Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів
Існуючі методи дослідження нечіткої стійкості базуються на близькості розподілів, що погано відповідає дійсності. В статтізапропоновані оригінальні визначення нечіткої стійкості в теорії можливостей Питьєва. Одержані конструктивні умовистійкості нечіткого гібридного автомата з лінійною правою частин...
Збережено в:
| Дата: | 2007 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України
2007
|
| Теми: | |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/784 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів / Меркур’єв М.Г. // Математичні машини і системи. – 2007. – № 3, 4. – С. 176 – 184. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-784 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-7842008-07-02T12:00:30Z Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів Меркур’єв, М.Г. Моделювання і управління великими системами Існуючі методи дослідження нечіткої стійкості базуються на близькості розподілів, що погано відповідає дійсності. В статтізапропоновані оригінальні визначення нечіткої стійкості в теорії можливостей Питьєва. Одержані конструктивні умовистійкості нечіткого гібридного автомата з лінійною правою частиною. Бібліогр.: 5 назв. Существующие методы исследования нечёткой устойчивости основаны на близости распределений, что плохо отвечаетдействительности. В статье предложены оригинальные определения нечёткой устойчивости в теории возможностейПытьева. Получены конструктивные условия устойчивости нечёткого гибридного автомата с линейной правой частью.Библиогр.: 5 назв. Existing methods of investigation of fuzzy stability are based on proximity of distributions, that doesn’t correspond to reality well. The paper proposes original definitions of fuzzy stability in Pytyev’s theory of possibilities. Constructive conditions for stability of fuzzy hybrid automaton with linear right-hand part are obtained. Refs.: 5 titles. 2007 Article Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів / Меркур’єв М.Г. // Математичні машини і системи. – 2007. – № 3, 4. – С. 176 – 184. 1028-9763 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/784 517.925 uk Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| topic |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами |
| spellingShingle |
Моделювання і управління великими системами Моделювання і управління великими системами Меркур’єв, М.Г. Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів |
| description |
Існуючі методи дослідження нечіткої стійкості базуються на близькості розподілів, що погано відповідає дійсності. В статтізапропоновані оригінальні визначення нечіткої стійкості в теорії можливостей Питьєва. Одержані конструктивні умовистійкості нечіткого гібридного автомата з лінійною правою частиною. Бібліогр.: 5 назв. |
| format |
Article |
| author |
Меркур’єв, М.Г. |
| author_facet |
Меркур’єв, М.Г. |
| author_sort |
Меркур’єв, М.Г. |
| title |
Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів |
| title_short |
Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів |
| title_full |
Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів |
| title_fullStr |
Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів |
| title_full_unstemmed |
Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів |
| title_sort |
достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів |
| publisher |
Інститут проблем математичних машин і систем НАН України |
| publishDate |
2007 |
| topic_facet |
Моделювання і управління великими системами |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/784 |
| citation_txt |
Достатні умови стійкості лінійних нечітких гібридних автоматів / Меркур’єв М.Г. // Математичні машини і системи. – 2007. – № 3, 4. – С. 176 – 184. |
| work_keys_str_mv |
AT merkurêvmg dostatníumovistíjkostílíníjnihnečítkihgíbridnihavtomatív |
| first_indexed |
2025-07-02T04:25:35Z |
| last_indexed |
2025-07-02T04:25:35Z |
| _version_ |
1836507816256339968 |
| fulltext |
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
176
УДК 517.925
M.Г. МЕРКУР’ЄВ
ДОСТАТНІ УМОВИ СТІЙКОСТІ ЛІНІЙНИХ НЕЧІТКИХ ГІБРИДНИХ АВТОМАТІВ
Abstract: Existing methods of investigation of fuzzy stability are based on proximity of distributions, that
doesn’t correspond to reality well. The paper proposes original definitions of fuzzy stability in Pytyev’s theory of
possibilities. Constructive conditions for stability of fuzzy hybrid automaton with linear right-hand part are obtained.
Key words: fuzzy hybrid automation, theory of possibilities, Liapunov function.
Анотація: Існуючі методи дослідження нечіткої стійкості базуються на близькості розподілів, що погано
відповідає дійсності. В статті запропоновані оригінальні визначення нечіткої стійкості в теорії
можливостей Питьєва. Одержані конструктивні умови стійкості нечіткого гібридного автомата з
лінійною правою частиною.
Ключові слова: гібридний автомат, теорія можливостей, функція Ляпунова.
Аннотация: Существующие методы исследования нечёткой устойчивости основаны на близости
распределений, что плохо отвечает действительности. В статье предложены оригинальные
определения нечёткой устойчивости в теории возможностей Пытьева. Получены конструктивные
условия устойчивости нечёткого гибридного автомата с линейной правой частью.
Ключевые слова: гибридный автомат, теория возможностей, функция Ляпунова.
1. Вступ
Теорія нечітких множин та нечітка динаміка широко використовуються для опису процесів, в яких
вхідні дані відомі з похибкою, і ця похибка не має статистичного розподілу. Наприклад, дана теорія
придатна для опису соціальних явищ, катастроф, захворювань, обробки експертних даних та інших
процесів, в яких об’єкт дослідження існує в єдиному екземплярі і статистику зібрати неможливо. Але
традиційний підхід до нечіткої динаміки має свої вади.
В [1] стійкість тривіального розв’язку 0=y нечіткої динамічної системи розглядається як
ε<α
∈α
})0{,)](([sup
]1,0[
tyH при δ<)( 0ty , де ),( BAH – відстань Хаусдорфа між двома непорожніми
множинами. Тобто, під “стійкістю” розуміється мала різниця між α -зрізами незбуреної та збуреної
динамічної системи, але таке означення погано відповідає дійсності. Як контрприклад розглянемо
дві невзаємодіючі нечіткі величини з одним і тим же розподілом. Подібне означення вважає такі
величини ідентичними, хоча при реальному випробуванні різниця між ними може бути великою, а
традиційна нечітка теорія Заде малопридатна для роботи з такими питаннями.
У даній роботі пропонується підхід, що базується на теорії можливостей Питьєва. Теорія
можливостей описана в роботах [2], [3]. Використовуються нечіткі диференціальні рівняння, введені
в роботі [4].
2. Нечіткі динамічні системи
Сформулюємо основні означення з теорії нечітких динамічних систем, які нам знадобляться для
подальшого викладення матеріалу. Нехай заданий PN-простір ),),(,( NPXX β і скінченновимірний
простір nRY = [3].
Означення 1. Множиною αX , де 10 ≤α< , назвемо сукупність }})({:{ α≥∈ xPXx .
Вважатимемо, що множина 1X непорожня.
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
177
Означення 2. Нечіткою динамічною системою ),,( 0 xtyy зветься відображення
YXRYy →×× +: , для якого 000 ),,( yxtyy = .
Означення 3. Пучком зветься відображення YXRxty →×+:),( , для якого 00 ),( yxty = .
Зокрема, нечітка динамічна система, якщо зафіксувати 0y , стає пучком.
Пучок будемо називати виродженим, якщо для всіх 0Xx ∈ він стягується в один розв’язок,
тобто ),(),,( 00 tyyxtyy = .
Надалі будемо позначати через y фіксовані величини.
Означення 4. Нехай задано нечітку динамічну систему ),,( 0 xtyy . Якщо для кожного
1Xx∈ )(),,( 0 tyxtyy = , функція )(ty зветься модальним розв’язком.
Означення 5. Пучок ),,( 0 xtyy нечіткої динамічної системи ),,( 0 xtyy зветься стійким з
рівнем 10 <α≤ , якщо для всіх Xx ∈ , для яких α>})({xP , для будь-якого 0>ε існує 0)( >εδ
таке, що з δ<− 00 yy випливає ε<− ),,(),,( 00 xtyyxtyy .
Якщо пучок стійкий з рівнем α , то він, очевидно, також стійкий з рівнем α>α1 . Таким
чином, множина тих α , для яких пучок стійкий, є відрізком )1,( 0α – замкненим або незамкненим з
лівого краю. Про число 0α будемо казати “стійкий з точним рівнем 0α ”. Стійкість з рівнем 0 будемо
також називати стійкістю з необхідністю 1.
Означення 6. Розв’язок ),,( 0 xtyy нечіткої динамічної системи ),,( 0 xtyy зветься слабко
стійким, якщо для будь-якого 0>ε існують 0)( >εδ , 1)( <εα такі, що при δ<− 00 yy , α∈ Xx
виконується ε<− ),,(),,( 00 xtyyxtyy .
Процес нечіткого блукання ),( xtw диференційований майже скрізь для будь-якого 0Xx ∈ .
Доведемо цей факт.
Лема 1. 0x X∀ ∈ траєкторія ),( xtw майже скрізь диференційована.
Доведення. З властивостей процесу нечіткого блукання маємо
{ } { }{ }=−≥=−=−≥− 21212121 :),(),(sup),(),( ttCaaxtwxtwPttCxtwxtwP
Ξλϕ=
−
−Ξλϕ≤
−≥
−
Ξ
ϕ= −
−
−
22
12
min2
21
2
21
22
12
min
212
21
2
2
1
)(
)(
)()(
:
)(
sup C
tt
ttC
ttCa
tt
a
.
Звідси випливає, що
{ }
Ξλϕ≤−≥−≠∃ − 22
12
min212121 )(),(),(: CttCxtwxtwttP .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
178
Тому для будь-якого )1,0(∈α існує константа 0)( >αL така, що для будь-яких α∈ Xx ,
Rtt ∈21, виконується умова Ліпшица: 2121 )(),(),( ttLxtwxtw −α<− . За теоремою Радемахера
функція ),( xtw майже скрізь диференційована. Лему доведено.
Функція ),( xtw& визначена не в кожній точці Rt ∈ , але її можна продовжити до нечіткого
процесу, визначеного для кожного 0Xx ∈ , Rt ∈ , рівномірно обмеженого на кожній із множин
α× XR , ]1,0(∈α .
Тому похідна диференційованої функції Ляпунова )(yV в кожному із станів Qq ∈ в силу
системи
∫∫ +=
t
t
t
t
xsdwxsyhdssygty
00
),()),(())(()( (1)
майже скрізь дорівнює
[ ]),()),(())((
)()(
)(| xtwxtyhtyg
dy
ydV
dt
ydV
yV gh && +== . (2)
3. Стійкість нечіткого лінійного гібридного автомата
Побудуємо достатні умови стійкості стаціонарних станів нечітких лінійних гібридних автоматів. В [5]
наведено означення чіткого гібридного автомата.
Дамо означення нечіткого гібридного автомата.
Означення 7. Гібридним автоматом з нечіткою правою частиною та чітким переключенням
зветься сукупність ),,,,,,( JumpInvInithgYQHA = ,
де },...,2,1{ NQ = – множина дискретних станів;
nRY = – множина неперервних станів;
YYQhg →×:, – права частина системи (1) для кожного локального стану. Позначимо
),()( yqgygq = , ),()( yqhyhq = ;
YQInv ×⊆ – множина незмінності дискретного стану;
InvInit ⊆ – множина можливих початкових даних;
)(: YQYQJump ×β→× – механізм переключення з одного локального стану в інший.
Скороченою частиною гібридного автомата ),,,,,,( JumpInvInithgYQHA = назвемо
гібридний автомат ),,,,,( JumpInvInitgYQ .
Позначимо
21
| qqy → всі y , на яких гібридний автомат переключається із стану 1q у 2q .
Припустимо, що заданий набір функцій типу Ляпунова qV , Qq ∈ . Для скороченої частини будуємо
послідовність
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
179
,),(max),(max),,0( 23
1)2(2
32
2
212
0)1(1
21
1
10
KyVcyVcCc
cyV
y
cyV
y
=
→
=
→
==∈ )(max 1
1)(
1
N
NcNyNV
N
Ny
N yVc
−=
→
= .
Гібридною функцією Ляпунова зветься такий набір функцій )( yV q , для якого 0)(| ≤yV
qgq .
Спершу розглянемо такі гібридні автомати ),,,,,,( JumpInvInithgYQHA = , для яких
виконуються умови:
1. Для кожного стану Qq ∈ права частина має вигляд yAyg qq =)( , yByh qq =)( , де qA та
qB – матриці nn× .
2. Інваріантна множина кожного стану міститься в піраміді 0≥xGq , де матриця qG має
розмірність nmq × .
3. Переключення циклічне ( 1...21 →→→→ N ) на гіперплощині zUy q= , де 1−∈ nRz ,
qU – матрица )1( −× nn , при цьому { }),1)mod((),( yNqyqJump += для zUy q= , а для інших y
∅=),( yqJump .
Назвемо такі гібридні автомати лінійними гібридними автоматами першого типу.
Теорема 1. Нехай заданий нечіткий лінійний ГА ),,,,,,( JumpInvInithgYQHA = . Якщо для
скороченого ГА ),,,,,( JumpInvInitgYQAH =′ існують додатно визначені симетричні матриці qH
розміру nn× , де Qq ∈ , такі, що:
1. 0)(max
1
0
<+=
=
≥
yAHHAyd qqq
T
q
T
yTy
yqG
q . (3)
2. Для кожного переключення rNqq =+→ 1)mod( матриця qqr
T
q UHHU )( − від’ємно
напіввизначена, тоді 0=y – слабко стійкий розв’язок гібридного автомата HA з параметрами
стійкості
λ⋅
⋅Ξλϕ>α −
22
min
2
1
max
)(minmax
)(
b
Had q
q
q
q
,
)(max
)(min
max
min
q
q
q
q
H
H
λ
λ
⋅ε=δ .
Доведення. Візьмемо будь-яке 0>ε .Покладемо 0)( >= yHyyV q
T
q . За умов 0≠y ,
0≥yGq та (3) виконується
2
max)()(| ydyAHHAyyV q
q
qqq
T
q
T
g
q ⋅≤+=& .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
180
Покладемо )}0(})(:{:max{ ε⊆′≤′= BayVyaa q ,
{ }})(:{)0(:max ayVyB q ≤⊆δ′=δ δ′ , де
)(yBr – замкнена куля радіуса r . Тоді δ і a можна оцінити як )(min min q
q
Ha λ⋅ε≥ ,
)(max
)(min
max
min
q
q
q
q
H
H
λ
λ
⋅ε≥δ .
Покажемо, що траєкторія може покинути область })(,:{ ayVInvyy qq ≤∈ лише через одну
з поверхонь ayVq =)( , а не через площину переключення. Отже, розглянемо поведінку скороченої
системи на переключенні rNqq =+→ 1)mod( .
0)()()()( ≤−=−=− zUHHUzyHHyyVyV qqr
T
q
T
qr
Tqr .
Таким чином, при переключенні траєкторія залишиться в області })(,:{ ayVInvyy qq ≤∈ .
Покажемо, що через границю ayVq =)( також залишити область неможливо.
Покладемо
2
min )(minmax)(
λ⋅=ψ q
q
q
q
Hada . За таких умов
)()(|)(| ayAHHAyyV qqq
T
q
T
ayg
q ψ≤+==
& .
Візьмемо
λ
ψ−
⋅Ξλϕ>α −
2
max
2
1
max )(
)()1(
)(
B
ak
. За цих обмежень на кожній з поверхонь
ayV q =)( маємо
)(
)()1(
),(
max B
ak
xtw
λ
ψ−
<& і ),(sup)1(),(| xtwMkyV
Xx
g
q &&
α∈
+−<⋅ . Оскільки g
qV |& –
неперервна функція, то для кожного qInvy ∈ такого, що ayV q =)( та ),(sup xtwkM
Xx
&
α∈
=ε існує
0>δ y таке, що в yδ -околі точки y [ ] 0),(| <⋅
α
yV gh
q& . Візьмемо U
y
y
q yBD )(δ= і отримуємо: в
усій області qD [ ] 0),(| <⋅
α
yV gh
q& . Щоб вийти назовні через поверхню ayV q =)( , траєкторія
повинна перетнути qD .
Якщо припустити, що траєкторія увійде в qD в момент часу 1t і вийде назовні кривої
ayV q =)( в момент 2t , одержуємо
)()),((|)()( 1
2
1
12 tVdtxtyVtVtV q
t
t
gh
qqq <+= ∫ & .
Отримуємо суперечність, оскільки очевидно, що atV q =)( 2 , а atV q <)( 1 , що суперечить
)()( 12 tVtV qq < . Таким чином, при α∈ Xx траєкторія системи не може покинути область
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
181
})(,:{ ayVInvyy qq ≤∈ ні через границю ayVq =)( , ні через поверхню переключення. Оскільки ця
область лежить в кулі )0(εB , то виконується означення слабкої стійкості.
Теорему доведено.
Розглянемо інший тип нечітких гібридних автоматів, а саме:
1. Для кожного стану Qq ∈ права частина має вигляд yAyg qq =)( , yByh qq =)( , де qA та
qB – матриці nn× , ),( xtw – одновимірний процес нечіткого блукання.
2. Інваріантна множина кожного стану міститься в піраміді 0≥xGq , де матриця qG має
розмірність nmq × .
3. Переключення циклічне ( 1...21 →→→→ N ) на гіперплощині zUy q= , де 1−∈ nRz ,
qU – матрица )1( −× nn , при цьому { }),1)mod((),( yNqyqJump += для zUy q= , а для інших y
∅=),( yqJump .
Назвемо цей тип гібридних автоматів лінійними гібридними автоматами другого типу.
Теорема 2. Якщо для деякого )1,0(∈α для лінійного гібридного автомата другого типу HA
існує набір симетричних матриць qH такий, що
1. 0)()(max 1
1
0
≤σαϕ+++ −
=
≥ qqq
T
qqqq
T
q
T
yTy
Gy
BHHByAHHAy .
2. Для кожного переключення rNqq =+→ 1)mod( матриця qqr
T
q UHHU )( − від’ємно
напіввизначена, тоді стаціонарний стан 0=y гібридного автомата стійкий з рівнем α .
Доведення. Візьмемо будь-яке 0>ε . Покладемо 0)( >= yHyyV q
T
q . Тоді
),()()()( xtwyBHHByyAHHAyyV qqq
T
q
T
qqq
T
q
Tq && ⋅+++= .
За умов 0≠y , 0≥yGq та 1 виконується
[ ] .0)()(
),()()()(|
21
max ≤⋅⋅+++≤
≤⋅+++=
− yHBHBHAHA
xtwyBHHByyAHHAyyV
TT
qqq
T
q
T
qqq
T
q
T
g
q
αϕσλ
&&
Покладемо )}0(})(:{:max{ ε⊆′≤′= BayVyaa q ,
{ }})(:{)0(:max ayVyB q ≤⊆δ′=δ δ′ , де
)(yBr – замкнена куля радіуса r . Тоді δ і a можна оцінити як )(min min q
q
Ha λ⋅ε≥ ,
)(max
)(min
max
min
q
q
q
q
H
H
λ
λ
⋅ε≥δ .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
182
Покажемо, що траєкторія також може покинути область })(,:{ ayVInvyy q
q ≤∈ лише
через одну з поверхонь ayVq =)( , а не через площину переключення. Отже, розглянемо поведінку
скороченої частини на переключенні rNqq =+→ 1)mod( .
0)()()()( ≤−=−=− zUHHUzyHHyyVyV qqr
T
q
T
qr
Tqr .
Таким чином, при переключенні траєкторія залишиться в області })(,:{ ayVInvyy qq ≤∈ .
Покажемо, що через границю ayV q =)( також залишити область неможливо. Оскільки
∫+=
t
t
qqq dssyVtyVtyV
0
00 ))(())(())(( & (за умови, що за відрізок часу ],[ 0 tt переключень не
відбувається), а 0))(( ≤tyV q& , звідси маємо, що ))(())(( 0tyVtyV qq ≤ . Тому траєкторія не здатна
перетнути границю ayV q =)( . Таким чином, при α∈ Xx траєкторія системи не може покинути
область })(,:{ ayVInvyy q
q ≤∈ ні через границю ayV q =)( , ні через поверхню переключення.
Оскільки ця область лежить в кулі )0(εB , то виконується означення стійкості з рівнем α .
Теорему доведено.
Теорема 3. Якщо для лінійного гібридного автомата HA виконується теорема 2 з
підсиленою умовою 1:
1. 0)()(max 1
1
0
<σαϕ+++ −
=
≥ qqq
T
qqqq
T
q
T
yTy
Gy
BHHByAHHAy ,
то гібридний автомат HA має асимптотично стійкий з рівнем α стаціонарний стан 0=y .
Доведення. За теоремою 2 автомат HA має стійкий стаціонарний стан 0=y . Доведемо
збіжність 0)( →ty .
В теоремі 2 показано, що ∫+=
t
t
qqq dssyVtyVtyV
0
00 ))(())(())(( & та 0)()( ≤− yVyV qr .
Тобто ))(()( tyV tq монотонно спадає і в межах локального стану, і на переключеннях. Оскільки
))(()( tyV tq додатне, то за принципом Больцано-Вейєрштрасса 0))(( 1 ≥→ vtyV .
Доведемо, що 01 =v .
Припустимо, що це не так. Позначимо
)()(max 1
max αϕσ⋅+++λ= −
∈ qqq
T
qqqq
T
q
Qq
BHHBAHHAk , )( 0
0
0 tVv q= .
Застосовуючи нерівність Релея-Рітца
2
max
2
min )()()( yHyVHyyyH q
qT
q ⋅λ≤=≤⋅λ ,
в області 01 )( vyVv << маємо оцінку
)(
)(
0min
02
q
q
H
kv
ykyV
λ
−≤−≤& .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
183
Якщо система при даному α∈ Xx на відрізку часу ),( 0 tt робить M переключень у моменти
Mttt <<< ...21 , то маємо
[ ]
[ ] .
)(
))(())(())(())((
))(())(())(())((
))(())(())(())(())(())((
))(())((
min
1
1
0
11
1
0
11
1
0
111
0
)(
0
1
0
1
1
1
0
t
H
kv
dssyVtyVtyVdssyV
dssyVdssyVtyVtyV
tyVtyVtyVtyVtyVtyV
tyVtyV
t
t
M
j
j
q
j
q
t
t
t
t
M
j
t
t
j
q
j
q
qq
M
j
j
q
j
q
j
q
j
q
qtq
jj
M
j
j
jj
MMjkjj
λ
−≤≤−+=
=+
+−=
=−+−+−=
=−
∫∑∫
∫∑ ∫
∑
−
=
++
−
=
++
−
=
+++
+
+
+
+
&&
&&
Останній вираз можна зробити скільки завгодно малим, що суперечить
010
0)( ))(())(( vvtyVtyV qtq −≥− . Теорему доведено.
Теорема 4. За умовою теореми 3 гібридний автомат HA експоненційно стійкий, причому
виконується оцінка
−
λ
−
λ
λ
≤
∈∈
)(
)(max2
exp)(
)(min
)(
)( 0
min
0
min
0max tt
H
k
ty
H
H
ty
q
Qq
q
Qq
q
.
Доведення. З нерівності Релея-Рітца
2
max
2
min )()()( yHyVHyyyH q
qT
q ⋅λ≤=≤⋅λ
випливає нерівність )(
)(
)(
min
2
yV
H
k
ykyV qq
λ
−≤−≤& . За нерівністю Гронуолла-Беллмана маємо
−
λ
−≤ )(
)(
exp))(())((
min
j
q
j
qq tt
H
k
tyVtyV , де jt – момент переключення.
Вважатимемо, що моменти переключення при даному α∈ Xx , Mttt <<< ...21 . Підставимо
в останню нерівність Mqq = .
−
λ
−≤ )(
)(
exp))(())((
min
M
Mq
M
MqMq tt
H
k
tyVtyV .
Оскільки на переключеннях )()( 1−≤ MM qVqV , отримуємо, що
−
λ
−≤ − )(
)(
exp))(())((
min
1
M
Mq
M
MqMq tt
H
k
tyVtyV .
1−MqV можна оцінити за цією ж нерівністю:
−
λ
−
−
λ
−≤ −
−
−
− )(
)(
exp)(
)(
exp))(())((
min
1
1min
1
2
M
Mq
MM
Mq
M
MqMq tt
H
k
tt
H
k
tyVtyV .
ISSN 1028-9763. Математичні машини і системи, 2007, № 3, 4
184
Послідовно оцінюючи значення функції Ляпунова в моменти переключення 1−Mt , 2−Mt ,…, 1t ,
отримуємо
−
λ
+−
λ
−≤ ∑
−
=
+ )(
)(
)(
)(
exp))(())((
min
1
0
1
min
0
0
M
Mq
M
j
jj
jq
qMq tt
H
k
tt
H
k
tyVtyV
або
−
λ
−≤
∈
)(
)(max
exp))(())(( 0
min
0
0 tt
H
k
tyVtyV
q
Qq
qMq .
Скориставшись ще раз нерівністю Релея-Рітца, отримуємо нерівність
.)(
)(max
exp)()(
)(
)(max
exp))(()()(
0
min
2
00max
0
min
0
2
min
−
λ
−λ≤
≤
−
λ
−≤λ
∈
∈
tt
H
k
tyH
tt
H
k
tyVtyH
q
Qq
q
q
Qq
Mq
Остаточно отримуємо
−
λ
−
λ
λ
≤
∈∈
)(
)(max2
exp)(
)(min
)(
)( 0
min
0
min
0max tt
H
k
ty
H
H
ty
q
Qq
q
Qq
q
.
Теорему доведено.
4. Висновки
В роботі наведено нові типи стійкості нечіткої динамічної системи, незалежно від природи цієї
системи. Наведені означення нечіткої стійкості досить сильні. Це має сенс: використовується
прийнятне для реального світу означення, що базується на траєкторіях динамічної системи, а не
штучний критерій, що базується на близькості розподілів.
Також доведено достатні умови стійкості окремих типів нечіткої лінійної гібридної системи.
Ці умови не залежать від розв’язків системи, мають конструктивний характер і легко перевіряються
на ЕОМ.
СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ
1. Lakshmikantham V., Mohapatra R. Theory of Fuzzy Differential Equations and Inclusions. – Taylor and Francis,
London, 2003.
2. Пырьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применение. – М.: УРСС , 1990. – 190 с.
3. Бичков О.С. До теорії можливостей та її застосування // Доповіді НАН України. – 2007. – № 5. – C. 7–12.
4. Бичков О., Меркур’єв М. Існування та єдність розв’язків нечіткого диференціального рівняння // Вісник
Київського національного університету. Серія: Фізико-математичні науки. – 2006. – №1. – С. 131–135.
5. Бичков О. Дослідження стійкості тривіальних фазових орбіт гібридних автоматів // Вісник Київського
університету. Серія: Кібернетика. – 2005. – № 6. – C. 4–8.
Стаття надійшла до редакції 08.10.2007
|