 56,42 =ε ни при каком значении 2≤η не возможно суще- ствование двух ПЭС. Численный расчет показы- вает, что за точкой окончания кривой 2 при 7,1≈η вплоть до 10=η ПЭС отсутствуют. Это качественно отличается от поведения соот- ветствующих зависимостей на рис. 5. Следова- тельно, при фиксированном значении периода фотонного кристалла от порядка чередования диэлектрических слоев зависят не только частоты ПЭС как таковые, но и число самих состояний. Во многих приложениях кремниевой на- нофотоники широко применяются структуры типа металл−SiO2−Si [14]. В этой связи рассмотрим за- висимости частот ПЭС от соотношения толщин слоев η для структуры металл−фотонный кри- сталл, слоями которого являются SiO2 ( 9,31 =ε ) и Si ( 9,112 =ε ). На рис. 8 номера кривых соответст- вуют номерам ПЭС. Видно, что в такой структуре могут су- ществовать высокочастотные ПЭС, частоты кото- Ю. О. Аверков и др. / Зависимость частот поверхностных… _________________________________________________________________________________________________________________ 46 рых лежат вблизи плазменной частоты. При этом толщины слоев SiO2 много меньше толщин слоев Si (см. кривую 4, рис. 8). Такое соотношение толщин слоев SiO2 и Si соответствует реальным структурам кремниевой нанофотоники [14]. Интересно отметить, что ПЭС могут существо- вать и при обратном соотношении толщин 12 dd << , т. е. при сколь угодно малых толщинах Si при заданном значении d (см. кривые 1 и 2). 0 4 8 12 16 20 η ω /ω p 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1 2 3 4 Рис. 8. Зависимости частоты ПЭС от η = d2 /d1 для ε1 = 3,9, ε2 = 11,9 при d = 210 нм На рис. 9 приведены зависимости частот ПЭС от соотношения толщин слоев для структу- ры металл−фотонный кристалл с 9,111 =ε , 9,32 =ε . Кривая 1 соответствует первому ПЭС, кривые 2 и 3 − второму, а кривая 4 − третьему состоянию. 0 4 8 12 16 20 η ω /ω p 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1 2 3 4 Рис. 9. Зависимости частоты ПЭС от η = d2 /d1 для ε1 = 11,9, ε2 = 3,9 при d = 210 нм Видно, что наименьшее значение ,η при котором могут существовать ПЭС, приблизи- тельно равно 6,0≈η . Это значит, что при таком расположении слоев ПЭС могут возникать лишь тогда, когда толщины слоев SiO2 больше или по- рядка толщин слоев Si. Выводы. Теоретически исследованы ПЭС, возникающие на границе плазмоподобной среды и фотонного кристалла, образованного пе- риодически чередующимися слоями двух различ- ных немагнитных диэлектриков. Проведено под- робное численное исследование аналитического выражения, связывающего частоты ПЭС с пара- метрами плазмоподобной среды и фотонного кристалла, с учетом частотной дисперсии плазмо- подобной среды. Показано, что при определен- ных конфигурациях элементарной ячейки фотон- ного кристалла могут существовать несколько ПЭС, различающихся частотами и степенью ло- кализации электромагнитного поля в граничащих средах. Построены распределения полей ПЭС. Найдено, что при фиксированном размере эле- ментарной ячейки фотонного кристалла может существовать различное число ПЭС в зависимо- сти от соотношения толщин диэлектрических слоев. Показано, что число ПЭС существенно зависит также и от порядка чередования диэлект- рических слоев в фотонном кристалле. Установ- лено, что ПЭС на частотах, много меньших плаз- менной, могут существовать, если с плазмопо- добной средой граничит диэлектрик с бόльшим значением диэлектрической проницаемости. Исследованы зависимости частот ПЭС в структу- рах типа металл−фотонный кристалл со слоями SiO2 и Si от соотношения толщин слоев. Полу- ченные спектральные зависимости могут быть использованы для создания элементной базы микро-, нано- и оптоэлектроники. Кроме того, исследованные нами явления могут быть исполь- зованы для бесконтактной диагностики парамет- ров граничащих сред. 1. Surface state peculiarities in one-dimensional photonic crystal interfaces / A. P. Vinogradov, A. V. Dorofeenko, S. G. Ero- khin et al. // Phys. Rev. B. – 2006. – 74, N 4. – P. 045128. 2. Optical Tamm States in One-Dimensional Magnetophotonic Structures / T. Goto, A. V. Dorofeenko, A. M. Merzlikin et al. // Phys. Rev. Lett. – 2008. – 101, N 11. – P. 113902. 3. Поверхностные состояния в фотонных кристаллах / А. П. Виноградов, А. В. Дорофеенко, А. М. Мерзликин, А. А. Лисянский // Успехи физ. наук. – 2010. – 180, вып. 3. – С. 249−263. 4. The mmW band Tamm states in one-dimensional magneto- photonic crystals / S. I. Tarapov, M. K. Khodzitskiy, S. V. Chernovtsev et al. // Solid State Phenomena. – 2009. – 152−153. – P. 394−396. 5. Bass F. G. High-frequency phenomena in semiconductor superlattices / F. G. Bass, A. P. Tetervov // Phys. Rep. – 1986. – 140, N 5. – P. 237−322. 6. Tamm plasmon-polaritons: Possible electromagnetic states at the interface of a metal and a dielectric Bragg mirror / M. Kaliteevski, I. Iorsh, S. Brand et al. // Phys. Rev. B. – 2007. – 76, N 16. – P. 165415. 7. Tamm plasmon polaritons: Slow and spatially compact light / M. E. Sasin, R. P. Seisyan, M. A. Kaliteevski et al. // Appl. Phys. Lett. – 2008. – 92, N 25. – P. 251112. 8. Tamm plasmon-polaritons: First experimental observation / M. E. Sasin, R. P. Seisyan, M. A. Kaliteevski et al. // Super- lattices and Microstructures. – 2010. – 47. – P. 44−49. Ю. О. Аверков и др. / Зависимость частот поверхностных… _________________________________________________________________________________________________________________ 47 9. Belozorov D. P. Tamm states in magnetophotonic crystals and permittivity of the wire medium / D. P. Belozorov, M. K. Khodzitsky, S. I. Tarapov // J. Phys. D. – 2009. – 42, N 5. – P. 055003. 10. Yariv A. Photonics: Optical Electronics in Modern Communi- cations / A. Yariv, P. Yeh. – 6th ed. – New York: Oxford Uni- versity Press, 2007. – 836 p. 11. Malkova N. Shockley and Tamm surface states in photonic crystals / N. Malkova, C. Z. Ning // Phys. Rev. B. – 2006. – 73, N 11. – P. 113113. 12. Malkova N. Interplay between Tamm-like and Shockley-like surface states in photonic crystals / N. Malkova, C. Z. Ning // Phys. Rev. B. – 2007. – 76, N 4. – P. 045305. 13. Klos J. Conditions of Tamm and Shockley state existence in chains of resonant cavities in a photonic crystal / J. Klos // Phys. Rev. B. – 2007. – 76, N 16. – P. 165125. 14. Silicon Photonics / Eds: L. Pavesi and D. J. Lockwood. – Berlin: Springer, 2004. – 414 p. 15. Yeh P. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. I. General theory / P. Yeh, A. Yariv, Chi-Shain Hong // J. Opt. Soc. Am. – 1977. – 67, N 4. – P. 423−438. 16. Басс Ф. Г. Высокочастотные свойства полупроводников со сверхрешеткой / Ф. Г. Басс, А. А. Булгаков, А. П. Те- тервов. – М.: Наука, 1989. – 288 с. 17. Булгаков А. А. Поверхностные электромагнитные волны на границе раздела двух диэлектрических сверхрешеток / А. А. Булгаков, А. В. Мериуц, Е. А. Ольховский // Журн. техн. физики. – 2004. – 74, вып. 10. – C. 103−107. Yu. O. Averkov, N. N. Beletskii, V. M. Yakovenko DEPENDENCE OF FREQUENCIES OF THE SURFACE ELECTROMAGNETIC STATES IN PHOTONIC CRYSTALS ON PARAMETERS OF DUOBLE-LAYERED DIELECTRIC ELEMENTARY CELL In this paper, we present the theoretical analysis of sur- face electromagnetic states (SES) at the interface between a pho- tonic crystal and a plasma-like medium. It was assumed that an elementary cell of the photonic crystal is composed of two differ- ent non-magnetic dielectrics. The change of frequencies of SES with the configuration of the elementary cell has been studied. We have shown that at certain parameters of the elementary cell a number of SES can exist. These states differ in frequencies and their electromagnetic field localization in the photonic crystal and in the plasma-like medium. The possibility of existence of SES in metal-photonic crystal structures with layers of SiO2 and Si has been demonstrated. These structures are widely used for up-to-date applications of silicon nanophotonics. Key words: photonic crystal, plasma-like medium, surface electromagnetic state, propagation matrix, Bloch wave number. Ю. О. Аверков, М. М. Білецький, В. М. Яковенко ЗАЛЕЖНІСТЬ ЧАСТОТ ПОВЕРХНЕВИХ ЕЛЕКТРОМАГНІТНИХ СТАНІВ У ФОТОННИХ КРИСТАЛАХ ВІД ПАРАМЕТРІВ ДВОШАРОВОЇ ДІЕЛЕКТРИЧНОЇ ЕЛЕМЕНТАРНОЇ КОМІРКИ Теоретично досліджено поверхневі електромагнітні стани (ПЕС) на межі розділу фотонного кристала і плазмо- подібного середовища. Передбачалося, що елементарна комір- ка фотонного кристала складається з двох різних немагніт- них діелектриків. Вивчено зміну частот ПЕС при зміні конфі- гурації елементарної комірки фотонного кристала. Показано, що при певних параметрах елементарної комірки фотонного кристала можуть існувати декілька поверхневих ПЕС, що розрізняються частотами і ступенем локалізації електромагніт- ного поля у фотонному кристалі та плазмоподібному середо- вищі. Продемонстровано можливість існування ПЕС у струк- турах типу метал-фотонний кристал із шарами SiO2 і Si, які широко застосовуються в приладах кремнієвої нанофотоніки. Ключові слова: фотонний кристал, плазмоподібне середовище, поверхневий електромагнітний стан, матриця розповсюдження, блохівське хвильове число. Рукопись поступила 11.01.11 г.

Зависимость частот поверхностных электромагнитных состояний в фотонных кристаллах от параметров двухслойной диэлектрической элементарной ячейки

Institution

Ähnliche Einträge