Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений

Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений

В статье предложены устойчивые одношаговые блочные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы обладают высокими характеристиками устойчивости, что позволяет применять их для решения жестких задач, и легко отображаются на параллельные структуры произвольн...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2009
Автор: Фельдман, Л.П.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України 2009
Теми:
Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7841
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений / Л.П. Фельдман // Штучний інтелект. — 2009. — № 1. — С. 213-217. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-7841
record_format dspace
spelling irk-123456789-78412010-06-01T15:12:21Z Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений Фельдман, Л.П. Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем В статье предложены устойчивые одношаговые блочные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы обладают высокими характеристиками устойчивости, что позволяет применять их для решения жестких задач, и легко отображаются на параллельные структуры произвольной архитектуры. У статті запропоновано стійкі однокрокові блокові методи розв’язання задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь. Методи мають високі характеристики стійкості, що дозволяє розв’язувати жорсткі задачі та легко відображаються на паралельні структури довільної архітектури. Stable one-step block methods of numeral decision of Cauchy’s problem for systems of ordinary differential equations are offered. Methods possess high descriptions of stability, that allows to apply them for the decision of stiff tasks and easily represented on the parallel structures of arbitrary architecture. 2009 Article Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений / Л.П. Фельдман // Штучний інтелект. — 2009. — № 1. — С. 213-217. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1561-5359 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7841 681.3 ru Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
topic Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
spellingShingle Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
Фельдман, Л.П.
Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений
description В статье предложены устойчивые одношаговые блочные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы обладают высокими характеристиками устойчивости, что позволяет применять их для решения жестких задач, и легко отображаются на параллельные структуры произвольной архитектуры.
format Article
author Фельдман, Л.П.
author_facet Фельдман, Л.П.
author_sort Фельдман, Л.П.
title Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений
title_short Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений
title_full Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений
title_fullStr Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений
title_full_unstemmed Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений
title_sort устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений
publisher Інститут проблем штучного інтелекту МОН України та НАН України
publishDate 2009
topic_facet Архитектура, алгоритмическое и программное обеспечение интеллектуальных многопроцессорных систем
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/7841
citation_txt Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений / Л.П. Фельдман // Штучний інтелект. — 2009. — № 1. — С. 213-217. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
work_keys_str_mv AT felʹdmanlp ustojčivyeodnošagovyebločnyemetodyčislennogorešeniâžestkihobyknovennyhdifferencialʹnyhuravnenij
first_indexed 2025-07-02T10:39:04Z
last_indexed 2025-07-02T10:39:04Z
_version_ 1836531314165022720
fulltext «Штучний інтелект» 1’2009 213 4Ф УДК 681.3 Л.П. Фельдман Донецкий национальный технический университет, Украина feldman@r5.dgtu.donetsk.ua Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения жестких обыкновенных дифференциальных уравнений В статье предложены устойчивые одношаговые блочные методы решения задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Методы обладают высокими характеристиками устойчивости, что позволяет применять их для решения жестких задач, и легко отображаются на параллельные структуры произвольной архитектуры. Статья содержит обобщение результатов исследований [1-5], посвященных ус- тойчивости традиционных последовательных методов численного решения задачи Коши жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений и является про- должением ранее опубликованных работ [6-9]. В ней рассматривается устойчивость параллельных численных методов решения задачи Коши жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Предлагаемые блочные одношаговые многоточечные разностные схемы обладают высокой точностью, легко распараллеливаются и жестко устойчивы. Постановка задачи 1. Рассматривается устойчивость решения задачи Коши жестких систем обык- новенных дифференциальных уравнений   o00 x)t(x,tt,x,tf dt dx  (1) одношаговым многоточечным методом, определяемым формулой:            k 1j jn,ji,n,0in,0in, fafbфuu , ki ,1 , .,1 Nn  (2) При исследовании устойчивости блочных разностных методов для жестких систем уравнений, так же, как и для классических методов, обычно рассматривают модель- ное уравнение (3) x dt dx  , (3) где  – произвольное комплексное число. Свойства различных методов анализиру- ют на примере модельного уравнения (3). Фельдман Л.П. «Искусственный интеллект» 1’2009 214 4Ф Для модельного уравнения (3) разностные уравнения (2) примут вид            k 1j jn,ji,n,0in,0in, uaubфuu  , ki ,1 , .,1 Nn  (4) Обозначим матрицу коэффициентов и вектор-столбец системы уравнений (2) через kjkibbaA T iji ,1,,1,)(),( ,  . Представим систему уравнений (3) в векторной форме. Для этого введем векторы  jnn uU , , Te )1,...,1,1( . В векторной форме уравнение (3) будет иметь вид .,)()( 0,   beuUAE nn (5) Определив из (5) nU , получим 0,0, 1 )()( nnn usubeAEU    , (6) где вектор s определяется выражением )()( 1 beAEs    , (7) или                                                kkkkkkk k k s s s b b b aaaa aaaa aaaa s .. 1 ....... 1 1 1,...,, ........................................... ,...,,1 ,...,,,1 2 1 2 1 1 ,3,2,1, ,23,22,2,1,2 ,13,12,11,1       . (8) Определим матрицу перехода от блока значений ),...,2,11,11 ,1 ,( knunnn uuU   к блоку 1nU . Для этого преобразуем полученную систему вида (6) к эквивалентной системе ,...1,, ,0,....,0,0 ................. ,0,....,0,0 ,0,....,0,0 1 2 1                nSUU s s s S nn k (9) Таким образом, устойчивость численного метода (2) определяется собственными значениями матрицы S [2]. Видно, что элементы этой матрицы являются рациональ- ными функциями от  и собственные значения q матрицы S также будут зависеть от  . Поэтому необходимо найти те области для собственных значений  , в кото- рых 1)(q  . По виду матрицы S~ можно заключить, что она имеет k – 1 нулевых собственных чисел 0q...qq 1k21   и kk sq  . Поскольку ранг матрицы равен единице, каждому собственному значению соответствуют различные ненулевые собственные векторы. Таким образом, функцией устойчивости метода (1) является kk s)(q  . (10) Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения… «Штучний інтелект» 1’2009 215 4Ф Из (7) следует, что , ]AE[Det ]A[Dets k k                     kkkk k baaa baaa baaa A    1,...,, ........................................... 1,...,,1 1,...,,,1 3,2,1, 23,22,2,1,2 13,12,11,1 (11) Матрица S имеет четыре ненулевых собственных вектора. Найдем область дейст- вительных значений  , для которых 1][q4  . q4 = 60 + 120 m + 105 m2 + 50 m3 + 12 m4 60 - 120 m + 105 m2 - 50 m3 + 12 m4 В последнем выражении модули числителя и знаменателя равны, следовательно, на мнимой оси 1]i[q4  . Поэтому областью устойчивости метода является вся левая полуплоскость, включая и мнимую ось. Таким образом, одношаговый четырехточеч- ный блочный метод А-устойчив. Проще определять функцию устойчивости, используя формулу (11). Определитель матрицы AE  будет равен: 2 3 4 5 6 7 8Det[E- A] 1-4 7.58333 9 7.42361 4.45 1.95311 0.603968 0.11111                . Заменим в матрице AE  последний столбец вектором b, получим матрицу kA . Най- дем ее определитель 2 3 4 5 6 7 8 kDet[A ] 1 4 7.58333 9 7.42361 4.45 1.95311 0.603968 0.11111                . Таким образом, функция устойчивости метода будет равна 2 3 4 5 6 7 8 8 2 3 4 5 6 7 8 1 4 7.58333 9 7.42361 4.45 1.95311 0.603968 0.11111[ ] 1-4 7.58333 9 7.42361 4.45 1.95311 0.603968 0.11111 q                                 . В рассмотренном примере модули числителя и знаменателя равны, следовательно, на мнимой оси 1]i[q8  . Поэтому областью устойчивости метода является вся левая полуплоскость, включая и мнимую ось. Таким образом, одношаговый восьмиточеч- ный блочный метод также А-устойчив. Очевидно, что одношаговые многоточечные блочные методы более высоких порядков также будут А-устойчивыми. Рассмотрим пример использования одношаговых многоточечных блочных ме- тодов. Типичным примером жесткой задачи является уравнение Ван-дер-Поля. Его можно записать в виде системы: )x)1x(x(x ,xx 1 2 122 21    (12) Для расчетов положим 0x,2x,100 21  . Фельдман Л.П. «Искусственный интеллект» 1’2009 216 4Ф Построим графики полученных решений: -2 -1 1 2 x1 -0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 x2 Рисунок 1 – Фазовая траектория (предельный цикл) решения задачи Полученное решение свидетельствует о возможности решения жестких задач блочными одношаговыми многоточечными методами. На рис. 1 видна переходная зона от начального положения к предельному циклу. Ее так же можно получить по приведенной программе. На рис. 2 приведена переходная фаза, полученная с мень- шим шагом интегрирования. 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 x1 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 x2 Рисунок 2 – Переходная фаза решения задачи (12) Заключение На основе проведенного анализа параллельных разностных методов можно сде- лать вывод, что одношаговые многоточечные разностные (1) методы являются А- устойчивыми. Таким образом, эти методы могут использоваться при численном решении жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Предложенная методика может быть использована при исследовании устойчивости параллельных одношаговых методов с любым числом точек в блоке. Проведенные численные решения одношаговыми блочными методами тестовых жестких систем практически подтвердили их надежность и эффективность. Литература 1. Холл Дж., Уатт Дж. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений. – М.: Мир, 1979. – 312 с. 2. Системы параллельной обработки / Под ред. Д. Ивенса. – М.: Мир,1985. – 416 с. 3. Хайрер Э., Нёрсет С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежест- кие задачи. – М.: Мир, 1990. – 512 с. Устойчивые одношаговые блочные методы численного решения… «Штучний інтелект» 1’2009 217 4Ф 4. Хайрер Э., Ваннер. Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Жесткие задачи. – М.: Мир, 1999. – 685 с. 5. Молчанов И.Н. Введение в алгоритмы параллельных вычислений. – Киев: Наукова думка, 1990. – 128 с. 6. Фельдман Л.П. Устойчивость параллельных методов численного моделирования динамических систем с сосредоточенными параметрами / Наукові праці Донецького національного технічного університету. Серія: Інформатика, кібернетика та обчислювальна техніка. – Донецьк: ДонНТУ, 2002. – Вип. 39. – С. 8-13. 7. Фельдман Л.П., Дмитриева О.А. Анализ устойчивости параллельных методов численного решения жестких систем // Тезисы докладов IV Междунар. конф. по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ-2002) / XIX Междунар. семинара по струйным, отрывным и нестационарным течениям. – Санкт- Петербург. – 2002. – М.: Изд-во МАИ, 2002. – 486 с. 8. Фельдман Л.П. Устойчивость параллельных блочных методов численного решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений // Тезисы докладов XII Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам. – Владимир. – 2003. – М.: Изд-во МАИ, 2003. – Том 2. – С. 617-618. 9. Feldman L., Svjatnyj V., Dmitriewa O.A. Stabilitat von parallelen Simulationsverfahren fur dynamische Systeme mit konzentrierten Parametern /Simulationstechnik, 17. Symposium // SCS-Europe BVBA (ISBN 3-936150-27-3). – Magdeburg (Germany). – 2003. – Р. 105-110. Л.П. Фельдман Стійкі однокрокові блокові методи чисельного розв’язання жорстких звичайних диференціальних рівнянь У статті запропоновано стійкі однокрокові блокові методи розв’язання задачі Коші для систем звичайних диференціальних рівнянь. Методи мають високі характеристики стійкості, що дозволяє розв’язувати жорсткі задачі та легко відображаються на паралельні структури довільної архітектури. L.P. Feldman Stable One-step Block Methods of Numeral Decision of Stiff Ordinary Differential Equations Stable one-step block methods of numeral decision of Cauchy’s problem for systems of ordinary differential equations are offered. Methods possess high descriptions of stability, that allows to apply them for the decision of stiff tasks and easily represented on the parallel structures of arbitrary architecture. Статья поступила в редакцию 10.07.2008.

Схожі ресурси